19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

Transkripsi

1 PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang paling sederana adala bilangan asli yaitu... Dengan menggunakan bilangan asli kita dapat mengitung banyaknya buku yang kita miliki kendaraan yang melalui suatu jalan orang-orang yang berada dalam suatu ruang dan lain-lainnya. Himpunan semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N. Jadi N { 4 } Jika di dalam impunan semua bilangan asli kita tambakan semua negatifnya dan nol maka diperole bilangan-bilangan bulat yaitu 0 Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z. Jadi Z { 0 } Selanjutnya untuk mengukur besaran-besaran seperti panjang berat dan arus listrik maka bilangan bulat tidak memadai. Dalam al ini bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup. Untuk keperluan ini maka dapat digunakan bilangan-bilangan rasional seperti dan didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b a 7. Bilangan rasional 8 dengan a dan b keduanya bilangan bulat dan b 0. Dengan demikian bilangan-bilangan bulat termasuk bilangan rasional juga. Bilangan bulat merupakan bilangan rasional sebab dapat ditulis sebagai 6. Himpunan semua bilangan rasional biasa dinotasikan dengan Q. Jadi Q { b a a Z b Z b 0} Bilangan rasional yang dapat menjadi ukuran dengan ketelitian yang cukup ternyata masi tidak dapat menjadi ukuran semua besaran misalnya panjang sisi miring segitiga siku-siku berikut.

2 Gambar Dengan menggunakan bilangan irrasional maka al tersebut di atas tidak menjadi masala. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adala. Bilangan irrasional yang lain antara lain 5 7 e dan π. Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatifnya dan nol bilangan-bilangan real bilangan nyata. Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R. Hubungan keempat impunan N Z Q dan R dapat dinyatakan dengan N Z Q R dan digambarkan dengan diagram venn berikut. R Q Z N Gambar Masi terdapat sistem bilangan yang lebi luas dari system bilangan real yaitu bilangan yang secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk a b dengan a dan b keduanya bilangan bulat atau a bi dengan i. Bilangan demikian dinamakan bilangan kompleks dan impunan semua bilangan kompleks dinotasikan dengan C.

3 Dalam buku ini bilangan kompleks tidak dibicarakan lebi lanjut. Jadi apabila dalam buku ini disebutkan suatu bilangan tanpa keterangan apapun dimaksudkan adala bilangan real.. Operasi Bilangan Pada R tela dikenal operasi penjumlaan dan perkalian. Misalkan dan y bilangan real maka penjumlaan dan y ditulis y dan perkalian dan y ditulis. y atau secara singkat ditulis y. Sifat-sifat operasi penjumlaan dan perkalian pada R adala sebagai berikut. Hukum komutatif: y y dan y y. Hukum asosiatif: y z y z dan yz yz. Hukum distributif: y z y z. 4 Elemen-elemen identitas: Teradap penjumlaan: 0 sebab 0. Teradap perkalian: sebab.. 5 Invers balikan: Setiap bilangan real mempunyai invers aditif disebut juga negatif yang memenui 0 dan setiap bilangan real yang tidak nol mempunyai invers multiplikatif disebut juga balikan yaitu yang memenui.. Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan y y dan. y y. Urutan Bilangan-bilangan real bukan nol dibedakan menjadi dua impunan terpisa yaitu bilangan-bilangan real positif dan bilangan-bilangan real negatif. Berdasarkan fakta ini diperkenalkan relasi urutan < dibaca kurang dari yang didefinisikan dengan: < y jika dan anya jika y positif. < y mempunyai arti yang sama dengan y >.

4 Sifat-sifat urutan: Trikotomi: Jika dan y bilangan-bilangan real maka pasti berlaku sala satu di antara yang berikut: < y atau y atau > y. Transitif: jika < y dan y < z maka < z. Penambaan: < y z < y z 4 Perkalian: Jika z positif maka < y z < yz Jika z negatif maka < y z > yz Relasi urutan dibaca kurang dari atau sama dengan didefinisikan dengan: y jika dan anya jika y positif atau nol. Sifat-sifat ini adala: Transitif: jika y dan y z maka z. Penambaan: y z y z Perkalian: Jika z positif maka y z yz Jika z negatif maka y z yz.4. Pertidaksamaan Pertidaksamaan merupakan kaat terbuka yang menggunakan relasi < > atau. Penyelesaian suatu pertidaksamaan adala semua bilangan yang memenui pertidaksamaan tersebut yang biasanya merupakan interval atau gabungan intervalinterval. Mengenai interval dapat dijelaskan sebagai berikut. Interval terbuka ab adala impunan semua bilangan real yang lebi besar dari a dan kurang dari b. Jadi ab { a < < b}. Sedangkan interval tertutup [ab] adala impunan semua bilangan real yang lebi besar atau sama dengan a dan kurang atau sama dengan b. Jadi [ab] { a b}. Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut. 4

5 Penulisan Interval Penulisan Himpunan Dalam Garis Bilangan a b { a < < b} [a b] { a b} [a b { a < b} a b] { a < b} b { < b} b] { b} a { > a} [a { a} R a a a a a a a a b b b b b b b b Conto Pertidaksamaan 7 < < 4 6 < 0 4 > Conto Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan 7 < 4. 7 < 4 < 4 5 < 5 > 5 5 Hp: interval { > 5 } 5

6 Conto Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan 5 6 < < 4 < < Hp: interval [ { < } Conto Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan 6 < 0. 6 < 0 < 0 Hp: interval { < < } Conto 4 Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan > 0 > 0 > 0 Hp: interval { < atau > } Conto 5 5 Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan

7 0 0 dengan syarat mengapa? Hp: interval ] { < }.5 Nilai Mutlak Konsep nilai mutlak sangat diperlukan untuk mempelajari kalkulus. Ole karena pembaca yang ingin memaami betul konsep-konsep dalam kalkulus disarankan mempunyai ketrampilan dalam bekerja menggunakan nilai mutlak. Definisi: Nilai mutlak bilangan real ditulis didefinisikan dengan jika 0 jika < 0 Misal: Sifat-sifat nilai mutlak ab a b a b a b a b a b ketidaksamaan segitiga 4 a b a b Pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak dapat digunakan teorema berikut. 7

8 Teorema:. < a a < < a. > a < a atau > a. Secara fisis dapat menyatakan jarak ke 0 seingga yang memenui < a menyatakan yang jaraknya ke 0 kurang dari a. Secara fisis c dapat menyatakan jarak ke c seingga yang memenui c < a menyatakan yang jaraknya ke c kurang dari a a a 448 a 0 a 64 7 a a 448 a c a Conto Tentukan penyelesaian <. Nilai yang memenui < < merupakan penyelesaian pertidaksamaan <. Gambarkan penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan. Conto Tentukan penyelesaian pertidaksamaan <. < < < < < < < 5 Jadi penyelesaiannya adala yang memenui < < 5. Gambarkan pada garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan ini. 8

9 Conto Tentukan penyelesaian pertidaksamaan atau 5 4 atau 6 4 atau Jadi penyelesaiannya adala yang memenui 4 atau. Gambarkan pada garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan ini. Conto 4 Andaikan ε epsilon adala bilangan positif. Tunjukkan bawa ε < 5 < ε 5 ε < 5 0 < ε. 5 5 < ε < ε < ε Conto 5 Andaikan ε epsilon adala bilangan positif carila bilangan positif δ sedemikian seingga < δ 6 8 < ε 6 8 < ε 6 < ε 6 < ε 6 < ε ε < 6 Ole karena itu dapat dipili δ 6 ε. 9

10 Secara mundur dapat diliat bawa < δ 6 8 < ε. Terkait dengan bilangan akar pangkat dua dapat dinyatakan bawa SOAL Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan berikut dan gambarkan impunan penyelesaiannya pada garis bilangan < < < > < > < <. < 4 7. < 4 9 <. 4 < 8 8. < 5 < < > > > > 0. > 6. 0

11 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI. Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebua fungsi f dari impunan A ke impunan B adala suatu aturan yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut domain daera asal fungsi f dan B disebut kodomain daera kawan. Sedangkan impunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range daera asil. f A B Gambar. Fungsi Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan kodomain. Domain dapat berupa impunan yang beranggotakan orang atau yang lain demikian pula kodomain. Dalam uraian selanjutnya domain dan kodomain dibatasi pada impunan-impunan bilangan real. Untuk memberi nama fungsi digunakan uruf tunggal seperti f atau g atau F maka f menunjukkan nilai yang diberikan ole f kepada. Jadi jika f 4 maka

12 f 4 4 f 4 5 fa a 4 fa a 4 a a a 4 Conto Untuk f carila dan sederanakan: a. f4 b. f4 c. f4 f4 f 4 f 4 d. dengan 0. Conto Untuk f dengan daera asal { 0 } carila daera asil fungsi f.

13 Bilamana untuk sebua fungsi daera asalnya tidak dirinci maka dianggap daera asal fungsi tersebut adala impunan bilangan real seingga aturan fungsinya bermakna dan memberikan nilai bilangan real. Conto a. Daera asal f adala { R }. b. Daera asal gt 9 t adala {t R 9 t 0}. Apabila daera asal dan daera asil sebua fungsi merupakan impunan bilangan real kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat dan grafik fungsi f adala grafik dari persamaan y f. Conto 4 Buatla sketsa grafik dari: a f 4 b g c

14 . Operasi pada Fungsi Jika f dan g dua fungsi maka jumla f g selisi f g asil kali fg asil bagi f/g dan perpangkatan f n adala fungsi-fungsi dengan daera asal berupa irisan dari daera asal f dan daera asal g dan dirumuskan sebagai berikut. f g f g f g f g f g f g f f / g asalkan g 0 g Conto 5 Jika f dan g tentukan f g f g fg f/g dan f. Selanjutnya gambarla sketsa grafiknya. 4

15 Selanjutnya didefinisikan komposisi fungsi sebagai berikut. Jika f dan g dua fungsi dengan daera asal g merupakan daera asil f maka komposisi g o f memenui g o f g f Conto 6 Jika f dan g tentukan g o f dan f o g. Selanjutnya gambarla sketsa grafiknya. g o f g f g f o g f g f 4 Gambar grrafik dibiarkan untuk latian.. Pengertian Limit Perkataan it berarti mendekati seperti Saya suda menaan sampai mendekati batas kesabaran saya atau Janganla kamu mendekati zina. Untuk memaami pengertian it fungsi kita awali dengan fungsi berikut. f Fungsi tersebut tidak terdefinisi di sebab di titik ini f berbentuk 00. Tetapi dapat diselidiki mengenai nilai f di titik-titik yang dekat dengan mendekati. Peratikan nilai f untuk beberapa seperti terliat pada daftar dan grafik y f dapat diliat pada gambar berikut. 5

16 y f ? Gambar. Berdasarkan informasi pada tabel dan pada grafik menunjukkan bawa f mendekati apabila mendekati. Secara matematis al tersebut dituliskan dengan dan ini dibaca it / untuk mendekati adala. Dalam conto ini kita mengubungkan it dengan perilaku fungsi dekat dengan bukannya di. 6

17 .4 Teorema Limit Teorema.4. Misalkan n bilangan bulat positif k konstanta serta f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai it di c maka: k k c c c kf k f c c 4 [ f g] f g c c c 5 [ f g] f g c c c 6 [ f.g] f. g c c c 7 8 f f c asalkan g 0 g g c c n f n f [ ] c c 9 n n c c c f f asalkan f > 0 untuk n bilangan genap. c Bukti teorema.4. ini dibiarkan untuk latian. Dengan menggunakan teorema ini maka penentuan nilai it suatu fungsi akan menjadi lebi muda. Conto 6 Carila teorema.. 5 teorema teorema

18 Conto 7 Carila teorema teorema.. 5. Conto 8 Carila teorema teorema.. dan 9 5 dari conto 7. 5 Ingat bentuk polinom disebut fungsi rasional Teorema.4. f a a a... a 0 a a a... a 0 b b b... b 0 Jika f fungsi polinom maka f fc c n n disebut polinom dan asil bagi Jika f fungsi rasional maka f fc asalkan nilai penyebut di c tidak nol. c n m n m. Teorema.4. ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema.4.. Dengan adanya teorma.4. maka penentuan nilai it fungsi polinom atau fungsi rasional menjadi sangat muda tentunya asalkan syarat perlu pada teorema tersebut untuk fungsi rasional dipenui. 8

19 Conto 9 5 Tentukan Conto 0 Tentukan Conto 7 Tentukan 7 Teorema.4. tidak dapat digunakan karena nilai penyebut di adala nol dan teorema.4. bagian 7 juga tidak dapat dugunakan karena it penyebut nol. Tetapi karena it pembilang maka selama mendekati terjadi pembagian bilangan yang dekat dengan bilangan positif dekat 0. Hasilnya adala sebua bilangan positif yang besar dan dapat dibuat besar sekeendak kita dengan membiarkan cukup dekat dengan. Dalam al ini dikatakan itnya tidak ada. Conto seperti ini akan diuraikan lebi lanjut pada bagian lain. Conto 0 Tentukan 6 Sebelum mencoba mengambil itnya terlebi daulu diadakan penyederanaan pecaan dengan faktorisasi

20 SOAL. Untuk fungsi f itungla masing-masing nilai a. f c. f b. f 6 d. f t. Untuk fungsi gt itungla masing-masing nilai t a. f c. f 4 b. f9 d. f 4. Gambarla grafik fungsi 4 a. f b. > g 0 0 < < 4. Jika f dan g tentukan: a. f g d. f / g b. f g e. g o f c. f g f. f o g 5. Jika f dan g tentukan: a. f g d. f o g b. f / g e. f 4 g 4 c. g o f Dalam soal nomor 6 0 buktikan it-it tersebut

21 . Buktikan bawa jika f L dan f M maka L M. c. Misalkan F dan G adala fungsi-fungsi sedemikian seingga 0 F G untuk semua dekat dengan c kecuali mungkin di c buktikan bawa jika G 0 maka F 0. c c Untuk soal-soal berikut no. s.d. 0 tentukan nilai it fungsi berikut. 7 4 c u u u u 4 t 7t 7 t t 4t 5 w w w 6 w 4w 4 w 0. y y y y y y

22 .5 Limit Kiri dan Limit Kanan Definisi Limit f untuk mendekati c dari kiri adala L ditulis f L c jika untuk setiap bilangan ε > 0 betapapun kecilnya terdapat bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila 0 < c < δ maka berlaku f L < ε. Limit f untuk mendekati c dari kanan adala L ditulis f L c jika untuk setiap bilangan ε > 0 betapapun kecilnya terdapat bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila 0 < c < δ maka berlaku f L < ε. Teorema.5. f L jika dan anya jika f f L c c c Conto 4 f < Tentukan f f dan f selanjutnya gambarkan grafik fungsi f. f f Karena f f maka f.

23 Conto 5 g Tentukan g g dan g < selanjutnya gambarkan grafik fungsi g Tentukan g g dan g selanjutnya gambarkan grafik fungsi f. g g Karena g g maka g tidak ada..6 Limit Tak Hingga Conto 6 Carila 0 jika ada. ± ± 05 4 ± 0 5 ± 0 00 ± ± ± bilangan seingga tidak ada. 0 Untuk menunjukkan jenis perilaku seperti uang ditunjukkan dalam conto ini kita gunakan notasi Semakin mendekati 0 juga semakin dekat dengan 0 dan nilai menjadi sangat besar liat tabel di samping. Nampak dari grafik fungsi f yang diperliatkan pada gambar.4 bawa nilai f dapat dibuat sangat besar dengan mengambil cukup dekat ke 0. dengan demikian nilai f tidak mendekati suatu

24 0 Hal ini tidak berarti bawa kita menganggap sebagai suatu bilangan. Tidak juga bermakna bawa it tersebut ada. Notasi tersebut anyala menyatakan cara kusus untuk menunjukkan bawa it tersebut tidak ada. Secara umum kita tuliskan f c untuk menunjukkan nilai f menjadi semakin besar ketika semakin mendekati c. Limit jenis serupa untuk fungsi yang menjadi negatif tak beringga ketika mendekati c dituliskan dengan f c Conto 7 0 Hal ini juga dapat diberlakukan untuk it kiri dan it kanan f f c c f f c c Sebua garis c disebut asimtot tegak kurfa y f jika paling sedikit sala satu dari pernyataan berikut benar: f f f c c c c f f f c Sebagai conto sumbu Y atau 0 merupakan asimtot tegak kurva y karena 0. c 4

25 Conto 8 Hitungla π tan dan π tan tan π tan π sin cos π sin cos π sin π π π π cos sin cos.7 Kekontinuan Fungsi Definisi Misalkan f : A R suatu fungsi maka a. Fungsi f dikatakan kontinu di c A jika f f c b. Fungsi f dikatakan kontinu pada impunan A jika f kontinu disetiap anggota A. c Definisi a mengandung arti bawa f dikatakan kontinu di c A jika dipenui ketiga syarat berikut: f ada c Nilai fc ada f f c c 5

26 Conto 9 4. f Apaka f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. f f ada 4 Karena f f maka f tidak kontinu di. 4 ada Gambarkan grafik fungsi f diserakan kepada pembaca. 4. f Apaka f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. f 4 f tidak ada Karena f tidak ada maka f tidak kontinu di. Gambarkan grafik fungsi f diserakan kepada pembaca. 4 ada 4. f 4 Apaka f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. 6

27 f f 4 ada 4 Karena f f maka f kontinu di. 4 ada Gambarkan grafik fungsi f diserakan kepada maasiswa. 4. f < Apaka f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. f f Karena f f maka f ada Liat kembali conto 4. f ada Karena f f maka f kontinu di. Gambarkan grafik fungsi f diserakan kepada maasiswa. 5. g < Apaka g kontinu di? Gambarkan grafik fungsi g. g g 7

28 Karena maka tidak ada. g g g liat kembali conto 5 Karena tidak ada maka g g tidak kontinu di SOAL. Tentukan it sepiak berikut: a. 0 b. 0 c. > < 0 0 f 0 f dan 0 f f f. Apaka fungsi-fungsi berikut kontinu di? a. t 8 t t t t 8

29 b. t 8 4 t t t t c. g < d. f > 4. f > < 0 0 a. Apaka f kontinu di 0? b. Apaka f kontinu di? 4. > < 0 0 g a. Apaka g kontinu di 0? b. Apaka g kontinu di? 9

30 TURUNAN FUNGSI. Pengertian Turunan Fungsi Definisi Turunan fungsi f adala fungsi f yang nilainya di c adala f c f c f c 0 asalkan it ini ada. Conto Jika f 4 maka turunan f di adala f f f Jika f mempunyai turunan di setiap anggota domain maka f f f 0 dy Jika y f turunan y atau turunan f dinotasikan dengan y atau atau f atau d df d 0

31 Conto Jika f 4 maka turunan f di sembarang adala f f f Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat. Jika f k dengan k konstan untuk setiap f fungsi konstan maka f 0. Bukti: f f f 0 k k 0 0. Jika f untuk setiap f fungsi identitas maka f. Bukti: f f f Jika f n dengan n bilangan bulat positif untuk setiap maka f n n. Bukti: f f f 0 n n 0

32 0 n n n 0 n n n n n n n n... n... n n n n n n n n n n n... n 0 n 0 n n n n n Conto Jika f 5 maka turunan f adala f 5 4. Sifat-sifat Turunan Jika k suatu konstanta f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan u dan v fungsifungsi dalam seingga u f dan v g maka berlaku:. Jika y ku maka y ku. Jika y u v maka y u v. Jika y u v maka y u v 4. Jika y u v maka y u v u v 5. Jika y v u u ' v uv ' maka y v Conto 4. Jika f 5 maka f Jika f 5 maka f 5 4. Jika f 5 maka f Jika f maka f Jika f maka f

33 6. Jika f p dengan p bilangan bulat negatif maka f n dengan n p seingga f n 0.. n f n n n n n p p n n n n u n. Dengan menggunakan turunan y diperole v n.4 Aturan Rantai untuk Turunan Fungsi Komposisi Untuk menentukan turunan y dengan cara mengalikan bersama kesembilan faktor kemudian mencari turunan polinom berderajat 6 tentula sangat melelakan. Cara yang muda untuk menentukan turunan y adala dengan menggunakan aturan rantai. Aturan Rantai Misalkan y fu dan u g menentukan fungsi komposisi yang dirumuskan dengan y fg f o g. Jika g terdiferensialkan di dan f terdiferensialkan di u g maka y f o g terdiferensialkan di dan atau y f o g f g g dy d dy du du d Fungsí komposisi dapat diperluas menjadi komposisi fungsi 4 fungsi dan seterusnya. Jika y fu u gv v yakni y f o g o maka dy d dy du du dv dv d

34 Conto 5 Tentukan turunan y Misalkan u 4 du d y u 9 dy 9u 8. du dy dy du 9u 8 7 d du d Turunan Fungsi Invers Misalkan y f dan f mempunyai invers f seingga f y. Dengan menggunakan aturan rantai pada f y diperole d df y d dy d dy d dy dy d dy d dy d.6 Turunan Fungsi Implisit Fungsí implisit secara umum dapat ditulis sebagai f y 0 dengan y sebagai fungsí dalam. Conto fungsi implisit: y 8 0 y 7y 0 Conto 6 dy. Tentukan dari fungsí yang dirumuskan dengan y 8 0 d Apabila kedua ruas y 8 0 diturunkan teradap maka diperole: 4

35 dy 6 0 d dy 6 d dy. Tentukan dari fungsí yang dirumuskan dengan y 7y 0 d Apabila kedua ruas y 7y 0 diturunkan teradap maka diperole: 6 y dy dy 7 0 d d dy 7 6 y d dy 6 y d 7.7 Turunan Tingkat Tinggi Jika fungsi diturunkan maka turunannya yaitu f juga berupa fungsi seingga bole jadi f mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan ole f f. Fungsi yang f baru ini disebut turunan kedua dari f karena dia merupakan turunan dari turunan f. Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari y f sebagai Notasi lain adala f D f d d dy d y d d Conto 7 Jika f tentukan f. f 7 untuk mencari f kita turunkan f : d f 7 d 6 Conto 8 Jika f tentukan f. 5

36 f d d d 4 7 d d f [ ] d d [5 4 d 4 7] [ 5 4] d d d 4 4 d d d d d 5 5 d 4 4 d

37 SOAL dy Carila untuk yang berikut d. y y. y 4 6. y. y 4. y 7. y dy Dengan aturan rantai tentukan untuk yang berikut d 8. y y y 0. y Tentukan turunan fungsí implisit berikut. y y y y 6 7. y y 0. y 4 8. y sin y 4. y cos y y 5. y 9y y y y 7