Modul 1. Pendahuluan

Transkripsi

1 Modul Pendhulun.. Pengertin Mtriks Definisi. (Pengertin Mtriks) Mtriks didefinisikn sebgi sutu susunn bilngn berbentuk segiempt. Bilngnbilngn yng terdpt dlm susunn itu disebut elemen mtriks tersebut. Secr umum, mtriks dpt dituliskn sebgi berikut : m m Atu dpt dituliskn sebgi : ij n n mn Penulisn mtriks dinytkn dengn huruf kpitl. Mislny A.B,C. Contoh. Nili dri mhsisw mt kulih klkulus dlh 55, 8 dn 75. Nili mtkulih Pengntr Metode Sttistik dlh 4, 7 dn 9. Sedngkn nili mtkulih Bhs Indonesi dlh 8, 85 dn 9. Mk nili-nili tersebut dpt dinytkn dlm bentuk mtriks A sebgi berikut : A Contoh.. Dri susunn bilngn berikut mnkh yng diktkn sutu mtriks? i. 4 iv. Definisi. (Ukurn Mtrik ) ii. iii. v. e.5 Ukurn mtrik dlh bnykny bris dn bnykny kolom yng terdpt di dlm mtrik. Secr umum, mtrik A yng mempunyi jumlh bris m dn jumlh kolom n

2 mempunyi ukurn m x n. Angk pertm menunjukkn bnykny bris dn ngk kedu menunjukkn bnykny kolom. Contoh. Dlm contoh., tentukn ukurn mtriks Jwb : (i) mtriks yng berukurn x, (ii) mtriks ukurn x 4, (iii) mtriks ukurn x dn (iv) mtriks ukurn x. Sebuh mtriks dengn hny stu kolom disebut mtriks kolom (vektor kolom), dn sebuh mtriks dengn hny stu bris disebut mtrik bris (vektor bris). Pd contoh dits, (ii) merupkn mtrik bris dn (iv) merupkn mtrik kolom. Definisi.. (Kesmn Mtrik ) Du mtrik diktkn sm jik kedu mtriks mempunyi ukurn yng sm dn entrientri yng bersngkutn di dlm kedu mtriks sm. Contoh.4 Nili-nili dri du mhsiw D untuk mt kulih Mtriks dn PMS pd kels prlel A, B dn C dinytkn dlm bentuk metriks sebgi berikut : 8 8 B = 4 C = 5 4 Mnkh dri mtriks-mtriks tersebut yng dpt diktkn sm.. Opersi Dsr Mtriks Definisi.4. ( Penjumlhn Mtriks) Penjumlhn dri du mtriks A dn B dlh menmbhkn bersm-sm entri yng bersngkutn di dlm kedu mtrik tersebut. Yitu : A + B = ij b ij Du mtriks dpt dijumlhkn jik ukurn du mtriks tersebut sm. Contoh.5 Dikethui mtriks-mtriks sebgi berikut :

3 4 7 B = C = Tentukn penjumlhn : i. A + B ii. A + C iii. B + C Jwb : 4 5 i). A + B = 7 ii). A + C = tidk terdefinisi, kren ukurn mtriks tidk sm iii). B + C = tidk terdefinisi, kren ukurn mtriks tidk sm Definisi.5. (Selisih Mtriks) Selisih du mtriks A B dlh mtriks yng diperoleh dengn mengurngkn nggot A dengn nggot B. A B = ( ij b ij ) Selisih du mtriks d jik kedu mtriks mempunyi ukurn yng sm. Contoh.6 Dri contoh.4 tentukn selisih mtriks : i. A - B ii. A - C iii. B - C Jwb : 6 5 i).a B = 4 ii). A - C = tidk terdefinisi, kren ukurn mtriks tidk sm iii). B - C = tidk terdefinisi, kren ukurn mtriks tidk sm

4 Definisi.6 (Perklin dengn Sklr) Jik A dlh sutu mtriks dn c dlh sklr, mk hsil kli (product) ca dlh mtriks yng diperoleh dengn menglikn msing-msing entri dri A oleh c. Dlm notsi mtriks : c (c ij ) Contoh.7 Jik dikethui mtriks A dn sklr c sebgi berikut, tentukn ca 4 c = Jwb : c 6 Definisi.7 (Perklin Mtriks) Jik A mtriks ukurn m x r dn B mtriks ukurn r x n, mk hsil kli AB dlh mtriks ukurn m x n, yng nggot-nggotny didefinisikn sebgi berikut : Untuk mencri entri dlm bris i dn kolom j dri AB, pilihlh bris i dri mtriks A dn kolom j dri mtriks B. Klikn entri-entri yng bersesuin dri bris dn kolom tersebut, kemudin tmbhkn hsil kli yng dihsilkn. Contoh.8 Dikethui mtriks A dn B sebgi berikut, tentukn perklin AB : B = Definisi perklin AB mensyrtkn bhw jumlh kolom fktor pertm A sm dengn jumlh bris fktor kedu B. Jik syrt ini tidk terpenuhi, mk hsil kliny tidk terdefinisi. Sebgi contoh mtriks A, B, dn C dengn ukurn sebgi berikut : A x 4 B 4 x 7 C 7 x Mk : AB terdefinisi dn merupkn mtriks dengn ukurn x 7 CA terdefinisi dn merupkn mtriks dengn ukurn 7 x 4 4

5 BC terdefinisi dn merupkn mtriks dengn ukurn 4 x Sedngkn AC, CB dn BA semuny tk terdefinisi. Definisi.8 (Trnspose) Jik A dlh sebrng mtriks berukurn m x n, mk trnspoes A dinytkn dengn A T didefinisikn sebgi mtriks n x m yng didptkn dengn mempertukrkn bris dn kolom dri A, yitu kolom pertm dri A T dlh bris pertm dri A, kolom kedu dri A T dlh bris kedu dri A, dn seterusny. Contoh.9 Tentukn trnspos dri mtriks-mtriks berikut : B = C = 5 Sift-sift Trnspose Jik α dn β dlh sklr, A & B mtriks, mk : T T i. ii. A A A T T = A T T T iii. A B A T T T iv. AB B A B.. Sift-Sift Mtriks Dlm opersi penjumlhn berlku hukum-hukum sebgi berikut :. Komuttif A + B = B + A. Asositif A + (B + C) = (A + B) + C. Distributif terhdp perklin sklr k(a + B) = KA + KB dimn k = Sklr. 5

6 Sedngkn untuk opersi perklin berlku hukum-hukum sebgi berikut :. Tidk Komuttif AB BA. Asositif A(BC) = (AB)C. Distributif A(B + C) = AB + AC 4. Distributif terhdp perklin sklr (k + k ) K A + K A k, k = Sklr. 4. Jenis- jenis Mtriks. Mtriks Bujursngkr Mtriks bujursngkr dlh mtriks yng mempunyi jumlh bris dn jumlh kolom sm, dengn kt lin mtriks yng berukurn n x n. Dn bisny disebut dengn mtriks bujursngkr orde n. Contoh. : Mtriks A dlh mtriks bujursngkr orde-. Mtriks Digonl Mtriks digonl dlh Mtriks bujursngkr dimn semu entri dilur digonl utm dlh nol.. Mtriks Segitig. Mtriks Segitig Bwh nn Mtriks bujursngkr dimn elemen-elemen dits digonl utm bernili nol. 6

7 n n b. Mtriks Segitig Ats nn Mtriks bujursngkr dimn elemen-elemen dibwh digonl utm bernili nol. 4. Mtriks Nol n n nn Mtriks nol dlh mtriks yng semu entriny bernili nol, yng bisny dinotsikn dengn Contoh. : = Sift-sift mtriks nol : i. A + = + A ii. A iii. - A iv. A = 5. Mtriks Identits = Mtriks identits dlh mtriks bujursngkr dimn pd digonl utm bernili dn bernili nol selinny. Mtriks identits bisny dinotsikn dengn I I = 6. Mtriks Simetris Mtriks n x n diktkn mtriks simetris jik A T 7

8 Contoh : B = 6 Sift sift mtriks simetris : Jik A dn B dlh mtriks-mtriks simetris dengn ukurn yng sm, dn jik k dlh sebrng sklr, mk : i. A T simetris ii. A + B dn A B simetris iii. k A dlh simetris Bukti sebgi ltihn 7. Mtriks Idempoten Sutu mtriks bujursngkr A disebut mtriks idempoten jik dn hny jik A Teorem.. Jik A dn B dlh mtriks idempoten, mk berlku sift-sift berikut i. A + B merupkn mtrik idempoten jik AB = B ii. C = AB merupkn mtrik idempoten jik AB = BA iii. I A merupkn mtriks idempoten 8. Mtriks Nilpoten Sutu mtriks bujursngkr yng tidk nol diktkn mtriks nilpoten ts indeks r jik A r = tetpi A r- untuk r >. Contoh : Mtriks A dits merupkn mtriks nilpoten indeks 4 kren : A = Tetpi A 4 =

9 Definisi.9 (TRACE) Jik A dlh sutu mtriks bujursngkr, mk trce A dinytkn dengn tr(a), didefinisikn sebgi jumlh nggot-nggot pd digonl utm A. n ii i tr(a) = Trce tidk terdefinisi jik A bukn mtriks bujursngkr. Contoh.9 Tentukn trce dri mtriks berikut : i). ii). B = iii). C = 8 Sift-sift Trce : i). tr(a T ) = tr(a) ii). tr(ka) = k tr(a) iii). tr(a+b) = tr(a) + tr(b) iv). tr(ab) = tr(ba) v). tr(a T A) =, jik dn hny () Definisi. (PARTISI MATRIKS) Sebuh mtriks bis dibgi tu diprtisi menjdi mtriks-mtriks yng lebih kecil dengn menyisipkn gris horisontl dn vertikl di ntr bris dn kolom yng ditentukn. Sebgi contoh : i) A A = A A Mtriks A dits diprtisi menjdi empt sub-mtriks yitu A, A, A, dn A 9

10 Dimn : A = A = A = A = ii) B = = R R R Mtriks B dits diprtisi menjdi sub mtriks yitu : r, r, r Dimn R = R = R = iii) C = = C C C C 4 Mtriks C dits diprtisi menjdi 4 sub mtriks yitu : C, C, C dn C 4 Dimn C = C = C = C 4 = Vektor Rndom Pd bgin ini kn dibhs, tentng vektor rndom dn beberp konsep sttistik. Jik sebuh unit eksperimem menghsilkn sebuh vribel terukur, mk vribel tersebut disebut vribel rndom. Nmun jik unit eksperimen tersebut menghsilkn m vribel terukur, mk disebut vribel rndom. Sehingg vribel rndom merupkn elemen dri vektor rndom. Brisn vribel rndom X, X,, X m diskrit yng sling berhubungn dimodelkn oleh fungsi probbilits multivrit, yitu p x (t), sedngkn untuk vribel rndom kontinu dinytkn dlm fungsi densits multivrit, yitu f x (t).

11 Fokus pd sub bb ini kn dibhs untuk kontinyu, khususny fungsi densits multivrit norml. Jik X vribel rndom berdistribusi norml dengn men dn vrinsi, yng dinotsikn x N(, ) dengn fungsi densits norml : x f ( x) e ; x ; ; Fungsi densits norml stndr (PDF norml stndr) : f(z) = e z Fungsi densits multivrit norml stndr (PDF multivrite norml stndrt) : m T z z z i f ( z) e e ; m/ i ( ), Z z z z n T Persmn dits dinotsikn z ~ N m (, I m ). Sehingg setip z i ~ N(,), i =,,, m, dn ntr z i sling independen. Jik X berdistribusi norml multivrite dri m vribel, mk fungsi densits multivrit norml (PDF mul-tivrite norml) : T - ( x) ( x) e m / / ( ) f(x) =, T - exp / / ( ) ( ) m ( ) x x dinotsikn x ~ N m (, ). Bil vektor rndom x ~ N m (, ), mk setip x i ~ N( i, i ), i =,,, m; tetpi seblikny belum tentu berlku. Men vektor dri vektor rndom x, dinotsikn, yng berisi nili hrpn dri setip x i. μ ( ) E( X ) E( x ) E( x ) E( x ) E( x ) T T m m

12 Ukurn hubungn liner ntr x i dengn x j, dinytkn ddengn kovrinsi yng notsikn cov(x i,x j ), tu ij, didefinisikn : ij = cov(x i,x j ) = E[(x i i )(x j j )] = E(x i,x j ) i j Pd st i = j mk ij = ii = i vr( x) E ( x x) E( x ) x Sehingg Jik du vribel x i dn x j sling bebs, mk : sehingg : E(x i,x j ) = E(x i ) E(x j ) = i j, ij = i j i j = i, yng disebut sebgi vrinsi x i, dinotsikn vr(x i ). Jik,,, dn msing-msing sklr, mk berlku : cov( + x i, + x j ) = cov(x i,x j ) Bukti sebgi ltihn! Jik dlh sebuh mtriks dengn elemen-elemen ke (i,j) dlh ij, mtriks ini disebut mtrik vrinsi kovrinsi vektor x, tu mtrik kovrinsi vektor x, dengn bentuk sebgi berikut : Dimn : = m m m m mm = vr(x) = E[(x )( x ) T ] = E(x x T ) T Jik α dn β merupkn vektor konstnt berukurn mx dn didefinisikn vribel rndom T y αx dn E(y) = E( T x) = T E(x) dn = T T w βx mk cov(y,w) = cov( T x, T x) = E(( T x )( T x) T )-E( T x)e(( T x) T )

13 = E( T x x T )- T E(x)E(x T ) = T E(x x) T ) - T E(x)E(x T ) = T [E(x x T ) T ] = T vr(y) = cov(y,y) = T vr(w) = cov(w,w) = T Secr umum jik A dlh mtriks konstnt berukurn pm, mk : E(y) = E(Ax) = A E(x) = A vr(y) = E[{y E(y)}{y E(y)} T ] = E[{Ax E(Ax)}{ Ax E(Ax)} T ] = A A T Bil v dn w msing-msing dlh vektor rndom, mk berlku : cov(v,w) = E(v w T ) E(v) E(w) T Selnjutny jik A mtriks konstn berukurn pxm, bil v = A x dn w = B x, mk : cov(v,w) = A cov(x, x) B = A B T Ukurn keertn hubungn ntr x i dengn x j, dinytkn dengn nili koefisien korelsi, di notsikn ij, didefinisikn : cov( xi, xj) ij ii Pd st i=j, mk diperoleh ij =. jj Jik x merupkn vektor rndom Mtrik Korelsi dri vribel x, dinotsikn P, dengn elemen-elemen ke (i,j) dlh ij, sebgi berikut : P = m m, m m mm P= m m m

14 Hubungn ntr mtrik korelsi, P, dengn mtrik kovrinsi,, dlh sebgi berikut : didefinisikn sutu mtrik digonl, dinotsikn / D, yng setip elemenny bernili stu per simpngn bku setip vribel rndom yng membentuk mtrik rndom, yitu, i =,,, m, / D = dig / / /,,, mm / ii / D = / / / mm selnjutny, hubungn ntr mtrik korelsi dn mtrik kovrin dpt dinytkn sebgi berikut :, P = / D / D. Mtrik P bersift definit tk negtif. Men, vrins, covrin dn korelsi merupkn prmeter yng tidk dikethui mk prmeter-prmeter tersebut kn diestimsi dri smpel. Anggp x, x,, x n smpel rndom dri vribel rndom x dri sutu distribusi dengn men µ dn vrinsi. Mk diperoleh : x x xi x n n n, ˆ i i =s i n i Pd ksus multivrit, jik x, x,, x n smpel rndom dri vektor rndom x berukurn mx dengn vektor men µ dn mtriks kovrinsi. Mk diperoleh : n n ˆ μ x x, =S n xi - x xi - x i i n i T Sedngkn estimsi P, dlh Dimn : R D SD / / s s 4

15 / D S = dig / / s /, s,, smm / D = / s / s / smm Contoh.: Pengmtn dri nili mt kulih dri mhsisw sebgi berikut : x Tentukn vektor men dn mtriks kovrin dri x dn mtriks korelsi Jwb: 78, 8, 5 7, ˆ μ x =S 5 5, 65 5,866 R,866,5,5.6. Apliksi Dengn Softwre Untuk menghitung opersi mtriks, dpt dilkukn dengn bntun softwre mtlb. Contoh.. Diberikn mtriks A dn B sebgi berikut : B = Mk dlm Mtlb nd hrus menuliskn :» A=[ 4; 4 6 ; 6 4 ;4 ]

16 » B=[ ; 5 5 ; 5 5 ; ] B = Bentuk A dn B merupkn mtriks yng kit msukkn, yng diinterpretsikn sebgi : 4 dn B = Untuk selnjutny, setip hsil dri progrm Mtlb pd modul-modul berikutny kn mempunyi interpretsi seperti ini. Jik ingin menghitung opersi-opersi dsr seperti :. A + B b. A B c. AB mk opersi yng dituliskn dln mtlb dn hsil yng didptkn dlh sebgi berikut :: >> A+B ns = Nili-nili yng terdpt dibwh ns = seperti dits menunjukkn mtriks hsil opersi yng diperoleh. Begitu jug untuk hsil opersi dri output-output selnjutny. 6

17 Jdi A + B = >> A-B ns = >> A*B ns = Selnjutny untuk beberp mtrik-mtrik khusus, sudh tersedi sttement khusus seperti : - Zeros () : untuk mengkonstruksi mtrik nol - ones () : untuk mengkonstruksi mtrik yng semu elenenny bernili - eye () : untuk mengkonstruksi mtrik digonl Berikut ini diberikn contoh cr mengkonstruksi mtriks : >> zeros(4,4) ns = >> eye(,) ns = 7

18 Untuk mendptkn trce dri mtriks A dits, dpt nd lkukn dengn melkukn perinth :» B=trce(A) B = Dri hsil output dits, dpt dikethui bhw tr(a) dlh. Untuk mendptkn nili men, covrinsi dn korelsi dri mtriks pd contoh.. >> A=[ ;8 7 55;8 8 75] Untuk mendptkn nili men, mk dilkukn perinth sebgi berikut : >> men(a) ns = Nili tersebut merupkn 78, μ 7 65,866 R,866,5,5 Serdngkn untuk mendptkn mtriks Kovrinsi dilkukn dengn perinth sebgfi berikut : >> cov(a) ns = Dn untuk mendotkn mtriks korelsi R, dilkukn dengn perinth sebgi berikut : 8

19 >> corr(a) ns = Referensi Anton, H.,, Dsr-Dsr Aljbr Liner, Interksr, Btm Bsilevsky, A.,98, Applied Mtrix Algebr in the Sttisticl Sciences, New York Schott, R. Jmes, 99, Mtrix Anlysis for Sttistics, John Wiley & Sons, New York 9