Konsep Teori Bahasa dan Otomata

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Konsep Teori Bahasa dan Otomata"

Transkripsi

1 Konsep Teori Bhs dn Otomt Teori hs dn otomt merupkn slh stu mt kulih yng wji di jurusnjurusn teknik informtik mupun ilmu komputer. Teori hs dn otomt merupkn mt kulih yng cenderung ersift teoritis tidk memut hl-hl yng prktis untuk diterpkn lngsung dlm prktik. Mnft lngsung dri mt kulih teori hs dn otomt kn kit dptkn ketik mempeljri mt kulih Teknik Kompilsi. Bhs di dlm kmus dlh sutu sistem yng meliputi pengekspresin ggsn, fkt, konsep, termsuk sekumpuln simol-simol dn turn untuk melkukn mnipulsiny. Bhs is jug diseut segi rngkin simol-simol yng mempunyi mkn. Otomt merupkn sutu sistem yng terdiri ts sejumlh erhingg stte, di mn stte menytkn informsi mengeni input. Otomt jug dinggp segi mesin otomtis (ukn mesin fisik yng merupkn sutu model mtemtik dri sutu sistem yng menerim input dn menghsilkn output, sert terdiri dri sejumlh erhingg stte. Huungn di ntr hs dn otomt dlh hs dijdikn segi input oleh sutu mesin otomt, selnjutny mesin otomt kn memut keputusn yng mengindiksikn pkh input itu diterim tu tidk. Mislny, kit memiliki seuh mesin sederhn yng menerim input kt dlm hs Indonesi, hl ini is diliht pd gmr erikut ini.

2 2 q q d q q 3 2 d u q 5 q 4 Pd gmr di ts, il mesin mendpt string input erikut.. d : diterim 2. du : diterim 3. dd : ditolk Seuh string input diterim il mencpi stte khir / finl stte yng disn digmrkn dengn lingkrn gnd. Mesin ini memiliki 6 stte, { q, q, q 2, q 3, q 4, }, yng mn dlh himpunn stte yng d pd mesin itu. Stte wl dri mesin dlh q. { q 3, }dlh himpunn stte khir / finl. Sedngkn himpunn simol input dlh {, d, u}. q 4 q 5 Hirrki Chomsky Tt hs (grmmr is didefinisikn secr forml segi kumpuln dri himpunn-himpunn vriel, simol-simol terminl, simol wl, yng ditsi oleh turn-turn produksi. Pd thun 959, seorng hli ernm Nom Chomsky melkukn penggolongn tingktn hs menjdi empt, yng diseut dengn hirrki Chomsky. Penggolongn terseut is diliht pd tel erikut.

3 3 Bhs Mesin Otomt Btsn Aturn Produksi Regulr Finite Stte Automt (FSA α dlh seuh simol meliputi Deterministic Finite vriel. Automt (DFA & Non β mksiml memiliki seuh Deterministic Finite Automt (NFA simol vriel yng il d terletk di posisi pling knn Bes Konteks / Context Free Push Down Automt (PDA α erup seuh simol vriel Context Sensitive Linier Bounded Automt α β Unrestricted / Phse Structure / Nturl Lnguge Mesin Turing Tidk d tsn Secr umum tt hs dirumuskn segi : α β, yng errti α menghsilkn β tu α menurunkn β. Di mn α menytkn simol-simol pd rus kiri turn produksi (seelh kiri tnd dn β menytkn simol-simol pd rus knn turn produksi (seelh knn tnd Simol vriel / non terminl dlh simol yng msih is diturunkn dn ditndi dengn huruf esr seperti A, B, C, dst. Simol terminl dlh simol yng sudh tidk is diturunkn dn ditndi dengn huruf kecil seperti,, c, dst.

4 4 Tt Bhs Regulr Aturn : - Simol pd Seelh kiri hrus erup seuh simol vriel - Simol pd seelh knn mksiml hny memiliki seuh simol vriel dn il d terletk di posisi pling knn. Contoh : A (Diterim B (Ditolk, kren simol pd seelh kiri hrus erup seuh simol vriel A B (Diterim A C (Diterim A Bc (Ditolk, kren simol vriel pd seelh knn hrus erd pd posisi pling knn A cd (Diterim A CD (Ditolk, kren simol pd seelh knn mksiml hny memiliki seuh simol vriel A c (Ditolk, kren simol pd seelh kiri hrus erup seuh simol vriel Tentukn pkh produksi-produksi erikut memenuhi turn tt hs Regulr. A 2. B db 3. B C 4. B C 5. B Ad 6. B cdef 7. B cdefg 8. A S 9. A SS. A є

5 5. Ad db Tt Bhs Bes Konteks Aturn : - Simol pd Seelh kiri hrus erup seuh simol vriel Contoh : A (Diterim A B (Diterim A C (Diterim A Bc (Diterim A BcD (Diterim A AAA (Diterim (Ditolk, kren simol pd seelh kiri hrus erup seuh simol vriel A c (Ditolk, kren simol pd seelh kiri hrus erup seuh simol vriel AB c (Ditolk, kren simol pd seelh kiri hrus erup seuh simol vriel Tentukn pkh turn produksi-produksi erikut memenuhi turn tt hs es konteks.. A S 2. A Ace 3. A 4. A є 5. B cdef 6. B cdefg 7. A S 8. A SS

6 6 9. A BCDEF. Ad db. A AAAAA 2. d A Tt Bhs Context Sensitive Aturn : - Simol pd Seelh kiri hrus miniml d seuh simol vriel - Jumlh simol pd rus seelh kiri hrus leih kecil tu sm dengn jumlh simol pd rus knn Contoh : A c (Diterim A cd (Diterim AB CD (Diterim ABC DE (Ditolk, kren jumlh simol pd rus seelh kiri leih yk dri jumlh simol pd rus knn A cde (Diterim A cd (Diterim (Ditolk, kren simol pd seelh kiri hrus miniml d seuh simol vriel Tentukn pkh produksi-produksi erikut memenuhi turn tt hs context sensitive.. B cdefg 2. A S 3. A SS 4. A BCDEF 5. Ad db 6. A є

7 7 7. AB є 8. d 9. d є. C DE. cdef ghijkl 2. AB cde 3. AAA BBB Tt Bhs Unrestricted Aturn : - Simol pd Seelh kiri hrus miniml d seuh simol vriel Contoh : Acdef g (Diterim BCdE GHIJKL (Diterim cdef GHIJKL (Ditolk, kren simol pd seelh kiri tidk d seuh simol vriel Tentukn pkh produksi-produksi erikut memenuhi turn tt hs unrestricted.. A є 2. AB є 3. d 4. d є 5. C DE 6. AB cde 7. e 8. ABCDEFG h 9. A CDEFGH

8 8 Finite Stte Automt Finite Stte Automt / Stte Otomt erhingg, selnjutny kit seut segi FSA, uknlh mesin fisik tetpi sutu model mtemtik dri sutu sistem yng menerim input dn output diskrit. Finite Stte Automt merupkn mesin otomt dri hs regulr. Sutu Finite Stte Automt memiliki stte yng nykny erhingg, dn dpt erpindh-pindh dri sutu stte ke stte lin. Secr forml finite stte utomt dinytkn oleh 5 tupel tu M=(Q, Σ, δ, S, F, di mn : Q = himpunn stte / kedudukn Σ = himpunn simol input / msukn / jd δ = fungsi trnsisi S = stte wl / kedudukn wl (initil stte F = himpunn stte khir Finite Stte Automt yng memiliki tept stu stte erikutny untuk setip simol msukn yng diterim diseut Deterministic Finite Automt. Segi contoh, kit memiliki seuh otomt seperti pd gmr di wh ini. q q q 2

9 9 Konfigursi Deterministic Finite Automt di ts secr forml dinytkn segi erikut. Q = { q, q, q 2 } Σ = {,} S = q F = { q 2 } Fungsi trnsisi yng d segi erikut. d(q, = q d(q, = q d(q, = q d(q, = q 2 d(q 2, = q d(q 2, = q 2 Bisny fungsi-fungsi trnsisi ini kit sjikn dlm seuh tel trnsisi. Tel trnsisi terseut menunjukkn stte-stte erikutny untuk kominsi stte-stte dn input. Tel trnsisi dri fungsi trnsisi di ts segi erikut. δ q q q q q q 2 q 2 q q 2 Contoh lin is diliht pd gmr di wh ini.,

10 Tel trnsisi dri gmr di ts dlh segi erikut δ q q q q q q Sol : Butlh tel trnsisi dri Deterministic Finite Automt erikut. q q q q 2 3 Konversi dri Tel Trnsisi ke Digrm Trnsisi Selikny, Kit jug dpt menggmr digrm trnsisi dri sutu tel trnsisi. δ q q q q q q Dengn S = q F = {q } Mk digrm trnsisiny dlh segi erikut.

11 , Contoh lin, terdpt tel trnsisi segi erikut. δ q q 2 q q q q q 2 q q Dengn S = q F = {q, q 2 } Digrm trnsisiny dpt kit liht pd gmr di wh ini. 2 Sol : Gmrkn digrm trnsisi dri Deterministic Finite Automt erikut. Q = {q, q, q 2 } Σ = {,} S = q F = {q } Tel trnsisi dri DFA terseut :

12 2 δ B q q q 2 q q 2 q q 2 q 2 q 2 Gmrkn digrm trnsisi dri Deterministic Finite Automt erikut. Q = {q, q, q 2, q 3 } Σ = {,} S = q F = {q, q, q 2 } Fungsi trnsisi dri DFA terseut : δ B q q q q q q 2 q 2 q q 3 q 3 q 3 q 2 Perhtikn pd contoh-contoh Deterministic Finite Automt pd contoh-contoh seelumny, terliht hw dri setip stte sellu tept d stu stte erikutny untuk setip simol input yng d. Bered hlny dengn Non Deterministic Finite Automt (NFA. Pd NFA, dri sutu input mungkin sj is dihsilkn leih dri stu stte erikutny.

13 3 Non Deterministic Finite Automt Non Deterministic Finite Automt didefinisikn pul dengn lim (5 tupel, sm seperti hlny pd Deterministic Finite Automt. Perhtikn contoh di wh ini.,, Perhtikn gmr di ts, il stte q mendpt input is erpindh ke stte q tu q, yng secr forml dinytkn : δ (q, = {q, q } Mk otomt ini diseut non-deterministik (tidk psti rhny. Bis kit liht tel trnsisiny seperti di wh ini. δ B q {q,q } {q } q {q } {q } Cttn : Perhtikn cr penulisn stte hsil trnsisi pd tel trnsisi untuk Non Deterministic Finite Automt digunkn kurung kurwl { dn } kren hsil trnsisiny merupkn sutu himpunn stte Contoh linny dpt ditunjukkn pd gmr di wh ini :

14 4 Kit is meliht tel trnsisiny di wh ini : δ B q {q } {q } q {q } Ø Seperti hlny pd Deterministic Finite Automt, pd Non Deterministic Finite Automt kit jug is memut digrm trnsisiny dri tel trnsisiny. Sol : Gmrlh digrm trnsisi untuk NFA erikut : Q = {q, q, q 2, q 3, q 4 } Σ = {,} S = q F = {q 2, q 4 } Fungsi trnsisi dri NFA terseut : δ q {q,q 3 } {q,q } q Ø {q 2 } q 2 {q 2 } {q 2 } q 3 {q 4 } Ø q 4 {q 4 } {q 4 } Gmrlh digrm trnsisi untuk NFA erikut : Q = {q, q } Σ = {,} S = q F = {q }

15 5 Fungsi trnsisi dri NFA terseut : δ q {q,q } {q } q Ø {q,q } Reduksi Jumlh Stte pd Finite Stte Automt Untuk sutu hs regulr, kemungkinn d sejumlh Deterministic Finite Automt yng dpt menerimny. Perednny hnylh jumlh stte yng dimiliki otomtotomt yng sling ekuivlen terseut. Tentu sj, dengn lsn keprktisn, kit memilih otomt dengn jumlh stte yng leih sedikit. Ssrn kit di sini dlh mengurngi jumlh stte dri sutu Finite Stte Automt, dengn tidk mengurngi kemmpunny semul untuk menerim sutu hs. Ad du uh istilh ru yng perlu kit kethui yitu :. Distinguishle yng errti dpt diedkn. 2. Indistinguishle yng errti tidk dpt diedkn.

16 6 Segi contoh kit ingin menyederhnkn DFA erikut. 2 4, 3 Lngkh-Lngkhny :. Identifiksilh setip kominsi stte yng mungkin : Kominsi stte yng mungkin dlh : (q, q (q, q 2 (q, q 3 (q, q 4 (q, q 2 (q, q 3 (q, q 4 (q 2, q 3 (q 2, q 4 (q 3, q 4 2. Stte yng erpsngn dengn stte khir (q 4 merupkn stte yng distinguishle

17 7 (q, q (q, q 2 (q, q 3 (q, q 4 : Distinguishle (q, q 2 (q, q 3 (q, q 4 : Distinguishle (q 2, q 3 (q 2, q 4 : Distinguishle (q 3, q 4 : Distinguishle 3. Untuk psngn stte yng lin jik msing-msing stte mendpt input yng sm, mk il stu stte mencpi stte khir dn yng lin tidk mencpi stte khir mk diktkn distinguishle. Untuk (q, q : δ (q, = q 3 δ (q, = q 4 δ (q, = q δ (q, = q 2 Mk (q, q : Distinguishle Untuk (q, q 2 : δ (q, = q 3 δ (q 2, = q 4

18 8 δ (q, = q δ (q 2, = q Mk (q, q 2 : Distinguishle Untuk (q, q 3 : δ (q, = q 3 δ (q 3, = q 4 δ (q, = q δ (q 3, = q 2 Mk (q, q 3 : Distinguishle Untuk (q, q 2 δ (q, = q 4 δ (q 2, = q 4 δ (q, = q 2 δ (q 2, = q Mk (q, q 2 : Indistinguishle Untuk (q, q 3 δ (q, = q 4 δ (q 3, = q 4 δ (q, = q 2 δ (q 3, = q 2 Mk (q, q 3 : Indistinguishle

19 9 Untuk (q 2, q 3 δ (q 2, = q 4 δ (q 3, = q 4 δ (q 2, = q δ (q 3, = q 2 Mk (q 2, q 3 : Indistinguishle 4. Mk Didptkn psngn stte segi erikut : (q, q : Distinguishle (q, q 2 : Distinguishle (q, q 3 : Distinguishle (q, q 4 : Distinguishle (q, q 2 : Indistinguishle (q, q 3 : Indistinguishle (q, q 4 : Distinguishle (q 2, q 3 : Indistinguishle (q 2, q 4 : Distinguishle (q 3, q 4 : Distinguishle 5. Kelompokkn psngn stte yng indistinguishle : (q, q 2 : Indistinguishle (q, q 3 : Indistinguishle (q 2, q 3 : Indistinguishle

20 2 6. Kren q indistinguishle dengn q 2 dn q 2 indistinguishle dengn q 3, mk is diktkn hw q, q 2, dn q 3 sling indistinguishle dn dpt dijdikn stu stte. 7. Sehingg hsil penyederhnnny dlh segi erikut :,, 23 4 Sol : Lkukn reduksi jumlh stte pd Deterministic Finite Automt pd gmr erikut. 3, 2 4 5,

21 2 Lkukn reduksi jumlh stte pd Deterministic Finite Automt erikut ,, 4 5, Pemhsn : Sol No.. Identifiksi setip kominsi stte yng mungkin : Kominsi stte yng mungkin : (q, q (q, q 2 (q, q 3 (q, q 4 (q, q 5 (q, q 2 (q, q 3 (q, q 4 (q, q 5 (q 2, q 3 (q 2, q 4

22 22 (q 2, q 5 (q 3, q 4 (q 3, q 5 (q 4, q 5 2. Stte yng erpsngn dengn stte khir (q 3 dn q 4 merupkn stte yng distinguishle. (q, q : (q, q 2 : (q, q 3 : Dis (q, q 4 : Dis (q, q 5 : (q, q 2 : (q, q 3 : Dis (q, q 4 : Dis (q, q 5 : (q 2, q 3 : Dis (q 2, q 4 : Dis (q 2, q 5 : (q 3, q 4 : (q 3, q 5 : Dis (q 4, q 5 : Dis 3. Untuk psngn stte yng lin jik msing-msing stte mendpt input yng sm, mk il stu stte mencpi stte khir dn yng lin tidk mencpi stte khir mk diktkn distinguishle.

23 23 Untuk (q, q δ (q, = q 2 δ (q, = q 3 δ (q, = q δ (q, = q 2 Mk (q, q : Distinguishle Untuk (q, q 2 δ (q, = q 2 δ (q 2, = q 4 δ (q, = q δ (q 2, = q 2 Mk (q, q 2 : Distinguishle Untuk (q, q 5 δ (q, = q 2 δ (q 5, = q 4 δ (q, = q δ (q 5, = q 5 Mk (q, q 5 : Distinguishle Untuk (q, q 2 δ (q, = q 3 δ (q 2, = q 4

24 24 δ (q, = q 2 δ (q 2, = q 2 Mk (q, q 2 : Indistinguishle Untuk (q, q 5 δ (q, = q 3 δ (q 5, = q 4 δ (q, = q 2 δ (q 5, = q 5 Mk (q, q 5 : Indistinguishle Untuk (q 2, q 5 δ (q 2, = q 4 δ (q 5, = q 4 δ (q 2, = q 2 δ (q 5, = q 5 Mk (q, q 5 : Indistinguishle Untuk (q 3, q 4 δ (q 3, = q 3 δ (q 4, = q 4 δ (q 3, = q 3 δ (q 4, = q 4

25 25 Mk (q 3, q 4 : Indistinguishle 4. Mk didptkn psngn stte segi erikut. (q, q : Dis (q, q 2 : Dis (q, q 3 : Dis (q, q 4 : Dis (q, q 5 : Dis (q, q 2 : Indis (q, q 3 : Dis (q, q 4 : Dis (q, q 5 : Indis (q 2, q 3 : Dis (q 2, q 4 : Dis (q 2, q 5 : Indis (q 3, q 4 : Indis (q 3, q 5 : Dis (q 4, q 5 : Dis 5. Kelompokkn psngn stte yng indistinguishle (q, q 2 : Indis (q, q 5 : Indis (q 2, q 5 : Indis (q 3, q 4 : Indis

26 26 6. Kren q dn q 2 indistinguishle dn q 2 indistinguishle dengn q 5 sert q jug indistinguishle dengn q 5. Mk is diktkn hw q, q 2, dn q 5 sling indistinguishle dn dpt dijdikn stu stte. Selin itu q 3 dn q 4 yng sling indistinguishle jug dpt dijdikn stu stte. Sehingg diperoleh :,, Sol No. 2. Identifiksilh setip kominsi stte yng mungkin : Kominsi setip stte yng mungkin : (q, q (q, q 2 (q, q 3 (q, q 4 (q, q 5 (q, q 6 (q, q 2 (q, q 3 (q, q 4 (q, q 5 (q, q 6 (q 2, q 3 (q 2, q 4 (q 2, q 5

27 27 (q 2, q 6 (q 3, q 4 (q 3, q 5 (q 3, q 6 (q 4, q 5 (q 4, q 6 (q 5, q 6 2. Stte yng erpsngn dengn stte khir (q, q 2, q 3, dn q 6 merupkn stte yng distinguishle. (q, q : Dis (q, q 2 : Dis (q, q 3 : Dis (q, q 4 : (q, q 5 : (q, q 6 : Dis (q, q 2 : (q, q 3 : (q, q 4 : Dis (q, q 5 : Dis (q, q 6 : (q 2, q 3 : (q 2, q 4 : Dis (q 2, q 5 : Dis (q 2, q 6 : (q 3, q 4 : Dis

28 28 (q 3, q 5 : Dis (q 3, q 6 : (q 4, q 5 : (q 4, q 6 : Dis (q 5, q 6 : Dis 3. Untuk psngn stte yng lin jik msing-msing stte mendpt input yng sm, mk il stu stte mencpi stte khir dn yng lin tidk mencpi stte khir mk diktkn distinguishle. Untuk (q, q 4 δ (q, = q 2 δ (q 4, = q 4 δ (q, = q δ (q 4, = q 5 Mk (q, q 4 : Distinguishle Untuk (q, q 5 δ (q, = q 2 δ (q 5, = q 5 δ (q, = q δ (q 5, = q 5 Mk (q, q 5 : Distinguishle Untuk (q, q 2 δ (q, = q 6

29 29 δ (q 2, = q 4 δ (q, = q 3 δ (q 2, = q 4 Mk (q, q 2 : Distinguishle Untuk (q, q 3 δ (q, = q 6 δ (q 3, = q 6 δ (q, = q 3 δ (q 3, = q 3 Mk (q, q 3 : InDistinguishle Untuk (q, q 6 δ (q, = q 6 δ (q 6, = q 4 δ (q, = q 3 δ (q 6, = q 4 Mk (q, q 6 : Distinguishle Untuk (q 2, q 3 δ (q 2, = q 4 δ (q 3, = q 6 δ (q 2, = q 4

30 3 δ (q 3, = q 3 Mk (q 2, q 3 : Distinguishle Untuk (q 2, q 6 δ (q 2, = q 4 δ (q 6, = q 4 δ (q 2, = q 4 δ (q 6, = q 4 Mk (q 2, q 6 : InDistinguishle Untuk (q 3, q 6 δ (q 3, = q 6 δ (q 6, = q 4 δ (q 3, = q 3 δ (q 6, = q 4 Mk (q 3, q 6 : Distinguishle Untuk (q 4, q 5 δ (q 4, = q 4 δ (q 5, = q 5 δ (q 4, = q 5 δ (q 5, = q 5 Mk (q 4, q 5 : InDistinguishle

31 3 4. Mk Didptkn psngn stte segi erikut. (q, q : Dis (q, q 2 : Dis (q, q 3 : Dis (q, q 4 : Dis (q, q 5 : Dis (q, q 6 : Dis (q, q 2 : Dis (q, q 3 : InDis (q, q 4 : Dis (q, q 5 : Dis (q, q 6 : Dis (q 2, q 3 : Dis (q 2, q 4 : Dis (q 2, q 5 : Dis (q 2, q 6 : InDis (q 3, q 4 : Dis (q 3, q 5 : Dis (q 3, q 6 : Dis (q 4, q 5 : InDis (q 4, q 6 : Dis (q 5, q 6 : Dis 5. Kelompokkn psngn stte yng indistinguishle (q, q 3 : InDis (q 2, q 6 : InDis

32 32 (q 4, q 5 : InDis 6. q, q 3 sling indistinguishle q 2, q 6 sling indistinguishle q 4 dn q 5 jug sling indistinguishle. 7. Sehingg diperoleh penyederhnn segi erikut.,, Ekuivlensi Non-Deterministic Finite Automt ke Deterministic Finite Automt Dri seuh mesin Non-Deterministic Finite Automt dpt diut mesin Deterministic Finite Automt-ny yng ekuivlen (ersesuin. Ekuivlen di sini rtiny mmpu menerim hs yng sm. Segi contoh, kn diut Deterministic Finite Automt dri Non-Deterministic Finite Automt erikut. q, q Dikethui Σ = {,}

33 33 Adpun lngkh-lngkhny dlh segi erikut.. Butlh tel trnsisi dri digrm trnsisi di ts. δ q {q,q } {q } q Ø {q,q } 2. Butlh digrm trnsisi untuk finite stte utomt dri tel trnsisi di ts.. Kit muli dri stte wl yitu q { } Cttn : Perhtikn hw di sini pd gmr setip stte kit tuliskn segi himpunn stte. Selnjutny, kit telusuri leih lnjut tentng q, yitu : Bil stte q mendpt input menjdi stte {q,q } Bil stte q mendpt input menjdi stte {q }, seperti yng tmpk pd gr. { q } { q } { q q },

34 34 c. Selnjutny kit telusuri untuk stte q, yitu : Bil stte q mendpt input mk menjdi stte Ø Bil stte q mendpt input mk menjdi stte {q,q }, sehingg diperoleh gr. { q } { q } Ø { q q, } d. Selnjutny kit telusuri untuk stte {q,q }, yng merupkn penggungn dri stte q dn stte q, sehingg hsil stte {q,q } merupkn penggungn dri hsil stte q dn stte q. Bil stte q mendpt input menjdi stte {q,q } Bil stte q mendpt input mk menjdi stte Ø Sehingg diperoleh jik stte {q,q } mendpt input menjdi stte {q,q } Bil stte q mendpt input menjdi stte {q } Bil stte q mendpt input mk menjdi stte {q,q } Sehingg diperoleh jik stte {q,q } mendpt input menjdi stte {q,q } Mk digrm trnsisi menjdi :

35 35 { q } { q } Ø { q q },, e. Selnjutny kit telusuri stte Ø, yitu : Bil stte Ø mendpt input dn mk tetp menghsilkn Ø Sehingg diperoleh digrm trnsisi erikut. { q }, { q } Ø { q q },,

36 36 Contoh lin, utlh DFA dri NFA erikut :, Dikethui Σ = {,} Tel Trnsisi untuk NFA pd gmr di ts dlh segi erikut. δ q {q,q } {q } q Ø Ø Mesin Deterministic Finite Automt yng ekuivlen dlh segi erikut. { },, { } Ø {, }

37 37 Butlh DFA dri NFA erikut. Dikethui Σ = {,} Tel trnsisi untuk NFA pd gmr di ts dlh segi erikut. δ q Ø Ø Mesin DFA yng ekuivlen dlh segi erikut., { }, Ø Butlh DFA dri NFA erikut. Dikethui Σ = {p,r} p r 2 p p, r Tel trnsisiny dlh segi erikut. δ p R q {q,q 2 } Ø q Ø {q 2 } q 2 {q } {q }

38 38 Mesin DFA dri NFA erikut dlh segi erikut. r p p { } { } { }, 2 p r Ø p, r r p, r { 2 } Sol :. Butlh Deterministic Finite Automt yng ekuivlen dengn Non Deterministic Finite Automt erikut. Q = {p, q, r, s} Σ = {, } S = p F = {s} Fungsi trnsisiny dinytkn dlm tel trnsisi erikut. δ p {p, q} {p} q {r} {r} r {s} - s s s 2. Butlh Deterministic Finite Automt yng ekuivlen dengn Non-Determinitic Finite Automt erikut. Q = {p, q, r, s} Σ = {, } S = p

39 39 F = {q, s} Fungsi trnsisiny dinytkn dlm tel trnsisi erikut. δ p {q, s} {q} q {r} {q, r} r {s} {p} s - {p} 3. Butlh Deterministic Finite Automt yng ekuivlen dengn Non Deterministic Finite Automt erikut. Q = {q, q, q 2 } Σ = {, } S = q F = { q } Fungsi trnsisiny dinytkn dlm tel trnsisi erikut. δ q {q } { q 2 } q {q } Ø q 2 { q, q } { q } 4. Butlh Deterministic Finite Automt yng ekuivlen dengn Non-Determnistic Finite Automt erikut. Q = {q, q, q 2 } Σ = {, } S = q F = { q }

40 4 Fungsi trnsisiny dinytkn dlm tel trnsisi erikut. δ q {q, q 2 } { q 2 } q {q } { q 2 } q 2 Ø { q, q 2 } Non Deterministic Finite Automt dengn є Move Di sini kit mempunyi jenis otomt ru yng diseut Non Deterministic Finite Automt dengn є Move ( є di sini is dinggp segi empty. Pd Non deterministic Finite Automt dengn є move (trnsisi є, diperolehkn menguh stte tnp memc input. Diseut dengn trnsisi є kren tidk ergntung pd sutu input ketik melkukn trnsisi. Contoh : є 2 є є 3 4 Penjelsn gmr : - Dri q tnp memc input dpt erpindh ke q - Dri q tnp memc input dpt erpindh ke q 2 - Dri q 4 tnp memc input dpt erpindh ke q

41 4 Є Closure untuk Sutu Non-Deterministic Finite Automt dengn Є Move Є Closure dlh himpunn stte-stte yng dpt dicpi dri sutu stte tnp memc input. Perhtikn gmr seelumny, mk diperoleh : Є Closure ( q = { q, q 2 } Є Closure (q 2 = { q 2 } Є Closure ( q 3 = { q 3 } Contoh lin, dpt diliht pd gmr di wh ini. є 2 є є 3 4 Dri gmr di ts, kit kethui Є Closure untuk setip stte dlh segi erikut. Є Closure ( q = { q, q, q 3 } Є Closure ( q = { q, q 3 } Є Closure ( q 2 = { q 2, q 4 } Є Closure ( q 3 = { q 3 } Є Closure ( q 4 = { q 4 } Cttn : Perhtikn hw pd sutu stte yng tidk memiliki trnsisi є, mk є closure ny dlh stte itu sendiri

42 42 Ekuivlensi Non Deterministic Finite Automt dengn Є Move ke Non- Deterministic Finite Automt tnp Є-Move Dri seuh Non-Deterministic Finite Automt dengn є move dpt kit peroleh Non Deterministic Finite Automt tnp є move yng ekuivlen. Contohny, il kit puny NFA є move, seperti pd gmr di wh ini. є 2 3 Dri NFA є move di ts, kn diut NFA yng ekuivlen. Butlh tel trnsisi dri NFA є move di ts. δ q Ø Ø q {q 2 } {q 3 } q 2 Ø Ø q 3 Ø Ø 2. Tentukn є-closure untuk setip stte Є Closure ( q = { q, q } Є Closure ( q = { q } Є Closure ( q 2 = { q 2 } Є Closure ( q 3 = { q 3 } 3. Crilh setip fungsi trnsisi hsil dri penguhn NFA є move ke NFA tnp є move. Fungsi trnsisi itu ditndi dengn simol δ

43 43 δ (q, δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q 2 = { q 2 } = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q 3 = { q 3 } δ (q, δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q 2 = { q 2 } = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q 2 = { q 3 } δ (q 2, δ (q 2, = є_cl (δ (є_cl(q 2, = є_cl (Ø = Ø = є_cl (δ (є_cl(q 2, = є_cl (Ø = Ø δ (q 3, δ (q 3, = є_cl (δ (є_cl(q 3, = є_cl (Ø = Ø = є_cl (δ (є_cl(q 3, = є_cl (Ø = Ø

44 44 4. Butlh tel trnsisi dri fungsi trnsisi yng telh diut pd lngkh seelumny. δ q {q 2 } {q 3 } q {q 2 } {q 3 } q 2 Ø Ø q 3 Ø Ø 5. Kemudin, tentuknlh himpunn stte khir untuk NFA tnp є move ini. Himpunn stte khir semul dlh {q 3 }. Kren tidk d stte lin yng є closure ny memut q 3, mk himpunn stte khir sekrng tetp {q 3 }. Sehingg diperoleh digrm trnsisi segi erikut. 2 3

45 45 Contoh lin : q є q є q 2. Butlh tel trnsisi dri NFA є move di ts. δ q { q } Ø q Ø {q 2 } q 2 Ø {q 2 } 2. Tentukn є-closure untuk setip stte Є Closure ( q = { q, q } Є Closure (q = { q } Є Closure (q 2 = { q, q, q 2 } 3. Crilh setip fungsi trnsisi hsil dri penguhn NFA є move ke NFA tnp є move. Fungsi trnsisi itu ditndi dengn simol δ δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q = { q, q } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q 2 = { q, q, q 2 }

46 46 δ (q, δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (Ø = Ø = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q 2 = { q, q, q 2 } δ (q 2, δ (q 2, = є_cl (δ (є_cl(q 2, = є_cl (q = { q, q } = є_cl (δ (є_cl(q 2, = є_cl (q 2 = { q, q, q 2 } 4. Butlh tel trnsisi dri fungsi trnsisi yng telh diut pd lngkh seelumny. δ q { q, q } { q, q, q 2 } q Ø { q, q, q 2 } q 2 { q, q } { q, q, q 2 } 5. Kemudin, tentuknlh himpunn stte khir untuk NFA tnp є move ini. Himpunn stte khir semul dlh {q }. Kit liht є_cl (q 2 = { q, q, q 2 }, mk himpunn stte khir sekrng dlh {q, q 2 }. Sehingg diperoleh digrm trnsisi segi erikut.

47 47 q, q,, q 2, Contoh Lin, q є q Σ = {}. Butlh tel trnsisi dri NFA є move di ts. δ q { q } q Ø 2. Tentukn є-closure untuk setip stte Є Closure ( q = { q, q } Є Closure (q = { q } 3. Crilh setip fungsi trnsisi hsil dri penguhn NFA є move ke NFA tnp є move. Fungsi trnsisi itu ditndi dengn simol δ δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q

48 48 = { q, q } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (Ø = Ø 4. Butlh tel trnsisi dri fungsi trnsisi yng telh diut pd lngkh seelumny. δ q { q, q } q Ø 5. Kemudin, tentuknlh himpunn stte khir untuk NFA tnp є move ini. Himpunn stte khir semul dlh {q }. Kit liht є_cl (q = { q, q }, mk himpunn stte khir sekrng dlh {q, q }. Sehingg diperoleh digrm trnsisi segi erikut. Sol :. Butlh NFA tnp є move yng ekuivlen dengn NFA є Move pd gmr erikut ini. Σ = {,, 2} 2 є 2 є

49 49 2. Butlh NFA tnp є Move yng ekuivlen dengn NFA є Move pd gmr di wh ini. Σ = {, } є 3. Butlh NFA tnp є Move yng ekuivlen dengn NFA є Move pd gmr di wh ini. Σ = {, } є 2 є Jw :. Butlh tel trnsisi dri NFA є move di ts. δ 2 q {q } Ø Ø q Ø {q } Ø q 2 Ø Ø {q 2 } Tentukn є-closure untuk setip stte Є Closure ( q = { q, q, q 2 } Є Closure (q = { q, q 2 } Є Closure (q 2 = {q 2 }

50 5 δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q = { q, q, q 2 } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q = {q, q 2 } δ (q, 2 = є_cl (δ (є_cl(q,2 = є_cl (q 2 = {q 2 } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (Ø = { Ø } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q = {q, q 2 } δ (q, 2 = є_cl (δ (є_cl(q,2 = є_cl (q 2 = {q 2 } δ (q 2, = є_cl (δ (є_cl(q 2, = є_cl (Ø = { Ø } δ (q 2, = є_cl (δ (є_cl(q 2, = є_cl (Ø

51 5 = { Ø } δ (q 2, 2 = є_cl (δ (є_cl(q 2,2 = є_cl (q 2 = {q 2 } δ 2 q {q, q, q 2 } {q, q 2 } { q 2 } q Ø {q, q 2 } { q 2 } q 2 Ø Ø { q 2 } Himpunn stte khir dlh {q, q, q 2 } 2. Butlh tel trnsisi dri NFA є move di ts. δ q { q } Ø q Ø { q } Tentukn є-closure untuk setip stte Є Closure ( q = { q, q } Є Closure (q = { q } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q = { q, q } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q

52 52 = { q, q } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (Ø = { Ø } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q = { q, q } δ q { q, q } { q, q } q Ø { q, q } Penggungn dn Konktensi Finite Stte Automt A. Penggungn Finite Stte Automt Pd du mesin Finite Stte Automt, mislkn M dn M 2 dpt dilkukn penggungn yng menghsilkn mesin M3 dengn cr :. Tmhkn stte wl untuk M 3, huungkn dengn stte wl M dn stte wl M 2 menggunkn trnsisi є. 2. Tmhkn stte khir untuk M 3, huungkn dengn stte-stte khir M dn stte-stte khir M 2 menggunkn trnsisi є. A A Gmr Mesin M

53 53 B B Gmr Mesin M 2 Adpun hsil penggungn dri Mesin M dn M 2 dpt diliht pd gmr di wh ini. є A A є S f є B B є B. Konktensi Finite Stte Automt Pd du mesin Finite Stte Automt, mislkn M dn M 2 dpt dilkukn konktensi yng menghsilkn mesin M 4 dengn cr :. Stte wl M menjdi stte wl M 4 2. Stte-stte khir M 2 menjdi stte khir M 4 3. Huungkn stte-stte khir M dengn stte wl M 2 menggunkn trnsisi є. Kit dpt meliht hsil opersi konktensi ini pd gmr di wh ini. S є A B f

54 54 Sol :. Bil dikethui L (M dlh hs yng diterim oleh M pd gmr, dn L(M 2 dlh hs yng diterim oleh M 2 pd gmr 2. Dikethui L(M 3 = L(M + L(M 2, sert L(M 4 = L(M L(M 2. Gmrkn :. Mesin M 3 yng menerim hs L(M 3.. Mesin M 4 yng menerim hs L(M 4. Mesin M, 2 Mesin M 2 Jw :.. Tmhkn stte wl untuk M 3, huungkn dengn stte wl M dn stte wl M 2 menggunkn trnsisi є. 2. Tmhkn stte khir untuk M 3, huungkn dengn stte-stte khir M dn stte-stte khir M 2 menggunkn trnsisi є.

55 55 q s є є q q A q A, qb є q B2 є q f.. Stte wl M menjdi stte wl M 4 2. Stte-stte khir M 2 menjdi stte khir M 4 3. Huungkn stte-stte khir M dengn stte wl M 2 menggunkn trnsisi є. s, A є B B f 2. Bil dikethui L (M dlh hs yng diterim oleh M pd gmr, dn L(M 2 dlh hs yng diterim oleh M 2 pd gmr 2. Dikethui L(M 3 = L(M + L(M 2, sert L(M 4 = L(M L(M 2. Gmrkn :. Mesin M 3 yng menerim hs L(M 3.. Mesin M 4 yng menerim hs L(M 4.

56 56 q q q 2 Mesin M Mesin M 2 Jw :.. Tmhkn stte wl untuk M 3, huungkn dengn stte wl M dn stte wl M 2 menggunkn trnsisi є. 2. Tmhkn stte khir untuk M 3, huungkn dengn stte-stte khir M dn stte-stte khir M 2 menggunkn trnsisi є.

57 57 є A A s A2 є f є є B B.. Stte wl M menjdi stte wl M 4 2. Stte-stte khir M 2 menjdi stte khir M 4 3. Huungkn stte-stte khir M dengn stte wl M 2 menggunkn trnsisi є. s A2 A є B f

58 58 Ekspresi Regulr Seuh hs dinytkn regulr jik terdpt finite stte utomt yng dpt menerimny. Bhs-hs yng diterim oleh sutu finite stte utomt is dinytkn secr sederhn dengn ekspresi regulr. Contoh pemkin ekspresi regulr dlh pd perncngn sutu text editor. Notsi Ekspresi Regulr Notsi Ekspresi Regulr yng sering dipki dlh segi erikut.. * yitu krkter sterisk, yng errti is tidk muncul, is jug muncul leih dri stu kli yitu miniml muncul stu kli 3. + tu errti union 4.. (Titik errti konktensi, isny titik is dihilngkn. Mislny : ermkn sm seperti.. Contoh ekspresi regulr (selnjutny kit singkt segi ER dlh segi erikut. ER : * cc Contoh string yng dingkitkn : cc, cc, cc, cc, cc ( is tidk muncul tu muncul sejumlh erhingg kli. ER : * Contoh string yng dingkitkn :,,, (jumlh diujung is tidk muncul, is muncul erhingg kli. ER : * d Contoh string yng dingkitkn : d, d, d, d ER : + d Contoh string yng dingkitkn : d, d, d ER : * * (ingt errti tu Contoh string yng dingkitkn :,,,,,,, ER : Contoh string yng dingkitkn :, ER : * +

59 59 Contoh string yng dingkitkn :,,,, Huungn Ekspresi Regulr dn Finite Stte Automt є 3 NFA є move untuk ER : є 2 NFA є move untuk ER : * є 2 3 є є 4 5 є NFA є move untuk ER : 2 NFA untuk ER :

60 6 2 NFA untuk ER : 2 NFA untuk ER : *, 2 NFA untuk ER : (, NFA untuk ER : ( * 2 NFA untuk ER : *

61 6 NFA untuk ER : * * NFA untuk ER : * NFA untuk ER : ( * NFA untuk ER : ( * Deskripsikn dlm hs Indonesi himpunn string yng diterim oleh Finite Stte Automt seperti dlm : 2

62 62 q q q 3 q 2 q Jw : * * * * ( * * ( * * ( * * Aturn Produksi untuk Sutu Tt Bhs Regulr Btsn turn produksi untuk hs regulr : α β Sutu tt hs (grmmr didefinisikn dengn 4 Tupel yitu : V, T, P, dn S Di mn, V = Himpunn simol vriel / non terminl T = Himpunn simol terminl P = Kumpuln turn produksi S = Simol wl Segi contoh terdpt Mesin FSA erikut

63 63 є є Mesin finite stte utomt pd gmr di ts memiliki simol input dn. Simol dn kn menjdi simol terminl pd turn produksi yng kn kit entuk. Mislny kit tentukn simol wl dlh S. Kit identikkn S dengn stte wl q. Dri q mendpt input menjdi q. Bis kit tuliskn segi turn produksi : S E Di sini kit gunkn segi E dn ukn A kren menytkn gin yng elum terngkitkn muli dri stte q. Dri q mendpt trnsisi є (tnp menerim input ke q 2 dn q 3. Bis kit tuliskn : E A E B (Di sini kit identikkn q 2 segi A dn q 3 segi B Dri q 2 jik mendpt input menuju ke stte q 2 itu sendiri dn jik mendpt input menuju ke stte q 4 yng merupkn stte khir dn tidk menuju ke stte yng linny sehingg dpt dituliskn menjdi : A A A

64 64 Dri q 3 jik mendpt input menuju ke stte q 3 itu sendiri dn jik mendpt input jug menuju ke stte q 4 yng merupkn stte khir dn tidk menuju ke stte yng linny sehingg dpt dituliskn menjdi : B B B Kumpuln turn produksi yng kit peroleh is kit tuliskn segi erikut. S E E A B A A B B Secr forml tt hs yng diperoleh dri otomt dlh segi erikut. V = {S, E, A, B} T = {, } P = { S E, E A B, A A, B B } S = S Contoh lin dpt diliht pd gmr di wh ini. q q 2 q q 4 q 3 q q 5 6

65 65 Kit is mengkonstruksi turn produksi untuk otomt terseut. T = {, } S = S Kit muli dri stte wl yitu q yng dlm hl ini dilmngkn dengn S. - Bil S mendpt input mk menuju ke q yng dlm hl ini dilmngkn dengn A. S A - Bil S mendpt input mk menuju ke q 4 yng dlm hl ini dilmngkn dengn B. S B - Kren q dlm hl ini segi stte khir dn msih memiliki trnsisi kelur, mk untuk menndknny segi stte khir kit ut : S є Kemudin setelh itu kit liht q yng tdi telh kit lmngkn segi A. - Jik A mendpt input mk menuju q 2 yng dlm hl ini dilmngkn segi C. A C Kemudin kit liht q 4 yng telh kit identikkn segi B. - Jik B mendpt input mk menuju ke q 5 yng kit lmngkn segi D. B D Kemudin kit liht q 2 yng telh kit lmngkn segi C. - Jik C mendpt input mk menuju ke q 3 (Tetpi kren q 3 tidk mempunyi trnsisi kelur dn ukn merupkn stte khir mk dpt kit ikn. - Jik C mendpt input mk menuju ke S. C S Kemudin kit liht q 5 yng telh kit lmngkn segi D. - Jik D mendpt input mk menuju ke S.

TEORI BAHASA DAN AUTOMATA

TEORI BAHASA DAN AUTOMATA MODUL IX TEORI BAHASA DAN AUTOMATA Tujun :. Mhsisw memhmi turn produksi sutu finite stte utomt dn dpt merekonstruksi kemli FSA dri sutu hs reguler. 2. Mhsisw mengenl pengemngn leih juh dri sutu mesin otomt

Lebih terperinci

MODUL 3: FINITE AUTOMATA

MODUL 3: FINITE AUTOMATA Diktt Kulih: Finite utomt uthor: Suryn Setiwn, MSc., Fk. Ilmu Komputer UI MODUL 3: FINITE UTOMT DEFINISI F Sutu Finite utomton (F) tu kdng-kdng diseut Finite Stte utomton (FS) dlh mesin yng dpt mengeni

Lebih terperinci

BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN

BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom

Lebih terperinci

BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR

BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn

Lebih terperinci

PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum

PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Ksus Mksimum Untuk menyelesikn Persoln Progrm Linier dengn Metode Simpleks untuk fungsi tujun memksimumkn dn meminimumkn crny ered Model mtemtik dri Permslhn Progrm Linier dpt

Lebih terperinci

BAB VI PEWARNAAN GRAF

BAB VI PEWARNAAN GRAF 85 BAB VI PEWARNAAN GRAF 6.1 Pewrnn Simpul Pewrnn dri sutu grf G merupkn sutu pemetn dri sekumpuln wrn ke eerp simpul (vertex) yng d pd grf G sedemikin sehingg simpul yng ertetngg memiliki wrn yng ered.

Lebih terperinci

LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan

LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn

Lebih terperinci

1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:

1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini: ) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut

Lebih terperinci

BAB III METODE METODE DEFUZZYFIKASI

BAB III METODE METODE DEFUZZYFIKASI Fuy Logi Metode Metode Deuyiksi BAB III METODE METODE DEFUYFIKASI Seperti yng telh dihs dlm, hw untuk meruh kelurn uy menjdi nili risp mk diperlukn sutu proses yng leih dikenl dengn istilh deuyiksi Dlm

Lebih terperinci

Suku banyak. Akar-akar rasional dari

Suku banyak. Akar-akar rasional dari Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd

Lebih terperinci

METODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.

METODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1. 1. Anlisis Arus Cng METODE ANALSS Metode rus ng dlh slh stu metode penyelesin nlisis rngkin il rngkin terdiri dri du tu leih sumer. Pd metode rus ng ini, kn diperoleh rus pd setip ng dri sutu rngkin yng

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.

Lebih terperinci

3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA.. Pngkt Pngkt dri seuh ilngn dlh sutu indeks ng menunjukkn nkn perklin ilngn ng sm secr eruntun. Notsi n errti hw hrus diklikn degn itu sendiri senk n kli. Notsi ilngn erpngkt

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum

ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.

Lebih terperinci

TELAAH TEORITIS FINITE STATE AUTOMATA DENGAN PENGUJIAN HASIL PADA MESIN OTOMATA

TELAAH TEORITIS FINITE STATE AUTOMATA DENGAN PENGUJIAN HASIL PADA MESIN OTOMATA Widysri TELAAH TEORITIS FINITE STATE AUTOMATA DENGAN PENGUJIAN HASIL PADA MESIN OTOMATA WIDYASARI Sekolh Tinggi Mnjemen Informtik dn Komputer Pontink Progrm Studi Teknik Informtik Jl.Merdek No.372 Pontink,

Lebih terperinci

selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik

selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik Hiperol 7.1. Persmn Hiperol Bentuk Bku Hiperol dlh himpunn semu titik (, ) pd idng sedemikin hingg selisih positif jrk titik (, ) terhdp psngn du titik tertentu ng diseut titik fokus (foci) dlh tetp. Untuk

Lebih terperinci

Graf Berarah (Digraf)

Graf Berarah (Digraf) Grf Berrh (Digrf) Di dlm situsi yng dinmis, seperti pd komputer digitl tupun pd sistem lirn (flow system), konsep grf errh leih sering digunkn dindingkn dengn konsep grf tk errh. Apil rus sutu grf errh

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis

Lebih terperinci

RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:

RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi: INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi

Lebih terperinci

A x = b apakah solusi x

A x = b apakah solusi x MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.

Lebih terperinci

MODUL 4 PEUBAH ACAK. Peubah acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang sampel ke bilangan Real. X : S R

MODUL 4 PEUBAH ACAK. Peubah acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang sampel ke bilangan Real. X : S R MODUL 4 EUBAH ACAK engntr Sutu percon melempr mt ung yng setimng senyk kli. Rung smpel dri percon terseut dlh S= { AAA, AGG, AGA, AAG, GAG, GGA, GAA, GGG } Sutu kejdin A : dri ketig lemprn nykny gmr sejumlh

Lebih terperinci

- - RELASI DAN FUNGSI - - dlp2fungsi

- - RELASI DAN FUNGSI - - dlp2fungsi 804 Mtemtik Relsi dn Fungsi - - RELASI DAN FUNGSI - - Modul ini singkron dengn Apliksi Android, Downlod mellui Ply Store di HP Kmu, ketik di penrin dlpfungsi Jik Kmu kesulitn, Tnykn ke tentor gimn r downlodny.

Lebih terperinci

INTEGRAL. 1. Macam-macam Integral. Nuria Rahmatin TIP L. A. Integral Tak Tentu

INTEGRAL. 1. Macam-macam Integral. Nuria Rahmatin TIP L. A. Integral Tak Tentu INTEGRAL Nuri Rhmtin 5000006 TIP L. Mcm-mcm Integrl A. Integrl Tk Tentu Integrl dlh entuk invers dri turunn. Secr umum jik seuh fungsi diintegrlkn terhdp vrile tertentu dpt disjikn dlm entuk : f ( F( C

Lebih terperinci

INTEGRAL TAK TENTU. x x x

INTEGRAL TAK TENTU. x x x INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh

Lebih terperinci

E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )

E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )

Lebih terperinci

Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.

Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A. Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR UMUM. Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd. Disusun oleh :

RUANG VEKTOR UMUM. Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd. Disusun oleh : RUNG VEKTOR UMUM Dosen Pengmpu : Drmdi S.Si M.Pd Disusun oleh : 1. gung Dwi Chyono (84.56) 2. rdie Kusum (84.73) 3. Heri Chyono (84.145) 4. Lingg Nio Prdn (84.18) 5. Yudh Sofyn Mhmudi (84.293) PROGRM STUDI

Lebih terperinci

Integral Kompleks (Bagian Kesatu)

Integral Kompleks (Bagian Kesatu) Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl

Lebih terperinci

Percobaan RANGKAIAN RESISTOR, HUKUM OHM DAN PEMBAGI TEGANGAN. (Oleh : Sumarna, Lab-Elins, Jurdik Fisika FMIPA UNY)

Percobaan RANGKAIAN RESISTOR, HUKUM OHM DAN PEMBAGI TEGANGAN. (Oleh : Sumarna, Lab-Elins, Jurdik Fisika FMIPA UNY) Percon ANGKAIAN ESISTO, HUKUM OHM DAN PEMBAGI TEGANGAN (Oleh : Sumrn, L-Elins, Jurdik Fisik FMIPA UNY) E-mil : sumrn@un.c.id) 1. Tujun 1). Mempeljri cr-cr merngki resistor. 2). Mempeljri wtk rngkin resistor.

Lebih terperinci

Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII

Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl

Lebih terperinci

MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.

MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn

Lebih terperinci

Vektor translasi dpt ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks kolom

Vektor translasi dpt ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks kolom TRANSFORMASI GEOMETRI BAB Sutu trnsformsi idng dlh sutu pemetn dri idng Krtesius ke idng ng lin tu T : R R (,) ( ', ') Jenis-jenis trnsformsi ntr lin : Trnsformsi Isometri itu trnsformsi ng tidk menguh

Lebih terperinci

IV V a b c d. a b c d. b c d. bukan fungsi linier y = x = x y 5xy + y = B.2 Konsep Fungsi Linier

IV V a b c d. a b c d. b c d. bukan fungsi linier y = x = x y 5xy + y = B.2 Konsep Fungsi Linier 8. Dri fungsi-fungsi ng disjikn dengn digrm pnh erikut ini mnkh ng merupkn fungsi onto, injektif tu ijektif, jik relsi dri A ke B? A c d IV B A c d V B A c d VI B B. Konsep Fungsi Linier. Tujun Setelh

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0

Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn

Lebih terperinci

RUMUS HERON DAN RUMUS BRAHMAGUPTA

RUMUS HERON DAN RUMUS BRAHMAGUPTA RUMUS HERON DAN RUMUS BRAHMAGUPTA Sumrdyono, M.Pd. Topik lus bngun dtr telh dipeljri sejk di Sekolh Dsr hingg SMA. Bil di SD, dipeljri lus segitig dn beberp bngun segiempt mk di SMP dipeljri lebih lnjut

Lebih terperinci

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS : thereiveni.wordpre.om NM : KELS : BB TRIGONOMETRI thereiveni.wordpre.om Pengukurn Sudut d du tun pengukurn udut yitu : derjt dn rdin Stun derjt Definii : = putrn 36 Ingt : putrn = 36 Jdi : putrn = 8 putrn

Lebih terperinci

2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1

2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1 . Hitunglh 7 5. : b. 5 : c. 8 : 6 d. 8 9 7 7 7 5 77 77 77. : c. 8 : 6 : 6 6 9 9 9 6 54 8 40 7 b. 5: 5 d. 4: 4: 4 6 8 7 95 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik 4 :. Pmn mempunyi sebidng tnh yng lusny

Lebih terperinci

Definisi Vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah

Definisi Vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah VEKTOR Definisi Vektor Vektor dlh esrn yng mempunyi esr dn rh Besr vektor rtiny pnjng vektor Arh vektor rtiny sudut yng dientuk dengn sumu X positif Vektor disjikn dlm entuk rus gris errh Gmr Vektor B

Lebih terperinci

15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT

15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini

Lebih terperinci

MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks

MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks MATRIKS A. Pengertin, Notsi dn Bgin Dlm Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri kit sering menemui dt tu informsi dlm entuk tel, seperti tel pertndingn sepkol, tel sensi kels, tel hrg tiket keret pi dn seginy..

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn

Lebih terperinci

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] http://meetied.wordpress.com SMAN BoneBone, Luwu Utr, SulSel Keslhn teresr yng diut mnusi dlm kehidupnny dlh terusmenerus mers tkut hw merek kn melkukn keslhn (Elert Hud) [RUMUS CEPAT MATEMATIKA] Vektor

Lebih terperinci

V B Gambar 3.1 Balok Statis Tertentu

V B Gambar 3.1 Balok Statis Tertentu hn jr Sttik ulyti, ST, T erteun, I, II III Struktur lk III endhulun lk (e) dlh sutu nggt struktur yng ditujukn untuk eikul en trnsversl sj, sutu lk kn ternlis dengn secr lengkp pil digr gy geser dn digr

Lebih terperinci

12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL

12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)

Lebih terperinci

VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com

VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti

Lebih terperinci

PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL

PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL BAB I PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL I A RANGKUMAN INTEGRAL. Pengertin Apil terdpt fungsi F() yng dpt didiferensilkn pd selng I sedemikin hingg F () = f(), mk nti turunn (integrl) dri f() dlh F()

Lebih terperinci

LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Memperebutkan Piala Gubernur Sumatera Selatan 3 5 Mei 2011

LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Memperebutkan Piala Gubernur Sumatera Selatan 3 5 Mei 2011 LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Mempereutkn Pil Guernur Sumter Seltn Mei 0 PENYISIHAN I PERORANGAN LCCM TINGKAT SMA. Dikethui kuus ABCD.EFGH dengn rusuk 6 cm. Jik

Lebih terperinci

MODUL 5: NONDETERMISNISTIC FINITE STATE AUTOMATA DENGAN TRANSISI-Λ

MODUL 5: NONDETERMISNISTIC FINITE STATE AUTOMATA DENGAN TRANSISI-Λ iktt Kulih: Nondeterministic Finite Stte utomt deng Trnsisi- uthor: Suryn Setiwn, MSc., Fk. Ilmu Komputer I MOL 5: NONETERMISNISTI FINITE STTE TOMT ENGN TRNSISI- TRNSISI- engn konsep nondeterministisme

Lebih terperinci

VECTOR DI BIDANG R 2 DAN RUANG R 3. Nurdinintya Athari (NDT)

VECTOR DI BIDANG R 2 DAN RUANG R 3. Nurdinintya Athari (NDT) VECTOR DI BIDANG R DAN RUANG R Nurdininty Athri (NDT) VEKTOR DI BIDANG (R ) DAN DI RUANG (R ) Pokok Bhsn :. Notsi dn Opersi Vektor. Perklin titik dn Proyeksi Ortogonl. Perklin silng dn Apliksiny Beerp

Lebih terperinci

3. LIMIT DAN KEKONTINUAN

3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER. Ruang Hasil Kali Dalam. Oleh : Kelompok VI / VB

ALJABAR LINIER. Ruang Hasil Kali Dalam. Oleh : Kelompok VI / VB ALJABAR LINIER Rung Hsil Kli Dlm Dosen Pengmpu : DARMADI, S.Si, M.Pd Oleh : Kelompok VI / VB 1. Agustin Syrswri ( 08411.060 ) 2. Chndr Andmri ( 08411.095 ) 3. Mei Citr D.A ( 08411.186 ) 4. Nur Alfin Lil

Lebih terperinci

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke satu titik tertentu sama dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu (direktriks).

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke satu titik tertentu sama dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu (direktriks). Prol dlh tempt kedudukn titik-titik ng jrkn ke stu titik tertentu sm dengn jrkn ke seuh gris tertentu (direktriks). Persmn Prol 1. Persmn Prol dengn Punck O(,) Perhtikn gmr erikut ini! PARABOLA g A P(,

Lebih terperinci

BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1)

BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1) BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Bend Putr (Khusus Klkulus ) Kompetensi yng diukur dlh kemmpun mhsisw menghitung volume bend putr dengn metode cincin, metode ckrm, tu metode kulit tbung.. UAS Klkulus,

Lebih terperinci

MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI

MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI 1. Sumur Potensil Tk Berhingg Kit tinju prtikel bermss m dengn energi positif, berd dlm sumur potensil stu dimensi dengn dinding potensil tk berhingg dn potensil didlmny nol,

Lebih terperinci

http://meetied.wordpress.com Mtemtik X Semester 1 SMAN 1 Bone-Bone Reutlh st ini. Ap pun yng is And lkukn tu And impikn Mulilh!!! Keernin mengndung kejeniusn, kekutn dn kejin. Lkukn sj dn otk And kn muli

Lebih terperinci

BAB VIII PENDIMENSIAN JARINGAN. Data yang diperlukan untuk pendimensian jaringan adalah : 1. matriks trafik (trafik yang ditawarkan)

BAB VIII PENDIMENSIAN JARINGAN. Data yang diperlukan untuk pendimensian jaringan adalah : 1. matriks trafik (trafik yang ditawarkan) 8 Diktt Rekys Trfik VIII PEDIMESI JRIG 8. Dt yng diperlukn Dt yng diperlukn untuk pendimensin jringn dlh :. mtriks trfik (trfik yng ditwrkn) -.... -.... -.... -. mtrik biy (biy per slurn) -.... -.... -....

Lebih terperinci

HITUNG INTEGRAL ( 4 ) 4. Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F f(x) = 4x + 1

HITUNG INTEGRAL ( 4 ) 4. Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F f(x) = 4x + 1 HITUNG INTEGRA BAB.Integrl tk tentu (tnp ts). Rumus-rumus ) ) n n n d c, n ) d c n n n. d c, n ). Sift-sift Integrl Contoh :... ) k. f ( ) d k. f ( ) d d d ln c ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) d c ( ) ( ) d ( ) d

Lebih terperinci

Rumus Luas Daerah Segi Empat Sembarang? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia

Rumus Luas Daerah Segi Empat Sembarang? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia Rumus Lus Derh Segi Empt Sembrng? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusn Pendidikn Mtemtik Universits Pendidikn Indonesi Kit bisny lebih menyuki brng yng siftny serb gun dn efektif, stu brng untuk berbgi jenis keperlun.

Lebih terperinci

Integral B A B. A. Pengertian Integral. B. Integral Tak Tentu. C. Integral Tertentu. D. Menentukan Luas Daerah. E. Menentukan Volume Benda Putar

Integral B A B. A. Pengertian Integral. B. Integral Tak Tentu. C. Integral Tertentu. D. Menentukan Luas Daerah. E. Menentukan Volume Benda Putar Integrl B A B A. Pengertin Integrl B. Integrl Tk Tentu C. Integrl Tertentu D. Menentukn Lus Derh E. Menentukn Volume Bend Putr Sumer: www.wllpperse.com Pernhkh klin meliht ling-ling peswt? Bgimnkh entukny?

Lebih terperinci

Materi V. Determianan dinotasikan berupa pembatas dua gris lurus,

Materi V. Determianan dinotasikan berupa pembatas dua gris lurus, Mteri V Tujun : 1. Mhsisw dpt mengenli determinn.. Mhsisw dpt merubh persmn linier menjdi persmn determinn.. Mhsisw menelesikn determinn ordo du. Mhsisw mmpu menelesikn determinn ordo tig. Mhsisw mengethui

Lebih terperinci

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis x + y = 6 adalah satuan luas. a. 54 b. 32. d. 18 e.

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis x + y = 6 adalah satuan luas. a. 54 b. 32. d. 18 e. . Lus derh yng ditsi oleh kurv y = x dn gris x + y = dlh stun lus... c. d. 8 e. Sol Ujin Nsionl Thun 7 Kurv y = x dn gris x + y = ( y = x ) Sustikn nili y pd y = x sehingg didpt : x = x x = x x + x = (

Lebih terperinci

BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA Stndr Kompetensi Memhmi dn menggunkn turn dn sift sert mnipulsi Aljr dlm pemechn mslh ng erkitn dengn entuk pngkt, kr dn logritm. Kompetensi Dsr Menggunkn sift, turn

Lebih terperinci

FUNGSI TRANSENDEN. Definisi 1 Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan

FUNGSI TRANSENDEN. Definisi 1 Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan 2 FUNGSI TRANSENDEN Fungsi trnsenen tu fungsi non-ljbr lh fungsi yng tik pt inytkn lm sejumlh berhingg opersi ljbr. Fungsi trnsenen yng bis ijumpi lm hl ini teriri ri fungsi eksponensil, fungsi logritmik,

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Kegitn Beljr Mengjr 3 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Drs. Zinuddin, M.Pd Kegitn eljr mengjr 3 ini kn memhs tentng persmn kudrt. Kegitn eljr mengjr 3 ini menckup du pokok hsn, yitu pokok hsn I tentng

Lebih terperinci

10. cos (ax+b)sin(ax+b) dx = 12. sec x dx = tan x + c. 13. sec (ax+b)dx = tan (ax+b)+ c. 14. c sec x dx = - ctg x + c

10. cos (ax+b)sin(ax+b) dx = 12. sec x dx = tan x + c. 13. sec (ax+b)dx = tan (ax+b)+ c. 14. c sec x dx = - ctg x + c BAB XVI. INTEGRAL A. Integrl Tk Tentu. Rumus Integrl Fungsi Aljr. k k n = n +. ( + ) n = ( n + ). = ln + n + + ; n - n+ (+) + ; dn n -. ( f ( ) ± g( ) ) f ( ) ± g ( ) n. os (+)sin(+) = ( n + ) os n + (+)

Lebih terperinci

Aljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor)

Aljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor) Aljbr Liner Pertemun 12_14 Aljbr Vektor (Perklin vektor) Pembhsn Perklin vektor dengn sklr Rung vektor Perklin Vektor dengn Vektor: Dot Product - Model dot product - Sift dot product Pendhulun Penmbhn

Lebih terperinci

RELASI EKUIVALENSI (Minggu ke-12 dan 13)

RELASI EKUIVALENSI (Minggu ke-12 dan 13) ELASI EKUIVALENSI (Minggu ke-1 dn 13) 1. elsi Ekuivlensi. Definisi 1. Dikethui A himpunn tidk kosong. elsi pd A (dri A ke A) diseut refleksif jik untuk setip nggot dri semestny erlku refleksif ( A).. Contoh:

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic Sudrtno Sudirhm Studi Mndiri Fungsi dn Grfik ii Drpulic BAB Mononom dn Polinom Mononom dlh perntn tunggl ng erentuk k n, dengn k dlh tetpn dn n dlh ilngn ult termsuk nol. Fungsi polinom merupkn jumlh terts

Lebih terperinci

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN Teorem Kekonvergenn Fungsi Terintegrl Riemnn ( Frikhin ) TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGI TERINTEGRAL RIEMANN Frikhin Jurusn Mtemtik FMIPA Undip Astrk Teorem kekonvergenn merupkn gin yng penting dlm mempeljri

Lebih terperinci

BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R)

BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R) BAB PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Stndr Kompetensi Mhsisw memhmi konsep dsr sistem bilngn rel (R) sebgi semest untuk menentukn selesin persmn dn pertidksmn, dpt mengembngkn bentuk persmn dn pertidksmn yng

Lebih terperinci

BAB 3 MATRIKS, SISTEM PERSAMAAN LINEAR, DAN DETERMINAN

BAB 3 MATRIKS, SISTEM PERSAMAAN LINEAR, DAN DETERMINAN iktt Kulih EL- Mtemtik Teknik I BB MTRIKS, SISTEM PERSMN LINER, N ETERMINN Petemun ke- Pokok/Su Pokok Bhsn Tuun Pemelrn Mtriks, Sistem Persmn Liner, dn eterminn Mtriks dn opersin Sistem Persmn Liner; Eliminsi

Lebih terperinci

M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.

M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc. M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng

Lebih terperinci

Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang

Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.

Lebih terperinci

A. PANGKAT. Materi Pokok BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA

A. PANGKAT. Materi Pokok BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA Mtemtik SMA Semester B : Bentuk Pngkt,Akr & Logritm Mteri Pokok BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA Kometensi Dsr : Menggunkn sift dn turn tentng ngkt, kr dn logritm dlm emechn mslh Kometensi Dsr : Melkukn

Lebih terperinci

DETERMINAN dan INVERS MATRIKS

DETERMINAN dan INVERS MATRIKS // DETERMINN n INVERS MTRIKS Trnspose Mtriks () Jik mtriks mxn, mk trnspose ri mtriks ( t ) lh mtriks erukurn nxm yng iperoleh ri mtriks engn menukr ris engn kolom. Ex: t // SIFT Trnspose Mtriks () Sift:.

Lebih terperinci

Matematika SKALU Tahun 1978

Matematika SKALU Tahun 1978 Mtemtik SKALU Thun 978 MA-78-0 Persmn c + b + = 0, mempunyi kr-kr dn, mk berlku A. + = b B. + = c C. = c = c = c MA-78-0 Akr dri persmn 5 - = 7 + dlh A. B. C. 4 5 MA-78-0 Hrg dri log b. b log c. c log

Lebih terperinci

PERSAMAAN LINIER. b a dimana : a, b, c, d adalah

PERSAMAAN LINIER. b a dimana : a, b, c, d adalah PERSAMAAN LINIER ). Persmn Linier Stu Vriel Bentuk umum : x, imn n konstnt Penyelesin : x Contoh : ). 5x x x 5 8 ). x 8 x x 8 ). Persmn Linier Vriel Bentuk umum : ). Persmn Linier Tig Vriel Bentuk umum

Lebih terperinci

Vektor B A B. A. Pengertian Vektor. B. Operasi pada Vektor. C. Perbandingan Vektor. D. Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor

Vektor B A B. A. Pengertian Vektor. B. Operasi pada Vektor. C. Perbandingan Vektor. D. Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor Vektor B A B 4 A. Pengertin Vektor B. Opersi pd Vektor C. Perndingn Vektor D. Perklin Sklr Du Vektor dn Proyeksi Vektor Sumer: http://imges.encrt.msn.com Pernhkh klin meliht leming yng meluncur di udr

Lebih terperinci

4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu

4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin

Lebih terperinci

FUNGSI SMTS 1101 / 3SKS

FUNGSI SMTS 1101 / 3SKS FUNGSI SMTS 0 / SKS LOGIK MTEMTIK Disusun Oleh : Dr. Noerynti, M.Si 6 DFTR ISI Cover pokok hsn... 6 Dftr isi... 6 Judul Pokok hsn... 64 6.. Pengntr... 64 6.. Kompetensi... 64 6.. Urin Mteri... 64 6.. Definisi

Lebih terperinci

IX. RANCANGAN ACAK LENGKAP POLA FAKTORIAL AxB

IX. RANCANGAN ACAK LENGKAP POLA FAKTORIAL AxB Respons Respons IX. RANCANGAN ACAK LENGKAP POLA FAKTORIAL AxB Rncngn Ack Lengkp Pol Fktoril AxB dlh rncngn ck lengkp yng terdiri dri d peh es (Fktor dlm klsfiksi silng yit fktor A yng terdiri dri trf dn

Lebih terperinci

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Analisa Kestabilan Routh

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Analisa Kestabilan Routh Intitut Teknologi Sepuluh Nopemer Sury Anli Ketiln Routh Pengntr Mteri Contoh Sol Ringkn Ltihn Aemen Pengntr Mteri Contoh Sol Konep Stil Proedur Ketiln Routh Ringkn Ltihn Aemen Pengntr Pengntr Mteri Contoh

Lebih terperinci

MODUL 2 DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

MODUL 2 DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS MODUL DETERMINN DN INVERS MTRIKS.. Determinn Definisi. (Determinn) Untuk setip mtriks berukurn n x n, yng dikitkn dengn sutu bilngn rel dengn sift tertentu dinmkn determinn, dengn notsi dri determinn mtriks

Lebih terperinci

IRISAN KERUCUT. 1. Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari r. Persamaan = TK titik T = =

IRISAN KERUCUT. 1. Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari r. Persamaan = TK titik T = = IRISAN KERUCUT Bb 9 A. LINGKARAN. Persmn lingkrn dengn pust (0,0) dn jri-jri r 0 r T(x,y) X Persmn = TK titik T = { T / OT r } = = {( x, y) / r } {( x, y) / r }. Persmn lingkrn dengn pust (,b) dengn jri-jri

Lebih terperinci

MATEMATIKA IPA PAKET B KUNCI JAWABAN SOAL

MATEMATIKA IPA PAKET B KUNCI JAWABAN SOAL MATEMATIKA IPA PAKET KUNCI JAWAAN SOAL. Jwn : Mislkn p: ir sungi jernih q: Tidk terkndung zt pencemr r: Semu ikn tidk mti Diperoleh : Premis : p q Premis : ~r ~q q r Jdi, kesimpuln dri premis-premis terseut

Lebih terperinci

SOAL LATIHAN UJIAN NASIONAL 2015 SMA NEGERI 8 JAKARTA

SOAL LATIHAN UJIAN NASIONAL 2015 SMA NEGERI 8 JAKARTA SOAL LATIHAN UJIAN NASIONAL 0 SMA NEGERI 8 JAKARTA. Dierikn premis-premis segi erikut: Premis : Jik urh hujn tinggi dn irigsi uruk, mk tnmn pdi memusuk Premis : Tnmn pdi tidk memusuk tu petni menderit

Lebih terperinci

Integral. Konstanta dari Integrasi. Integral Tak Tentu. AntiTurunan (Antiderivative)

Integral. Konstanta dari Integrasi. Integral Tak Tentu. AntiTurunan (Antiderivative) Integrl AntiTurunn (Antiderivtive) AntiTurunn dri seuh fungsi f dl seuh fungsi F sedemikin hingg Dierikn Pd Peltihn Guru-Guru Aceh Jy 5 Septemer 0 Oleh: Ridh Ferdhin, M.Sc F f E. AntiTurunn dri f ( ) 6

Lebih terperinci

PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc.

PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc. PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 8 JULI s.d. 0 AGUSTUS 00 SUKU BANYAK Oleh: Fdjr Shdiq, M.App.Sc. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN

Lebih terperinci

1. HUKUM SAMBUNGAN KIRCHOFF (HUKUM KIRCHOFF I) 2. HUKUM CABANG KIRCHOFF (HUKUM KIRCHOFF II)

1. HUKUM SAMBUNGAN KIRCHOFF (HUKUM KIRCHOFF I) 2. HUKUM CABANG KIRCHOFF (HUKUM KIRCHOFF II) MATA KULIAH KODE MK Dosen : FISIKA DASAR II : EL-22 : Dr. Budi Mulynti, MSi Pertemun ke-6 CAKUPAN MATERI. HUKUM SAMBUNGAN KIRCHOFF (HUKUM KIRCHOFF I) 2. HUKUM CABANG KIRCHOFF (HUKUM KIRCHOFF II) SUMBER-SUMBER:.

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic Sudrtno Sudirhm Studi Mndiri Fungsi dn Grfik Drpublic BAB 8 Fungsi Logritm turl, Eksponensil, Hiperbolik 8.. Fungsi Logrithm turl. Definisi. Logritm nturl dlh logritm dengn menggunkn bsis bilngn e. Bilngn

Lebih terperinci

UJIAN BERSAMA SMA KABUPATEN TANAH DATAR SEMESTER 1 TAHUN PELAJARAN 2008/2009

UJIAN BERSAMA SMA KABUPATEN TANAH DATAR SEMESTER 1 TAHUN PELAJARAN 2008/2009 - 5-5-5 55-5 - Biologi Mtemtik Bhs. Indonesi Kimi Bhs.Inggris UJIAN BERSAMA SMA KABUPATEN TANAH DATAR SEMESTER TAHUN PELAJARAN / Mt Peljrn : MATEMATIKA Kels/jurusn : XI/ Ilmu-ilmu Alm Hri/Tnggl : Wktu

Lebih terperinci

BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA ILUSTRASI Sony kn membeli sebuh motor secr kredit, ketentun yng ditwrkn oleh perushn lesing dlh, ung muk sebesr Rp.500.000,00 dn ngsurn perbulnny sebesr Rp 365.000,00

Lebih terperinci

Muatan Pada Konstruksi

Muatan Pada Konstruksi Mutn Pd Konstruksi Konstruksi sutu ngunn sellu diciptkn untuk dn hrus dpt menhn ergi mcm mutn. Mutn yng dimksud dlh mutn yng terseut dlm Perturn Mutn Indonesi 197 NI 18. ergi mcm mutn tergntung pd perencnn,

Lebih terperinci

tema 1 diri sendiri liburan ke kota

tema 1 diri sendiri liburan ke kota tem 1 diri sendiri liburn ke kot ku nik ke kels 2 selm liburn ku dijk ke kot ku berlibur ke rumh kkek di kot bnyk kendrn d bus tksi dn sebginy ku meliht bus bernomor 105 d pul tksi bernomor 153 ku bis

Lebih terperinci

Kompetensi 2 (Bagian 2) PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

Kompetensi 2 (Bagian 2) PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Kometensi (Bgin PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Menentukn Jenis Akr-Akr Persmn Kudrt Menggunkn Diskriminn (D Bentuk Umum: D = - 4c + x + c ; 0 Pengertin: x = α dlh kr-kr ersmn + x + c α

Lebih terperinci

BAB III MATRIKS

BAB III MATRIKS BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunn dn Integrl Tk Tentu Persmn Diferensil Sederhn Notsi Sigm dn Lus Derh di Bwh Kurv Integrl Tentu Teorem Dsr Klkulus Sift-sift Integrl Tentu Leih Lnjut Sustitusi dlm Penghitungn

Lebih terperinci

Metoda Penyelesaian Pendekatan

Metoda Penyelesaian Pendekatan Metod Elemen Hingg Dlm Hidrulik Bb 3 Dsr Pertm: Metod Penyelesin Pendektn Ir. Djoko Luknnto, M.Sc., Ph.D. milto:luknnto@ugm.c.id I. Tig Lngkh Pokok (hl.54). Bentuk sebuh penyelesin pendektn Û. Optimsikn

Lebih terperinci

17. PROGRAM LINEAR. A. Persamaan Garis Lurus. (x 2, y 2 ) (0, a) y 2. y 1. (x 1, y 1 ) (b, 0) X. x 1

17. PROGRAM LINEAR. A. Persamaan Garis Lurus. (x 2, y 2 ) (0, a) y 2. y 1. (x 1, y 1 ) (b, 0) X. x 1 17. PROGRAM LINEAR A. Persmn Gris Lurus y 1 (x 1, y 1 ) y 2 y 1 (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (0, ) 0 x 1 x 1 0 x 2 (b, 0) 0 b. Persmn gris yng bergrdien m dn mellui titik (x 1, y 1 ) dlh: y y 1 = m(x x 1 )

Lebih terperinci

,, % ,, % -0: 0 -0: 0! 2 % 26, &

,, % ,, % -0: 0 -0: 0! 2 % 26, & PERSAMAAN LINIER GAUSS-SIEDEL METHOD Simultneous Liner Equtions Oleh : Purwnto,S.Si Bentuk Umum x + x + 3 x 3 + + n x n = b Sebuh persmn linier dengn : n peubh : x, x, x 3,, x n n konstnt :,, 3,, n Contoh

Lebih terperinci