Konsep Teori Bahasa dan Otomata

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Konsep Teori Bahasa dan Otomata"

Transkripsi

1 Konsep Teori Bhs dn Otomt Teori hs dn otomt merupkn slh stu mt kulih yng wji di jurusnjurusn teknik informtik mupun ilmu komputer. Teori hs dn otomt merupkn mt kulih yng cenderung ersift teoritis tidk memut hl-hl yng prktis untuk diterpkn lngsung dlm prktik. Mnft lngsung dri mt kulih teori hs dn otomt kn kit dptkn ketik mempeljri mt kulih Teknik Kompilsi. Bhs di dlm kmus dlh sutu sistem yng meliputi pengekspresin ggsn, fkt, konsep, termsuk sekumpuln simol-simol dn turn untuk melkukn mnipulsiny. Bhs is jug diseut segi rngkin simol-simol yng mempunyi mkn. Otomt merupkn sutu sistem yng terdiri ts sejumlh erhingg stte, di mn stte menytkn informsi mengeni input. Otomt jug dinggp segi mesin otomtis (ukn mesin fisik yng merupkn sutu model mtemtik dri sutu sistem yng menerim input dn menghsilkn output, sert terdiri dri sejumlh erhingg stte. Huungn di ntr hs dn otomt dlh hs dijdikn segi input oleh sutu mesin otomt, selnjutny mesin otomt kn memut keputusn yng mengindiksikn pkh input itu diterim tu tidk. Mislny, kit memiliki seuh mesin sederhn yng menerim input kt dlm hs Indonesi, hl ini is diliht pd gmr erikut ini.

2 2 q q d q q 3 2 d u q 5 q 4 Pd gmr di ts, il mesin mendpt string input erikut.. d : diterim 2. du : diterim 3. dd : ditolk Seuh string input diterim il mencpi stte khir / finl stte yng disn digmrkn dengn lingkrn gnd. Mesin ini memiliki 6 stte, { q, q, q 2, q 3, q 4, }, yng mn dlh himpunn stte yng d pd mesin itu. Stte wl dri mesin dlh q. { q 3, }dlh himpunn stte khir / finl. Sedngkn himpunn simol input dlh {, d, u}. q 4 q 5 Hirrki Chomsky Tt hs (grmmr is didefinisikn secr forml segi kumpuln dri himpunn-himpunn vriel, simol-simol terminl, simol wl, yng ditsi oleh turn-turn produksi. Pd thun 959, seorng hli ernm Nom Chomsky melkukn penggolongn tingktn hs menjdi empt, yng diseut dengn hirrki Chomsky. Penggolongn terseut is diliht pd tel erikut.

3 3 Bhs Mesin Otomt Btsn Aturn Produksi Regulr Finite Stte Automt (FSA α dlh seuh simol meliputi Deterministic Finite vriel. Automt (DFA & Non β mksiml memiliki seuh Deterministic Finite Automt (NFA simol vriel yng il d terletk di posisi pling knn Bes Konteks / Context Free Push Down Automt (PDA α erup seuh simol vriel Context Sensitive Linier Bounded Automt α β Unrestricted / Phse Structure / Nturl Lnguge Mesin Turing Tidk d tsn Secr umum tt hs dirumuskn segi : α β, yng errti α menghsilkn β tu α menurunkn β. Di mn α menytkn simol-simol pd rus kiri turn produksi (seelh kiri tnd dn β menytkn simol-simol pd rus knn turn produksi (seelh knn tnd Simol vriel / non terminl dlh simol yng msih is diturunkn dn ditndi dengn huruf esr seperti A, B, C, dst. Simol terminl dlh simol yng sudh tidk is diturunkn dn ditndi dengn huruf kecil seperti,, c, dst.

4 4 Tt Bhs Regulr Aturn : - Simol pd Seelh kiri hrus erup seuh simol vriel - Simol pd seelh knn mksiml hny memiliki seuh simol vriel dn il d terletk di posisi pling knn. Contoh : A (Diterim B (Ditolk, kren simol pd seelh kiri hrus erup seuh simol vriel A B (Diterim A C (Diterim A Bc (Ditolk, kren simol vriel pd seelh knn hrus erd pd posisi pling knn A cd (Diterim A CD (Ditolk, kren simol pd seelh knn mksiml hny memiliki seuh simol vriel A c (Ditolk, kren simol pd seelh kiri hrus erup seuh simol vriel Tentukn pkh produksi-produksi erikut memenuhi turn tt hs Regulr. A 2. B db 3. B C 4. B C 5. B Ad 6. B cdef 7. B cdefg 8. A S 9. A SS. A є

5 5. Ad db Tt Bhs Bes Konteks Aturn : - Simol pd Seelh kiri hrus erup seuh simol vriel Contoh : A (Diterim A B (Diterim A C (Diterim A Bc (Diterim A BcD (Diterim A AAA (Diterim (Ditolk, kren simol pd seelh kiri hrus erup seuh simol vriel A c (Ditolk, kren simol pd seelh kiri hrus erup seuh simol vriel AB c (Ditolk, kren simol pd seelh kiri hrus erup seuh simol vriel Tentukn pkh turn produksi-produksi erikut memenuhi turn tt hs es konteks.. A S 2. A Ace 3. A 4. A є 5. B cdef 6. B cdefg 7. A S 8. A SS

6 6 9. A BCDEF. Ad db. A AAAAA 2. d A Tt Bhs Context Sensitive Aturn : - Simol pd Seelh kiri hrus miniml d seuh simol vriel - Jumlh simol pd rus seelh kiri hrus leih kecil tu sm dengn jumlh simol pd rus knn Contoh : A c (Diterim A cd (Diterim AB CD (Diterim ABC DE (Ditolk, kren jumlh simol pd rus seelh kiri leih yk dri jumlh simol pd rus knn A cde (Diterim A cd (Diterim (Ditolk, kren simol pd seelh kiri hrus miniml d seuh simol vriel Tentukn pkh produksi-produksi erikut memenuhi turn tt hs context sensitive.. B cdefg 2. A S 3. A SS 4. A BCDEF 5. Ad db 6. A є

7 7 7. AB є 8. d 9. d є. C DE. cdef ghijkl 2. AB cde 3. AAA BBB Tt Bhs Unrestricted Aturn : - Simol pd Seelh kiri hrus miniml d seuh simol vriel Contoh : Acdef g (Diterim BCdE GHIJKL (Diterim cdef GHIJKL (Ditolk, kren simol pd seelh kiri tidk d seuh simol vriel Tentukn pkh produksi-produksi erikut memenuhi turn tt hs unrestricted.. A є 2. AB є 3. d 4. d є 5. C DE 6. AB cde 7. e 8. ABCDEFG h 9. A CDEFGH

8 8 Finite Stte Automt Finite Stte Automt / Stte Otomt erhingg, selnjutny kit seut segi FSA, uknlh mesin fisik tetpi sutu model mtemtik dri sutu sistem yng menerim input dn output diskrit. Finite Stte Automt merupkn mesin otomt dri hs regulr. Sutu Finite Stte Automt memiliki stte yng nykny erhingg, dn dpt erpindh-pindh dri sutu stte ke stte lin. Secr forml finite stte utomt dinytkn oleh 5 tupel tu M=(Q, Σ, δ, S, F, di mn : Q = himpunn stte / kedudukn Σ = himpunn simol input / msukn / jd δ = fungsi trnsisi S = stte wl / kedudukn wl (initil stte F = himpunn stte khir Finite Stte Automt yng memiliki tept stu stte erikutny untuk setip simol msukn yng diterim diseut Deterministic Finite Automt. Segi contoh, kit memiliki seuh otomt seperti pd gmr di wh ini. q q q 2

9 9 Konfigursi Deterministic Finite Automt di ts secr forml dinytkn segi erikut. Q = { q, q, q 2 } Σ = {,} S = q F = { q 2 } Fungsi trnsisi yng d segi erikut. d(q, = q d(q, = q d(q, = q d(q, = q 2 d(q 2, = q d(q 2, = q 2 Bisny fungsi-fungsi trnsisi ini kit sjikn dlm seuh tel trnsisi. Tel trnsisi terseut menunjukkn stte-stte erikutny untuk kominsi stte-stte dn input. Tel trnsisi dri fungsi trnsisi di ts segi erikut. δ q q q q q q 2 q 2 q q 2 Contoh lin is diliht pd gmr di wh ini.,

10 Tel trnsisi dri gmr di ts dlh segi erikut δ q q q q q q Sol : Butlh tel trnsisi dri Deterministic Finite Automt erikut. q q q q 2 3 Konversi dri Tel Trnsisi ke Digrm Trnsisi Selikny, Kit jug dpt menggmr digrm trnsisi dri sutu tel trnsisi. δ q q q q q q Dengn S = q F = {q } Mk digrm trnsisiny dlh segi erikut.

11 , Contoh lin, terdpt tel trnsisi segi erikut. δ q q 2 q q q q q 2 q q Dengn S = q F = {q, q 2 } Digrm trnsisiny dpt kit liht pd gmr di wh ini. 2 Sol : Gmrkn digrm trnsisi dri Deterministic Finite Automt erikut. Q = {q, q, q 2 } Σ = {,} S = q F = {q } Tel trnsisi dri DFA terseut :

12 2 δ B q q q 2 q q 2 q q 2 q 2 q 2 Gmrkn digrm trnsisi dri Deterministic Finite Automt erikut. Q = {q, q, q 2, q 3 } Σ = {,} S = q F = {q, q, q 2 } Fungsi trnsisi dri DFA terseut : δ B q q q q q q 2 q 2 q q 3 q 3 q 3 q 2 Perhtikn pd contoh-contoh Deterministic Finite Automt pd contoh-contoh seelumny, terliht hw dri setip stte sellu tept d stu stte erikutny untuk setip simol input yng d. Bered hlny dengn Non Deterministic Finite Automt (NFA. Pd NFA, dri sutu input mungkin sj is dihsilkn leih dri stu stte erikutny.

13 3 Non Deterministic Finite Automt Non Deterministic Finite Automt didefinisikn pul dengn lim (5 tupel, sm seperti hlny pd Deterministic Finite Automt. Perhtikn contoh di wh ini.,, Perhtikn gmr di ts, il stte q mendpt input is erpindh ke stte q tu q, yng secr forml dinytkn : δ (q, = {q, q } Mk otomt ini diseut non-deterministik (tidk psti rhny. Bis kit liht tel trnsisiny seperti di wh ini. δ B q {q,q } {q } q {q } {q } Cttn : Perhtikn cr penulisn stte hsil trnsisi pd tel trnsisi untuk Non Deterministic Finite Automt digunkn kurung kurwl { dn } kren hsil trnsisiny merupkn sutu himpunn stte Contoh linny dpt ditunjukkn pd gmr di wh ini :

14 4 Kit is meliht tel trnsisiny di wh ini : δ B q {q } {q } q {q } Ø Seperti hlny pd Deterministic Finite Automt, pd Non Deterministic Finite Automt kit jug is memut digrm trnsisiny dri tel trnsisiny. Sol : Gmrlh digrm trnsisi untuk NFA erikut : Q = {q, q, q 2, q 3, q 4 } Σ = {,} S = q F = {q 2, q 4 } Fungsi trnsisi dri NFA terseut : δ q {q,q 3 } {q,q } q Ø {q 2 } q 2 {q 2 } {q 2 } q 3 {q 4 } Ø q 4 {q 4 } {q 4 } Gmrlh digrm trnsisi untuk NFA erikut : Q = {q, q } Σ = {,} S = q F = {q }

15 5 Fungsi trnsisi dri NFA terseut : δ q {q,q } {q } q Ø {q,q } Reduksi Jumlh Stte pd Finite Stte Automt Untuk sutu hs regulr, kemungkinn d sejumlh Deterministic Finite Automt yng dpt menerimny. Perednny hnylh jumlh stte yng dimiliki otomtotomt yng sling ekuivlen terseut. Tentu sj, dengn lsn keprktisn, kit memilih otomt dengn jumlh stte yng leih sedikit. Ssrn kit di sini dlh mengurngi jumlh stte dri sutu Finite Stte Automt, dengn tidk mengurngi kemmpunny semul untuk menerim sutu hs. Ad du uh istilh ru yng perlu kit kethui yitu :. Distinguishle yng errti dpt diedkn. 2. Indistinguishle yng errti tidk dpt diedkn.

16 6 Segi contoh kit ingin menyederhnkn DFA erikut. 2 4, 3 Lngkh-Lngkhny :. Identifiksilh setip kominsi stte yng mungkin : Kominsi stte yng mungkin dlh : (q, q (q, q 2 (q, q 3 (q, q 4 (q, q 2 (q, q 3 (q, q 4 (q 2, q 3 (q 2, q 4 (q 3, q 4 2. Stte yng erpsngn dengn stte khir (q 4 merupkn stte yng distinguishle

17 7 (q, q (q, q 2 (q, q 3 (q, q 4 : Distinguishle (q, q 2 (q, q 3 (q, q 4 : Distinguishle (q 2, q 3 (q 2, q 4 : Distinguishle (q 3, q 4 : Distinguishle 3. Untuk psngn stte yng lin jik msing-msing stte mendpt input yng sm, mk il stu stte mencpi stte khir dn yng lin tidk mencpi stte khir mk diktkn distinguishle. Untuk (q, q : δ (q, = q 3 δ (q, = q 4 δ (q, = q δ (q, = q 2 Mk (q, q : Distinguishle Untuk (q, q 2 : δ (q, = q 3 δ (q 2, = q 4

18 8 δ (q, = q δ (q 2, = q Mk (q, q 2 : Distinguishle Untuk (q, q 3 : δ (q, = q 3 δ (q 3, = q 4 δ (q, = q δ (q 3, = q 2 Mk (q, q 3 : Distinguishle Untuk (q, q 2 δ (q, = q 4 δ (q 2, = q 4 δ (q, = q 2 δ (q 2, = q Mk (q, q 2 : Indistinguishle Untuk (q, q 3 δ (q, = q 4 δ (q 3, = q 4 δ (q, = q 2 δ (q 3, = q 2 Mk (q, q 3 : Indistinguishle

19 9 Untuk (q 2, q 3 δ (q 2, = q 4 δ (q 3, = q 4 δ (q 2, = q δ (q 3, = q 2 Mk (q 2, q 3 : Indistinguishle 4. Mk Didptkn psngn stte segi erikut : (q, q : Distinguishle (q, q 2 : Distinguishle (q, q 3 : Distinguishle (q, q 4 : Distinguishle (q, q 2 : Indistinguishle (q, q 3 : Indistinguishle (q, q 4 : Distinguishle (q 2, q 3 : Indistinguishle (q 2, q 4 : Distinguishle (q 3, q 4 : Distinguishle 5. Kelompokkn psngn stte yng indistinguishle : (q, q 2 : Indistinguishle (q, q 3 : Indistinguishle (q 2, q 3 : Indistinguishle

20 2 6. Kren q indistinguishle dengn q 2 dn q 2 indistinguishle dengn q 3, mk is diktkn hw q, q 2, dn q 3 sling indistinguishle dn dpt dijdikn stu stte. 7. Sehingg hsil penyederhnnny dlh segi erikut :,, 23 4 Sol : Lkukn reduksi jumlh stte pd Deterministic Finite Automt pd gmr erikut. 3, 2 4 5,

21 2 Lkukn reduksi jumlh stte pd Deterministic Finite Automt erikut ,, 4 5, Pemhsn : Sol No.. Identifiksi setip kominsi stte yng mungkin : Kominsi stte yng mungkin : (q, q (q, q 2 (q, q 3 (q, q 4 (q, q 5 (q, q 2 (q, q 3 (q, q 4 (q, q 5 (q 2, q 3 (q 2, q 4

22 22 (q 2, q 5 (q 3, q 4 (q 3, q 5 (q 4, q 5 2. Stte yng erpsngn dengn stte khir (q 3 dn q 4 merupkn stte yng distinguishle. (q, q : (q, q 2 : (q, q 3 : Dis (q, q 4 : Dis (q, q 5 : (q, q 2 : (q, q 3 : Dis (q, q 4 : Dis (q, q 5 : (q 2, q 3 : Dis (q 2, q 4 : Dis (q 2, q 5 : (q 3, q 4 : (q 3, q 5 : Dis (q 4, q 5 : Dis 3. Untuk psngn stte yng lin jik msing-msing stte mendpt input yng sm, mk il stu stte mencpi stte khir dn yng lin tidk mencpi stte khir mk diktkn distinguishle.

23 23 Untuk (q, q δ (q, = q 2 δ (q, = q 3 δ (q, = q δ (q, = q 2 Mk (q, q : Distinguishle Untuk (q, q 2 δ (q, = q 2 δ (q 2, = q 4 δ (q, = q δ (q 2, = q 2 Mk (q, q 2 : Distinguishle Untuk (q, q 5 δ (q, = q 2 δ (q 5, = q 4 δ (q, = q δ (q 5, = q 5 Mk (q, q 5 : Distinguishle Untuk (q, q 2 δ (q, = q 3 δ (q 2, = q 4

24 24 δ (q, = q 2 δ (q 2, = q 2 Mk (q, q 2 : Indistinguishle Untuk (q, q 5 δ (q, = q 3 δ (q 5, = q 4 δ (q, = q 2 δ (q 5, = q 5 Mk (q, q 5 : Indistinguishle Untuk (q 2, q 5 δ (q 2, = q 4 δ (q 5, = q 4 δ (q 2, = q 2 δ (q 5, = q 5 Mk (q, q 5 : Indistinguishle Untuk (q 3, q 4 δ (q 3, = q 3 δ (q 4, = q 4 δ (q 3, = q 3 δ (q 4, = q 4

25 25 Mk (q 3, q 4 : Indistinguishle 4. Mk didptkn psngn stte segi erikut. (q, q : Dis (q, q 2 : Dis (q, q 3 : Dis (q, q 4 : Dis (q, q 5 : Dis (q, q 2 : Indis (q, q 3 : Dis (q, q 4 : Dis (q, q 5 : Indis (q 2, q 3 : Dis (q 2, q 4 : Dis (q 2, q 5 : Indis (q 3, q 4 : Indis (q 3, q 5 : Dis (q 4, q 5 : Dis 5. Kelompokkn psngn stte yng indistinguishle (q, q 2 : Indis (q, q 5 : Indis (q 2, q 5 : Indis (q 3, q 4 : Indis

26 26 6. Kren q dn q 2 indistinguishle dn q 2 indistinguishle dengn q 5 sert q jug indistinguishle dengn q 5. Mk is diktkn hw q, q 2, dn q 5 sling indistinguishle dn dpt dijdikn stu stte. Selin itu q 3 dn q 4 yng sling indistinguishle jug dpt dijdikn stu stte. Sehingg diperoleh :,, Sol No. 2. Identifiksilh setip kominsi stte yng mungkin : Kominsi setip stte yng mungkin : (q, q (q, q 2 (q, q 3 (q, q 4 (q, q 5 (q, q 6 (q, q 2 (q, q 3 (q, q 4 (q, q 5 (q, q 6 (q 2, q 3 (q 2, q 4 (q 2, q 5

27 27 (q 2, q 6 (q 3, q 4 (q 3, q 5 (q 3, q 6 (q 4, q 5 (q 4, q 6 (q 5, q 6 2. Stte yng erpsngn dengn stte khir (q, q 2, q 3, dn q 6 merupkn stte yng distinguishle. (q, q : Dis (q, q 2 : Dis (q, q 3 : Dis (q, q 4 : (q, q 5 : (q, q 6 : Dis (q, q 2 : (q, q 3 : (q, q 4 : Dis (q, q 5 : Dis (q, q 6 : (q 2, q 3 : (q 2, q 4 : Dis (q 2, q 5 : Dis (q 2, q 6 : (q 3, q 4 : Dis

28 28 (q 3, q 5 : Dis (q 3, q 6 : (q 4, q 5 : (q 4, q 6 : Dis (q 5, q 6 : Dis 3. Untuk psngn stte yng lin jik msing-msing stte mendpt input yng sm, mk il stu stte mencpi stte khir dn yng lin tidk mencpi stte khir mk diktkn distinguishle. Untuk (q, q 4 δ (q, = q 2 δ (q 4, = q 4 δ (q, = q δ (q 4, = q 5 Mk (q, q 4 : Distinguishle Untuk (q, q 5 δ (q, = q 2 δ (q 5, = q 5 δ (q, = q δ (q 5, = q 5 Mk (q, q 5 : Distinguishle Untuk (q, q 2 δ (q, = q 6

29 29 δ (q 2, = q 4 δ (q, = q 3 δ (q 2, = q 4 Mk (q, q 2 : Distinguishle Untuk (q, q 3 δ (q, = q 6 δ (q 3, = q 6 δ (q, = q 3 δ (q 3, = q 3 Mk (q, q 3 : InDistinguishle Untuk (q, q 6 δ (q, = q 6 δ (q 6, = q 4 δ (q, = q 3 δ (q 6, = q 4 Mk (q, q 6 : Distinguishle Untuk (q 2, q 3 δ (q 2, = q 4 δ (q 3, = q 6 δ (q 2, = q 4

30 3 δ (q 3, = q 3 Mk (q 2, q 3 : Distinguishle Untuk (q 2, q 6 δ (q 2, = q 4 δ (q 6, = q 4 δ (q 2, = q 4 δ (q 6, = q 4 Mk (q 2, q 6 : InDistinguishle Untuk (q 3, q 6 δ (q 3, = q 6 δ (q 6, = q 4 δ (q 3, = q 3 δ (q 6, = q 4 Mk (q 3, q 6 : Distinguishle Untuk (q 4, q 5 δ (q 4, = q 4 δ (q 5, = q 5 δ (q 4, = q 5 δ (q 5, = q 5 Mk (q 4, q 5 : InDistinguishle

31 3 4. Mk Didptkn psngn stte segi erikut. (q, q : Dis (q, q 2 : Dis (q, q 3 : Dis (q, q 4 : Dis (q, q 5 : Dis (q, q 6 : Dis (q, q 2 : Dis (q, q 3 : InDis (q, q 4 : Dis (q, q 5 : Dis (q, q 6 : Dis (q 2, q 3 : Dis (q 2, q 4 : Dis (q 2, q 5 : Dis (q 2, q 6 : InDis (q 3, q 4 : Dis (q 3, q 5 : Dis (q 3, q 6 : Dis (q 4, q 5 : InDis (q 4, q 6 : Dis (q 5, q 6 : Dis 5. Kelompokkn psngn stte yng indistinguishle (q, q 3 : InDis (q 2, q 6 : InDis

32 32 (q 4, q 5 : InDis 6. q, q 3 sling indistinguishle q 2, q 6 sling indistinguishle q 4 dn q 5 jug sling indistinguishle. 7. Sehingg diperoleh penyederhnn segi erikut.,, Ekuivlensi Non-Deterministic Finite Automt ke Deterministic Finite Automt Dri seuh mesin Non-Deterministic Finite Automt dpt diut mesin Deterministic Finite Automt-ny yng ekuivlen (ersesuin. Ekuivlen di sini rtiny mmpu menerim hs yng sm. Segi contoh, kn diut Deterministic Finite Automt dri Non-Deterministic Finite Automt erikut. q, q Dikethui Σ = {,}

33 33 Adpun lngkh-lngkhny dlh segi erikut.. Butlh tel trnsisi dri digrm trnsisi di ts. δ q {q,q } {q } q Ø {q,q } 2. Butlh digrm trnsisi untuk finite stte utomt dri tel trnsisi di ts.. Kit muli dri stte wl yitu q { } Cttn : Perhtikn hw di sini pd gmr setip stte kit tuliskn segi himpunn stte. Selnjutny, kit telusuri leih lnjut tentng q, yitu : Bil stte q mendpt input menjdi stte {q,q } Bil stte q mendpt input menjdi stte {q }, seperti yng tmpk pd gr. { q } { q } { q q },

34 34 c. Selnjutny kit telusuri untuk stte q, yitu : Bil stte q mendpt input mk menjdi stte Ø Bil stte q mendpt input mk menjdi stte {q,q }, sehingg diperoleh gr. { q } { q } Ø { q q, } d. Selnjutny kit telusuri untuk stte {q,q }, yng merupkn penggungn dri stte q dn stte q, sehingg hsil stte {q,q } merupkn penggungn dri hsil stte q dn stte q. Bil stte q mendpt input menjdi stte {q,q } Bil stte q mendpt input mk menjdi stte Ø Sehingg diperoleh jik stte {q,q } mendpt input menjdi stte {q,q } Bil stte q mendpt input menjdi stte {q } Bil stte q mendpt input mk menjdi stte {q,q } Sehingg diperoleh jik stte {q,q } mendpt input menjdi stte {q,q } Mk digrm trnsisi menjdi :

35 35 { q } { q } Ø { q q },, e. Selnjutny kit telusuri stte Ø, yitu : Bil stte Ø mendpt input dn mk tetp menghsilkn Ø Sehingg diperoleh digrm trnsisi erikut. { q }, { q } Ø { q q },,

36 36 Contoh lin, utlh DFA dri NFA erikut :, Dikethui Σ = {,} Tel Trnsisi untuk NFA pd gmr di ts dlh segi erikut. δ q {q,q } {q } q Ø Ø Mesin Deterministic Finite Automt yng ekuivlen dlh segi erikut. { },, { } Ø {, }

37 37 Butlh DFA dri NFA erikut. Dikethui Σ = {,} Tel trnsisi untuk NFA pd gmr di ts dlh segi erikut. δ q Ø Ø Mesin DFA yng ekuivlen dlh segi erikut., { }, Ø Butlh DFA dri NFA erikut. Dikethui Σ = {p,r} p r 2 p p, r Tel trnsisiny dlh segi erikut. δ p R q {q,q 2 } Ø q Ø {q 2 } q 2 {q } {q }

38 38 Mesin DFA dri NFA erikut dlh segi erikut. r p p { } { } { }, 2 p r Ø p, r r p, r { 2 } Sol :. Butlh Deterministic Finite Automt yng ekuivlen dengn Non Deterministic Finite Automt erikut. Q = {p, q, r, s} Σ = {, } S = p F = {s} Fungsi trnsisiny dinytkn dlm tel trnsisi erikut. δ p {p, q} {p} q {r} {r} r {s} - s s s 2. Butlh Deterministic Finite Automt yng ekuivlen dengn Non-Determinitic Finite Automt erikut. Q = {p, q, r, s} Σ = {, } S = p

39 39 F = {q, s} Fungsi trnsisiny dinytkn dlm tel trnsisi erikut. δ p {q, s} {q} q {r} {q, r} r {s} {p} s - {p} 3. Butlh Deterministic Finite Automt yng ekuivlen dengn Non Deterministic Finite Automt erikut. Q = {q, q, q 2 } Σ = {, } S = q F = { q } Fungsi trnsisiny dinytkn dlm tel trnsisi erikut. δ q {q } { q 2 } q {q } Ø q 2 { q, q } { q } 4. Butlh Deterministic Finite Automt yng ekuivlen dengn Non-Determnistic Finite Automt erikut. Q = {q, q, q 2 } Σ = {, } S = q F = { q }

40 4 Fungsi trnsisiny dinytkn dlm tel trnsisi erikut. δ q {q, q 2 } { q 2 } q {q } { q 2 } q 2 Ø { q, q 2 } Non Deterministic Finite Automt dengn є Move Di sini kit mempunyi jenis otomt ru yng diseut Non Deterministic Finite Automt dengn є Move ( є di sini is dinggp segi empty. Pd Non deterministic Finite Automt dengn є move (trnsisi є, diperolehkn menguh stte tnp memc input. Diseut dengn trnsisi є kren tidk ergntung pd sutu input ketik melkukn trnsisi. Contoh : є 2 є є 3 4 Penjelsn gmr : - Dri q tnp memc input dpt erpindh ke q - Dri q tnp memc input dpt erpindh ke q 2 - Dri q 4 tnp memc input dpt erpindh ke q

41 4 Є Closure untuk Sutu Non-Deterministic Finite Automt dengn Є Move Є Closure dlh himpunn stte-stte yng dpt dicpi dri sutu stte tnp memc input. Perhtikn gmr seelumny, mk diperoleh : Є Closure ( q = { q, q 2 } Є Closure (q 2 = { q 2 } Є Closure ( q 3 = { q 3 } Contoh lin, dpt diliht pd gmr di wh ini. є 2 є є 3 4 Dri gmr di ts, kit kethui Є Closure untuk setip stte dlh segi erikut. Є Closure ( q = { q, q, q 3 } Є Closure ( q = { q, q 3 } Є Closure ( q 2 = { q 2, q 4 } Є Closure ( q 3 = { q 3 } Є Closure ( q 4 = { q 4 } Cttn : Perhtikn hw pd sutu stte yng tidk memiliki trnsisi є, mk є closure ny dlh stte itu sendiri

42 42 Ekuivlensi Non Deterministic Finite Automt dengn Є Move ke Non- Deterministic Finite Automt tnp Є-Move Dri seuh Non-Deterministic Finite Automt dengn є move dpt kit peroleh Non Deterministic Finite Automt tnp є move yng ekuivlen. Contohny, il kit puny NFA є move, seperti pd gmr di wh ini. є 2 3 Dri NFA є move di ts, kn diut NFA yng ekuivlen. Butlh tel trnsisi dri NFA є move di ts. δ q Ø Ø q {q 2 } {q 3 } q 2 Ø Ø q 3 Ø Ø 2. Tentukn є-closure untuk setip stte Є Closure ( q = { q, q } Є Closure ( q = { q } Є Closure ( q 2 = { q 2 } Є Closure ( q 3 = { q 3 } 3. Crilh setip fungsi trnsisi hsil dri penguhn NFA є move ke NFA tnp є move. Fungsi trnsisi itu ditndi dengn simol δ

43 43 δ (q, δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q 2 = { q 2 } = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q 3 = { q 3 } δ (q, δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q 2 = { q 2 } = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q 2 = { q 3 } δ (q 2, δ (q 2, = є_cl (δ (є_cl(q 2, = є_cl (Ø = Ø = є_cl (δ (є_cl(q 2, = є_cl (Ø = Ø δ (q 3, δ (q 3, = є_cl (δ (є_cl(q 3, = є_cl (Ø = Ø = є_cl (δ (є_cl(q 3, = є_cl (Ø = Ø

44 44 4. Butlh tel trnsisi dri fungsi trnsisi yng telh diut pd lngkh seelumny. δ q {q 2 } {q 3 } q {q 2 } {q 3 } q 2 Ø Ø q 3 Ø Ø 5. Kemudin, tentuknlh himpunn stte khir untuk NFA tnp є move ini. Himpunn stte khir semul dlh {q 3 }. Kren tidk d stte lin yng є closure ny memut q 3, mk himpunn stte khir sekrng tetp {q 3 }. Sehingg diperoleh digrm trnsisi segi erikut. 2 3

45 45 Contoh lin : q є q є q 2. Butlh tel trnsisi dri NFA є move di ts. δ q { q } Ø q Ø {q 2 } q 2 Ø {q 2 } 2. Tentukn є-closure untuk setip stte Є Closure ( q = { q, q } Є Closure (q = { q } Є Closure (q 2 = { q, q, q 2 } 3. Crilh setip fungsi trnsisi hsil dri penguhn NFA є move ke NFA tnp є move. Fungsi trnsisi itu ditndi dengn simol δ δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q = { q, q } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q 2 = { q, q, q 2 }

46 46 δ (q, δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (Ø = Ø = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q 2 = { q, q, q 2 } δ (q 2, δ (q 2, = є_cl (δ (є_cl(q 2, = є_cl (q = { q, q } = є_cl (δ (є_cl(q 2, = є_cl (q 2 = { q, q, q 2 } 4. Butlh tel trnsisi dri fungsi trnsisi yng telh diut pd lngkh seelumny. δ q { q, q } { q, q, q 2 } q Ø { q, q, q 2 } q 2 { q, q } { q, q, q 2 } 5. Kemudin, tentuknlh himpunn stte khir untuk NFA tnp є move ini. Himpunn stte khir semul dlh {q }. Kit liht є_cl (q 2 = { q, q, q 2 }, mk himpunn stte khir sekrng dlh {q, q 2 }. Sehingg diperoleh digrm trnsisi segi erikut.

47 47 q, q,, q 2, Contoh Lin, q є q Σ = {}. Butlh tel trnsisi dri NFA є move di ts. δ q { q } q Ø 2. Tentukn є-closure untuk setip stte Є Closure ( q = { q, q } Є Closure (q = { q } 3. Crilh setip fungsi trnsisi hsil dri penguhn NFA є move ke NFA tnp є move. Fungsi trnsisi itu ditndi dengn simol δ δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q

48 48 = { q, q } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (Ø = Ø 4. Butlh tel trnsisi dri fungsi trnsisi yng telh diut pd lngkh seelumny. δ q { q, q } q Ø 5. Kemudin, tentuknlh himpunn stte khir untuk NFA tnp є move ini. Himpunn stte khir semul dlh {q }. Kit liht є_cl (q = { q, q }, mk himpunn stte khir sekrng dlh {q, q }. Sehingg diperoleh digrm trnsisi segi erikut. Sol :. Butlh NFA tnp є move yng ekuivlen dengn NFA є Move pd gmr erikut ini. Σ = {,, 2} 2 є 2 є

49 49 2. Butlh NFA tnp є Move yng ekuivlen dengn NFA є Move pd gmr di wh ini. Σ = {, } є 3. Butlh NFA tnp є Move yng ekuivlen dengn NFA є Move pd gmr di wh ini. Σ = {, } є 2 є Jw :. Butlh tel trnsisi dri NFA є move di ts. δ 2 q {q } Ø Ø q Ø {q } Ø q 2 Ø Ø {q 2 } Tentukn є-closure untuk setip stte Є Closure ( q = { q, q, q 2 } Є Closure (q = { q, q 2 } Є Closure (q 2 = {q 2 }

50 5 δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q = { q, q, q 2 } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q = {q, q 2 } δ (q, 2 = є_cl (δ (є_cl(q,2 = є_cl (q 2 = {q 2 } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (Ø = { Ø } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q = {q, q 2 } δ (q, 2 = є_cl (δ (є_cl(q,2 = є_cl (q 2 = {q 2 } δ (q 2, = є_cl (δ (є_cl(q 2, = є_cl (Ø = { Ø } δ (q 2, = є_cl (δ (є_cl(q 2, = є_cl (Ø

51 5 = { Ø } δ (q 2, 2 = є_cl (δ (є_cl(q 2,2 = є_cl (q 2 = {q 2 } δ 2 q {q, q, q 2 } {q, q 2 } { q 2 } q Ø {q, q 2 } { q 2 } q 2 Ø Ø { q 2 } Himpunn stte khir dlh {q, q, q 2 } 2. Butlh tel trnsisi dri NFA є move di ts. δ q { q } Ø q Ø { q } Tentukn є-closure untuk setip stte Є Closure ( q = { q, q } Є Closure (q = { q } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q = { q, q } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q

52 52 = { q, q } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (Ø = { Ø } δ (q, = є_cl (δ (є_cl(q, = є_cl (q = { q, q } δ q { q, q } { q, q } q Ø { q, q } Penggungn dn Konktensi Finite Stte Automt A. Penggungn Finite Stte Automt Pd du mesin Finite Stte Automt, mislkn M dn M 2 dpt dilkukn penggungn yng menghsilkn mesin M3 dengn cr :. Tmhkn stte wl untuk M 3, huungkn dengn stte wl M dn stte wl M 2 menggunkn trnsisi є. 2. Tmhkn stte khir untuk M 3, huungkn dengn stte-stte khir M dn stte-stte khir M 2 menggunkn trnsisi є. A A Gmr Mesin M

53 53 B B Gmr Mesin M 2 Adpun hsil penggungn dri Mesin M dn M 2 dpt diliht pd gmr di wh ini. є A A є S f є B B є B. Konktensi Finite Stte Automt Pd du mesin Finite Stte Automt, mislkn M dn M 2 dpt dilkukn konktensi yng menghsilkn mesin M 4 dengn cr :. Stte wl M menjdi stte wl M 4 2. Stte-stte khir M 2 menjdi stte khir M 4 3. Huungkn stte-stte khir M dengn stte wl M 2 menggunkn trnsisi є. Kit dpt meliht hsil opersi konktensi ini pd gmr di wh ini. S є A B f

54 54 Sol :. Bil dikethui L (M dlh hs yng diterim oleh M pd gmr, dn L(M 2 dlh hs yng diterim oleh M 2 pd gmr 2. Dikethui L(M 3 = L(M + L(M 2, sert L(M 4 = L(M L(M 2. Gmrkn :. Mesin M 3 yng menerim hs L(M 3.. Mesin M 4 yng menerim hs L(M 4. Mesin M, 2 Mesin M 2 Jw :.. Tmhkn stte wl untuk M 3, huungkn dengn stte wl M dn stte wl M 2 menggunkn trnsisi є. 2. Tmhkn stte khir untuk M 3, huungkn dengn stte-stte khir M dn stte-stte khir M 2 menggunkn trnsisi є.

55 55 q s є є q q A q A, qb є q B2 є q f.. Stte wl M menjdi stte wl M 4 2. Stte-stte khir M 2 menjdi stte khir M 4 3. Huungkn stte-stte khir M dengn stte wl M 2 menggunkn trnsisi є. s, A є B B f 2. Bil dikethui L (M dlh hs yng diterim oleh M pd gmr, dn L(M 2 dlh hs yng diterim oleh M 2 pd gmr 2. Dikethui L(M 3 = L(M + L(M 2, sert L(M 4 = L(M L(M 2. Gmrkn :. Mesin M 3 yng menerim hs L(M 3.. Mesin M 4 yng menerim hs L(M 4.

56 56 q q q 2 Mesin M Mesin M 2 Jw :.. Tmhkn stte wl untuk M 3, huungkn dengn stte wl M dn stte wl M 2 menggunkn trnsisi є. 2. Tmhkn stte khir untuk M 3, huungkn dengn stte-stte khir M dn stte-stte khir M 2 menggunkn trnsisi є.

57 57 є A A s A2 є f є є B B.. Stte wl M menjdi stte wl M 4 2. Stte-stte khir M 2 menjdi stte khir M 4 3. Huungkn stte-stte khir M dengn stte wl M 2 menggunkn trnsisi є. s A2 A є B f

58 58 Ekspresi Regulr Seuh hs dinytkn regulr jik terdpt finite stte utomt yng dpt menerimny. Bhs-hs yng diterim oleh sutu finite stte utomt is dinytkn secr sederhn dengn ekspresi regulr. Contoh pemkin ekspresi regulr dlh pd perncngn sutu text editor. Notsi Ekspresi Regulr Notsi Ekspresi Regulr yng sering dipki dlh segi erikut.. * yitu krkter sterisk, yng errti is tidk muncul, is jug muncul leih dri stu kli yitu miniml muncul stu kli 3. + tu errti union 4.. (Titik errti konktensi, isny titik is dihilngkn. Mislny : ermkn sm seperti.. Contoh ekspresi regulr (selnjutny kit singkt segi ER dlh segi erikut. ER : * cc Contoh string yng dingkitkn : cc, cc, cc, cc, cc ( is tidk muncul tu muncul sejumlh erhingg kli. ER : * Contoh string yng dingkitkn :,,, (jumlh diujung is tidk muncul, is muncul erhingg kli. ER : * d Contoh string yng dingkitkn : d, d, d, d ER : + d Contoh string yng dingkitkn : d, d, d ER : * * (ingt errti tu Contoh string yng dingkitkn :,,,,,,, ER : Contoh string yng dingkitkn :, ER : * +

59 59 Contoh string yng dingkitkn :,,,, Huungn Ekspresi Regulr dn Finite Stte Automt є 3 NFA є move untuk ER : є 2 NFA є move untuk ER : * є 2 3 є є 4 5 є NFA є move untuk ER : 2 NFA untuk ER :

60 6 2 NFA untuk ER : 2 NFA untuk ER : *, 2 NFA untuk ER : (, NFA untuk ER : ( * 2 NFA untuk ER : *

61 6 NFA untuk ER : * * NFA untuk ER : * NFA untuk ER : ( * NFA untuk ER : ( * Deskripsikn dlm hs Indonesi himpunn string yng diterim oleh Finite Stte Automt seperti dlm : 2

62 62 q q q 3 q 2 q Jw : * * * * ( * * ( * * ( * * Aturn Produksi untuk Sutu Tt Bhs Regulr Btsn turn produksi untuk hs regulr : α β Sutu tt hs (grmmr didefinisikn dengn 4 Tupel yitu : V, T, P, dn S Di mn, V = Himpunn simol vriel / non terminl T = Himpunn simol terminl P = Kumpuln turn produksi S = Simol wl Segi contoh terdpt Mesin FSA erikut

63 63 є є Mesin finite stte utomt pd gmr di ts memiliki simol input dn. Simol dn kn menjdi simol terminl pd turn produksi yng kn kit entuk. Mislny kit tentukn simol wl dlh S. Kit identikkn S dengn stte wl q. Dri q mendpt input menjdi q. Bis kit tuliskn segi turn produksi : S E Di sini kit gunkn segi E dn ukn A kren menytkn gin yng elum terngkitkn muli dri stte q. Dri q mendpt trnsisi є (tnp menerim input ke q 2 dn q 3. Bis kit tuliskn : E A E B (Di sini kit identikkn q 2 segi A dn q 3 segi B Dri q 2 jik mendpt input menuju ke stte q 2 itu sendiri dn jik mendpt input menuju ke stte q 4 yng merupkn stte khir dn tidk menuju ke stte yng linny sehingg dpt dituliskn menjdi : A A A

64 64 Dri q 3 jik mendpt input menuju ke stte q 3 itu sendiri dn jik mendpt input jug menuju ke stte q 4 yng merupkn stte khir dn tidk menuju ke stte yng linny sehingg dpt dituliskn menjdi : B B B Kumpuln turn produksi yng kit peroleh is kit tuliskn segi erikut. S E E A B A A B B Secr forml tt hs yng diperoleh dri otomt dlh segi erikut. V = {S, E, A, B} T = {, } P = { S E, E A B, A A, B B } S = S Contoh lin dpt diliht pd gmr di wh ini. q q 2 q q 4 q 3 q q 5 6

65 65 Kit is mengkonstruksi turn produksi untuk otomt terseut. T = {, } S = S Kit muli dri stte wl yitu q yng dlm hl ini dilmngkn dengn S. - Bil S mendpt input mk menuju ke q yng dlm hl ini dilmngkn dengn A. S A - Bil S mendpt input mk menuju ke q 4 yng dlm hl ini dilmngkn dengn B. S B - Kren q dlm hl ini segi stte khir dn msih memiliki trnsisi kelur, mk untuk menndknny segi stte khir kit ut : S є Kemudin setelh itu kit liht q yng tdi telh kit lmngkn segi A. - Jik A mendpt input mk menuju q 2 yng dlm hl ini dilmngkn segi C. A C Kemudin kit liht q 4 yng telh kit identikkn segi B. - Jik B mendpt input mk menuju ke q 5 yng kit lmngkn segi D. B D Kemudin kit liht q 2 yng telh kit lmngkn segi C. - Jik C mendpt input mk menuju ke q 3 (Tetpi kren q 3 tidk mempunyi trnsisi kelur dn ukn merupkn stte khir mk dpt kit ikn. - Jik C mendpt input mk menuju ke S. C S Kemudin kit liht q 5 yng telh kit lmngkn segi D. - Jik D mendpt input mk menuju ke S.

TEORI BAHASA DAN AUTOMATA

TEORI BAHASA DAN AUTOMATA MODUL IX TEORI BAHASA DAN AUTOMATA Tujun :. Mhsisw memhmi turn produksi sutu finite stte utomt dn dpt merekonstruksi kemli FSA dri sutu hs reguler. 2. Mhsisw mengenl pengemngn leih juh dri sutu mesin otomt

Lebih terperinci

TEORI BAHASA DAN AUTOMATA

TEORI BAHASA DAN AUTOMATA MODUL VII TEORI BAHASA DAN AUTOMATA Tujun : Mhsisw memhmi ekspresi reguler dn dpt menerpknny dlm ergi penyelesin persoln. Mteri : Penerpn Ekspresi Regulr Notsi Ekspresi Regulr Huungn Ekspresi Regulr dn

Lebih terperinci

TEORI BAHASA DAN OTOMATA FINITE STATE AUTOMATA (FSA)

TEORI BAHASA DAN OTOMATA FINITE STATE AUTOMATA (FSA) TEORI BAHASA DAN OTOMATA FINITE STATE AUTOMATA (FSA) Finite Stte Automt Seuh Finite Stte Automt dlh: Model mtemtik yng dpt menerim input dn mengelurkn output Kumpuln terts (finite set) dri stte (kondisi/kedn).

Lebih terperinci

IV. NFA Dengan ε - Move. Pada NFA dengan ε move (transisi ε ) diperbolehkan merubah state

IV. NFA Dengan ε - Move. Pada NFA dengan ε move (transisi ε ) diperbolehkan merubah state IV. NFA Dengn - Move Pd NFA dengn move (trnsisi ) diperolehkn meruh stte tnp memc input. Diktkn dengn trnsisi kren tidk ergntung pd sutu input ketik melkukn trnsisi. Contoh : q, q Penjelsn : Dri q tnp

Lebih terperinci

IAH IAAH I H HAAH xaah I A b x2ah x23h I A 3 x23b H 2

IAH IAAH I H HAAH xaah I A b x2ah x23h I A 3 x23b H 2 GRMMR CONTEXT-FREE DN PRING entuk umum produksi CFG dlh :, V N, (V N V T )* nlisis sintks dlh penelusurn seuh klimt (tu sentensil) smpi pd simol wl grmmr. nlisis sintks dpt dilkukn mellui derivsi tu prsing.

Lebih terperinci

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b 1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,

Lebih terperinci

Relasi Ekuivalensi dan Automata Minimal

Relasi Ekuivalensi dan Automata Minimal Relsi Ekuivlensi dn Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Semester Gnjil 01 Jum t, 1.11.01 Dosen pengsuh: Kurni Sputr ST, M.Sc Emil: kurni.sputr@gmil.com Jurusn Informtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm

Lebih terperinci

MODUL 3: FINITE AUTOMATA

MODUL 3: FINITE AUTOMATA Diktt Kulih: Finite utomt uthor: Suryn Setiwn, MSc., Fk. Ilmu Komputer UI MODUL 3: FINITE UTOMT DEFINISI F Sutu Finite utomton (F) tu kdng-kdng diseut Finite Stte utomton (FS) dlh mesin yng dpt mengeni

Lebih terperinci

BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN

BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN. Anlisis Arus Cng Anlisis rus cng memnftkn hukum Kirchoff I (KCL) dn hukum Kirchoff I (KVL). Contoh - Tentukn esr rus dlm loop terseut dn gimn rh rusny? Ohm 0V 0V Ohm 0V

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri

Lebih terperinci

NFA. Teori Bahasa dan Automata. Viska Mutiawani - Informatika FMIPA Unsyiah

NFA. Teori Bahasa dan Automata. Viska Mutiawani - Informatika FMIPA Unsyiah NFA Teori Bhs dn Automt Visk Mutiwni - Informtik FMIPA Unsyih 1 NFA NFA: Nondeterministic Finite Automt Atu Automt Hingg NonDeterministik (AHND) Slh stu bentuk dri Finite Automt NFA memiliki kemmpun untuk

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 30 Oktober 2013

Hendra Gunawan. 30 Oktober 2013 MA MATEMATIKA A Hendr Gunwn Semester I, 2/24 Oktoer 2 Ltihn. Fungsi g =,, terintegrlkn pd [, ]. Nytkn integrl tentu g pd [, ] segi limit jumlh Riemnn dengn prtisi reguler, dn hitunglh niliny. //2 c Hendr

Lebih terperinci

BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN

BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom

Lebih terperinci

BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR

BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn

Lebih terperinci

PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum

PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Ksus Mksimum Untuk menyelesikn Persoln Progrm Linier dengn Metode Simpleks untuk fungsi tujun memksimumkn dn meminimumkn crny ered Model mtemtik dri Permslhn Progrm Linier dpt

Lebih terperinci

MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...

MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)... MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris

Lebih terperinci

BAB VI PEWARNAAN GRAF

BAB VI PEWARNAAN GRAF 85 BAB VI PEWARNAAN GRAF 6.1 Pewrnn Simpul Pewrnn dri sutu grf G merupkn sutu pemetn dri sekumpuln wrn ke eerp simpul (vertex) yng d pd grf G sedemikin sehingg simpul yng ertetngg memiliki wrn yng ered.

Lebih terperinci

LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan

LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn

Lebih terperinci

MATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01

MATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01 MATERI I : VEKTOR Pertemun-0. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keeptn, gy dn pergesern merupkn ontoh ontoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keeptn

Lebih terperinci

1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:

1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini: ) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut

Lebih terperinci

OSN 2015 Matematika SMA/MA

OSN 2015 Matematika SMA/MA Sol 5. Mislkn,, c, d dlh ilngn sli sehingg c d dn d c. Buktikn hw () (cd) mx{,}. Jw: Klim hw c. Jik = 1 mk jels memenuhi pernytn. Mislkn p prim dn = p t s dengn p s. Untuk menunjukkn hw c cukup kit tunjukkn

Lebih terperinci

Fungsi f dikatakan pada / onto / surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan

Fungsi f dikatakan pada / onto / surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan III FUNGSI 15 1. Definisi Fungsi Definisi 1 Mislkn dn dlh himpunn. Relsi iner f dri ke merupkn sutu fungsi jik setip elemen di dlm dihuungkn dengn tept stu elemen di dlm. Jik f dlh fungsi dri ke, mk f

Lebih terperinci

BAB III METODE METODE DEFUZZYFIKASI

BAB III METODE METODE DEFUZZYFIKASI Fuy Logi Metode Metode Deuyiksi BAB III METODE METODE DEFUYFIKASI Seperti yng telh dihs dlm, hw untuk meruh kelurn uy menjdi nili risp mk diperlukn sutu proses yng leih dikenl dengn istilh deuyiksi Dlm

Lebih terperinci

E-LEARNING MATEMATIKA

E-LEARNING MATEMATIKA MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 9705 00 00 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn DIPA BLU UNY TA 00 Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor

Lebih terperinci

METODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.

METODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1. 1. Anlisis Arus Cng METODE ANALSS Metode rus ng dlh slh stu metode penyelesin nlisis rngkin il rngkin terdiri dri du tu leih sumer. Pd metode rus ng ini, kn diperoleh rus pd setip ng dri sutu rngkin yng

Lebih terperinci

Suku banyak. Akar-akar rasional dari

Suku banyak. Akar-akar rasional dari Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd

Lebih terperinci

INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:

INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut: INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh

Lebih terperinci

(c) lim. (d) lim. (f) lim

(c) lim. (d) lim. (f) lim FMIPA - ITB. MA Mtemtik A Semester, 6-7. Pernytn enr dn slh. () ()! e Solusi. Benr. Fungsi eksonensil (enyeut) memesr leih cet drid fungsi olinom (emilng) sehingg emginny menghsilkn nili Dengn Hoitl s

Lebih terperinci

IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran

IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi elips.. Memhmi unsur-unsur elips. 3. Memhmi eksentrisits

Lebih terperinci

Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu

Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu Integrl Tk Tentu dn Integrl Tertentu Pengertin Integrl Jik F dlh fungsi umum yng ersift F = f, mk F merupkn ntiturunn tu integrl dri f. Pengintegrln fungsi f terhdp dinotsikn segi erikut : f d F c notsi

Lebih terperinci

CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a

CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu

Lebih terperinci

VEKTOR. seperti AB, AB, a r, a, atau a.

VEKTOR. seperti AB, AB, a r, a, atau a. VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor. 3. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn rn genng, dn turn poligon. 4. Menghitung

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum

ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.

Lebih terperinci

GRAFIK ALIRAN SINYAL

GRAFIK ALIRAN SINYAL GRAFIK ALIRAN SINYAL PENGANTAR Grfik lirn sinl merupkn sutu pendektn ng digunkn untuk menjikn dinmik sistem pengturn. Grfik lirn sinl merupkn sutu digrm ng mewkili seperngkt persmn ljr linier. Untuk mengnlisis

Lebih terperinci

TELAAH TEORITIS FINITE STATE AUTOMATA DENGAN PENGUJIAN HASIL PADA MESIN OTOMATA

TELAAH TEORITIS FINITE STATE AUTOMATA DENGAN PENGUJIAN HASIL PADA MESIN OTOMATA Widysri TELAAH TEORITIS FINITE STATE AUTOMATA DENGAN PENGUJIAN HASIL PADA MESIN OTOMATA WIDYASARI Sekolh Tinggi Mnjemen Informtik dn Komputer Pontink Progrm Studi Teknik Informtik Jl.Merdek No.372 Pontink,

Lebih terperinci

3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA.. Pngkt Pngkt dri seuh ilngn dlh sutu indeks ng menunjukkn nkn perklin ilngn ng sm secr eruntun. Notsi n errti hw hrus diklikn degn itu sendiri senk n kli. Notsi ilngn erpngkt

Lebih terperinci

selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik

selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik Hiperol 7.1. Persmn Hiperol Bentuk Bku Hiperol dlh himpunn semu titik (, ) pd idng sedemikin hingg selisih positif jrk titik (, ) terhdp psngn du titik tertentu ng diseut titik fokus (foci) dlh tetp. Untuk

Lebih terperinci

AUTOMATA SEBAGAI MODEL PENGENAL BAHASA

AUTOMATA SEBAGAI MODEL PENGENAL BAHASA JMP : Volume Nomor Oktober 9 AUTOMATA SEBAGAI MODEL PENGENAL BAHASA Eddy Mrynto Fkults Sins dn Teknik Universits Jenderl Soedirmn Purwokerto Indonesi emil: eddy_mrynto@unsoed.c.id Abstrct. A deterministic

Lebih terperinci

Graf Berarah (Digraf)

Graf Berarah (Digraf) Grf Berrh (Digrf) Di dlm situsi yng dinmis, seperti pd komputer digitl tupun pd sistem lirn (flow system), konsep grf errh leih sering digunkn dindingkn dengn konsep grf tk errh. Apil rus sutu grf errh

Lebih terperinci

1. Pengertian Matriks

1. Pengertian Matriks BAB MATRIKS BAB MATRIKS. Pengertin Mtriks. Opersi Mtriks. Trnspose Sutu Mtriks. Kesmn Duh Buh Mtriks. Jenis-Jenis Mtriks. Trnsformsi Elementer 7. Rnk Mtriks . Pengertin Mtriks Mtriks dlh dftr ilngn yng

Lebih terperinci

02. OPERASI BILANGAN

02. OPERASI BILANGAN 0. OPERASI BILANGAN A. Mm-mm Bilngn Rel Dlm kehidupn sehri-hri dn dlm mtemtik ergi keterngn seringkli menggunkn ilngn yng is digunkn dlh ilngn sli. Bilngn dlh ungkpn dri penulisn stu tu eerp simol ilngn.

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis

Lebih terperinci

A x = b apakah solusi x

A x = b apakah solusi x MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.

Lebih terperinci

MODUL 4 PEUBAH ACAK. Peubah acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang sampel ke bilangan Real. X : S R

MODUL 4 PEUBAH ACAK. Peubah acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang sampel ke bilangan Real. X : S R MODUL 4 EUBAH ACAK engntr Sutu percon melempr mt ung yng setimng senyk kli. Rung smpel dri percon terseut dlh S= { AAA, AGG, AGA, AAG, GAG, GGA, GAA, GGG } Sutu kejdin A : dri ketig lemprn nykny gmr sejumlh

Lebih terperinci

RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:

RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi: INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi

Lebih terperinci

Pengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik :

Pengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik : MATRIKS Segi gmrn wl mengeni mteri mtriks mri kit ermti urin erikut ini. Dikethui dt hsil penjuln tiket penerngn tujun Medn dn Sury dri seuh gen tiket selm empt hri erturut-turut disjikn dlm tel erikut.

Lebih terperinci

- - RELASI DAN FUNGSI - - dlp2fungsi

- - RELASI DAN FUNGSI - - dlp2fungsi 804 Mtemtik Relsi dn Fungsi - - RELASI DAN FUNGSI - - Modul ini singkron dengn Apliksi Android, Downlod mellui Ply Store di HP Kmu, ketik di penrin dlpfungsi Jik Kmu kesulitn, Tnykn ke tentor gimn r downlodny.

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:

Lebih terperinci

Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1

Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1 K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd

Lebih terperinci

E-LEARNING MATEMATIKA

E-LEARNING MATEMATIKA MOUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYAIN EKO RAHARJO, M.P. NIP. 7 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn IPA BLU UNY TA Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor./H./PL/ Tnggl Juli

Lebih terperinci

1. Identitas Trigonometri. 1. Identitas trigonometri dasar berikut ini merupakan hubungan kebalikan.

1. Identitas Trigonometri. 1. Identitas trigonometri dasar berikut ini merupakan hubungan kebalikan. 1. Identits Trigonometri Pengertin Identits Trigonometri dlh kesmn yng memut entuk trigonometri dn erlku untuk semrng sudut yng dierikn. Jenis Identits Trigonometri 1. Identits trigonometri dsr erikut

Lebih terperinci

6. Himpunan Fungsi Ortogonal

6. Himpunan Fungsi Ortogonal 6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn

Lebih terperinci

matematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran

matematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi dn unsur-unsur hiperol.. Dpt menentukn persmn

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!!

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 00 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 00 Prestsi itu dirih ukn didpt!!! SOLUSI SOAL Bidng Mtemtik Disusun oleh : Olimpide Mtemtik Tk Kupten/Kot 00 BAGIAN PERTAMA.

Lebih terperinci

INTEGRAL TAK TENTU. x x x

INTEGRAL TAK TENTU. x x x INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh

Lebih terperinci

E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )

E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Matriks Dan Sistem Persamaan Linier

Sudaryatno Sudirham. Matriks Dan Sistem Persamaan Linier Sudrytno Sudirhm Mtriks Dn Sistem Persmn inier hn Kulih Teruk dlm formt pdf tersedi di www.uku-e.lipi.go.id dlm formt pps ernimsi tersedi di www.ee-cfe.org Mtrik dlh susunn tertur ilngn-ilngn dlm ris

Lebih terperinci

DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.

DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0. DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn

Lebih terperinci

7. APLIKASI INTEGRAL

7. APLIKASI INTEGRAL 7. APLIKASI INTEGRAL 7. Menghitung Lus Derh.Mislkn derh D (, ), f ( ) D f() Lus D =? Lngkh :. Iris D menjdi n gin dn lus stu uh irisn dihmpiri oleh lus persegi pnjng dengn tinggi f() ls(ler) A f ( ). Lus

Lebih terperinci

INTEGRAL. 1. Macam-macam Integral. Nuria Rahmatin TIP L. A. Integral Tak Tentu

INTEGRAL. 1. Macam-macam Integral. Nuria Rahmatin TIP L. A. Integral Tak Tentu INTEGRAL Nuri Rhmtin 5000006 TIP L. Mcm-mcm Integrl A. Integrl Tk Tentu Integrl dlh entuk invers dri turunn. Secr umum jik seuh fungsi diintegrlkn terhdp vrile tertentu dpt disjikn dlm entuk : f ( F( C

Lebih terperinci

Bahasa Formal PDA yang Diterima Bahasa Bebas Konteks. Pertemuan Ke-13. Sri Handayaningsih, S.T., M.T. Teknik Informatika

Bahasa Formal PDA yang Diterima Bahasa Bebas Konteks. Pertemuan Ke-13. Sri Handayaningsih, S.T., M.T.   Teknik Informatika Bhs Forml PDA yng Diterim Bhs Bes Konteks Pertemun Ke-3 ri Hndyningsih.T. M.T. Emil : ning_s2@yhoo.com Teknik Inormtik TIU & TIK Memhmi konsep PDA yng diterim oleh CFG ntr lin :. PDA untuk CFG 2. Deterministik

Lebih terperinci

BAB II ELEMEN-ELEMEN RANGKAIAN

BAB II ELEMEN-ELEMEN RANGKAIAN BAB II ELEMEN-ELEMEN RANGKAIAN 2. Elemen-Elemen Rngkin Elemen-elemen rngkin d yng diseut segi elemen ktif (sumer tegngn dn sumer rus) yitu : elemen yng siftny mmpu menylurkn energy ke rngkin. Selin itu

Lebih terperinci

Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.

Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A. Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu

Lebih terperinci

PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.

PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1. PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn

Lebih terperinci

BILANGAN BULAT. 1 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

BILANGAN BULAT. 1 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika BILANGAN BULAT. Oprersi Hitung pd Bilngn Bult Bilngn ult (integer) memut semu ilngn cch dn lwn (negtif) ilngn sli, yitu:,, 4,,, 1, 0, 1, 2, 3, 4,, Bilngn ult disjikn dlm gris ilngn segi erikut. Bilngn

Lebih terperinci

Integral Kompleks (Bagian Kesatu)

Integral Kompleks (Bagian Kesatu) Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR UMUM. Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd. Disusun oleh :

RUANG VEKTOR UMUM. Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd. Disusun oleh : RUNG VEKTOR UMUM Dosen Pengmpu : Drmdi S.Si M.Pd Disusun oleh : 1. gung Dwi Chyono (84.56) 2. rdie Kusum (84.73) 3. Heri Chyono (84.145) 4. Lingg Nio Prdn (84.18) 5. Yudh Sofyn Mhmudi (84.293) PROGRM STUDI

Lebih terperinci

r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.

r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat. Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi

Lebih terperinci

Deterministic Finite Automata (DFA) Non-Deterministic Automata (NFA)

Deterministic Finite Automata (DFA) Non-Deterministic Automata (NFA) Deterministic Finite Automt (DFA) Non-Deterministic Automt (NFA) Pertemun Ke-4 Sri Hndyningsih, S.T., M.T. Emil : ning_s12@yhoo.com Teknik Informtik 1 TIU dn TIK 1. Mengethui perbedn ntr DFA dn NFA 2.

Lebih terperinci

INTEGRAL. y dx. x dy. F(x)dx F(x)dx

INTEGRAL. y dx. x dy. F(x)dx F(x)dx Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om INTEGRAL PENGERTIAN Bil dikethui : = F() + C mk = F () dlh turunn dri sedngkn dlh integrl (nti turunn) dri dn dpt digmrkn : differensil differensil Y Y Y Integrl

Lebih terperinci

Percobaan RANGKAIAN RESISTOR, HUKUM OHM DAN PEMBAGI TEGANGAN. (Oleh : Sumarna, Lab-Elins, Jurdik Fisika FMIPA UNY)

Percobaan RANGKAIAN RESISTOR, HUKUM OHM DAN PEMBAGI TEGANGAN. (Oleh : Sumarna, Lab-Elins, Jurdik Fisika FMIPA UNY) Percon ANGKAIAN ESISTO, HUKUM OHM DAN PEMBAGI TEGANGAN (Oleh : Sumrn, L-Elins, Jurdik Fisik FMIPA UNY) E-mil : sumrn@un.c.id) 1. Tujun 1). Mempeljri cr-cr merngki resistor. 2). Mempeljri wtk rngkin resistor.

Lebih terperinci

PEMBAHASAN. A. Teorema Pythagoras 1. Luas persegi dan luas segitiga siku-siku Perhatikan Gambar 1! D. Gambar 1

PEMBAHASAN. A. Teorema Pythagoras 1. Luas persegi dan luas segitiga siku-siku Perhatikan Gambar 1! D. Gambar 1 PEMBAHASAN A. Teorem Pythgors 1. Lus persegi dn lus segitig siku-siku Perhtikn Gmr 1! D s A s B Gmr 1 Pd gmr terseut tmpk seuh persegi ABD yng pnjng sisiny s stun pnjng. Lus persegi ABD = sisi sisi L =

Lebih terperinci

VII. INTERAKSI GEN. Enzim C

VII. INTERAKSI GEN. Enzim C VII. INTERKSI GEN 7.1. SIMULSI (Lporn per Kelompok). Ltr elkng Huungn ntr ciri-ciri pd sutu sift tidk sellu huungn dominn resesif. Terdpt ksus hw ciri yng muncul pd tnmn F1 ternyt ukn merupkn ciri dri

Lebih terperinci

Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII

Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl

Lebih terperinci

7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }.

7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }. 7. Rung L (, b) Rung L (, b) didefinisikn sebgi rung semu fungsi f yng kudrtny terintegrlkn pd [, b], ykni L (, b) := {f : b f(x) dx < }. Rung ini menckup fungsi-fungsi f yng tk terbts pd [, b] tetpi f

Lebih terperinci

MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.

MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn

Lebih terperinci

Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :

Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh : TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut

Lebih terperinci

A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS

A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom

Lebih terperinci

Vektor translasi dpt ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks kolom

Vektor translasi dpt ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks kolom TRANSFORMASI GEOMETRI BAB Sutu trnsformsi idng dlh sutu pemetn dri idng Krtesius ke idng ng lin tu T : R R (,) ( ', ') Jenis-jenis trnsformsi ntr lin : Trnsformsi Isometri itu trnsformsi ng tidk menguh

Lebih terperinci

DETERMINAN. Matematika Industri I. TIP FTP UB Mas ud Effendi. Matematika Industri I

DETERMINAN. Matematika Industri I. TIP FTP UB Mas ud Effendi. Matematika Industri I DETERMINAN Mtemtik Industri I TIP FTP UB Ms ud Effendi Mtemtik Industri I Pokok Bhsn Determinn Determinn orde-ketig Persmn simultn dengn tig ilngn tidk dikethui Konsistensi sutu set persmn Sift-sift determinn

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2013 TINGKAT KABUPATEN

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2013 TINGKAT KABUPATEN www.sip-osn.blogspot.com @Mret 0 PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 0 TINGKAT KABUPATEN. B. x ( x ) ( x + )( x ) ( x ( ) )( x ) ( x + )( x )( x + )( x ) (d fktor) Tidk d penjelsn tentng fktor hrus bilngn

Lebih terperinci

Tujuan Pembelajaran. ) pada elips. 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (x 1

Tujuan Pembelajaran. ) pada elips. 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (x 1 K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (,

Lebih terperinci

IV V a b c d. a b c d. b c d. bukan fungsi linier y = x = x y 5xy + y = B.2 Konsep Fungsi Linier

IV V a b c d. a b c d. b c d. bukan fungsi linier y = x = x y 5xy + y = B.2 Konsep Fungsi Linier 8. Dri fungsi-fungsi ng disjikn dengn digrm pnh erikut ini mnkh ng merupkn fungsi onto, injektif tu ijektif, jik relsi dri A ke B? A c d IV B A c d V B A c d VI B B. Konsep Fungsi Linier. Tujun Setelh

Lebih terperinci

TEORI DEFINITE INTEGRAL

TEORI DEFINITE INTEGRAL definite integrl & lus yog.prihstomo TEORI DEFINITE INTEGRAL Definisi : Jik y = f(x) dlh fungsi kontinu dn terdefinisi dlm intervl tertutup [,] sehingg lim n n i= f ( xi). Δxi d (mempunyi nili), mk definite

Lebih terperinci

MODUL 6. Materi Kuliah New_S1

MODUL 6. Materi Kuliah New_S1 MODUL 6 Mteri Kulih New_S1 KULIAH 10 Spnning tree dn minimum spnning tree - Definisi spnning tree T diktkn spnning tree dri grph terhubung G bil T dlh sutu tree yng vertexvertexny sm dengn vertexny G dn

Lebih terperinci

5. Tampilan Menu Dosen terdiri dari beberapa bagian, yaitu:

5. Tampilan Menu Dosen terdiri dari beberapa bagian, yaitu: 1. Almt Server : http://si.unmuh..id/unmuh 2. Stndr Kode Thun Akdemik: 3. Tmpiln depn seperti terliht pd gmr erikut: 4. Inputkn Kode Login dn Pssword yng dierikn oleh Administrtor SIA (huungi Pust Sistem

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0

Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn

Lebih terperinci

Tiara Ariqoh Bawindaputri TIP / kelas L

Tiara Ariqoh Bawindaputri TIP / kelas L Tir Ariqoh Bwindputri 500008 TIP / kels L INTEGRAL Integrl Tk tentu Integrl dlh entuk invers dri turunn. Secr umum jik seuh fungsi diintegrlkn terhdp vrile tertentu dpt disjikn dlm entuk : f ( F( C Untuk

Lebih terperinci

kimia LARUTAN PENYANGGA K e l a s Kurikulum 2013 A. Pengenalan Larutan Penyangga dan Penggunaannya

kimia LARUTAN PENYANGGA K e l a s Kurikulum 2013 A. Pengenalan Larutan Penyangga dan Penggunaannya Kurikulum 2013 kimi K e l s XI LARUTAN PENYANGGA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi pengertin lrutn penyngg dn penggunnny dlm kehidupn sehri-hri.

Lebih terperinci

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS : thereiveni.wordpre.om NM : KELS : BB TRIGONOMETRI thereiveni.wordpre.om Pengukurn Sudut d du tun pengukurn udut yitu : derjt dn rdin Stun derjt Definii : = putrn 36 Ingt : putrn = 36 Jdi : putrn = 8 putrn

Lebih terperinci

, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, (3) Bilangan rasional melibatkan hasil bagi dua bilangan bulat, seperti. 04, tidak termasuk bilangan rasional

, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, (3) Bilangan rasional melibatkan hasil bagi dua bilangan bulat, seperti. 04, tidak termasuk bilangan rasional Diktt Kulih TK Mtemtik BAB PENDAHULUAN. Sistem Bilngn Rel Terdpt eerp sistem ilngn itu: ilngn sli, ilngn ult, ilngn rsionl, ilngn irrsionl, dn ilngn rel. Msing-msing ilngn itu segi erikut. ) Bilngn sli

Lebih terperinci

RUMUS HERON DAN RUMUS BRAHMAGUPTA

RUMUS HERON DAN RUMUS BRAHMAGUPTA RUMUS HERON DAN RUMUS BRAHMAGUPTA Sumrdyono, M.Pd. Topik lus bngun dtr telh dipeljri sejk di Sekolh Dsr hingg SMA. Bil di SD, dipeljri lus segitig dn beberp bngun segiempt mk di SMP dipeljri lebih lnjut

Lebih terperinci

BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN

BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut

Lebih terperinci

adalah biaya marginal dari C terhadap Q x adalah biaya marginal dari C terhadap Q y Umumnya biaya marginal adalah positif C

adalah biaya marginal dari C terhadap Q x adalah biaya marginal dari C terhadap Q y Umumnya biaya marginal adalah positif C A. endhulun. Seperti telh dikethui hw diferensil memhs tentng tingkt peruhn sehuungn dengn peruhn kecil dlm vrile es fungsi ersngkutn. Dengn diferensil dpt dikethui kedudukn-kedudukn khusus dri fungsi

Lebih terperinci

Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1

Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1 Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr

Lebih terperinci

2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1

2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1 . Hitunglh 7 5. : b. 5 : c. 8 : 6 d. 8 9 7 7 7 5 77 77 77. : c. 8 : 6 : 6 6 9 9 9 6 54 8 40 7 b. 5: 5 d. 4: 4: 4 6 8 7 95 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik 4 :. Pmn mempunyi sebidng tnh yng lusny

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. f tidak semua bernilai nol dan a, b, disebut persamaan kuadrat di dalam variabel. atau disebut juga permukaan kuadrat;

BAB 1 PENDAHULUAN. f tidak semua bernilai nol dan a, b, disebut persamaan kuadrat di dalam variabel. atau disebut juga permukaan kuadrat; PENDHULUN. Ltr elkng Dlm memhs permslhn-permslhn sttistik dn fisik sering dijumpi nlis-nlis mslh ng menngkut fungsi-fungsi non linier, misln mengeni entuk-entuk kudrt. entuk kudrt ng is digmrkn pd rung

Lebih terperinci

UJIAN BERSAMA SMA KABUPATEN TANAH DATAR SEMESTER 1 TAHUN PELAJARAN 2008/2009. Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/jurusan : XII/IPS Hari/Tanggal :

UJIAN BERSAMA SMA KABUPATEN TANAH DATAR SEMESTER 1 TAHUN PELAJARAN 2008/2009. Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/jurusan : XII/IPS Hari/Tanggal : UJIN ERSM SM KUPTEN TNH DTR SEMESTER THUN PELJRN / Mt Peljrn : MTEMTIK Kels/jurusn : XII/IPS Hri/Tnggl : Wktu : menit Pilihlh slh stu jwn ng dinggp pling enr dn tept!. d c c c c. Jik F '( ) dn F () mk

Lebih terperinci