DAFTAR ISI. DAFTAR ISI... iii

Transkripsi

1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... iii BAB I MATRIKS DAN OPERASINYA.... Konsepsi Mtriks.... Opersi Aljbr Mtriks.... Trnspose dri Sutu Mtriks Beberp Jenis Mtriks Khusus Trnsformsi Elementer Rnk Mtriks... BAB II DETERMINAN.... Konsepsi Determinn.... Determinn Mtriks Ordo (x dn Ordo (x) Sift-sift Determinn Minor dn Kofktor Ekspnsi Kofktor Determinn Mtriks Ordo Besr... BAB III MATRIKS INVERS Konsepsi Mtriks Invers Mtriks Invers dengn Adjoin Mtriks Invers dengn Metode Penypun... 7 BAB IV SISTEM PERSAMAAN LINIER.... Konsepsi Sistem Persmn Linier.... Penyelesin Sistem Persmn Linier..... Eliminsi Guss-Jordn..... Kidh Crmer Sistem Persmn Linier Homogen... 8 BAB V VEKTOR Vektor Secr Ilmu Ukur... Aljbr Linier Hlmn dri 85 hlmn

2 5. Opersi-opersi pd Vektor Penjumlhn dn Pengurngn Vektor Perklin Vektor dengn Sklr Vektor pd Rung Dimensi n (R n ) Vektor pd Rung Dimensi Stu (R ) Vektor pd Rung Dimensi Du (R ) Vektor pd Rung Dimensi Tig (R ) Vektor pd Rung Dimensi n (R n ) Perklin Titik dn Proyeksi Ortogonl Perklin Silng Kebebesn Linier Rung Vektor dn Kombinsi Linier Bsis dn Dimensi Rung Vektor Dimensi Rung Vektor Bsis Rung Vektor Persmn Gris dn Persmn Bidng Persmn Gris Persmn Bidng Rt... 6 BAB VI TRANSFORMASI LINIER Konsepsi Trnsformsi Linier Kernel dn Jngkun Trnsformsi Linier dri R n ke R m Trnsformsi Linier Bidng Rotsi Refleksi Ekspnsi dn Kompresi Gesern BAB VII NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Konsepsi Eigen Nili Eigen dn Vektor Eigen... 8 Hlmn dri 85 hlmn Aljbr Linier

3 BAB I Mtriks dn Opersiny. KONSEPSI MATRIKS Definisi secr umum : Mtriks dlh sutu himpunn bilngn yng berbentuk persegi pnjng, tu Mtriks dlh himpunn sklr (bilngn riil tu bilngn kompleks) yng disusun secr empt persegi pnjng menurut bris dn kolom tu Sutu mtriks dlh himpunn unsur-unsur yng disusun menurut bris dn kolom, sehingg berbentuk empt persegi pnjng, dimn pnjngny dn lebrny ditunjukkn oleh bnykny kolom-kolom dn bris-bris. Notsi mtriks bisny menggunkn huruf besr A, B, C... Definisi secr khusus : Mislkn A dlh sutu mtriks yng terdiri dri m buh bris dn n buh kolom, mk mtriks A mempunyi ordo/dimensi/ukurn (mxn) dn ij merupkn elemen-elemen/unsur-unsur pd bris ke-i dn kolom ke-j dri mtriks A mk secr lengkp sebuh mtriks dpt ditulis dengn A = [ ij ] dimn = elemen mtriks i = nomor bris =,,,..., m j = nomor kolom =,,,..., n Sutu mtriks bisny ditulis dengn : A = tu A = ( ) tu A = Sehingg elemen-elemen sutu mtriks secr rinci dpt ditulis : A = m m n n mn Aljbr Linier Hlmn dri 85 hlmn

4 Elemen,,,..., nn disebut sebgi elemen-elemen yng terletk pd digonl utm dri mtriks A (yitu elemen-elemen mtriks dimn nomor bris dengn nomor kolomny sm). A = dlh sutu mtriks A yng berordo (x) kren 6 jumlh brisny (m= ) dn jumlh kolomny (n=). Sedngkn elemen-elemen dri mtriks tersebut dlh =, =, = -, =, =, =, = 5, = 7, = 9, = 8, = -, dn = 6. Du mtriks (mtriks A = [ ij ] dn mtriks B = [b ij ] ) diktkn sm (A = B) jik kedu mtriks tersebut mempunyi ukurn (dimensi/ordo) yng sm (mxn) dn elemen-elemen yng bersngkutn (stu letk) di dlm kedu mtriks tersebut sm ( ij = b ij ) untuk setip i =,,,m dn j =,,,n. A =, B =, C =, D = Disini A = B, kren mtriks A dn mtriks B mempunyi ordo yng sm yitu (x) dn semu elemen-elemenny jug sm, sedngkn mtriks A C dn mtriks B C kren ordony tidk sm dn mtriks C D kren elemen-elemenny tidk sm. Hlmn dri 85 hlmn Aljbr Linier

5 . OPERASI ALJABAR MATRIKS. Penjumlhn dn pengurngn mtriks Syrtny dlh mtriks yng kn dijumlhkn/dikurngkn hrus mempunyi ordo yng sm. Mislkn A = [ ij ], B = [ b ij ], C = [ c ij ] mk A B = C [ ij ] [ b ij ] = [ c ij ] Sehingg : [ ij b ij ] = [ c ij ] (Mtriks C merupkn hsil penjumlhn/pengurngn dri mtriks A dn B yng stu posisi/stu letk). A = 5, B = 6 mk : A + B = = 5 6 = b. Perklin sklr dengn mtriks Klu dlh sklr dn A = [ ij ], mk A = [ ij ] = [ ij ] dengn kt lin bhw semu elemen mtriks A diklikn dengn sklr. A = mk A = 5 = = 6 8 c. Perklin Mtriks dengn mtriks Syrtny dlh jumlh kolom pd mtriks pertm (misl mtriks A) sm dengn jumlh bris pd mtriks yng kedu (misl mtriks B). Definisi : Jik A = [ ij ] berordo (p x q) dn B = [b ij ] berordo (q x r), mk perklin mtriks A dengn mtriks B menghsilkn mtriks C = [c ij ] yng berukurn (p x r) dimn : Aljbr Linier Hlmn 5 dri 85 hlmn

6 A x B = C (pxq) x (qxr) (pxr) Elemen-elemen dri hsil perklin yitu elemen-elemen mtriks C (elemen c ij ) dpt dihitung dengn cr sebgi berikut : c ij = i b j + i b j iq b qj q c ij = i k b k j k= untuk i =,,..., p, j =,,..., r dn k =,,,..., q A =, B = (syrt : jumlh kolom mtriks A dlh dn jumlh bris mtriks B dlh, sedngkn ordo mtriks hsil perklin dlh jumlh bris mtriks A kli jumlh kolom mtriks B yitu ordony x) mk : A x B = x =.( ). ( ).( ). = 6 Beberp hukum yng berlku pd perklin mtriks :. A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA. A(BC) = (AB)C. Perklin mtriks tidk komuttif, rtiny belum tentu AB = BA. Jik AB = (mtriks nol) kemungkinnny dlh :. A = dn B = b. A = tu B = c. A dn B 5. Bil AB = AC belum tentu B = C. Hlmn 6 dri 85 hlmn Aljbr Linier

7 . TRANSPOSE DARI SUATU MATRIKS Definisi : Jik sutu mtriks A berordo m x n mk trnspose dri mtriks A dlh A T dimn mtriks A T berordo n x m. Atu trnspose mtriks A dlh mengubh bris mtriks A menjdi kolom sert mengubh kolom mtriks A menjdi bris. A = 5 mk A T = Beberp sift mtriks trnspose : ). (A + B) T = A T + B T ). ( A T ) = (A T ) ). (A T ) T = A dn ). (AB) T = B T A T. BEBERAPA JENIS MATRIKS KHUSUS. Mtriks Bujursngkr/Kudrt (Squre mtrix) yitu mtriks yng mempunyi jumlh bris dn jumlh kolom yng sm, jdi m = n. A = 5 9. Mtriks Nol (Null Mtrix) yitu mtriks yng semu elemen-elemenny bernili nol. O =. Mtriks Digonl (Digonl Mtrix) yitu mtriks bujursngkr yng semu elemen dilur digonl utmny dlh nol, jdi ij = jik i j. Aljbr Linier Hlmn 7 dri 85 hlmn

8 D =. Mtriks Identits (Identity Mtrix (I n )) yitu mtriks digonl yng elemen digonl utmny semu. I = 5. Mtriks Sklr (Sclr Mtrix) yitu mtriks digonl yng semu elemen digonl utmny = k (sutu bilngn/sclr). C = 6. Mtriks Segitig Bwh (Lower Tringulr Mtrix) yitu mtriks bujursngkr yng semu elemen di ts digonl utmny =, yitu ij = jik i < j. E = 7. Mtriks Segitig Ats (Upper Tringulr Mtrix) yitu mtriks bujursngkr yng semu elemen di bwh digonl utmny =, yitu ij = jik i > j. F = 7 8. Mtriks Simetris/Setngkup (Symmetrix Mtrix) yitu mtriks yng trnsposeny sm dengn diriny sendiri tu A T = A, tu Hlmn 8 dri 85 hlmn Aljbr Linier

9 sutu mtriks bujursngkr yng elemen-elemen pd bris ke-i dn kolom ke-j niliny sm dengn elemen-elemen pd bris ke-j dn kolom ke-i tu [ ij ]= [ ji ]. 5 G = Mtriks Anti-Simetris/miring setngkup (Skew Symmetric Mtrix) yitu mtriks yng trnsposeny sm dengn negtif diriny sendiri tu A T = -A, tu sutu mtriks bujursngkr yng elemen-elemen pd digonl utmny bernili dn elemen-elemen dilur digonl utmny mempunyi hubungn [ ij ] = -[ ji ]. H = 5. Mtriks Invers 5 Klu mtriks A dn B dlh bujursngkr sehingg AB = BA = I n mk diktkn B invers dri mtriks A bisny ditulis dengn B = A - sehingg dpt ditulis A A - = A - A = I n. Pembhsn mtriks ini kn dibhs pd bb selnjutny. Cttn : tidk semu mtriks bujur sngkr yng mempunyi invers. Sebuh mtriks yng inversny dlh diriny sendiri dengn perktn lin AA = I n disebut mtriks yng involutory.. Mtriks komuttif dn ntikomuttif. yitu mtriks jik A dn B dlh sutu mtriks dn berlku AB = BA dn jik AB = -BA dinmkn mtriks ntikomuttif. A = dn B = mk : Aljbr Linier Hlmn 9 dri 85 hlmn

10 AB = x = dn BA = x = mk AB = BA sehingg mtriks A dn mtriks B dinmkn mtriks yng sling komuttif.. Mtriks Idempoten, Periodik dn Nilpoten. Jik A dlh sutu mtriks dn berlku : A = A mk A dinmkn mtriks idempoten. A p = A mk A dinmkn mtriks periodik dengn periode (p-) A r = mk A dinmkn mtriks nilpoten dengn indeks r (dimn r dlh bilngn bult positif terkecil yng memenuhi hubungn tersebut). A = 5 6 dlh mtriks nilpoten dengn indeks =. kren : A = 5 6 x = 9 x 5 6 x 5 6 = 5 6 = O.5 TRANSFORMASI ELEMENTER (OPERASI ELEMENTER) Trnsformsi elementer pd bris tu kolom sutu mtriks A dlh sebgi berikut :. Menukr letk elemen bris ke-i dengn bris ke-j mtriks A ditulis H ij (A) tu H ij dn menukr letk elemen kolom ke-i dengn kolom ke-j mtriks A ditulis K ij (A) tu K ij. A = mk H (A) = dn K (A) = Hlmn dri 85 hlmn Aljbr Linier

11 Aljbr Linier Hlmn dri 85 hlmn. Menglikn bris ke-i dengn sklr dri mtriks A ditulis H i () (A) tu H i () dn menglikn kolom ke-i dengn sklr dri mtriks A ditulis K i () (A) tu K i () A = mk H () (A) = dn K (-) (A) = Menmbh bris ke-i dengn kli bris ke-j mtriks A ditulis H ij () (A) tu H ij () dn menmbh kolom ke-i dengn kli kolom ke-j mtriks A ditulis K ij () (A) tu K ij () A = mk H (-) (A) = dn K (-) (A) = Cttn : Kdng-kdng opersi () dn () dpt dilkukn dlm stu lngkh : menmbh kli bris ke-i dengn kli bris ke-j dri mtriks A, ditulis : H i ( ) j ( ) (A) tu H i ( ) j ( ) dn menmbh kli kolom ke-i dengn kli kolom ke-j dri mtriks A, ditulis : K i ( ) j ( ) (A) tu K i ( ) j ( ). A = mk : H ( ) () (A) = 7 Sedngkn : H ( ) () (A) = 8 Mislkn dikethui mtriks B merupkn hsil trnsformsi linier dri mtriks A, mk dpt dicri mtriks A, disebut invers dri trnsformsi elementer tersebut.

12 Mislkn B = H () (A) = mk A = = H () (B).6 RANK MATRIKS Rnk dri sutu mtriks menytkn jumlh mksimum vektor-vektor bris/kolom yng bebs linier. Notsi untuk rnk mtriks A dlh : r(a) Petunjuk mencri rnk sutu mtriks : () Pilih slh stu bris yng bukn vektor nol, kemudin beri tnd (*). Pilih slh stu elemen pd bris tdi yng bukn (nol), elemen ini dinmkn elemen pivot. (Untuk mempermudh perhitungn sedpt mungkin dipilih bris yng terdpt ngk tu - untuk digunkn sebgi pivot). () Jdikn nol semu elemen yng sekolom dengn pivot dengn menggunkn trnsformsi elemeneter secr bris. () Sekrng bris yng tdi tidk ush diperhtikn lgi. Perhtikn bris-bris yng tersis. kemudin kerjkn lngkh (), (), dn (). () Proses ini kn berkhir jik lngkh () tidk dpt dikerjkn lgi, yitu pbil semu bris telh bertnd (*) dn tu menjdi bris nol. Rnk dri mtriks tersebut dlh bnykny bris yng bertnd (*) tu bnykny bris semu dikurngi bnykny bris yng menjdi bris nol.. Cttn : Klu hny terdiri dri du bris, mk jik berkeliptn mk rnk = tetpi jik tidk berkeliptn mk rnk =. Crilh rnk dri mtriks A = H (-) 5 H (-) mk : 5 5 H (-) 5 Hlmn dri 85 hlmn Aljbr Linier

13 Kren sudh terdpt bris nol mk proses berhenti dn r(a) = - = Sol-sol Ltihn. Dikethui : A = 7 Tentukn : 5 dn B = () A - B (b) (A - B) A. Dikethui : A = 7 Apkh AB komuttif? dn B = 5. Dikethui : A = dn B = 7 7 Tentukn mtriks C sedemikin sehingg AC = B.. Dikethui A = Tentuknlh : ). A dn A b). Klu f(x) = x x x + I mk tentuknlh f(a). 5. Crilh hrg,b,c dn d, jik : c b = b + d 5 d 5 b c 6. Dikethui : A = dn B = Tentukn : (). (AB) T (b). B T A T (c) Apkh (AB) T = B T A T? 7. Tunjukknlh bhw A = 5 5 dlh mtriks Idempoten! 5 Aljbr Linier Hlmn dri 85 hlmn

14 8. Tunjukknlh bhw mtriks A = periodeny! dlh mtriks periodik, dn berp 9. Crilh mtriks hsil sederetn trnsformsi elementer dri : A = K (), K (/), K (7). yng berturut-turut : H (-), H (), K (-), K (), K, H (-), K (-5), 5. Crilh rnk dri mtriks berikut : (). 6 8 (b). 5 5 (c) Berfikir tentng orng lin dn melyniny dengn tulus merupkn kunci kebhgin hidup ( Dli lm) Hlmn dri 85 hlmn Aljbr Linier

15 BAB II DETERMINAN. KONSEPSI DETERMINAN Sudh dikenl bhw fungsi f(x) = x mengsosisikn sebuh bilngn riel f(x) dengn sebuh nili riel dri vribel x. Kren x dn f(x) kedu-duny hny mempunyi nili riel, mk fungsi-fungsi seperti itu dpt digmbrkn sebgi fungsi yng bernili riel dri sebuh vribel riel. Akn dikji fungsi bernili riel dri sebuh vribel mtriks, ykni fungsi yng mengsosisikn sebuh bilngn riel f(x) dengn sebuh mtriks X. Yng utm dri pengkjin ini diperuntukkn bgi stu fungsi yitu fungsi determinn. Setip mtriks bujursngkr A bisny sellu dikitkn dengn sutu sklr yng disebut determinn mtriks tersebut, dn ditulis dengn det(a) tu A. Untuk mencri hrg determinn sutu mtriks d berbgi mcm cr. Cr mencri determinn yng sudh bnyk dikenl dlh mencri determinn mtriks untuk mtriks bujursngkr ordo (X) dn ordo (X) sngt umum. Sebelum mmpu mendefinisikn fungsi determinn, terlebih dhulu perlu dikethui beberp definisi berikut ini. Definisi : Sebuh permutsi himpunn bilngn-bilngn bult {,,, n} dlh sebuh susunn bilngn-bilngn bult ini menurut sutu turn tnp menghilngkn tu mengulngi bilngn-bilngn tersebut. Ad enm permutsi yng berbed dri himpunn bilngn-bilngn bult {,,}, yitu : {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,}. Aljbr Linier Hlmn 5 dri 85 hlmn

16 Cttn : Jik terdpt n buh bilngn sli,,,, n, mk bnykny permutsi yng dpt dibentuk dlh n! = n(n-)(n-),. Definisi : Yng dimksud dengn sebuh inversi pd sutu permutsi (j, j,, j n ) dlh j k < j i (j k mendhului j i ) pdhl j i < j k (i dn k=,,, n). Mislkn d permutsi (,,,), mk bnykny inversi pd permutsi tersebut dlh 5 inversi kren : () j = mendhului j = pdhl <. () j = mendhului j = pdhl <. () j = mendhului j = pdhl <. () j = mendhului j = pdhl <. (5) j = mendhului j = pdhl <. Definisi : Sebuh permutsi dinmkn genp (even) jik jumlh inversi seluruhny dlh sebuh bilngn bult yng genp dn dinmkn gnjil (odd) jik jumlh inversi seluruhny dlh sebuh bilngn bult yng gnjil. Pd permutsi (,,,) jumlh inversiny dlh 5 mk permutsi tersebut dlh gnjil. Definisi : Yng dpt dirtikn sebgi hsil perklin elementer dri mtriks A dlh setip perklin n elemen dri A, yng tidk boleh du dintrny yng bersl dri bris yng sm tu kolom yng sm. Jik sebuh mtriks A yng berordo (nxn) mempunyi n! hsil perklin elementer. Hsil-hsil perklin elementer tersebut dlh hsil-hsil perklin yng berbentuk j j njn dimn (j, j,, j n ) dlh sebuh permutsi dri himpunn {,,,,n}. Yng dirtikn dengn sebuh hsil perklin elementer bertnd dri A dlh sebuh hsil perklin elementer j j njn diklikn dengn (+) tu (-). Digunkn tnd (+) jik (j, j,, j n ) dlh sebuh permutsi genp dn tnd (-) jik (j, j,, j n ) dlh sebuh permutsi gnjil. Dikethui mtriks A = Hlmn 6 dri 85 hlmn Aljbr Linier

17 Hsil Perklin Elementer Permutsi yng Disosisikn genp tu gnjil Hsil Perklin Elementer yng Bertnd (,, ) genp (,, ) gnjil - (,, ) gnjil - (,, ) genp (,, ) genp (,, ) gnjil - Definisi : Mislkn A dlh sutu mtriks bujursngkr mk fungsi determinn (determinnt function) yng dinytkn dengn det(a), dn didefinisikn det(a) sebgi jumlh semu hsil perklin elementer yng bertnd dri mtriks A.. DETERMINAN MATRIKS ORDO (X) DAN ORDO (X) Dikethui sutu mtriks A = det(a) tu A berdsrkn definisi dits dlh : det(a) = A = = -, mk determinn dri mtriks A yitu Hitunglh determinn dri mtriks A =! Jwb : det(a) = A= =.(-). = 6 = Sedngkn untuk mtriks yng berordo (x) dpt dihitung determinnny dengn menggunkn cr sebgi berikut : Dikethui sutu mtriks A = yitu det(a) tu A berdsrkn definisi dits dlh :, mk determinn dri mtriks A Aljbr Linier Hlmn 7 dri 85 hlmn

18 det(a) = A = = Untuk memudhkn perhitungn dpt digunkn metode (yng dikenl dengn Metode Srrus) yitu dengn cr menmbhkn kolom pertolongn dengn menmbhkn kolom kestu dn kolom kedu diletkkn disebelh knn kolom ketig. Sehingg determinn dri mtriks A dits dpt diperoleh dengn cr : (-) (-) (-) A= (+) (+) (+) = Peringtn : (Metode Srrus hny berlku untuk mtriks yng berordo (x), sedngkn untuk mtriks yng berordo lebih dri (x) metode tersebut tidk berlku. Hitunglh determinn dri mtriks A = 5! Jwb : det(a) = A = = =.(-).(-) + (-) (-).5..(-) (-)..(-) = = 55 Hlmn 8 dri 85 hlmn Aljbr Linier

19 . SIFAT-SIFAT DETERMINAN. Jik A dlh sebrng mtriks bujursngkr yng mengndung sebris bilngn nol mk det(a) =.. Jik A dlh sutu mtriks segitig yng berordo (nxn), mk det(a) dlh hris perklin dri elemen-elemen yng terletk pd digonl utm, yitu det(a) =.. nn. det(a) = 8 6 = 8.(-). = -6. Mislkn A dlh sebrng mtriks bujursngkr yng berordo (nxn), mk :. Jik A dlh mtriks yng dihsilkn bil sebuh bris tunggl dri mtriks A diklikn dengn sebuh konstnt k (opersi elementer H (k) i (A)), mk det(a ) = k det (A). b. Jik A dlh mtriks yng dihsilkn bil du bris dri mtriks A dipertukrkn temptny (opersi elementer H ij (A)), mk det(a ) = - det(a). c. Jik A dlh sutu mtriks yng dihsilkn bil sebuh keliptn dri stu bris mtriks A ditmbhkn kepd bris yng lin (opersi elementer H (k) ij (A)), mk det(a ) = det (A). A =, A = H () (A) = 6, A = H (A) = dn A = H (-) (A) = Dengn metode Srrus dpt diperoleh : det(a) = = = Berdsrkn sift mk det(a ) =.det(a) =.( ) =. Berdsrkn sift b mk det(a ) = det(a) = ( ) =. Berdsrkn sift c mk det(a ) = det(a) =. Aljbr Linier Hlmn 9 dri 85 hlmn

20 . Jik A dlh sutu mtriks bujursngkr yng mempunyi du bris yng sebnding, mk det(a) =. 5. Jik A dlh mtriks bujursngkr, dn A T merupkn trnspose dri mtriks A, mk : det(a) = det(a T ). 6. Jik A dlh mtriks yng berordo (nxn) dn k dlh sutu sklr mk : det(ka) = k n det(a). 7. Mislkn A, A dn A dlh mtriks yng berordo (nxn) yng hny berbed di dlm sebuh bris tunggl, ktknlh bris ke-r, dn nggplh bhw bris ke-r dri A dpt diperoleh dengn menmbhkn elemen-elemen yng bersngkutn di dlm bris ke-r dri A dn di dlm bris ke-r dri A, mk : det(a )=det(a)+det(a ) det = det + det 7 ( ) 7 8. Jik A dn B dlh mtriks bujursngkr yng ordony sm, mk : det(ab) = det(a).det(b). Dikethui : A =, B = dn AB = mk dpt diperoleh det(a).det(b) =.(-) = - dn det(ab) = -, sehingg det(ab) = det(a).det(b).. MINOR DAN KOFAKTOR Definisi : Jik terdpt sutu mtriks A ij dengn ordo n x n mk terdpt sutu submtriks M ij dengn ordo (n-) x (n - ) yng didptkn dengn cr elemen bris ke-i dn kolom ke-j dri mtriks A dihilngkn tu jik A dlh sebuh mtriks bujursngkr yng berordo (nxn), mk minor dri elemen ij dinytkn oleh M ij (A) dn didefinisikn sebgi determinn dri sub mtriks yng tersis (tinggl) setelh bris ke-i dn kolom ke-j dicoret dri mtriks A. Hlmn dri 85 hlmn Aljbr Linier

21 Sedngkn bilngn (-) (i+j) M ij (A) dinytkn oleh C ij (A) yng dinmkn kofktor dri elemen ij. Mtriks Kofktor dri mtriks A yng dinytkn dengn Kof(A) dlh sutu mtriks elemen-elemenny merupkn kofktor dri elemen ij. Jdi Kof(A) = [C ij (A)] = C C Cn C n C C C n C n C. nn Sedngkn Adjoin dri mtriks A yng dinytkn dengn Adj(A) dlh trnposisi dri Mtriks Kofktor, jdi Adj(A) = [Kof(A)] T. Jdi Adj(A) = [C ji (A)] = Mislkn A = 5 M (A) = 6 C C Cn C n C C C n C n C. nn 6 mk : M (A) = = = 6, = 8 ( 8) = 6. Sedngkn Kofktor dri elemen dlh C (A) = (-) + M (A) =.6 = 6, dn Kofktor dri elemen dlh C (A) = (-) + M (A) = (-).6 = 6. Sebgi ltihn dpt dihitung Minor dn Kofktor untuk elemen-elemen,,,,, dn, Setelh semu Minor dn Kofktor dri elemen mtriks A diperoleh dpt ditentukn Mtriks Kofktor dn Adjoinny..5 EKSPANSI KOFAKTOR Teorem Lplce : Determinn sebuh mtriks A yng berordo (nxn) dpt dihitung dengn cr menglikn elemen-elemen di dlm sutu bris (kolom) dengn kofktorkofktorny dn menmbhkn hsil-hsil perklin yng dihsilkn; ykni, untuk setip i n dn j n, mk : det (A) = j C j (A) + j C j (A) + + nj C nj (A) Aljbr Linier Hlmn dri 85 hlmn

22 n = ij C ij(a) untuk j =,,,n. (Ekspnsi kofktor sepnjng kolom i ke-j) dn det (A) = i C i (A) + i C i (A) + + in C in (A) ke-i) n = ij C ij(a) untuk i =,,,n. (Ekspnsi kofktor sepnjng bris j Dikethui mtriks A = 5 Kofktor sepnjng bris ke-! Jwb : Det(A) = C (A) + C (A) + C (A) 6, hitunglh determinnny dengn Ekspnsi 8 =.(-) (+) (-) (+) (-).(-) (+) 5 =.(-)-(6-6)-(8-5) =.6-- = 6. Dengn cr yng sm dpt dicri determinn dri mtriks A dengn Ekspnsi Kofktor sepnjng bris ke-, bris ke-, kolom ke-, kolom ke- dn kolom ke- yng hsilny sm dengn 6. Bndingkn dengn Metode Srrus!.6 DETERMINAN MATRIKS ORDO BESAR (ORDO LEBIH DARI (X)) Untuk menentukn determinn mtriks ordo besr dpt digunkn Ekspnsi Kofktor, tetpi kn memkn wktu yng lm dn membutuhkn perhitungn ngk yng besr pul. Agr perhitungnny tidk begitu besr dn wktu penyelesinny lebih singkt dpt mengkombinsikn Opersi Elementer, sift-sift determinn dn Ekspnsi Kofktor. Adpun crny dlh sebgi berikut :. Crilh bris (kolom) yng sudh bnyk elemen nol-ny, tu klu belum d crilh bris (kolom) yng bnyk mengndung elemen tu (-), klu tidk d mk trnsformsikn mtriks tersebut dengn opersi Hlmn dri 85 hlmn Aljbr Linier

23 elementer (H () i ) sehingg mendptkn elemen tu (-) dengn memperhtikn sift-sift determinn.. Jdikn nol semu elemen yng stu bris tu stu kolom dengn elemen tu ( ) dengn opersi elementer (H () ij ), kemudin ekspnsikn kofktor sepnjng bris (kolom) yng memut elemen nol pling bnyk tdi. Cttn : Mtriks yng mempunyi determinn = dinmkn mtriks singulr sedngkn mtriks yng mempunyi determinn dinmkn mtriks nonsingulr. Hitunglh : Jwb :! Menurut cr nomor () dpt dipilih kolom ke- yng memut elemen, mk sis elemen pd kolom ke- yitu elemen,, dn dijdikn nol dengn opersi elementer H (-), H (-), dn H (-) 5, sehingg diperoleh : 5 = (dengn ekspnsi kofktor sepnjng kolom ke- diperoleh) = C + C + C + C + 5 C 5 (dimn nili dri,, dn 5 dlh nol, sehingg tidk perlu mencri C, C, C dn C 5 sehingg diperoleh) 5 =. (-) + (dengn memilih bris ke- mk dpt dijdikn nol elemen-elemen dn dengn opersi K () dn K (-) mk dpt diperoleh) Aljbr Linier Hlmn dri 85 hlmn

24 = (dengn ekspnsi kofktor sepnjng bris ke- mk dpt diperoleh) 9 = (-).(-) = = - = -(- + 9) = -6. Sol-sol Ltihn :. Crilh bnykny inversi di dlm setip permutsi dri {,,,,5} yng berikut kemudin klsifiksikn ke dlm permutsi genp tu gnjil :. (,,,,) b. (,,5,,) c. (5,,,,) d. (,,,,5) e. (,,5,,) f. (,,5,,). Hitunglh determinn dri mtriks berikut ini :. b. 6 c. 7 8 d. (k ) (k ) e f g. 8 h. 6 k k 9 (k ). Crilh semu nili dri jik det(a) =. ( ). A = b. A = ( ) ( 6) ( ). Hitunglh determinn dri mtriks-mtriks berikut ini berdsrkn sift-sift determinn! 7. b. 7 6 c. 6 7 Hlmn dri 85 hlmn Aljbr Linier

25 Aljbr Linier Hlmn dri 85 hlmn 5 d e Mislkn A = 7 6, mk tentuknlh :. Semu Minorny! b. Semu Kofktorny! c. Mtriks Kofktor! d. Adjoin dri mtriks A! e. Determinn dengn Metode Srrus! f. Determinn dengn Ekspnsi Kofktor sepnjng bris ke-! g. Determinn dengn Ekspnsi Kofktor sepnjng kolom ke-! 6. Hitunglh determinn dri : b c. d Hitunglh : Anggplh det i h g f e d c b = 5. Crilh : ). det c b i h g f e d b). det i h g f e d c b c). det i h g f e d f c e b d d). det i h g c f b e d c b

26 9. Anggplh det(a) = 5, dimn : A = d g b c e f. Crilh : h i ). det(a) b). det(a - ) c). det((a) ) d). det b c g h i d e f. Buktikn : bc c b b c = b c b c = (c - ) (c - b) (b - )! Krkter seseorng tidk dtng lewt ilhm tu mimpi. Dibentuk mellui ush kers dn ms penempn yng pnjng.( Jmes A. Froude) Hlmn 6 dri 85 hlmn Aljbr Linier

27 BAB III MATRIKS INVERS. KONSEPSI MATRIKS INVERS Definisi : Sebuh mtriks bujursngkr A berordo (nxn) disebut mempunyi invers jik d sutu mtriks B sedemikin sehingg AB = BA = I n dimn I n dlh mtriks identits dengn ordo (nxn). Mtriks B dinmkn invers dri mtriks A, ditulis A -, sehingg : AA - = A - A = I n Mtriks-mtriks yng mempunyi invers dlh mtriks yng non singulr (determinnny tidk nol), dn bil inversny d mk inversny dlh tunggl (hny d stu). Sift-siftny dlh :. (A - ) - = A. (AB) - = B - A - Crilh invers dri A = Jwb : Mislkn A - = c b mk kn berlku : A.A d - = I Sehingg : c b = d, jik diklikn kn diperoleh : c c b d d = tu + c =..(i) b + d =..(ii) Aljbr Linier Hlmn 7 dri 85 hlmn

28 + c = (iii) + d = (iv) dn jik dilkukn substitusi diperoleh : = /; b = -/; c = - ;d = Sehingg : A - = c b = / / = d. MATRIKS INVERS DENGAN ADJOIN Definisi : Sebuh mtriks A yng bujursngkr dpt diblik jik dn hny jik det(a). Akibt : Jik A dpt diblik mk : det(a - ) = det(a) Definisi : Jik A dlh sebuh mtriks yng dpt diblik, mk : A - = det(a).adj(a). Dikethui A = Tentuknlh : 5. Determinnny dengn Ekspnsi Kofktor sepnjng bris ke-! b. Mtriks Kofktorny tu Kof(A)! c. Mtriks Adjoin dri A tu Adj(A)! d. Mtriks Inversny! Jwb :. det(a) =. (-) + 5 =.6.(-5) = -. b. C (A) = (-) (-) (-) + +.(-) 5 + = -8, C (A) = (-) + 5 =, C (A) = (-) + =, C (A) = (-) + 5 = -9, Hlmn 8 dri 85 hlmn Aljbr Linier

29 C (A) = (-) + = 6, C 5 (A) = (-) + = 5, C (A) = (-) + =, C (A) = (-) + = -, C (A) = (-) + = Mk Kof(A) = c. Adj(A) = (Kof(A)) T = d. A - = det(a).adj(a) = (-) = 9 / 7 / 7 / 7 9 / / 7 / 7 / 7 5 / / 7. MATRIKS INVERS DENGAN METODE PENYAPUAN Cttn : Dengn menglikn mtriks elementer bris H (mtriks yng didpt dri stu kli trnsformsi elementer bris terhdp mtriks I n ) dengn sutu mtriks A, mk HA = mtriks hsil trnsformsi elementer terhdp A dri jenis H yng sm. A = H () = H, terliht bhw : HA = = = B, sedngkn mtriks elementer H () (I ) = = B. Cttn : Mislkn K merupkn mtriks elementer kolom (yng didpt dri stu kli trnsformsi elementer pd kolom dri mtriks I n ), mk AK = mtriks hsil trnsformsi elementer kolom terhdp mtriks A dri jenis K yng sm. Aljbr Linier Hlmn 9 dri 85 hlmn

30 Hlmn dri 85 hlmn Aljbr Linier A = () K 6 = C, sedngkn mtriks elementer K () (I ) = = K, terliht bhw : AK = = 6 = C. Cttn : Mtriks B disebut ekivlen dengn A (B A), yitu B diperoleh dri A dengn stu tu sederetn trnsformsi elementer bris dn/tu kolom dri A, mk sellu d mtriks P dn Q sedemikin sehingg PAQ = B, berdsrkn cttn () dn (). Dikethui A =, dn mislny dilkukn trnsformsi elementer sebgi berikut : A = () H K = B. Jdi A B (tu B A). Sedngkn H () (I ) = dn K (I ) =. Sebut H () (I ) = P dn K (I ) = Q, ternyt bhw : PAQ = = = B. Dengn demikin untuk mencri Mtriks Invers dengn trnsformsi elementer dpt dilkukn dengn cr sebgi berikut : Mislkn terdpt mtriks bujursngkr A yng berordo (nxn) yng non singulr (det(a) ) mempunyi bentuk norml I n, mk sellu d mtriks-mtriks

31 bujursngkr P dn Q sedemikin sehingg PAQ = I n, dimn mtriks P diperoleh dri sederetn trnsformsi elemeter bris dn mtriks Q diperoleh dri sederetn trnsformsi elemeter kolom terhdp mtriks I n. Cttn : Dengn hny melkukn trnsformsi elementer bris dpt dicri mtriks invers dri mtriks A, yitu setelh mtriks A menjdi mtriks segitig ts, mk bris yng lebih bwh dpt dipki menypu semu elemen dits digonl utm menjdi nol, cr ini sering disebut dengn Metode Penypun. tu Mislkn A dlh mtriks bujursngkr yng berordo (nxn) mk dpt dilkukn opersi : [ A I n ] Op. Elementer [ I A - ] tu [ I A ] Op. Elementer [ A - I n n n ] Keterngn : Dengn meletkkn mtriks Identits di sebelhny mtriks A sehingg ordo mtriks berubh menjdi (nxn) dn dengn trnsformsi elementer mtriks [A I n ] diubh menjdi mtriks segitig ts, setelh itu dengn trnsformsi elementer jug elemen-elemen yng terletk dits digonl utmny dijdikn nol, sehingg dpt diperoleh yng tdiny mtriks A diubh menjdi mtriks I n dn yng semul mtriks Identits berubh menjdi mtriks Invers). Crilh mtriks invers dri A = Jwb : [ I n A ] = H H 6 dengn metode penypun! 5 7 ( ) ( ) () H 7 (/ 7) H / 7 / 7 / 7 H H ( ) ( ) / 7 5 / 7 / 7 ) / 7 / 7 / 7 = [ A - I n ]. / 7 / 7 / 7 ( H / 7 / 7 / 7 5 / 7 / 7 / 7 / 7 / 7 / 7 Aljbr Linier Hlmn dri 85 hlmn

32 Hlmn dri 85 hlmn Aljbr Linier Jdi A - = 7 / 7 / 7 / 7 / 7 / 7 5 / 7 / 7 / 7 / = 7 5 Sol-sol Ltihn :. Dikethui : A = 6 Tentuknlh :. A - dengn definisi : A. A - = I! b. A - dengn djoin!. Crilh x dn y dri susunn persmn linier berikut dengn menggunkn invers dri mtriks koefisienny. ). x + y = b). x + y = c). x + 5z = 9 x + y = x + y + z = y 6z = - y + z = 6x + 8z =. Tentuknlh invers dri mtriks berikut ini dengn Adjoin! ). 7 5 b). c) 5 d) Dri sol no. dits, crilh inversny dengn Metode Penypun! 5. Dengn Metode Penypun tentukn invers dri mtriks berikut : ). b). c) Crilh mtriks-mtriks P dn A sedemikin sehingg PAQ = I, bil : ). b). 6 5

33 BAB IV SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL). KONSEP SISTEM PERSAMAAN LINIER Persmn linier dlm n peubh (vribel) x, x, x,..., x n merupkn persmn yng dpt dinytkn dlm bentuk : x x... nxn b dimn,,..., n, dn b dlh konstnt-konstnt riel. ). x + y =7 b). y = ½ x + z + c). x x x + x = Persmn linier tidk melibtkn hsil kli tu kr peubh, fungsi trigonometrik, fungsi logritmik, mupun fungsi eksponensil. ). x + y = 7 b). y sin x = c). x + y z + xz = d). x + x = Sebuh pemechn (solution) persmn linier x x... nxn b dlh urutn dri n bilngn s, s, s,..., s n sehingg persmn tersebut dipenuhi pbil disubstitusikn terhdp x s ; x s ;... ; xn sn. Himpunn semu pemechn persmn tersebut dinmkn himpunn pemechnny (its solution set). Definisi : Sebuh himpunn berhingg dri persmn-persmn linier di dlm vribel-vribel x, x,, x n dinmkn Sistem Persmn Linier tu sebuh sistem linier. Sebuh urutn bilngn-bilngn s, s,, s n dinmkn sebuh pemechn dri sistem tersebut jik x = s, x = s,, x n = s n dlh sebuh pemechn dri tiptip persmn di dlm sistem tersebut. Aljbr Linier Hlmn dri 85 hlmn

34 Mislkn sistem persmn linier : x - x + x = - x + x + 9 x = - mempunyi pemechn x = ; x = ; x = -; kren nili-nili tersebut memenuhi kedu persmn. Akn tetpi x = ; x = 8; x = ; buknlh sebuh pemechn kren nili-nili tersebut hny memenuhi persmn yng pertm di dlm sistem tersebut. Tidk semu sistem persmn linier mempunyi pemechn. Persmn linier yng memiliki setidk-tidkny stu pemechn disebut konsisten (Consistent). Persmn linier yng tidk mempunyi pemechn disebut tk konsisten (inconsistent). Ad kemungkinn penyelesin persmn linier :. Tidk mempunyi pemechn. Mempunyi persis stu pemechn.. Mempunyi tk hingg bnykny pemechn. Definisi : Sebuh Sistem Persmn Linier yng terdiri dri m buh persmn linier dengn n buh bilngn yng tidk dikethui dpt dinytkn dengn : x + x + + n x n = b x + x + + n x n = b m x + m x + + mn x n = b m dimn x, x,, x n dlh bilngn-bilngn yng tidk dikethui dn, b menytkn kontnt-konstnt. Dn pbil Sistem Persmn Linier tersebut dinytkn dengn perklin mtriks AX = B, mk dpt dinytkn dengn : n n m m x x mn = xn b b bm Hlmn dri 85 hlmn Aljbr Linier

35 sehingg diperoleh mtriks A = n n m m, X = mn x x dn B = xn b b. bm Dn pbil mtriks B ditmbhkn di kolom terkhir dri mtriks A disebut dengn bentuk mtriks yng diperbesr (Augmented Mtrix) yng dinytkn dengn: m m n n mn b b bm Bentuk mtriks yng diperbesr dri Sistem Persmn Linier berikut ini : x + x + x = 9 x + x - x = x + 6x - 5x = dlh Jik AX = B dlh sutu Sistem Persmn Linier (SPL), mk terdpt mcm SPL yitu :. Sistem Persmn Linier Non Homogen yitu jik tidk semu nili dri suku konstntny (elemen dri mtriks B) sm dengn nol.. Sistem Persmn Linier Homogen yitu jik semu suku konstntny (elemen dri mtriks B) sm dengn nol.. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER.. Eliminsi Guss-Jordn Eliminsi Guss-Jordn dlh sebuh prosedur selngkh demi selngkh yng sistemtis untuk memechkn Sistem Persmn Linier dengn mereduksi bentuk mtriks yng diperbesr (ugmented mtrix) menjdi bentuk yng cukup sederhn yitu bentuk Eselon Bris yng Direduksi (Reduced Row-echelon Form). Aljbr Linier Hlmn 5 dri 85 hlmn

36 Hlmn dri 85 hlmn Aljbr Linier 6 Yng dimksud dengn Bentuk Eselon Bris yng Direduksi dlh sutu bentuk mtriks yng diperbesr yng mempunyi sift :. Jik sebuh bris tidk terdiri seluruhny dri elemen nol, mk bilngn tk nol pertm dlm bris tersebut dlh (dinmkn utm).. Jik d sutu bris yng seluruhny terdiri dri elemen nol, mk semu bris seperti itu dikelompokkn bersm-sm di bgin bwh mtriks.. Dlm sebrng du bris yng berurutn yng seluruhny tidk terdiri dri elemen nol, mk letk utm dlm bris yng lebih rendh terdpt lebih juh ke knn dri utm dlm bris yng lebih tinggi.. Setip kolom yng mengndung utm mempunyi nol di tempt lin. Jik sutu mtriks yng diperbesr dri sistem persmn linier mempunyi sift, dn mk mtriks tersebut mempunyi bentuk eselon bris. Sedngkn jik mempunyi sift,, dn mk mtriks tersebut mempunyi bentuk eselon bris yng direduksi. ). Bentuk Eselon Bris : - 6,, ). Bentuk Eselon Bris yng Direduksi : -,, 7 Jik sebuh bentuk mtriks yng diperbesr dri Sistem Persmn Linier sudh berbentuk Eselon Bris yng Direduksi, mk himpunn pemechn untuk sistem tersebut dpt diperoleh dengn pemeriksn tu dengn sejumlh kecil lngkh sederhn.

37 Pemechn dri mtriks yng diperbesr dri Sistem Persmn Linier yng sudh direduksi menjdi bentuk eselon bris yng direduksi dlh : 5 ). Sistem Persmn Linier yng bersngkutn dlh : x + x + x = 5 x + x + x = - x + x + x = sehingg dengn pemeriksn diperoleh : x = 5, x = - dn x =. b). 6 Sistem Persmn Linier yng bersngkutn dlh : x + x + x + x = - x + x + x + x = 6 x + x + x + x = Kren x, x, dn x bersesuin dengn utm di dlm mtriks yng diperbesr, mk x, x, dn x dpt disebut sebgi vribel utm, sehingg diperoleh : x + x = - x = - - x x + x = 6 x = 6 - x x + x = x = - x Kren x merupkn vribel bebs, mk dpt diberikn sebrng nili mislkn t, sehingg diperoleh tk terhingg bnykny pemechn. Himpunn pemechn ini diberikn oleh rumus-rumus : x = t, x = 6 t, x = t dn x = t. Mislkn t = mk x = 5, x =, x = dn x =. Selesikn Sistem Persmn Linier dengn Eliminsi Guss-Jordn : x + x + x = 9 x + x - x = x + 6x - 5x = Penyelesin : Bentuk mtriks yng diperbesr dri SPL dits dlh : Aljbr Linier Hlmn 7 dri 85 hlmn

38 6 5 9 Dengn opersi elementer mtriks tersebut kn diubh menjdi bentuk eselon bris yng direduksi, yitu : H H 9 7 ( ) ( ) ( ) H 7 (/ ) H H 7 ( ) H (7 / ) ( ) H pemechn dri SPL tersebut dlh : x =, x =, x =. ( ) H. Jdi Sol-sol Ltihn : Selesikn SPL berikut dengn Eliminsi Guss-Jordn : ). x + x + x = 8 ). x 8x = x x + x = x 6x = 9 x 7x + x = x + x = 6 ). x 5x x 7x 5 ). x + 7x 5 = x x x 5 7x 5 x 5 x + x x +6x + x 5 = 8 x + x 5x +6x 5x 5 =.. Kidh Crmer Definisi : Jik AX = B dlh sebuh Sistem Persmn Linier yng terdiri dri n buh persmn linier dn n buh bilngn yng tidk dikethui sehiingg det(a), mk sistem tersebut mempunyi sebuh pemechn yng unik. Pemechn itu dlh : x = det( A ), x = det( A) det( A ),, xn = det( A) det( A n ) det( A) tu x j = det( A j) det( A) Hlmn 8 dri 85 hlmn Aljbr Linier

39 dimn A j merupkn mtriks yng didptkn dengn menggntikn elemen-elemen di dlm kolom ke-j dri mtriks A dengn elemen-elemen di dlm mtriks B. Gunknlh Kidh Crmer untuk memechkn Sistem Persmn Linier berikut ini : x + x = 6 x + x + 6x = x x + x = 8 Penyelesin : Jik Sistem Persmn Linier dinytkn dlm bentuk AX = B, mk diperoleh : 6 x x = 6, sedngkn : A = x 8 6, A = 6 8 Sehingg : x = x = 6, A = det( A) det( A) det( A ) 5 8 = =. det( A) = dn A = =, x = 6 8 det( A ) 7 8 = = dn det( A) Sol-sol Ltihn : Gunknlh Kidh Crmer untuk memechkn Sistem Persmn Linier berikut ini : ). x x = 5 ). x + 5y = x + x = x + y + z = x + 5y + z = ). x + y z = ). x x + x = x y + z = x x = x y z = x x = Aljbr Linier Hlmn 9 dri 85 hlmn

40 5). x x + x x = 7x + x + 9x x = x x + x + x = x + x x x =. SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN Sutu SPL diktkn homogen jik semu suku konstn (b) niliny sm dengn nol, yitu Sistem Persmn Linier tersebut memiliki bentuk : x + x + + n x n = x + x + + n x n = m x + m x + + mn x n = SPL Homogen merupkn sistem yng konsisten kren setidkny d stu penyelesin yitu x x...x. Penyelesin ini disebut dengn n penyelesin trivil (trivil solution). Jik terdpt pemechn lin, mk pemechn lin tersebut dinmkn penyelesin non trivil (nontrivil solution). Pd SPL homogen d du kemungkinn penyelesin :. Sistem tersebut hny mempunyi penyelesin trivil.. Selin penyelesin trivil, sistem tersebut mempunyi tk hingg bnyk penyelesin. (Penyelesinny tk trivil.) Terdpt stu ksus dimn Sebuh SPL Homogen dipstikn mempunyi pemechn yng non trivil jik SPL tersebut melibtkn lebih bnyk bilngn yng tidk dikethui dripd bnykny persmn. Pechknlh Sistem Persmn Linier Homogen berikut ini dengn Eliminsi Guss-Jordn : x + x x + x 5 = x x + x x + x 5 = x + x x x 5 = x + x + x 5 = Hlmn dri 85 hlmn Aljbr Linier

41 Bentuk mtriks yng diperbesr SPL Homogen tersebut dlh :, dengn mereduksi mtriks tersebut ke dlm bentuk eselon bris yng direduksi dengn opersi elementer, mk diperoleh : Sistem persmn yng bersngkutn dlh : x + x + x 5 = x + x 5 = x = Kren x,x dn x merupkn vribel utm mk kn menghsilkn : x = x x 5 ; x = x 5 ; x = Mislkn x = s dn x 5 = t mk himpunn pemechnny kn diberikn oleh x = s t, x = s, x = t, x = dn x 5 = t. Perhtikn bhw pemechn trivil diperoleh jik s = t =. Teorem : SPL homogen dengn lebih bnyk bilngn tk dikethui dri pd bnykny persmn sellu mempunyi tk hingg bnykny penyelesin. Sol-sol Ltihn : Perikslh pkh SPL di bwh ini hny memiliki penyelesin trivil tu tk berhingg penyelesin! ). 5x x x x 6x x ). x x x x x x x Aljbr Linier Hlmn dri 85 hlmn

42 ). x 6y - z x - y z ). x x x + x = x x x + x = x x x + x = 5). x + y z = x + 5y + z = x + y + 7z = x + y + z = It s better to be smll mn with big ctions thn big mn with smll ction Hlmn dri 85 hlmn Aljbr Linier

43 BAB V VEKTOR 5. VEKTOR SECARA ILMU UKUR Definisi : Vektor dlh sutu potongn (rung, segmen) gris yng mempunyi rh. Vektor vektor dlm dinytkn secr geometris sebgi segmen-segmen gris terrh tu pnh-pnh di dlm rung- tu rung-; rh pnh menentukn rh vektor dn pnjng pnh menytkn besrny. Ekor nk pnh dinmkn titik permuln (initil point), dn ujung pnh dinmkn titik terminl (terminl point). Notsi Vektor : Notsi Vektor dpt digmbrkn dengn memberi tnd pnh pd titik ujungny. Sedngkn untuk menulisknny, dpt dipki slh stu notsi berikut:,, A, A,, A. Jik seperti di dlm Gmbr.. titik permuln sebuh vektor v dlh A dn titik terminlny dlh B, mk dpt dituliskn v = AB. Vektor vektor yng mempunyi pnjng dn rhny sm (rh sm, rtiny mempunyi gris pembw yng berimpit tu sejjr, dengn rh pnh sm) jdi vektor tidk tergntung pd letkny, tetpi tergntung pd pnjng dn rhny. Seperti vektor vektor di dlm Gmbr.b dinmkn ekivlen. Jik v dn w ekivlen mk dpt dituliskn v = w. Aljbr Linier Hlmn dri 85 hlmn

44 B A Gmbr.. Vektor AB.b. Vektor-vektor Ekivlen 5.. OPERASI-OPERASI PADA VEKTOR Yng kn dibicrkn disini dlh opersi penjumlhn dn pengurngn vektor, dn perklin sklr dengn vektor Penjumlhn dn Pengurngn Vektor Definisi : Jik v dn w dlh sebrng du vektor, mk jumlh vektor v + w dlh vektor yng ditentukn sebgi berikut. Temptknlh vektor w sehingg titik permulnny berimpit dengn titik terminl v. Vektor v dn w dinytkn oleh pnh dri titik permuln dri v kepd titik terminl w (Metode Segitig) v w v+w Adpun penjumlhn vektor v + w = w + v jug dpt dinytkn dengn jumlh vektor tersebut berimpit dengn digonl dri prlelogrm yng ditentukn oleh v dn w bil vektor-vektor ini diletkkn sehingg vektor-vektor tersebut mempunyi titik permuln yng sm (metode jjrn genjng). u v u+v v+u v u Hlmn dri 85 hlmn Aljbr Linier

45 Definisi : jik v dn w dlh sebrng du vektor, mk pengurngn vektor dpt didefinisikn oleh : v w = v + (-w). v-w v -w w Untuk mendptkn selisih v w tnp menggmbrkn (-w), mk dudukknlh v dn w sehingg titik-titik permulnny berimpit; vektor titik terminl dri w ke titik terminl v dlh vektor v w. v v-w w 5... Perklin Vektor dengn Sklr Definisi : Jik v dlh sebuh vektor dn k dlh sebuh bilngn riil (sklr), mk hsil perklin kv didefinisikn sebgi vektor yng pnjngny IkI kli pnjng dri vektor v dn mempubyi rh sm seperti rh dri v jik k>o (positif) dn berlwnn rh dengn v jik k< (negtif). v ( / )v (-)v 5.. VEKTOR PADA RUANG DIMENSI n (R n ) 5.. Vektor dlm Rung Dimensi Stu (R ) Setip bilngn riel dpt diwkili oleh sebuh titik pd sutu gris lurus, yng membentuk susunn koordint di dlm rung dimensi stu ditulis R. Untuk itu dpt dipilih titik O sebgi titik wl susunn koordint dn sutu Aljbr Linier Hlmn 5 dri 85 hlmn

46 titik E dimn pnjng OE = stun. Titik O mewkili bilngn nol dn titik E mewkili bilngn dn dpt ditulis O(), E(). A(-) O() E() Pndng sekrng vektor yng titik wlny O() dn titik ujungny titik A( ) mk = OA = [ ] disebut vektor posisi (rdius vektor) dri titik A. 5.. Vektor dlm Rung Dimensi Du (R ) Setip psngn bilngn riel dpt diwkili oleh sebuh titik pd sutu bidng rt, yng membentuk susunn koordint di dlm rung dimensi du ditulis R. Untuk itu dibut du gris lurus (tidk sejjr) dn titik potongny dlh titik O sebgi titik wl (titik pust). Susunn koordint tersebut sering disebut sebgi susunn koordint yng sling tegk lurus (susunn Koordint Crtesin) dlm R. Msing-msing gris disebut sumbu koordint. Sutu vektor disebut stun bil pnjngny stun dimn titik wlny di O(,) dn titik ujungny di E (,) mk dpt dinytkn dengn e = OE = [,], sedngkn yng bertitik wl di O(,) dn titik ujungny di E (,) mk dpt dinytkn dengn e = OE = [,]. Pndng vektor dlh sutu vektor yng berwl di O(,) dn berkhir di titik A(, ) mk = OA = [, ] yng disebut sebgi vektor posisi dri titik A(, ) dn dpt dinytkn sebgi = e + e. Sedngkn pnjng vektor (Norm) dlh dinytkn dengn =. Secr umum untuk vektor x yng berwl di titik A(, ) dn berkhir di titik B(b, b ) mk x = AB = [(b - ), (b - )], sedngkn pnjng vektor x = x = ( b ) (b ) Y Hlmn 6 dri 85 hlmn Aljbr Linier

47 b A(, ) B(b, b ) x b O b Y 5.. Vektor dlm Rung Dimensi Tig (R ) Setip tripel bilngn riel dpt diwkili oleh sebuh titik pd sutu rung dimensi tig dn ditulis R dengn membentuk sutu susunn koordint, yitu mengmbil tig gris lurus (tidk sejjr) dn titik potongny dlh titik O sebgi titik wl (titik pust). Pndng vektor dlh sutu vektor yng berwl di O(,) dn berkhir di titik A(,, ) mk = OA = [,, ] yng disebut sebgi vektor posisi dri titik A(,, ) dn dpt dinytkn sebgi = e + e + e. Sedngkn pnjng vektor (Norm) dlh dinytkn dengn =. Secr umum untuk vektor p yng berwl di titik A(,, ) dn berkhir di titik B(b,b,b ) mk p = AB = [(b - ),(b - ),(b - )], sedngkn pnjng vektor p = p = ( b ) (b ) (b ) Z Aljbr Linier Hlmn 7 dri 85 hlmn

48 A(,, ) O Y X 5.. Vektor dlm Rung Dimensi n (R n ) Definisi : Jik n dlh sebuh bilngn bult positip, mk sebuh tupel-n-terorde (ordered-n-tuple) dlh sebuh urutn dri n bilngn riel (v, v,, v n ). Himpunn dri semu tupel-n-terorde dinmkn rung-n dn dinytkn dengn R n. Sebuh tupel-n-terorde (v, v,, v n ) dpt dinytkn sebgi "titik yng diperumum" mupun sebgi "vektor yng diperumum". Definisi : Vektor u = (u, u ) dn v = (v, v ) sm, jik u = v dn u = v dengn perktn lin bil komponen yng sm letkny mempunyi hrg yng sm. Untuk R n dpt diperlus sebgi berikut : (). Vektor posisi dri titik A(,,, n ) dlh = OA = [,,, n ]. (). Vektor x bertitik wl di P(p, p,,p n ) dn bertitik ujung di titik Q(q, q,,q n ) dlh x = PQ = [(q - p ), (q - p ),, (q n - p n )]. (). Pnjng vektor = [,,, n ] dlh II =... n. Jrk du titik P(p, p,,p n ) dn Q(q, q,,q n ) dlh pnjng vektor PQ yitu : I PQ I= p) (q p )... (qn pn ) ( q (). Vektor = [,,, n ] dn vektor b = [b, b,, b n ] diktkn sm jik = b, = b,, n = b n. (5). Vektor-vektor stun dri susunn koordint dlh e = [,,,], Hlmn 8 dri 85 hlmn Aljbr Linier

49 e = [,,, ],, e n = [,,, ] dn berlku bil = [,,, n ] mk = e + e + + n e n. (6). Penjumlhn dn pengurngn vektor = [,,, n ] dengn vektor b = [b, b,, b n ] berlku : b = [,,, n ] [b, b,, b n ] = [( b ), ( b ),, ( n b n )] (7). Perklin vektor = [,,, n ] dengn sklr k, berlku : k = k[,,, n ] = [k, k,, k n ]. 5.. PERKALIAN TITIK (DOT PRODUCT) DAN PROYEKSI ORTOGONAL Mislkn u dn v dlh sutu vektor yng tk nol yng berd dlm rung R dn R dimn kedu titik permulnny berimpit, mk merupkn sudut dintr vektor u dn v yng memenuhi < <. Definisi : Jik u dn v dlh vektor-vektor didlm rung- tu rung- dn dlh sudut dintr u dn v, mk perklin titik (dot product) tu perklin dlm euclidis(eucliden inner product) u.v didefinisikn oleh : u.v u v cos,jiku dn v,jiku dn v Dikethui vektor u = (,,) dn vektor v = (,,) dn sudut ntr vektor u dn v dlh =5, mk u.v = uv cos = ( ) ( ) ( ). Mislkn u =(u,u,u ), v =(v,v,v ) dlh du vektor tk nol dn dlh sudut dintr u dn v, mk hukum cosinus menghsilkn : PQ = u +v u v cos.() Z Aljbr Linier Hlmn 9 dri 85 hlmn

50 P(u,u,u ) u v Q(v,v,v ) Y X Kren PQ = u v, mk dpt dituliskn kembli () sebgi : u v cos = ½ (u +v v u ) tu u.v = ½ (u +v v u ) dengn mensubtisusikn u = u +u +u, v = v +v +v dn v-u = (v -u ) +(v -u ) +(v -u ) dn setelh disederhnkn kn didptkn : u.v = u v + u v + u v. Jik u=(u,u ) dn v = (v,v ) dlh du vektor di dlm rung-, mk rumus yng bersesuin dlh u.v = u v + u v. Tinjulh vektor-vektor u = [,-,] dn v = [,,], tentuknlh sudut dintr u dn v! Jwb : Dikethui : u.v = u v cos mk cos = u.v u v dimn u.v =.+(-).+. = dn u = ( ) = 6, u = = 6 sehingg cos = =. Jdi = Teorem : Mislkn u dn v dlh vektor-vektor di dlm R dn R mk : ). v.v = v ; ykni v = v.v b). Jik u dn v dlh vektor-vektor tk nol dn sudut di ntr kedu vektor tersebut, mk : = sudut lncip jik dn hny jik u.v > (positif) Hlmn 5 dri 85 hlmn Aljbr Linier

51 = sudut tumpul jik dn hny jik u.v < (negtif) = (tegk lurus/ortogonl) jik dn hny jik u.v =. Teorem : Jik u, v dn w dlh dlh vektor-vektor di dlm R tu R dn k dlh sebuh sklr mk :. u.v = v.u b. u.(v + w) = u.v + u.w c. k(u.v) = (ku).v = u.(kv) d. v.v > jik v dn v.v = jik v = Dpt didefinisikn bhw du vektor u dn v sebgi vektor-vektor ortogonl (ditulis u v) jik u.v =. Jik disepkti bhw vektor membut sudut sebesr (/) dengn tip-tip vektor, mk du vektor kortogonl stu sm linny jik dn hny jik kedu vektor tersebut secr geometris tegk lurus stu sm linny. Jik u dn v dlh dlh vektor-vektor di dlm R tu R mk dpt dituliskn bhw : u = w + w dimn w merupkn keliptn sklr dri v dn w tegk lurus dengn v. Vektor w disebut proyeksi ortogonl dri u pd v dn vektor w dinmkn komponen dri u yng ortogonl kepd v. w u w u u w u = w + w w = kv jik k> w = kv jik k< w v v w w v Vektor w dn w dpt diperoleh dengn cr sebgi berikut : Kren w merupkn keliptn sklr dri vektor v mk w = kv, jdi :. u = w + w = u = kv + w. Dengn mengmbil perklin titik dri kedu rus dengn vektor v mk diperoleh : u.v = (kv + w ).v = kv.v + w.v = kv + w.v (kren w v) mk : w.v =, sehingg diperoleh : k = u.v dn kren w = kv mk diperoleh : w = v u.v.v v yitu proyeksi ortogonl dri u pd v. Dengn memechkn u = w + w mk Aljbr Linier Hlmn 5 dri 85 hlmn

52 untuk w dpt diberikn w = u - w = u - u.v.v yitu komponen dri u yng v ortogonl kepd v. Tinjulh vektor-vektor u = [,-,] dn v = [,-,], kren : u.v =.+(-).(-)+. = 5 dn v = + (-) + =, mk proyeksi ortogonl dri u pd v dlh : w = u.v.v = v 5.[,-,] = [ 7-5, 7, ], 7 sedngkn komponen dri u yng ortogonl kepd v dlh : w = u - w = [,- - 5,] - [, , ] = [,, ] Bgimn jik dimint menentukn proyeksi ortogonl dri v pd u dn komponen dri v yng ortogonl kepd u? Sol-sol Ltihn :. Dikethui vektor-vektor u = [,-,7] dn v = [8,-,-], tentuknlh :. u.v b. Sudut di ntr vektor u dengn vektor v. Tentuknlh pkh u dn v membentuk sebuh sudut lncip, tumpul tu ortogonl :. u = [7,,5] dn v = [-8,,] b. u = [6,,] dn v = [,,6] c. u = [,,] dn v = [-,,] d. u = [,,6] dn v = [-,,]. Dikethui vektor-vektor u = [-7,,] dn v = [5,,], tentuknlh :. Proyeksi ortogonl dri u pd v b. Proyeksi ortogonl dri v pd u c. Komponen dri u yng ortogonl kepd v d. Komponen dri v yng ortogonl kepd u. Gunknlh vektor-vektor untuk mencri cosinus sudut dlm segitig dengn titik-titik sudut (-,), (-,) dn (,)! 5. Buktiknlh identits : Hlmn 5 dri 85 hlmn Aljbr Linier

53 . u + v + u - v = u + v b. u.v = u + v - u - v 5.5. PERKALIAN SILANG ( CROSS PRODUCT ) Definisi : jik u =(u,u,u ), v =(v,v,v ) dlh vektor-vektor didlm rung-, mk perklin silng u x v dlh vektor yng didefinisikn oleh : u x v = [u v u v, u v u v, u v -u v ] tu dlm notsi determinn : u u x v = [ v v u Pernytn : u, - v v u, u v v u ] Ad sutu pol dlm rumus dits yng bergun untuk diingt. Jik kedu vektor dinytkn dlm mtriks ordo (x) yitu : u v u v u v dimn entri-entri didlm bris pertm dlh komponenkomponen dri fktor pertm u dn entri-entri di dlm bris kedu dlh komponen-komponen dri fktor kedu v, mk determinn didlm komponen pertm dri u x v didptkn dengn mencoret kolom pertm dri mtriks tersebut, determinn didlm komponen kedu didpt dengn mencoret kolom kedu dri mtriks, dn determinn didlm komponen ketig didptkn dengn mencoret kolom ketig dri mtriks tersebut. Crilh u x v, dimn u =(,,-) dn v=(,,) Penyelesin : sehingg u x v =,, = [, -7, -6]. Wlupun perklin titik dri du vektor dlh sklr, nmun perklin silng dri du vektor dlh sebuh vektor lin. Teorem berikut memberikn sebuh hubungn dintr perklin titik dn perklin silng dn jug memperlihtkn bhw uxv ortogonl pd u dn v. Aljbr Linier Hlmn 5 dri 85 hlmn

54 Teorem : Jik u dn v dlh vektor-vektor didlm rung-, mk : (). u.(uxv) = (uxv ortogonl kepd u) (b). v.(uxv) = (uxv ortogonl kepd v) (c). uxv = u v (u.v) (Identits Lgrnge) Bukti : Mislkn u = [u,u,u ] dn v = [v,v,v ] mk : ). u.(uxv) = [u,u,u ].[u v u v, u v u v, u v u v ] = u (u v u v )+ u (u v u v ) + u (u v u v ) = u u v u u v + u u v u u v + u u v u u v = (terbukti). b). Serup dengn ). c). Kren : uxv = (u v u v ) + (u v u v ) + (u v u v ) dn u v (u.v) = (u +u +u ) (v +v +v ) (u v + u v + u v ) Identits Lgrnge dpt dihsilkn dengn menuliskn hsil perklin rus knn dengn rus kiri dn membuktikn kesmnny. Tinjulh vektor-vektor u=(,,-) dn v= (,,) uxv = (,-7,-6) kren u.(uxv) = (,,-).(,-7,-6) = ()() + ()(-7) +(-)(-6) = dn v.(uxv) =()() +()(-7) +()(-6) = sehingg uxv ortogonl pd u dn v seperti yng dijmin oleh teorem dits. Teorem : Jik u, v dn w dlh vektor-vektor sebrng di dlm R dn k dlh sebrng sklr, mk : ). u x v = -(v x u) b). u x (v + w) = (u x v) + (u x w) c). (u + v) x w = (u x w) + (v x w) d). k (u x v) = (ku) x v = u x (kv) e). u x = x u = f). u x u = Dikethui vektor-vektor i = [,,], j = [,,] dn k = [,,] dimn msing-msing vektor tersebut mempunyi pnjng stun dn terletk di sepnjng sumbu-sumbu koordint, vektor-vektor tersebut dinmkn vektor stun stndr (sndrd unit vectors) di dlm R. Tip-tip vektor v = [v,v,v ] di dlm R dpt dinytkn dlm i, j dn k dn dituliskn sebgi : v = [v,v,v ] = v [,,] + v [,,] + v [,,] = v i + v j + v k Hlmn 5 dri 85 hlmn Aljbr Linier

55 Mislny : v = [,-,] = i j + k (,,) k i j (,,) (,,) Sol : Tentuknlh : ). i x j b). j x k c). k x i d). i x k e). j x i f). k x j g). i x i h). j x j i). k x k Jik u dn v dlh vektor-vektor yng tk nol di dlm R, mk pnjng dri u x v mempunyi tfsirn geometrik yng bergun. Dikethui Identits Lgrnge dlh : uxv = u v (u.v).. () dn jik menytkn sudut ntr vektor u dn v, mk : u.v = uv cos. (), sehingg persmn () dpt ditulis kembli dengn : uxv = u v (uv cos ) = u v ( cos ) (ingt sift : sin + cos = ) mk : = u v sin Jdi : uxv = u v sin... () Sedngkn lus segitig yng dibentuk oleh vektor u dengn vektor v dlh : (ls x tinggi), dimn pnjng lsny = u dn tinggi dri segitig tersebut dlh v sin mk lus segitigny dlh : uv sin. () Jdi dri persmn () dn () diperoleh : Lus segitig yng dibentuk oleh vektor u dn v dlh : uxv Aljbr Linier Hlmn 55 dri 85 hlmn

56 v v v sin u u Sol-sol Ltihn :. Mislkn u = [,-,], v = [,,7] dn w = [,,5], tentuknlh : ). v x w b). u x (v x w) c). (u x v) x w d). (u x v) + (v x w) e). u x (v - w) f). (u x v) - w. Tentuknlh sebuh vektor yng ortogonl kepd kedu vektor u dn v! ). u = [-7,,] dn v = [,,] b). u = [-,-,-] dn v = [,,]. Tentuknlh lus segitig yng mempunyi titik-titik sudut di titik P, Q dn R berikut ini : ).P(,5,-), Q(,,) dn R(,5,) b). P(,,), Q(-,,) dn R(,,) c). P(,,-), Q(,,5) dn R(7,,9) 5.6. KEBEBASAN LINEAR (LINEARLY INDEPENDENT) Definisi : Himpunn m buh vektor-vektor {v, v,,v m } disebut bergntung linier (Linerly independent / tidk bebs linier) bil terdpt sklr-sklr,,, m yng tidk semuny nol sedemikin sehingg berlku : v + v + + m v m =. Dn himpunn vektor-vektor {v, v,,v m } disebut bebs linier (linerly independent) jik berlku v + v + + m v m = hny terpenuhi oleh : =, =,, m =. tu Bil S merupkn himpunn dri vektor v, v,,v r, mk persmn vektor v + v +..+ r v r = pling sedikit mempunyi penyelesin mk S disebut himpunn Linerly Independent. Hlmn 56 dri 85 hlmn Aljbr Linier