DIKTAT PEMBINAAN OLIMPIADE MATEMATIKA TAHUN PELAJARAN 2005/2006 MATERI DASAR

Transkripsi

1 DIKTAT PEMBINAAN OLIMPIADE MATEMATIKA TAHUN PELAJARAN 005/006 MATERI DASAR DISUSUN OLEH : EDDY HERMANTO, ST SMAN 5 BENGKULU JALAN CENDANA NOMOR 0 BENGKULU 005

2 GARIS BESAR MATERI DAN SUB MATERI PADA PEMBINAAN OLIMPIADE MATEMATIKA I. TEORI BILANGAN. Uji Bilaga Habis Dibagi.. Bilaga habis dibagi 5.. Bilaga habis dibagi.. Bilaga habis dibagi atau 9..4 Bilaga habis dibagi..5 Sifat-sifat suatu bilaga jika dibagi ab dega a da b relatif prima. Bilaga Kuadrat.. Agka satua bilaga kuadrat.. Sifat-sifat jika bilaga kuadrat dibagi suatu bilaga. Faktor Persekutua Terbesar (FPB) da Kelipata Persekutua Terkecil (KPK).. Pegertia FPB da KPK.. Sifat-sifat FPB da KPK.. Rumus bayakya pembagi dari suatu bilaga.4 Bilaga Rasioal.4. Pegertia da sifat bilaga rasioal.5 Bilaga Bulat Terbesar Kurag dari Atau Sama Dega da Bilaga Bulat Terkecil Lebih Dari Atau Sama Dega.5. Pegertia.5. Sifat-sifat.6 Teorema Kecil Fermat.6. Pegertia da pejelasa II. ALJABAR. Ekspoe da Logaritma.. Sifat-sifat ekspoe.. Sifat-sifat logaritma. Poliomial.. Persamaa Kuadrat.. Teorema sisa.. Akar-akar poliomial da sifat-sifat akar-akar poliomial..4 Faktor-faktor poliomial. Pembagia.. a b habis dibagi a b utuk bilaga asli.. a b habis dibagi a b utuk bilaga gajil.4 Ketaksamaa.4. Sifat-sifat ketaksamaa.4. Ketaksamaa AM-GM-HM (Arithmatic Mea - Geometry Mea - Harmoic Mea).5 Barisa da Deret.5. Barisa da deret aritmatika.5. Barisa da deret geometri.5. Prisip Teleskopik

3 III. KOMBINATORIK. Teori Peluag.. Kaidah perkalia.. Pegertia permutasi.. Pegertia kombiatorik..4 Permutasi Siklik..5 Pegambila obyek dega pegembalia maupu tapa pegembalia..6 Pegulaga obyek. Himpua.. Pegertia himpua salig bebas.. Pegertia himpua salig lepas.. Himpua bagia..4 Rumus gabuga himpua salig beririsa..5 Rumus gabuga himpua salig beririsa..6 Prisip Iklusi Eksklusi (Rumus gabuga himpua salig beririsa). Biom Newto.. Pejabara biom Newto.. Meetuka koefisie dari variabel tertetu.4 Pigeo Hole Priciple.4. Pejelasa.4. Cotoh-cotoh persoala IV. GEOMETRI 4. Segitiga 4.. Kesebagua segitiga 4.. Pegertia garis tiggi, garis berat, garis bagi, garis sumbu da sifat-sifatya 4.. Rumus luas segitiga 4..4 Dalil sius da kosius 4..5 Rumus jari-jari ligkara luar da ligkara dalam suatu segitiga 4. Segi Empat Khusus 4.. Pegertia persegi pajag, bujur sagkar (persegi), trapezium, jajara gejag, belah ketupat 4.. Rumus kelilig da luas segi empat khusus 4. Ligkara 4.. Segi empat tali busur (Pegertia da sifat-sifat) 4.. Garis siggug pada ligkara (Pegertia secara geometri) 4.4 Segi Beratura 4.4. Pajag sisi 4.4. Luas segi- beratura 4.4. Sudut Dalam da sudut luar 4.5 Dimesi Tiga

4 MATERI DASAR PEMBINAAN OLIMPIADE MATEMATIKA SMAN 5 BENGKULU TEORI BILANGAN. UJI HABIS DIBAGI a. Suatu bilaga habis dibagi 5 jika da haya jika digit terakhir dari bilaga tersebut adalah 0 atau 5 Cotoh : da adalah bilaga-bilaga yag habis dibagi 5. b. Suatu bilaga habis dibagi jika da haya jika digit terakhir dari bilaga tersebut habis dibagi. Cotoh : 4576 habis dibagi 8 = sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 7) 4978 habis dibagi 6 = 4 sebab 8 habis dibagi 6 c. Suatu bilaga habis dibagi jika da haya jika jumlah digit bilaga tersebut habis dibagi. Cotoh : 5655 habis dibagi sebab = 7 da 7 habis dibagi. d. Suatu bilaga habis dibagi 9 jika da haya jika jumlah digit bilaga tersebut habis dibagi 9. Cotoh : 65 habis dibagi 9 sebab 6 5 = 8 da 8 habis dibagi 9. e. Suatu bilaga habis dibagi jika da haya jika selisih atara jumlah digit dari bilaga tersebut pada posisi gajil dega jumlah digit dari bilaga tersebut pada posisi geap habis dibagi. Cotoh : 9455 habis dibagi sebab (9 5 5) (4 ) = da habis dibagi. Cotoh bilaga lai yag habis dibagi adalah 57 da Jika suatu bilaga habis dibagi a da juga habis dibagi b, maka bilaga tersebut aka habis dibagi ab dega syarat a da b relatif prima. Berlaku sebalikya. Cotoh : 6 habis dibagi 4 da, maka 6 aka habis dibagi.. Misalka N jika dibagi p aka bersisa r. Dalam betuk persamaa N = pq r dega p meyataka pembagi, q meyataka hasil bagi da r meyataka sisa. Persamaa di atas serig pula ditulis N r (mod p) 4. Kuadrat suatu bilaga bulat bulat, habis dibagi 4 atau bersisa jika dibagi 4. maka suatu bilaga bulat yag bersisa atau jika dibagi 4, bukalah bilaga kuadrat. Pembuktia bisa dilakuka dega meyataka bahwa sebuah bilaga pasti aka termasuk salah satu dari betuk 4k, 4k, 4k atau 4k dilajutka dega pegkuadrata masig-masig betuk. Sedagka bilaga kuadrat jika dibagi aka bersisa 0 atau. Da seterusya utuk pembagi yag lai. 5. Agka satua dari bilaga kuadrat adalah 0,, 4, 5, 6, 9.

5 6. Bilaga pagkat tiga (kubik) jika dibagi 7 aka bersisa 0, atau 6. Cara pembuktia sama dega pembuktia pada bilaga kuadrat. 7. Misalka M = p a p a p a p a da N = p b p b p b p b maka : Faktor Persekutua Terbesar dari M da N ditulis FPB (M, N) = p c p c p c p c Kelipata Persekutua Terkecil dari M da N ditulis KPK (M, N) = p d p d p d p b Dega c = mi (a, b ) ; c = mi (a, b ) ; c = mi (a, b ) ; ; c = mi (a, b ) d = maks (a, b ) ; d = maks (a, b ) ; c = maks (a, b ) ; ; c = maks (a, b ) 8. Dua bilaga dikataka prima relatif, jika faktor persekutua terbesarya (FPB) sama dega. Cotoh : 6 da 47 adalah prima relatif sebab FPB 6 da 47 ditulis FPB(6,47) = 9. Faktor Persekutua Terbesar (FPB) dari dua bilaga asli beruruta adalah. FPB (, ) = dega adalah bilaga asli. 0. Jika sebarag bilaga real, maka meyataka bilaga bulat terbesar kurag dari atau sama dega. Cotoh : π = ; 0,5 = 0 ;,6 = Kita selalu memperoleh ( ) < Jika sebarag bilaga real, maka meyataka bilaga bulat terkecil lebih dari atau sama dega. Cotoh : π = 4 ; 0,5 = ;,6 = Kita memperoleh bahwa. Tada kesamaa terjadi haya saat adalah bilaga bulat.. Tada dapat diguaka utuk meetuka ilai k bulat terbesar sehigga a k membagi! dega a merupaka bilaga prima da! meyataka faktorial. Nilai k terbesar = L 4 a a a a 8 8 Cotoh : k terbesar yag membuat k membagi 8! = = 9 =.. Misalka M = p d p d p d p d dega p, p, p,, p bilaga prima maka bayakya pembagi (disebut juga dega faktor) dari M adalah (d )(d )(d ) (d ). Cotoh : Bayakya faktor dari 600 = 5 adalah ( )( )( ) = 4. Jika X diyataka oleh perkalia bilaga bulat beruruta maka X habis dibagi! dega tada! meyataka faktorial. Cotoh : habis dibagi 4! = 4 karea 4, 5, 6 da 7 adalah 4 bilaga bulat beruruta. 4. Utuk sebuah bilaga prima p da sembarag bilaga bulat a, kita dapatka p selalu membagi (a p a). Ii disebut Teorema Kecil Fermat (Fermat Little Theorem). Peulisa dalam betuk lai adalah a p a 0 (mod p) atau dapat juga ditulis a p a (mod p).

6 5. Bilaga rasioal adalah suatu bilaga yag dapat diubah ke dalam betuk b a dega a da b masig-masig adalah bilaga bulat. 6. N ABCDEL (suatu bilaga yag terdiri dari digit) dapat diuraika mejadi A 0 - B 0 - C 0 - D 0-4 N. Cotoh : 4857 = = ALJABAR. Sisa dari pembagia p() oleh ( a) adalah p(a). Jika a adalah pembuat ol ( atau dega kata lai a adalah akar dari p() = 0 ) dari poliomial p(), maka ( a) adalah faktor dari p().. h() = p() q() s() dega p() meyataka pembagi, q() hasil bagi da s() adalah sisa jika h() dibagi p(). 4. Jika adalah poliomial dega pembuat ol : 0 ) ( a a a a a p = L,,,,, (dega kata lai,,,, adalah akar-akar p() = 0) maka hubuga-hubuga berikut berlaku : a a = L j i j i a a 4 < = = L L k j i k j i a a < < = = L L M ( ) a a 0 = L 5. Utuk bilaga gajil, maka (a b ) habis dibagi (a b) 6. Utuk bilaga bulat asli, maka (a b ) habis dibagi (a b) 7. (i). (a b ) = (a b)(a - a - b a - b ab - b - ) dega bilaga asli (ii). (a b ) = (a b)(a - a - b a - b ab - b - ) dega bilaga gajil 8. Prisip teleskopik

7 a L a. i i ( ) ( ) ( 4 ) ( ) ( ) b. i= i= a = a a a a a a a a a a = a a a a a a a = L a a a a a i 4 i a a a = a KETIDAKSAMAAN. Ketidaksamaa AM GM HM (AM GM HM) Jika a, a, a,, a, a adalah bilaga real positif dega rata-rata aritmatik (AM), ratarata geometri (GM) da rata-rata harmoik (HM), maka aka memeuhi : AM GM HM a a a L a a aaa La a L a a a a a. Jika αa αb da α adalah bilaga positif, maka a b sedagka jika α bilaga egatif maka a b. Jadi ketika membagi kedua ruas ketidaksamaa, kita harus memperhatika tada bilaga pembagi. GEOMETRI. Luas dua segitiga yag pajag alasya sama aka mempuyai perbadiga yag sama dega perbadiga tiggiya sedagka dua segitiga yag mempuyai tiggi yag sama aka mempuyai perbadiga luas yag sama dega perbadiga pajag alasya.. Jika AB adalah diameter sebuah ligkara da C terletak pada ligkara maka ACB = 90 o.. Jika CD adalah tali busur suatu ligkara yag berpusat di O maka OM dega M adalah pertegaha CD aka tegak lurus CD. 4. Dua segitiga ABC da DEF dikataka sebagu jika memeuhi salah satu dari peryataa berikut : a. A = D ; B = E ; C = F BC CA AB b. = = EF FD DE AB DE c. = da A = D AC DF 5. Jika D adalah titik tegah dari sisi BC pada ABC, maka (AB) (AC) = ( (AD) (BD) )

8 Teorema ii disebut dega Teorema Appoloius 6. Jika ABCD adalah segiempat talibusur, maka : AB CD AD BC = AC BD Kebalikaya jika di dalam segiempat ABCD berlaku hubuga tersebut, maka segiempat itu adalah segiempat talibusur. 7. Jika ABCD adalah segiempat tali busur da diagoal AC berpotoga dega diagoal BD di E maka berlaku AE EC = BE ED 8. Garis bagi pada segitiga adalah garis yag membagi sudut suatu segitiga sama besar. 9. Garis tiggi pada segitiga adalah garis yag ditarik dari salah satu titik sudut sehigga tegak lurus sisi di hadapaya. 0. Garis berat (disebut juga dega media) pada segitiga adalah garis yag ditarik dari salah satu titik sudut memotog pertegaha sisi di hadapaya.. Garis sumbu pada segitiga adalah garis yag ditarik dari pertegaha sisi da dibuat tegak lurus sisi tersebut da memotog sisi di hadapaya.. Ketiga garis bagi, ketiga garis tiggi, ketiga garis berat da ketiga garis sumbu masigmasig aka berpotoga di satu titik.. Perpotoga ketiga garis bagi merupaka pusat ligkara dalam segitiga tersebut. 4. Jika garis bagi yag ditarik dari titik A pada segitiga ABC memotog sisi BC di titik D maka BD BA berlaku =. DC AC 5. Perpotoga ketiga garis sumbu merupaka pusat ligkara luar segitiga tersebut. 6. Perpotoga ketiga garis berat membagi ketiga garis berat tersebut masig-masig dega perbadiga :. KOMBINATORIK. a. Atura Jumlah Jika A da B adalah dua himpua berhigga yag salig lepas, maka : (A B) = (A) (B) Secara umum : (A A A ) = (A ) (A ) (A ) b. Atura Hasil Kali Jika A da B adalah dua himpua berhigga, maka : (AB) = (A) (B)

9 Secara umum : (AA A ) = (A ) (A ) (A ). Prisip Lubag Merpati (Pigeo Hole) Jika obyek disebar secara acak ke dalam kotak, maka palig sedikit satu kotak yag memiliki sedikitya obyek. Secara lebih umum, jika k obyek disebar secara acak ke dalam kotak maka palig sedikit ada satu kotak yag memiliki sedikitya k obyek.. Jika A da B adalah dua himpua berhigga, maka : (A B) = (A) (B) (A B) Utuk tiga himpua berhigga : (A B C) = (A) (B) (C) (A B) (A C) (B C) (A B C) Demikia seterusya utuk lebih dari himpua tak berhigga 4. Beberapa sifat koefisie biomial a. C r = C r ; 0 r b. C r C r = C r ; r c. Jika adalah bilaga bulat positif, maka : r r ( y) = C y = C C y C y L C y r= 0 d. Pejumlaha koefisie (i) C C (ii) r 0 L C C = C C C C L = 0 C C C L = 5. Misalka ada macam obyek da kita igi memilih r eleme, maka bayakya piliha adalah C r, dega r. 6. Misalka ada macam obyek da kita igi memilih k eleme dibolehka berulag (kita meggaggap bahwa setiap macam obyek tersedia pada setiap waktu). Maka bayakya piliha demikia adalah k C k dega k. 7. Misalka ada obyek dimaa k obyek adalah jeis pertama (da idetik), k obyek adalah jeis kedua,, k r adalah jeis ke-r sehigga k k k k r =. Maka bayakya! permutasi dari semua obyek adalah k! k! k! L k!. r

10 Baha Ajar Olimpiade Matematika CONTOH-CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN. Ada berapa bayak diatara bilaga-bilaga , 0000, 0000, 0000 yag habis dibagi 9? Pejumlaha digit = = 4 (tidak habis dibagi 9) Pejumlaha digit 0000 = = 6 (tidak habis dibagi 9) Pejumlaha digit 0000 = = 8 (tidak habis dibagi 9) Pejumlaha digit 0000 = = 0 (tidak habis dibagi 9) Karea semua pejumlaha digit tidak ada yag habis dibagi 9 maka tidak ada bilaga-bilaga tersebut yag habis dibagi 9.. Jika a679b adalah bilaga lima agka yag habis dibagi 7, tetuka ilai a da b. 7 = 9 8. Karea 9 da 8 relatif prima maka a679b harus habis dibagi 8 da 9. Karea a679b habis dibagi 8 maka 79b habis dibagi 8. Agar 790 b habis dibagi 8 maka b =. Karea a679 habis dibagi 9 maka a habis dibagi 9. Nilai a yag memeuhi haya. Jadi bilaga tersebut adalah Tetuka bilaga kuadrat 4 agka dega agka pertama sama dega agka kedua da agka ketiga sama dega agka keempat. Misal bilaga tersebut adalah aabb. Nilai b yag memeuhi adalah 0,, 4, 5, 6, atau 9. Tetapi, 55, 99 jika dibagi 4 bersisa sedagka 66 jika dibagi 4 bersisa yag membuat aabb tidak mugki merupaka bilaga kuadrat. Jadi ilai b yag mugki adalah 0 atau 4. Jika b = 0 maka aa00 = 0 (0a a) yag berakibat 0a a harus bilaga kuadrat. Tetapi,,,, 99 tidak ada satupu yag merupaka bilaga kuadrat. Sehigga tidak mugki b = 0. Jika b = 4 maka aa44 = (00a 4). Karea aa44 bilaga kuadrat maka 00a 4 habis dibagi. Sesuai dega sifat bilaga habis dibagi maka a 4 0 habis dibagi. Nilai a yag memeuhi haya 7. Jadi bilaga tersebut adalah Tetuka semua pasaga bilaga bulat (m,) yag memeuhi persamaa Alteratif : 5 58 m = = = 7 m. Karea m bilaga bulat maka 7 harus faktor dari 58. Nilai 7 yag memugkika adalah,,,, 9, 9. 58, 58 berakibat ilai yag memeuhi adalah 6, 8, 5, 9,, 6, 5, 65. Pasaga (m, ) yag memeuhi ( 5, 6), ( 4, 5), (, ), (4, 5), (6, 65), (7, 6), (4, 9), (6, 8). SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

11 Baha Ajar Olimpiade Matematika Alteratif : m 7m = 5 (m 5)( 7) = 58 Akibatya ( 7) da (m 5) harus faktor dari 58. Selajutya sama dega cara pertama. 5. Bilaga real,555 adalah bilaga rasioal, sehigga dapat ditulis dalam betuk bilaga-bilaga bulat, 0. Jika dipih m da yag relatif prima, berapakah m? Misal X =,555 maka 00X = 5,555 00X X = 5,555,555 99X = X = 99 Karea 50 da 99 relatif prima, maka m = 50 da = 99 m = 49. m, dimaa m, 6. Utuk setiap bilaga real α, kita defiisika α sebagai bilaga bulat yag kurag dari atau sama dega α. Sebagai cotoh 4, 9 = 4 da 7 = 7. Jika da y bilaga real sehigga y =, maka ilai terkecil yag mugki dicapai oleh y adalah? Karea 8 = 9 da 00 = 0 maka = 9 dipeuhi oleh 8 < 00 Karea 44 = da 69 = maka y = dipeuhi oleh 44 y < 69 y mi = y mi maks = 44 99,99 = 44,00 y mi = 44 = 9 da 7. Agka terakhir dari 6! Pasti 0. Tetuka bayakya agka 0 beruruta yag terletak pada akhir bilaga 6!. (Maksud soal ii adalah 6! = Ada berapa bayak agka ol yag terletak pada akhir bilaga tersebut). (Tada! meyataka faktorial.! =. Cotoh! = ;! = 6 ; 4! = 4 da sebagaiya) 6! = k p 5 q dega p > q. 6 6 q terbesar = 5 5 = 5 = 6. 6! = k r = m 0 6 dega m tidak habis dibagi 0. Maka bayakya agka ol beruruta yag terletak pada akhir bilaga 6! = 6. 6! = Buktika bahwa a 9 a habis dibagi 6, utuk setiap bilaga bulat a. Alteratif : a 9 a = a (a 8 ) a 9 a = a (a 4 ) (a 4 ) SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

12 Baha Ajar Olimpiade Matematika a 9 a = a (a ) (a ) (a 4 ) a 9 a = (a ) a (a ) (a ) (a 4 ) Karea (a ) a (a ) adalah perkalia bilaga bulat beruruta maka a 9 a habis dibagi! = 6. Alteratif : Sebuah bilaga bulat pasti aka memeuhi bahwa ia gajil atau geap. * Jika a geap maka a 9 adalah geap Maka a 9 a adalah selisih atara dua bilaga geap a 9 a geap * Jika a gajil maka a 9 adalah gajil Maka a 9 a adalah selisih atara dua bilaga gajil a 9 a geap Karea a 9 a geap maka berarti a 9 a habis dibagi. Aka dibuktika bahwa a 9 a juga habis dibagi. Alteratif. a : Sebuah bilaga bulat aka memeuhi salah satu betuk dari k, k atau k * Jika a = k a 9 a = 9 k 9 k = ( 8 k 9 k) yag berarti a 9 a habis dibagi * Jika a = k a 9 a = (k ) 9 (k ) = 9 k 9 9 C 8 k 8 9 C 7 k 7 9 C 7 k 9 C 8 k (k ) a 9 a = 9 k 9 9 C 8 k 8 9 C 7 k 7 9 C 7 k 4k = p a 9 a habis dibagi * Jika a = k a 9 a = (k ) 9 (k ) a 9 a = 9 k 9 9 C 8 k 8 9 C 7 k 7 9 C 7 7 k 9 C 8 k 8 (k ) a 9 a = 9 k 9 9 C 8 k 8 9 C 7 k 7 9 C 7 7 k 9 C 8 k 8 9 (k ) 9C 8 k 8 k = k ( 9 C 8 8 ) yag berati habis dibagi 9 = 5 = 50 habis dibagi. a 9 a habis dibagi Dapat disimpulka bahwa a 9 a habis dibagi. Alteratif. b : Teorema Fermat : Utuk a bilaga bulat da p prima maka a p a habis dibagi p. Peulisa dalam betuk lai adalah a p a 0 (mod p) atau bisa juga a p a (mod p) Berdasarka teorema Fermat maka a a habis dibagi da (a ) a juga habis dibagi. Maka (a ) a a a harus habis dibagi. (a ) a a a = a 9 a a 9 a habis dibagi. Karea da relatif prima maka a 9 a habis dibagi = 6 Terbukti bahwa a 9 a habis dibagi 6 utuk setiap bilaga bulat a 9. Tetuka A da B jika : AB B BA (0A B) (B) = (0B A) dega A 9 ; B 9 ; A da B bilaga bulat. 9A = 8B A = 8t da B = 9t dega t adalah bilaga bulat. 8t 9 Nilai t yag memeuhi haya t =. A = 8 da B = 9 SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

13 Baha Ajar Olimpiade Matematika 0. Berapakah agka satua dari : ? Agka satua dari : = adalah Agka satua dari : = 4 adalah 4 Agka satua dari : = 8 adalah 8 Agka satua dari : 4 = 6 adalah 6 Agka satua dari : 5 = adalah M Tampak bahwa agka satua utuk bil. asli berulag dega periode 4. Karea 005 = 4 50, maka agka satua dari 005 sama dega agka satua yaitu. Agka satua dari : = a = 9. Suatu bilaga terdiri dari agka. Bilaga tersebut sama dega 4 kali jumlah kedua agka tersebut. Jika agka kedua dikuragi agka pertama sama dega, tetuka bilaga tersebut. Misal bilaga itu adalah ab maka 0a b = 4(a b) a = b b a = a a = a = da b = 4 Jadi bilaga tersebut adalah 4.. Suatu bilaga terdiri dari agka. Bilaga tersebut sama dega kali jumlah ketiga agkaya. Tetuka bilaga tersebut. Misal bilaga tersebut adalah abc dega a 9 ; 0 b 9 ; 0 c 9, maka : 00a 0b c = ( a b c) 88a = b c b = (8a c) () Karea a, b da c bilaga bulat, maka b kelipata atau b = k da (8a c) = k. Karea 0 b 9, maka ilai k yag memeuhi adalah k = 0 b = 0 da c = 8a Karea 0 c 9, maka a = 0 (tidak memeuhi) atau a = (memeuhi) c = 8 = 8. Bilaga tersebut adalah : 08.. Diketahui bahwa 5k = 005 utuk k da bulat serta adalah bilaga yag terdiri dari tiga digit dega ketiga digitya semuaya berbeda. Tetuka semua ilai yag mugki. Karea 5k da da 005 habis dibagi 5 maka habis dibagi 5 yag berakibat habis dibagi 5. tidak aka habis dibagi 0 sebab aka membuat dua agka terakhirya 00. < 000 < 4 Nilai yag mugki adalah 5 atau 5. Karea 5 = 5 yag membuat terdapat dua digit yag sama maka = 5 = 65 sebagai satusatuya ilai yag memeuhi. 4. Diketahui a p b = dega a da b masig-masig adalah bilaga gajil serta diketahui bahwa 945 p 005. Ada berapa bayak ilai p bulat yag mugki memeuhi persamaa tersebut? (Catata : adalah bilaga asli terdiri dari 8 agka) SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

14 Baha Ajar Olimpiade Matematika Karea adalah bilaga gajil da a serta b gajil maka p harus geap Bilaga geap yag terletak di atara 945 da 005 ada sebayak = Maakah yag lebih besar : 75 atau 5 75? Buktika 75 = ( 7 ) 5 = 8 5 da 5 75 = (5 ) 5 = > > lebih besar dari Misal f adalah suatu fugsi yag memetaka dari bilaga bulat positif ke bilaga bulat positif da didefiisika dega : f(ab) = b f(a) a f(b). Jika f(0) = 9 ; f() = 5 da f(5) = 6. Tetuka f(8). f(0) = f(0 ) = f(0) 0f() = = 748 () f(0) = f(8 5) = 8f(5) 5f(8) = 8 6 5f(8) = 08 5f(8) () 748 = 08 5f(8) f(8) = 6 7. Jika y = mempuyai arti y diyataka dalam. Dari persamaa tersebut tetuka diyataka dalam y. 7y 945y = 7y = 945y (7y ) = 945y 945y = 7y 8. Misalka bahwa f() = 5 a 4 b c d c da bahwa f() = f() = f() = f(4) = f(5). Berapakah ilai a? Misal f() = f() = f() = f(4) = f(5) = k Dibetuk persamaa poliomial : g() = 5 a 4 b c d c k g() = f() k Jelas bahwa g() = g() = g() = g(4) = g(5) = 0 Berarti bahwa ; ; ; 4 da 5 adalah akar-akar persamaa poliomial g() = 0. 5 a 4 b c d c k = 0 B a 4 5 = = = a A Karea akar-akarya adalah ; ; ; 4 da 5 maka : 4 5 = a a = 5 SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

15 Baha Ajar Olimpiade Matematika 9. Jika α, β da γ adalah akar-akar persamaa = 0 tetuka B α β γ = = 0 A C αβ αγ βγ = = A = α β γ β β γ. D ( ) αβγ = = = A α β γ = α β γ = = = 7 ( α )( β )( γ ) ( β )( α )( γ ) ( γ )( α )( γ ) ( α )( β )( γ ) ( α β γ ) ( αβ αγ βγ ) αβγ ( α β γ ) ( αβ αγ βγ ) αβγ (0) ( ) () (0) ( ) () 0. Buktika bahwa 7, da 8 adalah faktor dari Karea 05 gajil maka habis dibagi 4 = = ( ) 5 (4 ) 5 = Karea 5 gajil maka habis dibagi 7 64 = 9. Karea 9 = 7 maka habis dibagi = ( 5 ) (4 5 ) = 4 04 Karea gajil maka habis dibagi 4 04 = 67. Karea 67 = 7 8 maka habis dibagi 8.. Utuk sebarag bilaga real a, b, c buktika ketaksamaa 5a 5b 5c 4ab 4ac 4bc da tetuka kapa kesamaa berlaku. (a b) 0 a b ab Pertidaksamaa di atas dapat diperoleh pula dari pertidaksamaa AM-GM a b a b a b ab () Kesamaa terjadi bila a = b Berdasarka persamaa () didapat : a c ac () b c bc () () () () a b c ab ac bc 4a 4b 4c 4ab 4ac 4bc (4) Bilaga kuadrat berilai 0 maka : a b c 0 (5) Kesamaa terjadi haya jika a = 0, b = 0 da c = 0 SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

16 Baha Ajar Olimpiade Matematika (4) (5) 5a 5b 5c 4ab 4ac 4bc Kesamaa terjadi haya jika a = b = c = 0 Terbukti bahwa 5a 5b 5c 4ab 4ac 4bc. Utuk a, b da c bilaga positif, buktika pertidaksamaa (a b)(b c)(c a) 8abc. a b AM GM ab a b ab Maka a c ac da b c bc (a b)(a c)(b c) ab ac bc (a b)(b c)(c a) 8abc (terbukti). Hituglah ilai L Soal di atas merupaka cotoh prisip teleskopik. = ; = ; = ; ; = L = L L = L = L L = L Misal S = L L S = L L S = L S = Tomi melakuka perjalaa dari kota A ke kota B dega mobil. Jika jalaa meajak, Tomi memacu mobilya dega kecepata 40 km/jam sedagka jika jalaa meuru Tomi memacu kedaraaya dega kecepata 60 km/jam. Jalaa dari kota A ke kota B haya jalaa meajak atau meuru saja SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

17 Baha Ajar Olimpiade Matematika serta tidak ada jalaa yag medatar. Jika Tomi membutuhka waktu dari kota A ke kota B lalu kembali lagi ke kota A dalam waktu 5 jam tapa istirahat, maka berapa km jarak kota B dari kota A? Misal Jarak jala meajak dari A ke B = da jarak jala meuru dari A ke B = y. y y 5 = y y 5 = = (40 60)( y) y = 0 Jarak dari B ke kota A = 0 km 6. Empat buah titik berbeda terletak pada satu garis lurus. Jarak atara sebarag dua titik dapat diurutka mejadi barisa, 4, 5, k, 9, 0. Tetuka ilai k. Misal garis tersebut terletak pada sumbu X. Agap titik A adalah titik palig kiri, D palig kaa serta B da C terletak di atara A da D. Titik A berada pada = 0 D berada pada koordiat = 0. Karea ada yag berjarak maka salah satu B atau C aka berada di = atau = 9 Tapa meguragi keumuma soal misalka titik tersebut adalah B. B terletak pada = Jarak B da D = 9 Karea harus ada dua titik yag berjarak 4 maka kemugkia posisi C ada di = 4, 5 atau 6. Posisi C tidak mugki di = 4 sebab aka membuat jarak atara sebarag dua titik adalah,, 4, 6, 9, 0. Posisi C tidak mugki di = 5 sebab aka membuat jarak atara sebarag dua titik adalah, 4, 5, 9, 0 (tidak ada ilai k) Maka posisi C ada di = 6 yag aka membuat jarak dua titik sebarag adalah, 4, 5, 6, 9, 0 k = 6 B terletak pada = 9 Jarak B da A = 9 Karea harus ada dua titik yag berjarak 4 maka kemugkia posisi C ada di = 4, 5 atau 6. Posisi C tidak mugki di = 6 sebab aka membuat jarak atara sebarag dua titik adalah,, 4, 6, 9, 0. Posisi C tidak mugki di = 5 sebab aka membuat jarak atara sebarag dua titik adalah, 4, 5, 9, 0 (tidak ada ilai k) Maka posisi C ada di = 4 yag aka membuat jarak dua titik sebarag adalah, 4, 5, 6, 9, 0 k = 6 7. Sebuah bujur sagkar ukura 5 5 dibagi mejadi 5 bujur sagkar satua. Masig-masig bujur sagkar satua aka diisi dega bilaga,,, 4 atau 5. Pada masig-masig baris, kolom da dua diagoal utama (dari kaa atas ke kiri bawah da dari kiri atas ke kaa bawah) kelima bujur sagkar satua tersebut harus diisi oleh bilaga yag berbeda. Lihat diagoal utama dari kiri atas ke kaa bawah. Perhatika 4 buah bujur sagkar satua di bawah diagoal tersebut yag juga membetuk diagoal. Buktika bahwa jumlah keempat bilaga pada bujur sagkar tersebut tidak aka sama dega 0. SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

18 Baha Ajar Olimpiade Matematika Adaika keempat bilaga tersebut = 0 F L R X = 0 yag haya dapat dipeuhi jika F = L = R = X = 5. Pada kolom ke-5 harus terdapat satu bilaga 5. Akibatya E = 5. Karea dalam masig-masig kolom haya terdapat satu bilaga 5, maka bayakya bilaga 5 ada tepat sebayak 5. Tetapi pada diagoal utama dari kiri atas ke kaa bawah belum terdapat bilaga 5 sedagka bilaga 5 telah terdapat sebayak 5 (kotradiksi). Maka tidak mugki F L R X = Jika betuk pagkat (a b c d e) 7 diekspasika mejadi suku-sukuya, maka tetuka koefisie dari a cd e. (a b c d e) 7 = (a (b c d e)) 7 maka koefisie dari a (b c d e) 5 adalah 7 C sehigga : (a b c d e) 7 = 7 C a (b c d e) 5 (a b c d e) 7 = 7 C a 5C 0 b 0 (c d e) 5 (a b c d e) 7 = 7 C 5 C 0 a 5C c (d e) 4 (a b c d e) 7 = 7 C 5 C 0 5 C a c 4 C d e (a b c d e) 7 = 7 C 5 C 0 5 C 4 C a cd e Koefisie dari a cd e adalah 7 C 5 C 0 5 C 4 C = 5 4 Koefisie dari a cd e = Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola yag masig-masig beromor,, da 4. Tomi megambil bola secara acak lalu mecatat omorya da megembalikka bola tersebut ke dalam kotak. Hal yag sama ia lakuka sebayak 4 kali. Misalka jumlah keempat omor bola yag diambilya sama dega. Ada berapa bayak cara ia medapatka hal tersebut? Alteratif : Kemugkia empat jeis bola yag terambil adalah : Keempat bola tersebut adalah (,, 4, 4) 4! Bayakya kemugkia = =! Semua kemugkiaya adalah (,, 4, 4) ; (, 4,, 4) ; (, 4, 4, ) ; (,, 4, 4) ; (, 4,, 4) ; (, 4, 4, ) ; (4,,, 4) ; (4,, 4, ) ; (4,,, 4) ; (4,, 4, ) ; (4, 4,, ) ; (4, 4,, ) Keempat bola tersebut adalah (,,, 4) 4! Bayakya kemugkia = =! SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

19 Baha Ajar Olimpiade Matematika Semua kemugkiaya adalah (,,, 4) ; (,, 4, ) ; (, 4,, ) ; (,,, 4) ; (,, 4, ) ; (,,, 4) ; (,, 4, ) ; (, 4,, ) ; (, 4,, ) ; (4,,, ) ; (4,,, ) ; (4,,, ) Keempat bola tersebut adalah (,, 4, 4) 4! Bayakya kemugkia = = 6!! Semua kemugkiaya adalah (,, 4, 4) ; (, 4,, 4) ; (, 4, 4, ) ; (4,,, 4) ; (4,, 4, ) ; (4, 4,, ) Keempat bola tersebut adalah (,,, ) 4! Bayakya kemugkia = = 4! Semua kemugkiaya adalah (,,, ) Total bayakya kemugkia adalah 6 = Alteratif : Dega cara medaftar semua kemugkiaya. 0. Delegasi Idoesia ke suatu pertemua pemuda iterasioal terdiri dari 5 orag. Ada 7 orag pria da 5 orag waita yag mecaloka diri utuk mejadi aggota delegasi. Jika dipersyaratka bahwa palig sedikit seorag aggota itu harus waita, bayakya cara memilih aggota delegasi adalah Susua delegasi yag mugki adalah 4 pria da waita atau pria da waita atau pria da waita atau pria da 4 waita atau 5 waita. Bayakya cara memilih aggota delegasi adalah 7 C 4 5 C 7 C 5 C 7 C 5 C 7 C 5 C 4 7 C 0 5 C 5 = = = 77 cara. Bayakya cara memilih aggota delegasi ada 77.. Tiga buah titik terletak pada daerah yag dibatasi oleh sumbu y da grafik persamaa 7 y = 0. Buktika bahwa sedikitya dua di atara ketiga titik tersebut mempuyai jarak tidak lebih dari 4 satua. y = 0 7 = y = ( y 7 )( y 7 ) 7 merupaka suatu persamaa parabola dega pucak di (,0) da titik potog dega sumbu Y di (0, 7) da (0, 7). Tampak bahwa ada daerah. Satu daerah di atas sumbu X da satu daerah lagi di bawah sumbu X. SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

20 Baha Ajar Olimpiade Matematika Jarak AB = ( 0) ( 0 7 ) = 4 Jarak AC = ( 0) ( 0 ( 7) ) = 4 Utuk 0 y 7, tampak bahwa jarak terjauh titik terjadi jika kedua titik tersebut di A da B dega jarak AB = 4. Utuk 7 y 0, tampak bahwa jarak terjauh titik terjadi jika kedua titik tersebut di A da C dega jarak AC = 4. Karea ada buah titik da ada daerah maka sesuai Pigeo Hole Priciple (PHP) maka sekuragkuragya ada titik dalam satu daerah yaitu memiliki ordiat 0 y 7 atau 7 y 0. Dari pejelasa di atas dapat disimpulka bahwa jika titik terletak pada daerah yag dibatasi oleh sumbu Y da grafik persamaa 7 y = 0, maka sedikitya titik di atara ketiga titik tersebut mempuyai jarak tidak lebih dari 4 satua.. Garis AB da CD sejajar da berjarak 4 satua. Misalka AD memotog BC di titik P diatara kedua garis. Jika AB = 4 da CD =, berapa jauh P dari garis CD? Dibuat garis EF tegak lurus AB maupu CD serta melalui titik P. Karea CPD = APB da AB sejajar dega CD, maka APB kogrue dega CPD. EP CD = = = PF AB 4 PF = EP () EP PF = 4 EP EP = 4 EP = satua. Perhatika gambar. ABCD da BEFG masig-masig adalah persegi (bujur sagkar) dega pajag sisi 8 da 6. Tetuka luas daerah yag diarsir. Alteratif : Luas arsir = Luas ABCD Luas BEFG Luas ADE Luas EGF Luas arsir = 8 6 ½ 8 4 ½ 6 6 Luas arsir = Luas arsir = 6 Alteratif : Misal garis DE berpotoga dega BG di H AD HB 8 HB 4 = = HB = CH = 8 HB = AE BE Luas arsir = Luas DCH Luas EGH Luas arsir = ½ DC CH ½ GH BE GH = 6 HB = 8 7 SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

21 Baha Ajar Olimpiade Matematika 8 Luas arsir = Luas arsir = 6 4. Diketahui ABC dega AC = BC = 0 cm. Dari titik C dibuat garis bagi sudut ACB, sehigga memotog AB di titik D. Dibuat garis DE tegak lurus pada AB, sehigga BC = EB. Dari titik D dibuat garis tegak lurus pada EB da memotog EB di titik F. Jika pajag AD = 8 cm. Hituglah pajag EF. AC AD Karea CD adalah garis bagi maka = DB = 4 cm BC DB Karea BE = BC = 5 cm da DB = 4 cm maka DE = cm. Alteratif : EFD sebagu dega BDE (serig ditulis dega EFD BDE) EF DE EF = DE BE = 5 EF =,8 cm Alteratif : Luas BDE = ½ BE DF = ½ DE BD (5) (DF) = ()(4) DF = cm 5 5 ( DE) ( ) = () = EF = DF 5 5 EF =,8 cm Alteratif : (DF) = (DE) (EF) = (BD) (BF) (BF) (EF) = (BD) (DE) (BE EF) (EF) = (BD) (DE) = 4 = 7 5 0(EF) (EF) (EF) = 7 5 0(EF) = 7 EF =,8 cm 5. Hituglah luas daerah yag diarsir SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

22 Baha Ajar Olimpiade Matematika Luas daerah yag diarsir = Luas ABD Luas ABE Luas ABC = ½ 4 6 ½ 4 9 ½ 4 = ( 8 ) cm = 8 cm 6. ABC adalah sebuah segitiga dega pajag AB = 6. Dibuat sebuah ligkara dalam yag meyiggug sisi AB di K, AC di L da BC di M (lihat gambar). Jika pajag LC = 5, tetuka kelilig segitiga ABC. Perhatika bahwa CM = CL, BM = BK da AL = AK Kelilig ABC = BK KA AL LC CM MB Kelilig ABC = BK KA KA LC LC BK Kelilig ABC = (BK KA) LC Kelilig ABC = AB LC = 6 5 Kelilig ABC = 7. Pada segitiga ABC diketahui pajag AC = 5, AB = 6 da BC = 7. Dari titik C dibuat garis tegak lurus sisi AB memotog sisi AB di titik D. Tetuka pajag CD. Alteratif : Misalka pajag AD = BD = 6 CD = AC AD = BC BD 5 = 7 (6 ) 4 = 6 = CD = 5 CD = 6 Alteratif : s = ½ (5 6 7) = 9 Luas ABC = s( s a)( s b)( s c) = 9(9 5)(9 6)(9 7) = 6 6 Luas ABC = ½ AB CD = CD CD = 6 6 CD = 6 SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

23 Baha Ajar Olimpiade Matematika 8. Perhatika gambar. AB da CD adalah diameter ligkara dega AB = CD = 8 serta AB da CD salig tegak lurus. Busur AC, CB, BD da DA adalah 4 busur yag kogrue dega dua busur yag berdekata salig bersigguga. Tetuka luas daerah yag diarsir. (Jawaba boleh diyataka dalam π. Igat bahwa π 7 maupu,4.) Alteratif : Buat persegi EFGH dega A, B, C da D adalah pertegaha sisi-sisiya. Luas arsir = Luas persegi EFGH 4 Luas /4 ligkara Luas arsir = (¼ π 4 ) Luas arsir = 64 6π Alteratif : Misal perpotoga garis AB da CD di titik O Luas tembereg AC = Luas /4 ligkara Luas AOC Luas tembereg AC = ¼ π 4 ½ 4 4 Luas tembereg AC = 4π 8 Luas arsir = Luas ligkara 8 Luas tembereg Luas arsir = π 4 8 (4π 8) Luas arsir = 64 6π SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

24 Baha Ajar Olimpiade Matematika KUMPULAN SOAL MATERI DASAR OLIMPIADE MATEMATIKA BIDANG TEORI BILANGAN Sumber :. Mu Alpha Theta Natioal Covetio : Dever 00 Number Theory Topic Test. Alabama State-Wide Mathematics Cotest Clipherig Questio. Yag maakah di atara bilaga berikut yag memeuhi bersisa jika dibagi? 0 B. C. D. E. Tidak ada. Tetuka jumlah 00 bilaga asli pertama yag buka bilaga kuadrat. 080 B. 570 C. 605 D. 650 E. Tidak ada. Tetuka ilai terbesar sehigga membagi! 0 B. 5 C. 5 D. 55 E. Tidak ada 4. N adalah bilaga bulat positif da memeuhi jika dibagi bersisa da jika dibagi bersisa. Berapakah sisaya jika N dibagi 6? 5 B. C. D. E. Tidak ada 5. Tetuka bilaga terkecil yag merupaka kelipata da satu lebihya dari suatu bilaga kelipata 7. 9 B. 5 C. 65 D. 78 E. Tidak ada 6. Berapa bayakkah akhira agka 0 berturut-turut yag dimiliki oleh 4!? 6 B. C. D. 7 E. Tidak ada 7. Tetuka bilaga asli terkecil yag memiliki faktor sebayak. 60 B. 7 C. 84 D. 90 E. Tidak ada 8. Tetuka bilaga asli terkecil yag memiliki faktor sebayak yag tidak habis dibagi. 6 B. 40 C. 60 D. 0 E. Tidak ada 9. Berapakah pejumlaha semua faktor dari 84? B. 8 C. 4 D. 4 E. Tidak ada 0. Yag maakah di atara bilaga-bilaga berikut ii yag relatif prima terhadap yag lai? B. 00 C. 78 D. 77 E. Tidak ada. Jika 0a bersisa jika dibagi (persoala ii kadag-kadag ditulis dega 0a (mod ), maka berapakah sisaya jika 7a dibagi? B. C. 9 D. E. Tidak ada. Sebuah bilaga 4 agka 6A6A habis dibagi 7. Berapakah pejumlaha semua agka yag mugki dari A? B. 7 C. 9 D. E. Tidak ada SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

25 Baha Ajar Olimpiade Matematika. Jika bersisa 4 jika dibagi 5 da 5 dibagi 7 bersisa 6, yag maakah di atara bilaga-bilaga berikut yag mugki merupaka? 9 B. 4 C. 5 D. 60 E. Tidak ada 4. Tetuka bilaga terkecil yag memeuhi sifat bersisa jika dibagi oleh,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, B. 89 C. 69 D. 59 E. Tidak ada 5. Jumlah bilaga asli pertama sama dega S dimaa S habis dibagi 8. Tetuka ilai terkecil dari. 60 B. 6 C. 8 D. 8 E. Tidak ada 6. Tetuka agka puluha dari B. 4 C. 7 D. 9 E. Tidak ada 7. Yag maakah di atara bilaga-bilaga berikut yag habis dibagi 99? 556 B. 708 C. 86 D. 57 E. Tidak ada 8. Hasil kali dua bilaga asli adalah Nilai selisih positif terkecil dari kedua bilaga tersebut adalah B. 4 C. 6 D. 8 E. Tidak ada 9. Kelipata persekutua terkecil (KPK) dari tiga bilaga 97, 48 da 67 adalah 0 B C D E. Tidak ada 0. Berapakah sisaya jika 5 0 dibagi 8? B. C. 5 D. 7 E. Tidak ada. Jika M adalah kelipata persekutua terkecil (KPK) dari 0 bilaga asli pertama, maka bayakya faktor positif dari M adalah 960 B. 0 C. 00 D. 78 E. Tidak ada SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

26 Baha Ajar Olimpiade Matematika KUMPULAN SOAL MATERI DASAR OLIMPIADE MATEMATIKA BIDANG ALJABAR. Jika bilaga 6 agka A8787B habis dibagi 44, maka tetuka ilai A da B yag mugki?. Tetuka bilaga asli terkecil yag memiliki faktor sebayak 4.. Tetuka pejumlaha semua faktor-faktor positif dari Tetuka ilai yag memeuhi persamaa = 5 5. Buktika bahwa merupaka bilaga kelipata. 6. Jika diketahui ilai 4y 0y 48 4y 0y 5 = 9 maka berapakah ilai dari 4y 0y 48 4y 0y 5? 7. Berapakah pejumlaha semua bilaga prima yag memeuhi lebihya dari bilaga kelipata 4 da kuragya dari suatu bilaga kelipata Misalka N adalah bilaga bulat terkecil yag bersifat : bersisa jika dibagi 5, bersisa jika dibagi oleh 7, da bersisa 4 jika dibagi 9. Tetuka N. 9. Bilaga! Jika dituliska aka mejadi AB00C00. Tetuka ilai A, B da C. 0. Utuk bilaga cacah buktika bahwa 5 habis dibagi 0.. Selesaika sistem persamaa berikut : y = ; yz = ; z = y y z z 7 SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

27 Baha Ajar Olimpiade Matematika KUMPULAN SOAL MATERI DASAR OLIMPIADE MATEMATIKA BIDANG KOMBINATORIK Sumber :. Mu Alpha Theta Natioal Covetio 00 : Probability/Permutatios/Combiatios. Mu Alpha Theta Natioal Covetio 00 : Alpha Probability. Dari 5 aggota sebuah orgaisasi aka diambil orag yag aka mewakili orgaisasi tersebut ke suatu pertemua. Berapa bayak susua berbeda dari perwakila orgaisasi 5! B. 5 P C. 5 C D. (5)() E. Tidak ada. Sebuah perusahaa di bidag memperkerjaka 5 isiyur da 0 orag age pejuala. Sebuah komite yag terdiri dari isiyur da da age pejuala dibetuk utuk membahas produk baru. Berapa bayak susua komite yag dapat dibetuk? 890 B C. 46 D E. Tidak ada. Pada sebuah egara plat kedaraa terdiri dari agka diikuti abjad. Aggap bahwa agka 0 boleh ditaruh di muka. Berapakah maksimum jumlah plat yag dapat dibuat di egara tersebut? B C D E. Tidak ada 4. Tetuka ilai P jika diketahui C =. 70 B. 0 C. 0 D. 5 E. Tidak ada 5. Dua bilaga bulat positif dipilih secara acak. Berapakah peluag bahwa perkalia kedua bilaga tersebut meghasilka bilaga geap? B. 4 C. 4 D. E. Tidak ada 6. Ada berapa bayak jala jika huruf-huruf pada MUALPHATHETA disusu? B C D E. Tidak ada 7. Tetuka bayakya diagoal pada segi 0. 0 B. 8 C. 8 D. 5 E. Tidak ada 8. Tiga buah dadu dilempar. Tetuka peluag muculya jumlah mata dadu tidak lebih dari B C D. 54 E. Tidak ada 9. Ada berapa bayak bilaga gajil yag dapat dibetuk dega megguaka agka-agka,, 5 da 7 jika agka-agka tersebut tidak boleh diulag? 8 B. 7 C. 6 D. 45 E. Tidak ada 0. Himpua S adalah *, $, %}. Berapa bayak himpua bagia dari S yag tidak kosog? 6 B. 6 C. 64 D. 7 E. Tidak ada SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

28 Baha Ajar Olimpiade Matematika. Tetuka kostata dari pejabara betuk 67 B. 84 C. D. 84 E. Tidak ada. Jika faktor positif dari 00 diambil secara acak, berapakah peluag yag terambil adalah bilaga bulat? 4 B. 8 5 C. 4 9 D. 6 7 E. Tidak ada. Dari 0 ekor ajig pada sebuah tempat terdapat 5 ajig betia da ajig berwara hitam. Diketahui bahwa seperlima ajig adalah jata hitam. Jika seekor ajig dipilih secara acak berapakah peluag terambilya ajig betia yag tidak berwara hitam? 0, B. 0, C. 0, D. 0,4 E. Tidak ada 4. Jika a C 5 = a C 7 da b = a P, tetuka ilai a b. 4 B. 78 C. 44 D. 5 E. Tidak ada 5. Pada sebuah kota, omor telepo terdiri dari 7 agka. Agka 0 diperbolehka ditaruh di muka. Berapakah peluag bahwa ketujuh agkaya beruruta (bisa aik atau tutu)? Cotoh omor telepo tersebut adalah 4567 ; B C D. 7 0 E. Tidak ada 6. Jika da y adalah dua buah bilaga positif lebih dari 0 tapi kurag dari 4, berapakah peluag bahwa jumlah da y kurag dari? 8 B. 6 C. 4 D. E. Tidak ada 7. Sebuah kartu diambil dari tumpuka kartu bridge. Berapakah peluag yag terambilya adalah kartu atau kig? 5 B. 6 C. D. E. Tidak ada 8. Nama-ama 8 buah poligo beratura ditulis pada sebuah kartu. Satu poligo satu kartu. Nama-ama poligo tersebut adalah segitiga sama sisi, persegi, segi-5 beratura, segi-6 beratura sampai dega kaartu yag ke-8 yaitu segi-0 beratura. Jika sebuah kartu diambil dari tumpuka ii, berapakah peluag yag terambil adalah kartu yag bertuliska ama poligo yag sudut dalamya buka bilaga bulat dega sudut diyataka dalam derajat? 7 0 B. C. 0 D. E. Tidak ada 9. Permaia ROOK megguaka 45 kartu. Kartu tersebut terdiri dari Rook, da 4 jeis kartu berbeda wara yag masig-masig terdiri dari kartu. Wara-wara kartu tersebut adalah merah, kuig, hijau da hitam. Permaia ii dimaika oleh 4 pemai. Masig-masig pemai megambil 0 buah kartu secara acak sehigga tiggal 5 buah kartu yag tidak diguaka sampai permaia berakhir. Jika kartu Rook diaggap dapat mejadi kartu berwara apa saja, ada berapa carakah seorag pemai medapatka ke-0 kartuya berwara sama? 44 B. 66 C. 64 D. 58 E. Tidak ada SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

29 Baha Ajar Olimpiade Matematika 0. Disediaka 6 bilaga positif da 8 bilaga egatif. Empat buah bilaga diambil secara acak. Berapakah peluag perkalia keempat bilaga tersebut adalah bilaga positif? B C D. 00 E. Tidak ada. Keadaa murid kemugkiaya adalah sehat atau sakit, Misalka murid sekarag sehat maka peluag dia tetap sehat besok adalah 95%. Jika murid hari ii sakit maka peluag dia tetap sakit besok adalah 55%. Diketahui bahwa 0% murid hari ii sakit, maka prosetase murid diperkiraka sakit besok adalah % B. 5% C. 0% D. 5% E. Tidak ada. Bilaga bulat dari sampai dalam basis 0 ditulis masig-masig bilaga pada kartu. Satu buah kartu kemudia diambil secara acak. Berapakah peluag yag terambil adalah kartu bertuliska bilaga yag sekurag-kuragya terdiri dari agka jika dituliska dalam basis 6? B C D. 000 E. Tidak ada. Eam huruf dari kata BOGGLES dipilih kemudia disusu. Ada berapa carakah meyusu huruf-huruf ii? 5040 B C. 40 D. 50 E. Tidak ada 4. L adalah satu set koordiat (,y) yag memeuhi,y bilaga bulat da y = 65. Empat buah titik kemudia dipilih secara acak dari L da merupaka titik sudut dari sebuah segi empat. Tetuka peluag bahwa keempat titik tersebut aka membetuk sebuah jajara gejag B C D E. Tidak ada 5. Tetuka bayakya susua huruf dari kata PRIVACY jika disyaratka huruf vokal harus salig berdekata B. 440 C. 008 D. 70 E. Tidak ada 6. Kode kartu siswa pada sebuah sekolah megguaka kode 9 digit yag masig-masig berada pada rage 0 sampai dega 9 da digit-digit kartu tersebut tidak ada yag sama. Digit 0 diperbolehka ditaruh dimuka. Jika kartu siswa diambil secara acak, berapakah peluag yag terambil, ke-9 digitya selalu aik da beruruta? 9 0 B. 0! C. 0! D. 0 C 9 E. Tidak ada aak pada sebuah sekolah memiliki masig-masig loker yag diberi tada omor sampai 500. Pada saat kegiata di sekolah dimulai, kodisi loker dalam keadaa tertutup. Aak yag memiliki loker dega omor membuka semua loker. Setelah itu terjadi, aak yag memiliki loker dega omor kemudia meutup loker dega omor yag merupaka kelipata. Pekerjaa dilajutka oleh aak dega omor loker. Ia membalikka kodisi loker dega omor kelipata. Artiya ia membuka loker dega omor kelipata apabila sebelumya dalam kodisi tertutup da ia meutup loker dega omor kelipata yag kodisi sebelumya terbuka. Pekerjaa membalikka kodisi loker juga dilakuka oleh aak dega omor loker 4 sampai dega 500 berturut-turut. Setelah aak dega omor loker 500 melakuka tugasya, berapa bayak loker dalam keadaa terbuka? B. 94 C. 95 D. 96 E. Tidak ada SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

30 Baha Ajar Olimpiade Matematika 8. Sebuah sekolah swasta terdiri dari SLTP da SLTA dega jumlah total siswa sebayak 00 siswa dega 640 di ataraya adalah siswa waita. Jumlah siswa SLTP sebayak 60 siswa dega 00 di ataraya adalah siswa waita. Berapakah peluag terpilihya seorag siswa di sekolah tersebut adalah siswa SLTP atau berjeis kelami waita? 0 B. 5 8 C. D. E. Tidak ada 9. Sebuah kotak berisi 4 bola merah da bola biru. Dua bola sekaligus. Berapakah peluag yag terambil adalah bola yag berbeda wara? 5 4 B. 5 6 C. 5 8 D. E. Tidak ada 0. Pada sebuah perlombaa, orag aak yaitu A da B aka diadu kemampuaya. Masig-masig aak aka diberika pertayaa secara bergatia. Maksimal jumlah pertayaa sebayak 5. Pemai aka diyataka meag maakala jumlah meagya lebih bayak dibadigka lawaya. Pertadiga aka dihetika jika terjadi seorag pemai tidak aka mugki megejar ketertiggalaya dari lawaya. Pemai A mempuyai kemampua mejawab bear pertayaa yag diajuka sebesar 75% sedagka B haya mempuyai kemampua mejawab bear pertayaa yag diajuka sebesar 60%. Tetuka peluag bahwa pertadiga tersebut aka dihetika ketika masig-masig pemai tepat baru meyelesaika 4 pertayaa B C D. 000 E. Tidak ada SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

31 Baha Ajar Olimpiade Matematika PIGEON HOLE PRINCIPLE Pige Hole Priciple (Prisip Lubag Merpati) megataka bahwa jika lebih dari beda dimasukka ke dalam kotak, maka sedikitya ada satu kotak yag berisi lebih dari satu beda. Secara umum bahwa jika ada lebih dari p beda dimasukka ke dalam kotak maka sedikitya ada satu kotak berisi lebih dari p beda. m m L m Betuk Lai : Jika bilaga bulat m, m, m,, m memiliki rata-rata > r, maka sedikitya satu di atara bilaga-bilaga bulat tersebut lebih besar atau sama dega r. Cotoh : Jika ada 0 surat yag aka dimasukka ke dalam 50 kotak pos, buktika bahwa ada sedikitya satu kotak pos berisi sekurag-kuragya surat. m Jawab : Jika seluruh kotak pos masksimal haya berisi surat, maka jumlah maksimal surat yag dapat masuk kotak pos adalah 00. Tetapi jumlah surat yag ada yaitu 0. Maka dapat dipastika ada sedikitya satu kotak pos berisi sekuragkuragya surat. LATIHAN SOAL :. Pada sebuah pesta setiap orag yag hadir diharuska membawa perme. Jika pada pesta tersebut jumlah orag yag hadir ada 0 sedagka jumlah perme yag ada sebayak 50 buah, buktika bahwa ada sekurag-kuragya orag yag membawa perme dalam jumlah yag sama.. Jika terdapat titik yag terletak di dalam sebuah persegi dega pajag sisi, buktika bahwa ada sekurag-kuragya titik yag memiliki jarak tidak lebih dari satua.. Jika terdapat titik yag terletak di dalam sebuah segitiga sama sisi dega pajag sisi, buktika bahwa ada sedikitya titik yag jarakya satu sama lai palig jauh. 4. Jika diketahui m adalah bilaga bulat a, a, a,, a m, tujukka bahwa ada bilaga bulat k, s dega 0 k < s m sedemikia sehigga a k a k a s habis dibagi m. 5. Tiga buah titik terletak pada daerah yag dibatasi oleh sumbu y da grafik persamaa 7 y = 0. Buktika bahwa sedikitya dua di atara ketiga titik tersebut mempuyai jarak tidak lebih dari 4 satua. 6. Di atara bilaga-bilaga,,, 00, jika 0 bilaga diambil, maka tujukka bahwa ada dua bilaga di atara yag terambil sedemikia sehigga yag satu habis dibagi yag lai. 7. Buktika bahwa jika 00 bilaga diambil dari himpua,,,, 00 sedemikia sehigga sedikitya satu diataraya lebih kecil dari 5, maka ada dua di atara yag terpilih sehigga yag satu habis dibagi yag lai. 8. Buktika bahwa di atara 7 bilaga bulat, pasti ada sekurag-kuragya sepasag bilaga yag selisihya habis dibagi 6. SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

32 Baha Ajar Olimpiade Matematika 9. Buktika bahwa di atara 5 bilaga bulat pasti ada di ataraya memiliki jumlah habis dibagi. 0. Misalka bilaga-bilaga sampai 0 ditempatka dalam uruta bagaimaa pu pada sebuah ligkara. Tujukka bahwa : a. ada tiga bilaga berdekata yag jumlahya sedikitya b. ada empat bilaga berdekata yag jumlahya sedikitya 4. Titik letis pada bidag adalah titik yag mempuyai koordiat berupa pasaga bilaga bulat. Misalka P, P, P, P 4, P 5 adalah lima titik letis berbeda pada bidag. Buktika bahwa terdapat sepasag titik (P i, P j ), i j, demikia, sehigga ruas garis P i P j memuat sebuah titik letis selai P i da P j.. Titik letis pada ruag adalah titik yag mempuyai koordiat berupa tripel bilaga bulat (Cotoh : (,4,5); (, 4,6)). Misalka P, P, P, P 4, P 5, P 6, P 7, P 8 adalah delapa titik letis berbeda pada ruag. Buktika bahwa terdapat sepasag titik (P i, P j ), i j, demikia, sehigga ruas garis P i P j memuat sebuah titik letis selai P i da P j.. Buktika bahwa jika dalam sebuah grup 6 orag, setiap orag haya dapat selalu bersahabat atau selalu bermusuha, maka ada sedikitya orag yag salig bersahabat atau salig bermusuha satu sama lai. 4. Di dalam suatu pesta terdapat orag da mereka salig bersalama. Jika di atara orag tidak ada yag bersalama lebih dari kali, buktika bahwa ada sedikitya orag bersalamaa dalam jumlah yag sama. 5. Tujukka bahwa di atara tujuh bilaga bulat positif berbeda yag tidak lebih dari 6, kita selalu dapat y meemuka dua di ataraya, katakalah da y dega y > sedemikia sehigga <. 6. Diberika 7 bilaga real. Buktika bahwa kita dapat memilih dua di ataraya katakaa a da b sehigga a b 0 ab. (Petujuk : Rumus yag dapat diguaka adalah tg( α β ) tgα tgβ = tgα tgβ 7. Terdapat 5 bola yag dijajarka pada satu garis lurus da terdapat 60 bola merah di ataraya. Masig-amsig bola diberi omor berbeda sesuai dega urutaya yaitu omor sampai 5. Tujukka bahwa sedikitya ada bola merah yag terpisah 4 bola (Misalya bola merah dega omor 5 da 9 serta omor 6 da 40 memeuhi syarat ii). ) 8. Seorag pemai catur memiliki waktu miggu utuk meyiapka diri megikuti sebuah turame. Ia memutuska utuk berlatih sedikitya satu permaia setiap hari, amu tidak lebih dari permaia selama semiggu. Perlihatka bahwa ada beberpa hari berturut-turut yag selama itu pecatur tersebut berlatih tepat permaia. SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

33 Baha Ajar Olimpiade Matematika KUMPULAN SOAL MATERI DASAR OLIMPIADE MATEMATIKA BIDANG GEOMETRI Sumber : Alabama State-Wide Mathematics Cotest 00 Geometry Eamiatio. Diketahui AE = 6, EB = 5 da CE = 4. Tetuka DE. 7 B. 7 C. 8 D E. 9. Sebuah persegi dipotog pada salah satu bagia sudutya dega ukura seperti pada gambar. Maka luas daerah persegi yag tersisa adalah 64 B. 40 C. 58 D. 44 E. 7. Diketahui dua buah ligkara yag sama dega pusat di O da O salig OO ' adalah berpotoga seperti tampak pada gambar. Pajag 8 B. C. 6 D. 0 E Sebuah bujur sagkar digambar di dalam sebuah ligkara yag berjari-jari 6 dega keempat titik sudut bujur sagkar tersebut terletak pada ligkara. Luas daerah yag diarsir adalah 6π 8 B. 9π 8 C. π 4 D. 44 6π E. 6 9π 5. Berapa bayak diagoal dapat dibuat pada poligo 9 sisi? 7 B. 6 C. 45 D. 6 E Sudut dalam sebuah poligo beratura aalah 40 o. Berapa bayakkah sisi yag dimiliki poligo tersebut? 9 B. 6 C. D. 8 E Jika dari gambar di sampig diketahui DE sejajar BC da luas ABC sembila kali luas ADE, maka perbadiga paja g CB dega DE adalah 9 B. 6 C. D. E Seseorag aka membagu sebuah pagar dega kelilig pagar 0 feet dilihat dari atas taah. Yag maakah di atara daerah berikut yag aka membuat daerah yag dibatasi oleh pagar tersebut aka memiliki luas yag maksimum? segitiga B. persegi pajag C. bujur sagkar D. segi-6 beratura E. segi-5 beratura SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

34 Baha Ajar Olimpiade Matematika 9. Pada gambar di sampig, segi empat ABCD merupaka jajara gejag. Besar adalah 64 o B. 70 o C. 60 o D. 76 o E. 90 o 0. Sebuah kerucut alasya berbetuk ligkara dega diameter feet da tiggi 4 feet. Berapa feet kubikkah pasir dapat diisika ke kerucut tersebut? 48π B. 44π C. 64π D. 7π E. π. Dari gambar disampig diketahui ruas garis AB sejajar ruas garis garis CD, B = 60 o da DE merupaka garis bagi D. Berapa derajatkah busur CE? o o 5 B. 0 C. 60 o D. 0 o E. 90 o. Berapa feet asbes yag diperluka utuk meutupi permukaa sebuah pipa yag pajagya 00 feet da berdiameter,5 ich? 800 B. 00 C. 00 D. 77 E Jika garis AD da BD adalah garis siggug ligkara O da pajag AD dua kali pajag AB, maka ADB adalah segitiga siku-siku B. sama kaki C. sama sisi D. tumpul E. tidak dapat ditetuka 4. Jika garis AB sejajar CD, maka besar adalah 48 o B. 6 o C. 68 o D. 64 o E. 40 o 5. Diketahui ruas garis PA meyiggug ligkara di titik Ruas garis PF memotog ligkara dega titik F terletak pada ligkara. Busur DG busur GF. Garis GA sejajar garis FH, besar sudut busur FH = 40 o da besar sudut busur HA = 0 o, maka besar P adalah 5 o B. 40 o C. 0 o D. 0 o E. 60 o dari pajag sisi sebuah belah ketupat adalah, berapakah kelilig belah ketupat tersebut? 9 54 B. 08 C. 44 D. 80 E Jika 7. Berdasarka gambar di sampig DE DB, maka besar adalah 5 o B. 0 o C. 45 o D. 60 o E. 75 o SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST