MODUL 3: FINITE AUTOMATA

Transkripsi

1 Diktt Kulih: Finite utomt uthor: Suryn Setiwn, MSc., Fk. Ilmu Komputer UI MODUL 3: FINITE UTOMT DEFINISI F Sutu Finite utomton (F) tu kdng-kdng diseut Finite Stte utomton (FS) dlh mesin yng dpt mengeni hs regulr tnp menggunkn storge/memory. Keculi, sejumlh sttus dpt didefinisikn pd mesin untuk mengingt eerp hl secr terts. Secr forml F didefinisikn segi erikut. Definisi: Sutu finite utomton (F) tu Mesin Sttus-Berhingg dlh 5-tuple (Q, Σ,q,, δ), yng mn: Q dlh himpunn erhingg dri sttus Σ himpunn erhingg lfet dri simol msukn q Q dlh sttus inisil (wl) Q yitu himpunn sttus menerim (ccepting stte, kdng-kdng diseut finl stte) δ dlh fungsi trnsisi yng memetkn Q Σ ke Q (ditulis δ:q Σ Q) Bris terkhir dijelskn segi erikut. Untuk sttus-sttus q, r Q dn sutu simol Σ jik δ(q, ) = r terdefinisi, mk st mesin erd dlm sttus q menerim msukn simol, mesin kn eruh/ertrnsisi ke sttus r. Dengn digrm sttus digmrkn dengn ultn dn trnsisi dengn pnh, s: Untuk pemhsn erikutny pernytn M dlh sutu F dengn himpunn sttus Q, msukn simol lfet Σ, dn sttus wl q, sert himpunn sttus menerim, dengn fungsi trnsisi δ, kit singkt menjdi M = (Q, Σ,q,, δ) merupkn F. q r Contoh: hs regulr L {,} * yng setip stringny sellu memiliki khirn Bhs ini is dinytkn dengn ekspresi regulr (+) *. Untuk mengenliny mk mesin memerlukn empt sttus untuk menyimpn keempt kemungkinn du simol terkhir -- kit seut sttus -sttus ts.,,, dn ; du sttus ketik ru menerim stu simol pertm -- kit seut sttussttus dn ; dn stu sttus untuk mesin erd di wl (elum menerim simol) -- kit seut sttus Λ. Digrm trnsisi F dn tel trnsisiny dpt digmrkn segi erikut. Sttus msukn δ Λ Dlm Topik F Minimum kn dihs pkh sutu F sudh mencpi entuk minimum (jumlh sttus pling sedikit). F di ts elum minimum kren dpt disederhnkn lgi menjdi F dengn tig sttus sj, s. Λ Updte Version.2., printed t 2: PM, 9// pge of 5

2 Diktt Kulih: Finite utomt uthor: Suryn Setiwn, MSc., Fk. Ilmu Komputer UI Sttus msukn δ B B B B B Perlusn fungsi trnsisi δ menjdi δ * Bil δ(q, ) menytkn sttus erikutny setelh q dn mnerim input simol, mk δ * (q, x) menytkn sttus erikutny setelh q dn menerim input string simol x. String x dlh string dri simol-simol dlm lfet; x is jug Λ. Jik x = 2 k- k mk δ * (q, x) dlh pliksi dri fungsi trnsisi secr erulng simol demi simol pd x, dengn kt lin, δ * (q, x) = δ(δ(δ( (δ(δ(q, ), 2 ) ) ), k- ), k ). Untuk leih forml mk kit definisikn s. Definisi: M = (Q, Σ,q,, δ) merupkn F. Terdefinisi sutu fungsi δ * yng memetkn Q Σ * ke Q dengn sift segi erikut: untuk setip q Q, erlku δ * (q,λ) = q untuk setip y Σ *, Σ, dn q Q, erlku δ * (q,y) = δ(δ * (q, y), ) Contoh: Jik δ(q, ) = q, δ(q, ) = q 2, dn δ(q 2, c) = q 3, mk δ * (q, c) = δ(δ * (q, ), c) = δ(δ(δ * (q, ), ), c) = δ(δ(δ(δ * (q, Λ), ), ), c) = δ(δ(δ(q, ), ), c) = δ(δ(q, ), c) = δ(q 2, c) = q 3. Menurut definisi di ts δ * (q, ) hrus dijrkn segi δ(δ * (q, Λ), ). Nmun, segi impliksi dri definisi mk dpt kit simpulkn hw untuk setip Σ, dn q Q, erlku δ * (q,) = δ(q, ). Jdi untuk penggunn string dengn pnjng stu ( simol), mk kedu fungsi is dituliskn ertukrn. Selin itu dpt disimpulkn pul dri definisi terseut hw jik x, y Σ * mk δ * (q,xy) = δ * (δ * (q, x), y). Ini is nd uktikn dengn induksi mtemtis (silkn menco segi ltihn!). Dri contoh di ts dpt diperlihtkn pul hw δ * (q,c) = δ * (δ * (q, ), c). F Segi Recognizer dri Bhs Regulr Dlm definisi sutu F terdpt yitu himpunn sttus menerim. pil sutu string msukn memw sttus F dri sttus inisil ke slh stu sttus dlm mk string terseut diterim (dikenli) segi nggot hs ys. Secr forml kit defiisikn s. Definisi Penerimn String: Sutu M = (Q, Σ,q,, δ) merupkn sutu F. Sutu string x diktkn dikenl (diterim) oleh M jik δ * (q, x). Jik sutu string tidk diterim mk string itu diktkn tidk dikenl (ditolk) oleh M. Definisi Penerimn Bhs: Sutu hs yng dikenl (tu diterim) oleh M dlh himpunn L(M) = {x Σ * x dikenl oleh M} L dlh hs pd Σ dn L dikenl (tu diterim) oleh M, jik dn hny jik L = L(M). Relsi jik dn hny jik di ts errti sutu hs regulr L diktkn dikenl oleh M jik semu string dri L dikenli oleh M, sert selikny, setip string dri sutu hs regulr L hrus dikenl oleh M jik L terseut dikenl oleh M dn menolk setip string dlm L. Teorem. Bhs L pd Σ dlh regulr jik dn hny jik terdpt sutu F yng mengenl L. Updte Version.2., printed t 2: PM, 9// pge 2 of 5

3 Diktt Kulih: Finite utomt uthor: Suryn Setiwn, MSc., Fk. Ilmu Komputer UI Teorem ini jug menytkn hw untuk setip M, yitu serng F, terdpt ekspresi regulr yng terkit dengn L(M); dn di lin pihk, untuk regulr ekspresi r terseut, terdpt sutu F yng mengenl hs ts. Contoh : Di smping ini digrm sutu F dn kit kn mendptkn ekspresi regulr dri hs L yng dikenl F terseut. D Sttus merupkn sttus inisil sekligus sttus menerim, mk Λ L. Setip string x dimn δ * (, x) = dlh deretn simol dengn pnjng merupkn ilngn genp. Kedu hl jik digungkn menghsilkn ekspresi regulr () *. Sttus D dlh sttus yng tidk kn pernh ertrnsisi ke sttus menerim. Jdi sutu string x dimn δ * (, x) = D, tidk kn pernh menjdi prefiks dri string dlm L. Sttus terim B hny dpt dicpi mellui sttus yng lngsung dicpi dri sttus dengn jumlh genp simol. Jik tidk terjdi trnsisi erulng ke sttus (tidk revisit ) mk x memiliki jug ekspresi regulr () +. Jik terjdi trnsisi erulng ke sttus mk ekspresi regulrny menjdi () * () +. Menggungkn kedu sttus regulr di ts mk: () * + () * () + = () * ( Λ + () + ) = () * () *. Contoh 2: Sekrng perhtikn digrm erikut ini dri sutu F untuk string {, } *. Dlm F terseut sttus terim hny stu yitu E. Sttus ini hny dpt dicpi dri D dengn simol. D hny dpt dicpi dri C dengn simol. B, C hny dpt dicpi dri B dengn simol. E B pertm kli dicpi dri dengn simol. Sementr pd sttus mn pun setip simol kn sellu memw ke sttus B. Jdi setip string yng memw F ke sttus terim E hrus memiliki sufiks. Ekspresi regulrny dlh: (+) * Cr untuk mendptkn ekspresi regulr di ts dlh dengn cr yng kirkir (intuitif). Cr yng leih sistemtis kn dihs di topik mendtng. OPERSI-OPERSI HIMPUNN Mislkn L dn L 2 keduny merupkn hs-hs regulr pd lfet Σ. Sudh tentu sesui dengn Teorem 3. terdpt F M dn M 2 yng msingmsing mengenl L dn L 2. Sesui definisi Bhs Regulr mk hs L L 2 dlh jug hs regulr, yng jug kn dikenl oleh sutu F. Bgimn dengn irisn, kompelemen dn difference sert opersi-opersi himpunn lin? Untuk sutu hs regulr L, mk jels L (kompelemen dri L) dlh hs regulr kren jik M = (Q, Σ,q,, δ) dlh F untuk mengenl L mk M = (Q, Σ,q, B, δ) dpt diut dengn menjdikn semu sttus yng ukn menerim di M menjdi menerim di M dn selikny semu sttus menerim di M menjdi ukn sttus menerim M. tu, B = Q-. B D C Updte Version.2., printed t 2: PM, 9// pge 3 of 5

4 Diktt Kulih: Finite utomt uthor: Suryn Setiwn, MSc., Fk. Ilmu Komputer UI Setip opersi himpunn lin dpt dinytkn segi opersi gungn dn komplemen. Mislny L L 2 = (L L 2 ), dn L - L 2 = (L L 2 ). Dengn demikin setip opersi himpunn pd eerp hs regulr kn menghsilkn hs regulr. Dengn demikin jug kn d mesin F yng dpt mengenlny. Mslhny sekrng dptkh kit mementuk mesin F dri hs hsil opersi himpunn terseut erdsrkn kominsi mesin-mesin hs slny secr lngsung? Berikut ini kn dihs pementukn F untuk hs penggungn kedu hs (L L 2 ). Untuk ksus irisn (L L 2 ) dn peredn (L L 2 ) dpt dilkukn dengn sedikit modifiksi. Dierikn M = (Q, Σ, q,, δ ) dn M 2 = (Q 2, Σ, q 2, 2, δ 2 ) untuk mengenl msing L dn L 2. Sutu F M = (Q, Σ, q,, δ ) kn dientuk dri M dn M 2 untuk dpt mengenl (L L 2 ). Ide dri pementukn M dlh hw st memeriks sutu msukn string x (L L 2 ) tu ukn dlh dengn melkukn sekligus kedu pemeriksn pkh x L dn x L 2. Jdi dlm M kn terdpt sttus-sttus yng merupkn kominsi ntr sttus-sttus yng d dlm M dengn M 2, dpl. untuk p Q, q Q 2 kn d sttus (p, q) Q. Demikin pul sttus inisil q dlh (q, q 2 ). Bil M erd dlm sttus (p, q), il i menerim simol mk i kn ertrnsisi ke (δ (p, ), δ 2 (q, )). Himpunn sttus menerim dlh himpunn sttus (p, q) yng mn p tu q (slh stu tu keduny!) dlh sttus menerim dri mesin-mesin slny. Peredn untuk F hs-hs entukn dri opersi irisn (L L 2 ) dn peredn (L L 2 ) dlh terletk pd himpunn sttus menerim ts. Untuk irisn (L L 2 ), himpunn sttus menerim dlh himpunn sttus (p, q) yng mn p dn q (hrus keduny!) dlh sttus menerim dri mesin-mesin slny. Untuk peredn (L L 2 ), himpunn sttus menerim dlh himpunn sttus (p, q) yng mn p dlh sttus menerim dri M dn q ukn sttus menerim dri M 2. Untuk leih forml mk erikut ini teorem mengeni hs-hs opersiopersi penggungn, irisn dn peredn terseut. Teorem 3.4. Mislkn M = (Q, Σ, q,, δ ) dn M 2 = (Q 2, Σ, q 2, 2, δ 2 ) msing-msing mengenll dn L 2. Bil M = (Q, Σ, q,, δ) sutu F dimn Q = Q Q 2 q = (q, q 2 ) δ terdefinisi segi δ((p, q), ) = (δ (p,), δ 2 (q,)) untuk setip p Q, q Q 2 dn Σ mk,. Bil = {(p, q) p tu q 2 }, M mengenl hs (L L 2 ) 2. Bil = {(p, q) p dn q 2 }, M mengenl hs (L L 2 ) 3. Bil = {(p, q) p dn q 2 }, M mengenl hs (L L 2 ) Contoh: mislkn L dn L 2 {, } *, dengn L = { x tidk d sustring dlm x } L 2 = { x x erkhirn } Kedu hs ini sudh dihs msing-msing segi contoh seelumny dengn digrm trnsisi s. B C P Q R, Updte Version.2., printed t 2: PM, 9// pge 4 of 5

5 Diktt Kulih: Finite utomt uthor: Suryn Setiwn, MSc., Fk. Ilmu Komputer UI Msing-msing memiliki tig sttus sehingg mesin ru yng dientuk dri kedu mesin ts. erisikn 9 sttus s. (untuk menyederhnkn penulisn mk kit tuliskn (,P) segi P, dst.). Q = {P, Q, R, BP, BQ, BR, CP,, CR} Sttus wl P dri δ (, ) = B dn δ 2 (P, ) = Q, mk terdpt δ(p, ) = BQ dri δ (, ) = dn δ 2 (P, ) = P, mk terdpt δ(p, ) = P Selnjutny kit meliht BQ, dri δ (B, ) = C dn δ 2 (Q, ) = Q, mk terdpt δ(bq, ) = dri δ (B, ) = dn δ 2 (Q, ) = R, mk terdpt δ(bq, ) = R Berikutny dri, dri δ (C, ) = C dn δ 2 (Q, ) = Q, mk terdpt δ(, ) = dri δ (C, ) = C dn δ 2 (Q, ) = R, mk terdpt δ(, ) = CR dn seterusny mk kn diperoleh digrm trnsisi erikut ini. P BQ R Penyederhnn yng dihs seelumny dpt dilkukn. Sttus CR dn CP memiliki trnsisi yng sm dpt digungkn menjdi stu. Selnjutny sttus hsil gungn ini jug memiliki trnsisi yng sm dengn sttus sehingg khirny menghsilkn stu sttus gungnny. Selnjutny digrm setelh penyederhnn diperlihtkn segi erikut. CR CP P BP CP Q BQ R BR CR BQ P, R Dlm digrm terliht hny enm sttus dri semiln yng dpt tercpi dri P. Jdi ketig sttus linny is dihilngkn. Jik hs entukn ru terseut dlh L L 2 mk himpunn sttus menerim dpt dilkukn sehingg = {P, BQ} dn digmrkn pd digrm erikut. Updte Version.2., printed t 2: PM, 9// pge 5 of 5