DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN I) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd

Transkripsi

1 DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN I) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN MARET

2 MUQADIMAH Alhmdulillh penyusun ucpkn ke hdirt ALLAH SWT, kren berkt limphn rhmt, tufik dn hidyh-ny penyusun dpt menyelesikn diktt Aljbr Liner ini. Shlwt dn slm jug semog sellu tercurh kepd junjungn kit Nbi Muhmmd SAW besert shbt, kerbt, sert ummt beliu yng senntis istiqmh mengikuti rislh beliu hingg khir zmn. Diktt ini disusun dlm du bgin, dengn hrpn setelh selesi bgin I kn dilksnkn ujin tengh semester, dn nnti lngsung dilnjutkn dengn bgin II. Semog dengn penyusunn diktt ini dpt membntu mhsisw dlm beljr Aljbr Liner, tentu sj perlu ditmbh dengn buku pendukung linny. Penyusun jug menydri bhw diktt ini msih juh dri sempurn, sehingg srn dn kritik sngt penyusun hrpkn. Bnjrmsin, Mret Penyusun, TTD Abdul Jbr, M.Pd Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hlii

3 DAFTAR ISI Hlmn BAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS. Sistem Persmn Liner.. Mtriks.... Mcm-mcm mtriks.... Kesmn mtriks... Trnspose mtriks.... Opersi ljbr mtriks... Hubungn SPL dengn Mtriks.. 7. Eliminsi Guss-Jordn. 8. Menentukn invers mtriks...6 SPL Homogen BAB II DETERMINAN.. Pendhulun.. Ekspnsi Kofktor.. Reduksi bris menggunkn opersi bris elementer. Metode Crmer... Hubungn Determinn, Invers Mtriks dn Penyelesin SPL.. 7 BAN III VEKTOR DI R DAN R 8. Pendhulun. 8. Opersi-opersi pd Vektor.. 8. Hsil kli titi, pnjng vektor, dn jrk.. 9. Proyeksi orthogonl.. Hsil Kli Silng Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hliii

4 BAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS. Sistem Persmn Liner Definisi. : Persmn Liner Persmn liner dlh persmn yng peubhny berpngkt stu. Sutu persmn liner dengn n peubh x, x,, x n dpt dinytkn dlm bentuk : x + x + + n x n = b (.) dimn,,, n dn b dlh konstnt-konstnt rel. Definisi. : Penyelesin Persmn Liner Penyelesin dri persmn liner (.) dlh urutn dri n bilngn s, s,, s n sehingg persmn tersebut dipenuhi bil x = s, x =s,, x n = s n (.) disubstitusikn terhdpny. Himpunn semu pemechn persmn tersebut dinmkn himpunn penyelesin. Definisi. : Sistem Persmn Liner Sutu himpunn berhingg dri persmn- persmn liner dlm peubh-peubh x, x,, x n dinmkn sistem persmn liner tu sistem liner. Sutu urutn bilngn-bilngn s, s,, s n dinmkn pemechn dri sistem tersebut jik (.) dlh pemechn dri msing-msing persmn pd sistem tersebut. Sebuh sistem sebrng yng terdiri dri m persmn liner dengn n bilngn yngtidk dikethui : x + x + + n xn = b x + x + + n xn = b : (.). m x + m x + + mn x n = b m Definisi. : Konsistensi. Sebuh sistem persmn yng tidk memiliki penyelesin diktkn tidk konsisten. Jik d setidk-tidkny stu pemechn, mk sistem persmn tersebut diktkn konsisten.. Sutu sistem persmn liner mungkin tidk memiliki penyelesin, tu memiliki persis stu penyelesin, tu memiliki tk berhingg bnykny penyelesin. Dlm dimensi dpt digmbrkn sebgi berikut : i k i k i = k Tidk d penyelesin Tept stu penyelesin Bnyk penyelesin Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl

5 . Mtriks Defenisi.: Mtriks Mtriks dlh sekumpuln bilngn yng disusun menjdi sutu jjrn persegi pnjng yng terdiri ts bris dn kolom dn dibtsi tnd kurung. Sebuh mtriks dpt diberi nm dn nm itu bisny dinytkn dengn memki huruf besr (kpitl), seperti A, B, C,. dn seterusny. Contoh.: (i) Dengn menndi kurung bis A = dn B = (ii) Dengn menndi kurung siku A = dn B = Sutu mtriks A seperti pd pembhsn terdhulu, yng terdiri dri m bris dn n kolom, mk mtriks A berordo m x n dn ditulis dengn lmbng Am x n. Sedngkn bnykny elemen (unsur) mtriks A sm dengn m x n buh. Dengn demikin mtriks A yng berordo m x n dpt disjikn sebgi berikut : Contoh. A m x n = m m m n n n mn 7 A x = dlh mtriks berordo x B x = 6 Kolom ke- Kolom ke-n Bris ke- Bris ke- Bris ke-m dlh mtriks berordo x.. Mcm-mcm Mtriks Jik diperhtikn dri bnykny bris dn bnykny kolom sert jenis elemen-elemenny, mk mtriks dibedkn menjdi beberp mcm yitu:. Mtriks Bris Mtriks bris dlh mtriks yng hny terdiri dri stu bris tu mtriks yng berordo ( x n) dengn n > Contoh. : A x = ( ) B x = ( 7-6). Mtriks Kolom Mtriks kolom dlh mtriks yng hny terdiri dri stu kolom tu mtriks yng berordo (m x ) dengn m > Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl

6 Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl Contoh. : A x = 9 7 B x = C x = 9 8. Mtriks persegi/kudrt Mtriks persegi dlh mtriks yng bnyk brisny sm dengn bnyk kolomny. Mtriks A m x n disebut mtriks persegi jik m = n, sehingg sering ditulis A m x n = A n. Pd mtriks persegi elemen-elemen,,,, nn disebut elemen-elemen digonl utm, dn n,, n disebut elemen-elemen digonl smping. Defenisi: Trce Trce Adlh hsil penjumlhn dri elemen-elemen pd digonl utm dri mtriks persergi A. Trce A = nn Contoh.: Ax = A = Elemen digonl utmny dlh, -, 8 Elemen digonl smping dlh, -, 7 Trce A = () + (-) + (8) = 9. Mtriks digonl Mtriks digonl dlh mtriks persegi yng semu elemenny bernili nol, keculi elemen digonl utm. Contoh.6: A = B = C =. Mtriks segitig ts Mtriks segitig ts dlh mtriks persegi yng elemen-elemen dibwh digonl utmny dlh nol. Contoh.7: D = E = 8 6. Mtriks segitig bwh Mtriks segitig bwh dlh mtriks persegi yng elemen-elemen dits digonl utmny dlh nol.

7 Contoh.8: 8 F = 7 G = Mtriks identits Mtriks identits dlh mtriks digonl yng semu nili elemen-elemen pd digonl utmny sm dengn stu, sedngkn elemen linny nol. Mtriks identits disebut jug mtriks stun yng dilmbngkn dengn I. Contoh.9: I x = I x = 8. Mtriks nol Mtriks nol dlh mtriks yng seluruh elemenny bernili nol. Mtriks nol dinytkn dengn lmbng O Contoh.: O x = O x = O x =.. Kesmn Mtriks Defenisi.6: Kesmn Mtriks Du buh mtriks A dn B diktkn sm dn ditulis A=B pbil keduny berordo sm dn semu unsur-unsur yng bersesuin sm. Contoh.: 8 A= 6 B= Mk A=B, tetpi AC dn BC Contoh.: x y 9 9 Jik A= dn B= 6 x y 6 Tentukn nili x dn y pbil A=B! Jwb : A=B mk x + y = x y = + x = 6 x = y = 8 6 C= 6 Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl

8 .. Trnspose Mtriks Defenisi.7: Trnspose Mtriks Trnspose mtriks A dlh sutu mtriks yng diperoleh dengn cr mengubh setip elemen bris mtriks A menjdi elemen kolom mtriks trnsposeny, tu seblikny. Trnspose mtriks A dilmbngkn dengn A t tu A T. Contoh.: A = B = 9 8 mk A T = A t = mk B T = B t = Opersi Aljbr Mtriks Pd pembhsn di ts, kit telh mempeljri pengertin mtriks, notsi, ordo mtriks, jenis-jenis mtriks, kesmn mtriks dn trnspose mtriks, mk pd sub bhsn ini kit kn membhs opersi (pengerjn) ntr mtriks, dintrny dlh opersi penjumlhn dn pengurngn, perklin mtriks dengn bilngn rel (sclr) dn perklin mtriks dengn mtriks.. Penjumlhn Mtriks Defenisi.8: Penjumlhn Mtriks Jik A dn B dlh du buh mtriks yng berordo sm, mk jumlh mtriks A dn mtriks B (ditulis A+B) dlh sebuh mtriks bru yng didpt dengn cr menjumlhkn elemenelemen mtriks A dengn elemen-elemen mtriks B yng seletk. Contoh.: Jik dikethui :A (x) = b dn B (x) = b b b b Mk : (A + B)(x) = b b b Contoh.: Jik : A = ; B = ; C = 7 Tentukn : ). A + B b). B + C Jwb : 6 ) A + B = + ( ) ( ) 6 = = ( ) ( ) ( ) b) B + C = + 7 b b b b Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl

9 7 7 7 = Sift-sift penjumlhn mtriks dlh:. Sift Komuttif : A + B = B + A. Sift Assositif : (A + B) + C = A + (B + C) b. Perklin Mtriks dengn Bilngn Defenisi.9: Perklin Mtriks dengn Sklr Jik k dlh bilngn rel dn A dlh sebuh mtriks mk ka dlh sebuh mtriks bru yng didpt dri hsil perklin k dengn elemen-elemen mtriks A. Mislny : A = m k k Mk ka = km m k k k m m k k k m n n mn k k k n n mn c. Perklin Mtriks dengn Mtriks Definisi.: Perklin Mtriks dengn Mtriks Du buh mtriks hny dpt diklikn pbil jumlh kolom mtriks yng diklikn sm dengn jumlh bris dri mtriks pengliny. Hsil kli du buh mtriks A mxn dengn B nxp dlh sebuh mtriks bru C mxp. Cr mendptkn unsur pd bris ke-i kolom ke-j mtriks C dlh dengn menglikn dn menjumlhkn unsur-unsur bris ke i mtriks A dengn kolom ke-j mtriks B. A mxn x B nxp = C mxp b p q Missl A = ; B = mk: c d r s b p q p br q bs AB = = c d r s cp dr cq ds Contoh.6: Tentukn hsil perklin mtriks berikut ini: A = Jwb : A (x). B (x) = C (x) ; B = 6 Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl6

10 A.B = 6 ( )() ()( ) ()() ( )() ()() ()(6) = ()() ()( ) ( )() ()() ()() ( )(6) = d. Mtriks Invers Definisi.: Mtriks Invers Jik A dn B dlh mtriks kudrt yng berordo sm dn berlku AB = BA = I, mk A dpt diblik, dn B merupkn invers dri mtriks A. e. Sift-sift Opersi Mtriks Dri urin dits diperoleh sift-sift mtriks. Untuk setip mtriks A, B dn C (yng dpt dijumlh/diklikn) dipenuhi:. (AB) C = A (BC). Sift Asositif. A (B + C) = AB + AC.. Sift Distributif Kiri. (B + C) A = BA + CA.. Sift Distributif Knn. k (AB) = (ka) B = A (kb).. Perklin Sklr. AI = IA = A. Sift Identits 6. A = A =.. Sift Mtriks Nol 7. AB BA Tidk Berlku Sift Kumultif 8. (AB) T = B T A T. Sift perklin mtriks 9. (AB) - = B - A -. Hubungn SPL dengn Mtriks Proposisi. : Augmented Mtrix Persmn (.) dpt dituliskn dlm bentuk ugmented mtrix (mtriks yngdiperbesr) sebgi berikut : n b n b m m mn bm (.) Proposisi.6 : Opersi Bris Elementer Penyelesin sistem persmn (.) dpt dilkukn dengn opersi bris elementer (OBE) pd mtriks diperbesrny. Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl7

11 Opersi Bris Elementer :. Kliknlh sebuh bris dengn sebuh konstnt yng tidk sm dengn nol. Pertukrknlh du bris pd mtriks. Tmbhknlh perklin dri stu bris pd bris yng lin.. Eliminsi Guss-Jordn Lngkh-lngkh menyelesikn SPL dengn Eliminsi Guss:. SPL diubh dulu menjdi menjdi mtriks yng diperbesr (MD). Lkukn OBE pd MD sehingg mtriks berbentuk eselon bris (MEB). Kemblikn MBEB menjdi SPL bis. Selesikn SPL dengn substitusi. Lngkh-lngkh menyelesikn SPL dengn Eliminsi Guss-Jordn:. SPL diubh dulu menjdi menjdi mtriks yng diperbesr (MD). Lkukn OBE pd MD sehingg mtriks berbentuk eselon bris tereduksi (MEBT). Kemblikn MBEBT menjdi SPL bis Proposisi.7: Mtriks Eselon Bris Tereduksi (MEBT) MEBT dlh mtriks yng memenuhi syrt berikut:. Bil terdpt bris tk nol, mk bilngn tk nol pertm dlh. ini disebut utm b. Du bris tk nol yng berurutn, mk utm bris bwh lebih ke knn dri utm di tsny. c. Bris nol berd di bwh d. Setip kolom yng memut utm bernili nol di tempt linny. Jik mtriks hny memenuhi syrt, b, dn c mk mtriks tersebut dinmkn MEB. Contoh.7 : Dikethui: x + y = 7 x y = Selesikn SPL di ts menggunkn:. Eliminsi Guss b. Eliminsi Guss-Jordn Penyelesin. Eliminsi Guss Lngkh : Ubh SPL MD 7 Lngkh : Lkukn OBE pd MD sehingg terbentuk MEB b + b b/(-) Keterngn: -b + b rtiny (-) kli bris tmbhkn pd bris ke-, jik diurikn: (-). + = (-). + (-) = - (-).7 + = - Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl8

12 b /(-) rtiny bris ke- dikli (/), jik diurikn /(-) = -/(-) = /(-) = Lngkh : Ubh MEB SPL x + y = 7 x + y = y =, nili y = disubstitusikn ke persmn x + y = 7 didptkn x = Jdi penyelesin dri SPL di ts dlh x = dn y =. b. Eliminsi Guss-Jordn Lngkh : idem Lngkh : Lkukn OBE pd MD sehingg terbentuk MEBT 7 Lnjutn dri ts -b + b Lngkh : Ubh MEBT SPL x + y = x =, x + y = y = Jdi penyelesin dri SPL di ts dlh x = dn y =. Contoh tmbhn eleminsi Guss Dikethui persmn liner x + y + z = 6 x + y + z = 9 x + y + z = Tentukn Nili x, y dn z Jwb: Bentuk persmn tersebut ke dlm mtriks: -B +B -B +B B +B B / (Mtriks menjdi Eselon-bris) Mk mendptkn persmn linier bru yitu x + y + z = 6 y + z = z = Kemudin lkukn substitusi blik mk didptkn: y + z = y + = y = x + y + z = 6 x + + = 6 x = Jdi nili dri x =, y =,dn z = Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl9

13 Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl Contoh tmbhn eliminsi Guss-Jordn Dikethui persmn liner x + y + z = x + y + z = x + y + z = Tentukn Nili x, y dn z Jwb: Bentuk persmn tersebut ke dlm mtriks: -B + B -B + B -B+B -B dn B /8 -B + B -B +B -B + B (Mtriks menjdi Eselon-bris tereduksi) Mk didptkn nili dri x =, y =,dn z =. Menentukn invers mtriks Invers sutu mtriks (mislkn invers A) dpt dihitung dengn menggunkn eliminsi Guss Jordnterhdp mtriks diperbesr [A: I] dimn ukurn I sm dengn ukurn A. Cr perhitungn seperti ini didsrkn dri sift A A = I. Untuk menentukn solusi dri SPL tersebut mk berdsrkn prosedur yng telh dipeljri sebelumny, mk dpt dilkukn eliminsi Guss Jordn terhdp mtriks [A :I]. Jik A memng memiliki invers mk mtriks eselon bris tereduksiny kn berbentuk [I:A - ]. Jik setelh melkukn eliminsi Guss Jordn tidk diperoleh bentuk [ I :A - ] mk disimpulkn bhw mtriks tersebut tidk memiliki invers. Contoh.8: Dikethui A =, tentukn A - jik d! Jwb: [A :I] = = [I : A - ] (lngkh detilny sebgi ltihn) Jdi A - =

14 Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl.6 SPL Homogen Definisi.: Sistem Persmn Liner Homogen Sebuh sistem persmn liner diktkn homogen jik pd persmn (.) nili b i= untuk setip i =,,,m Tip-tip sistem persmn liner homogen dlh sistem yng konsisten, kren x =x = = x n= sellu merupkn penyelesin. Penyelesin ini dinmkn penyelesintrivil. Jik d penyelesin lin yng memenuhi persmn homogen tersebut, mk penyelesin tersebut dinmkn penyelesin tk trivil. Penyelesin trivil terjdi jik stu stuny penyelesin untuk SPL dlh x = hl ini terjdi jik semu kolom pd mtriks diperbesr [A : B] (setelh dilkukn eliminsi Guss Jordn ) memiliki stu utm keculi untuk kolom yng terkhir tu dengn kt lin semu kolom pd mtriks A memiliki stu utm. Jik hl yng seblikny terjdi yitu tidk semu kolom pd mtriks A ( setelh dilkukn eliminsi Guss Jordn ) memilki stu utm tu jik terdpt bris nol mk penyelesin untuk SPL dlh penyelesin tk trivil yitu penyelesin tk hingg bnyk. TEOREMA.: Sistem persmn liner homogen dengn lebih bnyk bilngn tk dikethui(peubhny) dripd bnykny persmn, sellu mempunyi tk hingg bnykpenyelesin. Contoh.9 Dikethui sistem persmn liner homogen x + y = -x - y + z = x + y + z = Jwb: Penyelesin SPL homogen di ts dlh ] : [ B A (lngkh detilny sebgi ltihn) Pd mtriks yng terkhir terliht bhw semu kolom mtriks A memiliki stu utm sehingg penyelesinny dlh trivil yitu x =, y =, dn z =. Contoh. Dikethui sistem persmn liner homogen w z y x Penyelesin SPL homogen di ts: (lngkh detil sebgi ltihn)

15 Pd mtriks yng terkhir terliht bhw hny du kolom dri mtriks A yng memiliki stu utm tu terdpt du bris nol, ini berrti bhw penyelesin SPL dlh tk trivil yitu penyelesin bnyk dengn du prmeter, yitu x = w dn y = z sehingg klu z = s dn w = t, mk x = t, y = s, z = s, dn w = t. Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl

16 BAB II DETERMINAN. Pendhulun Defenisi. Mislkn A mtriks kudrt, fungsi determinn A sering dituliskn sebgi determinn mtriks A ( disingkt det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh semu hsil kli elementer bertnd dri A. Hsil kli elementer dri mtriks A kn berbentuk : p. p. npn dimn p,p,, pn merupkn permutsi dri bilngn bilngn,,,n. Tnd dri p. p. npnsendiri ditentukn dri bnykny bilngn bult besryng mendhului bilngn yng lebih kecil ( bnykny invers ) pd bilngnp,p,, pn, jik bnykny invers dlh gnjil mk tndny negtif ( ) dn jikseblikny tndny positif ( + ). Contoh.: Tentukn determinn dri mtriks! Jwb Kren mtriks di ts berukurn x mk kit perlu mencri permutsi dri dn Permutsi Hsil Kli Elementer Bnyk Invers Hsil Kli Elementer Bertnd ( ) + ( ) - Determinn mtriks - Contoh.: Tentukn determinn dri mtriks! Jwb Kren mtriks di ts berukurn x mk kit perlu mencri permutsi dri,, Permutsi Hsil Kli Elementer Bnyk Invers Hsil Kli Elementer Bertnd ( ) + ( ) - ( ) - ( ) + ( ) + ( ) - Determinn mtriks Mencri determinn jug bis menggunkn turn pnh, tpi cr ini terbts hny untuk ukurn x dn x, ykni: (gris ke knn bwh positif, gris ke kiri bwh negtif) Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl

17 . Ekspnsi Kofktor Slh stu metode yng digunkn untuk menghitung determinn dlh ekspnsi kofktor. Defenisi Minor Minor elemen ij ( M ij ) yitu determinn yng didptkn dengn menghilngkn bris i dn kolom j mtriks wlny. Defenisi Kofktor Kofktor elemen ij ( C ij ) = ( ) i+j M ij Jik A mtriks bujur sngkr berukurn nxn, mk dengn menggunkn metode ini perhitungn determinn dpt dilkukn dengn du cr yng semuny menghsilkn hsil yng sm yitu : ekspnsi sepnjng bris i det(a) = ic i + ic i + + inc in ekspnsi sepnjng kolom j det(a) = jc j + jc j + + njc nj Contoh. Dikethui A =, Tentukn det (A) dengn menggunkn ekspnsi kofktor! Jwb Cr Akn dicob menggunkn ekspnsi kolom untuk menghitung det (A) Det (A) = C + C + C C = ( ) + M = M= = = C = ( ) + M = M = = -( 9) = C = ( ) + M = M = = 6 = - Jdi det (A) = (. ) + (. ) + (. -) = Cr Akn dicob menggunkn ekspnsi bris untuk menghitung det (A) Det (A) = C + C + C C = ( ) + M = M= = = C = ( ) + M = M = = -( ) = C = ( ) + M = M = = = Jdi det (A) = (. ) + (. ) + (. ) =. Reduksi bris menggunkn opersi bris elementer Penggunn metode ini sebenrny tidk leps dri metode ekspnsi kofktor yitu pd ksus sutu kolom bnyk mengndung elemen yng bernili. Berdsrkn sift ini mk mtriks yng berbentuk eselon bris tu mtriks segitig kn lebih mudh untuk dihitung Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl

18 nili determinnny kren hny merupkn perklin dri elemen digonlny. Reduksi bris dilkukn dengn mengubh kolom kolom sehingg bnyk memut elemen. Bisny bentuk metriks khir yng ingin dicpi dlh bentuk eselon bris tu bentuk segitig tetpi ini tidk mutlk. Jik bentuk eselon tu segitig belum tercpi tetpi dinggp perhitungnny sudh cukup sederhn mk determinn bis lngsung dihitung. Dlm melkukn reduksi bris opersi yng digunkn dlh opersi bris elementer. Pd opersi bris elementer d beberp opersi yng berpengruh terhdp nili determinn wl, yitu : Jik mtriks B diperoleh dengn mempertukrkn du bris pd mtriks A mk det (B) = det (A) Jik mtriks B diperoleh dengn menglikn konstnt k ke slh stu bris mtriks A mk det (B) = k det (A) Jik mtriks B didptkn dengn menmbhkn keliptn sutu bris ke bris linny, mk det (B) = det (A) Contoh. Dikethui: b c A d e f, dimn det (A) = s g h i Tentukn determinn dri mtriks berikut d e f d e f d b e c f B b c, C b c, D d g e h f i. g h i g h i g h i Jwb; Mtrik B diperoleh dri mempertukrkn bris dn bris sehingg det(b) = -det(a) = -s Mtrik C diperoleh dri mempertukrkn bris dn bris, bris kedu dikli dn bris ketig dikli (-) sehingg det(c) = -.(-)det(a) = s Mtriks D diperoleh dengn menmbhkn bris yng stu dengn yng linny sehingg det(d) = det (A) = s.. Metode Crmer jik AX = B dlh sebuh sistem liner n yng tidk di kethui dn det(a) mk persmn tersebut mempunyi penyelesin yng unik dimn A j dlh mtrik yng didpt dengn menggnti kolom j dengn mtrik B Contoh. Gunkn metode crmer untuk menyelesikn persoln di bwh ini x + x = 6 -x + x + 6x = -x - x + x = 8 Jwb: Bentuk mtrik A dn B Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl

19 Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl6 A = 6 dn B = 8 6 kemudin gnti kolom j dengn mtrik b A = 8 6 6, A = A = 8 6 dengn metode pnh kit dpt dengn mudh mencri determinn dri mtrik-mtrik di ts mk, Menentukn invers sutu mtriks dpt jug menggunkn rumus berikut : ) ( ) det( A dj A A, dimn dj(a) = C T, C = {c ij}, c ij = kofktor elemen ij Contoh.6 Cri A - dri mtriks pd contoh.8 dengn menggunkn rumus ) ( ) det( A dj A A. Jwb Dikethui: A = Sehingg det(a) = - C = (-) + M = =- C = - = C = =- Dengn cr yng sm diperoleh C =, C = -, C =, C =, C = -, C = Sehingg diperoleh C = ) ( T C A Adj Sehingg A =

20 Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl7. Hubungn Determinn, Invers Mtriks dn Penyelesin untuk Sistem Persmn Linier Jik sutu SPL berbentuk AX = B dn A mtriks bujur sngkr, mk sift dri penyelesin SPL dpt dikethui dri nili determinn A tu invers mtriks A. Berikutini dlh hubungn yng berlku : Det (A) A terdefinisi (d) penyelesin tunggl untuk SPL Det (A) = A tidk memilikiinvers Det (A) = => bnyk penyelesin tu tidk mempunyi penyelesin Pd ksus det (A) untuk menentukn penyelesinny dpt digunkn invers mtriks untuk menghitungny, yitu X = A B. Sedngkn pd ksus det (A) =, untuk menentukn penyelesin SPL hrus digunkn eliminsi Guss Jordn pd mtriks diperbesr [A : B]. Contoh.7 Dikethui SPL berikut z y x Penyelesin Kren det(a)= -, mk X = A B= = (A - dimbil dri contoh.6) Dri sini diperoleh x = -, y =, dn z = -.

21 BAB III VEKTOR DI R DAN R. Pendhulun Definisi. Vektor didefinisikn sebgi besrn yng memiliki rh. Keceptn, gy dn pergesern merupkn contoh contoh dri vektor kren semuny memiliki besr dn rh wlupun untuk keceptn rhny hny positif dn negtif. Vektor diktkn berd di rung n ( R n ) jik vektor tersebut mengndung nkomponen. Jik vektor berd di R mk diktkn vektor berd di bidng, sedngkn jik vektor berd di R mk diktkn vektor berd di rung. Secr geometris, di bidng dn di rung vektor merupkn segmen grisberrh yng memiliki titik wl dn titik khir. Vektor bis dinotsikn dengn huruf kecil tebl tu huruf kecil dengn rus gris. Contoh. A B v tu v Dri gmbr dits terliht beberp segmen gris berrh ( vektor ) seperti AB dengn A disebut sebgi titik wl, sedngkn titik B disebut titik khir. Vektor posisi didefinisikn sebgi vektor yng memiliki titik wl O.. Opersi opersi pd Vektor Definisi penjumlhn du vektor Jiku dn vdlh du vektor sebrng berd di rung yng sm, mk vektor (u + v) dlh vektor yng ditentukn sebgi berikut: Temptkn vektor v sedemikin rup sehingg titik wlny berimpitn dengn titik khiru. Vektor u + vdiwkili oleh nk pnh dri titik wluhingg titik khir v. Contoh. v u u + v Definisi Selisih Jiku dn vdlh du vektor sebrng berd di rung yng sm,v dri u didefinisikn sebgi u v = u + (-v) Perklin vektor dengn sklr Vektor nol didefinisikn sebgi vektor yng memiliki pnjng =. Mislkn u vektor tk nol dn k dlh sklr, k R. Perklin vektor udengn sklrk, k udidefinisikn sebgi vektor yng pnjngny k kli pnjng u dengn rh : Jik k > ku serh dengn u Jik k < ku berlwnn rh dengn u Contoh. u -u u Perhitungn vektor Dikethui dn b vektor vektor di rung yng komponen komponenny dlh = (,, ) dn b = ( b,b,b ) Mk + b = ( +b, +b, +b ) Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl8

22 b = ( b, b, b ) k.= ( k, k, k ) Jik c = AB kemudin titik koordint A = (,, ) dn B = ( b,b,b ) mk c= (b, b, b ). Hsil kli titik, pnjng vektor dn jrk ntr du vektor Pnjng Vektor (Norm) Pnjng dri sutu vektor u sering disebut norm (norm) u dn dinytkn dengn u. Jik u R dengn u = (u, u ) mk u u. u u u u u Sutu vektor dengn norm stu disebut vektor stun (unit vector). Jik u R dengn u = (u, u, u ) mk Jrk Jik P (x, y, z ) dn P (x, y, z ) dlh du titik pd rung berdimensi, mk jrk (distnce) d dintr keduny dlh norm dri vektor P P. Kren P P =(x - x, y - y, z - z), mk: d x x y y z z Hl yng sm jik P(x, y) dn P(x, y) dlh du titik pd rung berdimensi, mk jrk (distnce) d dintr keduny dlh d x x y y Hsil kli titik Definisi Jik u dn v dlh vektor-vektor pd pd rung berdimensi tu rung berdimensi dn α dlh sudut ntr u dn v, mk hsil kli titik (dot product) tu hsil kli dlm Eucledin (Eucledin inner product) u.v didefinisikn oleh u v cos jik u dn v u. v jik u = tu v = Jik =(,, ) dn b = (b, b, b ), mk hsil kli titik vektor dn b didefinisikn sebgi :. b =(.b )+ (.b ) +(.b ) Jik =(, ) dn b = (b, b ), mk hsil kli titik vektor dn b didefinisikn sebgi :. b =(.b )+ (.b ) Jdi hsil kli titik du buh vektor berup sklr. Dengn mengethui besrny α, kn dikethui pkh hsil kli titik kn bernili positif tu negtif tu seblikny.. b> α lncip, α< 9 o. b = α = 9 o, dn b sling tegk lurus. b< α tumpul, 9 o <α 8 o Contoh Dikethui u = (,, ) dn v = (,, ). Tentukn besr sudut yng dibentuk oleh u dn v! Jwb u. v = + = Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl9

23 u v 6 6 cos =>α = cos - ( ½ ) = 6 o 6 6 Jdi sudut yng dibentuk ntr u dn v dlh 6 o. Proyeksi orthogonl Dikethui vektor dn b dlh vektor vektor pd rung yng sm seperti terliht pd gmbr dibwh ini : w w b Vektor disusun dri du vektor yng sling tegk lurus yitu w dn w,jdi dpt dituliskn = w + w. Dri proses pembentuknny w jug disebut sebgi vektor proyeksi orthogonlterhdpbkren merupknhsil proyeksi secr orthogonl vektor terhdpb,sedngkn w disebut sebgi komponen dri yng tegk lurus terhdp b.kren w merupkn hsil proyeksi di bmk dpt dituliskn w = k b,nili k ini kn menentukn rh dn pnjng dri w. Jik sudut ntr dn b dlh tumpul, mk tentuny nili k kn negtif ini jug berrti rh w kn berlwnn dengn rh b. Menghitung w Untuk menghitung w, hrus dihitung terlebih dhulu nili k. Dengn menggunkn turn hsil kli titik, diperoleh :. b = (w + w ). b = w. b (kren w dn b sling tegk lurus mkw. b = ) = w cos b = k b b cos (α dlh tu 8) = k b. b Jdi k b Sehingg w = kb = w = w. b Pnjng w = b. b b b Contoh Dikethui = (,, ) dn b = (,, ). Tentukn. Vektor proyeksi tegk lurus dri terhdp b! b. Pnjng dri vektor proyeksi tersebut! c. Komponen dri yng tegk lurus terhdp b! Jwb: Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl

24 . Mislkn w dlh vektor proyeksi tegk lurus dri terhdp b, mk w = k b...( ) sedngkn k = sehingg w = ½ (,, ) = (,, -) ( ).b...( ) 6 b. Pnjng w = = b ( ) 6 c. Mislkn w merupkn komponen dri yng tegk lurus terhdp b, mk w = w = (,, ) - (,, -) = (,, ). Hsil Kli Silng Definisi Mislkn u = (u, u, u) dn v = (v, v, v) dlh vektor-vektor pd rung berdimensi, mk hsil kli silng (cross product) u x v dlh vektor yng disefinisikn sebgi ((u.v u.v), (u.v u.v), ( u.v u.v)) Atu dlm notsi determinn u u u u u u,, v v v v v v Hubungn ntr hsil kli titik dengn hsil kli silng Jik u, v, dn w dlh vektor-vektor pd rung berdimensi, mk. u. (u x v) =. v. (u x v) =. uxv u v u.v (disebut identits Lgrnge. u x (u x w) =(u. w)v (u. v)w. (u x u) x w =(u. w)v (v. w)u Sift sift hsil kli silng. x b = ( b x ). x ( b + c) = x b + x c. ( + b) x c = x c + b x c. k ( x b ) = ( k ) x b = x k b. x = Penerpn Hsil Kli Silng Hsil kli silng dpt digunkn untuk menghitung lus derh segitig yng dibentuk oleh tig titik mislny A, B, dn C. Menggunkn rumus berikut: Lus derh segitig ABC = ABx AC Contoh Tentukn lus derh segitig yng dibentuk oleh A(,, ), B(,, ), dn C(,, ). Jwb: AB (,, ) (,,) AC (,, ) (,,) AB xac,, (,,) Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl

25 Lus derh segitig = ABx AC = Diktt Aljbr Liner Bgin I oleh Abdul Jbr, M.Pd (STKIP PGRI Bnjrmsin) Hl