KENDALI OPTIMAL PADA MASALAH INVENTORI YANG MENGALAMI PENINGKATAN Pardi Affandi, Faisal, Yuni Yulida Abstra: Banya permasalahan yang melibatan teori sistem dan teori ontrol serta apliasinya. Beberapa referensi teori yang mengapliasian teori ontrol e dalam masalah inventori. Masalah lasi dalam masalah inventori adalah bagaimana mengatur perubahan permintaan onsumen pada sebuah produ barang jadi. Selain mengalami penurunan ternyata inventori juga bisa mengalami peningatan, biasanya inventori yang mengalami peningatan adalah terjadi pada inventori diarenaan adanya proses produsi yang berlangsung secara terus menerus sedangan permintaan sediit. Pada saat proses produsi berlangsung secara terus menerus menyebaban bertambahnya jumlah inventori. Hal ini mengaibatan terjadinya peningatan jumlah inventori. Masalah ini salah satunya dapat dimodelan dan diselesaian dengan menggunaan teni ontrol optimal Kata Kunci: peningatan inventori, ontrol optimal. PENDAHULUAN Masalah inventori termasu salah satu masalah yang berembang secara pesat. Selain mengalami penurunan ternyata inventori juga bisa mengalami peningatan, biasanya inventori yang mengalami peningatan terjadi pada inventori aibat adanya proses produsi yang berlangsung secara terus menerus. Pada saat proses produsi berlangsung secara terus menerus menyebaban bertambahnya jumlah inventori. Hal ini mengaibatan terjadinya peningatan jumlah inventori. Dalam penelitian ini dibahas model matematia dari masalah inventori yang mengalami peningatan serta bagaimana Program Studi Matematia, FMIPA UNLAM e-mail: pardi_affandi@yahoo.com menyelesaian bentu model inventori tersebut menggunaan teni optimal ontrol. Pembentuan Model Model ini didasaran pada sistem Inventori produ barang pada saat terjadi peningatan inventori. Peningatan inventori disebaban arena adanya inventori awal dan emudian adanya penambahan inventori, sedangan permintaan terhadap inventori masih belum ada. Panjang perencaannya dinyataan dengan T dengan asumsi, fase watu dari 0 hingga T tingat inventorinya semain meningat. Perlu dicatat bahwa watu dibutuhan cara untu menentuan nilainya. Beriut ini 70
Pardi Affandi., d. Kendali Optimal pada Masalah Inventori 7 notasi yang digunaan untu menggambaran sistem dinami dari inventori yang ada: I(t tingat fungsi Inventori P(t nilai produsi rata-rata fungsi Io = tingat nilai awal inventori m(t Rata-rata fungsi enaian Juga dietahui tingat inventori berembang dari watu e watu berdasaran persamaan statenya. Fungsi m(t) yaitu rata-rata fungsi enaian diarenaan adanya tingat produsi maa Inventori aan semain bertambah. P(t) + m(t) + I 0 (t) > 0 t [0, T] (2) Untu membangun harga fungsi objetif, maa diasumsian bahwa tingat inventori tujuan dan rata-rata produsi tujuan berupa himpunan dan ahirnya mendatangan selisih dari tujuan. Untu dapat menulisan fungsi tujuan secara esplisit dienalan beberapa notasi tambahan beriut ini, yaitu P = tingat produsi tujuan, I = tingat inventori tujuan, h = oefisien biaya penyimpanan, = oefisien biaya produsi dan λ = onstanta nonnegative biaya dison. Untu memberian enaian hasil indes maa ita minimuman T min {J = p 0 (h (I I ) 2 + (P P ) 2 dt) } (3) 0 2 2 Gambar. Grafi fungsi enaian m(t) Inventori semain meningat seiring semain bertambahnya produsi, etersediaan Inventori awal dan rata-rata fungsi enaian mesipun adanya demand atau permintaan tapi masih dalam tingat yang rendah sehingga diperoleh persamaan. I = P(t) + m(t) + I 0 (t) t [0, T] () Untu menjamin tingat inventori bertambah dari watu 0 hingga T maa lebih lanjut memenuhi syarat persamaan 2. Persamaan () hingga (3) merupaan batasan nonnegatif, P(t) 0 t [0, T] (4) PEMBAHASAN Dalam model pencampuran onstrain dari pertidasamaan melibatan edua ontrol dan variable state. Kemudian menggunaan maximum principle untu solusi masalah, dengan menggunaan fungsi yang ontinu dan ontinu sepotongsepotong dietahui λ differensiabel, fungsi µ juga merupaan fungsi ontinu dan ontinu sepotong-
72 Jurnal Fisia FLUX, Vol. 2 No., Februari 205 (70 76) sepotong. Fungsi Hamiltonian didefenisian oleh: H = ( h 2 (I I ) 2 + c 2 (P P ) 2 ) + λg (5) Maa - λ = h(i I ) + m( λ + μ) λ = h(i I ) V( λ + μ) (5) dimana g = P + mi t [0, T] (6) dan fungsi Lagrangenya adalah L = 2 [h 2 (I I ) 2 + 2 (P P ) 2 ] + (λ + μ)g; t [0, T] (7) Syarat perlu untu ondisi optimal diberian dengan Hp = 0 (8) LI = - λ (9) Lp = 0 (0) μ 0, μg 0 () Kondisi ini bergantung pada dua differensial yang bergantung pada eadaan t [0, T]. Jia ditinjau asus eadaant [0, T], maa diperoleh sebagai beriut: Pada asus ondisi (pers.8) aan diperoleh H = ( h 2 (I I ) + 2 (P P ) ) + λ(p + VI); 2 2 t [0, T] (2) Hp = 0 dan diperoleh (P P ) + λ = 0 ; λ = (P P ) P = λ + P (3) Kondisi (pers. 9) eivalen dengan LI = - λ, berarti L = 2 [h 2 (I I ) 2 + 2 (P P ) 2 ] + ( λ + μ)(p + mi) t [0, T] (4) Kondisi (0) adalah eivalen dengan Lp = 0 berarti (P P ) + ( λ + μ 0 maa ( λ + μ (P P ) (6) Kondisi () dengan (3) diimpliasian μ = 0. Karena itu (3) dan () etia t [0, t ] menghasilan μ 0, μg 0 Dari bentu () pada saat t [0, T] I = P + m + I dari persamaan (3) P = λ + P Sehingga aan diperoleh t [0, T] I = λ + P + mi (7) Dengan mengombinasian I = λ + P + m + I (7) dan λ = h(i I ) m( λ + μ) (5) diperoleh sebagai beriut: Dengan menurunan (7) diperoleh I = λ + P + m I + mi serta mensubsitusi nilai nilai persamaan di atas dan λ = h(i I ) m( λ + μ) I = λ + P + mi I = h(i I ) m( λ+μ) + P λ + m I + m ( + P + mi) (8) dan dari ( λ + μ (P P ), pers. (8) menjadi:
Pardi Affandi., d. Kendali Optimal pada Masalah Inventori 73 I h I m2 I m I = h I mp + mp + P λ + m + mp ) (9) Dengan menggunaan P = λ + P atau λ = P P e persamaan 9 I h I m2 I m I = h I mp + mp + P + m(p P ) + mp diperoleh I ( h + m2 + m ) I = α (t) t [0, T] (20) dengan α (t h I + mp + P Untu menentuan nilai optimal tingat inventori dan rata-rata produsi optimal tingat inventori dan rata-rata produsi optimal, ita harus memperoleh solusi dari (20). Dalam sebagian besar asus, aan sangat tida mungin menentuan solusi persamaan differensial dari (20). Namun aan diamati dua asus dalam bentu solusi esplisit dan aan diuraian ejadian dalam bentu husus. Dalam asus umum persamaan differensial dari (20) dapat diselesaian dengan cara numeri. Fungsi m adalah onstanta Ketia fungsi m adalah dalam bentu onstanta maa persamaan differensial dari (20) adalah I ( h + m2 ) I = α (t) t [0, T] (2) Maa aan diperoleh persamaan differensial orde dua yang dapat diselesaian dengan cara memisalan y = e st maa y = se st dan y = s 2 e st. Persamaan arateristi (2) diperoleh: s 2 ( h + m2 0 dan aar-aar persamaan yang diperoleh r = r = h + m2 dan r 2 = r = h + m2 Sehingga solusi dari (20) diberian dengan bentu: I(t C e rt + C 2 e rt + Q (t) t [0, T] (22) Dimana Q (t) dan Q 2 (t) merupaan solusi tambahan dari (20), maa dengan menggunaan ondisi I(0 I0 dan I(t M, dan diperoleh: Untu nilai t [0, T], I(0 C e r0 + C 2 e r0 + Q (0 I0 Maa I0 = C () + C 2 () + Q (0) I(t C e rt + C 2 e rt + Q (t 0), Sehingga M = C e rt + C 2 e rt + Q (t ) Nilai C dan C 2 dapat ditentuan dengan menggunaan cara matris seperti beriut: ( I 0 M ( e rt e rt ) ( C C 2 ) + ( Q (0) Q (t ) )
74 Jurnal Fisia FLUX, Vol. 2 No., Februari 205 (70 76) dengan menggunaan sifat matris A = BX + C dapat dietahui nilai X, yaitu X = B - (A - C) ( C C 2 ( C C 2 Det B = e rt e rt maa X = det B Maa diperoleh: e rt ( e rt e rt e rt ) (I 0) ( Q (0) M Q (t ) ) e rt ( e rt e rt e rt ) ( I 0 Q (0) M Q (t ) ) (adj B)(A - C) Nilai ( C C 2 e rt e rt ( e rt(i 0 Q (0) (M Q (t ) e rt (I 0 Q (0) + I 0 Q (0) ) C = Q (t ) M+((I 0 Q (0)e rt ) e rt e rt Sehingga secara umum diperoleh dan C 2 = (Q (t ) M)+((I 0 Q (0) e rt ) e rt e rt C j = ( )j (Q (t ) M)+((I 0 Q (0) (j)e rt ) e rt e rt dengan j =,2. Berdasaran persamaan I = λ + P + VI untu t [0, T] serta (22) aan diperoleh λ = K(I P mi) sehingga λ = K(rC e rt rc 2 e rt + Q (t)) P m(c e rt + C 2 e rt + Q (t))) λ = K((rC e rt rc 2 e rt + Q (t)) P (mc e rt + mc 2 e rt + mq (t))) λ = K ((rc e rt rc 2 e rt + Q (t)) P mc e rt mc 2 e rt mq (t) λ = K(C (r m)e rt C 2 (r + m)e rt + Q P mq ) t [0, T] dan diperoleh t [0, T] λ = K x(c (r m)e rt C 2 (r + m)e rt + Q P mq ) t [0, T] (23) Berarti dengan menggunaan I(t M, λ(t 0, aan memberian : I(t C 2 e rt + C 22 e rt + Q 2 (t M λ(t C 2 (m r)e rt + C 22 (m + r)e rt Q 2 (t ) + P D + mq 2 (t 0 Sehingga dengan menggunaan persamaan matris diperoleh Berarti ( C 2 C 22 ( M 0 ( e rt e rt (m r)e rt (m + r)e rt ) ( C 2 Q 2 (t ) ) + ( C 22 Q 2 (t ) + P D + mq 2 (t ) ) e ( rt e rt (m r)e rt (m + r)e rt ) ( C 2 ( M C 22 0 ) ( Q 2 (t ) Q 2 (t ) + P D + mq 2 (t ) ) (m + r)e rt e ( rt (e rt )((m + r)e rt ) (e rt )((m r)e rt ) (m r)e rt e rt ) ( M Q 2 (t ) Q 2 (t ) P + D mq 2 (t ) )
Pardi Affandi., d. Kendali Optimal pada Masalah Inventori 75 Sehingga aan diperoleh C 2 =e rt [M C 22 e rt Q 2 (t )] C 22 = γ (m r)e rt e (T 2t )r Dimana γ = [Q 2 (t ) M](r v)e (T t)r Q 2 (T)+P + D(T) + mq 2 (T) Sehingga dari (23) dapat disubsitusian e persamaan P = λ + P dan diperoleh nilai P(t P + (C (r m)e rt C 2 (r + m)e rt + Q P mq ) t [0, T] Sedangan fungsi Q dan Q 2 dapat dihitung nilainya etia harga fungsi D dietahui. Fungsi h + m2 + m adalah onstan Pada saat nilai fungsi h + m2 + m adalah onstan, bentu dari solusi diperoleh berdasaran nilai onstannya positif atau negatif, aan dibahas solusinya dalam dua ondisi tersebut. Kondisi Fungsi onstan positif. Berarti h + m2 + m = 2 h + m2 + m adalah (24) Sehingga persamaan diffrensial dari (20) aan berubah menjadi I ( 2 )I = α (t) t [0, T] (25) Catatan bahwa untu menyelesaian (23), perlu menghitung m terlebih dahulu untu mendapatan solusi (24) dan (25). Solusi (25) tergantung dari jenis onstan dari 2 h. Mari ita tinjau bentu 2 h bentu positif. Andaian ita ambil 2 h = a2, maa penyelesaian persamaan (25) menjadi: m 2 + m = 2 h m 2 + m = a 2 sehingga bentunya menjadi dv dt = a2 m 2 atau a 2 m 2 = dt Bentu tersebut dapat diselesaian dengan cara (a m)(a+m dt Dengan mengintegralan edua ruas diperoleh (a m)(a+m t Bentu integral ruas iri dapat diselesaian dengan cara A + B = a m a+m (a m)(a+m) (A+B)a+m(A B) (a m)(a+m) Sehingga A+B = a diperoleh nilai A = = (a m)(a+m) dan A B = 0 aan 2a dan B = 2a selanjutnya disubsitusian embali e persamaan integralnya menjad: (a m)(a+m t = 2a (a m) dv A (a m) + B (a+m) B 2a (a+m) t = Ln(a m) Ln(a + m) 2a 2a t = (a m) Ln atau t = [Ln (a m ) 2a ] 2a (a+m) a+m = t
76 Jurnal Fisia FLUX, Vol. 2 No., Februari 205 (70 76) Berarti ( a m ) 2a = e t dan a m = a+m a+m e2at Maa diperoleh a-m = (a+m)(e 2at ) a v = ae 2at + me 2at a ae 2at = me 2at + m a( e 2at m(e 2at + ) Sehingga m(t a e2at e 2at + Maa diperoleh rata-rata enaian produsi adalah m(t a e2at e 2at + KESIMPULAN DAN SARAN Model Inventori saat terjadi peningatan inventori, biasanya disebaban arena adanya inventori awal dan emudian terjadinya penambahan inventori sedangan permintaan terhadap inventori masih sediit, dengan dietahui panjang perencaannya adalah T dari model Inventori diperoleh tingat fungsi Inventori serta rata-rata enaian produsi. DAFTAR PUSTAKA Anton, H., 988. Calculus. Drexel University, John Wiley & Sons, New Yor. Affandi, P., 20. Kendali Optimal system pergudangan dengan produsi yang mengalami emerosotan. Tesis, Yogyaarta. Burghes, D.N Introduction to Control Theory Including Optimal Control. John Wiley & Sons. New Yor. Chi-Tsong Chen, 984. Linear System Theory and Design, Madison Avenue New Yor. Danese, A. E. 965. Advanced Calculus an introduction to Applied Mathematics. Edwin K.P Chong, 996. An introduction to Optimization, John Wiley & Sons. New Yor. Fran L.Lewis, Applied Optimal Control & Estimation. The University of Texas at Arlington. New Yor. Hamdy A.Taha.998. Operations Research an Introduction.Prentice Hall International, Inc.Philippines. Murray R. Spiegel Statistic Schaum, 2 edition Renselaer Polytechnic Institut Hartford. Olsder, G.J., 994. Mathematical System Theory,. Delft University of Technlogy. Netherlands. Shepley L.Ross.984. Differential Equation. 3 Editions, John Wiley & Sons. New Yor. Shety S.P and Thompson G.L 985. Optimal Control Theory: Applied to Management science and economics. 2 editions.