METODE THETA UNTUK MENENTUKAN NILAI OPSI SAHAM TIPE EROPA. Afri Andriyani

Transkripsi

1 METODE THETA UNTUK MENENTUKAN NILAI OPSI SAHAM TIPE EROPA Afr Andryan Mahasswa Program Stud S1 Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Rau Kampus Bna Wdya Pekanbaru 893 afr ABSTRACT Ths artcle dscusses the determnaton of value of the European type stock optons where the transacton s held at the expry date. One way to determne the value of the opton s usng Black-Scholes model n the form of partal dfferental equaton. Furthermore the approxmate soluton of Black-Scholes model s obtaned usng theta fnte dfference method. Keywords: Optons Black-Scholes model theta method ABSTRAK Artkel n membahas mengena penentuan nla ops saham tpe Eropa d mana transaks dlaksanakan pada saat jatuh tempo. Salah satu cara untuk menentukan nla ops yatu menggunakan model Black-Scholes yang berupa persamaan dferensal parsal. Selanjutnya solus hampran model Black-Scholes dperoleh dengan menggunakan metode beda hngga theta. Kata kunc: Ops model Black-Scholes metode theta 1. PENDAHULUAN Perkembangan perekonoman global mendorong para pelaku ekonom untuk bernvestas d pasar modal dem memperoleh keuntungan yang maksmal. Investor yang melakukan nvestas berupa aset fnansal salah satunya saham. Sunaryah [8 h. 6] mendefnskan saham merupakan lembaran surat berharga yang dterbtkan oleh badan usaha yang membutuhkan pendanaan dan djual kepada para nvestor yang mengakbatkan para nvestor dapat memlk sebagan kepemlkan perusahaan sebesar jumlah surat berharga yang dmlk oleh nvestor. Seorang nvestor yang melakukan nvestas saham d pasar modal merupakan hal yang menguntungkan akan tetap dengan keadaan harga saham yang bersfat fluktuas dan juga memlk rsko kerugan membuat nvestor berhat-hat dalam 1

2 bernvestas. Hal tersebut menjad salah satu faktor munculnya alternatf untuk bernvestas yatu ops. Sunaryah[8 h. 3] mendefnskan ops sebaga suatu perjanjan kontrak antara penjual ops (seller) dengan pembel ops (buyer) dmana penjual ops menjamn adanya hak(bukan kewajban) dar pembel ops untuk membel atau menjual saham tertentu pada harga dan waktu yang telah dtetapkan. Ops tpe Eropa adalah ops yang pelaksanaan transaksnya pada saat waktu jatuh tempo. Nla ops merupakan besarnya baya yang dkeluarkan oleh seorang nvestor untuk mendapatkan kontrak ops dan pembayarannya dlakukan saat kontrak dbuat. Ada beberapa model untuk menentukan nla ops salah satunya model Black-Scholes. Hull [6 h. 77] menyatakan model penentuan nla ops saham tpe Eropa merupakan model Black-Scholes yang dkembangkan oleh Fscher Black dan Myron Scholes pada tahun Model Black-Scholes berbentuk persamaan dferensal parsal yang berasal dar persamaan dferensal stokastk nla ops. Selanjutnya model Black-Scholes dapat dselesakan dengan menggunakan pendekatan numerk yatu metode beda hngga theta. Bernats [ h. 6] mendefnskan metode theta merupakan gabungan dar metode forward dfference dan backward dfference dengan theta sebaga parameter. Dalam artkel n dbahas metode theta untuk menyelesakan model Black-Scholes sebaga penentuan nla ops saham tpe Eropa. Artkel n merupakan kajan dar buku Desmon [5 h. 57]. Adapun sstematka penulsan bagan 1 adalah pendahuluan yang bers gambaran umum tentang permasalahan yang dbahas. Pada bagan djelaskan teor pendukung yang dgunakan dalam menyelesakan permasalahan yang dbahas. Pada bagan 3 membahas nt permasalahan peneltan dalam artkel n yatu metode theta untuk menentukan nla ops saham tpe Eropa. Pada bagan 4 membahas smulas. Selanjutnya artkel n dakhr kesmpulan pada bagan 5.. PERSAMAAN DIFERENSIAL STOKASTIK NILAI OPSI SAHAM Nla ops merupakan suatu fungs dar varabel stokastk yang bergantung terhadap harga saham dan waktu. Hull[6 h. 59] mendefnskan setap varabel yang nlanya berubah dar waktu ke waktu dengan cara yang tak tentu dkatakan mengkut proses stokastk. Ross [7 h. 41] mendefnskan proses stokastk merupakan kumpulan varabel random X(t) t T dengan t menyatakan waktu pada T dan X(t) menyatakan proses saat t. Proses stokastk memlk beberapa bagan salah satunya proses Wener. Tsay [9 h.53] mendefnskan varabel w t sebaga proses Wener yang memlk sfat-sfat berkut. 1. Perubahan w t selama selang waktu terkecl t dnyatakan dengan w t = ǫ t (1) dengan ǫ merupakan sample random berdstrbus normal N(0 1).

3 . Nla w t untuk setap nterval waktu terkecl t salng bebas. Hull[6 h. 65] memodelkan persamaan dferensal stokastk harga saham dengan varabel S mengkut generalsas proses Wener dnyatakan dengan ds = µsdt+σsdw t () dengan µs merupakan tngkat rata-rata saham yang dharapkan σs merupakan volatltas saham dar return dan w t merupakan proses Wener. Alat komputas yang terkenal d dalam duna fnansal adalah lema Ito. Lema Ito dperkenalkan oleh seorang ahl matematka bernama Kyos Ito pada tahun Wllmot [11 h. 5] menyatakan lema Ito dperoleh dar penjabaran deret Taylor dengan ekspans deret Taylor terhadap fungs G(S t) yatu G = G G S + S t t+ 1 G + G S S S t S t+ 1 G +. (3) t t Selanjutnya lema Ito dgunakan untuk menentukan persamaan dferensal stokastk untuk nla ops saham. Varabel S memenuh persamaan () yatu S = µs t+σs w t. (4) Dengan mensubsttuskan persamaan (1) ke dalam persamaan (4) dperoleh S = µs t+σsǫ t atau S = µ S t +µσs ǫ( t) 3/ +σ S (ǫ t) (5) dengan ǫ memlk rata-rata 0 dan varans 1. Jka nla Var(ǫ) = E(ǫ ) [E(ǫ)] maka E(ǫ ) = 1. Kemudan pada persamaan (5) dengan menggunakan sfat ekspektas dperoleh [1 h. 7] S = µ S t +σ S t. (6) Dengan mensubsttuskan persamaan (4) dan (6) ke dalam persamaan (3) dperoleh G = G S (µs t+σs w t)+ G + G S t (µs t+σs w t) t+ 1 t t+ 1 G S t +σ S t) S (µ G t t (7) saat lmt t menuju 0 dengan menggunakan defns total dferensal dperoleh [10 h. 944] dg = G G µsdt+ S S σsdw t + G t dt+ 1 G S dt. (8) S σ 3

4 Msalkan V(St) adalah nla ops yang bergantung terhadap harga saham S dan waktu t sehngga persamaan (8) menjad ( dv = µs + S t + 1 ) V S dt+ S σ S σsdw t (9) persamaan (9) merupakan persamaan dferensal stokastk nla ops saham untuk memperoleh model Black-Scholes. 3. METODE THETA UNTUK MENENTUKAN NILAI OPSI SAHAM Nla ops saham dtentukan dar model Black-Scholes yang dselesakan menggunakan metode beda hngga theta. Hull [6 h. 86] menyatakan bahwa model Black- Scholes memlk beberapa asums dantaranya 1. Ops yang dgunakan adalah ops tpe Eropa yang berlaku pada saat jatuh tempo.. Volatltas harga saham konstan selama usa dan dketahu secara past. 3. Suku bunga bebas rsko. 4. Saham yang dgunakan tdak melakukan pembagan dvden. 5. Pajak dan baya transaks dabakan. Suatu portofolo merupakan sekumpulan aset berharga salah satunya saham. Nla portofolo yang dlambangkan dengan π terdr dar V dengan perubahan saham jangka pendek yang dnyatakan dengan [11 h. 1] π = V δ(s). (10) Perubahan nla portofolo suatu waktu dnyatakan dengan dπ = dv δ(ds). (11) Msalkan δ = merupakan tngkat perubahan rata-rata nla ops terhadap harga S saham atau dkenal dengan pengendalan rsko (hedgng) dengan mensubsttuskan persamaan (9) dan persamaan () ke dalam persamaan (11) dperoleh ( dπ = t + 1 ) σ S V dt. (1) S Portofolo dkatakan tdak bersko dkarenakan tdak adanya proses Wener oleh karena tu portofolo dkatakan konstan dan memlk return yang sama dengan 4

5 return sekurtas bebas rsko lannya. Jad persamaan yang menunjukkan adanya persamaan return portofolo dengan return sekurtas bebas rsko lannya adalah dπ = rπdt. (13) Dengan mensubsttuskan persamaan (10) dan persamaan (1) ke dalam persamaan (13) dperoleh t + 1 σ S V S +rs S rv = 0. (14) Msalkan τ adalah perhtungan harga saham yang dperoleh dar selsh waktu akhr dan waktu awal. Kemudan τ dapat dnyatakan sebaga berkut. τ = T t. Dengan menurunkan kedua ruas terhadap t dperoleh τ t = 1. (15) Kemudan dengan menggunakan aturan ranta pada persamaan (15) dperoleh τ 1 σ S V S rs S +rv = 0. (16) Persamaan (16) merupakan model Black-Scholes untuk penentuan nla ops saham tpe Eropa. Berdasarkan kontrak ops (V) terbag atas dua yatu call opton (C) dan put opton (P). Hgham [5 h. 3] menyatakan model Black-Scholes pada persamaan (16) memlk syarat awal dan syarat batas untuk call opton maupun put opton adapun syarat awal dan syarat batas call opton yatu serta payoff saat t = T adalah C(0τ) = 0 dan C(S max τ) = S max Ke r(τ) C(ST) = max (S T K0) kemudan syarat awal dan syarat batas put opton yatu serta payoff saat t = T adalah P(0τ) = Ke r(t t) dan P(S max τ) = 0 P(ST) = max (K S T 0). 5

6 Pada persamaan(16) dengan melakukan proses dskrtsas menggunakan metode forward dfference dperoleh [3 h. 733] τ V j+1 V j k V S V j 1 V j +V j +1 h S V j +1 Vj 1 h sehngga persamaan (16) dapat dtuls menjad V j+1 V j 1 σ S V j 1 V j +V j +1 rs V j +1 Vj 1 h +rv j = 0. (17) k h Selanjutnya pada persamaan (16) dengan menggunakan metode backward dfference dperoleh [3 h. 733] V S V j+1 j+1 1 V +V j+1 +1 h S V j+1 +1 Vj+1 1 h sehngga persamaan (16) dapat dtuls menjad V j+1 V j 1 j+1 j+1 k σ S V 1 V +V j+1 +1 rs V j+1 +1 Vj+1 1 +rv j+1 h = 0. (18) h Jka persamaan(18) dan(17) djumlahkan kemudan haslnya dbag dan member bobot yang dnotaskan dengan θ pada ruas kanan sehngga dperoleh metode theta terhadap model Black-Scholes yatu (1+rkθ)V j+1 (1 rk(1 θ))v j σ k θ(v j+1 j+1 1 V + σ k +V j+1 +1 rk ) (1 θ)(v j 1 V j +V j +1 ) θ(v j+1 +1 Vj+1 1 ) = + rk (1 θ)(v j +1 Vj 1 ) (19) dengan 0 θ 1. Perhatkan persamaan (19) dengan menjalankan nla = 1 m 1 dan nla j = 01 n 1 dperoleh sstem persamaan lnear yatu dengan B = b 1 c a b c 0 0 a 3 b b (m 1) BV j+1 = FV j + Q j (0) F = f 1 g e f g 0 0 e 3 f f (m 1) 6

7 Q j = e 1 V j 0 +a 1 V j g (m 1) Vm j +c (m 1) Vm j+1 Pada persamaan (19) dengan memsalkan entry pada matrks B matrks F dan Q adalah a = (1/)kθ(σ r) b = 1+kθ(r +σ ) c = (1/)kθ(σ +r) e = (1/)k(1 θ)(σ r) f = 1 k(1 θ)(r+σ ) g = (1/)k(1 θ)(σ +r). dan V j yatu V j = V j 1 V j V j 3. V j m 1. Chapra [4 h. 86] menjelaskan dalam menyelesakan sstem persamaan lnear pada persamaan (0) dmlk matrks yang berbentuk trdagonal sehngga persamaan (0) dapat dselesakan dengan algortma Thomas. 4. SIMULASI Msalkan seorang nvestor Mr. A melaksanakan ops saham kepada perusahaan PT. B yang bergerak d bdang permnyakan. Pada saat tu Mr. A melaksanakan ops dengan harga pelaksanaan sebesar $47 per lembar dengan tngkat suku bunga bebas rsko 15% per tahun. Perjanjan dlaksanaan selama 146 har maka nla t yatu 0.4 (1 tahun 365 har) dan harga saham saat ops dbuat sebesar $50 per lembar dengan volatltas harga saham 4% tpe ops yang dgunakan adalah tpe Eropa. Setelah kontrak dbuat Mr. A menghtung berapa dana yang akan dkeluarkan untuk call opton dan put opton dengan menggunakan software matlab R013a dperoleh call opton sebesar $ per lembar saham dan untuk put opton sebesar $ per lembar saham. Ilustras call opton dan put opton terlhat pada Gambar 1 (a) dan (b). Gambar 1 (a) untuk call opton menjelaskan harga saham S lebh besar dbandngkan harga kesepakatan K. Pada saat jatuh tempo apabla Mr. A melaksanakan haknya maka Mr. A akan memperoleh keuntungan sebesar selsh harga saham S dengan 7

8 harga kesepakatan K. Semakn tngg harga saham maka semakn besar pula keuntungan yang d peroleh Mr. A. Apabla pada saat jatuh tempo Mr. A tdak melaksanakan haknya maka Mr. A akan mengalam kerugan sebesar dana yang dkeluarkan oleh Mr. A kepada opton wrtter yatu sebesar $ per lembar saham. Gambar 1 (b) untuk put opton menjelaskan harga kesepakatan K lebh rendah dbandngkan harga saham S. Hal n dkarenakan pada saat awal kontrak dbuat Mr. A mempredks harga saham PT. B akan mengalam penngkatan pada saat jatuh tempo sehngga Mr. A tdak memungknkan untuk melaksanakan put opton (a) (b) Gambar 1: (a) call opton dan (b) put opton 5. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah dkemukakan sebelumnya dapat dsmpulkan bahwa untuk menentukan nla call opton maupun nla put opton menggunakan model Black-Scholes. Model Black-Scholes yang berbentuk persamaan dferensal parsal dapat dselesakan dengan metode beda hngga theta untuk memperoleh nla ops. Ucapan Terma Kash Ucapan terma kash dsampakan kepada Dr. Syamsudhuha M.Sc. dan Zulkarnan M.S. yang telah membmbng dan memberkan arahan dalam penulsan artkel n. DAFTAR PUSTAKA [1] L.J. Ban dan M. Engelhardt Introducton to Probablty and Mathematcal Statstcs th Ed Duxbury Canada

9 [] R. A. Bernatz Fourer Seres and Numercal Methods for Partal Dfferensal Equatons John Wley and Sons Inc New Jersey 010. [3] R.L.Burdendan D.J.Fares Numercal Analyss 9 th Ed NelsonEducaton Ltd Canada 011. [4] S. C. Chapra Numercal Method for Engneers 5 th Ed Mc Graw Hll New York 006. [5] J. H. Desmond An Introducton to Fnancal Opton Valuaton Mathematcs Stochastcs and Computaton Cambrdge Unversty Press New York 004. [6] J. C. Hull Optons Futures and Other Dervatves 7 th Ed Prentce Hall New Jersey 003. [7] S. M. Ross Stochastc Processes nd Ed Jhon Wley dan Sons. Inc New York [8] Sunaryah Pengetahuan Pasar Modal AMP YKPN 003. [9] R. S. Tsay Analyss of Fnancal Tme Seres Wley-Interscence New Jersey 010. [10] J. Stewart Calculus 7 th Cengage Learnng Span [11] P. Wllmot S. Hownson dan J. Dewynne The Mathematcs of Fnancal Dervatves: A Student Introducton Cambrdge Unversty Press New York