(T.8) SEBARAN ATIMTOTIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

Transkripsi

1 (T.8) SEBARAN ATIMTOTIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Ro fah Nur Rachmawati Universitas Bina Nusantara Jl. K.H. Syahdan No. 9 Palmerah Jakarta Barat rrachmawati@binus.edu Abstrak Model stokastik merupakan suatu bentuk penyederhanaan dari fenomena dalam dunia nyata yang melibatkan konsep peluang dan dinilai lebih representatif karena lebih dinamis dalam menangkap indikasi alam yang melibatkan konsep ruang dan waktu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik yaitu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Jika laju proses tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi pangkat terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat. Sebagai contoh, jika diketahui fungsi intensitas dari banyaknya pelanggan yang datang pada suatu pusat servis meningkat, maka kinerja pelayanan juga dapat ditingkatkan dengan menambah server yang memungkinkan sehingga tidak terjadi antrian yang panjang. Begitu pula sebaliknya, jika diketahui fungsi intensitas menurun sistem dapat melakukan efisiensi kinerja. Sehingga pada tulisan ini dipelajari perumusan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat, beserta sebaran asimtotik dari penduga yang diperoleh. Kata kunci: Proses Stokastik, Proses Poisson, Kernel, Fungsi Intensitas, Tren pangkat 1. PENDAHULUAN Misalkan N adalah proses Poisson nonhomogen pada interval [0, ) dengan fungsi intensitas λ yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas dua komponen, yaitu suatu komponen periodik (siklik) dengan periode τ > 0 dan suatu komponen tren yang berbentuk fungsi pangkat. Dengan kata lain untuk sembarang titik s [0, ) dapat ditulis fungsi intensitas λ sebagai berikut λ(s) = λ (s) + as (1) a > 0 dan 0 < b < 1, dengan λ (s) adalah fungsi periodik dengan periode τ dan a adalah kemiringan dari tren, serta diasumsikan bahwa nilai a, b dan τ adalah diketahui. Dalam bahasan ini tidak diasumsikan suatu bentuk parametrik dari λ, kecuali bahwa λ adalah periodik dengan persamaan: λ (s) = λ (s + kτ) (2) berlaku untuk setiap s [0, ) dan k Z dengan Z adalah himpunan bilangan bulat (Mangku, 2006). 75

2 Misalkan untuk suatu ω Ω, hanya terdapat sebuah realisasi N(ω) dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang (Ω, F, P) dengan fungsi intensitas seperti pada (1) yang diamati pada interval terbatas [0, n] [0, ). Karena λ adalah fungsi periodik dengan periode τ, maka masalah menduga λ pada titik s dengan s R dapat direduksi menjadi masalah menduga λ pada titik s dengan s [0, τ) (Mangku, 2006). 2. HASIL Penduga tipe kernel bagi λ untuk pada s [0, τ) adalah: λ,, (s) = 1 1 L, h k x (s + kτ) K h N(dx) a L, dengan n adalah panjang interval pengamatan, n =, L, = (s + kτ) k, K adalah suatu kernel, h adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu h 0 untuk n. Diperoleh bahwa penduga λ,, (s) menyebar normal asimtotik. Jika n h / 0 maka n h λ,, (s) λ (s) Normal(0, σ ) untuk n, dengan σ = a(1 b)τ K (z)dz. Jika n h / 1 maka untuk n, dengan μ = "() n h λ,, (s) λ (s) Normal(μ, σ ) z K(z)dz dan σ = a(1 b)τ K (z)dz. 3. PEMBAHASAN Misalkan h adalah barisan dari bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu h 0 (3) untuk n (Mangku, 2006), dan misalkan K: R R adalah suatu fungsi bernilai real, disebut kernel, jika memenuhi sifat-sifat berikut: (K.1) K merupakan fungsi kepekatan peluang, (K.2) K terbatas, (K.3) K memiliki daerah definisi pada [ 1,1]. Ide di balik penyusunan penduga tipe kernel λ,, dari λ dapat dijelaskan seperti berikut: Dari (1) dan (2), untuk setiap titik s dan k Z maka λ (s) = λ (s + kτ) = λ(s + kτ) a(s + kτ). (4) 76

3 Dengan menggunakan pemisalan L, = 1 k dan n = (5) maka (4) dapat dituliskan λ (s) = 1 1 a (s + kτ) λ(s + kτ) L, k L, k. (6) Nilai fungsi λ(s + kτ) di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar s, yaitu pada interval [s + kτ h, s + kτ + h ] serta dengan menggunakan (3) maka (6) dapat ditulis λ,, (s) 1 1 L, k EN([s + kτ h, s + kτ + h ]) 2h a L, (s + kτ) k. (7) Dengan mengganti EN([s + kτ h, s + kτ + h ]) dengan padanan stokastiknya yaitu N([s + kτ h, s + kτ + h ]) maka (7) dapat ditulis λ,, (s) = 1 1 L, h k K x (s + kτ) a (s + kτ) N(dx) L, k, (8) h dimana K = I [,]. Agar penduga yang diperoleh lebih umum maka digunakan fungsii kernel umum K. Teorema 1 (Aproksimasi Asimtotik bagi Nilai Harapan Penduga) Misalkan fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), h 0, n h untuk n maka Eλ,, (s) = λ (s) + "() h z K(z)dz + oh (9) untuk n, asalkan s adalah titik Lebesgue dari λ (Farida, 2008). 77

4 Teorema 2 (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam Penduga) Misalkan fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), h 0, n h untuk n, serta λ terbatas di sekitar s, maka (/) () Var λ,, (s) = untuk n (Farida, 2008). K (z)dz + o (10) Teorema 3 (Sebaran Normal Asimtotik λ c,n,k (s)) Misalkan fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), λ terbatas di sekitar s, n h, h 0 untuk n dan λ memiliki turunan ke dua yang terbatas di sekitar s. (i) Jika n h / 0 maka n h / λ,, (s) λ (s) Normal(0, σ ) (11) untuk n, dengan σ = a(1 b)τ K (z)dz. (ii) Jika n h / 1 maka n h / λ,, (s) λ (s) Normal(μ, σ ) (12) untuk n, dengan μ = "(). z K(z)dz dan σ = a(1 b)τ K (z)dz Bukti: Terlebih dahulu dapat ditulis ruas kiri (11) dan (12) sebagai berikut: n h / λ,, (s) λ (s) = n h / λ,, (s) Eλ,, (s) + n h / Eλ,, (s) λ (s). Sehingga untuk membuktikan Teorema 3, cukup dibuktikan n h / λ,, (s) Eλ,, (s) Normal(0, σ ) (13) untuk n, dan jika n h / 0 maka n h / Eλ,, (s) λ (s) 0 (14) untuk n, jika n h / 1 maka n h / Eλ,, (s) λ (s) "() z K(z)dz. (15) 78

5 ditulis untuk n. Pertama dibuktikan bentuk (13) di atas. Dapat diperhatikan bahwa ruas kiri (13) dapat n h Var λ,, (s),, ()E,, (). (16) Var,, () Untuk membuktikan bentuk (16) konvergen ke ruas kanan (13) dapat diterapkan Teorema Limit Pusat (CLT). Misalkan: X () () (). () Untuk sembarang nilai k dan karena suku kedua dari X adalah deterministik, diperoleh nilai harapan peubah acak X adalah E X = K () λ(x)dx (). (18) Dengan penggantian peubah, misalkan: y = x (s + kτ), dy = dx, fungsi intensitas λ memenuhi (1) dan karena K memenuhi (K.2), suku pertama (19) dapat ditulis K λ (y + s) λ (s)dy + () K dy (19) Karena s adalah titik Lebesgue dari λ, dengan penggantian peubah, misal: z =, dz = dan karena K memenuhi (K.1) dan λ terbatas di sekitar s maka persamaan di atas menjadi O untuk n. Selanjutnya dapat diperhatikan suku kedua ruas kanan (19). Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor, dengan penggantian peubah, misal: z =, dz = maka diperoleh dan karena K memenuhi (K.1) dan h 0 untuk n, ruas kanan persamaan (19) menjadi (18) diperoleh = O () +. (20) Dengan menyubstitusikan ruas kanan persamaan (20) ke suku pertama ruas kanan untuk n. E X = O 1 a(s + kτ) a(s + kτ) k + k k = O 1 k 79

6 Ragam peubah acak X dapat diperoleh sebagai berikut. Dengan pemisalan X seperti pada (17) dan karena suku kedua X adalah deterministik maka Var X = Var 1 x (s + kτ) k K N(dx). h Untuk nilai n yang besar dan k j, interval [s + kτ h, s + kτ + h ] dan [s + jτ h, s + jτ + h ] tidak overlap sehingga untuk semua k j, K () N(dx) dan K () N(dx) adalah bebas. Karena N adalah proses Poisson, maka Var (N) = E (N), dengan penggantian peubah, misal: y = x (s + kτ), dy = dx dan karena fungsi intensitas λ memenuhi (1) maka diperoleh h = + K λ (y + s)dy K (y + s + kτ) dy. (21) Dapat diperhatikan suku pertama ruas kanan persamaan (22). Karena λ terbatas di sekitar s, dengan penggantian peubah, misal: z =, dz = dan karena K memenuhi (K.3) maka persamaan di atas menjadi O untuk n. Selanjutnya dapat diperhatikan suku kedua ruas kanan (21). Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor, dengan penggantian peubah, misal: z =, dz = dan karena K memenuhi (K.3) diperoleh nilai dari ruas kanan persamaan (21) yang merupakan nilai dari Var X yaitu Var X = Misalkan B = K (z)dz () I(zh + s + kτ [0, n]) + O. (22) Var X, dan dengan pemisalan X seperti pada (17) diperoleh: E(X EX ) = 1 x (s + kτ) k K EN(dx) h Dapat diperhatikan bahwa h + 1 x (s + kτ) k K EN(dx). (23) h h E(X EX ) = ob. Dengan demikian barisan X merupakan barisan peubah acak bebas dengan nilai harapan dan ragam yang nilainya terhingga dan tidak nol untuk sembarang k. Sehingga 80

7 penduga λ,, (s) merupakan jumlah dari peubah acak bebas yang dikalikan suatu konstanta yaitu λ,, (s) = 1 X L, yang menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan EX dan ragam Var X, maka diperoleh λ,, (s) Eλ,, (s) Normal(0,1) Var λ,, (s) untuk n. Sehingga untuk membuktikan (13) tinggal membuktikan n h / Var λ,, (s) a(1 b)τ K (z)dz. (24) untuk n. Dengan menyubstitusikan (10) ke ruas kiri (24) diperoleh n h / Var λ,, (s) = a(1 b)τ K (z)dz + o(1). (25) untuk n. Misalkan u = a(1 b)τ K (z)dz + o(1) dan f(u) = u, dengan menggunakan deret Taylor diperoleh n h / Var λ,, (s) a(1 b)τ K (z)dz untuk n. Dengan demikian (13) terbukti. Untuk membuktikan (14) dan (15) dapat digunakan Teorema 1 sehingga diperoleh n h / Eλ,, (s) λ (s) = n h "() z K(z)dz + o(1). (26) Karena n h / 0 untuk n, persamaan (26) menjadi o(1) untuk n sehingga (14) terbukti. Karena n h / 1 untuk n, persamaan (26) menjadi "() terbukti. z K(z)dz + o(1) untuk n sehingga (15) terbukti. Dengan demikian Teorema 3 4. KESIMPULAN Dari hasil pengkajian yang dilakukan diperoleh bahwa λ,, (s) adalah penduga tak bias asimtotik bagi λ dan ragam dari penduga konvergen menuju nol, serta λ,, (s) menyebar normal asimtotik seperti pada Teorema 3. 81

8 5. DAFTAR PUSTAKA Mangku, I. W. (2006). Asymptotic Normality of a Kernel-Type Estimator for the Intensity of a Periodic Poisson Process. Journal of Mathematics and Its Applications. 5 (2) Farida, T. (2008). Pendugaan Komponen Periodik dari Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Thesis, Institut Pertanian Bogor, Bogor. 82