BAB I V E K T O R. 1.1 Pengertian
|
|
- Surya Sudjarwadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Vektor BAB I V E K T O R Pengertin Bnyk kuntits fisik, seperti lus, pnjng, mss dn tempertur, dpt dijelskn secr lengkp pbil besrn kuntits tersebut telh diberikn Kuntits seperti ini dinmkn sklr Kulits fisik linny disebut vektor, penjelsnny tidk begitu lengkp sehingg bik besrnny mupun rhny dpt dispesifiksikn Sebgi contoh, ngin yng bergerk pd umumny digmbrkn dengn memberikn keceptn dn rhny, mislny mendekti mil / jm Vektor-vektor dpt dinytkn secr geometris sebgi segmen segmen gris terrh tupun pnh-pnh di rung- tu rung-; rh pnh menentukn rh vektor dn pnjng pnh menytkn besrny Ekor pnh disebut titik wl (initil point) dri vektor, dn ujung pnh dinmkn titik terminl (terminl point) B A () (b) Gmbr Pd gmbr, titik wl vector v dlh A d titik terminlny dlh B, mk dituliskn v = AB
2 Vektor vektor yng mempunyi pnjng dn rh yng sm, seperti pd gmbr b disebut ekivlen Untuk menuliskn pnjng vektor v digunkn notsi v Opersi opersi pd vector Penjumlhn Vektor Ad metode yng dpt digunkn untuk menjumlhkn buh vektor Metode Jjrn Genjng b +b Gmbr Vektor hsil (resultnt) yitu + b diperoleh dri digonl jjrn genjng yng dibentuk oleh vektor dn b setelh titik wl dn titik khir ditemptkn berimpit Metode Segitig b +b b +b Gmbr
3 Resultn diperoleh dengn menemptkn titik wl slh stu vektor pd titik ujung vektor yng lin, mk resultnny dlh vektor bertitik wl di titik wl dn bertitik ujung di titik ujung b Cttn : Penjumlhn vektor bersift komuttif, + b = b + Metode Segitig bik sekli digunkn untuk menjumlhkn lebih dri vektor Mislny + b + c + d + e, mk resultnny dlh vektor dengn titik wl di titik wl vektor dn bertitik ujung di titik ujung vektor e Pengurngn vektor dn b dlh b = + (-b) b Perklin Sklr Jik k dlh sutu sklr bilngn riil, sutu vektor, mk perklin sklr k menghsilkn sutu vektor yng pnjngny k kli pnjng dn rhny sm dengn rh bil k positif tu berlwnn rh bil k negtif Bil k = mk k = disebut vektor nol, yitu vektor yng titik wl dn titik ujungny berimpit - Gmbr 4
4 Susunn Koordint Rung-n Rung dimensi stu (R ) R O P E A Gmbr 5 Titik O mewkili bilngn nol, titik E mewkili bilngn Ditulis O(), E(), P( 5 ) rtiny P mewkili bilngn 5 dn kit letkkn P sehingg OP = 5 stun ke rh E (rh positif) b Rung dimensi du (R ) Setip psngn bilngn riil (koordint titik) dpt diwkili oleh sebuh titik pd sutu bidng rt, yng membentuk susunn koordint di dlm rung dimensi du, ditulis R X D A(,) E B(,) o E C X Gmbr 6 4
5 c Rung dimensi tig (R ) X C B(,,) X A D X Gmbr 7 d Rung dimensi n (R n ) Secr umum untuk R n dimn n dlh bilngn bult positif, sutu titik di dlm R n dinytkn sebgi n-tupel bilngn riil Mislny titik X(,,, n ) 4 Vektor di dlm Rung R n Lebih dhulu kit pndng sutu susunn koordint di R Sutu vektor disebut stun bil pnjngny = 5
6 Kit mbil sekrng vektor stun : e = OE yng titik wlny O(,) dn titik ujungny dlh E (,) e = OE yng titik wlny O(,) dn titik ujungny dlh E (,) Kemudin kit tulis e = e + e e = e + e Yng selnjutny penulisn itu disingkt dengn e = [,] e = [,] Sekrng pndng vektor yng titik wlny O(,) dn titik ujungny titik A(, ) Vektor disebut vektor posisi dri titik A e A(, ) e e e Gmbr 8 Bilngn bilngn, disebut komponen komponen dri Pnjng vektor dlh + Secr umum untuk vektor p yng titik wlny P(p, p ) dn titik ujungny di Q(q, q ) : 6
7 PQ = (q p ) e + (q p ) e = [(q p ), (q p )] Kesimpuln (untuk R n ): Vektor posisi dri titik A(,,, n ) dlh OA = [,,, n ] Vektor bertitik wl di P(p, p,, p n ) dn bertitik ujung di Q(q, q,, q n ) dlh PQ = [q p, q p,, q n p n ] Pnjng vektor = [,,, n ] dlh = n Jrk titik P(p, p,, p n ) dn Q(q, q,, q n ) dlh pnjng vektor PQ yitu : PQ = ( q p) + ( p q ) + + ( p n qn ) 4 Vektor vektor stun dri susunn koordint dlh e = [,,,,], e = [,,,,], e = [,,,,], dst Ltihn : Crilh komponen komponen vektor yng bertitik wl di P dn terminl di Q P(,5) dn Q(,8) b P(6,5,8) dn Q(8, -7, -) Crilh vektor yng bertitik wl P(, -, 4) yng mempunyi rh seperti v = [7, 6, -] 7
8 Crilh vektor yng bertitik terminl Q(,, -7) yng mempunyi rh berlwnn dengn v = [-, 4, -] 4 Mislkn P dlh titik (,, -) dn Q dlh titik (7, -4, ) Crilh titik tengh dri segmen gris yng menghubungkn P dn Q b Crilh titik pd segmen gris yng menghubungkn P dn Q yng 4 dri P ke Q 5 Hitunglh pnjng v bil v = [, 4] b v = [-8, 7, 4] 6 Hitunglh jrk ntr P dn Q bil P(,) dn Q(7,8) b P(,, ) dn Q(6, -7, ) 5 Beberp Dlil pd Opersi Vektor Untuk setip vektor = [,,,, n ], b = [b, b, b,, b n ], c=[c, c, c,, c n ] R n, dn m, k dlh sklr sklr, mk berlku : () + b = b + () ( + b) + c = + (b + c) () k( + b) = k + kb (4) + = (5) + (-) = (6) (k + m) = k + m (7) (km) = k(m) = m(k) 6 Dot Product (Hsil Kli Titik) Definisi Bil v dn w dlh vektor, dn θ dlh sudut ntr v dn w ( θ π) 8
9 Mk hsil kli titik (dot product) v w didefinisikn dengn : vw = v w cosθ jik v dn w () jik v = tu w = z P(v, v, v ) θ θ Q(w, w, w ) y Gmbr 9 Perhtikn gmbr 9 di ts Jik v =(v, v, v ) dn w = (w, w, w ) dlh vektor tk nol Dn θ dlh sudut ntr v dn w, mk hokum cosinus menghsilkn : PQ = v + w v w cos θ () Kren PQ = w v mk dpt () dpt dituliskn kembli sebgi : v w cos θ = v + w - w v v w cos θ = ( v + w - w v ) Atu v w = ( v + w - w v ) Dengn mensubstitusikn v = v + v + v dn w = w + dn w v = ( w v) + ( w v ) + ( w v Mk setelh disederhnkn kn diperoleh : w + ) w 9
10 v w = v w + v w + v w Jik v dn w bukn vektor nol, mk persmn () dpt ditulis dengn Cos θ = v w v w Contoh Dikethui vektor v = (, -, ) dn w=(,, ) Crilh vw dn tentukn sudut ntr v dn w Jwb : v w = ()() + (-)() + ()() = + = v = = 6 w = = 6 Jdi Cos θ = =, mk sudut ntr v dn w dlh 6 o 6 7 Cross Product (Hsil Kli Silng) Dlm bnyk penerpn vektor pd bidng geometri, fisik, dn teknik, kit perlu membentuk vektor di rung- yng tegk lurus dengn vektor lin yng diberikn Definisi Jik v =(v, v, v ) dn w = (w, w, w ) dlh vektor vektor di Rung-, mk hsil kli silng (cross product) v w dlh vektor yng didefinisikn oleh
11 v w = (v w v w, v w v w, v w v w ) tu dlm notsi determinn v w = v w v v, w w v v, w w v w Contoh Crilh u v dimn u = (,, -) dn v=(,, ) Jwb : u v =,, 7, 6 = ( ), Teorem Jik v dn w dlh vector dlm Rung-, mk v (v w) = v (v w) = v w = v w (vw) (Identits Lgrnge) Jik θ dlh sudut di ntr v dn w, mk vw = v w cos θ, sehingg Identits Lgrnge dpt dituliskn kembli sebgi : Jdi v w = v w (vw) = v w - ( v w cos θ) = v w - v w cos θ = v w ( - cos θ) = v w sin θ
12 v w = v w sin θ w w sin θ v v Jdi lus A dri jjrn genjng di ts diberikn oleh A = v w sin θ = v w 8 Persmn Gris LUrus dn Bidng Rt Gris Lurus A B X O g Gmbr 6 Mislkn titik A(,, ) dn B(b, b, b )
13 Mk OA = [,, ] dn OB = [b, b, b ] dn AB = [b -, b -, b - ] Untuk setip titik sebrng pd g berlku AX = λab Jels OX = OA + OA + λ AX AB = Atu [,, ] = [,, ] + λ [b -, b -, b - ] () Persmn () di ts disebut persmn vektoris gris lurus yng mellui titik A(,, ) dn B(b, b, b ) Vektor dri AB (tu vektor lin yng terletk pd g, dengn kt lin, keliptn AB ) disebut vector rh gris lurus tersebut Jdi bil gris lurus mellui titik A(,, ) dengn vector rh _ = [, b, c], mk persmnny dlh : [,, ] = [,, ] + λ [, b, c] (4) Persmn (4) dpt ditulis menjdi : = + λ b = + λ b = + λ b yng disebut dengn persmn prmeter gris lurus Kemudin bil, b, c, λ kit eliminsikn dri persmn prmeter di ts, diperoleh :
14 λ = ( ) = ( ) b = ( ) c Merupkn persmn linier gris lurus mellui titik A(,, ) dengn vektor rh [, b, c] b Bidng Rt Q P R O Gmbr 7 Misl dikethui titik P(p, p, p ), Q(q, q, q ) dn R(r, r, r ) pd sebuh bidng rt seperti di ts Mk PQ = [q -p, q -p, q -p ] PR = [r -p, r -p, r -p ] Untuk setip titik pd bidng, berlku Jels dri gmbr OX = OP + PX PX = λ PQ + μ PR 4
15 Atu = OP + λ PQ + μ PR [,, ] = [p, p, p ] + λ [q -p, q -p, q -p ] + μ [r -p, r -p, r -p ] Adlh persmn vektoris bidng yng mellui titik Kedu vektor PQ dn PR dlh vektor rh bidng Ltihn : Tentukn : b bil = [, -, 6] dn b = [8,, -] b Jrk A(, 4, ), B(-, -, ) c Jrk vektor = [, 7] dn b = [6, -5] Tentukn k supy = [, k, -, 5] mempunyi pnjng 9 b Berp sudut ntr = [,,, 4] dn b = [,,, ] c Tentukn k supy = [, k, -] tegk lurus b = [4, -k, ] Crilh u v untuk u = [-,, ] dn v = [4,, -5] b u = [, ] dn v = [6, -8] 4 Crilh sudut ntr u dn v pd sol () 5 Mislkn u = [, -, ], v = [,, 7] dn w = [, 4, 5], hitunglh v w b u (v w) c (u v) w d (u v) (v w) d u (v w) f (u v) w 6 Tentukn persmn vektoris dri gris lurus = 4 = - + = 4 + 5
16 b Tentukn persmn bidng rt yng mellui (,,) dn gris lurus g : [,, ] = [,,] + λ [,, ] c Tentukn persmn bidng rt yng mellui gris lurus g : [, y, z] = [,, ] + λ [4, 5, 6] sert sejjr dengn gris lurus h : [, y, z] = [7, 8, ] + λ [,, ] 6
17 BAB II RUANG VEKTOR Rung Vektor Umum Definisi Mislkn V sebrng himpunn bend yng du opersiny kit definisikn yitu penjumlhn dn perklin dengn sklr (bilngn riil) Penjumlhn tersebut kit phmi untuk mengsosisikn sebuh turn dengn setip psng bend u dn v dlm V, yng mengndung elemen u + v, yng kit nmkn jumlh u dn v, dengn perklin sklr kit rtikn setip bend u pd V yng mengndung elemen ku, yng dinmkn perklin sklr u oleh k Jik semu ksiom berikut dipenuhi oleh semu bend u, v, w pd V dn oleh semu sklr k dn l, mk kit nmkn V sebuh rung vektor dn bend bend pd V kit nmkn vektor : () Jik u dn v dlh bend bend pd V kit nmkn vektor () u + v = v + u () u + (v + w) = (u + v) + w (4) Ad vektor di V sehingg + u = u + = u untuk semu u di V (5) Untuk setip u di V, terdpt u sehingg u + (-u) = (-u) + u = (6) Jik k dlh sebrng sklr dn u dlh sebrng vektor di V, mk ku berd di V (7) k(u + v )= ku + kv (8) (k + l)u = ku + lu (9) k(lu) = l(ku) () u = u 7
18 SubRung (subspce) Definisi Subhimpunn W dri sebuh rung vektor V disebut sub rung (subspce) V jik W itu sendiri dlh rung vektor di bwh penjumlhn dn perklin sklr yng didefinisikn pd V Vektor yng Bebs Linier dn Tk Bebs Linier Definisi Himpunn m buh vektor (u, u, u m ) disebut tk bebs linier (linerly dependent) bil terdpt sklr sklr λ, λ,, λ m yng tidk semuny nol sedemikin hingg (u, u, u m ) Seblikny himpunn (u, u, u m ) disebut bebs linier (linerly independent) jik λ u + λ u + + λ m u m = hny dipenuhi oleh λ = λ = = λ m = Cttn : Jik m=, mk : Bil u = (vektor nol), kn tk bebs linier, kren λu = λ = terpenuhi jug untuk λ b Bil λ, kn bebs linier kren λu= hny dipenuhi oleh λ = Jik dlm himpunn terdpt vektor, mislny {u, u,,, u m ) mk himpunn itu tk bebs linier, λ u + λ u + + λ i + + λ m u m = dipenuhi jug oleh λ I JIk u dn v dlh vektor yng berkeliptn, u = αv, mk merek tk bebs linier Sebb u = αv u - αv =, rtiny terdpt λ pd λ v + λ u = 8
19 4 Kombinsi Linier Definisi Sutu vektor v diktkn kombinsi linier dri vektor vektor (u, u, u m ) bil terdpt sklr sklr λ, λ,, λ m sedemikin hingg v = λ u + λ u + + λ m u m Contoh = [,, ], b = [,, ], c = [,, 5] Kit hendk menytkn sebgi kombinsi linier dri b dn c Kit hitung λ, dn λ yng memenuhi [,, ] = λ [,, ] + λ [,, 5] = λ + λ = λ = λ + 5 λ Dengn substitusi, diperoleh λ = - dn λ = Jdi penulisn yng dimint dlh = -b + c 5 Arti Kombinsi Linier Secr Ilmu Ukur () Klu v kombinsi linier dri sutu vektor u, yitu v = λu yng mn v dlh keliptn dri u dengn gris pembwny sm (tu sejjr), v dn u disebut koliner (segris) () v kombinsi linier dri vektor u dn u, yitu v = λ u + λ u mk v dlh digonl jjrn genjng yng sisi sisiny λ u dn λ u u dn u disebut koplnr (sebidng) () v kombinsi linier dri vektor u, u dn u, yng tidk sebidng, yitu v = λ u + λ u + λ u mk v dlh digonl prlelepipedum yng sisi sisiny λ u, λ u dn λ u 9
20 6 Dimensi dn Bsis Definisi Jik V dlh sebrng rung vektor dn S = {v, v,, v r } merupkn himpunn berhingg dri vektor vektor pd S, mk S disebut bsis untuk V jik : (i) S bebs linier (ii) S merentng V Definisi Dimensi sebuh rung vektor V yng berdimensi berhingg didefinisikn sebgi bnykny vektor pd bsis untuk V Contoh Tentukn dimensi dri rung vektor yng dibentuk oleh : (i) p = [, -,, ] dn q = [, -4, 5, ] (ii) u = [5, 7,, 4] dn v = [, 4,, 8] Jwb : (i) (ii) Kedu vektor pembentuk tidk berkeliptn, jdi sistem pembentuk bebs linier Berrti dimensi = Kedu vektor berkeliptn Vektor u mupun v, jdi keduny merupkn sistem pembentuk yng bebs linier Berrti dimensi =
21 Ltihn: Tentukn dimensi dn bsis dri rung vektor yng dibentuk oleh : (i) = [,, ], b= [,, 5], c = [5,, 4] (ii) p = [,, ], q = [, 4, 4], r = [,, ] (iii) u = [,, ], v = [,, ], w = [,, ] Apkh himpunn himpunn vektor ini merupkn bsis R-? (i) [,, ], [, -, ] (ii) [,, ], [,, ], [,, ] (iii) [,, ], [,, 5], [5,, 4] Dikethui L dibentuk oleh p = [,, ], q= [,, ], dn r = [ 4, -, ] Ditny : (i) Nili supy L berdimensi (ii) Nili y supy vektor = [, -y, 4] L{p,q,r} (iii) Koordint di ts reltive terhdp bsis {p,q}
22 BAB III M A T R I K Pengertin Mtrik dlh himpunn sklr yng disusun secr empt persegi pnjng (menurut bris dn kolom) Sklr sklr itu disebut elemen mtrik Untuk btsny bisny digunkn: ( ), [ ], Notsi Mtrik Mtrik diberi nm dengn huruf besr Secr lengkp ditulis mtrik A=( ij ), rtiny sutu mtrik A yng elemen elemenny dlh ij dimn inde i menunjukkn bris ke-i dn indeks ke j menunjukkn kolom ke j Sehingg bil mtrik disusun secr A (mn) = (ij), mn disebut ordo (ukurn) dri mtrik A Opersi pd Mtrik Penjumlhn mtrik Syrt : ukurn mtrik hrus sm Jik A = ( ij ) dn B = (b ij ), mtrik berukurn sm, mk A + B dlh sutu mtrik C = (c ij ) dimn c ij = ij + b ij untuk setip I dn j Perklin sklr terhdp mtrik
23 Klu λ sutu sklr (bilngn) dn A = ( ij ), mk mtrik λa = (λ ij ), dengn kt lin, mtrik λa diperoleh dengn menglikn semu elemen mtrik A dengn λ Hukum pd penjumlhn dn perklin sclr : Jik A, B, C dlh mtrik berukurn sm, dn λ dlh sklr mk : A + B = B + A (komuttif) (A + B) + C = A + (B+C) (sositif) λ(a + B) = λa + λb (distributif) 4 Sellu d mtrik D sedemikin hingg A + D = B Perklin mtrik Pd umumny mtrik tidk komuttif terhdp opersi perklin : AB BA Pd perklin mtrik AB, mtrik A disebut mtrik pertm dn B mtrik kedu Syrt : Jumlh kolom mtrik pertm = jumlh bris mtrik kedu Definisi : Pnjng A = ( ij ) berukurn (p q) dn B = (b ij ) berukurn (q r) Mk perklin AB dlh sutu mtrik C = (c ij ) berukurn (p r) dimn : cij = i b j + i b j + + iq b qj, untuk setip i =,,,p dn j =,, r
24 Hukum pd perklin mtrik : A(B + C) = AB + AC, dn (B + C) A = BA + CA, memenuhi hukum distributif A(BC) = (AB)C, memenuhi hukum sositif Perklin tidk komuttif, AB BA 4 Jik AB = (mtrik ), yitu mtrik yng semu elemenny dlh =, kemungkinn kemungkinnny dlh : (i) A = dn B = (ii) A = tu B = (iii) A dn B 5 Bil AB = AC belum tentu B = C 4 Trnspose dri sutu mtrik Pndng sutu mtrik A = ( ij ) berukurn (m n) mk trnspose dri A dlh mtrik A T berukurn (n m) yng didptkn dri A dengn menuliskn bris ke i dri A, i =,,,m sebgi kolom ke i dri A T Dengn kt lin : A T = ( ji ) Sift sift mtrik trnspose (A + B) T = A T + B T (A T ) T = A λ(a T ) = (λa) T 4 (AB) T = B T A T 4 Beberp Jenis mtrik Khusus 4
25 Mtrik bujursngkr dlh mtrik dengn jumlh bris = jumlh kolom, sehingg disebut berordo n Brisn elemen,, nn disebut digonl utm dri mtrik bujursngkr A Mtrik nol dlh mtrik yng semu elemenny dlh Mtrik digonl mtrik bujursngkr yng semu elemen di lur digonl utmny 4 Mtrik identits dlh mtrik digonl yng elemen elemen digonl utm dlh 5 Mtrik sklr dlh mtrik digonl dengn semu elemen digonl utmnyny = k 6 Mtrik segitig bwh (lower tringulr) dlh mtrik bujursngkr yng semu elemen di ts digonl utm = 7 Mtrik segitig ts (upper tringulr) dlh mtrik bujursngkr yng semu elemen di bwh digonl utm = 8 Mtrik simetris dlh mtrik yng trnsposeny sm dengn diriny sendiri 9 Mtrik nti simetris dlh mtrik yng trnsposeny dlh negtifny 5
26 Mtrik hermitin dlh mtrik yng bil trnspose hermitinny dlh sm dengn diriny sendiri Mtrik idempoten, nilpotent Bil berlku AA = A = A, mk A diktkn mtrik idempoten Bil A r =, mk A nilpotent dengn inde r (dimn r dlh bilngn bult positif terkecil yng memenuhi hubungn tersebut) 5 Trnsformsi (Opersi) elementer pd bris dn kolom sutu mtrik Yng dimksud dengn trnsformsi elementer pd bris dn kolom sutu mtrik A dlh sebgi berikut : Penukrn tempt bris ke i dn bris ke j ditulis H ij (A) b Penukrn tempt kolom ke i dn kolom ke j ditulis K ij (A) Menglikn bris ke i dengn sklr λ, ditulis H (λ ) i (A) b Menglikn kolom ke j dengn sklr λ, ditulis K (λ ) i (A) Menmbh bris ke i dengn λ kli bris ke j ditulis H ( λ ) ij (A) b Menmbh kolom ke i dengn λ kli kolom ke j ditulis K ( λ ) ij (A) Mislny kit telh mengethui mtrik B sebgi hsil trnsformsi elementer dri A Kit dpt mencri A, disebut invers dri trnsformsi elementer tersebut 6
27 Mtrik ekivlen Du mtrik A dn B diktkn ekivlen (A~B) pbil slh stuny dpt diperoleh dri yng lin dengn trnsformsi trnsformsi elementer terhdp bris dn tu kolom Jik trnsformsi elementerny pd bris sj, mk diktkn ekivlen bris Begitu jug dengn kolom Mtrik Elementer Sebuh mtrik n n disebut mtrik elementer jik mtrik tersebut dpt diperoleh dri mtrik identits n n yitu I n dengn melkukn sebuh opersi bris elementer tunggl 6 Mencri solusi dengn menggunkn eliminsi Guss Jordn Misl dikethui mtrik A dlh mtrik bujursngkr Dn X dlh pemechn bgi AX = dimn AX = dlh bentuk mtrik dri sistem : n n = n n = n + n + + nn n = Jik kit memechknny dengn menggunkn eliminsi Guss Jordn, mk sistem persmn yng bersesuin dengn bentuk eselon bris tereduksi dri mtrik yng diperbesr kn menjdi : = 7
28 8 = n = dn mtrik yng diperbesr tersebut dlh : nn n n n n 7 Mencri invers mtrik Contoh : Cri invers mtrik A = 8 5 Jwb : Pd khir opersi, mtrik dibentuk menjdi [I A - ] dri bentuk sl [A I] 8 5 dengn opersi elementer H ) ( dn H ) ( menjdi
29 9 5 dengn opersi elementer H ) ( menjdi 5 dengn opersi elementer H ) ( menjdi 5 dengn opersi elementer H ) ( dn H ) ( menjdi dengn opersi elementer H ) ( menjdi Jdi invers dri mtrik A dlh
30 LATIHAN: Crilh A + A I, bil A = 4 Tunjukkn bhw A dlh mtrik idempoten, A = Crilh invers dri A = 4 4 Dikethui A = 4 trnsformsi elementer H ( ) Crilh B tersebut, mtrik B dihsilkn dri sederetn,h (), H, K () 4, K () terhdp A 5 Tentukn trnspose hermitin dri : Q = + i + i i sin i π 6 Cri solusi dri persmn linier berikut ini : + + = = = 7
31 7 Pechkn persmn mtrik untuk X dlm msing msing bgin berikut : X = 5 b X = 7 6 5
32 BAB IV D E T E R M I N A N 4 Pengertin Setip mtrik bujursngkr A sellu dikitkn dengn sutu sknlr yng disebut Determinn Sebelum muli dengn yng lebih umum, kit mbil dhulu mtrik A () sebgi berikut : c b d Didefinisikn ; det(a) = c b d = d -bc Contoh : A = 5 5 mk det(a) = 5 5 = 5 5 = - 4 PERMUTASI Definisi : Permutsi himpunn bilngn bilngn bult {,,,n} dlh susunn bilngn bilngn bult ini menurut sutu turn tnp menghilngkn tu mengulngi bilngn bilngn tersebut Contoh 4:
33 Ad 6 permutsi yng berbed dri himpunn {,,} yitu {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,} Bnykny permutsi dpt dihitung dengn fctoril Untuk contoh sol dits! = = 6 Definisi Invers pd sutu permutsi (j, j, j,j n ) dlh dny j k < j i (j k mendhului j i ) pdhl j i < j k (I dn k =,,, n) Contoh 4: Berp bnyk invers yng terdpt pd permutsi {,, 4, }? Ad invers yitu : j i = mendhului j k =, pdhl < j i = 4 mendhului j k =, pdhl < 4 4 DETERMINAN Cr termudh mencri determinn dri mtrik bujursngkr untuk orde yng tidk terllu besr dlh dengn metode SARRUS (-) (-) (-) (+) (+) (+) Contoh 4: = + +
34 = = 5 44 SIFAT SIFAT DETERMINAN det(a) = det(a T ) Tnd determinn berubh jik bris tu kolom ditukr temptny Hrg determinn menjdi λ kli, bil sutu bris / kolom diklikn dengn sklr λ 45 MENGHITUNG DETERMINAN DGN REDUKSI BARIS Metode ini penting untuk menghindri perhitungn pnjng yng terlibt dlm penerpn definisi determinn secr lngsung Theorem : Jik A dlh mtrik segitig n n, mk det(a) dlh hsil kli elemen elemen pd digonl utm, yitu, det(a) = nn Contoh 44 : = () (-) (6) (9) (4) = Contoh 45 : 5 Hitung det(a) dimn A =
35 Jwb : 6 Bris I ditukr dengn bris II ( H ), sehingg menjdi = - 6 = - 5 H (-) = - 5 H (-) 6 5 = - 5 = (-) (-55) 5 = (-) (-55) () = Metode reduksi bris ini sngt sesui untuk menghitung determinn dengn menggunkn komputer kren metode tersebut sistemtis dn mudh diprogrmkn 46 MINOR, EKSPANSI KOFAKTOR, & ATURAN CRAMER Minor ij dlh determinn submtrik yng tetp setelh bris ke i dn kolom ke j dicoret dri A Dinytkn dengn M ij Sedngkn bilngn (-) i+j Mij dinytkn oleh C ij disebut Kofktor Contoh 46 : A = Minor dri elemen = 8 9 = 8 4 = -6 Kofktor dri elemen = (-) 5 (-6) = 6 Perhtikn bhw kofktor dn minor hny berbed pd tndny, yitu C ij = ± M ij Cr cept untuk menentukn pkh 5
36 penggunntnd + tu tnd merupkn penggunn tnd yng menghubungkn C ij dn M ij berd dlm bris ke i dn kolom ke j dri susunn : Mislny C = M, C = -M, C 44 = M 44, C = -M Theorem Determinn mtrik A yng berukurn n n dpt dihitung dengn menglikn elemen elemen dlm sutu bris (tu kolom) dengn kofktor kofktorny dn menmbhkn hsil kli hsil kli yng dihsilkn, yitu setip i n dn j n, mk det(a) = j C j + j C j + + nj C nj (ekspnsi kofktor sepnjng kolom ke j) dn det(a) = i C i + i C i + + in C in (ekspnsi kofktor sepnjng bris ke i) 6
37 Contoh 47 : Det(A) bil A = dlh Dengn menggunkn ekspnsi kofktor sepnjng bris pertm = = ()(-4) ()(-) = - + = - Definisi : Jik A dlh sebrng mtrik n n dn C ij dlh kofktor ij, mk mtrik C C C n C C C n C C C n C n C n disebut mtrik kofktor A C nn Trnspose mtrik ini disebut Adjoin A dn sinytkn dengn dj(a) Jik A dlh mtrik yng dpt diblik, mk : A = det( A) dj(a) 7
38 ATURAN CRAMER Theorem Jik AX = B dlh sistem yng terdiri dri n persmn linier dlm n bilngn tk dikethui sehingg det(a), mk system tesebut mempunyi pemechn unik Pemechn ini dlh : = det( A ), = det( A) det( A ),, n = det( A) det( A n ) det( A) dimn A j dlh mtrik yng didptkn dengn mengntikn elemen- b elemen dlm kolom ke j dri A dengn elemen mtrik B = b b n Contoh 48: Gunkn turn Crmer untuk memechkn + + = = = 8 Jwb : A= 4 6, A = 6 4 6, A = 8 Mk 6 8 6, A = 4 6 = det( A ) 4 = det( A) 44 =, 8
39 = det( A ) 7 8 = =, det( A) 44 = det( A ) 5 8 = = det( A) 44 Ltihn Ltihn Sol : Cri semu minor dn kofktor dri A = Q = dj(a) 5 4, cri : 7 b det(a) c A Crilh hrg,y,z,dn w yng memenuhi susunn persmn linier berikut : + 4y + z + w = + 6y + 5z + w = + 5y + z - w = 4 + 5y + 4z + 4w = 9
40 BAB V TRANSFORMASI LINIER 5 Pengntr Definisi Jik F:V W dlh sebuh fungsi dri rung vektor V ke dlm rung vektor W, mk F disebut trnsformsi linier, jik : (i) F(u+v) = F(u) + F(v), untuk semu vektor u dn v di V (ii) F(ku) = kf(u) untuk semu vektor u di dlm V dn semu sklr k Contoh 5 Misl F:R R dlh sebuh fungsi yng didefinisikn oleh : F(v) = (, +y, -y) Jik u=(, y ) dn v=(, y ) mk u + v = ( +, y + y ) Sehingg, F(u + v) = ( +, [ + ]+[ y + y ], [ + ]-[ y + y ]) = (, + y, - y ) + (, + y, y ) = F(u) + F(v) Demikin jug jik k dlh sebuh sklr, ku = (k, ky ) sehingg F(ku) = (k, k + ky, k - ky ) = k(, + y, - y ) = k F(u) Jdi F dlh sebuh trnsformsi linier Ltihn : Tentukn pkh F linier untuk msing msing ltihn berikut : F(,y) = (, y) F(,y) = (+y, -y) F(, y, z) = (+y, y-4z) 4 F(,y,z) = (, ) 4
41 5 Trnsformsi Linier dri R n R m Mislkn e, e,, e n dlh bsis bku untuk R n dn mislkn A dlh sebuh mtrik m n yng mempunyi T(e ), T(e ),, T(e n ) sebgi vektor vektor kolomny Misl jik T:R R diberikn oleh : Mk T + = T(e ) = T = dn T(e ) = T = Jdi A = dlh mtrik bku untuk T di ts 5 Jenis jenis Trnsformsi Linier bidng Rotsi (Perputrn) Mtrik bku untuk T dlh : cosθ sinθ sinθ cosθ Refleksi Refleksi terhdp sebuh gris l dlh trnsformsi yng memetkn msing msing titik pd bidng ke dlm byngn cerminny terhdp l 4
42 Mtrik bku untuk : refleksi terhdp sumbu y ( yng mengubh y dlh : b refleksi terhdp sumbu ( yng mengubh y dlh : menjdi ) y menjdi ) y c refleksi terhdp gris y = ( yng mengubh y dlh : menjdi y ) Ekspnsi dn kompresi Jik koordint dri msing msing titik pd bidng diklikn dengn konstnt k yng positif dimn k >, mk efekny dlh memperlus gmbr bidng dlm rh Jik < k < mk efekny dlh mengkompresi gmbr bidng dlm rh Disebut dengn ekspnsi (kompresi) dlm rh dengn fktor k k Mtrik bku untuk trnsformsi ini dlh : 4
43 Demikin jug, jik koordint y dri msing msing titik pd bidng diklikn dengn konstnt k yng positif dimn k >, mk efekny dlh memperlus gmbr bidng dlm rh y Jik < k < mk efekny dlh mengkompresi gmbr bidng dlm rh y Disebut dengn ekspnsi (kompresi) dlm rh y dengn fktor k Mtrik bku untuk trnsformsi ini dlh : k 4 Gesern Sebuh gesern dlm rh dengn fktor k dlh trnsformsi yng menggerkkn msing msing titik (,y) sejjr dengn sumbu sebnyk ky menuju kedudukn yng bru ( + ky, y) Mtrik bku untuk trnsformsi ini dlh : k Sebuh gesern dlm rh y dengn fktor k dlh trnsformsi yng menggerkkn msing msing titik (,y) sejjr dengn sumbu y sebnyk k menuju kedudukn yng bru (, y + k) Mtrik bku untuk trnsformsi ini dlh : k Jik dilkukn bnyk sekli trnsformsi mtrik dri R n ke R m secr berturutn, mk hsil yng sm dpt dicpi dengn trnsformsi mtrik tunggl 4
44 Jik trnsformsi - trnsformsi mtrik T () = A, T () = A,,, T n () = A n, Dri R n ke R m dilkukn berurutn, mk hsil yng sm dpt dicpi dengn trnsformsi mtrik tunggl T() = A, dimn A = A k A A Contoh 5 Crilh trnsformsi mtrik dri R ke R yng mul mul menggeser dengn fktor sebesr dlm rh dn kemudin merefleksiknny terhdp y = b Crilh trnsformsi mtrik dri R ke R yng mul mul merefleksiknny terhdp y = dn kemudin menggeser dengn fktor sebesr dlm rh Jwb : ) Mtrik bku untuk gesern dlh A = Dn untuk refleksi terhdp y = dlh A = Jdi mtrik bku untuk gesern yng diikuti dengn refleksi dlh A A = = b) Mtrik bku untuk refleksi yng diikuti dengn gesern dlh A A = = 44
45 45 Dri contoh di ts, perhtikn bhw A A A A Jik T:R R dlh perklin oleh sebuh mtrik A yng puny invers, dn mislkn T memetkn titik (,y) ke titik (, y ), mk ' ' y = A y Dn y = A - ' ' y Contoh 5 Crilh persmn byngn sebuh gris y = + yng dipetkn oleh mtrik A = Jwb : ' ' y = y Dn y = ' ' y = ' ' y Sehingg = y y = - + y Substitusikn ke y = + mk dihsilkn : - + y = ( y ) y = y + 5y = 4 + y =
46 46 Aljbr Liner
47 47 Ltihn Crilh mtrik bkuny T = + b T 4 = Crilh mtrik bku untuk trnsformsi linier bidng T:R R yng memetkn titik (,y) ke dlm : () Refleksi terhdp gris y = - (b) Refleksi mellui titk pust (c) Proyeksi ortogonl pd sumbu (d) Proyeksi ortogonl pd sumbu y Gmbrkn byngn bujursngkr dengn titik titik sudut (,), (,), (,), dn (,) di bwh perklin oleh A = 4 Crilh persmn byngn gris y = -4 + di bwh perklin oleh A = 4
48 BAB VI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Definisi Jik A dlh mtrik n n, mk vektor tk nol di dlm R n dinmkn vektor eigen dri A jik A dlh keliptn sklr dri, yitu, A = λ untuk sutu sklr λ Sklr λ disebut nili eigen dri A dn diktkn vektor eigen yng bersesuin dengn λ Contoh 6 Vektor = dlh vektor eigen dri A = 8 Yng bersesuin dengn nili λ = kren A = 8 = = 6 Untuk mencri nili eigen mtrik A yng berukurn n n mk kit menulisknny kembli A = λ sebgi A = λi (λi A) = Dn persmn di ts kn mempunyi penyelesin jik det(λi A)= (6) Persmn (6) disebut persmn krkteristik A 48
49 Contoh 6 Crilh nili nili eigen dri A = Jwb : Kren λ λi A = λ - = λ Det(λI A) = (λ-) λ - (-) = = λ - λ + = λ =, λ = Jdi nili nili eigen dri A dlh λ = dn λ = Ltihn : 9 Crilh persmn krkteristik dri mtrik A = 4 4 Crilh persmn krkteristik dri mtrik A = 49
50 DAFTAR ISI Kt Pengntr i Dftr Isi ii BAB I Pengertin Opersi opersi pd vector Susunn Koordint Rung-n 4 4 Vektor di dlm Rung R n 5 5 Beberp Dlil pd Opersi Vektor 8 6 Dot Product (Hsil Kli Titik) 8 7 Cross Product (Hsil Kli Silng) 8 Persmn Gris LUrus dn Bidng Rt Gris Lurus b Bidng Rt 4 BAB II 7 Rung Vektor Umum 7 SubRung (subspce) 8 Vektor yng Bebs Linier dn Tk Bebs Linier 8 4 Kombinsi Linier 9 5 Arti Kombinsi Linier Secr Ilmu Ukur 9 6 Dimensi dn Bsis BAB III Pengertin Notsi Mtrik Opersi pd Mtrik 4 Beberp Jenis mtrik Khusus 4 5 Trnsformsi (Opersi) elementer pd bris dn kolom sutu mtrik 6 6 Mencri solusi dengn menggunkn eliminsi Guss Jordn 7 7 Mencri invers mtrik 8 BAB IV 4 Pengertin 5
51 4 PERMUTASI 4 DETERMINAN 44 SIFAT SIFAT DETERMINAN 4 45 MENGHITUNG DETERMINAN DGN REDUKSI BARIS 4 46 MINOR, EKSPANSI KOFAKTOR, & ATURAN CRAMER 5 BAB V 4 5 Pengntr 4 5 Trnsformsi Linier dri R n R m 4 5 Jenis jenis Trnsformsi Linier bidng 4 BAB VI 48 Dftr Pustk 48 5
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
Lebih terperinciVEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com
VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti
Lebih terperinciVektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
Lebih terperinciBab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
Lebih terperinciM A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
Lebih terperinciBAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
Lebih terperinciDETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
Lebih terperincib. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ - Panjang vektor a dinotasikan a atau PQ
BAB 4 VEKTOR Stndr Kompetensi: 3. Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi Kompetensi Dsr: 3.4 Menggunkn sift-sift dn opersi ljbr vktor dlm pemechn mslh 3.5 Menggunkn sift-sift dn opersi perklin
Lebih terperincidet DEFINISI Jika A 0 disebut matriks non singular
DETERINAN DEFINISI Untuk setip mtriks persegi (bujur sngkr), d stu bilngn tertentu yng disebut determinn Determinn dlh jumlh semu hsil kli elementer bertnd dri sutu mtriks bujur sngkr. Disimbolkn dengn:
Lebih terperinciMenerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
Lebih terperinci3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi
BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i
Lebih terperinciPERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS
PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn
Lebih terperinciMatriks. Pengertian. Lambang Matrik
triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn
Lebih terperinciKerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
Lebih terperinciBAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
Lebih terperinciUniversitas Esa Unggul
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS BHAN KULIAH DRA SURYARI PURNAMA, MM Universits Es Unggul Minggu I Mtriks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : Pendhulun Mtriks : A. Pengertin
Lebih terperinciFISIKA BESARAN VEKTOR
K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.
Lebih terperinciMatriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
Lebih terperinciBAB III MATRIKS
BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn
Lebih terperinciA. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS
ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom
Lebih terperinciMATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
MTRIKS gustin Prdjningsih, M.Si. Jurusn Mtemtik FMIP UNEJ tinprdj.mth@gmil.com DEFINISI MTRIKS Sutu dftr bilngn-bilngn rel tu kompleks terdiri ts m bris dn n kolom, m dn n bilngn bult positip disebut mtriks
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
Lebih terperinciAljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor)
Aljbr Liner Pertemun 12_14 Aljbr Vektor (Perklin vektor) Pembhsn Perklin vektor dengn sklr Rung vektor Perklin Vektor dengn Vektor: Dot Product - Model dot product - Sift dot product Pendhulun Penmbhn
Lebih terperinciBAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
Lebih terperinciMinggu ke 3 : Lanjutan Matriks
inggu ke : Lnjutn triks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : triks :. Trnsformsi Elementer. Trnsformsi Elementer pd bris dn kolom. triks Ekivlen. Rnk triks B. Determinn.
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn
Lebih terperinciMATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...
MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris
Lebih terperinciA x = b apakah solusi x
MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.
Lebih terperinciE-LEARNING MATEMATIKA
MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 9705 00 00 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn DIPA BLU UNY TA 00 Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor
Lebih terperinci1. Pengertian Matriks
BAB MATRIKS BAB MATRIKS. Pengertin Mtriks. Opersi Mtriks. Trnspose Sutu Mtriks. Kesmn Duh Buh Mtriks. Jenis-Jenis Mtriks. Trnsformsi Elementer 7. Rnk Mtriks . Pengertin Mtriks Mtriks dlh dftr ilngn yng
Lebih terperinciSistem Persamaan Linear Bagian 1
Sistem Persmn Liner Bgin. SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENGANTAR Dlm bgin ini kn kit perkenlkn istilh dsr dn kit bhs sebuh metode untuk memechkn sistem-sistem persmn liner. Sebuh gris dlm bidng xy secr ljbr
Lebih terperinciPENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER)
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER) Dikethui system Persmn Linier x+ x + x = x+ x + x = x+ x + x = dlm entuk mtriks x x x Penyelesin Dengn Aturn Crmer dlh
Lebih terperinciDAFTAR ISI. DAFTAR ISI... iii
DAFTAR ISI DAFTAR ISI... iii BAB I MATRIKS DAN OPERASINYA.... Konsepsi Mtriks.... Opersi Aljbr Mtriks.... Trnspose dri Sutu Mtriks... 5. Beberp Jenis Mtriks Khusus... 5.5 Trnsformsi Elementer... 8.6 Rnk
Lebih terperinciVECTOR DI BIDANG R 2 DAN RUANG R 3. Nurdinintya Athari (NDT)
VECTOR DI BIDANG R DAN RUANG R Nurdininty Athri (NDT) VEKTOR DI BIDANG (R ) DAN DI RUANG (R ) Pokok Bhsn :. Notsi dn Opersi Vektor. Perklin titik dn Proyeksi Ortogonl. Perklin silng dn Apliksiny Beerp
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.
Lebih terperinciErna Sri Hartatik. Aljabar Linear. Pertemuan 3 Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)
Ern Sri Hrttik Aljr Liner Pertemun Aljr Vektor (Perklin vektor-lnjutn) Pemhsn Perklin Cross (Cross Product) - Model cross product - Sift cross product Pendhulun Selin dot product d fungsi perklin product
Lebih terperinci1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
Lebih terperinciMateri IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
Lebih terperinciVEKTOR. Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suatu vektor letaknya bisa di mana saja asalkan besar dan arahnya sama.
-1- VEKTOR PENGERTIAN VEKTOR dlh sutu esrn yng mempunyi nili (esr) dn rh. Sutu vektor dpt digmrkn segi rus gris errh. Nili (esr) vektor dinytkn dengn pnjng gris dn rhny dinytkn dengn tnd pnh. Notsi vektor
Lebih terperincir x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
Lebih terperinciDefinisi Vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah
VEKTOR Definisi Vektor Vektor dlh esrn yng mempunyi esr dn rh Besr vektor rtiny pnjng vektor Arh vektor rtiny sudut yng dientuk dengn sumu X positif Vektor disjikn dlm entuk rus gris errh Gmr Vektor B
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN 9. Definisi Sebuh mtriks bujur sngkr dengn orde n n mislkn A, dn sebuh vektor kolom X. Vektor X dlh vektor dlm rung Euklidin n R yng dihubungkn
Lebih terperinciMATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01
MATERI I : VEKTOR Pertemun-0. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keeptn, gy dn pergesern merupkn ontoh ontoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keeptn
Lebih terperinciIntegral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
Lebih terperinciRUANG VEKTOR (lanjut..)
RUANG VEKTOR (Vector Spce) dn Rung Bgin (Subspce) 8/0/009 budi murtiys ums surkrt RUANG VEKTOR (VECTOR SPACE) Dikethui himpunn V dengn u, v, w V dn opersi i(+)b berlku dintr nggot-nggot t V. Dikethui Field
Lebih terperinciTopik: Matriks Dan Sistem Persamaan Linier
Mt Kulih: Mtemtik Kode: TKF Topik: Mtriks Dn Sistem Persmn Linier MAT Kompetensi : Dpt menerpkn konsep-konsep mtriks dn sistem persmn linier dlm mempeljri konsep-konsep keteknikn pd mt kulih mt kulih progrm
Lebih terperinciCatatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)
Cttn Kulih Mtemtik Ekonomi Memhmi dn Mengnlis ljbr Mtriks (). Vektor dn kr Krkteristik pbil dlh mtriks berordo n n dn X dlh vector n, kn dicri sklr λ R yng memenuhi persmn : X λ X tu ( λi) X gr X (solusiny
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
Lebih terperinciVEKTOR. Vektor vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama dinamakan ekuivalen.
VEKTOR Vektor dlh sesutu yng mempunyi esrn tu pnjng dn rh. Vektor dpt dinytkn ser geometris segi segmen segmen gris terrh tu pnh pnh di rung- tu rung- dengn rh pnh menentukn rh vektor dn pnjng pnh menytkn
Lebih terperinciGEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR
GEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR A. Kurv Bidng: Representsi Prmetrik Sutu kurv bidng ditentukn oleh sepsng persmn prmetrik: x f () t, y f () t t dlm intervl I dengn f dn g kontinu pd intervl I. Secr umum,
Lebih terperinciPertemuan : 1 Materi : Vektor Pada Bidang ( R 2 ), Bab I. Pendahuluan
Pertemun : 1 Mteri : Vektor Pd Bidng ( R 2 ), Bb I. Pendhulun Stndr Kompetensi : Setelh mengikuti perkulihn ini mhsisw dihrpkn dpt : 1. Memhmi kembli pengertin vektor, opersi pd vektor, dn sift-sift opersi
Lebih terperinciCONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier
b I Sistem Persmn Linier I Sistem Persmn Linier TUJUN PEMELJRN: Mhsisw memhmi konsep-konsep tentng sistem persmn linier, eksistensi dn keunikn sistem persmn linier, keunikn sistem persmn linier homogen,
Lebih terperinciMatematika Lanjut 1. Onggo Wiryawan
Mtemtik Lnjut 1 Onggo Wirywn Setip mtriks persegi tu bujur sngkr memiliki nili determinn Nili determinn sklr Mtriks Singulr= Mtriks yng determinnny bernili 0 Determinn & Invers - Onggo Wr 2 Mislkn A sutu
Lebih terperinciVEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA
VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA Pengertin Dsr Vektor merpkn kombinsi dri st besrn dn st rh Vektor dpt dintkn dlm pnh-pnh, pnjng pnh mentkn besrn ektor dn rh pnh mennjkkn rh ektor
Lebih terperinci3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1
Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr
Lebih terperinci1. Introduction. Aljabar Linear dan Matriks Semester Pendek TA 2009/2010 S1 Teknik Informatika. Mata Kuliah: Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom.
1. Introduction Mt Kulih: Aljbr Liner dn Mtriks Semester Pendek TA 9/1 S1 Teknik Informtik Dosen Pengmpu: Heri Sismoro, M.Kom. STMIK AMIKOM YOGYAKARTA Jl. Ringrod Utr Condong Ctur Yogykrt. Telp. 74 8841
Lebih terperinciMODUL 2 DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
MODUL DETERMINN DN INVERS MTRIKS.. Determinn Definisi. (Determinn) Untuk setip mtriks berukurn n x n, yng dikitkn dengn sutu bilngn rel dengn sift tertentu dinmkn determinn, dengn notsi dri determinn mtriks
Lebih terperinci,, % ,, % -0: 0 -0: 0! 2 % 26, &
PERSAMAAN LINIER GAUSS-SIEDEL METHOD Simultneous Liner Equtions Oleh : Purwnto,S.Si Bentuk Umum x + x + 3 x 3 + + n x n = b Sebuh persmn linier dengn : n peubh : x, x, x 3,, x n n konstnt :,, 3,, n Contoh
Lebih terperinciDETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2
Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma
K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn
Lebih terperinci2.Matriks & Vektor (1)
.triks & Vektor () t Kulih: ljbr Liner dn triks Semester Pendek T. / S Teknik Informtik Dosen Pengmpu: Heri Sismoro,.Kom. STIK IKO YOGYKRT Jl. Ringrod Utr Condong Ctur Yogykrt. Telp. 7 88 Fx 7-888 Website:
Lebih terperinci3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
. LIMIT DAN KEKONTINUAN . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
Lebih terperinciPROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
Lebih terperinciJarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.
Lebih terperinci3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar
. LIMIT DAN KEKONTINUAN INF8 Klkulus Dsr . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn
Lebih terperinciLIMIT DAN KONTINUITAS
LIMIT DAN KONTINUITAS Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
Lebih terperinci4. VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3
Diktt Aljbr Liner Vektor di Rng dn Rng 4. VEKTOR-VEKTOR DI RUANG- DAN RUANG- 4.. PENGANTAR DEFINISI 4.: VEKTOR Vektor dlh st besrn yng memiliki besr dn rh. Vektor yng memiliki pnjng dn rh yng sm diktkn
Lebih terperinci4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu
Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin
Lebih terperinci6. Himpunan Fungsi Ortogonal
6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn
Lebih terperinciBAB I MATRIKS. Aljabar matriks merupakan salah satu cabang matematika yang. dikembangkan oleh seorang matematikawan Inggris Arthur Cayley ( ).
BAB I MATRIKS Aljbr mtriks merupkn slh stu cbng mtemtik yng dikembngkn oleh seorng mtemtikwn Inggris Arthur Cyley (8 89) Mtriks berkembng kren pernnny dlm cbng-cbng Mtemtik linny, mislny bidng ekonomi,
Lebih terperinci1. Matriks dan Jenisnya Definisi: Matrik A berukuran m x n ialah suatu susunan angka dalam persegi empat ukuran m x n, sebagai berikut:
triks dn opersiny by yudiri ATRIKS DAN OPERASINYA. triks dn Jenisny Definisi: trik A berukurn x n ilh sutu susunn ngk dl persegi ept ukurn x n, sebgi berikut: A = n n n triks berukurn (ordo) x n. tu A
Lebih terperinciRUANG VEKTOR REAL. Kania Evita Dewi
RUANG VEKTOR REAL Kni Eit Dewi Definisi Vektor dlh besrn yng mempnyi rh. Notsi: Notsi pnjng ektor: k j i ˆ ˆ ˆ Vektor stn Vektor dengn pnjng t norm sm dengn st Opersi ektor Penjmlhn ntr ektor Mislkn dn
Lebih terperinciDIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN I) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd
DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN I) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN MARET MUQADIMAH Alhmdulillh penyusun ucpkn ke hdirt
Lebih terperincididefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
Lebih terperinciALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum
LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.
Lebih terperinciMODEL POTENSIAL 1 DIMENSI
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI 1. Sumur Potensil Tk Berhingg Kit tinju prtikel bermss m dengn energi positif, berd dlm sumur potensil stu dimensi dengn dinding potensil tk berhingg dn potensil didlmny nol,
Lebih terperinciIII. LIMIT DAN KEKONTINUAN
KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY III. LIMIT DAN KEKONTINUAN 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi
Lebih terperinciMATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks
MATRIKS A. Pengertin, Notsi dn Bgin Dlm Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri kit sering menemui dt tu informsi dlm entuk tel, seperti tel pertndingn sepkol, tel sensi kels, tel hrg tiket keret pi dn seginy..
Lebih terperinciPengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik :
MATRIKS Segi gmrn wl mengeni mteri mtriks mri kit ermti urin erikut ini. Dikethui dt hsil penjuln tiket penerngn tujun Medn dn Sury dri seuh gen tiket selm empt hri erturut-turut disjikn dlm tel erikut.
Lebih terperinciBab. Vektor. A. Vektor B. Perkalian Vektor. Hasil yang harus Anda capai: menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya.
2 Sumer: Dsr-Dsr Foto Jurnlistik, 2003 esrn yng memiliki esr dn rh diseut esrn vektor. Keceptn merupkn slh stu esrn vektor. Vektor Hsil yng hrus nd cpi: menerpkn konsep esrn Fisik dn pengukurnny. Setelh
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
Lebih terperinciMETODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3
METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3 Glng Ismu Hndoko 1, M Ntsir 2, Sigit Sugirto 2 1 Mhsisw Progrm S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm
Lebih terperinciVEKTOR. seperti AB, AB, a r, a, atau a.
VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor. 3. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn rn genng, dn turn poligon. 4. Menghitung
Lebih terperinciANALISIS NUMERIK. Inter polasi. SPL simultan. Akar Persama. linear
ANALISIS NUMERIK Inter polsi SPL simultn Akr Persm n Non liner INTERPOLASI Tujun Interpolsi bergun untuk menksir hrg-hrg tengh ntr titik dt yng sudh tept. Interpolsi mempunyi orde tu derjt. Mcm Interpolsi
Lebih terperinciHandout Mata Kuliah: Aljabar Matriks (2 SKS) Dosen: Dra. Hj Ade Rohayati, M. Pd.
Hndout Mt Kulih: Aljbr Mtriks ( SKS) Dosen: Dr. Hj Ade Rohyti, M. Pd. No. Indiktor Urin Mteri. menyebutkn definisi mtriks.. membut beberp contoh mtriks dengn menggunkn notsi yng tept.. menentukn ordo dri
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
SISTEM BILANGAN REAL Purnmi E. Soewrdi Direktort Peminn Tendik Dikdsmen Ditjen GTK Kementerin Pendidikn dn Keudyn Himpunn Bilngn Asli (N) Bilngn sli dlh ilngn yng pertm kli dikenl dn digunkn oleh mnusi
Lebih terperinciBilangan. Bilangan Nol. Bilangan Bulat (Z )
Bilngn Bilngn Asli (N) (,2,, ) Bilngn Nol (0) Bilngn Negtif (,, 2, ) Bilngn Bult (Z ) Bilngn Pechn ( 2 ; 5 ; 5%; 6,82; ) 7 A. Bilngn Asli (N) Bilngn Asli dlh himpunn bilngn bult positif (nol tidk termsuk).
Lebih terperinciTIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2009
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 009 Bidng Mtemtik Wktu :,5 Jm DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT
Lebih terperinciPENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6y y 8y. Dikethui R dn. Temukn nili y. y y 8y 6 Solusi: 6y y 8y y y 8y 6 6y y 8y 8y y 6 y 8 0 y y y 0 y y y 0 ( y ) ( y ) 0 y y 8y 6 ( y )(y ) 0 y 0tu y 0
Lebih terperinciBAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR
A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn
Lebih terperinciCHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS
CHAPTER EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS Indiktor (penunjuk): Mengubh bentuk pngkt negtif ke pngkt positif dn seblikny. (4 jp) A. EXPONENTS. Definition (ketentun): Positive Integers Exponents n = x x...
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar belakang
BAB I PENDAHULUAN A. Ltr belkng Bnyk orng yng bernggpn bhw Mtemtik itu rumit, kren lsn itulh bnyk orng yng menghindri Mtemtik. Pdhl Mtemtik dpt kit jumpi di dlm kehidupn sehri-hri, dn mu tidk mu kit psti
Lebih terperinciIntegral Kompleks (Bagian Kesatu)
Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl
Lebih terperinciINTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45
INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6
Lebih terperinci