OSN 2015 Matematika SMA/MA

Transkripsi

1 Sol 5. Mislkn,, c, d dlh ilngn sli sehingg c d dn d c. Buktikn hw () (cd) mx{,}. Jw: Klim hw c. Jik = 1 mk jels memenuhi pernytn. Mislkn p prim dn = p t s dengn p s. Untuk menunjukkn hw c cukup kit tunjukkn p t. Krent c d mk p c. Sekrng perhtikn hw t < p t p t s =. Akitny p t p Kren p c mk p c. Dengn demikin p t c. Jdi c dn dengn cr serup d. Kren, mx{, } mk c c mx{,} dn d d mx{,}. Akitny (cd) mx{,}. Skem Penilin Mengklim hw c (1 poin) Memuktikn klim (4 poin) Tidk memuktikn keenrn klim untuk = (-1 poin) Menggunkn klim untuk menunjukkn hw (cd) mx{,} (2 poin) 1

2 Sol 6. Dierikn segitig lncip ABC dengn titik pust lingkrn lur O. Gris AO memotong lingkrn lur segitig ABC lgi di titik D. Mislkn P titik pd sisi BC. Gris mellui P tegk lurus AP memotong gris DB dn DC erturut-turut di E dn F. Gris mellui D tegk lurus BC memotong EF di titik Q. Buktikn hw EQ = F Q jik dn hny jik BP = CP. Jw: A E O Q B P F C D R Pertm, ABE = AP E = 90, mk A, P, B, E terletk pd stu lingkrn. Serup dengn itu, A, P, C, F terletk pd stu lingkrn. Dengn demikin, AEP = ABC dn AF P = ACP. Jdi segitig AEF sengun dengn ABC. Kren EDF = 180 BAC = 180 EAF, mk AEDF segiempt tliusur. Mislkn gris AP memotong lingkrn lur segitig ABC lgi di titik R. Kit mempunyi RBC = RAC = P AC = P F D = EF D = EAD = EF D, RCB = RAB = P AB = P ED = F ED = F AD = F ED. Ingt ABD = 90 = ACD. Kren DQ BC, mk EDQ = 90 DBC = 90 DAC = ADC = ARC = P RC, F DQ = 90 DCB = 90 DAB = ADB = ARB = P RB. Kit pliksikn turn sinus, EQ F Q = EQ DQ DQ F Q = sin EDQ sin EF D = sin F ED sin F DQ sin P RC sin RBC sin RCB sin P RB = CP P R P R BP = CP BP. Dri sini kit simpulkn hw EQ = F Q jik dn hny jik CP = BP. 2

3 Skem Penilin 1. Memuktikn AEDF segiempt tlusur poin 2. Mendptkn kesmn sudut erikut: poin () RBC = EF D () RCB = F ED (c) EDQ = P RC (d) F DQ = P RB 3. Mendptkn EQ F Q = CP BP poin 3

4 Sol 7. Mislkn,, c ilngn rel positif. Buktikn ketksmn + c + c + + c + + c c c 3. Jw: Mislkn x = + c, y = c + dn z = +. Alterntif 1. Dengn ketksmn CS dn GM-HM, diperoleh xy = ( + c)( + c) = + c 2 + ( + c) + (c + ) + c =. + Dengn ketksmn CS, ( + c + ) (( + c) + (c + )) ( + ) 2 = z 2. c + Du ketksmn wl terseut memerikn + c + c + z xy. Trik kr, jumlhkn siklis, llu gunkn ketksmn AM-GM, diperoleh + c + c + z 3. 4 xy Alterntif 2. Pertm, ketksmn rent ekivlen dengn + c + c + c c ( 2 + c + ) + c + + c c = z x + z y. Dri ketksmn terseut dn ketksmn CS diperoleh 2 + c + ( z c + (1 + 1) x + z ) z z y x + y. Jumlhkn siklis dn gunkn ketksmn AM-GM, ( + c + c + 1 z 2 x + ) z 3. y Alterntif 3. Kit muli dengn ketksmn CS dn AM-GM, ( + c + ) = c( + ) c + ( + c)(c + ) 1 ( + 2 )2 + c( + ) ( + c)(c + ) z 2 xy 2xy 4 = 1. = z(x + y) 2xy

5 Terkhir, gunkn ketksmn AM-GM dn ketksmn di ts, kit peroleh ketksmn yng diinginkn. Skem Penilin. 1. Alterntif 1: () Sustitusi Rvi (1 poin) () Memnftkn ketksmn CS pd msing-msing suku di rus kiri... (2 poin) (c) Menyederhnkn ketksmn msing-msing suku terseut (2 poin) (d) Menggunkn AM GM untuk memperoleh ketksmn yng diinginkn.... (2 poin) 2. Alerntif 2: () Sustitusi Rvi (1 poin) () Memnftkn ketksmn Rent pd msing-msing suku di rus kiri(2 poin) (c) Menyederhnkn ketksmn msing-msing suku terseut dengn CS (2 poin) (d) Menggunkn AM GM untuk memperoleh ketksmn yng diinginkn.... (2 poin) 3. Alerntif 3: () Memnftkn ketksmn AM GM untuk menguh rus kiri ke dlm entuk perklin dn penyederhnnny (2 poin) () Menyederhnkn entuk perklin terseut dengn ketksmn CS...(2 poin) (c) Sustitusi Rvi (1 poin) (d) Menunjukkn entuk perklin terseut ernili leih dri (2 poin) 5

6 Dikethui d 3 gedung erentuk sm yng loksiny mementuk segitig sm sisi. Msing-msing gedung memiliki 2015 lnti dengn setip lntiny tept memiliki 1 jendel. Pd ketig gedung, setip lnti 1 tidk erpenghuni, sedngkn msing-msing lnti yng lin mempunyi tept stu penghuni. Semu jendel kn diwrni dengn slh stu dri wrn merh, hiju, tu iru. Sng penghuni msing-msing lnti pd sutu gedung dpt meliht wrn jendel pd kedu gedung yng lin untuk lnti yng sm dn stu lnti tept di whny, tetpi di tidk is meliht wrn jendel-jendel yng lin pd kedu gedung terseut. Selin itu, sng penghuni tidk dpt meliht wrn jendel dri lnti mnpun pd gedungny sendiri. Segi contoh, penghuni lnti 10 dpt meliht wrn jendel lnti 9 dn 10 untuk kedu gedung yng lin (totl 4 jendel) dn di tidk dpt meliht wrn jendel linny. Kit ingin mewrni jendel-jendel terseut gr setip penghuni dpt meliht pling sedikit 1 jendel dri setip wrn. Ad erp cr mewrni jendel-jendel terseut? Jw: Kit notsikn (x, y, z) untuk menytkn konfigursi hw untuk sutu lnti, gedung pertm erwrn x, gedung kedu erwrn y dn gedung ketig erwrn z, di mn x, y, z {M, H, B} yng melmngkn merh, hiju, iru. Kit notsikn jug A i, B i, C i erturut-turut segi penghuni lnti ke-i dri gedung pertm, kedu, dn ketig. Mislkn gedung memiliki n lnti, dengn n 2. Ad tig konfigursi lnti ke n 1 yng mungkin, untuk setip konfigursi kn kit tentukn konfigursi lnti ke n yng hrus terjdi. 1. Jik lnti ke n 1 memiliki ketig wrn yng ered, mislkn (M, H, B). Dn mislkn lnti ke n memiliki 2 wrn yng sm, mislkn 2 merh dn 1 wrn terserh (dinytkn dengn x). Jik lnti ke-n dlh (M, M, x) mk C n tidk meliht wrn iru. Jik (M, x, M) mk B n tidk meliht wrn hiju. Jik (x, M, M), mk gr B n meliht hiju, x hrus hiju. Nmun gr C n meliht iru, x hrus iru. Kontrdiksi. Jdi untuk ksus 1, lnti ke-n hrus memiliki 3 wrn. Leih lnjut lgi, mudh diliht hw jik lnti n 1 dlh (M, H, B) mk lnti ke n hruslh (H, B, M), (B, M, H) ykni semu wrn dirotsi serh tu melwn jrum jm. 2. Jik lnti ke n 1 memiliki 2 wrn yng sm dn 1 wrn lin, mislkn (M, M, H). Agr C n meliht iru dn hiju, mk lnti ke-n hrus erentuk (H, B, x) tu (B, H, x). Jik lnti ke-n dlh (H, B, x), gr B n meliht iru mk x hrus iru. Dpt diliht hw (H, B, B) memenuhi syrt gr A n, B n, C n dpt meliht ketig wrn. Secr sm jik lnti ke-n dlh (B, H, x) gr A n meliht iru mk x hrus iru. Mk lnti ke-n jug hrus memiliki 2 wrn yng sm dn 1 wrn lin. Jdi secr totl, jik lnti ke n 1 dlh (M, M, H) mk lnti ke n hruslh (H, B, B) tu (B, H, B). Berrti dpt kit simpulkn hw untuk setip lnti yng memiliki 2 wrn sm dn 1 wrn lin, d 2 kemungkinn untuk lnti di tsny. 3. Jik lnti ke n 1 memiliki 3 wrn yng sm, mislkn (M, M, M). Agr C n meliht iru dn hiju, mk lnti ke-n hrus erentuk (H, B, x) tu (B, H, x). Tnp kehilngn keumumn kit sumsikn (H, B, x). Sekrng jik x hiju mk B n tidk meliht iru, dn jik x iru mk A n tidk meliht hiju. Kontrdiksi. Jdi untuk ksus ke 3, tidk d pewrnn lnti ke-n yng mungkin. Kit seut sutu lnti tipe 1 jik lnti terseut memiliki ketig wrn yng ered, dn tipe 2 jik d 2 wrn yng sm dn 1 wrn lin. Tipe ketig (3 wrn yng sm) tidk menghsilkn pewrnn yng mungkin untuk lnti erikutny. 6

7 Yng kit uktikn di ts dlh tipe dri sutu lnti hruslh sm dengn tipe dri lnti tept di whny. Tidk d tsn untuk lnti 1. Jdi lnti 1 is memiliki tipe 1 dn 2, nmun egitu kit tentukn tipeny, lnti 2 smpi lnti n hrus mengikuti tipe terseut. Jdi nykny pewrnn kit gi menurut tipe: 1. Jik lnti 1 dlh tipe 1, d 6 cr mewrni lnti 1. Untuk setip lnti erikutny, d 2 cr mewrni (ykni dengn merotsi wrn serh tu erlwnn jrum jm). Jdi d 6.2 n 1 = 3.2 n cr mewrni. 2. Jik lnti 1 dlh tipe 2, d 18 cr mewrni lnti 1 (memilih wrn myorits, wrn minorits, dn posisiny). Untuk setip lnti erikutny, jug d 2 cr mewrni, sehingg d 18.2 n 1 = 9.2 n cr mewrni. Totl cr mewrni: 12.2 n = 3.2 n+2. Jik n = 2015 mk d cr. Skem Penilin 1. Dpt pol poin 2. Menmhkn fkt yng ergun untuk perhitungn tu erhsil menyelesikn stu ksus yng mudh (ksus yng tidk mungkin) poin 3. Dpt pol dn menmhkn fkt yng ergun untuk perhitungn tu erhsil menyelesikn stu ksus yng mudh (ksus yng tidk mungkin) poin 4. Bis selesikn stu ksus penting tu leih yng melitkn perhitungn nmun tidk erhsil menyeutkn semu ksus secr penuh poin 5. Bis selesikn stu ksus penting yng melitkn perhitungn dn erhsil menyeutkn semu ksus poin 6. Bis selesikn leih dri stu ksus penting yng melitkn perhitungn dn erhsil menyeutkn semu ksus poin 7. Slh hitung yng tidk signifikn poin 8. Sempurn poin 7