ANALISIS METODE BINOMIAL DIPERCEPAT PADA PERHITUNGAN HARGA OPSI EROPA

Transkripsi

1 ANALISIS EODE BINOIAL DIPERCEPA PADA PERHIUNGAN HARGA OPSI EROPA Istqomah, Abdul Azz Jurusan atematka Unverstas Islam Neger aulana alk Ibrahm alang e-mal: ARAK odel umum yang dgunakan dalam perhtungan harga ops Eropa adalah model Black Scholes. Kemudan dtemukan suatu metode baru yang merupakan aproksmas dar model Black Scholes yatu metode Bnomal. Akan tetap, perhtungan harga ops Eropa menggunakan metode Bnomal membutuhkan parts waktu yang banyak untuk bsa mendekat model kontnu Black Scholes. Untuk mempercepat kekonvergenan aproksmas harga ops Eropa maka dgunakan pengembangan dar model Bnomal yatu Bnomal Dpercepat. Langkah yang dlakukan dalam metode Bnomal Dpercepat adalah melakukan pemulusan kurva harga ops yang dsebut dengan ddle of ree (O). Sebelum melakukan pemulusan kurva tersebut yang dlakukan terlebh dahulu adalah memsahkan parts waktu yang dgunakan yatu parts waktu ganjl dan genap. Asums yang dgunakan pada O adalah dengan meletakkan harga ketentuan d tengah pohon bnomal pada saat jatuh tempo. Dar asums tersebut ddapatkan parameter u dan p yang akan dgunakan dalam pemulusan kurva O. Dengan menggunakan parameter O tersebut dperoleh hasl dar harga ops Eropa yang bsa mendekat harga kekonvergenan Black Scholes dengan parts yang lebh sedkt dbandngkan dengan menggunakan metode Bnomal. Kata Kunc: Ops Eropa, Bnomal,Bnomal Dpercepat, ddle of ree (O) ARAC A common model whch s used the calculaton of the prce of European opton s Black Scholes odel. Afterwards, there s a new model whch n approxmaton of Black Scholes odel. hs model s called as Bnomal odel. But then, the calculaton of the prce of European Opton wth Bnomal odel requres many teratons to approach the Contnue odel of Black Scholes. he development of Bnomal odel, Accelerated Bnomal, s used accelerate the convergence of the approxmaton of European Opton. On of steps n the Accelerated Bnomal ethod s the ddle of ree (O). O s the smoothng of opton prce s curve. Before dong the smoothng of curve, the frst step that must be done s separatng the used tme; odd and even tme. he assumpton that s used n O s placng the prce provson among the bnomal tree on the maturty tme. he result the assumpton u and p that wll be appled n the smoothng of curve. he usng of O parameter produces a result from the prce of European Opton that convergences to Black Scholes faster than usng Bnomal odel. Keywords: European Opton, Bnomal, Accelerated Bnomal, ddle of ree (O) PENDAHULUAN Pada peneltan sebelumnya tentang perhtungan harga ops Eropa menggunakan metode Bnomal telah djelaskan beberapa bentuk yang dgunakan untuk menghtung harga ops Eropa. Salah satu bentuk yang dgunakan dalam perhtungan harga ops Eropa adalah metode Bnomal bentuk CRR. etode Bnomal bentuk CRR n untuk pertama kal dkembangkan secara smultan oleh Cox, Ross dan Rubnsten [1] serta Rendlemen dan Bartter [2] dengan mengasumskan bahwa dalam suatu nterval waktu, harga saham akan nak sebesar faktor u (up) dan akan turun sebesar faktor d (down) karena dpengaruh oleh faktor suku bunga. Selanjutnya CRR mempertmbangkan bahwa pergerakan harga saham juga dpengaruh faktor volatltas. Semakn banyak parts waktu yang dgunakan pada metode Bnomal CRR, maka harga ops yang ddapat akan semakn mendekat model kontnyu Black Scholes [3]. Akan tetap, untuk mendapatkan harga ops yang mendekat model kontnyu Black Scholes dperlukan waktu yang cukup lama karena dengan parts waktu yang semakn banyak maka proses perhtungan harga ops juga akan semakn banyak. Setap parts waktu yang berubah pada metode Bnomal CRR mengakbatkan keadaan strke prce selalu berubah terhadap node pada waktu jatuh tempo. In menyebabkan terjadnya oslas (nak turun) harga ops terhadap parts

2 Analss etode Bnomal Dpercepat pada Perhtungan Eropa waktu, sehngga kekonvergenan terhadap Black Scholes sangat lambat [4]. Keadaan n telah dbuktkan pada peneltan sebelumnya tentang perhtungan ops Eropa dengan metode Bnomal CRR. Jka menggunakan parts waktu kecl maka harga saham pada waktu jatuh tempo yang dperoleh sangat kecl sehngga akan menyebabkan keadaan dmana antara ops call dan ops put tdak salng mbang. Salah satu metode yang dgunakan untuk mempercepat kekonvergenan harga ops metode Bnomal CRR terhadap harga ops metode Black Scholes adalah dengan melakukan pemulusan kurva terhadap pohon Bnomal CRR atau basa dsebut dengan ddle of ree (O). Dengan melakukan pemulusan kurva Bnomal CRR maka penelt akan mendapat harga saham pada waktu jatuh tempo yang lebh besar dar metode Bnomal CRR. Dengan nla harga saham pada waktu jatuh tempo yang lebh besar maka dengan parts waktu berapapun akan ddapatkan nla yang selalu ada d tengah pohon Bnomal pada saat jatuh tempo. Hal n menyebabkan nla ops call ataupun put selalu tdak nol sehngga kedua ops tersebut dapat memlk peluang untuk mendapatkan untung. INJAUAN EORI K 1. Bnomal Defns Ekspermen Bnomal: Suatu ekspermen dnamakan ekspermen bnomal bla dan hanya bla ekspermen yang bersangkutan terdr dar percobaan-percobaan bnomal. Anggaplah p adalah probabltas bahwa suatu kejadan akan terjad dalam suatu percobaan tunggal sembarang (dsebut peluang keberhaslan), maka q =1 p adalah probabltas bahwa suatu kejadan akan gagal dalam setap satu percobaan (dsebut peluang kegagalan). Probabltas bahwa suatu kejadan akan terjad tepat x kal dalam n percobaan (artnya, keberhaslan-keberhaslan (sukses) dan n - x kegagalan akan terjad) dtentukan oleh fungs probabltas n n! f x P X x p q p q x x! n x! dmana varabel acak X melambangkan jumlah keberhaslan dalam n percobaan dan x = 0, 1,, n. x n x x nx 2. Ops Ops (Opton) adalah sebuah hak atau suatu kontrak antara wrter (penjual) dan holder (pembel) pemegang ops yang memberkan hak, kepada holder (pemegang opton) untuk membel atau menjual suatu aset pokok (underlyng asset) pada suatu tanggal tertentu untuk suatu harga tertentu. Ada dua tpe dasar ops yatu call dan put. Ops call adalah hak untuk membel sejumlah tertentu suatu underlyng asset dengan harga sebesar strke prce, pada waktu jatuh tempo (maturty date). Sedangkan ops put adalah hak untuk menjual sejumlah tertentu suatu underlyng asset dengan harga sebesar strke prce, pada waktu jatuh tempo (maturty date) [5]. Kontrak ops adalah suatu perjanjan yang memberkan hak kepada holder untuk membel suatu underlyng asset. Pada tngkat harga tertentu (strkng prce) pada saat tanggal tertentu (maturty date). Seorang holder suatu ops harus membuat suatu keputusan apa yang akan a lakukan terhadap tanggungan kontrak hak ops n. Keputusannya akan dtentukan pada stuas pasar, dan tpe ops n. salkan pada call ops Eropa, da dapat mengabakan ops n bla harga saham (stock prce) d pasar pada waktu jatuh tempo (maturty date) lebh rendah dar pada harga call ops (strke prce), karena tdak dapat memberkan keuntungan. Ia lebh bak membel saham serupa d pasar dengan harga yang lebh rendah dar pada membelnya pada wrter dengan harga strke prce. enurut seydel [3] jka S adalah harga saham d pasar pada waktu dan K adalah strke prce maka keuntungan atau nla payoff untuk kedua jens ops d atas dberkan oleh: untuk ops call C max S K S K,0 (1) Sedangkan untuk ops put dberkan oleh P max K S K S,0 (2) Wrter memperoleh keuntungan dar baya atau harga ops dar holder, bak holder melaksanakan haknya maupun tdak melaksanakan haknya. Holder (pemegang ops) akan mendapatkan untung, jka menggunakan hak opsnya, dar nla ops yang dperoleh dar selsh harga saham pada pasar bebas dengan harga saham pada ops, yang dstlahkan dengan payoff, V, setelah dkurang dengan harga ops (opton prce), yang dstlahkan dengan proft atau keuntungan. Keuntungan atau kerugan yang dperoleh holder atau pemegang ops call pada waktu : Proft = payoff harga opton = V C max( K S,0) C c sebalknya, bag pemegang ops put akan mendapatkan keuntungan atau kerugan: Proft = payoff - harga opton CAUCHY ISSN:

3 Istqomah, Abdul Azz = V P max( K S,0) P p Artnya, jka proft bernla postf maka pemegang ops mendapatkan keuntungan, dan sebalknya jka negatf merupakan kerugan yang maksmal sebesar harga ops. Berkut n adalah gambar kurva fungs payoff dan proft untuk ops call dan ops put. Proft dperoleh dar pengurangan harga transaks pada saat membel ops terhadap nla payoff yang dperoleh [6]. 3. etode Bnomal Eropa Pada kenyataannya harga saham d pasar bebas akan selalu berubah nak atau turun dengan perubahan waktu. Kemungknan dua arah perubahan nlah yang dgunakan sebaga dasar model bnomal. salkan harga saham saat pembuatan ops, adalah S0 nak dengan peluang p menjad Su atau akan turun dengan peluang q menjad Sd. Sehngga nla ops pada saat pembuatan ops, adalah V0 dan pada saat nak menjad U atau akan turun menjad D. Permodelan matematka dharapkan dapat membantu untuk memaham keadaan sekarang dan predksnya pada waktu yang akan datang. Oleh karena tu, agar model bnomal n dapat berhasl dengan lebh bak maka harus sesua dengan keadaan duna nyata. asalah yang dhadap sekarang adalah bagamana kta memlh p, u, dan d sedemkan hngga model bnomal n mendekat pada keadaan duna nyata [6]. emula dengan dskrtsas, yatu menjadkan waktu kontnu t menjad dskrt dengan menggantkan t oleh waktu yang sama lamanya katakanlah t. bdang (S,t) dwakl oleh gars-gars lurus paralel dengan jarak t. enggant nla-nla kontnu S sepanjang paralel t = t dengan nla-nla dskrt Sj, untuk semua dan j yang sesua. Untuk lebh memaham lhat gambar 1. Gambar n menunjukkan sebuah hubungan grd, katakanlah perubahan dar t ke t+ t, atau dar t ke t+1. S S S t = t p q S+1 t+1= t + t Gambar 1 Prnsp etode Bnomal salkan dgunakan notas sebaga berkut: = banyaknya selang waktu Su = u. S Sd = d. S t j = ndeks waktu, t = waktu ke = ndeks kemungknan harga saham dengan: t t :. t, 0,1,2,3,..., j 0,1,2,3,..., S : S t Asums-asums yang dgunakan dalam permodelan n adalah: 1. Harga S, sebaga harga awal, selama setap perode waktu t hanya dapat berubah dalam dua kemungknan yatu nak menjad Su atau turun menjad Sd dengan 0 < d < u. D sn u dan d masng-masng merupakan faktor perubahan nak dan turun yang konstan untuk setap t. 2. Peluang perubahan nak adalah p, P(nak) = p. Sehngga P(turun) = q=(1-p). 3. Ekspektas harga saham secara acak kontnu, dengan suku bunga bebas resko (r), dar harga saham ke pada waktu ke menjad harga saham ke +1 pada waktu ke +1 adalah: E( S ). r t S e (1) 4. dak ada pembayaran dvden 1 selama perode waktu tersebut. Skema (tree) untuk fluktuas harga saham secara dskrt dapat dbangun menggunakan model bnomal. Sehngga secara umum harga saham pada saat t = t terdapat +1 kemungknan dengan rumus umum: j j S, = 0,1,, j = 0,1,. j S u d 0 PEBAHASAN dan j (4) Berdasarkan konstruks tentang metode bnomal untuk perhtungan harga ops Eropa, yang ddasarkan pada perhtungan harga saham. Harga saham pada waktu tertentu sangat dperlukan oleh holder (pembel) dan wrter (penjual) untuk mempredks nla ops. enghtung harga ops Eropa dan ops Asa Eropa terlebh dulu mencar payoff atau nla ops. encar nla ops Eropa dan ops Asa Eropa, pada kontrak ops yang dlakukan holder dan wrter, saat pertama kal perjanjan holder (pembel) harus menentukan ops call (hak untuk membel) atau ops put (hak untuk menjual), pada kontrak ops Eropa dan ops Asa Eropa dketahu harga saham awal dan menentukan harga saham perjanjan (strke 110 Volume 3 No.2 e 2014

4 Analss etode Bnomal Dpercepat pada Perhtungan Eropa prce, K ) dalam waktu jatuh tempo (maturty ). enentukan harga saham pada waktu jatuh tempo membutuhkan harga saham awal dengan metode bnomal. Harga saham d pasar bebas pada waktu tertentu yang akan datang, tdak dapat dpastkan. Harga saham pasar bebas kenyataannya selalu mengalam perubahan nak atau turun setap detknya atau dengan perubahan waktu. Kemungknan dua arah perubahan nlah yang dgunakan sebaga dasar metode bnomal. Pada metode bnomal, dketahu harga saham awal, untuk mengetahu harga saham sampa dengan jatuh tempo menggunakan persamaan (4). date, Su 3 Su mencar harga ops yatu model ops Eropa yang d bandngkan dengan model Black-Scholes. 1. Perhtungan Eropa odel yang pertama menggunakan ops Eropa. Setelah menemukan harga saham waktu jatuh tempo, dar tu dapat memperoleh nla ops Eropa. Sebelum menghtung nla ops, menentukan jens ops terlebh dahulu, yatu ops call atau ops put. enghtung nla ops call (call payoff) yatu V max S K,0 (8) j j terdapat beberapa nla j = 0,1,2,..., dan =0,1,2,...,. j V 22 V 33 V S Su Sd Su 2 Sud Sd 2 Su 2 d Sud 2 Sd 3 Sd V V 00 j V 11 V 01 V 12 V 02 V 23 V 13 V 03 V 0 Gambar 3. Skema Perubahan payoff Secara Bnomal t t t 1 Gambar 2. Skema Fluktuas Harga Saham Secara Bnomal dar ekspektas d atas ddapatkan rumus dskrt harga saham pada waktu t = sebaga berkut: 0 E S pu qd S (5) Persamaan (4) adalah tdak rekursf, artnya perhtungan yang memerlukan waktu relatf lama, sehngga perlu adanya bentuk rekursf yang dperoleh sebaga berkut, dengan bantuan persamaan r t E S S e (6) 0 untuk menghtung harga saham awal dar harga saham jatuh tempo menggunakan dskon dar persamaan (3) dengan rumus: S e E S rt 0 1 S e ps qs rt j j1, 1 j, 1 r t e (7) dan untuk mengetahu harga saham sebelumnya menggunakan persamaan (7). Dar langkahlangkah n, dapat menemukan dar harga ops awal sampa jatuh tempo, terdapat model untuk Dar beberapa nla ops n dperoleh secara bnomal mundur harga ops awal, V e pv qv (9) r t 0 j1, 1 j, 1 dan untuk menghtung nla ops put (put payoff) yatu V max K S,0 (10) j terdapat beberapa nla j = 0,1,2,..., dan =0,1,2,...,. Dar beberapa nla ops n dperoleh secara bnomal mundur harga ops awal, V e pv qv (11) j r t 0 j1, 1 j, 1 Supaya model bnomal n mendekat pada keadaan duna nyata, maka harus mencar nla parameter u, d dan p. 2. Parameter-parameter u,d, dan p etode dengan asums u.d=1. Untuk menentukan tga parameter yang belum dketahu, u, d, dan p, dperlukan tga persamaan, yatu: 1) enyamakan ekspektas harga saham model dskrt dengan model kontnu CAUCHY ISSN:

5 Istqomah, Abdul Azz 2) enyamakan varans model dskrt dengan model kontnu 3) enyamakan u. d = 1 Persamaan pertama menyamakan ekspektas harga saham model dskrt dengan model kontnu yatu menggunakan persamaan (5) dan persamaan (6) pada waktu jatuh tempo. sehngga dperoleh nla untuk u, d dan p yatu: u 4 2, dengan 2 1 d u, rt e d p u d t 2 r t r t e e (12) 3. etode Bnomal Dpercepat Pada metode Bnomal Dpercepat n konsep yang dgunakan adalah konsep pemulusan kurva harga ops Eropa yang dsebut dengan ddle of ree (O). ddle of ree (O) adalah pemulusan kurva dengan meletakkan harga K d tengah pohon Bnomal pada saat waktu jatuh tempo sehngga harga K selalu tetap terhadap node d setap nla yang berubah. Untuk menghlangkan oslas pada harga ops Eropa menggunakan metode Bnomal CRR, parts waktu dpsahkan menjad ganjl dan genap [4]. Harga K selalu terletak d tengah pohon Bnomal pada saat waktu jatuh tempo dengan cara merubah parameter u dan d. Oleh karena harga K harus terletak d tengah pohon Bnomal pada saat jatuh tempo, maka j j S ud S u d S u d S u d K dengan 1,2,, ; j 0,1,2,, Pada saat jatuh tempo, harga K harus terletak d tengah noktah-noktah pohon Bnomal, akbatnya ( ) 2 S0 ud K (13) Pada metode Bnomal CRR, harga saham akan nak atau turun bergantung pada parameter u dan d sesua dengan rumus yatu t u e dan d e t Sedangkan parameter u dan d pada metode Bnomal Dpercepat dubah dengan menambahkan varable C1 dan C2 pada eksponensal parameter u dan d. Penambahan varabel C1 dan C2 membuat harga node saham akan bergerak sehngga keadaan K selalu berada d tengah-tengah jumlah node pohon Bnomal pada saat waktu jatuh tempo sehngga ddapatkan parameter u dan d sebaga berkut: t C1 t C2 u e, d e (14) Dengan mensubttuskan persamaan (13) dan (14) dan dengan melakukan pemlhan nla C1 dan C2 ddapatkan C K ln( ) S 0 1 C2 (15) Dan dengan mensubttuskan persamaan (13) ke persamaan (14) ddapatkan parameter u dan d sebaga berkut: K K ln( ) ln( ) S0 S0 t t u e, d e (16) 4. Smulas Grafk Ilustras yang dgunakan untuk menentukan harga ops call dan harga ops put dar model ops Eropa dengan perbandngan model Black Scholes dan model ops Eropa akan dberkan tga contoh smulas sebaga berkut. Warna hjau menunjukkan harga ops genap, warna merah menunjukkan harga ops ganjl warna bru menunjukkan harga black Scholes, dan warna bru menunjukkan ops Asa Eropa. 4.1 Harga Saham Lebh Besar dar Harga Ketentuan Untuk grafk call ops = 0.24, = 146 = 50, K = 43, r = 0.15, Pergerakan Call Eropa bentuk CRR Gambar 4. Grafk hasl Smulas Call dengan pemsahan parts waktu Dar pemsahan parts n ddapatkan hasl yang yang sama dengan hasl sebelumnya hanya dbedakan parts ganjl dan genap. Dar hasl smulas ops call menggunakan metode Bnomal CRR ddapatkan bahwa holder (pemegang ops) harus membayar sebesar kepada wrter (penuls ops) dengan acuan perhtungan menggunakan Black Scholes. Untuk hasl dar O adalah sebaga berkut: 112 Volume 3 No.2 e 2014

6 Analss etode Bnomal Dpercepat pada Perhtungan Eropa Pergerakan Call Eropa dengan ddle of ree Gambar 5. Grafk hasl Smulas Call dengan O Dar grafk hasl pemulusan dapat dlhat bahwa harga ops Eropa menggunakan Bnomal Dpercepat sudah dapat mendekat harga Black Scholes dengan parts 101. Kekonvergenan n lebh cepat dbandngkan dengan kekonvergenan menggunakan metode Bnomal CRR d mana harga ops Eropa yang ddapat dar metode Bnomal Dpercepat pada parts waktu 101 baru dapat ddapat oleh metode Bnomal CRR pada parts waktu 146. Untuk grafk put ops = 50, K = 43, r = 0.15, O genap O ganjl = 0.24, = 146 Gambar 7. Grafk hasl Smulas Put dengan O Dar grafk hasl pemulusan dapat dlhat bahwa harga ops Eropa menggunakan Bnomal Dpercepat sudah dapat mendekat harga Black Scholes dengan parts 101. Kekonvergenan n lebh cepat dbandngkan dengan kekonvergenan menggunakan metode Bnomal CRR d mana harga ops Eropa yang ddapat dar metode Bnomal Dpercepat pada parts waktu 101 baru dapat ddapat oleh metode Bnomal CRR pada parts waktu Harga Saham sama dengan Harga Ketentuan Untuk grafk call ops = 0.24, = 146 = 50, K = 50, r = 0.15, Pergerakan Call Eropa bentuk CRR Pergerakan Put Eropa bentuk CRR 8.1 Gambar 8. Grafk hasl Smulas Call dengan pemsahan parts waktu Gambar 6. Grafk hasl Smulas Put dengan pemsahan parts waktu Dar pemsahan parts n ddapatkan hasl yang yang sama dengan hasl sebelumnya hanya dbedakan parts ganjl dan genap. Dar hasl smulas ops put menggunakan metode Bnomal CRR ddapatkan bahwa holder (pemegang ops) harus membayar sebesar kepada wrter (penuls ops) dengan acuan perhtungan menggunakan Black Scholes. Untuk hasl dar O adalah sebaga berkut: Pergerakan Put Eropa dengan ddle of ree -1.4 O genap O ganjl Dar pemsahan parts n ddapatkan hasl yang yang sama dengan hasl sebelumnya hanya dbedakan parts ganjl dan genap. Dar hasl smulas ops put menggunakan metode Bnomal CRR ddapatkan bahwa holder (pemegang ops) harus membayar sebesar kepada wrter (penuls ops) dengan acuan perhtungan menggunakan Black Scholes. Untuk hasl dar O adalah sebaga berkut: Pergerakan Call Eropa bentuk CRR 8.1 Gambar 9. Grafk hasl Smulas Call dengan O Grafk yang ddapatkan dar pemulusan kurva n adalah sama dengan grafk dar bnomal CRR sebelumnya dengan pemsahan parts waktu. Harga ops awal yang ddapat adalah dan pada waktu ke-146 harga ops call Eropa yang ddapatkan adalah CAUCHY ISSN:

7 Istqomah, Abdul Azz dan harga Black Scholes adalah Sehngga, hasl yang dperoleh sama dengan hasl yang dperoleh pada Bnomal CRR dengan pemsahan parts waktu Untuk grafk put ops = 50, K = 50, r = 0.15, = 0.24, = 146 Pergerakan Put Eropa bentuk CRR metode Bnomal CRR ddapatkan bahwa holder (pemegang ops) harus membayar sebesar kepada wrter (penuls ops) dengan acuan perhtungan menggunakan Black Scholes. Untuk hasl dar O adalah sebaga berkut: Pergerakan Call Eropa dengan ddle of ree O genap O ganjl Gambar 10. Grafk hasl Smulas Put dengan pemsahan parts waktu Dar pemsahan parts n ddapatkan hasl yang yang sama dengan hasl sebelumnya hanya dbedakan parts ganjl dan genap. Dar hasl smulas ops put menggunakan metode Bnomal CRR ddapatkan bahwa holder (pemegang ops) harus membayar sebesar kepada wrter (penuls ops) dengan acuan perhtungan menggunakan Black Scholes. Pergerakan harga ops put Eropa dengan menggunakan metode O sama dengan pergerakan harga ops call Eropa dengan menggunakan metode O yatu grafknya sama dengan hasl perhtungan Bnomal CRR dengan pemsahan parts waktu. Sehngga, untuk mengetahu pergerakan harga ops put Eropa dengan O dapat dlhat pada pergerakan harga ops put Eropa menggunakan Bnomal CRR dengan pemsahan parts waktu. 4.3 Harga Saham kurang dar Harga Ketentuan Untuk grafk call ops = 0.24, = 146 = 50, K = 57, r = 0.15, Pergerakan call Eropa bentuk CRR 4.2 Gambar 11. Grafk hasl Smulas Call dengan pemsahan parts waktu Dar pemsahan parts n ddapatkan hasl yang yang sama dengan hasl sebelumnya hanya dbedakan parts ganjl dan genap. Dar hasl smulas ops put menggunakan Gambar 12. Grafk hasl Smulas Call dengan O Dar grafk hasl pemulusan dapat dlhat bahwa harga ops Eropa menggunakan Bnomal Dpercepat sudah dapat mendekat harga Black Scholes dengan parts 101. Kekonvergenan n lebh cepat dbandngkan dengan kekonvergenan menggunakan metode Bnomal CRR d mana harga ops Eropa yang ddapat dar metode Bnomal Dpercepat pada parts waktu 101 baru dapat ddapat oleh metode Bnomal CRR pada parts waktu 146. Untuk grafk put ops = 50, K = 57, r = 0.15, = 0.24, = 146 Pergerakan Put Eropa bentuk CRR 3.4 Gambar 13. Grafk hasl Smulas Put dengan pemsahan parts waktu Dar pemsahan parts n ddapatkan hasl yang yang sama dengan hasl sebelumnya hanya dbedakan parts ganjl dan genap. Dar hasl smulas ops put menggunakan metode Bnomal CRR ddapatkan bahwa holder (pemegang ops) harus membayar sebesar kepada wrter (penuls ops) dengan acuan perhtungan menggunakan Black Scholes. Untuk hasl dar O adalah sebaga berkut: 114 Volume 3 No.2 e 2014

8 Analss etode Bnomal Dpercepat pada Perhtungan Eropa Pergerakan Put Eropa dengan ddle of ree O genap O ganjl BIBLIOGRAPHY [1] S.. Ross, An ntroducton to mathematcal fnance: optons and other topcs, vol. 36. Cambrdge unversty press Cambrdge, Gambar 14. Grafk hasl Smulas Put dengan O Dar grafk hasl pemulusan dapat dlhat bahwa harga ops Eropa menggunakan Bnomal Dpercepat sudah dapat mendekat harga Black Scholes dengan parts 101. Kekonvergenan n lebh cepat dbandngkan dengan kekonvergenan menggunakan metode Bnomal CRR d mana harga ops Eropa yang ddapat dar metode Bnomal Dpercepat pada parts waktu 101 baru dapat ddapat oleh metode Bnomal CRR pada parts waktu 146. PENUUP Semakn banyak parts waktu yang dgunakan maka aproksmas harga ops akan semakn lambat untuk menuju kekonvergenan terhadap Black Scholes. Untuk mempercepat kekonvergenan aproksmas harga ops Eropa maka dgunakan pengembangan dar model Bnomal yatu Bnomal Dpercepat. Langkah yang dlakukan dalam metode Bnomal Dpercepat adalah melakukan pemulusan kurva harga ops yang dsebut dengan ddle of ree (O). Akan tetap, sebelum melakukan pemulusan kurva tersebut yang dlakukan terlebh dahulu adalah memsahkan parts waktu yang dgunakan yatu parts waktu ganjl dan genap. Dengan menggunakan parameter O tersebut dperoleh hasl dar harga ops Eropa yang bsa mendekat harga kekonvergenan Black Scholes dengan parts yang lebh sedkt dbandngkan dengan menggunakan metode Bnomal. [2] R. J. Rendleman and B. J. Bartter, wo State Opton Prcng, J. Fnance, vol. 34, no. 5, pp , [3] R. Seydel and R. Seydel, ools for computatonal fnance, vol. 4. Sprnger, [4]. R. Klassen, Smple, fast, and flexble prcng of Asan optons, J. Comput. Fnanc., vol. 4, no. 3, pp , [5] Z. Bode, Essentals of nvestments.. [6] A. Azz, Empat Bentuk Nla Parameterparameter u, d, dan p dalam Bnomal Harga Saham, [Onlne]. Avalable: bdul-azz-empat-bentuk-solus-odel- Bnomal-fulltext_1.pdf. [Accessed: 06- Nov-2014]. Saran Bag peneltan selanjutnya, dsarankan untuk menggunakan metode Bnomal Dpercepat pada perhtungan harga ops Asa Eropa, ops Amerka ataupun ops Asa Amerka. Bsa juga dkembangkan metode lan untuk mempercepat perhtungan harga ops selan menggunakan pemulusan kurva O. CAUCHY ISSN: