PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari

Transkripsi

1 PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdininta Athari

2 Definisi PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah suatu persamaan ang memuat satu atau lebih turunan fungsi ang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Contoh: Sedangkan jika peubah bebasna lebih dari satu dinamakan Persamaan Diferensial Parsial. Contoh : e ' cos, " 9, '"' 3' 0 u u 0

3 3 PERSAMAAN DIFERENSIAL [] Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunai peubah tak bebas maupun turunan ang bersifat linear. Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut a n () (n) + a n-1 () (n-1) + + a 0 () = f() dengan a n () 0 dan a n (), a n-1 (),, a 0 () adalah koefisien PD. Bila f() = 0 disebut PDBL Homogen, sebalikna jika tidak disebut PDBL tak homogen. Orde PDB adalah turunan tertinggi ang terlibat dalam PDB

4 4 CONTOH (1) dn dt = kn, N = N(t), orde 1 dengan N peubah tak bebas dan t peubah bebas, linier, homogen () + cos = 0, orde 1 dengan peubah tak bebas dan peubah bebas, linier, tidak homogen (3) + e + sin () = e sin, orde, tidak linier, tidak homogen (4) 3 + cos ( ) 3 =, orde, tidak linier, homogen

5 5 SOLUSI Misal ada suatu persamaan diferensial dimana sebagai peubah tak bebas ang bergantung pada peubah bebas atau suatu fungsi = f () disebut solusi PDB jika fungsi = f () disubtitusikan ke PDB diperoleh persamaan identitas. Solusi umum dan solusi khusus Jika fungsi = f () memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebalikna disebut solusi khusus.

6 6 CONTOH (1) = cos + c solusi umum Persamaan Diferensial + sin = 0 Karena (cos + c) + sin = -sin + sin = 0 () = cos + 6 solusi khusus Persamaan Diferensial + sin = 0 Karena (cos + 6) + sin = -sin + sin = 0

7 7 PDB ORDE 1 PDB terpisah PDB dengan koefisien fungsi homogen PDB Linier

8 8 PDB TERPISAH PDB ang dapat dituliskan dalam bentuk : g() d = f() d disebut PDB terpisah. Penelesaian : integralkan kedua ruas Contoh : tentukan solusi umum PD 1.. ( ln ) ' = 3, () = 0 ' e

9 9 1. Jawab: ( ln ) ' = ln d d d d d ln d ln ln ln c ln c ln Jadi solusi umum PD tersebut adalah c ln CONTOH dengan c c ln 1 ln ln c ln ln ln ln c

10 10. Jawab: ' = 3 e - d d d e 3 e 3 d e 3 d d e c 1 ln ln () 4 c Diketahui () = 0, sehingga c 1 4 c c 3 Jadi solusi khusus PD tersebut adalah 1 ln 3 4 CONTOH

11 11 Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini LATIHAN 1. d d 1 5. ' (1 )(1 3 ). d d 3 4 ( 1) 6. ' (1 )(1 ), (0) 0 3. (1 ' 3 ) 7. d d cos 1, (0) 1 4. ' 1 8. d ( 1 e ) e 0, (0) d 1

12 1 FUNGSI HOMOGEN Fungsi A(,) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika A(k,k) = k n A(,), k konstan sembarang Contoh : Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak! 1. A(,) = + A(k,k) = k + k = k ( + ) = k A(,) Maka A(,) = + adalah fungsi homogen dengan derajat 1. A(,) = + A(k,k) = k + k k = k ( +) = k A(,) Maka A(,) = + adalah fungsi homogen dengan derajat

13 PDB ang dapat dituliskan dalam bentuk PD DENGAN KOEFISIEN FUNGSI HOMOGEN ' A(, ) B(, ) dengan A,B fungsi homogen dengan derajat ang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen. Penelesaian : gunakan subtitusi = u, u = u() dengan ' d d u' du d u = + u d = du + u d 13

14 14 Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut 1. ' Jawab: d d Misalkan = u, sehingga d = du + u d CONTOH d 1 du u d d 1 u du u d 1 ud d d d du d du du u ln c ln c ln c Jadi solusi umum dari PD di atas adalah ln c

15 15. Jawab: d d d d d d Misalkan = u, sehingga d = du + u d 0, (1)=1 CONTOH du u d u u d du u ud du d u u du u( u 1) d du u d u ud du u u 1 1 du u u 1 d d ln u ln u 1 ln ln c

16 16 u ln ln c u 1 ln ln c 1 ln ln c (1 k) k Diketahui (1) = 1, sehingga k k k c k 1 k Jadi solusi khusus PD di atas adalah k ( ); (k c) 16

17 17 Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini LATIHAN 1.. d d = 0 d d d d d d d d d d 3 7. d d 4 3

18 18 PDB ang dapat dituliskan dalam bentuk : disebut PDB linier. + P() = r() PDB LINIER Penelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integrasi e P( ) d Kemudian, kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh: ' e P( ) e r( ) e P( ) d P( ) d P( ) d e Integralkan kedua ruas ' P( ) d P( ) d r( ) e P( ) d P( ) d e r( ) e d r( ) e e Solusi Umum PDB P( ) d P( ) d d

19 19 Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini CONTOH 1. = 3 e Jawab: ' e (bagi kedua ruas dengan ) Sehingga diperoleh faktor integrasi: e d e ln e ln kalikan kedua ruas dengan -, aitu: ' 1 ' 3 e 1 e e Jadi solusi umumna adalah c e 1 c e d 1 e c

20 0 Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini CONTOH. + = ( + 1), (0) = 3 Jawab: Faktor integrasi dari PD di atas adalah: 1 d e e kalikan kedua ruas dengan e, aitu: e e e ' e e 1 e sehingga ( e ) ' e ( 1) ( 1) d e e ( 1 e ( 1) e e c 1 1 ce 1 1) e d 1 ce

21 1 Diketahui (0) = 3, sehingga CONTOH (NO. LANJUTAN) 3 1 c c Jadi solusi khusus PD di atas adalah 1 e

22 Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini: LATIHAN 1. ' e. ( 1) ' 1 3. ' tan sec 4. ' 1 5. ' 1 6. '+ 1+ =e, (1)=0-7. sin ' cos sin, 6

23 TRAYEKTORI ORTOGONAL Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan keluarga kurva ang ortogonal atau tegak lurus terhadap keluarga kurva lain. Cara untuk mendapatkan traektori ortogonal dari suatu kurva adalah sebagai berikut: Turunkan secara implisit f(,) = c terhadap, natakan parameter c dalam dan. Karena tegak lurus maka traeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi: 1 ' Df (, ) Traektori Ortogonal dari f(,) = c, didapatkan dengan mencari solusi dari 1 ' Df (, ) 3

24 4 Tentukan traektori ortogonal dari keluarga kurva Jawab: c CONTOH Langkah-langkah menentukan TO : 1. Tuliskan c Kemudian turunkan dalam bentuk c ' c '. TO akan memenuhi PD ' 1 / aitu: ' c

25 3. TO dari adalah solusi dari PD berikut: ' c c ( ellips) d d CONTOH (LANJUTAN) d d c Jadi keluarga ang tegak lurus terhadap parabola adalah c ( ellips) c 5

26 6 Tentukan solusi traektori ortogonal dari keluarga kurva berikut : LATIHAN 1. c 4. c. c = c 3. = c