APROKSIMASI NUMERIK BELAH DUA DAN NEWTON-RAPHSON PADA ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL

Transkripsi

1 APROKSIMASI NUMERIK BELAH DUA DAN NEWTON-RAPHSON PADA ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL Idira P. Kiasih Jurusa Pedidika Matematika IKIP Mataram idiraputeri@gmail.com ABSTRAK Distribusi masa aktif produk bergarasi, misalka kedaraa bermotor da mesi fotokopi merupaka hal yag mearik utuk dipelajari. Faktaya, distribusi kerusaka atau masa hidup produk bergarasi serigkali memiliki plot fugsi kepadata peluag yag codog ke kaa. Terkait hal ii, distribusi Weibull termasuk salah satu ragam distribusi o-egatif yag biasaya sesuai utuk memodelka distribusi data. Karea fugsi distribusi kerusaka merupaka fugsi dari parameter, maka estimasi parameter selalu mejadi kebutuha utama pada masalah pemodela distribusi kerusaka. Ketiadaa solusi aalitis pada maksimasi fugsi persekitara distribusi Weibull megakibatka pedekata umerik mejadi solusi piliha. Dua macam metode umerik, yaitu Newto-Raphso da belah dua disajika pada makalah ii utuk diamati perbadiga kecepata da keakurata keduaya dalam pecaria solusi. Data yag diguaka adalah data kerusaka mesi fotokopi berdasarka usia da bayak salia yag terekam pada saat kerusaka selama 4,5 tahu, bersumber dari peelitia Bulmer da Ecclesto [1]. Kata kuci : Distribusi Weibull, Newto-Raphso, belah dua, parameter, fugsi persekitara ABSTRACT Life time distributio of warrated product, for example like automobile ad photocopier is a iterestig studies. Based o the fact that mostly, life distributio of warrated product is somewhat skewed to the right, this suggests that usual failure distributio such as Weibull distributio may provide a reasoable fit to the data. Related to these studies, parameter estimatio is directly applicable sice life distributio fuctio is a fuctio of parameters. There are o closed solutio for Weibull likelihood fuctio maximatio. Therefore, umerical approximatio could be a alterative solutio. I this paper, Newto-Raphso ad bisectio method were employed to estimate the scale ad shape parameter of Weibull distributio for photocopier failure data for sice 4,5 years. Performace of those method were compared based o their approximatio result ad how fast they get ito the solutio. Data were take from Bulmer ad Ecclesto (2003) research about photocopier realibility model. Keywords : Weibull distributio, Newto-Raphso, Bisectio, parameter, likelihood fuctio PENDAHULUAN Berdasarka Ross (1976), distribusi Weibull merupaka distribusi yag bayak diguaka dalam praktek mekaika atau permesia. Hal ii disebabka kesesuaia sifatya terhadap berbagai permasalaha bidag tersebut (versatility). Secara khusus, distribusi Weibull terkait erat dega pemodela kekuata baha, waktu rusak kompoe, peralata, serta sistem elektroik da mekaik. Stoe da Heeswijk (1977) memodelka distribusi kerusaka kompoe elektroika berdasarka distribusi Weibull. Bulmer da Ecclesto [1] juga telah memodelka keadala mesi fotokopi megguaka beragam model distribusi Weibull. Pemodela distribusi masa hidup tetu melibatka fugsi padat peluag, fugsi distribusi, fugsi ketahaa, fugsi laju kerusaka da fugsi karakteristik laiya. Fugsi-fugsi tersebut tak lai merupaka fugsi parameter. Oleh karea itu, pegetahua megeai estimasi parameter distribusi selalu mejadi bagia petig pada permasalaha pemodela distribusi masa hidup suatu objek. Adapu Metode estimasi yag serig diguaka atara lai adalah estimasi persekitara maksimum (MLE), metode estimasi kuadrat terkecil (least square), da metode estimasi Bayesia. Pada kasus distribusi Weibull uivariat, Stoe da Heeswijk (1977) meguraika estimasi parameter Weibull 3 parameter dega megguaka metode grafik da MLE utuk data tersesor. Estimasi ii diguaka utuk model distribusi kerusaka alat-alat elektroik. Sedagka Bhattacharya da Bhattacharjee [2],

2 Idira P. Kiasih telah mempelajari estimasi parameter Weibull 2 parameter pada model kecepata agi yag diguaka utuk teaga pembagkit listrik. Metode yag diguaka adalah MLE da Least square. Pada bayak pembahasa megeai estimasi parameter distribusi Weibull dega metode persekitara maksimum, aproksimasi umerik Newto-Raphso serigkali diguaka utuk medapatka solusi dari fugsi persekitara. Hal ii wajar, dikareaka oleh ketiadaa solusi aalitis atau tertutup dari fugsi persekitara distribusi Weibull. atar kerusaka suatu objek, fugsi padat peluag dapat diartika sebagai peluag objek tersebut bertaha selama x. Artiya, jika dituliska f(25), fugsi ii meujuka ilai peluag suatu objek dapat hidup selama 25 satua waktu (detik, meit, jam, hari, bula, tahu, dst). Dalam hal ii, ilai α meujukka bahwa 63,212% masa hidup objek berada pada ilai x = a. Makalah ii meijau kembali permasalaha estimasi persekitara maksimum utuk parameter Weibull dua parameter dega megujicobaka metode aproksimasi umerik laiya, yaitu belah dua (biseksi). Selai itu, metode Newto-Raphso tetap disajika utuk kemudia dibadigka akurasi da kecepataya dalam meemuka solusi. DISTRIBUSI WEIBULL DUA PARAMETER DAN ESTIMASI PERSEKITARAN MAKSIMUMNYA Suatu variabel acak kotiu o-egatif X, dikataka memiliki distribusi Weibull dua parameter ditulis sebagai X Weibull(α, ) dega α > 0 da > 0, apabila memiliki fugsi padat peluag yag memeuhi persamaa berikut f(x; α, ) = α x 1 e 1 α x (1) α merupaka parameter skala yag meujukka karakteristik hidup distribusi Weibull. Sedagka merupaka parameter betuk yag meujukka ukura peyebara data waktu hidup. Semaki besar ilai, grafik fugsi padat peluag aka meladai, demikia pula sebalikya. Gambar 1. Plot Fugsi Distribusi Kumulatif Weibull Dua Parameter Misalka X dipadag sebagai peubah acak yag merepresetasika masa hidup atau waktu Gambar 2. Plot Fugsi Padat Peluag Distribusi Weibull Dua Parameter. Kesimpula ii dapat diperoleh apabila dilakuka pegamata terhadap fugsi distribusi kumulatif Weibull, yag tak lai merupaka itegrasi persamaa (1), yaitu F(x) = 1 e 1 α x (2) Pada ilai x = α = 1, F(α) aka selalu mecapai ilai 1 e 1 = Visualisasi peraa parameter α da dapat diamati masigmasig pada plot fugsi distribusi kumulatif da fugsi padat peluag di gambar 1 da gambar 2. Estimasi persekitara maksimum diawali dega megkostruksi fugsi persekitara Weibull. Fugsi iilah yag atiya aka dimaksimasi, dega mecari ilai maksimum dari α da. Kostruksi fugsi persekitara didasarka pada fugsi padat peluag di persamaa 1. Misalka X 1,, X merupaka peubah acak yag berdistribusi idetik da idepede dega fugsi kepadata peluag f(x; α, ). Fugsi persekitara Weibull diberika oleh L(α, ; x i ) = f(α, ; x i ) = α (x i α ) 1 e ( x i α ) (3) Persamaa 3 perlu ditrasformasi supaya dapat lebih represetatif utuk proses selajutya. Perhatika bahwa terdapat kompoe ekspoesial pada persamaa Volume 2 No. 4 Mei 2013

3 Aproksimasi Numerik Belah Dua da Newto-Raphso pada Estimasi Parameter Distribusi Weibull Dega demikia, trasformasi yag tepat adalah trasformasi logaritma, sehigga diperoleh fugsi logaritma persekitara berikut : l(α, ) = l L(α, ; x i ) = l l α + ( 1) l(x i ) 1 α (x i) (4) Nilai maksimum dari ˆ da ˆ diperoleh dari turua pertama fugsi logaritma persekitara, masig-masig terhadap da. Tetuya, sebelumya telah dijami eksistesi da ketuggala solusi dari persamaa 4 sebagaimaa pada Kiasih [3]. Berikut merupaka turua pertama fugsi logaritma persekitara Weibull terhadap masig-masig parameterya : l(α, ) α l(α, ) α = (α +1 ) + α x i = l α + x i + l α x i x i l x i α (5a) (5b) Perhatika, ilai kritis utuk persamaa 5a da 5b tidak dapat diperoleh secara eksplisit. Fakta iilah yag megakibatka diguakaya aproksimasi umerik utuk medapatka solusi yag diigika. f() = 1 + l x i METODE BELAH DUA (BISEKSI) x i l x i x i (7) Metode umerik biseksi dapat diguaka utuk medapatka akar persamaa 7, dimaa R. f adalah fugsi kotiu yag terdefiisi di selag [ 1, 2 ] dega f( 1 ) > 0 da f( 2 ) < 0, atau sebalikya. Ide metode biseksi adalah megguaka iterval [ 1, 2 ] utuk megurug akar f(). Sesuai dega teorema ilai tegah, f pasti memiliki palig tidak satu ilai akar pada iterval [ 1, 2 ]. Prisip kerja metode biseksi adalah sebagai berikut : 1. Medapatka titik tegah iterval [ 1, 2 ], yaitu 3 = ( 1+ 2 ) ; 2 2. Jika f( 3 ) > 0 maka gatika 1 dega 3 sehigga iterval mejadi [ 3, 2 ], lakuka biseksi selajutya; 3. Jika f( 3 ) < 0 maka gatika 2 dega 3 sehigga iterval mejadi [ 1, 3 ], lakuka biseksi selajutya; METODE NUMERIK BELAH DUA (BISEKSI) DAN NEWTON-RAPHSON (N-R) Pada estimasi parameter distribusi Weibull, aproksimasi umerik sebearya diguaka haya utuk medapatka akar atau ilai kritis persamaa 5b. Persamaa 5a dapat diyataka sebagai fugsi dari parameter beta, seperti pada persamaa 6. Sehigga ketika telah diperoleh ilai ˆ, maka ilai ˆ dapat diperoleh dega mudah melalui substitusi. α = ( 1 x i ) 1 (6) Sebelum meerapka metode aproksimasi umerik belah dua ataupu Newto-Raphso, persamaa 6 terlebih dahulu disubstitusika pada Persamaa 5b, sehigga didapat fugsi beta seperti pada persamaa Jika f( 3 ) = 0, Iterasi dihetika. Artiya 3 adalah solusi dari persamaa f() = 0 Gambar 3. Ilustrasi Aproksimasi Numerik Belah Dua (Biseksi) METODE NEWTON-RAPHSON Berbeda dega metode belah dua, Newto-Raphso megguaka kosep garis siggug fugsi utuk medapatka akar suatu persamaa. Ideya adalah memilih satu titik awal utuk dicari ilai fugsiya, kemudia pada ilai fugsi titik awal tersebut dibuatka suatu garis siggug yag juga memotog sumbu horisotal. Titik potog itulah yag mejadi titik baru, dugaa ilai akar fugsi tersebut. Demikia seterusya higga tercapai ilai mutlak selisih Jural CAUCHY ISSN:

4 Idira P. Kiasih atar titik yag kurag dari suatu ilai galat yag ditetuka di awal. diestimasi megguaka dua macam aproksimasi umerik ii. Hasilya dapat dilihat pada tabel 2. Tabel 1. Hasil Simulasi Aproksimasi Numerik Belah Dua da Newto-Raphso Gambar 4. Ilustrasi Aproksimasi Numerik Newto-Raphso Karea itu, diperluka turua pertama dari persamaa 7 yaitu : Tabel 2. Hasil Estimasi Parameter Data Waktu da Bayak Salia Atar Kerusaka Mesi Fotokopi [1] f () = 1 2 x i (l x i ) 2 x i (l x i )] 2 (8) + [ x i [ x i ] utuk dapat mejalaka rumus iteratif Newto-Raphso berikut : +1 = f( ) (9) f ( ) Adapu tahapa metode Newto-Raphso dapat disajika sebagai berikut : 1. Tetuka ilai awal. Nilai ii dapat berupa sebarag ilai tebaka, misalka simpaga baku data; 2. Jalaka iterasi sesuai persamaa 9; 3. Periksa ilai galat yaitu ilai mutlak dari selisih +1 da utuk dibadigka dega tolerasi galat yag ditetuka, misalka e = Iterasi dihetika jika ilai galat telah kurag dari e. Artiya, ilai +1 itulah yag dijadika ilai aproksimasi utuk. HASIL DAN PEMBAHASAN Selai diujicobaka terhadap data kerusaka mesi fotokopi, metode belah dua da Newto-Raphso terlebih dahulu disimulasika pada data acak hasil bagkita beragam ukura. Hasil simulasi dapat dilihat pada tabel 1. Selajutya, data kerusaka mesi fotokopi berdasarka waktu kerusaka da bayak salia saat kerusaka yag terdistribusi Weibull [1] juga PENUTUP Ketiadaa solusi aalitis bagi metode estimasi persekitara distribusi Weibull berakibat pada pegguaa aproksimasi umerik. Makalah ii megguaka metode umerik belah dua da Newto-Raphso utuk meemuka estimator parameter betuk, utuk selajutya medapatka estimator parameter skala α melalui substitusi. Dapat diperhatika bahwa metode belah dua relatif lebih praktis karea algoritma metode ii haya membutuhka turua pertama fugsi persekitara terhadap beta seperti pada persamaa 7. Sedagka metode Newto- Raphso masih memerluka turua pertama dari persamaa 7 utuk dapat mejalaka algoritmaya. Hasil simulasi meujukka bahwa metode belah dua juga terpatau memiliki waktu eksekusi lebih sigkat da hasil aproksimasi yag relatif lebih medekati ilai parameter sesugguhya. Sedagka, hasil uji coba terhadap data kerusaka fotokopi baik berdasarka waktu kerusaka da bayak salia saat kerusaka meujukka hasil aproksimasi umerik kedua metode medekati 196 Volume 2 No. 4 Mei 2013

5 Aproksimasi Numerik Belah Dua da Newto-Raphso pada Estimasi Parameter Distribusi Weibull hasil estimasi Bulmer da Ecclesto [1]. Namu kali ii, metode umerik Newto-Raphso cederug memiliki hasil yag palig medekati estimator di peelitia mereka. REFERENSI [1] M. Bulmer ad J. Ecclesto, Photocopier Reliability Modelig Usig Evolutiaary Algorithm., Joh Wiley & Sos, [2] P. Bhattacharya ad R. Bhattacharjee, "A Study o Weibull Distributio for Estimatig the Parameters," Joural of Applied Quatitative Methods, vol. 2, p. 5, [3] I. P. Kiasih, "Peaksira Parameter Distribusi Weibull Bivariat Megguaka Algoritma Geetika," Tesis, Jural CAUCHY ISSN: