Teori Dasar Fungsi. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo

Transkripsi

1 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012

2 PENGERTIAN DASAR Denition Misalkan A dan B himpunan. Sebuah fungsi f dari A ke B ditulis f : A B adalah aturan pengawanan (pemetaan) di mana setiap anggota A mempunyai tepat satu pasangan anggota B. Himpunan A disebut domain, B disebut kodomain, dan himpunan f (A) := {y B y = f (x), x A}disebut range fungsi f, kadang ditulis R f. Bila f (a) = b maka b disebut bayangan (image) dari a, a disebut pre-image dari b. Untuk E A, himpunan f (E) := {y B y = f (x), x E} disebut image dari E. Bahan Diskusi: Misalkan A = {a, b, c} dan B = {1,2,3}. 1 Susunlah semua pemetaan yang merupakan fungsi. 2 Susunlah semua pemetaan yang bukan merupakan fungsi. Sajikan konstruksi Anda dengan diagram! Misalkan A = {a, b, c, d, e} dan B = {1,2,3,4}. Didenisikan f (a) = 2, f (b) = 1, f (c) = 4, f (d) = 1, f (e) = 1. 1 Tentukan range fungsi f. Apakah range dan kodomainnya sama? 2 Tentukan image himpunan S = {b, c, d}.

3 Fungsi dalam Narasi 1 Apakah pemetaan f yang mengawankan himpunan semua string-bit ke integer merupakan fungsi atau bukan? 1 f (S) adalah posisi bit 0 pada string-bit S 2 f (S) adalah banyaknya bit 1 pada S. 3 f (S) adalah integer terkecil i sehingga bit ke-i pada S adalah 1. 4 f (S) adalah banyaknya bit 0 pada posisi genap. 2 Temukan domain dan range fungsi berikut 1 Fungsi yang mengawankan setiap bulat positif ke digit terakhirnya. 2 Fungsi yang mengawankan setiap bit-string ke banyaknya bit 1 dalam string tersebut 3 Fungsi yang mengawankan setiap bulat positif ke bilangan kuadrat terbesar yang tidak melebihi bilangan tersebut 4 Fungsi yang mengawankan setiap bilangan real ke bilangan bulat terkecil yang tidak kurang dari bilangan real terebut. 5 Fungsi yang mengawankan setiap bilangan real ke bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi bilangan real tersebut. 6 Fungsi yang mengawankan setiap pasangan bilangan real ke nilai maksimumnya.

4 Operasi Aljabar Fungsi Denition Misalkan f 1 dan f 2 fungsi dari A ke B. Fungsi f 1 + f 2 dan f 1 f 2 dari A ke B didenisikan sebagai (f 1 + f 2 )(x) ( := ) f 1 (x) + f 2 (x) dan (f 1 f 2 )(x) = f 1 (x)f 2 (x). Pembagian dua fungsi f didenikan sebagai (x) := f (x) g g(x) asalkan g(x) 0. Example Misalkan f, g : R R dengan f (x) = x dan g(x) = 1 + x x 2. 1 Tentukan formula untuk f + g dan fg 2 Tentukan R f, R g, R fg dan R f +g. 3 Tentukan f dan R g f. g Penyelesaian: 1 (f + g)(x) = x (1 + x x 2 ) = 2 + x, (fg)(x) = (x 2 + 1)(1 + x x 2 ) = 1 + x + x 3 x 4. 2 R f = {y y 1}, R f +g = {y < y < }.Berikan alasan mengapa bisa demikian. Lanjutkan pertanyaan berikutnya.

5 Fungsi Monoton Fungsi monoton terbagi dua, yaitu monoton naik atau naik saja dan monoton turun atau turun saja. Denition Fungsi f : A R dikatakan naik tegas jika ia memenuhi pernyataan berikut x, y A[x < y f (x) < f (y)] Fungsi f dikatakan turun tegas jika pernyataan berikut TRUE x, y A[x < y f (x) > f (y)]. Sebuah fungsi yang bersifat f (x) = C, x A disebut fungsi konstan. Pada fungsi konstan berlaku x, y A, f (x) = f (y). Example Identikasilah sifat monoton fungsi berikut pada domain R. 1 f (x) := x 2 2 f (x) := 1 x 2 3 f (x) := x f (x) := x

6 Fungsi Injektif dan Surjektif Denition Sebuah fungsi f : A B dikatakan satu-satu atau injektif jika pernyataan berikut berlaku: x, y A[f (x) = f (y) x = y]. Dikatakan kepada atau surjektif jika pernyataan berikut TRUE: y B, x A sehingga f (x) = y. Fungsi yang surjektif dan injektif disebut bijektif. Fungsi injektif tidak terjadi percabangan. Sedangkan pada fungsi surjektif, semua elemen pada domain habis terpasang.

7 Surjektif dan Injektif lanj... Bahan diskusi Selidikah sifat surjektif dan injektif fungsi berikut 1 f (x) = x 2 dari Z ke Z. 2 f (x) = x + 1 dari R ke R. 3 Fungsi f : {a, b, c, d} {1,2,3} yang didenisikan sebagai f (a) = 3, f (b) = 2, f (c) = 1 dan f (d) = 3. 4 f (x) = x dari R ke R. 5 f (n) = n 3 dari Z ke Z. 6 f (m, n) = m 2 n dari Z Z ke Z. 7 f (m, n) = n dari Z Z ke Z. 8 f (m, n) = m n dari Z Z ke Z.

8 Fungsi Identitas dan Fungsi Invers Denition Fungsi identitas adalah fungsi i A : A A di mana i A (x) = x untuk setiap x A. Untuk fungsi bijektif f : A B kita selalu dapat membaliknya dengan mendenisikan fungsi f 1 : B A b = f (a) f 1 (a) = b (*) Fungsi f 1 yang memenuhi (*) disebut invers dari fungsi f. Fungsi f dikatakan invertibel jika ia mempunyai invers. Jadi fungsi bijektif adalah invertibel. A f B a = f -1 (b) f -1 a = f -1 (b) Bila f fungsi invertibel pada A maka berlaku f (f 1 (x)) = f (f (x)) = i A (x) = x. Buktikan!

9 Bahan Diskusi Fungsi Invers... Selidikilah apakah fungsi berikut invertibel. Bila tidak invertibel, berikan alasannya. Bila invertibel, tentukan fungsi inversnya. 1 f : {a, b, c} {1,2,3} di mana f (a) = 2, f (b) = 3 dan f (3) = 1. 2 f (x) = x + 1 dari dari Z ke Z. 3 f (x) = x 1 dari R\{ 2} ke R. x+2 4 f (x) = x 2 dari Z ke Z. 5 f (x) = x2 +1 x 2 dari R ke R. +2

10 Komposisi Fungsi Misalkan g : A B, f : B C. Komposisi fungsi f dan g, ditulis f g adalah fungsi dari A ke C yang didenisikan sebagai (f g)(x) = f (g(x)). (#) Syarat agar fungsi f g terdenisi sebagai fungsi maka haruslah R g B. A B C f f g g f Berdasarkan sifat sebelumnya diperoleh f f 1 = f 1 f = i A sebuah fungsi identitas pada A. Bahan Diskusi: Misalkan f dan g fungsi dari R ke R di mana f (x) = x dan g(x) = x 2. Temukan formula untuk kombinasi fungsi berikut 1 f g dan g f. Apakah f g = g f. 2 f + g dan fg.

11 Fungsi Pembulatan 1 Fungsi lantai (ooring): x :=bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. 2 Fungsi plafon (ceiling): x :=bilangan bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan x. 3 Fungsi pembulatan (rounding): [x] :=bilangan bulat terdekat dari x. Example 1.2 = 1, 0.7 = 0, 0.5 = 1, 3 = = 2, 0.7 = 1, 0.5 = 0, 3 = 3. [1.2] = 1, [0.7] = 1, [ 0.5] = 1, [3] = ceiling -2 flooring -2 rounding

12 Sifat-sifat Fungsi Pembulatan 1 Misalkan n Z dan x R. Maka berlaku 1 x = n jika dan hanya jika n x < n x = n jika dan hanya jika n 1 < x n 3 x = n jika dan hanya jika x 1 < n x 4 x = n jika dan hanya jika x n < x Untuk setiap x R, berlaku x 1 < x x x < x Untuk setiap x R, beralku x = x dan x = x. 4 Untuk n Z dan x R, berlaku Bukti 4: 1 x + n = x + n 2 x + n = x + n. 1 Misalkan x = m. Dengan sifat 1(1) berlaku m x < n + 1. Tambahkan ketiga ruas dengan n diperoleh (m + n) x + n < (m + n) + 1. Dengan sifat yang sama (kebalikannya), diperoleh x + n = m + n = x + n. 2 Misalkan x = m. Dengan sifat 1(2) berlaku m 1 < x m (m + n) 1 < x + n (m + n). Dengan sifat yang sama (kebalikannya), disimpulkan x + n = m + n = x + n.

13 Bahan Diskusi Fungsi Pembulatan 1 Apakah berlaku x + y = x + y. Bila tidak, berikan contoh pengingkarnya. 2 Buktikan berlaku 2x = x + x Diberikan himpunan S = { 1,0,2,4,6}. Temukan f (S) jika 1 f (x) = x/3 x 2 f (x) = f (x) = x 3 + x 3 4 Gambarkan grak fungsi pembulatan berikut pada domain 5 x 5. 1 f (x) = 2x f (x) = x + x/2 3 f (x) = x/2 x/2 4 f (x) = 2 x/ Soal-soal yang dipecahkan: hal