UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
|
|
- Widyawati Sutedja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN I RING DAN SUBRING Direncanakan Untuk Perkuliahan Minggu ke-1 dan 2 PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR II (Semester III/3 SKS/MMM-2201) Oleh: Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S. Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.S. Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN) Tahun Anggaran 2013 November 2013
2 BAB I RING DAN SUBRING Pada MK Pengantar Struktur Aljabar I telah diperkenalkan suatu struktur aljabar abstrak, yaitu grup. Grup merupakan suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi suatu operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma. Ada banyak contoh grup yang dapat kita temukan dalam kehidupan sehari-hari, yakni grup (Z, +), (Q, +), (R, +), (M 2 2 (R), +), dan lain sebagainya. Namun kenyataannya ada banyak himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma tertentu, sehingga dapat didefinisikan suatu struktur aljabar abstrak. Pada bab ini akan diperkenalkan struktur abstrak dengan dua operasi tersebut, yakni struktur ring Pengantar: Sifat Himpunan Bilangan Bulat Terhadap Penjumlahan dan Perkalian Sebelum masuk ke pokok bahasan utama bab ini tentang Ring dan Subring, terlebih dahulu akan ditampilkan sifat-sifat himpunan bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan yang tidak asing lagi bagi kita. Sudah diketahui dari Pengantar Struktur Aljabar I (Pengantar Teori Grup) bahwa, himpunan bilangan bulat Z terhadap penjumlahan + merupakan grup Abelian. Juga sudah diketahui bersama bahwa selain operasi penjumlahan pada himpunan bilangan bulat Z juga dapat didefinisikan operasi perkalian bilanganbilangan (dinotasikan dengan ). Dengan mudah dapat disimpulkan bahwa terhadap operasi penjumlahan + dan perkalian, himpunan bilangan bulat Z bersifat: 1. terhadap penjumlahan +: (Z,+) merupakan grup Abelian 2. terhadap perkalian : Z bersifat assosiatif, yakni ( n 1, n 2, n 3 Z)(n 1 n 2 ) n 3 = n 1 (n 2 n 3 ) 1
3 3. terhadap keduanya (penjumlahan dan perkalian): Z bersifat distributif kiri dan kanan, yakni ( n 1, n 2, n 3 Z)(n 1 + n 2 ) n 3 = (n 1 n 3 ) + (n 2 n 3 ) ( n 1, n 2, n 3 Z)n 1 (n 2 + n 3 ) = (n 1 n 2 ) + (n 1 n 3 ) Ring: Definisi, Contoh, dan Sifat Elementer Dari fenomena sifat himpunan Z terhadap penjumlahan + dan perkalian yang disebutkan dalam Subbab 1.1 di atas, didefiniskan struktur abstrak yang disebut RING sebagai berikut. Definisi Misalkan R adalah sebarang himpunan tak kosong, dan pada R didefinisikan 2 (dua) operasi yang dinotasikan dengan + dan yang selanjutnya disebut operasi penjumlahan dan perkalian. Himpunan R disebut RING terhadap operasi penjumlahan + dan perkalian jika memenuhi: (i). terhadap penjumlahan +: (R,+) merupakan grup Abelian (ii). terhadap perkalian : R bersifat assosiatif, yakni ( r 1, r 2, r 3 R)(r 1 r 2 ) r 3 = r 1 (r 2 r 3 ) (iii). terhadap keduanya (penjumlahan dan perkalian): R bersifat distributif kiri dan kanan, yakni distributif kiri: ( r 1, r 2, r 3 R) (r 1 + r 2 ) r 3 = (r 1 r 3 ) + (r 2 r 3 ) distributif kanan: ( r 1, r 2, r 3 R) r 1 (r 2 + r 3 ) = (r 1 r 2 ) + (r 1 r 3 ). Untuk mengefisienkan penulisan, himpunan R yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan + dan perkalian merupakan ring, dinotasikan tripel (R, +, ). Nampak jelas bahwa definisi ring merupakan abstraksi dari sifat yang dimiliki oleh suatu obyek yang sudah kita kenal sehari-hari, yakni himpunan bilangan bulat Z terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan. Dari sini dengan mudah disimpulkan bahwa himpunan bilangan bulat Z merupakan contoh ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dan dituliskan sebagai (Z, +, ). 2
4 Contoh Berikut contoh-contoh yang lain: 1. Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional Q, himpunan bilangan real R, dan himpunan bilangan kompleks C juga merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan yang sudah kita kenal sehari-hari. Oleh karena itu dapat dituliskan dengan notasi Ring (Q, +,.), Ring (R,+,) Ring (C,+,). Namun himpunan bilangan asli N bukan merupakan ring sebab terhadap penjumlahan bukan merupakan grup. 2. Pandang himpunan matriks bujursangkar berukuran 2 2 dengan komponenkomponen bilangan real, yakni M 2 2 (R) = A = a 11 a 12 a 21 a 22 a ij R, i, j : 1, 2. Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian matriks yang sudah dipelajari dalam MK Aljabar Linear Elementer dapat ditunjukkan bahwa M 2 2 (R) merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Selanjutnya untuk setiap bilangan asli n, dapat ditunjukkan bahwa a 11 a 12 a 1n a M n n (R) = A = 21 a 22 a 2n a ij R.... a n1 a n2 a nn merupakan ring terhadap operasi terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Sehingga dapat dinyatakan dengan ring (M n n (R), +, ). Proses memperluas dari M 2 2 (R) ke M n n (R) merupakan salah contoh proses generalisasi. 3
5 3. Pandang himpunan semua fungsi dari R ke R sebagai berikut F (R, R) = {f : R R f fungsi}. Dari MK Kalkulus kita dapat mendefinisikan operasi penjumlahan fungsi dan juga perkalian fungsi sebagai berikut. Untuk sebarang f, g F (R, R) didefinisikan f + g dan f g sebagai berikut: (f + g)(x) = f(x) + g(x) dan (f g)(x) = f(x) g(x) untuk setiap x R. Dengan menggunakan sifat-sifat dalam kalkulus dapat ditunjukkan bahwa F (R, R) merupakan ring. Sehingga dapat dinyatakan dengan ring (F (R, R), +, ). 4. Dari MK Pengantar Logika Matematika dan Himpunan, sudah kita ketahui bahwa jika A adalah sebarang himpunan maka himpuann kuasa dari A adalah himpunan semua himpunan bagian A dinotasikan dengan 2 A = {S S A}. Dapat ditunjukkan bahwa (2 A, +, ) merupakan ring, dengan operasi penjumlahan dan perkaliannya didefinisikan sebagai berikut: ( S 1, S 2 2 A )S 1 + S 2 = (S 1 S 2 ) (S 2 S 1 ) dan ( S 1, S 2 2 A )S 1 S 2 = S 1 S 2 5. Dari MK Teori Grup, kita sudah tahu bahwa jika (G, +) adalah grup abelian, maka kita dapat membentuk himpunan semua endomorphisma dari G ke G, yakni End(G) = {f : G G f homomorphisma grup}. 4
6 Kita sudah tahu bahwa (End(G), +) merupakan merupakan grup Abelian. Selain itu kita dapat mendefinisikan operasi komposisi pada End(G), yakni (f g)(x) = f(g(x)), x G. Dapat ditunjukkan bahwa (End(G), +, ) merupakan ring. Sudah kita ketahui bahwa jika (R, +, ) merupakan ring, maka jelas bahwa (R, +) merupakan grup. Dengan demikian pada R akan terdapat elemen netral 0 R yang menenuhi: ( r R)0 R + r = r + 0 R = r, dan setiap elemen r R terdapat r R sedemikian hingga r + ( r) = ( r) + r = 0 R. Berikut sifat-sifat dasar dari ring R dalam kaitannya dengan operasi perkaliannya. Teorema Jika (R, +, ) merupakan ring, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut: (i). ( r R)r 0 R = 0 R r = 0 R (ii). ( r 1, r 2 R)( r 1 ) r 2 = (r 1 r 2 ) = r 1 ( r 2 ) (iii). ( r 1, r 2 R)( r 1 ) ( r 2 ) = (r 1 r 2 ) (iv). ( r 1, r 2 R)(r 1 + r 2 ) 2 = r r r 1 r 2 + r 2 r 1 Bukti. (sebagai latihan) Terkait dengan operasi perkalian, nampak bahwa dari contoh-contoh yang diberikan sebelumnya bahwa pada suatu ring (R, +, ) terhadap operasi perkalian, R belum tentu bersifat: (a). komutatif; sebagai contoh ring matriks (M 2 2 (R), +, ) (b). mempunyai elemen satuan; sebagai contoh ring (2Z, +, ) tidak mempunyai elemen satuan terhadap perkalian 5
7 (c). setiap elemen mempunyai invers terhadap perkalian; sebagai contoh (Z, +, ) yang mempunyai invers terhadap perkalian hanyalah 1 dan -1. Dari kenyataan diatas, didefinisikan jenis-jenis ring berikut ini. Definisi Misalkan (R, +, ) suatu ring. (i). Ring R disebut ring komutatif jika R komutatif terhadap perkalian. (ii). Ring R disebut ring dengan elemen satuan jika R mempunyai elemen satuan terhadap perkalian. (iii). Ring R disebut ring komutatif dengan elemen satuan jika R komutatif dan mempunyai elemen satuan terhadap perkalian. (iv). Ring R disebut ring pembagian (division ring) jika R mempunyai elemen satuan dan setiap elemen tak nol di R mempunyai invers terhadap perkalian. Contoh Ring (2Z, +, ) merupakan ring komutatif, namun tidak mempunyai elemen satuan. 2. Ring matriks (M 2 2 (R), +, ) merupakan ring dengan elemen satuan I 2. Ring matriks M 2 2 (R) bukan ring komutatif. 3. Ring (Z, +, ), (R, +, ), (Q, +, ), dan (C,, +, ) masing-masing merupakan ring komutatif dengan elemen satuan. Berikut ini merupakan akibat dari Teorema Akibat Diberikan sebarang ring R dengan elemen satuan 1 R. Elemen 0 R dan 1 R merupakan elemen yang berbeda jika dan hanya jika R {0 R }. Bukti. ( ). Sudah jelas R {0 R }, sebab 1 R R dan 1 R 0 R. ( ). Diketahui R {0 R }. Misalkan a R sedemikian sehingga a 0 R. Andaikan 1 R = 0 R, diperoleh a = a1 R = a0 R = 0 R. Hal ini terjadi kontradiksi dengan fakta a 0 R. Jadi pengandaian salah, yang benar 1 R 0 R. 6
8 1.3. Subring: Definisi dan Syarat Perlu dan Cukup Sudah kita ketahui bahwa himpunan bilangan bulat genap dapat dinyatakan sebagai 2Z = {2n n Z}, dan dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat 2Z juga merupakan ring. Hal ini berbeda dengan himpunan bilangan ganjil 1 + 2Z = {1 + 2n n Z} bukan merupakan ring terhadap operasi penjumlahan bilangan-bilangan bulat, sebab tidak tertutup terhadap penjumlahan. Dari fenomena ini, kita dapat mendefinisikan struktur subring sebagai berikut. Definisi Misalkan S adalah suatu himpunan bagian tak kosong dalam ring (R,+, ). Himpunan S disebut subring dari R jika S juga merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang sama pada ring R. Jadi subring adalah suatu ring di dalam suatu ring. Nampak jelas bahwa 2Z subring dalam ring (Z,+, ), dan 1 + 2Z bukan merupakan subring dalam (Z,+, ). 1. Dengan mudah dapat disimpulkan bahwa (Z,+, ) merupakan subring (Q,+, ), juga merupakan subring di (R,+, ) dan (C,+, ). 2. Himpunan matriks segitiga atas T 2 2 (R) = A = a 11 a 12 0 a 22 a 11, a 12, a 22 R merupakan subring dalam (M 2 2 (R), +, ). Begitu juga himpunan matriks diagonal D 2 2 (R) = A = a 11 0 a 11, a 22 R 0 a 22 merupakan subring di (M 2 2 (R), +, ). 7
9 Dari definisi subring, dapat disimpulkan bahwa suatu himpunan bagian dari suatu ring (R, +, ) merupakan ring jika: 1. terhadap penjumlahan +: (S,+) juga merupakan grup Abelian 2. terhadap perkalian : S juga bersifat assosiatif, yakni ( s 1, s 2, s 3 S)(s 1 s 2 ) s 3 = s 1 (s 2 s 3 ) 3. terhadap keduanya (penjumlahan dan perkalian): S bersifat distributif kiri dan kanan, yakni ( s 1, s 2, s 3 S)(s 1 + s 2 ) s 3 = (s 1 s 3 ) + (s 2 s 3 ) ( s 1, s 2, s 3 S)s 1 (s 2 + s 3 ) = (s 1 s 2 ) + (s 1 s 3 ) Nampak bahwa: 1. Syarat 1 ekuivalen dengan menyatakan bahwa S merupakan subgrup dalam grup (R, +), hal ini ekuivalen dengan terpenuhinya: ( s 1, s 2 S)(s 1 s 2 ) S. 2. Syarat 2 merupakan syarat keassosiatifan yang pasti terpenuhi oleh sebarang himpunan bagian dari R. Terhadap operasi ini yang masih harus dicek adalah sifat ketertutupannya yakni ( s 1, s 2 S)(s 1 s 2 ) S. 3. Syarat 3 merupakan syarat kedistributifanan, yang juga pasti terpenuhi oleh sebarang himpunan bagian dari R. Dengan demikian, kita dapat menurunkan syarat perlu dan cukup agar himpunan bagian S dalam ring R merupakan subring dalam teorema sebagai berikut. Teorema Misakan S himpunan tak kosong dalam ring (R, +, ). Himpunan S merupakan subring dari R jika dan hanya jika ( s 1, s 2 S)(s 1 s 2 ), s 1 s 2 S. 8
10 Bukti. ( ). Diketahui S merupakan subring dari (R, +, ), sehingga berdasarkan penjelasan sebelumnya diperoleh bahwa untuk setiap s 1, s 2 S berlaku s 1 s 2 S dan s 1 s 2 S. ( ). (sebagai latihan) Teorema di atas memberikan pada kita cara yang lebih efisien untuk mengecek suatu himpunan bagian dari suatu ring merupakan subring atau bukan Latihan Kerjakan soal-soal latihan berikut ini. 1. Untuk sebarang ring (R, +, ), tunjukkan bahwa {0} merupakan subring! 2. Apakah ring (2 A, +, ) pada Contoh (4) merupakan ring dengan elemen satuan? Jelaskan! 3. Jika (R 1, + 1, 1) dan (R 2, + 2, 2) merupakan ring, tunjukkan bahwa R 1 R 2 juga merupakan ring terhadap operasi penjumlahan + dan perkalian sebagai berikut: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x x 2, y y 2 ) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 1 x 2, y 1 2 y 2 ) untuk setiap (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 1 R 2! 4. Tunjukkan secara umum himpunan kz merupakan subring pada ring bilangan bulat Z! 5. Misalkan A adalah sebarang himpunan tak kosong. Selanjutnya didefinisikan himpunan semua fungsi dari A ke R sebagai berikut ini F (A, R) = {f : A R f fungsi}. Selanjutnya didefinisikan operasi penjumlahan + dan kali pada F (A, R) sebagai beikut. Untuk setiap f 1, f 2 F (A, R) dan untuk setiap a A, (f 1 + f 2 )(a) = f 1 (a) + f 2 (a) 9
11 (f 1 f 2 )(a) = f 1 (a) f 2 (a). Perhatikan bahwa soal ini adalah perluasan (generalisasi) dari Contoh (3), yakni dengan mengganti R dengan sebarang himpunan A. Buktikan (F (A, R), +, ) merupakan ring! 6. Tunjukkan jika S 1 dan S 2 masing-masing merupakan subring dalam ring (R, +, ) maka S 1 S 2 juga merupakan subring di R, tetapi S 1 S 2 belum tentu merupakan subring! 7. Misalkan (R, +, ) merupakan ring. Tunjukkan bahwa himpunan C(R) = {a R ( x R)ax = xa} merupakan subring! Subring C(R) selanjutnya disebut pusat (center) dari ring R. 8. Misalkan S sebarang himpunan, R sebarang ring, dan f : S R fungsi bijektif. Untuk setiap x S, didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian sbb.: x + y = f 1 (f(x) + g(y)) x y = f 1 (f(x) g(y)). Tunjukkan bahwa S merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian tersebut! 9. Buktikan bahwa untuk sebarang ring R, himpunan matriks berukuran n n atas ring R terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks merupakan ring! 10. Misalkan M = z 1 z 2 z 1, z 2 C z 2 z 1 dengan z notasi konjugat dari bilangan kompleks z. Buktikan bahwa M merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks! 10
UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciPENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017
PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN III MODUL BEBAS, PENGENOL, DAN
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN II HOMOMORPHISMA MODUL Direncanakan
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciBuku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester)
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MIPA, JURUSAN MATEMATIKA, PS S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematiika, Yogyakarta - 55281 Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester)
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: DAERAH IDEAL UTAMA DAN DAERAH EUCLID
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya
Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aljabar abstrak merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika. Aljabar abstrak merupakan sistem matematika yang terdiri dari suatu himpunan yang dilengkapi oleh
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan
II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.
STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan
Lebih terperinciBAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciBAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut
BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinciAntonius C. Prihandoko
Antonius C. Prihandoko Didanai oleh Proyek DIA-BERMUTU 2009 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember Prakata Puji syukur ke hadirat
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Bilangan Kompleks Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinci2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com
2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.
STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciKeberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar
PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA
Lebih terperinciTeorema-Teorema Utama Isomorphisma pada Near-Ring
urnal Gradien Vol 11 o 2 uli 2015 : 1112-1116 Teorema-Teorema Utama somorphisma pada ear-ring Zulfia Memi Mayasari, Yulian Fauzi, Ulfasari Rafflesia urusan Matematika, Fakultas Matematika dan lmu Pengetahuan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi tersebut adalah modul. Untuk membahas pengertian tentang suatu modul harus dimengerti lebih
Lebih terperinciSOAL DAN PENYELESAIAN RING
SOAL DAN PENYELESAIAN RING 1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. Jawaban:
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian
Lebih terperinciRUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh
Muhammad Kukuh, Ruang RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G, maka grup faktor dengan operasi Apabila G ruang
Lebih terperinci1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan
1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciBAB 3 RING ARMENDARIZ. bahwa jika ab = 0, maka ba = 0 (diketahui ab = 0, maka (ba) 2 = baba = b.0.a = 0
BAB 3 RING ARMENDARIZ 3.1 Ring Terreduksi Suatu ring R disebut ring terreduksi jika tidak mempunyai elemen nilpoten tak nol. Secara ekuivalen, suatu ring dikatakan terreduksi jika tidak mempunyai elemen
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.
BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan
Lebih terperinciPENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING
Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinci1 P E N D A H U L U A N
1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat
Lebih terperinciDASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING
DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya
STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =
BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, serta diakhiri dengan sistematika penulisan. 1.1 Latar
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
SISTEM BILANGAN REAL Materi : 1.1 Pendahuluan Sistem Bilangan Real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, ini merupakan
Lebih terperinciB I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)
1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang
BAB II KAJIAN TEORI Pada Bab II ini berisi kajian teori. Di bab ini akan dijelaskan beberapa definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang mendasari teori kode BCH. A. Grup
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas)
I PENDAHULUAN Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) di sehingga., maka disebut grup periodik dan disebut periode dari. Serta fakta bahwa
Lebih terperinciSifat Lapangan pada Bilangan Kompleks
Jurnal Analisa 3 (1) (2017) 70-75 p-issn: 2549-5135 http://journal.uinsgd.ac.id/index.php/analisa/index e-issn: 2549-5143 Sifat Lapangan pada Bilangan Kompleks Ida Nuraida 1,a) 1 Prodi Pendidikan Matematika
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas penelitian-penelitian tentang aljabar maks-plus yang telah dilakukan dan teori-teori yang menunjang penelitian masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum
Lebih terperinciRANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 1 (2013), hal. 63 70. RANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Eka Wulan Ramadhani, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani INTISARI Rank dari matriks
Lebih terperinciSUBGRUP NORMAL. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
SUBGRUP NORMAL Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com May 4, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Subgrup Normal 3 3 Sifat-sifat Subgrup
Lebih terperinciModul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Lebih terperinciBAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN
BAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN 2.1 Pendahuluan Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi
Lebih terperinciKLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring
Jurnal Barekeng Vol 8 No Hal 33 39 (14) KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring ELVINUS RICHARD PERSULESSY Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti,
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Dalam pengelompokan aljabar ring, lapangan merupakan kejadian sangat khusus dari ring karena tidak hanya memiliki invers penjumlahan tetapi juga invers perkalian
Lebih terperinciII. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)
II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga
Lebih terperinciR maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit
BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat
Lebih terperinciSOAL. Pada himpunan bilangan real, selidiki apakah merupakan grup terhadap operasi yang didefinisikan sebagai berikut: PEMBAHASAN
Halo! Kali ini aku mau membahas soal ujian tengah semester (UTS) mata kuliah Pengantar Struktur Aljabar I di Prodi Matematika FMIPA UGM pada tahun akademik 2014/2015. Dosen pengampunya adalah Bu Sri Wahyuni.
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Pertemuan Standar kompetensi: mahasiswa memahami cara membangun sistem bilangan real, aturan dan sifat-sifat dasarnya. Kompetensi dasar Memahami aksioma atau sifat aljabar bilangan real Memahami fakta-fakta
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716
MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Relasi dan Fungsi Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah March 10, 2014 Suatu fungsi f : A B disebut pada (onto) atau surjektif (surjective) jika f(a) = B, yaitu jika untuk semua b B ada sekurang-kurangnya
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur
Lebih terperinciRUMUS-RUMUS TAUTOLOGI. (Minggu ke-5 dan 6)
RUMUS-RUMUS TAUTOLOGI (Minggu ke-5 dan 6) 1 1 Rumus-rumus tautologi Rumus 1.1 (Komutatif) 1. p q q p 2. p q q p Bukti: p q p q q p T T T T T F F F F T F F F F F F 2 Rumus 1.2 (Distributif) 1. p (q r) (p
Lebih terperinciSEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II
ISBN : 978-602-97522-0-5 PROSEDING SEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II Konstribusi Sains Untuk Pengembangan Pendidikan, Biodiversitas dan Metigasi Bencana Pada Daerah Kepulauan SCIENTIFIC COMMITTEE: Prof.
Lebih terperinciKALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian
Lebih terperinciAljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5
Aljabar Linear & Matriks Pert. 5 Evangs Mailoa Pengantar Determinan Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2 dapat dibalik jika ad bc 0. Pernyataan ad bc disebut sebagai determinan (determinant) dari matriks
Lebih terperinciPembentukan -aljabar Komutatif dan Implikatif dari Sebuah Lapangan. Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang
Pembentukan -aljabar Komutatif dan Implikatif dari Sebuah Lapangan Mujib Nashikha 1, Suryoto, S.Si, M.Si 2, Farikhin, M.Si, Ph.D 3 1,2,3 Program Studi Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H.
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciBAB I DERIVATIF (TURUNAN)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian
Lebih terperinciBAB VIII HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL
8.1 Pendahuluan BAB VIII HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL Pada sistem bilangan bulat, bentuk persamaan yang melibatkan perkalian belum tentu memiliki solusi. Keadaan ini juga ditemui pada kasus pembagian sebuah
Lebih terperinci