BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi."

Transkripsi

1 BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan notasi untuk himpunan bilangan asli () merupakan notasi untuk himpunan bilangan bulat () merupakan notasi untuk himpunan bilangan rasional () merupakan notasi untuk himpunan bilangan irasional dan () merupakan notasi untuk himpunan bilangan Real Sama seperti bilangan ada beberapa operasi pada himpunan yaitu gabungan irisan ( kurang dan kali Definisi Misalkan A dan B adalah sebarang himpunan Selain itu ada beberapa relasi pada himpunan yaitu subset dan sama dengan Definisi Misalkan A dan B adalah sebarang himpunan jika dan hanya jika jika dan hanya jika dan

2 Berdasarkan Definisi langkah untuk membuktikan suatu himpunan A subset dari himpunan B adalah (a) ambil sebarang anggota A tertentu sebut saja (b) kemudian tunjukkan bahwa Contoh Misalkan dan adalah himpunan Buktikan bahwa jika dan hanya jika Jawab Langka pertama adalah buktikan Berdasarkan Definsi pembuktikan () Pembuktian Ambil sembarang maka Jadi () Pembuktian Ambil sembarang Karena maka Artinya dan Jadi Kesimpulan dilakukan dua tahap Langka pertama adalah buktikan Ambil sembarang Karena maka Artinya Jadi Terbukti jika dan hanya jika Berikut definisi dari hasil kali Cartesian antara himpunan A dan B Definisi Jika A dan B adalah dua himpunan tidak kosong maka hasil kali Cartesian (Cartesian produt) adalah himpunan semua pasangan terurut/ordered pairs ab dengan a A dan b B

3 Atau A A B B Contoh a b a Ab B Misal A dan B 5 maka A B Latihan Soal Buktikan Hukum Distributif berikut (a) (b) Misalkan dan Tentukan: (a) (b) () Gambarkan bidang dari hasil kali Cartesian dimana dan Misalkan untuk setiap Tentukan: (a) (b) ()

4 Fungsi Definisi Fungsi Salah satu konsep penting dalam Analisis Real adalah fungsi Definisi Misal A dan B sembarang himpunan f dikatakan fungsi dari A ke B jika dan untuk setiap ada tepat satu elemen sehingga (dengan kata lain ab ab' f b b' ) Jika ab f maka dapat ditulis b f a atau f : a b Sehingga pernyataan dapat ditulis: Contoh Misal A dan 5 B Manakah dari himpunan-himpunan berikut yang merupakan fungsi dan bukan fungsi a b Jawab (a) bukan fungsi karena ada tetapi Dengan ara lain tetapi Pembuktian tersebut mudah dipahami bila kita melihat gambar fungsi berikut A f B 5

5 (b) bukan fungsi karena ada yang tidak memiliki pasangan di A g B 5 () Hasil kali Cartesian himpunan A dan B Maka Karena tidak ada anggota dengan maka pernyataan selalu bernilai benar Terbukti adalah fungsi A h B 5 Daerah Asal Daerah Kawan dan Daerah Hasil Fungsi Pada fungsi dikenal beberapa istilah yaitu daerah asal (domain) daerah kawan (kodomain) dan daerah hasil (range) Misalkan f adalah fungsi dari A ke B Daerah asal f adalah himpunan semua anggota A yang mempunyai pasangan di B Jadi Himpunan B disebut daerah kawan Daerah hasil f adalah himpunan semua anggota B yang mempunyai pasangan di A Ini berarti daerah hasil fungsi ada di ( ) 5

6 Contoh Misal adalah fungsi dari ke dimana dan maka C h D R f Komposisi Fungsi Definisi dari komposisi fungsi adalah sebagai berikut Definisi 5 Misal f fungsi dengan D f A dan R f B dan g fungsi dengan D g B dan R g C maka g f adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan g f a AC b B sehingga ab f dan b Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar berikut A B C g f g R gof Perhatikan bahwa daerah hasil dari adalah R g f x x Catatan: g o f terdefinsi jika gof D gof 6

7 Contoh a Tentukan g o f dengan x x dan x x f b Tentukan h j dengan g j x x dan x x h jawab (a) Sebelum menentukan g o f perlu diperiksa apakah? Kalau f tidak dibatasi untuk nilai-nilai tertentu maka D f adalah domain terbesar (artinya himpunan terbesar yang membuat fungsi f terdefinisi) Dengan demikian D f = R dan D g = R Sehingga R f = R Jadi R D R f Sehingga (b) Karena maka g x f x gx x x g f g R j x x dan x x 0 R D j Ini berarti h D h h j tidak terdefinisi Fungsi Injektif Fungsi injektif dikenal juga sebagai fungsi satu-satu (fungsi -) atau korespondensi satu-satu Definisi 5 Misal f fungsi dari A ke B f dikatakan injektif jika ab a' b f a a' atau f a f b a b Contoh 5 Manakah dari fungsi-fungsi berikut yang merupakan fungsi - (a) f x x (b) x x g 7

8 Jawab (a) Misal diberikan sembarang a b a b Jadi f fungsi - (b) Karena ada g g ab R dengan f a f b Maka dengan maka g bukan fungsi - Contoh 6 Misal f dan g fungsi dengan g f x x x D f Tunjukkan bahwa f fungsi injektif dan R f D g dan Rg D f Jawab Akan ditunjukkan f fungsi - Misal diberikan sembarang x y D dengan f x f y Maka g f x x dan g f y y Karena g fungsi dan x f y x y Jadi f fungsi - Akan ditunjukkan R Misal diberikan sembarang Maka x D f f maka y R f sehingga f x Akibatnya g f Ini berarti Jadi f x y Dg R D g g f D g y f x gy x f Akan ditunjukkan Misal diberikan sembarang Maka y R f x D f sehingga x y f Akibatnya g f x g f x g y Ini berarti x Rg Jadi x 8

9 5 Fungsi Surjektif dan Bijektif Fungsi surjektif dikenal juga sebagai fungsi pada/onto Definisi fungsi surjektif dan injektif adalah sebagai berikut Definisi 6 Misal f fungsi dari A ke B f dikatakan surjektif/onto/pada jika sehingga R f B Dengan kata lain Berdasarkan definisi di atas fungsi surjektif dapat dipahami sebagai suatu fungsi dimana setiap anggota dari kodomain memilik pasangan di domain Definisi 7 Suatu fungsi f bijektif jika (i) f injektif dan (ii) f surjektif Contoh 7 Misalkan dan adalah fungsi dari ke Manakah dari kedua fungsi tersebut yang surjektif (a) (b) Jawab (a) Akan ditunjukkan bahwa Ambil sembarang Pilih Sehingga Jadi surjektif surjektif (b) Akan ditunjukkan bahwa bukan fungsi surjektif Pilih maka tidak ada sedemikian sehingga Jadi anggota dari kodomain tidak memiliki pasangan di domain Jadi bukan fungsi surjektif 9

10 6 Fungsi Invers Definisi fungsi invers adalah sebagai berikut Definisi 8 Misal f fungsi bijektif dari ke Jika g ba B A ab f maka g fungsi bijektif dari ke Fungsi g yang demikian disebut fungsi invers dan dinotasikan Bukti Akan ditunjukkan g fungsi Misal ba g berdasarkan Definisi 6 ba B A Jadi g B A Misal diberikan sembarang ba ba' g maka b a' b f Karena f injektif maka a a' Jadi g fungsi f a Akan ditunjukkan g fungsi injektif Ambil sembarang maka Karena fungsi maka Akan ditunjukkan fungsi surjektif Ambil sembarang Karena fungsi maka memiliki pasangan di sebut saja Artinya Akibatnya Ini berarti setiap anggota dari kodomain fungsi ( ) memiliki pasangan di daerah asal fungsi ( ) Jadi fungsi surjektif Contoh 8 Misal f g fungsi dengan g f x x x f gy y y D f D g 0

11 Tunjukkan Jawab g f g dikatakan fungsi invers dari f atau (i) f g injektif (ii) Dg R f dan Rg D f (iii) ab f ba g g f jika Berdasarkan jawaban latihan soal nomor 5 g f x x x D maka f fungsi injektif dan R dan Karena f Rg D f Karena f gy y y Dg R f D g Jadi f g injektif maka g fungsi injektif dan Rg D f dan Dg R f dan g D f R f D g Akan ditunjukkan ab f ba g () Misal diberikan sembarang ab f maka f a Sehingga g f a g f a g b Jadi ba g a b dengan a D f () Misal diberikan sembarang ba g maka gb Sehingga f g b f g b f a Jadi ab f b a dengan b Dg

12 7 Peta dan Prapeta Peta oleh suatu fungsi disebut juga dengan bayangan (image) dari Definisi kedua konsep tersebut adalah sebagai berikut Definisi 9 Misal f : A B dengan D f A dan R f B (tidak diasumsikan f injektif) Jika E A maka peta E oleh f ditulis f E didefinisikan Jika f E x f x E H B maka prapeta H oleh f ditulis f H didefinisikan f H x f x H Catatan: f bermakna jika f ada atau f injektif f ada karena merupakan prapeta dari {} Contoh 9 Misal f x x x x g E = [] Tentukan f E ge f E g E Jawab f E g f g E E E f x x E x x x x x x x 5 x 7 a 5 a x x x x x x 8 x 5 x g x x E x x b 5 b 5 x f x E x x x x x x x gx E x x x x x x

13 Karena x Jadi E 0 untuk setiap x R g maka tidak ada x R sehingga x Latihan Soal Misalkan himpunan dan himpunan yang merupakan subset dari Apakah himpunan merupakan fungsi? Jelaskan! Misal dengan Tentukan (a) apakah merupakan fungsi? Jika ya buktikan Jika tidak buktikan (b) apakah merupakan fungsi injektif? Jika ya buktikan Jika tidak buktikan () apakah merupakan fungsi surjektif? Jika ya buktikan Jika tidak buktikan (d) apakah merupakan fungsi bijektif? Jika ya buktikan Jika tidak buktikan Misal dengan dan Tentukan dan Misal apakah fungsi inversnya ada (atau ada)? Jika ya tuliskan fungsi inversnya Jika tidak ada jelaskan alasannya 5 Misalkan dan adalah fungsi-fungsi bijektif Buktikan bahwa komposisi fungsi juga fungsi bijektif

14 Induksi Matematika Sifat Terurut Baik Bilangan Asli Atau Setiap himpunan bagian tak kosong dari S N S mk S k m k m mempunyai unsur terkeil Prinsip Induksi Matematika Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut Misal S N dengan sifat (i) S (ii) k S k S Maka S = N Berdasarkan itu maka tahap-tahap pembuktian menggunakan induksi matematika adalah : Misalkan S = {n f(n) benar} Tahap Memeriksa apakah S Tahap Memisalkan k S Tahap Menunjukkan k+ S Kesimpulan S = N Contoh 0 Buktikan n( n ) n = n N Jawab Misal S = {n f(n) benar} (i) S sebab = (+)/ benar (ii) Misalkan k S maka k( k ) k =

15 Akan ditunjukkan k+ S k( k ) k + (k+) = + (k+) = ( k )( k ) = Jadi k+ S Terbukti S = N k( k ) + ( k ) Contoh Buktikan n < n n N Jawab Misal S = {n f(n) benar} (i) S sebab < benar (ii) Misalkan k S maka k < k Akan ditunjukkan k+ S k+ < k + < k + < k = k+ Jadi k+ S Terbukti S = N Contoh n f f f n n Buktikan (a) f n n N (b) f n f n n N Jawab (a) Misal n S n N f benar S sebab f benar Misalkan k S maka f k Akan ditunjukkan k S f k 7 f k Jadi k S Terbukti S=N 5

16 (b) Misal S n N f n benar 5 S sebab f f benar Misalkan S f k f k k maka Akan ditunjukkan k S f k f k f k f k Jadi k S Terbukti S=N Prinsip Induksi Kuat Matematika Pada kasus-kasus tertentu pembuktian dengan induksi matematika belum dapat membuktikan kebenaran pernyataan yang dimaksud Kita membutuhkan prinsip lainnya yang pada intinya sama dengan sebelumnya yaitu Prinsip Induksi Kuat Matematika Misal (i) S N dengan sifat S k k S k (ii) S Maka S = N Contoh Misalkan suatu barisan (x n ) didefinisikan sebagai berikut: x = x = dan x n+ = (x n+ +x n ) n N Tunjukkan bahwa x n n N Jawab Misal S = {n f(n) benar} (i) S sebab benar (ii) Misalkan { k- k} S maka x k- x k x k- +x k (x k- +x k ) x k+ Jadi k+ S Terbukti S = N 6

17 Latihan Buktikan bahwa untuk semua Buktikan bahwa untuk semua Buktikan bahwa untuk semua Buktikan bahwa untuk (Petunjuk untuk membuktikannya gunakan tahap-tahap berikut (a) periksa apakah untuk pernyataan benar (b) asumsikan pernyataan benar untuk () tunjukkan pernyataan benar untuk ) 5 Buktikan bahwa untuk semua 7

18 I Himpunan Infnit Himpunan infinit dikenal juga sebagai himpunan tak terhingga Sebelumnya kita pelajari dahulu apa yang dimaksud dengan fungsi finit (terhingga) Definisi 0 Suatu himpunan B adalah finite jika B = atau jika ada bijeksi dengan daerah asal B dan daerah hasil dalam segmen awal { n} dari N Atau B finite jika (i) B = atau (ii) ada f : B n pada Jika tidak ada fungsi yang demikian B dikatakan infinite Jika ada f : B N maka B dikatakan denumerable pada Jika suatu himpunan finite atau denumerable maka himpunan tersebut dikatakan ountable Suatu himpunan yang tidak ountable (tidak finite dan tidak denumerable) disebut unountable Contoh Tentukan manakah dari himpunan-himpunan berikut yang finite infinite denumreable ountable dan unountable A = {a b d e f g h i j} B = {nn n 0000} C = {nn n bilangan ganjil positif} D = N E = R F = Q I = {x 0 x }= [0] J = {x x = -} Jawab K = { n nn} 8

19 A B J himpunan finite C D F K himpunan infinite denumerable ountable E I himpunan unountable Teorema B dikatakan ountable ada f : B Bukti () N Misalkan ada f : B N Ada dua kemungkinan () Jika R f = N maka B denumerable Menurut definisi B ountable () Jika R f N maka B finite Menurut definisi B ountable Jadi B ountable () Misalkan B ountable Maka ada dua kemungkinan () B finite Ini berarti ada f - dengan D f = B dan R f N () B denumerable Ini berarti ada f - dengan D f = B dan R f = N Jadi ada f : B N Teorema (a) A B B finite A finite (b) A B B ountable A ountable Teorema (a) A = {A A A n } A i finite i = n A finite Atau Bukti A i finite i = n n A i i finite Dengan induksi kuat akan ditunjukkan n Misalkan S = {nn f(n) benar} A i i finite 9

20 i) S karena A i = A finite i ii) Misalkan { k- k} S maka i A = A A finite i k A i i = B finite Akan ditunjukkan k+s k i A = k i A i i Jadi k+ S Terbukti S = N A k = B A k finite Pertanyaan Apakah berlaku kebalikannya yaitu n A i i Jawab : Ya finite A i finite i = n Dari Teorema kita tahu bahwa jika A finite maka sembarang subset dari A adalah finite Tulis n A i i = A Karena A finite dan A A A A A n A maka A A A n finite Jadi A i finite i = n (b) C = {C C C } C i ountable i = C ountable Atau C i ountable i = C i ountable i Bukti Tulis C i = C i C dikatakan ountable jika setiap anggota di C dapat diberi nomor tanpa ada yang ketinggalan/tereer Jadi untuk membuktikan C ountable maka kita akan memberi nomor setiap anggota C 0

21 Misal dengan C = { C = { C n = { } } n n n n } j i adalah anggota ke-i dari himpunan C j Definisikan tinggi j i = i+j Karena untuk sembarang bilangan asli m hanya ada m anggota yang mempunyai tinggi m maka kita dapat memberi nomor anggota-anggota C berdasarkan tingginya sebagai berikut Seara gambar kita dapat memberi nomor setiap anggota di C dengan mengikuti arah tanda panah sebagai berikut Karena kita dapat memberi nomor setiap anggota di C berdasarkan tingginya seperti di atas maka C ountable Pertanyaan Apakah berlaku kebalikannya yaitu i Jawab : Ya C ountable C i ountable i = i Dari Teorema kita tahu bahwa jika C ountable maka sembarang subset dari C adalah ountable Tulis C i = C i

22 Karena C ountable dan C C C C C n C maka C C C n ountable Jadi C i ountable i = n Buktikan bahwa Q ountable Bukti Bilangan rasional Q adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk n m dengan mn Z dan n 0 Untuk membuktikkan Q ountable perhatikan himpunan-himpunan berikut A 0 = {0} A = A = A n = n n n n n n Perhatikan bahwa A i i = n adalah himpunan ountable dengan n A i i Q Berdasarkan Teorema maka Q ountable Buktikan I = [0 ] unountable Bukti Andaikan I ountable maka I finite atau denumerable Karena I memuat { n n N} maka I infinite Jadi I denumerable Tulis I = {x x x x n } dengan 0 x i in Dengan demikian x i dapat ditulis x = 0a a a a i {0 9} x = 0b b b b i {0 9} x = 0 i {0 9} x n =

23 Definisikan y = 0y y y dengan y = y = y = a a b b Sehingga y x i x i padahal 0 y (kontradiksi) Jadi pengandaian salah Haruslah I unountable Akan dibuktikan bahwa R unountable Jawab Andaikan R ountable maka sembarang subset dari R juga ountable I = [0] adalah subset dari R Akibatnya I ountable Hal ini bertentangan dengan I unountable Jadi pengadaian R ountable salah Haruslah R unountable Contoh 6 Buktikan bahwa himpunan-himpunan C = {nn n bilangan ganjil positif} K = Z denumerable Jawab Untuk menunjukkan himpunan-himpunan tersebut denumerable berarti harus menunjukkan ada f : B N yang - dan pada Akan ditunjukkan C denumerable Misalkan f : C N dengan f() = C

24 Akan ditunjukkan f fungsi a Misalkan diberikan sembarang (ab)f maka ac dan b = f(a) = Karena a bilangan ganjil positif maka a+ bilangan genap positif a Akibatnya = b N Ini berarti (a b) CxN Jadi f CxN Misalkan a=b C maka a b f(a) = = Jadi f fungsi = f(b) Akan ditunjukkan f - Misalkan f(a) = f(b) N maka a b = a+ = b+ a = b Jadi f - Akan ditunjukkan f fungsi pada Karena f fungsi dari C ke N maka R f N Misalkan y N maka ada y- C sehingga ( y ) y f(y-) = = = y Ini berarti y R f Jadi N R f Karena R f N dan N R f maka R f = N Terbukti f fungsi onto Kesimpulan C denumerable

25 Akan ditunjukan denumerable Misalkan f : Z N dengan f(z) = ( z ) ( z ) z 0 zz z Misalkan (ab)f maka az dan b = f(a) Jika a 0 maka a+ (a+) = f(a) = b Jika a - maka a - (a + ) -(a+) = f(a) = b Ini berarti b atau dengan kata lain b N Akibatnya (ab) ZxN Jadi f ZxN (i) Misalkan a=b 0 maka f(a) = (a+) = (b+) = f(b) (ii) Misalkan a=b - maka f(a) = -(a + ) = -(b + ) = f(b) Jadi f fungsi Akan ditunjukkan f - (i) Misalkan f(a) = f(b) genap maka f(a) = (a+) f(b) = (b+) untuk suatu a b 0 Karena f(a) = f(b) maka (a+) = (b+) a = b (ii) Misalkan f(a) = f(b) ganjil maka f(a) = -(a+) f(b) = -(b+) untuk suatu ab - 5

26 Karena f(a) = f(b) maka -(a+) = -(b+) a = b Jadi f - Akan ditunjukkan f fungsi onto Artinya R f = N Karena f fungsi dari Z ke N maka R f N Misalkan diberikan sembarang y N (i) Jika y genap maka ada y - 0 sehingga Jadi y R f f( y -) = ( y - +) = y = y y (ii) Jika y ganjil maka ada - sehingga y y f( ) = -( +) = -(-y-+) = -(-y) = y Jadi y R f Jadi N R f Karena R f N dan N R f maka R f = N Terbukti f fungsi onto Kesimpulan Z denumerable 6

1 P E N D A H U L U A N

1 P E N D A H U L U A N 1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI. f : x y

BAB 3 FUNGSI. f : x y . Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada

Lebih terperinci

FUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1

FUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1 FUNGSI Pada bagian sebelumnya telah dibahas tentang relasi yaitu aturan yang menghubungkan elemen dua himpunan. Pada bagian ini akan dibahas satu jenis relasi yang lebih khusus yang dinamakan fungsi Suatu

Lebih terperinci

Matematika

Matematika dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain, dengan sebuah

Lebih terperinci

I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)

I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351) I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,

Lebih terperinci

PENDAHULUAN. 1. Himpunan

PENDAHULUAN. 1. Himpunan PENDAHULUAN 1. Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya

Lebih terperinci

PENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015

PENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,

Lebih terperinci

HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA

HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2008 1 Identitas Mata Kuliah 1. Nama Mata Kuliah : Analisis

Lebih terperinci

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap

Lebih terperinci

Oleh : Winda Aprianti

Oleh : Winda Aprianti Oleh : Winda Aprianti Relasi Definisi Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu (relasi biner). Relasi biner R antara

Lebih terperinci

FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1

FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 PENGERTIAN FUNGSI A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (Kodomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. A Fungsi

Lebih terperinci

Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN

Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Himpunan Dra. Kusrini, M.Pd. PENDAHULUAN D alam Modul 1 ini ada 3 kegiatan belajar, yaitu Kegiatan Belajar 1, Kegiatan Belajar 2, dan Kegiatan Belajar 3. Dalam Kegiatan Belajar 1, Anda akan mempelajari

Lebih terperinci

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3.1 Pengertian Relasi Misalkan A dan B suatu himpunan. anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. : A = {1,

Lebih terperinci

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers

Lebih terperinci

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI. 1. Pengertian Fungsi. dengan satu dan hanya satu elemen B; f disebut fungsi dari A ke B, ditulis f : A

BAB 3 FUNGSI. 1. Pengertian Fungsi. dengan satu dan hanya satu elemen B; f disebut fungsi dari A ke B, ditulis f : A BAB 3 FUNGSI 1. Pengertian Fungsi Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua.

Lebih terperinci

Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI

Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. FUNGSI Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam

Lebih terperinci

MATERI : RELASI DAN FUNGSI KELAS : X. 1. Ada hal penting yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan

MATERI : RELASI DAN FUNGSI KELAS : X. 1. Ada hal penting yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan MTERI : RELSI DN FUNGSI KELS : X Pemahaman Fungsi Dalam berbagai aplikasi, korespondensi/hubungan antara dua himpunan sering terjadi 4 3 Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi

Lebih terperinci

Pengantar Analisis Real

Pengantar Analisis Real Modul Pengantar Analisis Real Dr Endang Cahya, MA, MSi P PENDAHULUAN ada Modul ini disajikan beberapa topik pengantar mata kuliah Analisis Real, yang terbagi dalam beberapa kegiatan belajar yang harus

Lebih terperinci

FUNGSI. 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

FUNGSI. 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI FUNGSI 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi Definisi Fungsi Suatu fungsi f atau pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu

Lebih terperinci

Mendeskripsikan Himpunan

Mendeskripsikan Himpunan BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan

Lebih terperinci

Mendeskripsikan Himpunan

Mendeskripsikan Himpunan BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan

Lebih terperinci

Grup Permutasi dan Grup Siklis. Winita Sulandari

Grup Permutasi dan Grup Siklis. Winita Sulandari Grup Permutasi dan Grup Siklis Winita Sulandari Grup Permutasi Suatu Permutasi dari suatu himpunan berhingga S yang tidak kosong, dinyatakan sebagai suatu pemetaan bijektif dari himpunan S pada dirinya

Lebih terperinci

1 P E N D A H U L U A N

1 P E N D A H U L U A N 1 P E N D A H U L U A N Pemetaan (fungsi) f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu hubuungan yang memasangkan setiap unsur di A dengan tepat satu unsur di B. Jika a A dan pasangannya b B, maka ditulis

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Relasi dan Fungsi Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah March 10, 2014 Suatu fungsi f : A B disebut pada (onto) atau surjektif (surjective) jika f(a) = B, yaitu jika untuk semua b B ada sekurang-kurangnya

Lebih terperinci

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa

Lebih terperinci

BAB V RELASI DAN FUNGSI

BAB V RELASI DAN FUNGSI BAB V RELASI DAN FUNGSI 6.1 Pendahuluan Relasi atau hubungan antara himpunan merupakan suatu aturan pengawasan antar himpunan tersebut, sebagai contohnya kalimat adalah ayah b atau kalimat 4 habis diabgi

Lebih terperinci

BAB. VI. FUNGSI. Contoh 2. Dari diagram panah diatas tentukan: a. Domain b.kodomain. d.himpunan pasangan berurutan jawab:

BAB. VI. FUNGSI. Contoh 2. Dari diagram panah diatas tentukan: a. Domain b.kodomain. d.himpunan pasangan berurutan jawab: A. FUNGSI I. Pengertian Fungsi Fungsi (pemetaan) yaitu relasi khusus, dimana setiap anggota daerah asal mempunyai pasangan tepat satu dengan anggota daerah kawan A B BAB. VI. FUNGSI Keterangan: A=Daerah

Lebih terperinci

PENGERTIAN FUNGSI. ATURAN : setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B. tidak boleh membentuk cabang seperti ini.

PENGERTIAN FUNGSI. ATURAN : setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B. tidak boleh membentuk cabang seperti ini. FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN : setiap anggota A harus

Lebih terperinci

Wahyu Hidayat, S.Pd., M.Pd.

Wahyu Hidayat, S.Pd., M.Pd. Wahyu Hidayat, S.Pd., M.Pd. FUNGSI Definisi Fungsi Diketahui 2 buah himpunan A dan yang tidak kosong. Suatu fungsi dari A ke, ditulis f : A didefinisikan sebagai suatu aturan yang memasangkan setiap anggota

Lebih terperinci

NAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

NAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com 1 NAMA : KELAS : 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

OPERASI BINER. Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang

OPERASI BINER. Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang OPERASI BINER Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 4, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Relasi 3 3 Fungsi 4 4 Operasi Biner

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN

FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN KULIAH-4 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 FUNGSI DAN GRAFIKNYA PERTIDAKSAMAAN Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan

Lebih terperinci

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B. 1 FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita

Lebih terperinci

KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS

KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS 1 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B. Pertemuan 6 Fungsi Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi

Lebih terperinci

RELASI DAN FUNGSI. Nur Hasanah, M.Cs

RELASI DAN FUNGSI. Nur Hasanah, M.Cs RELASI DAN FUNGSI Nur Hasanah, M.Cs Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS

ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam

Lebih terperinci

BAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

BAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Fungsi dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain,

Lebih terperinci

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi

Lebih terperinci

RELASI DAN FUNGSI. /Nurain Suryadinata, M.Pd

RELASI DAN FUNGSI. /Nurain Suryadinata, M.Pd RELASI DAN FUNGSI Nama Mata Kuliah Kode Mata Kuliah/SKS Program Studi Semester Dosen Pengampu : Matematika Diskrit : MAT-365/ 3 sks : Pendidikan Matematika : VI (Enam) : Nego Linuhung, M.Pd /Nurain Suryadinata,

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu

FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu FUNGSI FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Teori Himpunan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 25, 2015 Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yang terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik dimaksudkan bahwa untuk sebarang

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan (Semester I Tahun 2011-2012) Analysis and Geometry Group, FMIPA-ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan August 8, 2011 Di sekolah menengah telah dipelajari apa yang

Lebih terperinci

1 Pendahuluan I PENDAHULUAN

1 Pendahuluan I PENDAHULUAN 1 Pendahuluan 1.1 Himpunan I PENDAHULUAN Himpunan merupakan suatu konsep mendasar dalam semua cabang ilmu matematika. Mengapa himpunan adalah hal yang sangat penting dalam matematika?, untuk mencari jawaban

Lebih terperinci

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

PEMBAHASAN. Fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota suatu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan lain.

PEMBAHASAN. Fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota suatu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan lain. PEMHSN 1. Fungsi ( pemetaan ) Fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota suatu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan lain. Fungsi dalam matematika adalah mengacu adanya reaksi binar

Lebih terperinci

Materi 3: Relasi dan Fungsi

Materi 3: Relasi dan Fungsi Materi 3: Relasi dan Fungsi I Nyoman Kusuma Wardana STMIK STIKOM Bali Definisi Relasi & Fungsi Representasi Relasi Relasi biner Sifat-sifat relasi biner Relasi inversi Mengkombinasikan relasi Komposisi

Lebih terperinci

Logika, Himpunan, dan Fungsi

Logika, Himpunan, dan Fungsi Logika, Himpunan, dan Fungsi A. Logika Matematika Logika matematika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan menggunakan bahasa serta simbol-simbol matematika dengan benar. 1) Kalimat Matematika Kalimat

Lebih terperinci

1.1 Pengertian Himpunan. 1.2 Macam-macam Himpunan. 1.3 Relasi Antar Himpunan. 1.4 Diagram Himpunan. 1.5 Operasi pada Himpunan. 1.

1.1 Pengertian Himpunan. 1.2 Macam-macam Himpunan. 1.3 Relasi Antar Himpunan. 1.4 Diagram Himpunan. 1.5 Operasi pada Himpunan. 1. I. HIMPUNAN 1.1 Pengertian Himpunan 1.2 Macam-macam Himpunan 1.3 Relasi Antar Himpunan 1.4 Diagram Himpunan 1.5 Operasi pada Himpunan 1.6 Aljabar Himpunan Pengertian Himpunan 1. Apa yang dimaksud dengan

Lebih terperinci

BAB V HIMPUNAN TAK BERHINGGA. Mahasiswa memahami himpunan berhingga dan tak-berhingga, himpunan

BAB V HIMPUNAN TAK BERHINGGA. Mahasiswa memahami himpunan berhingga dan tak-berhingga, himpunan BAB V HIMPUNAN TAK BERHINGGA Tujuan Instuksional Umum Mahasiswa memahami himpunan berhingga dan tak-berhingga, himpunan denumerabel dan non-denumerabel, himpuna countabel dan non-countabel. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.

STRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field. STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Dalam bab ini akan didiskusikan unsur tak terdefinisi, aksioma-aksioma, istilahistilah,

II. LANDASAN TEORI. Dalam bab ini akan didiskusikan unsur tak terdefinisi, aksioma-aksioma, istilahistilah, 3 II. LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan didiskusikan unsur tak terdefinisi, aksioma-aksioma, istilahistilah, definisi-definisi dan teorema-teorema yang berhubungan dengan penelitian ini. 2.1 Geometri Insidensi

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............

Lebih terperinci

Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit

Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit 8/29/24 Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 8/29/24 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/24 8/29/24 Relasi dan Fungsi Tujuan Mahasiswa memahami

Lebih terperinci

Keterbagian Pada Bilangan Bulat

Keterbagian Pada Bilangan Bulat Latest Update: March 8, 2017 Pengantar Teori Bilangan (Bagian 1): Keterbagian Pada Bilangan Bulat Muhamad Zaki Riyanto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta

Lebih terperinci

Teori Dasar Fungsi. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo

Teori Dasar Fungsi. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Misalkan A dan B himpunan. Sebuah fungsi f dari A ke B ditulis f : A B adalah aturan

Lebih terperinci

BAB I SET DAN RELASI

BAB I SET DAN RELASI BAB I SET DAN RELASI 1.1. SET, ELEMEN (UNSUR) Set adalah suatu konsep yang terdapat dan selalu ada di dalam semua cabang matematika. Secara intuitif, suatu set adalah sesuatu yang didefinisikan dengan

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS -- FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. RELASI DAN FUNGSI Relasi himpunan A ke himpunan B yaitu korespondensi/hubungan semua anggota A dengan semua anggota B. Relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota

Lebih terperinci

Fungsi. Adri Priadana ilkomadri.com

Fungsi. Adri Priadana ilkomadri.com Fungsi Adri Priadana ilkomadri.com Fungsi Definisi : Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Untuk menjelaskan pelabelan analytic mean pada graf bayangan dari graf bintang K 1,n dan graf bayangan dari graf bistar B n,n perlu adanya beberapa teori dasar yang akan menunjang

Lebih terperinci

BAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT

BAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT BAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT. Pendahuluan Well-Ordering Principle Jika S himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat positif yang tidak kosong, maka S memiliki sebuah unsur terkecil. Unsur

Lebih terperinci

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

BAB II RELASI DAN FUNGSI

BAB II RELASI DAN FUNGSI 9 BAB II RELASI DAN FUNGSI Dalam kehidupan nyata, senantiasa ada hubungan (relasi) antara dua hal atau unsur-unsur dalam suatu kelompok. Misalkan, hubungan antara suatu urusan dengan nomor telepon, antara

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Pertemuan 1 HIMPUNAN. a.himpunan Kosong Ǿ adalah himpunan yang mempunyai nol anggota(tidak mempunyai elemen.)

Pertemuan 1 HIMPUNAN. a.himpunan Kosong Ǿ adalah himpunan yang mempunyai nol anggota(tidak mempunyai elemen.) Pertemuan 1 HIMPUNAN 1.3.1. Definisi a.himpunan Kosong Ǿ adalah himpunan yang mempunyai nol anggota(tidak mempunyai elemen.) b. Misalkan nєν Himpunan S dikatakan mempunyai n anggota jika ada suatu fungsi

Lebih terperinci

Matriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1:

Matriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1: MATRIKS & RELASI Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemenelemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: A a a a 2 m a a a 2 22 m2 a a a

Lebih terperinci

RELASI FUNGSI. (Kajian tentang karakteristik, operasi, representasi fungsi)

RELASI FUNGSI. (Kajian tentang karakteristik, operasi, representasi fungsi) Outline RELASI DAN FUNGSI (Kajian tentang karakteristik, operasi, representasi fungsi) Drs., M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika FKIP PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline

Lebih terperinci

FUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B.

FUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI KOMPOSISI Daerah asal alami f : A B adalah semua unsur

Lebih terperinci

Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Relasi, Fungsi, dan Transformasi Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian

Lebih terperinci

FUNGSI. setiap elemen di dalam himpunan A mempunyai pasangan tepat satu elemen di himpunan B.

FUNGSI. setiap elemen di dalam himpunan A mempunyai pasangan tepat satu elemen di himpunan B. FUNGSI Dalam matematika diskrit, konsep fungsi sangat penting, dimana fungsi merupakan relasi yang mempunyai syarat setiap anggota dari daerah definisi (domain) mempunyai pasangan tepat satu anggota dari

Lebih terperinci

MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 9-10 METODE KONTRADIKSI & METODE KONTRAPOSISI (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Metode Pembuktian Lainnya Pada bab-bab sebelumnya kita telah

Lebih terperinci

Diktat Kuliah. Oleh:

Diktat Kuliah. Oleh: Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional

Lebih terperinci

II. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu

II. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih

Lebih terperinci

Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI

Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x,y) dengan

Lebih terperinci

matematika K-13 FUNGSI KOMPOSISI K e l a s

matematika K-13 FUNGSI KOMPOSISI K e l a s K-1 matematika K e l a s XI FUNGSI KOMPOSISI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi fungsi dan sifat-sifat fungsi.. Memahami

Lebih terperinci

Ulang Kaji Konsep Matematika

Ulang Kaji Konsep Matematika Ulang Kaji Konsep Matematika Teori Bahasa dan Automata Viska Mutiawani - Informatika FMIPA Unsyiah 1 Ulang Kaji Konsep Matematika Set / himpunan Fungsi Relasi Graf Teknik pembuktian Viska Mutiawani - Informatika

Lebih terperinci

PERTEMUAN Relasi dan Fungsi

PERTEMUAN Relasi dan Fungsi 4-1 PERTEMUAN 4 Nama Mata Kuliah : Matematika Diskrit (3 SKS) Nama Dosen Pengampu : Dr. Suparman E-mail : matdis@netcourrier.com HP : 081328201198 Judul Pokok Bahasan Tujuan Pembelajaran : 4. Relasi dan

Lebih terperinci

1 INDUKSI MATEMATIKA

1 INDUKSI MATEMATIKA 1 INDUKSI MATEMATIKA Induksi Matematis Induksi matematis merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematis maka dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua

Lebih terperinci

Uraian Singkat Himpunan

Uraian Singkat Himpunan Uraian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 3, 2014 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya

Lebih terperinci

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang

Lebih terperinci

HIPOTESIS KONTINUUM SKRIPSI. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

HIPOTESIS KONTINUUM SKRIPSI. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika HIPOTESIS KONTINUUM SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: R. Pudji Tursana NIM: 943114004 NIRM: 940051180810004 PROGRAM STUDI MATEMATIKA

Lebih terperinci

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351) II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan

Lebih terperinci

BAB 3. FUNGSI. Jurusan Teknik Informatika Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember. 1st November 2016

BAB 3. FUNGSI. Jurusan Teknik Informatika Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember. 1st November 2016 BAB 3. FUNGSI Jurusan Teknik Informatika Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember 1st November 2016 Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 1 / 23 Outline 1 Fungsi Definisi Fungsi Bentuk

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara

Lebih terperinci

BAB III PELABELAN KOMBINASI

BAB III PELABELAN KOMBINASI 1 BAB III PELABELAN KOMBINASI 3.1 Konsep Pelabelan Kombinasi Pelabelan kombinasi dari suatu graf dengan titik dan sisi,, graf G, disebut graf kombinasi jika terdapat fungsi bijektif dari ( himpunan titik

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga

II. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan

Lebih terperinci