ANALISIS TEORITIS DAN EMPIRIS UJI CRAPS DARI DIEHARD BATTERY OF RANDOMNESS TEST UNTUK PENGUJIAN PEMBANGKIT BILANGAN ACAKSEMU

Transkripsi

1 ANALISIS TEORITIS DAN EMPIRIS UJI CRAPS DARI DIEHARD BATTERY OF RANDOMNESS TEST UNTUK PENGUJIAN PEMBANGKIT BILANGAN ACAKSEMU Sari Agustini Hafman dan Arif Fachru Rozi 2,2 Lembaga Sandi Negara 2 ABSTRAK Menurut Kerchoffs (883), eamanan sistem riptografi harus hanya bergantung pada unci yang digunaan dalam sistem tersebut. Umumnya, unci dihasilan oleh Pseudo Random Number Generator (PRNG) atau Random Number Generator (RNG). Terdapat tiga tipe eacaan yang dihasilan oleh PRNG dan RNG yaitu pseudorandom sequence (barisan acasemu), cryptographically secure pseudorandom sequences (barisan acasemu yang aman secara riptografi) dan real random sequences (barisan yang aca nyata). Untu memerisa tipe eacaan yang dihasilan oleh suatu PRNG atau RNG digunaan berbagai uji statisti, diantaranya diehard battery of test of randomness. Mengingat tujuan, dasar pengambilan parameter pengujian serta proses pembentuan statisti uji berhubungan dengan valid atau tidanya esimpulan yang dihasilan dari suatu uji statisti maa dilauan ajian terhadap salah satu uji yang terdapat dalam diehard battery of randomness test yaitu uji craps. Uji yang terinspirasi dari permainan craps ini bertujuan untu memerisa apaah suatu PRNG menghasilan barisan acasemu yang berdistribusi identi dan independen (iid). Untu menunjuan proses pembentuan serta penerapan permainan craps pada statisti uji craps, dilauan analisis teoritis dengan menerapan berbagai teori statisti terhadap uji tersebut. Selain itu, dilauan observasi secara empiris dengan menerapan uji craps pada beberapa PRNG dengan tujuan untu memerisa eefetifan uji tersebut dalam mendetesi bentu distribusi dan independensi barisan yang dihasilan suatu PRNG. Kata unci: Identi dan Independen (iid), Permainan Craps, Pseudo Random Number Generator (PRNG), Uji Craps ABSTRACT According to Kerchoffs (883), the security system should only rely on cryptographic eys which is used in that system. Generally, the ey sequences are generated by a Pseudo Random Number Generator (PRNG) or Random Number Generator (RNG). There are three types of randomness sequences that generated by the RNG and PRNG i.e. pseudorandom sequence, cryptographically secure pseudorandom sequences, and real random sequences. Several statistical tests, including diehard battery of tests of randomness, is used to chec the type of randomness sequences that generated by PRNG or RNG. Due to its purpose, the principle on taing the testing parameters and the test statistic are associated with the validity of the conclusion produced by a statistical test, then the theoretical analysis is performed by applying a variety of statistical theory to evaluate craps test, one of the test included in the diehard battery of randomness tests. Craps test, inspired by craps game, aims to examine whether a PRNG produces an independent and identically distributed (iid) pseudorandom sequences. To demonstrate the process to produce a test statistics equation and to show how craps games applied on that test, will be carried out theoretical analysis by applying a variety of statistical theory. Furthermore, empirical observations will be done by applying craps test on a PRNG in order to chec the test effectiveness in detecting the distribution and independency of sequences which produced by PRNG. Keywords: Craps Games, Craps Test, Independent and Identically Distributed (iid), Pseudo Random Number Generator (PRNG) PENDAHULUAN Menurut Kerchoffs (883), eamanan sistem riptografi harus hanya bergantung pada unci yang digunaan dalam sistem tersebut. Umumnya, unci dihasilan oleh Pseudo Random Number Generator (PRNG) atau Random Number Generator (RNG). Terdapat tiga tipe eacaan yang dihasilan oleh PRNG dan RNG yaitu pseudorandom sequence (barisan acasemu), cryptographically secure pseudorandom sequences (barisan acasemu yang aman secara riptografi) dan real random sequences (barisan yang aca nyata). Barisan diataan acasemu jia secara

2 Analisis Teoritis dan Empiris Uji Craps dari Diehard Battery of Randomness Test untu Pengujian statisti terlihat aca (berdistribusi seragam dan saling bebas). Barisan diataan aman secara riptografis bila barisan tersebut secara statisti terlihat aca serta unpredictable (etidaterdugaan). Barisan diataan aca nyata bila memenuhi tiga syarat yaitu barisan tersebut secara statisti terlihat aca, etidaterdugaan dan barisan yang sama tida dapat dihasilan embali (Schneier, 996). Untu memerisa tipe eacaan yang dihasilan oleh suatu PRNG atau RNG pendeatan yang umum digunaan adalah membangitan barisan unci dalam jumlah besar dang mengapliasian berbagai uji statisti pada barisan tersebut. Uji statisti yang banya digunaan diantaranya diehard battery of test of randomness. Informasi yang diperoleh dari hasil pengujian eacaan hanya untu membedaan barisan unci tersebut dari barisan unci yang aca nyata. Uji tersebut dianggap sebagai uji yang menggunaan pendeatan blac box arena tida memperhitungan strutur dari PRNG/RNG yang digunaan untu menghasilan barisan tersebut. Mengingat tujuan, dasar pengambilan parameter pengujian serta proses pembentuan statisti uji berhubungan dengan valid atau tidanya esimpulan yang dihasilan dari suatu uji statisti maa dilauan ajian terhadap salah satu uji yang banya digunaan dalam pengujian eacaan barisan unci yaitu uji craps yang terdapat dalam diehard battery of randomness. Uji yang terinspirasi dari permainan craps ini bertujuan untu memerisa apaah suatu PRNG menghasilan barisan acasemu yang berdistribusi identi dan independen (iid) atau tida. Untu menunjuan proses pembentuan serta penerapan permainan craps pada statisti uji craps, dilauan analisis teoritis dengan menerapan berbagai teori statisti terhadap uji tersebut. Selain itu, dilauan observasi secara empiris dengan menerapan uji craps pada beberapa PRNG dengan tujuan untu memerisa eefetifan uji tersebut dalam mendetesi bentu distribusi dan independensi barisan yang dihasilan suatu PRNG. TEORI DASAR Distribusi Normal Distribusi Normal adalah model distribusi ontinu yang penting dalam teori probabilitas. Distribusi normal memilii urva berbentu lonceng yang simetris. Dua parameter yang menentuan distribusi normal adalah mean (μ) dan variansi (σ 2 ). Fungsi erapatan probabilitas dari distribusi normal adalah: f(x) = (x μ) 2 σ 2π e 2σ 2 μ adalah rata-rata, σ 2 adalah variansi dan π = 3,459 Teorema : Jia X adalah suatu peubah aca binom dengan mean μ = np dan variansi σ 2 = npq maa bentu limit dari distibusi X np Z = npq dengan n adalah berdistribusi N(0,). Distribusi Chi-Square Variabel aca ontinu X mempunyai distribusi chi square dengan derajat bebas v jia fungsi erapatannya adalah f(x; v) = { 2 v 2Γ( v ) xv 2 2 0, lainnya dengan v adalah integer positif. Distribusi Multinomial e x 2, x > 0 Definisi. (Soejati,2005) Distribusi multinomial adalah distribusi peluang bersama freuensi-freuensi sel n,, n dalam n trial multinomial dengan parameter p,, p yang masing-masing merupaan peluang sel. Fungsi peluang distribusi multinomial adalah f(n,, n ) = n! n! n! p n n p untu n i = n. Parameter-parameter itu memenuhi p i = Nilai espetasi dan variansi dari distribusi multinomial adalah E(n i ) = dan Var(n i ) = ( p i ) dimana i =,2,,. Teorema 2. Misalan y,, y berdistribusi multinomial dengan probabilitas p,, p maa untu n besar, variabel aca tida negatif χ 2 = (y i ) 2 dimana i =,2,, () mendeati distribusi chi-square dengan derajat bebas = dengan harga mean χ 2 adalah μ =. Jurnal CAUCHY ISSN:

3 Sari Agustini Hafman dan Arif Fachru Rozi Persamaan pertama ali diperenalan dan dipelajari oleh Karl Pearson pada tahun 900 sehingga dienal dengan nama Pearson s chi square statistic. Harga mean χ 2 hanya tergantung pada banya sel atau elas (banya emunginan yang dapat terjadi pada esperimen multinomial) dan tida tergantung pada harga p i, i =,2,,. Buti : mean(χ 2 ) = E(χ 2 ) = E(y i ) 2 = var(y i) = ( p i ) p i = p i = Rumus transformasi χ 2 dengan persamaan sering ditulis χ 2 = (y i ) 2 = (O i E i ) 2 E i dengan O i = y i adalah freuensi sel i yang diobservasi dalam sampel beruuran n, sedangan E i = = mean(y i ) adalah mean atau freuensi sel i yang diharapan (nilai espetasi). Uji Chi-Square Goodness of Fit Teorema 3. Uji chi-square goodness of fit antara freuensi yang diobservasi dengan freuensi yang diharapan, berdasaran pada uuran χ 2 = (O i E i ) 2 (2) E i dengan χ 2 adalah nilai variabel aca yang distribusi samplingnya hampir mendeati distribusi chi-square dengan derajat bebas v =, O i adalah freuensi yang diobservasi dane i adalah freuensi yang diharapan untu setiap sel e-i. Prosedur uji chi-square goodness of fit berdasaran atas distribusi pendeatan maa prosedur ini sebainya tida digunaan jia freuensi harapan sangat ecil atau e i < 5. Jia dalam proses perhitungan terdapat freuensi harapan yang lebih ecil dari lima maa freuensi tersebut dapat digabungan dengan freuensi yang lain supaya prosedur diatas terpenuhi (Soejati, 985). Uji Craps Ide uji craps berasal dari permainan craps. Craps merupaan suatu permainan yang melibatan dua buah dadu yang dilauan oleh seorang pemain atau lebih. Craps dimainan dalam baba (round) yang diatur dalam aturan permainan craps. Beriut adalah aturan permainan Craps. a. Jia jumlah mata dadu 7 atau pada lemparan pertama maa pelempar dinyataan menang. b. Jia jumlahnya 2,3, atau 2 maa pelempar alah. c. jia jumlahnya 4,5,6,8,9 atau 0 maa pelempar dapat melanjutan lemparannya sampai ia mendapatan anga yang sama seperti lemparan pertama (dinyataan menang) atau 7 (dinyataan alah). Berdasaran aturan permainan craps tersebut, Marsaglia mengajuan uji craps yang terdiri dari dua buah uji statisti yaitu : a. uji untu menganalisis jumlah emenangan (uji ) Pada uji ini diasumsian permainan dilauan sebanya n ali, minimal ali. Dari n ali permainan tersebut aan dihitung jumlah emenangannya. Banyanya emenangan harus mendeati distribusi normal dengan rataan p dan variansi p(-p) dengan p = 244/495. b. uji untu menganalisis banyanya lemparan sampai permainan selesai (uji 2) Pada uji ini aan dihitung banyanya melauan lemparan dadu yang dilauan seorang pemain sampai permainannya selesai. Banyanya lemparan yang dilauan oleh setiap pemain dapat bervariasi mulai dari sampai ta hingga. Tetapi pada uji ini mesipun pemain dapat melauan lemparan lebih dari 2 ali, lemparan tetap dianggap sebanya 2 ali sehingga jumlah lemparan hanya aan dielompoan edalam 2 elas. Banyanya lemparan harus berdistribusi chisquare dengan derajat bebas 20. Pseudorandom Number Generator (PRNG) Definisi (Schneier, 996): PRNG adalah pembangit barisan bilangan acasemu, yang membutuhan seed (input) dengan proses pembangitan tiap elemen tergantung dari formulasi matematis yang digunaan pada PRNG tersebut. 28 Volume 2 No. 4 Mei 203

4 Analisis Teoritis dan Empiris Uji Craps dari Diehard Battery of Randomness Test untu Pengujian Proses pembangitan tiap elemen dari PRNG memilii hubungan linier sesuai fungsi matematis yang digunaan, sehingga untu meminimalisir elinierannya, digunaan fungsi non-linier dan pengaturan parameter inputnya. Untu memenuhi sifat unpredictable, pada umumnya PRNG menggunaan input berupa barisan bit aca yang berasal dari suatu RNG. Terdapat tiga tipe PRG berdasaran prinsip erjanya yaitu : a. Tipe Linear Tipe ini berdasaran pada hubungan linear yang berulang yang digunaan untu menghitung nilai selanjutnya dari nilai sebelumnya. Salah satu contoh PRNG bertipe Linear adalah Multiply with Carry Generator (MWC). b. Tipe Shift Register Tipe ini mengambil beberapa nilai yang berurutan dari suatu multiple recursive generator (MRG) untu mengonstrusi output selanjutnya. Contoh PRNG bertipe shift register adalah shift register generator 3 bit dan shift register generator 32 bit. c. Tipe Nonlinear Tipe PRNG yang tida menghasilan strutur berpola dan menghasilan output yang berlau seperti barisan yang aca nyata hampir di seluruh periode. Salah satu contoh PRNG bertipe nonlinear adalah inverse congruential generator (ICG). METODE PENELITIAN Penelitian ini terdiri atas dua tahap yaitu penelitian secara teoritis dan secara empiris. Beriut penjelasan dari edua metode tersebut. Penelitian Secara Teoritis Penelitian secara teoritis dilauan terhadap statisti uji craps bai uji maupun uji 2 dengan menerapan berbagai teori statisti terhadap uji-uji tersebut Penelitian Secara Empiris Data yang digunaan pada penelitian ini merupaan data simulasi yang berasal dari 0 PRNG yang berasal dari tiga tipe PRNG. Kesepuluh PRNG beserta parameternya seperti yang diperlihatan pada Tabel. Jumlah data yang dibangitan oleh esepuluh PRNG tersebut sebesar Mbyte (Marsaglia,985). Tabel. Sepuluh PRNG dan Parameternya Tipe Nama PRNG Parameter Linear Multiply With MWC- a= x = 9, c = 7 Carry (MWC) MWC- 2 a= x=9, c=7 MWC- 3 a= x=9, c=7 Shift Shift SRG3- L=3, R=8 Register Register Generator SRG3- L=8, R=3 (SRG) 3 Bit 2 SRG3- L=24, R=7 3 Shift Register SRG32- Shift Register 7 dan 5 Generator (SRG) 32 SRG32-2 Shift Register 5 dan 7 Bit SRG32- Shift Register 3 3, 7 dan 5 Nonlinear Inverse Congruential Generator (ICG) a = 9 b = 3 seed = 247 Karena uji craps bertujuan untu menguji sifat eacaan dari suatu PRNG maa sebelum menerapan uji craps terlebih dahulu dilauan pembangitan barisan unci sebesar Megabyte dari etiga PRNG tersebut. Kedua statisti uji craps digunaan untu menghitung p-value. P- value ini selanjutnya aan dibandingan dengan tingat epercayaan (α). Tingat epercayaan yang digunaan dalam penelitian ini adalah 0,00. Jia p value α maa hipotesis nol diterima atau barisan diataan aca. Jia p value < α maa hipotesis nol ditola atau barisan diataan tida aca. PEMBAHASAN Analisis Teoritis Pada tahap ini dilauan analisis teoritis dengan menerapan berbagai teori statisti terhadap proses pembentuan statisti uji pada edua statisti uji yang terdapat dalam uji craps. Hasil analisisnya adalah sebagai beriut. a. Proses pembentuan statisti uji pada uji Misalan : G adalah jumlah permainan, N adalah banyanya lemparan, X i, Y i adalah outcome pada lemparan e-i, Z i = X i + Y i adalah jumlah score pada lemparan e-i, I adalah indiator etia menang yang dinyataan dengan :, jia menang I = { 0, jia alah A adalah ejadian mendapat mata dadu berjumlah 7 atau Jurnal CAUCHY ISSN:

5 Sari Agustini Hafman dan Arif Fachru Rozi B adalah ejadian mendapat mata dadu berjumlah 4 pada lemparan e- dan e-2 C adalah ejadian mendapat mata dadu berjumlah 5 pada lemparan e- dan e-2 D adalah ejadian mendapat mata dadu berjumlah 6 pada lemparan e- dan e-2 E adalah ejadian mendapat mata dadu berjumlah 8 pada lemparan e- dan e-2 F adalah ejadian mendapat mata dadu berjumlah 9 pada lemparan e- dan e-2 G adalah ejadian mendapat mata dadu berjumlah 0 pada lemparan e- dan e-2 Probabilitas memperoleh mata dadu berjumlah 2,3,4,..., 2 pada lemparan pertama diperoleh sebagai beriut : P(Z = 2) = P(Z = 2) = P(Z = 3) = P(Z = ) = 2 P(Z = 4) = P(Z = 0) = 3 P(Z = 5) = P(Z = 9) = 4 P(Z = 6) = P(Z = 8) = 5 P(Z = 7) = 6 (3) Probabilitas jumlah emenangan pada permainan craps diperoleh dari : ) probabilitas memperoleh mata dadu bernilai 7 atau pada lemparan pertama dari dua dadu P(A) = P(Z = 7) + P(Z = ) = 2 9 2) probabilitas memperoleh mata dadu bernilai sama (4,5,6,8,9 atau 0) bai pada lemparan pertama atau edua P(B) = P(Z = 4) P(I = Z = 4) P(Z = 4) = P(Z = 4) P(Z = 4) + P(Z = 7) = = P(C) = P(Z = 5) P(I = Z = 5) = = 2 45 P(D) = P(Z = 6) P(I = Z = 6) = 5 5 = P(E) = P(Z = 8) P(I = Z = 8) = = P(F) = P(Z = 9) P(I = Z = 9) = = 2 45 P(G) = P(Z = 0) P(I = Z = 0) = = P(I = ) = = sehingga P(I = 0) = Karena jumlah emenangan saat permainan craps diulang sebanya atau G = merupaan peubah aca binom dengan p = maa diperoleh μ = = 98585,86 σ 2 = Dengan menggunaan teorema diperoleh statisti uji pada uji yaitu zscore = X np npq = X 98585, Berdasaran central limit theorem, untu n distribusi dari zscore = X 98585,86 mendeati N(0,) b. Proses pembentuan statisti uji pada uji 2 Pada proses pembentuan statisti uji pada uji 2, terlebih dahulu harus dihitung probabilitas dari jumlah lemparan yang mungin dilauan seorang pemain. Seperti yang telah dijelasan sebelumnya jumlah lemparan dielompoan edalam 2 elas mulai dari elas yang merepresentasian pemain hanya dapat melauan lemparan sebanya satu ali atau dengan ata lain alah pada lemparan pertama atau menang pada lemparan pertama. Diataan alah pada lemparan pertama yaitu etia jumlah mata dadu pada lemparan pertama bernilai 2, 3 atau 2, sedangan diataan menang pada lemparan pertama adalah etia mata dadu bernilai 7 atau. Kelas yang lain yaitu elas 2 sampai 2 terjadi etia jumlah mata dadu bernilai sama (4,5,6,8,9 atau 0) pada lemparan pertama, edua dan seterusnya. Beriut adalah proses pembentuan statisti ujinya. ) Untu elas (N = ) Karena probabilitas melempar hanya ali adalah P(N = Z = z) =. maa probabilitas elas adalah P(N = ) = P(Z = 2) P(N = Z = 2) +P(Z = 3) P(N = Z = 3) +P(Z = 2) P(N = Z = 2) +P(Z = 7) P(N = Z = 7) +P(Z = ) P(N = Z = ) = Volume 2 No. 4 Mei 203

6 Analisis Teoritis dan Empiris Uji Craps dari Diehard Battery of Randomness Test untu Pengujian + 2 = 2 Setelah probabilitas dari elas e- diperoleh maa dapat dihitung nilai harapannya etia G = yaitu E(N = ) = P(N = ) = = 66666,7 2) Untu elas yang lain (N = n) dengan n = 2,3,,20 Probabilitas melempar sebanya n ali merupaan distrisbusi geometri sehingga P(N = n Z = z) = P Z=z ( P Z=z ) (n ) = P Z=z ( P Z=z untu n = 2,3,,20 dengan P Z=z adalah probabilitas permainan berahir saat muncul jumlah mata dadu 7(Z = 7) yang pertama. Sehingga P Z=z = P(Z = z) + P(Z = 7). maa untu z = 4,5,6,8,9,0 diperoleh P Z=4 = P(Z = 4) + P(Z = 7) = 3 = 9 P Z=5 = P(Z = 5) + P(Z = 7) = 4 = 0 P Z=6 = P(Z = 6) + P(Z = 7) = 5 = P Z=8 = P(Z = 8) + P(Z = 7) = 5 = P Z=9 = P(Z = 9) + P(Z = 7) = 4 = 0 P Z=0 = P(Z = 0) + P(Z = 7) = 3 = 9 Probabilitas elas e-n adalah P(N = n) = P(Z = 4) P(N = n Z = 2) +P(Z = 5) P(N = n Z = 5) +P(Z = 6) P(N = n Z = 6) +P(Z = 8) P(N = n Z = 8) +P(Z = 9) P(N = n Z = 9) +P(Z = 0) P(N = n Z = 0) arena P(Z = 4) = P(Z = 0)dan P(N = n Z = 4) = P(N = n Z = 0) serta P(Z = 5) = P(Z = 9)dan P(N = n Z = 5) = P(N = n Z = 9), maa P(N = n) = 2 P(Z = 4) P(N = n Z = 4) + 2 P(Z = 5) P(N = n Z = 5) + 2 P(Z = 6) P(N = n Z = 6) = 2 P(Z = 4) P Z=4 ( P Z=4 +2 P(Z = 5) P Z=5 ( P Z=4 +2 P(Z = 6) P Z=6 ( P Z=4 = ( ( ( = 24 ( 3 4 )n ( ( 25 untu n = 2,3,4,,20 Tabel 2 Probabilitas dan Nilai Harapan dari Kelas e-2 s.d. Kelas e-20 Kelas e- Probabilitas Nilai Harapan n P (N=n) E (N=n) 2 0, ,3 3 0, ,7 4 0, ,5 5 0, ,4 6 0, ,5 7 0, ,0 8 0, , 9 0, ,9 0 0, ,3 0, ,3 2 0, ,7 3 0, ,7 4 0, , 5 0, ,8 6 0, ,2 7 0, ,5 8 0, ,8 9 0, ,0 20 0, ,2 Seperti pada elas e- maa setelah diperoleh probabilitas dari masing-masing elas maa dapat dihitung nilai harapannya etia G = yaitu E(N = n) = P(N = n) untu n = 2,3,4,,20. Probabilitas dan nilai harapan dari elas e-2 s.d. e-20 ditampilan pada Tabel 2. 3) Untu elas e-2 (N = 2) Pada uji 2 diasumsian lemparan di atas 2 ali memilii emunginan yang ecil untu terjadi (seperti yang ditunjuan pada Tabel 3) maa mesipun pemain dapat melauan lemparan lebih dari 2 ali, lemparan tersebut dimasuan dalam elas e-2. Aibatnya probabilitas elas e-2 merupaan gabungan dari probabilitas etia lemparan mencapai 2 ditambah probabilitas etia lemparan diatas 2 ali atau dapat dihitung sebagai beriut : P(N = 2) = [P(N = ) + P(N = 2) + + +P(N = 20)] = 0,004 Jurnal CAUCHY ISSN:

7 Sari Agustini Hafman dan Arif Fachru Rozi sehingga nilai harapan elas e-2 etia G = yaitu E(N = 2) = ,004 = 287, Tabel 3 Probabilitas Kelas e-2 s.d. Kelas e-35 Kelas e- Probabilitas n P (N=n) 2 0, , , , , ,03E ,88E ,3E ,6E ,32E-05 3,7E-05 32,25E ,9E ,77E ,98E-06 Karena banyanya lemparan merupaan data bersala nominal dan tujuan dari uji adalah untu mengetahui apaah banyanya lemparan membentu distribusi seperti yang diharapan untu suatu barisan aca maa staisti uji yang digunaan adalah chi-square goodness of fit yang dinyataan dengan persamaan : 2 chisq = (O n E(N = n)) 2 n= dengan derajat bebas 20. E(N = n) Berdasaran prosedur uji chi-square goodness of fit yaitu nilai freuensi harapan tiap elas e i 5 maa pada uji 2 jumlah permainan yang harus dilauan minimal harus lebih dari atau sama dengan 945 ali atau G 945. Karena probabilitas elas bervariasi maa nilai yang diambil sebagai rujuan adalah probabilitas terecil. Dari elas e- s.d. elas e-2 probabilitas terecil dimilii oleh elas e-20 yaitu 0, Buti : e i = G P(N = n) dengan minimal P(N = 2) = 0, maa 5 = G 0, sehingga minimal G = 5 = 944,8485 = , p adalah notasi untu proporsi. Basic step : p(945) benar arena 945 0, = 5, Inductive step : misalan p(g) benar sehingga G 0, maa aan ditunjuan bahwa saat p(g + ) juga benar. p(g + ): (G + ) 0, (G + ) 0, = (G 0, ) +(0, ) 5 Menurut hipotesis indusi G 0, sedangan untu G > 945, nilai 0, lebih besar dari 0 sehingga 0, aan memperbesar nilai di ruas anan persamaan. Aibatnya (G 0, ) + (0, ) 5 jelas benar. Jadi G pada uji 2 adalah G 945. Pada uji 2 ini, Marsaglia mereomendasian menggunaan G yang lebih besar dari 945 yaitu (Marsaglia and Tsang, 2002). Analisis Empiris Hasil pengujian dengan menggunaan dua uji dari uji craps pada sepuluh PRNG ditampilan bai dalam bentu tabel maupun gambar. Tabel 4 memperlihatan hasil pengujian dengan menggunaan uji craps e- pada sepuluh PRNG. Tabel 4. Hasil Pengujian dengan Menggunaan Uji Craps e- Generator Uji z-score P-value Ket. MWC- -3,269 0,00054 td aca MWC-2-0,053 0,47885 aca MWC-3-0,63 0,26435 aca SRG3- -0,83 0,2029 aca SRG3-2 2,52 0,98430 aca SRG3-3 -0,78 0,42925 aca SRG32-0,269 0,60603 aca SRG32- -0,286 0,38759 aca SRG32-3 0,269 0,60603 aca ICG 0,73 0,76720 aca Pada Tabel 4 terlihat bahwa hanya PRNG MWC- yang tida lulus uji craps e- sedangan esembilan PRNG yang lain lulus uji tersebut. Hal ini arena jumlah emenangan sebenarnya (hasil observasi) MWC- memilii nilai yang jauh lebih ecil dari jumlah emenangan harapan dengan selisih sebesar 730,86. Berbeda dengan esembilan PRNG lain yang memilii selisih tida terlalu jauh dari nilai harapan yaitu -85,86 s.d. 48,4. Informasi mengenai jumlah emenangan observasi dan jumlah harapan esepuluh PRNG tersebut ditampilan pada Tabel 5. Berdasaran informasi yang diperoleh dari Tabel 4 dan Tabel 5 terlihat bahwa uji craps e- cuup efetif untu 222 Volume 2 No. 4 Mei 203

8 Analisis Teoritis dan Empiris Uji Craps dari Diehard Battery of Randomness Test untu Pengujian mendetesi bentu distribusi dan independensi barisan yang dihasilan suatu PRNG. Tabel 5 Jumlah Kemenangan vs Jumlah Harapan dari Sepuluh PRNG Nama PRNG Jumlah Menang Observasi Harapan Selisih MWC ,86-730,86 MWC ,86 -,86 MWC ,86-40,86 SRG ,86-85,86 SRG ,86 48,4 SRG ,86-39,86 SRG ,86 60,4 SRG ,86-63,86 SRG ,86 60,4 Hasil pengujian pada esepuluh PRNG dengan menggunaan uji craps e-2 diperlihatan pada Tabel 6. Pada Tabel 6 terlihat bahwa seluruh PRNG lulus uji e-2. Hal ini arena nilai observasi pada tiap elas tida berbeda jauh dengan nilai harapannya. Sebagai contoh ditampilan hasil pengujian dengan menggunaan uji craps e-2 pada PRNG MWC- secara lengap pada Tabel 7. Tabel 6 Hasil Pengujian dengan Menggunaan Uji Craps e-2 Generator Uji 2 chisq P-value Ket. MWC- 26,69 0, aca MWC-2 22,55 0, aca MWC-3 9,82 0, aca SRG3-5,48 0,25595 aca SRG3-2 8,4 0, aca SRG3-3 26,39 0, aca SRG32-6,33 0, aca SRG32-6 0, aca SRG32-3 6,33 0, aca ICG 9 0,4785 aca Pada Tabel 7 terlihat bahwa nilai observasi pada tiap elas tida berbeda jauh dengan nilai yang diharapan yaitu antara -205, s.d. 259,7. Hal tersebut diperuat dengan Gambar. Pada Gambar terlihat bahwa banyanya lemparan sebenarnya (hasil observasi) dengan nilai harapan tiap elas tida memilii selisih yang terlalu jauh Gambar Grafi Banyanya Lemparan vs Nilai Harapan Tiap Kelas pada MWC- Berdasaran informasi dari Tabel 6 dan Tabel 7 serta Gambar, terlihat bahwa uji craps e-2 cuup efetif untu mendetesi bentu distribusi dan independensi barisan yang dihasilan suatu PRNG. PENUTUP Berdasaran hasil penelitian yang telah dilauan maa dapat disimpulan bahwa : Tabel 7 Hasil Pengujian dengan Menggunaan Uji Craps e-2 pada MWC Generator- Kelas Observed Expected Chisq Sum Pada uji craps e-, jumlah emenangan saat permainan craps merupaan peubah aca binom sehingga dengan menggunaan central limit theorem diperoleh bahwa statisti uji e- mendeati distribusi normal bau. 2. Statisti uji yang digunaan pada uji craps e- 2 adalah uji chi-square goodness of fit dengan distribusi hipotesis adalah distribusi Jurnal CAUCHY ISSN:

9 Sari Agustini Hafman dan Arif Fachru Rozi multinomial arena banyanya lemparan yang dihitung pada uji craps e-2 merupaan data bersala nominal yang terdiri dari 2 elas dan tujuan dari uji e-2 adalah untu mengetahui apaah banyanya lemparan membentu distribusi seperti yang diharapan untu suatu barisan aca. 3. Sesuai dengan prosedur uji chi-square goodness of fit maa jumlah permainan yang harus dilauan pada uji craps e-2 minimal harus lebih atau sama dengan 945 ali. 4. Hasil pengujian terhadap sepuluh PRNG yang berasal dari tiga tipe PRNG yang berbeda menunjuan uji craps bai uji maupun uji- 2 cuup efetif untu mendetesi bentu distribusi dan independensi barisan yang dihasilan suatu PRNG. REFERENSI [] Kerchoffs A., (883), La Cryptographic Militaire. Journal des Sciences Militaires IX [2] Marsaglia G., (985), A current view of random number generator, Keynote Addres, Proc.Statistics and Computer Science : 6 th Symposium on the Interface, Atlanta. [3] Marsaglia G. & Tsang W.W., (2002), Some dificult-to-pass of randomness, Journal of Statistical Software. 7, Issue 3. [4] Schneier B., (996), Applied Cryptography : Protocols, Algorithms and Source Code in C 2 nd Edition, John Wiley & Sons, Canada. [5] Soejati Z., (985), Metode Statistia 2 Edisi, Universitas Terbua, Jaarta. 224 Volume 2 No. 4 Mei 203