Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.

Transkripsi

1 1

2 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan Persamaan Diferensial Parsial.

3 Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear. Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut dengan adalah koefisien PD. Bila f() = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen. Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB 3

4 (1) dn dt = kn, N = N(t), PDB orde 1 dimana N peubah tak bebas, t peubah bebasnya () y + cos = 0, PDB orde 1 dimana y peubah tak bebas, peubah bebasnya (3) y + e y + sin y = e sin, PDB orde (4) 3 y + cos (y ) 3 = y, PDB orde 4

5 Solusi PDB adalah suatu fungsi y = f (), jika disubtitusikan ke PDB diperoleh persamaan identitas. Solusi umum dan solusi khusus Jika fungsi y = f () memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus. 5

6 (1) y = cos + c solusi umum Persamaan Diferensial y + sin = 0 Karena (cos + c) + sin = -sin + sin = 0 () y = cos + 6 solusi khusus Persamaan Diferensial y + sin = 0 Karena (cos + 6) + sin = -sin + sin = 0 6

7 PDB dengan variabel terpisah PDB Linear PDB dengan koefisien fungsi homogen 7

8 PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : g(y) dy = f() d disebut PDB dengan variabel terpisah. Penyelesaian : integralkan kedua ruas g( y) dy f ( ) d Contoh : 1. tentukan solusi umum PD dy d 3 dy dy 3 3 dy d d d 4 y C 8

9 . tentukan solusi umum PD ( ln ) y' y Jawab: ( ln ) y' y dy ln y d dy d y ln dy y d ln ln y ln c y c ln ln Jadi solusi umum PD tersebut adalah y c ln ln y ln ln ln c 9

10 3. Tentukan Solusi Khusus dari y e y 3 y ' ; () 0 dy d dy y e 3 e 3 y d e y dy 3 d e y c 1 y ln ln () 4 c Diketahui y() = 0, sehingga c 1 4 c c 3 Jadi solusi khusus PD tersebut adalah y ln 3 10

11 Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini 1. dy d 1 y 5. y y 3 ' (1 )(1 ). dy d e 4y 3 6. y y y ' (1 )(1 ), (0) 0 3. y ' y 3 (1 ) 7. dy d y cos, y(0) 1 1 y 4. y' 1 y y 8. dy ( 1 e ) e y 0, y(0) 1 d 11

12 PDB linear adalah PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : y ' P( ) y r( ) Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integral P( ) d y ' e P( ) ye r( ) e P( ) d P( ) d P( ) d ( ye )' r( ) e P( ) d P( ) d Integralkan kedua ruas terhadap e P( ) d P( ) d ye e r( ) d c h h Solusi Umum PDB linear : y e e r( ) d c ; h P( ) d 1

13 Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini 1. ' 3 y y e Jawab: y' y e (bagi kedua ruas dengan ) P( ) h( ) d ln h h y e e r( ) d c e ln ln( ) e. e d c e d c Jadi solusi umumnya adalah y e c 13

14 . y' y ( 1) ; y(0) 3 Jawab: P( ) 1 h( ) 1d h h y e e r( ) d c e e ( 1) d c e 1 e ( 1) e d e 1 e ( 1) e e c (dengan integral parsial) y 1 ce 1 y 1 ce y(0) c c Sehingga SK : y e 1 14

15 Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini: 1. y'y e. ( 1) y' y 1 3. y' y tan 5. y' y sec y 4. y' y ' 1 y e, y(1) 0 7. y' e 3 y ; y(0) 1 8. sin y ' y cos sin, y 6 15

16 Fungsi A(,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika A(k,ky) = k n A(,y), k konstan sembarang Contoh : Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak! 1. A(,y) = + y A(k,ky) = k + ky = k ( + y) = k A(,y) A(,y) = + y, fungsi homogen dengan derajat 1. A(,y) = + y A(k,ky) = k + k ky = k ( +y) = k A(,y) A(,y) = + y, fungsi homogen dengan derajat 16

17 PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk y ' A(, y) B(, y) dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen. Penyelesaian : gunakan subtitusi y = u, u = u() dengan y' u' u dy du = + u d d dy = du + u d 17

18 Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut 1. y y ' Jawab: dy y d Misalkan y = u, sehingga dy = du + u d dy y 1 du u d 1 u d du u d 1 ud d d d du d du du u ln c y ln c y ln c Jadi solusi umum dari PD di atas adalah y ln c 18

19 . dy d Jawab: y y dy y y dy y y d d Misalkan y = u, sehingga dy = du + u d du u d u u d du u ud du d u u du u d u ud du u u du ln ln c 1 1 u( u 1) du ln c u u 1 0, y(1)=1 d ln u lnu 1 ln c 19

20 y u ln ln c u 1 ln ln c y 1 y ln ln c y c y 1 c y c y Diketahui y(1) = 1, sehingga c 1 1 c c 1 Jadi solusi khusus PD di atas adalah y( 1c) c y 0

21 Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini 1. y d dy = 0. dy d 3y y dy d dy d y y 3y y 1

22 Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan keluarga kurva yang ortogonal atau tegak lurus terhadap keluarga kurva lain. Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari suatu kurva adalah sebagai berikut: Turunkan secara implisit f(,y) = c terhadap, nyatakan parameter c dalam dan y. Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi: 1 y ' Df (, y) Trayektori Ortogonal dari f(,y) = c, didapatkan dengan mencari solusi dari 1 y ' Df (, y)

23 Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva Jawab: Langkah-langkah menentukan TO : 1. Tuliskan y y c dalam bentuk c y c Kemudian turunkan y y' c y'. TO akan memenuhi PD y ' 1 y / y yaitu: y' y y c 3

24 3. TO dari y c adalah solusi dari PD berikut: y ' y y c ( ellips ) dy d y ydy d y c Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola adalah y c ( ellips ) y y c 4

25 Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut : 1.. y c 4. y c y c y = c 3. y = c 5

26 Bentuk umum : y + p()y + g()y = r() p(), g() disebut koefisien. Jika r() = 0, maka Persamaan Diferensial diatas disebut homogen, sebaliknya disebut non homogen. Persamaan Diferensial Biasa linier orde dua homogen dengan koefisien konstan, memiliki bentuk umum : y + ay + by = 0 dimana a, b merupakan konstanta sebarang. 6

27 Solusi dari PDB Orde Dua Homogen ay '' by ' cy 0 adalah: y C y C y 1 1 dimana C y, y 1, C konstanta, dan 1 solusi basis. 7

28 disebut solusi basis jika bebas linear. disebut bebas linear jika W (Wronskian) 0. 8

29 ay '' by ' cy 0 Buat Persamaan Karakteristik (PK): a b c Ada 3 kemungkinan akar dari PK : 1. Dua akar real berbeda (Diskriminan > 0) 1 0 Solusi umum PD: 1 y C1e Ce 9

30 . Dua akar real kembar (Diskriminan = 0) 1 Solusi umum PD: y C e C e 1 3. Akar kompleks konjugate (Diskriminan < 0) 1 i Solusi umum PD: y e ( C cos C sin ) 1 30

31 ay '' by ' cy 0 Jika PD ini mempunyai akar real berbeda, 1 1 maka y e y e Bukti: 1, adalah solusi basis. 31

32 1. Tentukan solusi umum dari PD y'' 5 y' 6y 0 Jawab: PK : ( 3)( ) 0 3 ; 1 (solusi basis) (solusi basis) Solusi Umum : y C e C e 3 1 3

33 . Tentukan solusi umum dari PD y'' 6 y' 9y 0 Jawab: PK : ( 3) Solusi Umum : y C e C e

34 3. Tentukan solusi umum dari PD y'' 4y 0 Jawab: PK : 40 1 i 0 y C cos C sin Solusi Umum : 1 34

35 Bentuk umum: dengan r() 0 ay + by + cy = r() *) Solusi total : y = y h + y p dimana y h = solusi PD homogen y p = solusi PD non homogen Menentukan y p : 1. Metode koefisien tak tentu. Metode variasi parameter 35

36 Pilih y p yang sesuai dengan r(), substitusikan ke PD (*) a. Kasus khusus No r() y p K Ke n n K 1... K A Ce 1... A n1 n n1 n 0 n n 0 K cos, K sin Ke cos, Ke sin A Acos e Bsin ( Acos Bsin) 36

37 1.Tentukan Solusi Umum dari y' ' 3y' y e 4 Jawab: Persamaan karakteristiknya: 3 0 ( )( 1) 0 ; 1 Jadi solusi homogennya adalah Solusi Umum : y y h y p yh C1e C e Selanjutnya tentukan y p 37

38 Pilih y p Ce 4 y p ' 4Ce y p '' 16Ce 4 4 Substitusikan ke PD soal Ce 3.4Ce Ce Jadi e 4 Sehingga SU : ( 16C 1C C) e e 4 4 6C 1 C 1/ y p e 6 y C e 1 C e 1 6 e 4 38

39 . y 3y + y = cos Jawab: Solusi PD Homogen y h = C 1 e + C e Untuk y p dipilih y p = A cos + B sin y p = - A sin + B cos y p = - A cos B sin Kemudian substitusi ke ke PD semula: (-A cos B sin ) 3(-A sin + B cos )+(A cos +B sin )= cos (-A-3B+A) cos + (-B+3A+B) sin = cos (-3B + A) cos + (3A+B) sin = cos -3B + A = 1 dan 3A+B= 0 39

40 Didapat A = 1/10 dan B = -3/10 Jadi solusi umum PD di atas adalah 40

41 b. Jika r() merupakan solusi basis PD homogen, maka kalikan y p dengan (atau, jika akar PK PD Homogen kembar). Contoh : 1. Tentukan Solusi Umum dari y'' 3 y' y e Jawab : 1/30/016 PK PD homogen : Sehingga h 3 0 ( )( 1) 0 ; 1 1 y C e C e 41 1 y e 1 y e

42 Karena r()=solusi basis PD homogen, maka pilih yp Substitusi ke soal Ce yp ' C( e e ) y '' C( e e e ) C( e e ) p C( e e ) 3 C( e e ) Ce e e (C C 3C 3C C) e C1 C 1 Jadi 1/30/016 yp e Sehingga Solusi Umum: 4 y y C e C e e h p 1

43 . Tentukan solusi khusus dari y 3y + y = e, y(0)=1, y (0)=-1 Jawab: Persamaan karakteristiknya: 3 0 ( 1)( ) 0 1 ; 1 Jadi solusi PD homogennya : y C e C e h 1 43

44 yp Ae Kemudian substitusi ke PD semula: y ' Ae Ae, y '' Ae Ae Ae p p y '' Ae Ae p Ae +Ae 3 (Ae + Ae ) + Ae = e -A e = e A = -1 Jadi solusi umum PD di atas adalah y = C 1 e + C e e 44

45 Kita punya y(0)=1 dan y (0)=-1 y = C 1 e + C e e 1=C 1 +C y = C 1 e + C e e e 0=C 1 +C Didapat C 1 =-1, dan C = Jadi solusi khusus PD di atas adalah y = e + e e 45

46 1. Tentukan Solusi umum dari PD berikut a. y '' 3' y cos b. y '' 9y c y y y. '' 3 ' 4 3 d. y '' 3 y ' 4y e. '' ' 3 e. y '' 4y sin f. y '' 4y cos g y h. y '' 4 y ' 4y 9cosh i. y '' 4 y ' 4y e j y y y. '' 3 ' 4 3 k. y '' 9y sin 3 e l. y '' y ' e 3 m. y '' 6 y ' 9y 18cos3 3 n. y '' y ' 3y 8e cos o. y '' 4 y ' 3y 8e e p. y '' 4y /30/016 46

47 . Tentukan Solusi Khusus dari PD berikut a y y y e y y. '' ' 3 ; (0) 0, '(0) b y y y e y y. '' 4 ' 3 10 ; (0) 1, '(0) 3 c y y y e e y y 4 3. '' 3 ' ; (0) 1, '(0) d. y '' 4y 4sin ; y(0) 4, y '(0) 0 e y y y e y y. '' 5 ' 6 ; (0) 1, '(0) 0 f. y '' y ' y 10sin ; y( ) 3, y '( ) 1 1/30/016 47

48 Metoda ini digunakan sebagai alternatif untuk mencari solusi PD non homogen (yp) yang tidak dapat diselesaikan dengan metoda koefisien tak tentu. ay' ' by' cy r( ) (1) Misalkan y uy vy y p, y 1 1 () solusi basis PD homogen 1/30/016 48

49 y u ' y uy ' v' y vy ' p 1 1 Pilih u ' y v' y 0 1 (3) y ' uy ' vy ' Sehingga p 1 (4) y '' u ' y ' uy '' v' y ' vy '' p 1 1 (5) Substitusikan (),(4),(5) ke (1) a( u' y c( uy 1 1 ' uy vy 1 ) '' v' y r( ) ' vy '') b( uy 1 ' vy ') 1/30/016 49

50 u( ay1 '' by1 ' cy1) v( ay'' by' cy) u ' =0 =0 y1' v' y ') r( ) Jadi u ' y ' v' y ' r( ) 1 (6) Dari (3) dan (6) tentukan u dan v u ' y v' y 0 1 u ' y ' v' y ' r( ) 1 1/30/016 50

51 Dengan aturan Cramer diperoleh 0 r( ) y ' y r( ) y y W u ' u d y 1 ' y y 1 ' y1 0 y y1 ' r( ) 1 y y1 r( ) v ' v d, W y y y ' W 1' y y 1 ' y 1 ' 1/30/016 51

52 Contoh 1. Tentukan solusi umum dari PD y' ' 3y' y e 4 Jawab: PK PD homogen : Solusi homogen : 1/30/016 W e e 5 3 e e e e ( )( 1) y 1 1 yh C1e Ce y Solusi non homogen, pilih : p 1 e e 3 3 e 3 y uy vy

53 y uy vy p 1 v u y r( ) W y r( ) 1 W d d e. e e e e d 4 3 d 1 e. e 4 e 3 d 1 e d e /30/016 53

54 y uy vy p yp e. e e. e e Sehingga solusi umum y y y h p 1 C e C e e

55 . y'' y tan Jawab: Persamaan karakteristiknya: i ; i y cos ; y sin 1 Jadi solusi homogennya adalah y C cos C sin h 1 Untuk y p dipilih y uy vy p 1 y y W y ' y 1 1 ' cos sin sin cos 1 1/30/016 55

56 u sin tan 1 d sin cos d 1 cos cos d (sec cos ) d d sec cos d ln sec tan sin v cos tan 1 d sin d cos 56

57 Sehingga didapat y p ln sec tan cos sin cos sin cos sec tan cos ln Jadi solusi umum PD tersebut y y y h p y C cos C sin ln sec tan cos 1 1/30/016 57

58 Tentukan solusi umum dari PD a. y '' y csc b. y '' 4 y ' 5y c. y '' y cot e sin d. y '' 9y sin e e e. y '' 4 y ' 4y e f. y '' y ' y 1 58