BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 4. BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG DISKRET

Transkripsi

1 Pertemuan 7. BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 4. BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG DISKRET 4. Pendahuluan 4.2 Distribusi seragam diskret 4.3 Distribusi binomial dan multinomial Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal. Pandang suatu kelompok usaha yang berupaya pengambilan tiga bahan secara acak dari suatu hasil pabrik, diperiksa, dan kemudian yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Bahan yang cacat akan disebut sukses. Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak X dengan bilangan bulat dari 0 sampai 3. Kedelapan hasil yang mungkin ( C = cacat, T = tak cacat ) dan nilai X adalah Hasil x TTT 0 TCT TTC CTT TCC 2 CTC 2 CCT 2 CCC 3 Karena bahan tersebut dipilih secara bebas dari hasil proses yang dianggap menghasilkan 25% = 4 bahan yang cacat, maka P (T CT ) = P (T )P (C)P (T ) = ( 3 4 )( 4 ) 3 4 ) = 9 distribusi peluang X adalah x f(x) Distribusi peluang peubah acak diskret X ini disebut distribusi binomial dan dinyatakan dengan B(x; n, p) n, banyaknya usaha p, peluang sukses P (X = ) = f() = b(; 3, 4 ) = 27 P (X = 2) = f(2) = b(2; 3, 4 ) = 9 Distribusi binomial Suatu usaha bernoulli dapat menghasilakan sukses den-

2 gan peluang p dan gagal dengan peluang q = p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas, ialah ( n b(x; n, p) = p x) x q n x, x = 0,, 2, 3,..., n Contoh 4. Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang 3/4. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak. Contoh 4.2 Peluang untuk seorang penderita penyakit darah yang jarang adalah 0,4. Bila diketahui ada 5 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapkah peluangnya. paling sedikit 0 akan sembuh, 2. antara 3 samapi 8 yang sembuh, 3. tepat 5 yang sembuh?. Teorema 4. Distribusi binomial b(x; n, p) mempunyai rataan dan variansi µ = np dan σ 2 = npq Contoh 4.3 Hitung rataan dan variansi peubah acak binomial di contoh 4., dan gunakan teorema Chebyshev untuk menafsirkan selang µ ± 2σ Tugas 7 4., 4.2, dan 4.3 Nomor, 5, 9, 22. Seorang dipilih dari 0 karyawan untuk mengawasi suatu proyek dengan cara memilih satu gulungan kertas dari sebuah kantung berisi 0 gulungan bernomor sampai 0. Bila X adalah peubah acak yang menyatakan bilangan yang tertulis dalam gulungan kertas yang diambil secara acak, carilah rumus distribusi peluang X. Berapakah peluang mengambil bilangan lebih kecil dari 4? 2. Seorang petani jeruk mengeluh karena 2/3 dari panen jeruknya terasang sejenis virus. Cari peluangnya bahwa diantara 4 buah jeruk yang diperiksa dari hasil panen ini. a. Semuanya terserang virus tersebut. b. antara sampai 3 yang terserang virus tersebut. 3. Dalam pengujian sejenis ban truk melalui jalan yang kasar ditemukan bahwa 25% truk mengalami kegagalan karena ban pecah. Dari 5 truk yang diuji selanjutnya, carilah peluang bahwa a. dari 3 sampai 6 mengalami ban pecah b. kurang dari 4 yang mengalami pecah c. lebih dari 5 yang mengalami ban pecah. 2

3 4. Dari soal nomor 3 diatas a. Dari ke 5 truk, berapakah yang dapat diharapkan akan kempis bannya? b. Gunakan teorema Chebysev untuk menentukan selang banyaknya truk yang kempis dari 5 yang diuji sehingga peluangnya jatuh dalam selang tersebut paling sedikit 3/ BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU 5. Distribusi Normal Distribusi normal Fungsi padat peubah acak normal X, dengan rataan µ dan variansi σ 2, ialah n(x; µ, σ) = e (/2)[(x µ)/σ]2, < x < dengan π = 3, dan e = 2, Berikut kurva normal untuk µ = 0 dan σ = 2 Dengan melihat dua buah kurva normal dengan kedua rataan berbeda dan kedua simpangan baku berbeda serta dengan memeriksa turunan pertama dan kedua diperoleh lima sifat kurva normal berikut. modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada x = µ 2. kurva setangkup terhadap sumbu tegak yang melalui rataan µ 3. kurva mempunyai titik belok pada x = µ ± σ, cekung dari bawah bila µ σ < X < µ + σ, dan cekung dari atas untuk x lainnya 3

4 4. kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila nilai X bergerak menjauhi µ baik ke kiri maupun kekanan 5. seluruh luas dibawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan. Sekarang diperlihatkan bahwa parameter µ dan σ 2 adalah betul rataan dan variansi distribusi normal E(X) = xe (/2)[(x µ)/σ]2 dx Dengan mengganti z = (x µ)/σ dan dx = σdz, diperoleh E(X) = (µ + σz)e z2 /2 dz = µ = µ. + 0 = µ e z2 /2 dz + dan begitu juga untuk variansi nya adalah σ 2 σ ze z2 /2 dz Banyak peubah acak mempunyai distribusi peluang yang dapat dinyatakan dengan cukup baik oleh kurva normal begitu µ dan σ 2 ditentukan. 5.2 Luas dibawah kurva normal P (x < X < x 2 ) = x 2 x e (/2)[(x µ)/σ]2 dx Bilamana X mendapat nilai x, nilai Z padanannya diberikan oleh z = (x µ)/σ, jadi P (x < X < x 2 ) = = x2 x z2 z e (/2)[(x µ)/σ]2 dx e z2 /2 dz = P (z < Z < z 2 ) dengan Z terlihat merupakan suatu peubah acak normal baku dengan rataan nol dan variansi. Defenisi 5. Distribusi peubah acak normal dengan rataan nol dan variansi disebut dengan distribusi normal baku. Pada Tabel Luas dibawah kurva normal baku yang berpadanan dengan P (Z < z) untuk nilai z dari -3,49 sampai 3,49 Contoh 5. Diketahui suatu distribusi normal dengan µ = 50 dan σ = 0, carilah peluang 4

5 bahwa X mendapat nilai antara 45 dan 62 Contoh 5.2 Diketahui distribusi normal dengan µ = 300 dan σ = 50, carilah peluangnya bahwa X mendapat suatu nilai lebih besar dari 362 Pengampuh : Afrizal,S.Pd,M.PMat Sumber : Ilmu peluang dan statistika untuk insinyur dan ilmuwan, R E Walpole 5