Hendra Gunawan. 25 April 2014

Transkripsi

1 MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 April 014

2 Kuliah yang Lalu Persamaan Diferensial Linear Orde, Homogen 15. Persamaan Diferensial Linear Orde, Tak Homogen 15.3 Penggunaan Persamaan Diferensiali Orde 4/5/014 (c) Hendra Gunawan

3 Kuliah Hari Ini Persamaan Diferensial Linear Orde, Homogen 15. Persamaan Diferensial Linear Orde, Tak Homogen (Lanjutan) 15.3 Penggunaan Persamaan Diferensiali Orde 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 3

4 MA101 MATEMATIKA A 15. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE, TAK HOMOGEN (LANJUTAN) Menentukansolusi ikhusus dan solusi umum persamaan diferensial linear orde tak homogen (dengan metodevariasi i parameter) 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 4

5 Ingat: Metode Koefisien Tak Tentu Diberikan PDB linear orde tak homogen y + a 1 y + a y = k(x), kita dapat mencari solusi ikhusus y p dengan Metode Koefisien Tak Tentu: 1. Jika k(x) polinom, maka y p juga polinom.. Jika k(x) () = a.e cx, maka y = Ae cx p. 3. Jika k(x) = a.cos rx + b.sin rx, maka y p = A.cos Acosrx + B.sin Bsinrx. 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 5

6 Metode Variasi Parameter Untuk k(x) sembarang, solusi khusus y p dapat p diperoleh dengan Metode Variasi Parameter: Jika u 1 (x) dan u (x) adalah solusi yang saling bebas dari PDB homogen y + a 1 y + a y = 0, maka solusi khusus PDB tak homogen y + a 1 y + a y = k(x) berbentuk y p = c 1 () (x).u 1 ()+ (x) c () (x).u () (x), dengan c 1 u 1 + c u = 0 c 1 u 1 + c u = k(x). 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 6

7 Contoh Tentukan solusi umum PDB y + y = sec x. [*] Jawab: Solusi persamaan homogennya adalah y h = C 1 cos x + C sin x. Karena itu, solusi khusus [*] mestilah berbentuk y p = c 1 (x).cos x + c (x).sin x, dengan c 1.cos x + c.sin x = 0 c 1.( sin x)+ c.cos x= sec x. Dari kedua persamaan ini, didapat c 1 = tan x dan c = 1. 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 7

8 Jadi, c ( x ) ( tan x ) dx ln cos x 1( c ( x ) dx x. [Kita abaikan konstanta sembarang, karena kita sedang mencari sebuah solusi khusus.] Dengandemikian, solusi khususnya adalah y p = (ln cos x ).cos x + x.sin x; dan karena itusolusi iumum PDB [*] adalah y = (ln cos x + C 1 ).cos x + (x + C ).sin x. ; 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 8

9 Soal Tentukan solusi umum PDB y + y = csc x.cot x. Jawab: Solusi persamaan homogennya adalah y h = C 1 cos x + C sin x. Karena itu, solusi khusus [*] mestilah berbentuk y p = c 1 (x).cos x + c (x).sin x, dengan c 1.cos x + c.sin x = 0 c 1.( sin x)+ c.cos x= csc xcotx x.cot x. Dari kedua persamaan ini, didapat c 1 = cot x dan c = cot x. 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 9

10 Jadi, c1 ( x) ( cot x) dx ln sin x ; c( x) x. cot x. dx (csc x 1) dx cot x Dengan demikian, solusi khususnya adalah y p = ( ln sin x ).cos x (x + cot x).sin x; dan karena itu solusi umum PDB [*] adalah y = ( ln sin x + C 1 ).cos x + (x + cot x + C ).sin x. 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 10

11 MA101 MATEMATIKA A 15.3 PENGGUNAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE Menentukan persamaan gerak pegas (dengan atau tanpa redaman) Menentukan persamaan muatan dan arus pada rangkaian listrik R L C 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 11

12 Pegas Bergetar/Berosilasi Diketahui sebuah pegas digantung secara vertikal, dan dibebani suatu objek A [Gbr ()] (a)]. Pegas tsb ditarik sejauh y 0 satuan di bawah titik kesetimbangannya [Gbr (b)], lalu dilepas dgn kecepatan awal v 0. Maka pegas akan berosilasi. 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 1

13 Pegas Bergetar/Berosilasi Jika gesekan dengan udara diabaikan, maka menurut Hukum Hooke, gaya F yang cenderung mengembalikan titik ujung pegas (P) ke titik kesetimbangannya (0) akan sebanding dengan simpangannya, yakni F = ky, dengan k > 0 konstanta pegas dan y menyatakan simpangan pegas (jarak P dari 0). Dalam hal ini, y merupakan fungsi dari waktu (t). 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 13

14 Pegas Bergetar/Berosilasi Menurut Hukum II Newton, F = ma = (w/g)a, dengan m = massa objek A, w = berat objek A, a = percepatan titik P, dan g = konstanta per cepatan akibat gravitasi. Jadi w d y ky. g dt Solusinya, y = y(t), harus memenuhi syarat awal y(0) = y 0 dan y (0) y( = v 0. 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 14

15 Pegas Bergetar/Berosilasi Jika kita misalkan B = k.g/w = k/m, maka PDB tadi menjadi d y B y 0. dt Solusi umum PDB ini adalah y = C 1 cos Bt + C sin Bt. Jika y(0) = y 0 dan y (0) = 0, maka C 1 = y 0 dan C = 0, sehingga solusinya adalah y = y 0 cos Bt. Dalam hal ini pegas pg berosilasi dgnamplitudo y 0 dan periode π/b (tidak kembali ke posisi setimbang). 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 15

16 Pegas Berosilasi Teredam Jika pegas mengalami gesekan sebanding dgn kecepatan dy/dt, maka persamaan gerakpegas tsb menjadi w g d y dt ky yang dapat dinyatakan sebagai d y dt E dy dt B q y dy dt dengan E = q/m dan B = k/m. 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 16 0,,

17 Pegas Berosilasi Teredam Persamaan karakteristik PDB tsb adalah r + Er + B = 0, yang memiliki akar r 1, E E 4 Dalam hal ini kita harus meninjau 3 kasus, yang terkait dengan nilai E 4B ; apakah ia positif, nol, atau negatif. B. 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 17

18 Kasus 1: E 4B < 0 Dalam kasus ini, persamaan karakteristik mempunyai akar kompleks, r 1 1, = α ± βi, dan solusi umum PDB nya adalah t y e ( C1 cos t C sin t). Perhatikan bh bahwa y 0 bila t. 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 18

19 Kasus : E 4B = 0 Dalam kasus ini, persamaan karakteristik mempunyai 1 akar real kembar, r 1 1, = α, dengan α = E/, dan solusi umum PDB nya adalah y C e 1 C te t t Di sini ipegas mengalami redaman kritis.. 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 19

20 Kasus 3: E 4B > 0 Dalam kasus ini, persamaan karakteristik mempunyai akar real berbeda, r 1 = α 1 dan r = α (dua duanya bernilai negatif; mengapa?), dan solusi umum PDB nya adalah y C e 1 C 1 t t Pegas mengalami redaman berlebih! bih! e 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 0.

21 Contoh/Latihan Sebuah pegas pg dengan konstanta pegas pg k = 10 digantung dengan beban bermassa m =,5 (satuan k dan m telah disesuaikan). Jika beban tsb ditarik ke bawah sejauh 5 cm dari posisi setimbang dan kemudian dilepaskan, tentukan simpangan pegas tsb setiap saat, apabila (a) pegas tidak mengalami gesekan; (b) pegas mengalami gesekan dengan fk faktor redaman q = 0,. 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 1

22 Rangkaian Listrik R L C PDB orde juga muncul pada rangkaian listrik R L C. Berdasarkan Hukum Kirchhoff, muatan Q pada kapasitor akan memenuhi PDB d Q L dt dq R dt 1 C E( t). Sementara itu, arus I = dq/dt, memenuhi PDB d I L dt di R dt 1 C I Q E'( t). 4/5/014 (c) Hendra Gunawan

23 Contoh/Latihan Diketahui rangkaian listrik R L C dengan R = 16, L = 0.0, C = x 10 4, dan E = 0 (satuan telah disesuaikan). Tentukan muatan dan arus pada rangkaian tersebut, sebagai fungsi dari waktu. Asumsikan bhw Q = 0 dan I = 0 pada saat t = 0. 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 3

24 Ciao! Sampai Jumpa! Selamat Belajar. Semoga Sukses! 4/5/014 (c) Hendra Gunawan 4