MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : 2 (DUA)

Transkripsi

1 MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) Muammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN Bone-Bone Luwu Utara Sulsel ttp://meetabied.wordpress.com

2 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami susun sebagai sala satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebi muda. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaa mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diarapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam keidupan seari-ari. STANDAR KOMPETENSI : 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecaan masala. KOMPETENSI DASAR : 6. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam peritungan turunan fungsi 6. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecakan masala 6. Merancang model matematika dari masala yang berkaitan dengan ekstrim fungsi 6.4 Menyelesaikan model matematika dari masala yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya TUJUAN PEMBELAJARAN :. Mengitung limit fungsi yang mengara ke konsep turunan.. Mengitung turunan fungsi yang sederana dengan menggunakan definisi turunan. Menentukan sifat-sifat turunan fungsi 4. Menentukan turunan fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat turunan 5. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan Rantai 6. Menentukan fungsi monoton naik dan turun dengan menggunakan konsep turunan pertama 7. Menentukan titik ekstrim grafik fungsi 8. Menentukan persamaan garis singgung dari sebua fungsi 9. Mengidentifikasi masala-masala yang bisa diselesaikan dengan konsep ekstrim fungsi 0. Merumuskan model matematika dari masala ekstrim fungsi. Menyelesaiakan model matematika dari masala ekstrim fungsi. Menafsirkan solusi dari masala nilai ekstrim KEGIATAN BELAJAR : I. Judul sub kegiatan belajar :. Pengertian Turunan Fungsi. Rumus-rumus Turunan Fungsi. Turunan Fungsi Trigonometri 4. Dalil Rantai 5. Garis Singgung 6. Fungsi Naik dan Turun 7. Menggambar grafik fungsi

3 II. Uraian materi dan conto PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI Definisi turunan : Fungsi f : y atau y f () mempunyai turunan yang dinotasikan y f () atau dy df() dan di definisikan : d d y f () lim f( + ) f() atau dy lim f ( + ) f() 0 d 0 Notasi kedua ini disebut notasi Leibniz. Conto : Tentukan turunan dari f() 4 Jawab f() 4 f( + ) 4( + ) Seingga: f () lim f ( + ) f ( ) 0 (4 + 4 ) (4 lim lim 0 4 lim 0 lim Conto ; Tentukan turunan dari f() Jawab : f() f( + ) ( + ) ( + + ) ) f ( + ) f ( ) Seingga : f () lim 0 ( ) lim lim 0 lim Latian Dengan definisi di atas tentukan nilai turunan berikut:. f() 6. f() 5 +. f ( ) 4. f ( ) 5. f() )

4 RUMUS-RUMUS TURUNAN dy. Turunan f() a n adala f () an n- atau an n- d. Untuk u dan v suatu fungsi,c bilangan Real dan n bilangan Rasional berlaku a. y ± v y v ± u b. y c.u y c.u c. y u.v y u v + u.v d. u ' u' v uv' y y v v e. y u n y n. u n-.u Conto: Soal ke- Jika f() + 4 maka nilai f () yang mungkin adala. Pembaasan f() + 4 f (). 6 Soal ke- Nilai turunan pertama dari: f() () adala Pembaasan f() f () Soal ke- Turunan ke- dari f() (-)(4+) adala Pembaasan f() (-)(4+) f() + 8 f() 5 f () 4 5 Soal ke- 4 Jika f() ( ) maka nilai f () adala Pembaasan f() ( ) f () ( ) () f () 6( ) f () 6( )( ) f () 6(4 4+) f () Soal ke- 5 Turunan pertama dari f() (5 ) adala Pembaasan f() (5 ) f () (5 ) (0) f () 0 (5 ) f () 00 0 Soal ke- 6 Turunan pertama dari f() ( 6) ( + ) adala

5 Pembaasan f() ( 6) ( + ) Cara : Misal : U 6 U 6 6 V + V Seingga: f () U V + U V f () (6 6)(+) + ( +6). f () f () 9 Cara : f() ( 6) ( + ) f () f () 9 + f () 9 Latian soal. Tentukan turunan dari:. f() -. f() 5. f() 4 4. f() f() ( + ) ( ) ( + ) 6. f() 4 7. f() ( +) 8. f() 5 TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Dengan menggunakan definisi turunan kita bias menentukan turunan dari :. f() sin Yaitu : f() sin f( + ) sin ( + ) f ( + ) f ( ) f () lim o sin( + ) sin( ) lim 0 cos ( + )sin lim 0 cos sin lim cos ( + )lim 0 0 (). cos. f() cos

6 Yaitu : f() cos f( + ) cos ( + ) f ( + ) f () lim o cos( + ) lim 0 - sin ( f ( ) cos( ) sin + )sin lim 0 sin lim( sin ( + )lim ) 0 0 (). - sin Jadi diperole rumus turunan fungsi trigonometri :. a. f() sin f () cos b. f() cos f () - sin. a. f() sin (a + b) f () a cos (a + b ) b. f() cos (a + b) f () - a sin (a + b ) dan jika u suatu fungsi maka:. a. f() sin u f () u cos u b. f() cos u f () - u sin u Conto : Tentuka turunan dari: a. f() sin + cos b. f() sin (5 ) c. f() tan jawab: a. f() sin + cos f () cos - sin b. f() sin (5 ) f () 5 cos (5 ) sin c. f() tan cos missal : u sin u cos v cos v - sin u' v uv ' f () v cos.cos sin.( sin ) cos cos + sin cos cos sec Latian soal : Tentukan turunan dari fungsi berikut :. f() sin cos. f() sin. f() cos ( + π )

7 π 5. f() sec 6. f() sin. cos 7. f() cos 4. f() tan ( + ) 8. f() sin DALIL RANTAI UNTUK MENENTUKAN TURUNAN Apabila y f(g()) maka y f (g()). g () Dari rumus y f(g()) y f (g()). g () du dy Jika g() u g () dan f(g()) f(u) y f(u) f (u) f (g()) d du Maka f () f (g()). g () dapat dinyatakan ke notasi Leibniz menjadi dy dy du. d du d Dan bentuk tersebut dapat dikembangkan jika y f ( u(v)) maka: dy dy du dv.. d du dv d Conto: Dengan notasi Leibniz tentukan turunan dari : a. y ( 4 ) π b. y cos 5 ( ) Jawab: a. y ( 4 ) du missal : u d dy 4 y u 4 u du 4 ( ) Seingga : dy dy du 4. ( ).( ) d du d 8 4 ( ) π b. y cos 5 ( ) π Misal: v dv - d du π u cos v - sin v - sin ( dv dy y u 5 5u 4 5(cos v) 4 du Seingga : dy dy du dv π. 5(cos v) 4. - sin ( d du dv d ). - )

8 π 0 (cos v) 4 sin ( ) π 0 (cos( π ) ) 4 sin ( Latian soal :. Dengan rumus turunan y f ( g()) adala f () f (g() ). g () Tentukan turunan dari: a. y ( 4 + 5) b. y sin ( - π ). Dengan notasi Leibniz tentukan turunan fungsi berikut : a. y ( 6 ) b. y cos ( 4 - π ) c. y sin - ( + π ) ) GARIS SINGGUNG PADA KURVA. Gradien garis singgung y yf() B(a+),f(a+) Peratikan gambar di samping Gradien garis AB adala y y m AB f ( a + ) f ( a) ( a + ) a f ( a + ) f ( a) A(a,f(a) g a a+ Apabila garis ABdiputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A ( 0) maka tali busur ABmenjadi garis singgung (g) pada kurva y f() di titik A (a,f(a))dengan gradient f ( a + ) f ( a) mg lim 0 m f '( a) g Seingga persamaan garis singgung pada kurva y f() di titik A (a,f(a)) atau A (,y ) adala y y m ( ) Conto : Diketaui kurva y + 4 dan titik A (,4) a. Tentukan gradient garis singgung di titik A. b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A. Jawab:

9 y + 4 y a. Gradien di titik A (,4) m y. 6 b. Persamaan garis singgung di titik A (,4) y y m ( ) y 4 ( ) y 4 9 y 5 Latian soal. Tentukan gradien garis singgung pada kurva: a. y 6 di titik (-,7) b. y sin di titik ( π, ). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva a. y di titik (,) b. y - di titik dengan absis c. y (-)( +) di titik dengan ordinat 8. Suatu garis singgung pada kurva y + sejajar dengan garis 4 + y, tentukan : a. Titik singgung b. persamaan garis singgung FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN y f( ) y f( ) f( ) f( ) 0 0. Fungsi f() disebut fungsi naik pada interval a b, jika untuk setiap dan dalam interval a b berlaku : > f( ) > f( ) (gb. ). Fungsi f() disebut fungsi turun pada interval a b, jika untuk setiap dan dalam interval a b berlaku : > f( ) < f( ) (gb. ). Fungsi f disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f (a) > 0 4. Fungsi f disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f (a) < 0 Conto Tentukan pada interval mana fungsi f() merupakan : a. Fungsi naik

10 b. Fungsi turun Jawab: f() f () a. Syarat fungsi naik f () > > > 0 (+) (+5) > 0 Harga batas -, Jadi fungsi naik pada interval < 5 atau > - a. Syarat fungsi turun f () < < < 0 (+) (+5) < 0 Harga batas -, Jadi fungsi naik pada interval -5 < < - Latia soal. Tentukan pada interval mana fungsi berikut merupakan fungsi naik atau fungsi turun. a. f() 6 b. f() c. f() ( -) (+). Tunjukkan bawa fungsi f() tidak perna turun. NILAI STASIONER y A B C D Peratikan grafik fungsi y f() disamping Pada titik A,B,C dan D dengan absis berturutturut a, b, c dan d menyebabkan f () 0 maka f(a), f(b), f(c) dan f(d) merupakan nilai nilai stasioner. 0 a b c d Jenis jenis nilai stasioner. Nilai stasioner di titik A. Pada : < a diperole f () > a a diperole f () a > a diperole f () < a a Fungsi yang mempunyai sifat demikian dikatakan fungsi f() mempunyai nilai stasioner maksimum f(a) pada a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik maksimum.. Nilai stasioner di titik B dan D. a. Pada : < b diperole f () < 0 b diperole f () 0 > b diperole f () < b Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada b dan titik (b,f(b)) disebut titik belok. b. Pada : < d diperole f () > 0 d diperole f () d + 0 +

11 > d diperole f () > d d fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada dan titik (d,f(d)) disebut titik belok Pada titik B atau D sering anya disingkat nilai stasioner belok.. Nilai stasioner di titik E Pada : < e diperole f () < 0 e diperole f () 0 > e diperole f () > e Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(e) pada e dan titik (e,f(e)) disebut titik balik minimum. Conto : Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f() + Jawab : f() + f () + ( + ) Nilai stasioner didapat dari f () 0 ( + ) 0 - f(-) (-) + (-) - Jadi diperole titik stasioner (-,-) ( + ) f () Bentuk grafik Titik balik minimum Latian. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya pada fungsi berikut : a. f() 6 b. f() 9 + c. f() 4 4 d. f() e. f() ( ) 4 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI Untuk menggambar grafik fungsi y f() ada beberapa langka sebagai berikut :. Tentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu ( jika muda ditentukan ), yaitu diperole dari y 0.

12 . Tentukan titik potong dengan sumbu y, yaitu diperole dari 0.. tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya. 4. tentukan nilai-nilai y untuk nilai besar positif dan untuk yang besar negative. Conto : Diketaui persamaan y f(), tentukan : a. Tentukan titik potong dngan sumbu dan sumbu y. b. Nilai stasioner dan titik stasioner. c. Nilai y untuk besar positif dan untuk besar negative. d. Titik Bantu Jawab: a. i. Grafik memotong sumbu, bila y 0. Y 0 0 ( ) 0 ( - ) ( + ) Titik potong sumbu adala (0,0), (,0), (-,0) ii. memotong sumbu y, jika 0 y y.0-0 y 0 titik potong sumbu y adala (0,0) b. Syarat stasioner adala : f () 0 f () ( - ) ( ) ( + ), - untuk, f() () () -, f(-) (-) (-) - nilai stasionernya : y dan y - titik stasioner : (,) dan (-,-) c. y, untuk nilai besar maka bilangan dapat diabaikan teradap, seingga y -. Jika besar positif maka y besar negative dan jika besar negative maka y besar positif. d. Titik Bantu - - y, y Soal latian Gambarla grafik :. y + 9. y 4

13 -. y ( ) 4. (8 ) III.. Tes Formatif ( Terlampir) IV. Daftar pustaka Tim penulis MGMP Matematika SMA kota Semarang, Matematika SMA / MA XI A IPA, ( Semarang : CV. Jabbaar Setia, 008) Tim penyusun KREATIF Matematika, Matematika SMA/MA kelas XI IPA semester gasal, ( Klaten, Viva Pakarindo, 007) Simangunsong Wilson, Matematika dasar, ( Jakarta: Erlangga, 005)