BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.

Transkripsi

1 BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan notasi untuk himpunan bilangan asli () merupakan notasi untuk himpunan bilangan bulat () merupakan notasi untuk himpunan bilangan rasional () merupakan notasi untuk himpunan bilangan irasional dan () merupakan notasi untuk himpunan bilangan Real Sama seperti bilangan ada beberapa operasi pada himpunan yaitu gabungan irisan ( kurang dan kali Definisi Misalkan A dan B adalah sebarang himpunan Selain itu ada beberapa relasi pada himpunan yaitu subset dan sama dengan Definisi Misalkan A dan B adalah sebarang himpunan jika dan hanya jika jika dan hanya jika dan

2 Berdasarkan Definisi langkah untuk membuktikan suatu himpunan A subset dari himpunan B adalah (a) ambil sebarang anggota A tertentu sebut saja (b) kemudian tunjukkan bahwa Contoh Misalkan dan adalah himpunan Buktikan bahwa jika dan hanya jika Jawab Langka pertama adalah buktikan Berdasarkan Definsi pembuktikan () Pembuktian Ambil sembarang maka Jadi () Pembuktian Ambil sembarang Karena maka Artinya dan Jadi Kesimpulan dilakukan dua tahap Langka pertama adalah buktikan Ambil sembarang Karena maka Artinya Jadi Terbukti jika dan hanya jika Berikut definisi dari hasil kali Cartesian antara himpunan A dan B Definisi Jika A dan B adalah dua himpunan tidak kosong maka hasil kali Cartesian (Cartesian produt) adalah himpunan semua pasangan terurut/ordered pairs ab dengan a A dan b B

3 Atau A A B B Contoh a b a Ab B Misal A dan B 5 maka A B Latihan Soal Buktikan Hukum Distributif berikut (a) (b) Misalkan dan Tentukan: (a) (b) () Gambarkan bidang dari hasil kali Cartesian dimana dan Misalkan untuk setiap Tentukan: (a) (b) ()

4 Fungsi Definisi Fungsi Salah satu konsep penting dalam Analisis Real adalah fungsi Definisi Misal A dan B sembarang himpunan f dikatakan fungsi dari A ke B jika dan untuk setiap ada tepat satu elemen sehingga (dengan kata lain ab ab' f b b' ) Jika ab f maka dapat ditulis b f a atau f : a b Sehingga pernyataan dapat ditulis: Contoh Misal A dan 5 B Manakah dari himpunan-himpunan berikut yang merupakan fungsi dan bukan fungsi a b Jawab (a) bukan fungsi karena ada tetapi Dengan ara lain tetapi Pembuktian tersebut mudah dipahami bila kita melihat gambar fungsi berikut A f B 5

5 (b) bukan fungsi karena ada yang tidak memiliki pasangan di A g B 5 () Hasil kali Cartesian himpunan A dan B Maka Karena tidak ada anggota dengan maka pernyataan selalu bernilai benar Terbukti adalah fungsi A h B 5 Daerah Asal Daerah Kawan dan Daerah Hasil Fungsi Pada fungsi dikenal beberapa istilah yaitu daerah asal (domain) daerah kawan (kodomain) dan daerah hasil (range) Misalkan f adalah fungsi dari A ke B Daerah asal f adalah himpunan semua anggota A yang mempunyai pasangan di B Jadi Himpunan B disebut daerah kawan Daerah hasil f adalah himpunan semua anggota B yang mempunyai pasangan di A Ini berarti daerah hasil fungsi ada di ( ) 5

6 Contoh Misal adalah fungsi dari ke dimana dan maka C h D R f Komposisi Fungsi Definisi dari komposisi fungsi adalah sebagai berikut Definisi 5 Misal f fungsi dengan D f A dan R f B dan g fungsi dengan D g B dan R g C maka g f adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan g f a AC b B sehingga ab f dan b Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar berikut A B C g f g R gof Perhatikan bahwa daerah hasil dari adalah R g f x x Catatan: g o f terdefinsi jika gof D gof 6

7 Contoh a Tentukan g o f dengan x x dan x x f b Tentukan h j dengan g j x x dan x x h jawab (a) Sebelum menentukan g o f perlu diperiksa apakah? Kalau f tidak dibatasi untuk nilai-nilai tertentu maka D f adalah domain terbesar (artinya himpunan terbesar yang membuat fungsi f terdefinisi) Dengan demikian D f = R dan D g = R Sehingga R f = R Jadi R D R f Sehingga (b) Karena maka g x f x gx x x g f g R j x x dan x x 0 R D j Ini berarti h D h h j tidak terdefinisi Fungsi Injektif Fungsi injektif dikenal juga sebagai fungsi satu-satu (fungsi -) atau korespondensi satu-satu Definisi 5 Misal f fungsi dari A ke B f dikatakan injektif jika ab a' b f a a' atau f a f b a b Contoh 5 Manakah dari fungsi-fungsi berikut yang merupakan fungsi - (a) f x x (b) x x g 7

8 Jawab (a) Misal diberikan sembarang a b a b Jadi f fungsi - (b) Karena ada g g ab R dengan f a f b Maka dengan maka g bukan fungsi - Contoh 6 Misal f dan g fungsi dengan g f x x x D f Tunjukkan bahwa f fungsi injektif dan R f D g dan Rg D f Jawab Akan ditunjukkan f fungsi - Misal diberikan sembarang x y D dengan f x f y Maka g f x x dan g f y y Karena g fungsi dan x f y x y Jadi f fungsi - Akan ditunjukkan R Misal diberikan sembarang Maka x D f f maka y R f sehingga f x Akibatnya g f Ini berarti Jadi f x y Dg R D g g f D g y f x gy x f Akan ditunjukkan Misal diberikan sembarang Maka y R f x D f sehingga x y f Akibatnya g f x g f x g y Ini berarti x Rg Jadi x 8

9 5 Fungsi Surjektif dan Bijektif Fungsi surjektif dikenal juga sebagai fungsi pada/onto Definisi fungsi surjektif dan injektif adalah sebagai berikut Definisi 6 Misal f fungsi dari A ke B f dikatakan surjektif/onto/pada jika sehingga R f B Dengan kata lain Berdasarkan definisi di atas fungsi surjektif dapat dipahami sebagai suatu fungsi dimana setiap anggota dari kodomain memilik pasangan di domain Definisi 7 Suatu fungsi f bijektif jika (i) f injektif dan (ii) f surjektif Contoh 7 Misalkan dan adalah fungsi dari ke Manakah dari kedua fungsi tersebut yang surjektif (a) (b) Jawab (a) Akan ditunjukkan bahwa Ambil sembarang Pilih Sehingga Jadi surjektif surjektif (b) Akan ditunjukkan bahwa bukan fungsi surjektif Pilih maka tidak ada sedemikian sehingga Jadi anggota dari kodomain tidak memiliki pasangan di domain Jadi bukan fungsi surjektif 9

10 6 Fungsi Invers Definisi fungsi invers adalah sebagai berikut Definisi 8 Misal f fungsi bijektif dari ke Jika g ba B A ab f maka g fungsi bijektif dari ke Fungsi g yang demikian disebut fungsi invers dan dinotasikan Bukti Akan ditunjukkan g fungsi Misal ba g berdasarkan Definisi 6 ba B A Jadi g B A Misal diberikan sembarang ba ba' g maka b a' b f Karena f injektif maka a a' Jadi g fungsi f a Akan ditunjukkan g fungsi injektif Ambil sembarang maka Karena fungsi maka Akan ditunjukkan fungsi surjektif Ambil sembarang Karena fungsi maka memiliki pasangan di sebut saja Artinya Akibatnya Ini berarti setiap anggota dari kodomain fungsi ( ) memiliki pasangan di daerah asal fungsi ( ) Jadi fungsi surjektif Contoh 8 Misal f g fungsi dengan g f x x x f gy y y D f D g 0

11 Tunjukkan Jawab g f g dikatakan fungsi invers dari f atau (i) f g injektif (ii) Dg R f dan Rg D f (iii) ab f ba g g f jika Berdasarkan jawaban latihan soal nomor 5 g f x x x D maka f fungsi injektif dan R dan Karena f Rg D f Karena f gy y y Dg R f D g Jadi f g injektif maka g fungsi injektif dan Rg D f dan Dg R f dan g D f R f D g Akan ditunjukkan ab f ba g () Misal diberikan sembarang ab f maka f a Sehingga g f a g f a g b Jadi ba g a b dengan a D f () Misal diberikan sembarang ba g maka gb Sehingga f g b f g b f a Jadi ab f b a dengan b Dg

12 7 Peta dan Prapeta Peta oleh suatu fungsi disebut juga dengan bayangan (image) dari Definisi kedua konsep tersebut adalah sebagai berikut Definisi 9 Misal f : A B dengan D f A dan R f B (tidak diasumsikan f injektif) Jika E A maka peta E oleh f ditulis f E didefinisikan Jika f E x f x E H B maka prapeta H oleh f ditulis f H didefinisikan f H x f x H Catatan: f bermakna jika f ada atau f injektif f ada karena merupakan prapeta dari {} Contoh 9 Misal f x x x x g E = [] Tentukan f E ge f E g E Jawab f E g f g E E E f x x E x x x x x x x 5 x 7 a 5 a x x x x x x 8 x 5 x g x x E x x b 5 b 5 x f x E x x x x x x x gx E x x x x x x

13 Karena x Jadi E 0 untuk setiap x R g maka tidak ada x R sehingga x Latihan Soal Misalkan himpunan dan himpunan yang merupakan subset dari Apakah himpunan merupakan fungsi? Jelaskan! Misal dengan Tentukan (a) apakah merupakan fungsi? Jika ya buktikan Jika tidak buktikan (b) apakah merupakan fungsi injektif? Jika ya buktikan Jika tidak buktikan () apakah merupakan fungsi surjektif? Jika ya buktikan Jika tidak buktikan (d) apakah merupakan fungsi bijektif? Jika ya buktikan Jika tidak buktikan Misal dengan dan Tentukan dan Misal apakah fungsi inversnya ada (atau ada)? Jika ya tuliskan fungsi inversnya Jika tidak ada jelaskan alasannya 5 Misalkan dan adalah fungsi-fungsi bijektif Buktikan bahwa komposisi fungsi juga fungsi bijektif

14 Induksi Matematika Sifat Terurut Baik Bilangan Asli Atau Setiap himpunan bagian tak kosong dari S N S mk S k m k m mempunyai unsur terkeil Prinsip Induksi Matematika Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut Misal S N dengan sifat (i) S (ii) k S k S Maka S = N Berdasarkan itu maka tahap-tahap pembuktian menggunakan induksi matematika adalah : Misalkan S = {n f(n) benar} Tahap Memeriksa apakah S Tahap Memisalkan k S Tahap Menunjukkan k+ S Kesimpulan S = N Contoh 0 Buktikan n( n ) n = n N Jawab Misal S = {n f(n) benar} (i) S sebab = (+)/ benar (ii) Misalkan k S maka k( k ) k =

15 Akan ditunjukkan k+ S k( k ) k + (k+) = + (k+) = ( k )( k ) = Jadi k+ S Terbukti S = N k( k ) + ( k ) Contoh Buktikan n < n n N Jawab Misal S = {n f(n) benar} (i) S sebab < benar (ii) Misalkan k S maka k < k Akan ditunjukkan k+ S k+ < k + < k + < k = k+ Jadi k+ S Terbukti S = N Contoh n f f f n n Buktikan (a) f n n N (b) f n f n n N Jawab (a) Misal n S n N f benar S sebab f benar Misalkan k S maka f k Akan ditunjukkan k S f k 7 f k Jadi k S Terbukti S=N 5

16 (b) Misal S n N f n benar 5 S sebab f f benar Misalkan S f k f k k maka Akan ditunjukkan k S f k f k f k f k Jadi k S Terbukti S=N Prinsip Induksi Kuat Matematika Pada kasus-kasus tertentu pembuktian dengan induksi matematika belum dapat membuktikan kebenaran pernyataan yang dimaksud Kita membutuhkan prinsip lainnya yang pada intinya sama dengan sebelumnya yaitu Prinsip Induksi Kuat Matematika Misal (i) S N dengan sifat S k k S k (ii) S Maka S = N Contoh Misalkan suatu barisan (x n ) didefinisikan sebagai berikut: x = x = dan x n+ = (x n+ +x n ) n N Tunjukkan bahwa x n n N Jawab Misal S = {n f(n) benar} (i) S sebab benar (ii) Misalkan { k- k} S maka x k- x k x k- +x k (x k- +x k ) x k+ Jadi k+ S Terbukti S = N 6

17 Latihan Buktikan bahwa untuk semua Buktikan bahwa untuk semua Buktikan bahwa untuk semua Buktikan bahwa untuk (Petunjuk untuk membuktikannya gunakan tahap-tahap berikut (a) periksa apakah untuk pernyataan benar (b) asumsikan pernyataan benar untuk () tunjukkan pernyataan benar untuk ) 5 Buktikan bahwa untuk semua 7

18 I Himpunan Infnit Himpunan infinit dikenal juga sebagai himpunan tak terhingga Sebelumnya kita pelajari dahulu apa yang dimaksud dengan fungsi finit (terhingga) Definisi 0 Suatu himpunan B adalah finite jika B = atau jika ada bijeksi dengan daerah asal B dan daerah hasil dalam segmen awal { n} dari N Atau B finite jika (i) B = atau (ii) ada f : B n pada Jika tidak ada fungsi yang demikian B dikatakan infinite Jika ada f : B N maka B dikatakan denumerable pada Jika suatu himpunan finite atau denumerable maka himpunan tersebut dikatakan ountable Suatu himpunan yang tidak ountable (tidak finite dan tidak denumerable) disebut unountable Contoh Tentukan manakah dari himpunan-himpunan berikut yang finite infinite denumreable ountable dan unountable A = {a b d e f g h i j} B = {nn n 0000} C = {nn n bilangan ganjil positif} D = N E = R F = Q I = {x 0 x }= [0] J = {x x = -} Jawab K = { n nn} 8

19 A B J himpunan finite C D F K himpunan infinite denumerable ountable E I himpunan unountable Teorema B dikatakan ountable ada f : B Bukti () N Misalkan ada f : B N Ada dua kemungkinan () Jika R f = N maka B denumerable Menurut definisi B ountable () Jika R f N maka B finite Menurut definisi B ountable Jadi B ountable () Misalkan B ountable Maka ada dua kemungkinan () B finite Ini berarti ada f - dengan D f = B dan R f N () B denumerable Ini berarti ada f - dengan D f = B dan R f = N Jadi ada f : B N Teorema (a) A B B finite A finite (b) A B B ountable A ountable Teorema (a) A = {A A A n } A i finite i = n A finite Atau Bukti A i finite i = n n A i i finite Dengan induksi kuat akan ditunjukkan n Misalkan S = {nn f(n) benar} A i i finite 9

20 i) S karena A i = A finite i ii) Misalkan { k- k} S maka i A = A A finite i k A i i = B finite Akan ditunjukkan k+s k i A = k i A i i Jadi k+ S Terbukti S = N A k = B A k finite Pertanyaan Apakah berlaku kebalikannya yaitu n A i i Jawab : Ya finite A i finite i = n Dari Teorema kita tahu bahwa jika A finite maka sembarang subset dari A adalah finite Tulis n A i i = A Karena A finite dan A A A A A n A maka A A A n finite Jadi A i finite i = n (b) C = {C C C } C i ountable i = C ountable Atau C i ountable i = C i ountable i Bukti Tulis C i = C i C dikatakan ountable jika setiap anggota di C dapat diberi nomor tanpa ada yang ketinggalan/tereer Jadi untuk membuktikan C ountable maka kita akan memberi nomor setiap anggota C 0

21 Misal dengan C = { C = { C n = { } } n n n n } j i adalah anggota ke-i dari himpunan C j Definisikan tinggi j i = i+j Karena untuk sembarang bilangan asli m hanya ada m anggota yang mempunyai tinggi m maka kita dapat memberi nomor anggota-anggota C berdasarkan tingginya sebagai berikut Seara gambar kita dapat memberi nomor setiap anggota di C dengan mengikuti arah tanda panah sebagai berikut Karena kita dapat memberi nomor setiap anggota di C berdasarkan tingginya seperti di atas maka C ountable Pertanyaan Apakah berlaku kebalikannya yaitu i Jawab : Ya C ountable C i ountable i = i Dari Teorema kita tahu bahwa jika C ountable maka sembarang subset dari C adalah ountable Tulis C i = C i

22 Karena C ountable dan C C C C C n C maka C C C n ountable Jadi C i ountable i = n Buktikan bahwa Q ountable Bukti Bilangan rasional Q adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk n m dengan mn Z dan n 0 Untuk membuktikkan Q ountable perhatikan himpunan-himpunan berikut A 0 = {0} A = A = A n = n n n n n n Perhatikan bahwa A i i = n adalah himpunan ountable dengan n A i i Q Berdasarkan Teorema maka Q ountable Buktikan I = [0 ] unountable Bukti Andaikan I ountable maka I finite atau denumerable Karena I memuat { n n N} maka I infinite Jadi I denumerable Tulis I = {x x x x n } dengan 0 x i in Dengan demikian x i dapat ditulis x = 0a a a a i {0 9} x = 0b b b b i {0 9} x = 0 i {0 9} x n =

23 Definisikan y = 0y y y dengan y = y = y = a a b b Sehingga y x i x i padahal 0 y (kontradiksi) Jadi pengandaian salah Haruslah I unountable Akan dibuktikan bahwa R unountable Jawab Andaikan R ountable maka sembarang subset dari R juga ountable I = [0] adalah subset dari R Akibatnya I ountable Hal ini bertentangan dengan I unountable Jadi pengadaian R ountable salah Haruslah R unountable Contoh 6 Buktikan bahwa himpunan-himpunan C = {nn n bilangan ganjil positif} K = Z denumerable Jawab Untuk menunjukkan himpunan-himpunan tersebut denumerable berarti harus menunjukkan ada f : B N yang - dan pada Akan ditunjukkan C denumerable Misalkan f : C N dengan f() = C

24 Akan ditunjukkan f fungsi a Misalkan diberikan sembarang (ab)f maka ac dan b = f(a) = Karena a bilangan ganjil positif maka a+ bilangan genap positif a Akibatnya = b N Ini berarti (a b) CxN Jadi f CxN Misalkan a=b C maka a b f(a) = = Jadi f fungsi = f(b) Akan ditunjukkan f - Misalkan f(a) = f(b) N maka a b = a+ = b+ a = b Jadi f - Akan ditunjukkan f fungsi pada Karena f fungsi dari C ke N maka R f N Misalkan y N maka ada y- C sehingga ( y ) y f(y-) = = = y Ini berarti y R f Jadi N R f Karena R f N dan N R f maka R f = N Terbukti f fungsi onto Kesimpulan C denumerable

25 Akan ditunjukan denumerable Misalkan f : Z N dengan f(z) = ( z ) ( z ) z 0 zz z Misalkan (ab)f maka az dan b = f(a) Jika a 0 maka a+ (a+) = f(a) = b Jika a - maka a - (a + ) -(a+) = f(a) = b Ini berarti b atau dengan kata lain b N Akibatnya (ab) ZxN Jadi f ZxN (i) Misalkan a=b 0 maka f(a) = (a+) = (b+) = f(b) (ii) Misalkan a=b - maka f(a) = -(a + ) = -(b + ) = f(b) Jadi f fungsi Akan ditunjukkan f - (i) Misalkan f(a) = f(b) genap maka f(a) = (a+) f(b) = (b+) untuk suatu a b 0 Karena f(a) = f(b) maka (a+) = (b+) a = b (ii) Misalkan f(a) = f(b) ganjil maka f(a) = -(a+) f(b) = -(b+) untuk suatu ab - 5

26 Karena f(a) = f(b) maka -(a+) = -(b+) a = b Jadi f - Akan ditunjukkan f fungsi onto Artinya R f = N Karena f fungsi dari Z ke N maka R f N Misalkan diberikan sembarang y N (i) Jika y genap maka ada y - 0 sehingga Jadi y R f f( y -) = ( y - +) = y = y y (ii) Jika y ganjil maka ada - sehingga y y f( ) = -( +) = -(-y-+) = -(-y) = y Jadi y R f Jadi N R f Karena R f N dan N R f maka R f = N Terbukti f fungsi onto Kesimpulan Z denumerable 6