Probabilitas dan Statistika Distribusi Peluang Diskrit 2. Adam Hendra Brata

Transkripsi

1 Probabilitas dan Statistika Distribusi Peluang Diskrit 2 Adam Hendra Brata

2 Distribusi Hipergeometrik Distribusi Hipergeometrik Jika sampling dilakukan tanpa pengembalian dari kejadian sampling yang diambil dari populasi dengan kejadian-kejadian terbatas, proses bernouli tidak dapat digunakan, karena ada perubahan secara sistematis dalam probabilitas sukses seperti kejadian2 yang diambil dari populasi (karena jika tidak dikembalikan, maka nilai peluang untuk tiap percobaan tidak akan tetap) Jika pengambilan sampling tanpa pengembalian digunakan dalam situasi sebaliknya dan memenuhi syarat proses bernouli, distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit yang tepat

3 Distribusi Hipergeometrik Distribusi Hipergeometrik Distribusi hipergeometrik mempunyai sifat-sifat sebagai berikut : Secara acak diambil sebanyak n tanpa dikembalikan dari N benda k dari N benda diklasifikasikan sukses dan N-k diklasifikasikan gagal Jumlah sukses X dari eksperimen hipergeometrik disebut peubah acak hipergeometrik

4 Distribusi Hipergeometrik Distribusi Hipergeometrik Distribusi peluang dari peubah acak hipergeometrik disebut dengan distribusi hipergeometrik, dan nilainya dinotasikan dengan notasi berikut : h( ; N, n, k) Distribusi peluang dari peubah acak hipergeometrik X, yaitu jumlah sukses dari sampel acak berukuran n yang diambil dari N benda, di mana terdapat k jumlah sukses dan N-k jumlah gagal adalah : k N k n h( ; N, n, k), N n 0,1,2,..., n

5 Distribusi Hipergeometrik Contoh 1 Dari suatu kotak yang berisi 40 suku cadang, 3 di antaranya rusak. Jika diambil secara acak buah suku cadang, tentukan peluang sampel tersebut berisi 1 komponen rusak? Dengan distribusi hipergeometrik dengan n =, N = 40, k = 3, dan = 1, diperoleh : ( 1;40,,3) h

6 Distribusi Hipergeometrik Contoh 2 Sebuah perwakilan beranggotakan orang dipilih secara acak dari 3 orang mahasiswa SI dan orang mahasiswa TIF. Tentukan rumus distribusi peluang banyaknya mahasiswa SI yang terpilih dalam panitia tersebut, lalu hitung peluang terpilihnya 2 orang mahasiswa SI! Misalkan X menyatakan peubah acak yang menyatakan banyaknya mahasiswa STI yang terpilih dalam panitia tersebut

7 Distribusi Hipergeometrik Contoh 2 N = + 3 = 8; n = ; k = 3 Untuk = 2, maka ), ;8, ( h ), 2;8, ( h

8 Distribusi Hipergeometrik Distribusi Hipergeometrik Mean dan Variansi 2 nk N N N n 1. n. k N 1 k N

9 Distribusi Hipergeometrik Kasus Khusus Distribusi Hipergeometrik Bila N benda dapat dikelompokkan dalam k-sel A 1, A 2,, A k yang masing-masing berisi a 1, a 2,, a k benda, maka distribusi peluang acak X 1, X 2,, X k yang menyatakan banyaknya benda (anggota) yang terambil dari A, A,, A dalam suatu sampel acak berukuran n adalah : f (, 1 dengan 2,..., k i1 k ; a, a 1 i n 2,..., a k, N, n) dan k i1 a a 1 1 a N n i N a k k

10 Distribusi Hipergeometrik Contoh 3 Sepuluh orang dipakai dalam suatu penelitian biologi. 3 orang diantara mereka bergolongan darah O, 4 orang bergolongan darah A, dan 3 orang bergolongan darah B. Diambil orang diantara mereka secara acak, berapa peluang 1 orang diantaranya bergolongan darah O, 2 bergolongan darah A, dan 2 bergolongan darah B? N = 10, n = 1 = 1, 2 = 2, 3 = 2, a 1 = 3, a 2 = 4, a 3 = f ( 1, 2,3;3, 4,3,10,)

11 Distribusi Poisson Distribusi Poisson Eksperimen Poisson adalah eksperimen yang menghasilkan nilai numerik dari peubah acak X pada selang waktu yang tertentu atau daerah tertentu Contoh kasus : jumlah panggilan telepon dalam waktu 1 jam yang diterima oleh resepsionis banyaknya pertandingan tenis yang terpaksa diundurkan karena terjadinya hujan selama musim hujan banyaknya tikus dalam satu hektar sawah banyaknya salah ketik dalam satu halaman

12 Distribusi Poisson Distribusi Poisson Eksperimen Poisson diturunkan dari proses Poisson Sifat-sifat proses Poisson : Jumlah hasil yang terjadi dalam satu selang waktu atau daerah tertentu adalah independen terhadap hasil yang terjadi pada selang atau daerah lain. Proses Poisson dikatakan tidak mempunyai ingatan

13 Distribusi Poisson Distribusi Poisson Peluang terjadinya suatu hasil (tunggal) dalam selang waktu yang sangat pendek atau daerah yang sangat kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya daerah dan tidak bergantung pada banyaknya hasil yang terjadi di luar selang atau daerah tersebut Peluang terjadinya lebih dari satu hasil yang terjadi dalam selang waktu yang pendek dapat diabaikan

14 Distribusi Poisson Distribusi Poisson Distribusi peluang peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu (dinotasikan dengan t) adalah : t e ( t) p( ; t)! 0,1,2,... di mana λt adalah rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu atau daerah, dan e = Tabel distribusi Poisson membantu untuk menghitung jumlah peluang Poisson P(r; λt)

15 Distribusi Poisson Contoh 4 Dalam sebuah eksperimen di laboratorium nuklir, rata-rata jumlah partikel radioaktif yang melewati sebuah pencacah (counter ) adalah 4 tiap milidetik. Tentukan peluang 6 partikel akan lewat dalam selang waktu 1 milidetik? Dengan distribusi Poisson dengan = 6 dan λt = 4, dan menggunakan tabel distribusi Poisson : p(6;4) e 4 (4) 6! p( ;4) 0 p( ;4)

16 Distribusi Poisson Contoh Rata-rata pasien yang datang ke klinik dokter gigi pada waktu malam hari adalah 10 orang. Dokter gigi hanya mampu menerima paling banyak 1 orang setiap hari. Berapa peluang pada hari tertentu pasien terpaksa ditolak karena dokter tidak sanggup melayaninya? Dengan menggunakan tabel distribusi Poisson : P( 1) 1 P( 1) p( ;10)

17 Distribusi Poisson Distribusi Poisson Mean dan Variansi t 2 t Rataan dan variansi dari distribusi Poisson p(;λt) adalah sama, yaitu λt.

18 Distribusi Poisson Kasus Khusus Distribusi Poisson Distribusi Poisson dapat diturunkan sebagai limit distribusi binomial bila n infinite, p 0, dan np tidak berubah. Maksudnya, bila n besar dan p dekat dengan nol, distribusi Poisson dapat digunakan, dengan μ = np, untuk menghampiri distribusi binomial. Misalkan X adalah peubah acak binomial dengan distribusi peluang b(;n;p). Bila n infinite, p 0, dan μ = np tetap sama, maka: b( ; n; p) p( ; )

19 Distribusi Poisson Contoh 6 Dalam sebuah proses produksi, rusak pada produk menyebabkan produk tersebut sulit dipasarkan. Diketahui bahwa rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan rusak, berapa peluang bahwa dalam sampel acak sebanyak 8000 barang berisi kurang dari 7 yang rusak? n = 8000 dan p = Karena p dekat dengan 0 dan n cukup besar, maka distribusi binomial dihampiri dengan distribusi Poisson dengan μ = np = (8000)(0.001) = 8. Misalkan X menyatakan banyaknya barang yang rusak, maka P( 7) 6 b( ;8000, 0.001) p( ;8)

20 Terimakasih dan Semoga Bermanfaat v^^