BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik) Proses stokastik X = {X(t), t T} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu state S. X(t) adalah suatu peubah acak, dengan t adalah elemen dari T yang sering kita interpretasikan sebagai satuan waktu (walaupun tidak harus merupakan waktu). X(t) dapat dibaca sebagai state (keadaan) dari suatu proses pada waktu t. Dalam hal ini, suatu ruang state S dapat berupa himpunan bilangan real atau himpunan bagiannya. Definisi 2.2 (Proses stokastik dengan waktu kontinu) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T merupakan suatu interval. Definisi 2.3 (Inkremen bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t T} disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t 0 < t 1 < t 2 <... < t n, peubah acak X(t 1 ) X(t 0 ), X(t 2 ) X(t 1 ), X(t 3 ) X(t 2 ),..., X(t n ) X(t n 1 ), adalah saling bebas. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak saling tumpang tindih (tidak overlap) adalah saling bebas.

2 4 Definisi 2.4 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t T} disebut memiliki inkremen stasioner jika X(t+s) X(t) memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. Dapat kita katakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X akan mempunyai inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang suatu interval itu hanya tergantung pada panjang interval tersebut dan tidak tergantung pada lokasi dimana interval tersebut terletak. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan real tak negatif, yaitu interval [0, ). Definisi 2.5 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik {N(t), t > 0} disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Dari definisi tersebut, maka proses pencacahan N(t) harus memenuhi syaratsyarat sebagai berikut (1). N(t) 0 untuk setiap t [0, ). (2). Nilai N(t) adalah integer. (3). Jika s < t maka N(s) N(t), s, t [0, ). (4). Untuk s < t maka N(t) - N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval (s,t]. Definisi 2.6 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan {N(t), t 0} disebut proses Poisson dengan laju λ, λ > 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut: (1). N(0) = 0 (2). Proses tersebut mempunyai inkremen bebas. (3). Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan λt. Jadi

3 5! ; 0, 1, 2, Dari syarat (3) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diketahui bahwa E(N(t)) = λt yang juga menjelaskan mengapa λ disebut laju dari proses Poisson tersebut. Definisi 2.7 (Proses Poisson homogen) Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju λ yang merupakan konstanta untuk setiap waktu t. Definisi 2.8 (Proses Poisson tak homogen) Proses Poisson tak homogen adalah proses Poisson dengan laju λ pada sembarang waktu t yang merupakan suatu fungsi tak konstan dari waktu t yaitu λ(t). Definisi 2.9 (Fungsi intensitas) Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {N(t), t 0} yaitu λ(t) disebut sebagai fungsi intensitas proses Poisson pada t. Definisi 2.10 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas λ pada titik adalah λ(s), yaitu nilai λ di s. Definisi 2.11 (Fungsi intensitas global) Misalkan N([0,n]) adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global θ dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai: 0, lim jika limit di atas ada. (Mangku, 2001)

4 6 Definisi 2.12 (Fungsi periodik) Suatu fungsi λ disebut periodik jika λ(s + kτ) = λ(s) untuk semua dan, dengan adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi intensitas λ tersebut. (Browder, 1996) Definisi 2.13 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Mangku, 2001) Definisi 2.14 (Fungsi terintegralkan lokal) Fungsi intensitas λ adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B diperoleh. Dudley, 1989 Lema 2.1 (Teorema Deret Taylor) Deret Taylor dari fungsi f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a ) memiliki persamaan! 1! 2! Lema 2.2 (Teorema Limit Pusat) Misalkan adalah barisan peubah acak yang bebas dengan masing-masing memiliki nilai harapan dan ragam bernilai terhingga. Jika dan untuk suatu v>2,, untuk, maka adalah menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan dan ragam, dinotasikan

5 7 1 d = 1 1,. Bukti: dapat dilihat pada (Serfling, 1980) 2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Kita mengenal dua jenis laju proses Poisson atau yang lebih kita kenal dengan fungsi intensitas suatu proses Poisson, yaitu fungsi intensitas global dan fungsi intensitas lokal. Fungsi intensitas global menyatakan rata-rata laju dari suatu proses poisson pada suatu selang yang panjangnya menuju tak hingga. Sedangkan yang dimaksud dengan fungsi intensitas lokal adalah laju proses Poisson di suatu titik tertentu misalkan titik s. Pendugaan fungsi intensitas dari suatu proses Poisson dilakukan dengan pendekatan fungsi intensitas lokal di sekitar titik s yaitu dengan menaksir ratarata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s. Secara matematis dapat kita tuliskan dengan suatu pengandaian sekitar titik s adalah h n 0 dan N([0,t]) menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu [0,t], sehingga intensitas lokal di sekitar s dapat dihampiri 1 dengan 2,. Pendekatan untuk fungsi intensitas global dari proses Poisson digunakan hampiran dengan menaksir rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson dalam interval waktu [0,n]. Bentuk penulisan yang lebih matematis yang menyatakan hampiran intensitas global adalah 0,. Penduga fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu proses Poisson dengan periode yang diketahui dan periode yang tidak diketahui. Pada periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan dengan pendugaan fungsi intensitas dengan periode yang diketahui. Namun demikian, Helmers et al (2003) telah merumuskan pendekatan dengan tipe kernel yang dapat digunakan untuk menjelaskan sifat-sifat statistik dari penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik tersebut. Selanjutnya Helmers dan Mangku (2009) mengembangkan

6 8 pemodelan untuk fenomena proses Poisson periodik dengan menambahkan tren linear, dan kemudian proses Poisson dengan periode ganda pada fungsi intensitasnya telah dikaji pada Helmers et al (2007). Pada Mangku (2006) telah dikaji sifat normalitas asimtotik penduga tipe kernel untuk fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik yang periodenya diketahui. Kemudian sebaran asimtotik dari penduga turunan pertama dan kedua fungsi intensitas proses Poisson periodik dibahas oleh Arifin (2008). Sifat-sifat statistika orde kedua penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear telah dibahas oleh Marliana (2008). Selanjutnya dalam penelitian ini direview karakteristik dari penduga fungsi intensitas proses Poisson yang terdiri atas komponen periodik dan tren linear. Kemudian ditentukan sebaran normal asimtotik dari penduga tersebut, jika panjang interval pengamatannya menuju tak hingga. Untuk mengecek perilaku dari teori-teori yang dikaji untuk interval pengamatan yang terhingga, maka dilakukan simulasi komputer dengan menggunakan bahasa pemrograman R.