Estimasi Parameter Distribusi Eksponensial yang Dipangkatkan dan Distribusi Campuran Eksponensial untuk Data Masa Hidup

Transkripsi

1 Estimasi Parameter Distribusi Ekspoesial yag Dipagkatka da Distribusi Campura Ekspoesial utuk Data Masa Hidup Imas Sukarsih 1, a), Asep Solih Awalluddi 2, b) 3, c), da Elis Rata Wula 1, 2, 3 Jurusa Matematika, Fakultas Sais da Tekologi, UIN Sua Guug Djati Jl. A. H Nasutio No. 105 Badug a) imas.sukarsihmath@gmail.com b) aasolih@gmail.com c) elisrwula@yahoo.com Abstrak Tulisa ii membahas tetag estimasi parameter distribusi ekspoesial yag dipagkatka da distribusi campura ekspoesial. Distribusi ekspoesial yag dipagkatka merupaka perluasa dari distribusi ekspoesial stadar yag fugsiya diambil dari fugsi distribusi kumulatif yag kemudia dipagkatka. Distribusi laiya adalah distribusi campura ekspoesial, distribusi campura ekspoesial merupaka kombiasi liier dari dua atau lebih distribusi ekspoesial stadar yag bobot da parameterya berbeda. Estimasi parameter dari distribusi ekspoesial yag dipagkatka da distribusi campura ekspoesial secara aalitis dituruka melalui metode maksimum likelihood, sehigga diperoleh hasil estimasi utuk masig-masig parameter kedua distribusi tersebut. Estimasi distribusi ekspoesial yag dipagkatka pada data masa hidup pedigi pesawat dilakuka dega megguaka metode Newto Raphso. Dari hasil estimasi tersebut selajutya dilakuka aalisis keadala utuk data masa hidup. Kata kuci: Distribusi Ekspoesial yag Dipagkatka, Distribusi Campura Ekspoesial, Estimasi Maksimum Likelihood, Reliabilitas, Metode Newto raphso Pedahulua Perkembaga ilmu pegetahua da tekologi saat ii berlagsug sagat pesat, hal ii medorog mausia utuk terus berupaya memafaatka kemajua tekologi tersebut yag diataraya diwujudka melalui peelitia-peelitia. Peelitia yag dilakuka dapat berupa peelitia yag bertujua utuk meemuka da meyelesaika masalah-masalah baru, megembagka pegetahua yag sudah ada maupu peelitia dalam meguji kebeara suatu pegetahua. Dalam bidag matematika, statistika yag sudah berkembag begitu jauh dega adaya peemua berbagai alat aalisis utuk berbagai keperlua estimasi, pegujia da metode peramala. Selai itu, statistica juga berpera aktif utuk meagai masalah keadala terhadap suatu idividu atau kompoe[5]. Reliabilitas atau keadala merupaka aalisis statistik yag membahas tetag daya taha hidup suatu beda atau idividu dalam keadaa operasioal tertetu. Peerapa dari aalisis ii bayak dilakuka dibidag kedoktera berkaita dega pemodela ketahaa hidup pederita peyakit tertetu da dibidag produksi yag berkaita dega pemodela tetag ketahaa hidup beda-beda produksi.[6] Distribusi yag diguaka dalam tulisa ii adalah distribusi ekspoesial. Namu, dega berjalaya waktu bayak masalah yag tidak bisa diselesaika dega distribusi yag sudah ada, sehigga perluasa dari berbagai distribusi telah bayak dikaji oleh para ahli. Perluasa dari berbagai distribusi tersebut merupaka alterative lai dalam peyelesaia masalah pada aalisis data masa hidup. Salah satu perluasa dari distribusi tersebut adalah distribusi ekspoesial yag disebut dega 1

2 distribusi ekspoesial yag dipagkatka.[3] Alteratif betuk distribusi laiya adalah distribusi campura ekspoesial. Distribusi campura ekspoesial merupaka kombiasi liear dari dua atau lebih distribusi ekspoesial dega bobot da parameter yag berbeda. Distribusi ekspoesial yag dipagkatka da distribusi campura ekspoesial dapat diguaka utuk megaalisis keadala atau reliabilitas dari data masa hidup suatu beda atau idividu yag peaksir parameterya ditetuka dega megguaka metode maksimum likelihood. Selai itu, dilakuka juga pecaria ilai parameter dari distribusi ekspoesial yag dipagkatka dega megguaka metode Newto Raphso yag kemudia dilakuka aalisis keadala utuk data masa hidup pedigi pesawat. Bagia pertama dalam tulisa ii membahas megeai motivasi dari pembahasa yag aka dilakuka, selajutya teori dasar, hasil da pembahasa, perhituga umerik sebagai cotoh perhituga estimasi. Kosep Dasar Peluag 1. Fugsi Distribusi Kumulatif Fugsi distribusi kumulatif atau Cumulative Distributio Fuctio (CDF) adalah fugsi yag mejumlahka ilai kemugkia sampai suatu kejadia tertetu. Atau dituliska dega P(X x i ).[5] Fugsi distribusi kumulatif F(x)dari suatu peubah acak kotiu X dega fugsi padat peluag f(x)adalah: [10] x F(x) = P(X x) = f(x) dxutuk < x < 2. Reliabilitas (Keadala) Aalisis data uji hidup atau reliabilitas (keadala) merupakaa alisis statistik yag membahas tetag daya taha hidup suatu beda atau idividu dalam keadaa operasioal tertetu. Peerapa aalisis ii biasaya bayak dilakuka dibidag kedoktera berkaita dega pemodela ketahaa hidup pederita peyakit tertetu da dibidag produksi berkaita dega pemodela tetag ketahaa hidup beda-beda produksi.[7] Reliabilitas dari sebuah sistem dapat diperoleh dega megguaka persamaa berikut: [3] t 0 R(t) = 1 F(t) = 1 f(t)dt, (2.1) Aalisis uji reliabilitas dapat dilakuaka dega meetuka tigkat kegagala yag disebut dega hazard rate yag merupaka ukura laju kegagala pada waktu tertetu. Hazard rate merupaka probabilitas bersyarat suatu kompoe gagal dalam waktu iterval terkecil yag didefiisika dega: h(t) = f(t) = 1 dr(t), R(t) R(t) dt (2.2) Kumulatif hazard rate diotasika dega H(t). Fugsi ii secara umum diguaka utuk meghitug rata-rata tigkat kegagala. Formulasi utuk mecari rata-rata kumulatif hazard rate diyataka dega: [3] t H(t) = f(u)du = Ι R(t), (2.3) 3. Estimasi Maksimum Likelihood Estimasi maksimum likelihood atau Maximum Likelihood Estimatio(MLE) merupaka salah satu pedekata yag petig dalam sebuah statistika iferesi. Metode terbaik yag dapat diguaka dalam meetuka peaksir titik sebuah parameter. Misalka x 1, x 2,, x merupaka sebuah sampel acak berukura, fugsi likelihood dari sampel acak itu adalah : L(θ) = f(x 1, θ) f(x 2, θ)f(x 3, θ) f(x, θ), (2.4) 2

3 Fugsi desitas bersama f(x 1, x 2,, x ; θ) dari variabel-variabel acak X 1, X 2,, X adalah distribusi gabuga dari peubah acak. Ii serig disebut sebagai fugsi likelihood. Utuk x 1, x 2,, x, fugsi likelihood merupaka fugsi dari θ da aka diotasika dega L(θ), yaki L(θ) = f(x1,, x; θ). Jika X 1, X 2,, X adalah sampel acak dari f(x, θ) maka: [10] L(θ) = t=1 f(x i, θ), (2.5) 4. Distribusi Campura Distribusicampura(mixture distributio)pertama kali dikealkaoleh Karl Pearso padaawaltahu 1890-a. Distribusi campura merupaka kombiasi liier dari dua atau lebih fugsi desitas peluag. Fugsi desitas campura berhigga dapat ditulis:[8] k f(x, θ) = i=1 p i f i (x, θ i ) ; (x S), (2.6) 5. Metode Newto Raphso Metode Newto Raphso atau metode Newto adalah salah satu metode pedekata yag megguaka satu titik awal da medekatiya dega memperhatika slope atau gradie pada titik tersebut. Berikut persamaa yag diguaka utuk mecari titik pedekata ke i + 1yag dituliska dega: x i+1 = x i + f(x i) dega f (x f (x i ) i ) 0, (2.7) Metode Newto Raphso ii tidak dapat diguaka ketika titik pedekataya berada pada titik ekstrim atau titik pucak, karea pada titik ii ilai f (x i ) = 0 sehigga ilai peyebut dari f(x i ) sama f (x i ) dega ol. [7] Hasil da Diskusi 1. Estimasi Parameter Distribusi Ekspoesial yag Dipagkatka Distribusi ekspoesial yag dipagkatka merupaka perluasa dari distribusi ekspoesial dega fugsi distribusi F(x) = 1 e βx, dega parameter β > 0. Distribusi ekspoesial yag dipagkatka pertama kali diperkealka oleh Guptu da Kudu [2]. Distribusi ekspoesial yag dipagkatka ii diambil dari salah satu fugsi kumulatif yag diguaka pada pertegaha abad 19 oleh Gomvertz da Verhulst utuk membadigka tabel kematia da meghasilka laju pertumbuha peduduk. Betuk distribusi ekspoesial yag dipagkatka adalah sebagai berikut : G(x) = (1 e βx ) α, (3.1) dimaa x > 0,β > 0, da α> 0, dega fugsi padat peluagya adalah:[4] g(x) = αβe βx (1 e βx ) α 1, (3.2) Fugsi Reliabilitas dari distribusi ekspoesial yag dipagkatka diperoleh berdasarka pada persamaa (2.1), yaitu: R(x) = 1 [(1 e βx ) α ], (3.3) Hazard rate atau tigkat kegagala diperoleh berdasarka persamaa(2.2), yaitu: h(x) = αβe βx (1 e βx ) α 1 1 [(1 e βx ) α, (3.4) ] utuk meghitug rata-rata tigkat kegagala atau kumulatif hazard rate berdasarka persamaa (2.3), yaitu: H(x) = I[1 (1 e βx ) α ], (3.5) Berdasarka pada persamaa (2.5) diperoleh persamaa likelihood sebagai berikut: L(α, β) = α β e β i=1 x i t=1 (1 e βx i) α 1, (3.6) 3

4 Log-likelihoodya adalah: l(α, β) = Iα + Iβ β i=1 x i + [(α 1) i=1 I(1 e βx i) ], (3.7) diperoleh α da β sebagai berikut : α =, i=1 I[1 e i] (3.8) β = 1, i=1 x i (α 1) i=1 1 e β x (x i e β x i) i (3.9) 2. Estimasi Parameter Distribusi Campura Ekspoesial Distribusi campura ekspoesial merupaka kombiasi liier dari dua atau lebih distribusi ekspoesial dega bobot da parameter yag berbeda. Distribusi campura ekspoesial terdiri dari jumlah kompoe terbatas da tidak terbatas. Dalam kajia ii, haya aka membahas tetag distribusi campura ekspoesial dega jumlah kompoe terbatas, dimaa distribusi campura ekspoesialya terbatas pada dua kompoe (k = 2), yaitu i = 1,2. Oleh karea itu, terdapat dua proporsi campura p 1 da p 2, serta dua parameter skala β 1 da β 2. Fugsi padat peluag distribusi campura ekspoesial sebayak k kompoe adalah: k f(x, θ) = p i β i e β ix i=1, (3.10) Fugsi padat peluag utuk distribusi campura ekspoesial dega dua kompoediperolehdaripersamaa (3.10) sebagai berikut: f(x, θ) = p 1 [β 1 e β 1x ] + p 2 [β 2 e β 2x ], (3.11) Fugsi distribusi kumulatif atau Cumulative Distributio Fuctio (CDF) distribusi campura ekspoesial sebayak dua kompoe kompoe adalah: F(x, θ) = p 1 (1 e β 1x ) + p 2 (1 e β 2x ), (3.12) Fugsi reliabilitas dari distribusi campura ekspoesial dega dua kompoe utuk megaalisis reliabilitas atau keadala sampai terjadiya suatu kegagala adalah: R(x, θ) = 1 [p 1 (1 e β 1x ) + p 2 (1 e β 2x )] (3.13) Hazard rate atau tigkat kegagala da kumulatif hazard rateya sebagai berikut: h(x, θ) = p 1[β 1 e β 1x ]+p 2 [β 2 e β 2x ] 1 [p 1 (1 e β 1x )+p 2 (1 e β 2x )], (3.14) H(x, θ) = I [1 [p 1 (1 e β 1x ) + p 2 (1 e β 2x )]] (3.15) Estimasi parameter dari distribusi campura ekspoesialdegak kompoe, dimaa r adalah satua yag gagal selama (0, x r ), r 1 satua pertama dari sub-populasi da r 2 satua kedua dimaa r = r 1 + r 2. r adalah satua yag tidak dapat diidetifikasi sebagai sub-populasi. Sedagka utuk i = 1,2; j = 1,, r i da x ij meujukka waktu kegagala dari satua yag termasuk dalam sub-populasi sepajag i da x ij x 0. Maka dega megguaka metode maksimum Likelihood diperoleh:[1] r i 2 (θ, x) = p i β i e β ix ij [R(x r, θ)] r i=1 = p 1 r 1 β 1 r 1 p 2 r 2 β 2 r 2 (e β 1x 1j r1 r2 β 2 x 2j ) [R(x r, θ)] r (3.16) Log-likelihood distribusi campura ekspoesial dega dua kompoediperolehdaripersamaa (3.16), yaitu: 4

5 (θ, x) = IL(θ, x) = r 1 Ip 1 + r 1 Iβ 1 + r 2 Ip 2 + r 2 Iβ 2 β 1 x 1j β 2 x 2j + r 1 r 2 ( r)i[r(x r, θ)] r, (3.17) Utuk memperoleh p 1, p 2, β 1 da β 2 dilakuka peurua terhadap masig-masig parameter dega meuruka persamaa (3.17) terhadap masig-masig parameter sama dega ol, dega R(x r, θ) = 1 [p 1 (1 e β 1x r ) + p 2 (1 e β 2x r )]da= r, diperoleh : p 1 = r 1, (3.18) p 2 = 1 r 1 β 1 = r 1 r1 x 1j β 2 = r 2 r2 x 2j (3.19) (3.20) (3.21) 3. Perhituga Numerik a. Data Masa Hidup Data yag diguakapadadistribusi ekspoesial yag berupa data sekuder, dimaadatayaberupadata masa hidup pedigi pesawat.[2] Metode umerik diguaka utuk meyelesaika suatu persoala dimaa perhituga secara aalitis tidak dapat diguaka. Metode umerik disajika dalam betuk algoritma yag dapat dihitug secara mudah da cepat. Megigat bahwa algoritma yag dikembagka dalam metode umerik adalah algoritma pedekata, maka dalam algoritma tersebut aka mucul istilah iterasi yaitu pegulaga proses perhituga. Dega kata lai perhituga dalam metode umerik adalah perhituga yag dilakuka secara berulag-ulag utuk terus meerus diperoleh hasil yag semaki medekati ilai eksak. [7] Peaksira parameter distribusi dari fugsi likelihood distribusi ekspoesial yag dipagkatkapada data masa hidup pedigi pesawat dega megguaka algoritma Newto Raphso, diperoleh hasil β = da α = b. Aalisis Reliabilitas Distribusi Ekspoesial yag Dipagakatka utuk Data Masa Hidup Reliabilitas secara umum berkaita dega ketahaa produk, yag berartibahwa peluag suatu pedigi pesawat aka melaksaaka fugsiya dalam periode waktu tertetu di bawah kodisi yag diberika. Oleh karea itu, pedigi pesawat dikataka megalami kegagala jika pedigi pesawat tersebut berheti melakuka fugsiya atau tidak bisa diguaka lagi dalam. Utuk megetahui reliabilitas atau keadala dari pedigi pesawat tersebut, dilakuka dega mesubstitusika ilai parameter yag telah diperoleh pada tahap estimasi, yaitu β = da α = pada persamaa (3.9), maka diperoleh fugsi reliabilitas distribusi sebagai berikut: R(x) = 1 [(1 e x ) ], (3.22) Berdasarka persamaa (3.22) di atas, diperoleh betuk grafik fugsi reliabilitas sebagai berikut: 5

6 R(x) x Gambar 3.1 Grafik fugsi reliabilitas distribusi ekspoesial yag dipagatka utuk data masa hidup pedigi pesawat Gambar 3.1 meujukka bahwa reliabilitas atau keadala dari pedigi pesawat aka melaksaaka fugsi yag diharapka utuk periode waktu yag lama dega ilai taha hidup yag semaki kecil.hazard rate atau tigkat kegagala diperoleh dega mesubstitusika ilai parameter β = da α = pada persamaa (3.4), sehigga: h(x) = ( )( )e x (1 e x ) [(1 e x ) , (3.23) ] Berdasarka persamaa (3.23) di atas dapat diketahui grafik hazard rate seperti berikut: h(x) x Gambar 3.2 Grafik hazard rate atau tigkat kegagala distribusi ekspoesial yag dipagkatka utuk data masa hidup pedigi pesawat. Berdasarka Gambar 3.2, terlihat bahwa hazard rate atau tigkat kegagala merupaka fugsi yag semaki meigkat utuk waktu yag semaki lama da pada saat-saat tertetu megalami kekostaa yag kemudia semaki meigkat. Tigkat kegagala utuk pedigi pesawat semaki meigkat sampai pedigi pesawat tidak dapat berfugsi lagi. Kumulatif tigkat kegagala (hazard rate cumulative) diperoleh dega mesubstitusika ilai parameter β = da α = pada persamaa (3.5), sehigga: H(x) = I[1 (1 e x ) ] (3.24) Grafik kumulatif tigkat kegagala dari persamaa (3.24) seperti berikut : 6

7 H(x) Gambar 3.3 Grafik kumulatif tigkat kegagala distribusi ekspoesial yag dipagkatka utuk data masa hidup pedigi pesawat. Gambar 4.3 meujukka bahwa kumulatif tigkat kegagala distribusi ekspoesial yag dipagkatka utuk data masa hidup pedigi pesawat merupaka fugsi yag semaki meigkat utuk waktu yag semaki lama. Kesimpula Berdasarka pembahasa di atas, diperole kesimpula sebagai berikut: 1. Estimasi parameter dari distribusi ekspoesial yag dipagkatka da distribusi campura ekspoesial dega megguaka estimasi maksimum Likelihood. a. Distribusi ekspoesial yag dipagkatka secara aalisis adalah: da α = i=1 I [1 e β x i] β = 1 i=1 x i (α 1) i=1 (x 1 e β x i e β x i) i Estimasi parameter distribusi ekspoesial yag dipagkatka secara umerik telah diperoleh dega megguaka metode Newto Raphso pada Matlab R2010a utuk kasus data masa hidup pedigi pesawat, yaitu β = da α = a) Distribusi ekspoesial campura haya secara aalisis, yaitu: Dua proporsi da Dua parameter skala da x p 1 = r 1 p 2 = 1 r 1 β 1 = β 2 = r 1 r 1 x 1j r 2 r 2 x 2j 2. Cotoh perhituga umerik estimasi parameter distribusi ekspoesial yag dipegkatka diperoleh ilai estimasiβ = daα = , artiya bahwa reliabilitas atau keadala dari pedigi pesawat aka melaksaaka fugsi yag diharapka utuk periode waktu yag lama 7

8 dega ilai taha hidup yag semaki kecil. Hazard rate atau tigkat kegagala merupaka fugsi yag semaki meigkat utuk waktu yag lama da pada saat-saat tertetucederugkostayag kemudia semaki meigkat. Da kumulatif tigkat kegagala distribusi ekspoesial yag dipagkatka utuk data masa hidup pedigi pesawat merupaka fugsi yag semaki meigkat utuk waktu yag semaki lama. Referesi [1] Al-Husaii, Assam K., da Mohamed Hussei, Estimatio uder a fiite mixture of expoetiated expoetial compoets model ad balaced square error loss, Joural of Statistics, 28-38, [2] Guptu, Rameshwar D., Kudu Debasis, Closeess of gamma ad geeralized expoetial distributio, Comm. Statist.- Theory Methods, , 1999 [3] Kecaa, Ami Garmi, Estimasi Parameter Distribusi Weibull yag Diperluas utuk Data Masa Hidup, Skripsi, Jurusa Matematika, Fakultas Sais da Tekologi, Uiversitas Islam Negeri Sua Guug Djati, Badug: [4] Kudu da Gupta, Expoetiated Expoetial Family : A Alterative To Gamma ad Weibull Distributio, Biometrical Joural, , 2001 [5] repositori.use.ad.id/bitstream/ /27694/4/chapter%20i (Diakses pada taggal 9 mei 2012, pukul 08:12) [6] Saifudi, Toha, Pedekata Terbaikdiataradistribusipareto, paretotergeeralisirdamixture paretodalampemodelareliabilitas,jural Ilmu Dasar, 7(2) : , [7] Satiyasa, I Waya, Algoritma Newto Raphso dega fugsi o liear, Program Studi Tekik Iformatika, Jurusa Ilmu Komputer, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Udayaa. [8] (Diakses pada taggal 10 November 2012, pukul 01:28) [9] Solih, A. Asep Estimasi Parameter Distribusi Campura Weibull Berhigga dega Algoritma EM, Tesis, Program Studi Matematika, ITB, Badug: [10] Walpole, Roald E. da Raymod H.Myers, Ilmu Peluag da Statistika utuk Isyiyur da Ilmuwaedisi 4, Terjemah, Peerbit ITB, Badug: