KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR TITA ROBIAH AL ADAWIYAH

Transkripsi

1 KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR TITA ROBIAH AL ADAWIYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 20

2 i ABSTRAK TITA ROBIAH AL ADAWIYAH. Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang Waktu Tunggu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI. Pada tulisan ini dibahas kekonsistenan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear. Diasumsikan bahwa periode dari komponen periodik diketahui tetapi kemiringan dari tren linear dan komponen periodik dari fungsi intensitasnya tidak diketahui. Masalah utama yang dikaji adalah kekonsistenan penduga fungsi sebaran dan kekonsistenan penduga fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear. Selain itu, dikaji juga kekonsistenan penduga dari kemiringan tren linear serta kekonsistenan penduga dari komponen periodik fungsi intensitasnya.

3 ii ABSTRACT TITA ROBIAH AL ADAWIYAH. Consistent Estimation of the Distribution and the Density Function of Waiting Time of a Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI. This manuscript is concerned with consistent estimation of the distribution and the density function of waiting time of a cyclic Poisson process with linear trend. It is assumed that the period of the cyclic component is known, but the slope of the linear trend as well as the cyclic component of the intensity function is unknown. The main discussion in this manuscript is the consistency of estimator of the distribution and the density function of waiting time of the process being discussed. In addition, consistent estimation of the slope of the linear trend and the cyclic component of the intensity function are also discussed.

4 iii KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR TITA ROBIAH AL ADAWIYAH Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 20

5 iv Judul Skripsi : Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang Waktu Tunggu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Nama : Tita Robiah Al Adawiyah NRP : G Menyetujui, Pembimbing I Pembimbing II Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. Ir. Retno Budiarti, M.S. NIP NIP Mengetahui, Ketua Departemen Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS. NIP Tanggal Lulus :

6 v PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang Waktu Tunggu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen pembimbing I dan Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing II atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada orang tua dan keluarga atas segala doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan dan kasih sayangnya. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh dosen, staf pegawai, dan teman-teman di Institut Pertanian Bogor, khususnya di Departemen Matematika. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Mei 20 Tita Robiah Al Adawiyah

7 vi RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Subang pada tanggal 2 Maret 990 dari ayah Tarsid Sadikin dan ibu Eli Haryati. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara Tahun 200 penulis lulus dari SDN Pabuaran. Tahun 2004 penulis lulus dari SMPN Pabuaran. Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri Ciasem dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih mayor Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai anggota Biro Kesekretariatan pada periode , Serum G (Serambi Ruhiyah Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam) sebagai anggota Divisi PSDM pada periode , serta anggota Organisasi Mahasiswa Daerah (OMDA) Subang pada periode Selain itu, penulis juga aktif dalam berbagai kepanitiaan yaitu panitia Math Expo 2008, panitia Pesta Sains 2009, panitia Lomba Karya Cipta Mahasiswa Nasional (LKCM) 2009 dan panitia Masa Perkenalan Departemen (MPD) 2009 dan 200.

8 vii DAFTAR ISI Halaman DAFTAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN... Latar Belakang... Tujuan... LANDASAN TEORI... Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang... Peubah Acak dan Fungsi Sebaran... 2 Kekonvergenan... 2 Momen, Nilai Harapan dan Ragam... 2 Penduga dan Sifat-sifatnya... 3 Proses Stokastik dan Proses Poisson... 4 Beberapa Definisi dan Lema Teknis... 5 HASIL DAN PEMBAHASAN... 7 Perumusan Penduga... 7 Kekonsistenan dari... 9 Kekonsistenan dari,... 9 Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang SIMPULAN... 8 DAFTAR PUSTAKA... 9 LAMPIRAN... 20

9 viii DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran (Pembuktian Lema 2)... 2 Lampiran 2 (Pembuktian Lema 3) Lampiran 3 (Pembuktian Lema 4) Lampiran 4 (Pembuktian Lema 5) Lampiran 5 (Pembuktian Lema 6) Lampiran 6 (Pembuktian Lema 7) Lampiran 7 (Pembuktian Lema 8)... 27

10 PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dapat dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Contoh proses yang dapat dijelaskan dengan proses Poisson periodik adalah proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis. Namun, jika banyaknya pelanggan yang datang mempunyai kecenderungan meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang cocok adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, waktu tunggu dari seorang pelanggan adalah jarak waktu sejak pusat servis tersebut dibuka sampai pelanggan tersebut datang. Karena waktu tunggu ini merupakan suatu peubah acak kontinu, maka ia memiliki fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang. Umumnya kedua fungsi ini tidak diketahui sehingga diperlukan suatu penduga bagi kedua fungsi tersebut. Pada tulisan ini dikaji kekonsistenan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear. Ini merupakan rekonstruksi dari paper Mangku (200). Untuk menyusun suatu penduga yang konsisten, diperlukan data yang banyaknya menuju tak hingga jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga. Agar data pengamatan di berbagai bagian interval pengamatan yang berbeda bisa digunakan untuk menduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang, maka diperlukan asumsi keperiodikan dari fungsi intensitas proses yang dikaji. Pada kajian ini dianggap periode dari fungsi intensitas diketahui yaitu. Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah. Mengonstruksi kembali penyusunan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear. 2. Mengonstruksi kembali pembuktian kekonsistenan penduga fungsi sebaran waktu tunggu dan penduga fungsi kepekatan peluang waktu tunggu. LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Definisi (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dinotasikan dengan Ω. [Grimmett dan Stirzaker, 992] Definisi 2 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. [Grimmett dan Stirzaker, 992] Definisi 3 (Kejadian lepas) Kejadian dan disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong. [Grimmett dan Stirzaker, 992] Definisi 4 (Medan- ) Suatu himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian dari Ω disebut medan- jika memenuhi kondisi berikut. ; ; 2. Jika,, maka 3. Jika maka. [Grimmett dan Stirzaker, 992] Definisi 5 (Ukuran peluang) Ukuran peluang Ρ pada Ω, adalah fungsi Ρ: 0, yang memenuhi. Ρ 0, ΡΩ,

11 2 2. Jika,, adalah himpunan lepas yang merupakan anggota dari, yaitu, untuk setiap i, j dengan, maka Ρ Ρ. [Grimmett dan Stirzaker, 992] Pasangan Ω,,Ρ disebut ruang peluang. Definisi 6 (Kejadian saling bebas) Kejadian dan dikatakan saling bebas jika Ρ PP. Secara umum, himpunan kejadian { ; Ι} dikatakan saling bebas jika P = P, untuk setiap himpunan bagian berhingga dari Ι. [Grimmett dan Stirzaker, 992] Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 (Peubah acak) Peubah acak adalah fungsi : Ω dengan Ω: untuk setiap. [Grimmett dan Stirzaker, 992] Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, seperti, dan. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil, seperti, dan. Definisi 8 (Fungsi sebaran) Fungsi sebaran peubah acak adalah : 0,, yang didefinisikan oleh P. Fungsi disebut fungsi sebaran dari peubah acak. [Grimmett dan Stirzaker, 992] Definisi 9 (Peubah acak diskret) Peubah acak dikatakan diskret jika semua himpunan nilai,, dari merupakan himpunan tercacah. [Grimmett dan Stirzaker, 992] Definisi 0 (Fungsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi : 0,, yaitu Ρ. [Grimmett dan Stirzaker, 992] Definisi ( Peubah acak kontinu) Peubah acak dikatakan kontinu jika ada fungsi sehingga fungsi sebaran dapat dinyatakan sebagai,, dengan 0, adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak. [Grimmett dan Stirzaker, 992] Kekonvergenan Definisi 2 (Konvergen dalam peluang) Misalkan,,, adalah peubah acak pada suatu ruang peluang Ω,,Ρ. Suatu barisan peubah acak,,, dikatakan konvergen dalam peluang ke peubah acak, ditulis, untuk, jika untuk setiap 0, lim Ρ 0. [Casella dan Berger, 990] Lema (Sifat kekonvergenan dalam peluang) Misalkan konvergen dalam peluang ke dan konvergen dalam peluang ke maka konvergen dalam peluang ke, dinotasikan dengan. [Hogg et al., 2005] Bukti: Lihat Hogg et al Momen, Nilai Harapan dan Ragam Definisi 3 (Momen). Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang, momen ke- dari didefinisikan sebagai Ε, jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka momen ke- dari peubah acak adalah tidak ada. 2. Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang, momen ke- dari didefinisikan sebagai Ε, jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka momen ke- dari peubah acak adalah tidak ada. [Taylor dan Karlin, 984] Definisi 4 (Nilai harapan). Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang, maka nilai harapan dari didefinisikan sebagai Ε,

12 3 jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari adalah tidak ada. 2. Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang, maka nilai harapan dari didefinisikan sebagai Ε, jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka nilai harapan dari adalah tidak ada. [Taylor dan Karlin, 984] Definisi 5 (Ragam) Jika adalah peubah acak, maka ragam dari didefinisikan sebagai ΕX ΕX. [Taylor dan Karlin, 984] Definisi 6 (Covarian) Misalkan dan adalah peubah acak dan misalkan pula dan masing-masing menyatakan nilai harapan dan. Covarian dari dan didefinisikan sebagai,. [Casella dan Berger, 990] Lema 2 Misalkan dan adalah peubah acak dan misalkan pula dan adalah dua buah konstanta sebarang, maka 2,. Jika dan adalah peubah acak saling bebas, maka. [Casella dan Berger, 990] Bukti: Lihat Lampiran Lema 3 Jika adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk sebarang konstanta dan, berlaku. [Casella dan Berger, 990] Bukti: Lihat Lampiran 2. Definisi 7 (Fungsi indikator) Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi Ω 0,, yang diberikan oleh, 0,. [Grimmett dan Stirzaker, 992] Nilai harapan dari fungsi indikator di atas dapat dinyatakan sebagai berikut Ρ. Penduga dan Sifat-sifatnya Definisi 8 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak, yang tidak bergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. [Hogg et al., 2005] Definisi 9 (Penduga) Misalkan,,, adalah contoh acak. Suatu statistik,,, yang digunakan untuk menduga suatu parameter, katakanlah, disebut sebagai penduga (estimator) bagi. Begitu,,, diamati, katakanlah bernilai,,,, maka nilai,,, disebut sebagai dugaan (estimate) bagi. [Hogg et al., 2005] Definisi 20 (Penduga tak-bias). Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter yang diduga, yaitu,,,, disebut penduga tak bias bagi parameter tersebut. Jika tidak, penduga tersebut disebut berbias. 2. Bila lim,,, maka,,, disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi. [Hogg et al., 2005] Definisi 2 (Penduga konsisten) Suatu penduga,,, yang konvergen dalam peluang ke parameter, yaitu,,,, untuk, disebut penduga konsisten bagi. [Hogg et al., 2005] Definisi 22 ( dan ). Barisan dari peubah acak yang berpadanan dengan fungsi sebaran dikatakan terbatas dalam peluang, ditulis, untuk, jika untuk setiap 0, dan sehingga,. Mudah terlihat bahwa.

13 4 2. Secara umum, untuk dua barisan dari peubah acak dan, notasi menyatakan bahwa barisan adalah, untuk. 3., jika untuk setiap 0, berlaku lim P Secara umum, untuk dua barisan dari peubah acak dan, maka jika adalah, untuk. 5. Jika berimplikasi, untuk. [Serfling, 980] Definisi 23 (MSE suatu penduga) Mean squared error (MSE) dari penduga untuk parameter adalah fungsi dari yang didefinisikan oleh E. Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga dan parameter. Dari sini diperoleh E E. [Casella dan Berger, 990] Proses Stokastik dan Proses Poisson Definisi 24 (Proses stokastik) Proses stokastik, adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state (state space). [Ross, 996] Jadi, untuk setiap pada himpunan indeks, adalah suatu peubah acak. Indeks sering diinterpretasikan sebagai waktu dan disebut sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu. Ruang state mungkin berupa. (himpunan bilangan bulat (integer)), atau himpunan bagiannya. 2. (himpunan bilangan nyata (real)), atau himpunan bagiannya. Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu diskret (discrete time stochastic process) jika himpunan indeks adalah himpunan tercacah (countable set), sedangkan disebut proses stokastik dengan waktu kontinu (continuous time stochastic process) jika adalah suatu interval. Definisi 25 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik, 0 disebut proses pencacahan (counting process) jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu. [Ross, 996] Kadangkala proses pencacahan, 0 ditulis 0,, yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang waktu 0,. Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang dua selang waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas. Sedangkan suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang selang waktu hanya bergantung dari panjang selang tersebut. Salah satu proses pencacahan yang penting adalah proses Poisson, yang juga merupakan salah satu contoh penting dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Definisi 26 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan, 0 disebut proses Poisson dengan laju, 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut Proses tersebut memiliki inkremen bebas. 3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan. Jadi, untuk semua, 0, Ρ, k 0,,! [Ross, 996] Proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu disebut proses Poisson homogen (homogeneous Poisson process). Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu,, maka disebut proses Poisson tak-homogen (inhomogeneous Poisson process). Untuk kasus ini, disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas harus memenuhi syarat 0, untuk semua. Misalkan adalah proses Poisson dan adalah suatu selang bilangan nyata. Jika adalah proses Poisson homogen, maka,

14 5 dengan adalah panjang, serta menyatakan banyaknya kejadian dari proses Poisson pada selang. Jika adalah proses Poisson non homogen dengan fungsi intensitas, maka. Dengan kata lain, jika adalah proses Poisson tak-homogen maka memiliki sifat. Ρ,! 0,, untuk setiap selang dengan. 2. Untuk setiap bilangan bulat positif 2 dan,,, adalah selang-selang yang disjoint dengan,, 2,,,,,, merupakan peubah acak yang saling bebas. Peubah acak yang merupakan jumlah dari dua atau lebih peubah acak Poisson yang saling bebas mempunyai sebaran Poisson juga. Hal ini dapat ditunjukkan oleh lema berikut. Lema 4 (Sebaran jumlah peubah acak Poisson) Misalkan dan adalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut dan. Maka memiliki sebaran Poisson dengan parameter. [Taylor dan Karlin, 984] Bukti: lihat Lampiran 3. Definisi 27 (Terintegralkan lokal) Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas kita memiliki. [Dudley, 989] Definisi 28 (Titik Lebesgue) Titik disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi jika berlaku lim 0. 2 [Wheeden dan Zygmund, 977] Definisi 29 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas pada titik adalah, yaitu nilai fungsi di. [Cressie, 993] Definisi 30 (Fungsi periodik) Suatu fungsi disebut periodik jika, untuk setiap dan. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan diatas disebut periode dari fungsi tersebut. [Browder, 996] Definisi 3 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. [Mangku, 200] Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi 32 ( dan ). Suatu barisan bilangan nyata disebut terbatas dan ditulis, untuk, jika ada bilangan terhingga dan sehingga, untuk semua bilangan asli. 2. Suatu barisan konvergen ke nol untuk, kadangkala ditulis, untuk. [Purcell dan Verberg, 998] Definisi 33 (Momen kedua terbatas) Peubah acak dikatakan mempunyai momen kedua terbatas jika dipenuhi terbatas. [Helms, 996] Lema 5 (Ketaksamaan Markov) Jika adalah peubah acak dengan terbatas, maka untuk setiap 0 berlaku Ρ. [Helms, 996] Bukti: Lihat Lampiran 4. Lema 6 (Ketaksamaan Chebyshev) Jika adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam terbatas, maka Ρ, untuk setiap 0. [Helms, 996] Bukti: Lihat Lampiran 5. Lema 7 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika dan adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka, dan akan bernilai sama dengan jika dan hanya jika 0 atau untuk suatu konstanta. [Helms, 996] Bukti: Lihat Lampiran 6.

15 6 Lema 8 (Ketaksamaan segitiga) Jika dan adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka. [Helms, 996] Bukti: Lihat Lampiran 7. Lema 9 (Teorema Fubini) Jika 0 atau maka,,. [Durret, 996] Bukti: Lihat Durret, 996. Lema 0 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan memiliki turunan ke- yang berhingga pada suatu titik, maka, untuk.! Bukti: Lihat Serfling, 980. [Serfling, 980]

16 7 HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusan Penduga Misalkan adalah proses Poisson non homogen pada interval 0, dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas 2 komponen, yaitu komponen periodikatau komponen siklik dengan periode 0 dan sebuah tren linear yang tidak diketahui pula. Dengan demikian, untuk sebarang titik 0,, fungsi intensitas dapat ditulis sebagai berikut, () dengan adalah fungsi periodik dengan periode dan adalah kemiringan dari tren linear. Karena adalah periodik, maka persamaan, (2) berlaku untuk setiap 0, dan dengan adalah himpunan bilangan bulat. Karena periodik dengan periode, maka untuk menduga pada 0, cukup diduga nilai pada 0,. Pada pembahasan ini, dikaji proses Poisson pada interval 0,, bukannya pada karena harus memenuhi persamaan () dan tidak boleh negatif. Karena alasan serupa, kajian hanya dibatasi untuk 0. Misalkan untuk suatu Ω, terdapat sebuah realisasi tunggal dari proses Poisson yang terdefinisi dalam ruang peluang Ω,, Ρ dengan fungsi intensitas pada persamaan () dan diamati pada interval 0,. Pada karya ilmiah ini dipelajari penyusunan penduga konsisten bagi fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu untuk kejadian ke- dari proses Poisson sejak awal pengamatan (waktu 0, dengan menggunakan realisasi tunggal dari proses Poisson yang diamati pada interval 0,. Untuk mendapatkan fungsi sebaran dari, dapat diperhatikan bahwa untuk setiap 0 dan 0, kita mempunyai Ρ Ρ0, yang menghasilkan fungsi sebaran Ρ Ρ0, Ρ0, Ρ0, 0 Ρ0, Ρ0, Λ! dengan Λ. (3) Misalkan, untuk setiap bilangan real, dengan menunjukkan integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan. Maka untuk setiap 0, kita mempunyai dengan 0. Misalkan sehingga Λ Λ (4) dengan Λ. Fungsi kepekatan peluang dari yaitu. (5)! Pada pembahasan ini, diformulasikan penduga fungsi sebaran dan penduga fungsi kepekatan peluang. Untuk penyusunan penduga di atas diperlukan juga penduga bagi, penduga bagi, penduga bagi Λ dan penduga bagi. Penduga bagi diberikan oleh, Λ dengan! (6) Λ Λ, z. (7) Penduga bagi diberikan oleh,. (8) Penduga bagi diberikan oleh,,. Penduga bagi diberikan oleh ln /, 0,! (9). (0)

17 8 Penduga bagi Λ diberikan oleh Λ, ln /, 0, 2 ln/. () Penduga bagi pada titik 0, diberikan oleh, ln /, 0, 2 ln/ (2) dimana adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju 0, 0, (3) untuk. Sekarang diuraikan ide tentang pembentukan penduga bagi. Untuk menjelaskan hal ini digunakan Lema berikut. Lema Jika fungsi intensitas adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal, maka untuk, dengan. [Damiri, 2003] Bukti: Lihat Damiri (2003). Perhatikan bahwa 0,. Perhatikan suku pertama dari ruas kanan persamaan diatas. Berdasarkan Lema, maka. Suku kedua dari persamaan diatas, yaitu 2. Dengan mengganti 0, dengan padanan stokastiknya yaitu 0, maka diperoleh 0,. Kedua ruas dibagi dengan, sehingga 0, 20, 2 2 Jika,maka 0.Akhirnya diperoleh bahwa 20,. Sekarang, diuraikan ide tentang pembentukan penduga, dari. Karena hanya ada satu realisasi dari proses Poisson yang tersedia, kita harus menggabungkan informasi tentang nilai yang belum diketahui dari tempat yang berbeda pada interval0,. Misalkan I 0,. Untuk sebarang titik dan, maka menurut persamaan (2), kita dapatkan I 0, I 0, I 0, I 0,. Kita tahu bahwa I 0, (4) dan ln untuk. Maka persamaan (4) dapat ditulis sebagai berikut ln 2 I 0, ln

18 9 ln E, 2 0, ln. (5) Kita tahu bahwa E, 0,, 0, yang merupakan padanan stokastiknya, sehingga persamaan (5) menjadi ln, 2 0, ln. (6) Persamaan (6) adalah penduga dari, dengan periode dan kemiringan dari tren linear diasumsikan diketahui. Jika tidak diketahui, kita ganti dengan sehingga diperoleh penduga dari yang diberikan pada persamaan (2). Kekonsistenan dari Lema 2 Misalkan fungsi intensitas diberikan pada () dan terintegralkan lokal. Maka dan E, (7), (8) untuk. Akibatnya, adalah penduga konsisten bagi, dan Mean-squared error (MSE)nya adalah (9) untuk n. Bukti: Berdasarkan (8), E dapat dihitung sebagai berikut E 2 E0, , untuk n. Ragam dari diperoleh dengan cara 4 0, 4 E0, 2 2 E0, 2 E 2 2 2, untuk n. E untuk n , (20) Berdasarkan persamaan (8) dan (20), maka 4 2, untuk n. Kekonsistenan dari, Lema 3 (Kekonsistenan, ) Misalkan fungsi intensitas diberikan pada () dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (3) dipenuhi dan ln, maka, (2) untuk n, asalkan adalah titik Lebesgue dari. Dengan kata lain,, penduga konsisten bagi. Untuk membuktikan kekonsistenan dari, diperlukan Lema berikut.

19 0 Lema 4 Misalkan fungsi intensitas diberikan pada () dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (3) dipenuhi dan ln, maka E,, (22) dan, 0, (23) untuk n, asalkan adalah titik Lebesgue dari. Bukti: Untuk membuktikan persamaan (22), akan dibuktikan bahwa lim E,. (24) Berdasarkan Teorema Fubini, nilai harapan di ruas kiri (24) dapat dinyatakan sebagai berikut E, ln E, 2 0, E ln. (25) Suku pertama dari (25) ln E, 2 0, 2 ln / I 0, 2 ln λ x s a I 0, 2 λ x s ln I 0, k 2 ln / I 0,. (26) Suku pertama dari (26) dapat diuraikan sebagai berikut ln / I 0, k / untuk n, dan 2 2 λ x s, (27) λ x s λ s λ s λ 2 x s λ s λ s. Karena adalah titik Lebesgue dari, maka 2 2 λ x s λ s λ s λ 2 s 2 λ s2 λ s. (28) Dari (27) dan (28), kita peroleh suku pertama dari (26) yaitu λ / s λ s (29) untuk n. Suku kedua dari (26), dapat diuraikan sebagai berikut 2 ln / I 0, 2 ln / I 0, k 2 ln /

20 2 ln / 2 ln I 0,. (30) Suku pertama dari (30) akan diperoleh sama dengan nol. Suku kedua dari (30) adalah sama dengan. / Perhatikan suku ketiga ruas kanan persamaan (30). Nilai I 0, dapat ditulis menjadi n τ I 0, n τ I 0, n τ maka diperoleh. Dengan menggabungkan hasil ketiga suku dari (30), maka suku kedua persamaan (26) menjadi 2 ln / I 0, 0 untuk. Sehingga ruas kanan persamaan (26) menjadi λ s untuk. (3) Dengan mensubstitusikan persamaan (7) dan (3) ke persamaan (25) maka diperoleh E, λ s λ s, (32) untuk. Jadi, persamaan (22) terbukti. Bukti persamaan (23). Kita tahu bahwa, ln, 2 0, ln/ (33) Misalkan, ln 2 0, ln/. Sehingga, 2,. Suku pertama dari persamaan (34) adalah 4 ln (34), 0, (35) Karena adalah peubah acak Poisson, maka E. Sehingga persamaan (35) menjadi 4 ln E, 0, 4 ln I 0, 4 ln I 0,

21 2 4 2 ln 2 I 0,. (36) Suku pertama ruas kanan persamaan (36) dapat diuraikan menjadi 2 ln 2 ln I 0, 4 ln ln I 0,. Perhatikan bahwa I 0, merupakan deret- dengan 2, sehingga ln I 0, ln. (37) Berdasarkan persamaan (28) pada Lema 4, kita tahu bahwa λ 2 x s λ s. Sehingga suku pertama persamaan (37) menjadi λ s, (38) untuk. Suku kedua persamaan (37) dapat dituliskan menjadi 0 2, (39) untuk. Dengan menggabungkan persamaan (38) dan (39), kita peroleh suku pertama persamaan (36) adalah (40) untuk. Suku kedua persamaan (36) dapat ditulis sebagai berikut 4 ln ln I 0, 4 ln ln, (4) untuk. Dengan menggabungkan persamaan (40) dan (4), kita peroleh suku pertama dari persamaan (34) adalah, (42) untuk. Selanjutnya, kita hitung suku kedua persamaan (34). Dengan mensubstitusikan persamaan (8), persamaan di atas menjadi untuk. (43) Dari persamaan (42), (43) dan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, diperoleh bahwa suku ketiga persamaan (34) tidak lebih dari 2

22 3 untuk., (44) Dengan menggabungkan persamaan (42), (43) dan (44), kita peroleh, (45) untuk. Karena ln untuk, kita peroleh, 0 untuk pada persamaan (22). Jadi, Lema 4 terbukti. Bukti Lema 3 Untuk membuktikan persamaan (2), berdasarkan Definisi 2 akan diperlihatkan bahwa untuk 0, lim P, 0. (46) Berdasarkan ketaksamaan segitiga, kita peroleh,, E, E, (47) Berdasarkan persamaan (22) pada Lema 4 kita peroleh lim, 0 (48) sehingga untuk 0, ada agar E, untuk. Berdasarkan (48), diperoleh P, P, E, 2. (49) Jadi, untuk membuktikan (45) tinggal ditunjukkan lim P, E, 0. 2 Dengan ketaksamaan Chebyshev, diperoleh P, E,,. Jadi, tinggal membuktikan bahwa, 0. (50) Berdasarkan persamaan (23) pada Lema 4, maka persamaan (50) terbukti. Jadi, Lema 3 terbukti. Lema 5 Misalkan fungsi intensitas λ diberikan pada () dan terintegralkan lokal. Maka, (5) dan untuk setiap 0, Λ, Λ z, (52) untuk. Dengan kata lain, dan Λ, adalah penduga konsisten bagi dan Λ z. Bukti: Untuk membuktikan Lema 5, kita hanya perlu membuktikan persamaan (52) karena persamaan (5) merupakan bentuk khusus dari persamaan (52) jika z. Untuk membuktikan persamaan (52), kita perlu membuktikan EΛ, Λ z (53) dan untuk. EΛ, 0 (54) Untuk membuktikan persamaan (53) akan dibuktikan bahwa lim EΛ, Λ z. (55) Berdasarkan Teorema Fubini, nilai harapan di ruas kiri (55) dapat dinyatakan sebagai berikut EΛ, E, ln 0, Suku pertama dari (56) 2 ln E. ln E, 0, ln I 0, ln I 0, (56) ln I 0,

23 4 ln I 0, I 0,. ln (57) Suku pertama dari ruas kanan (57) dapat diuraikan sebagai berikut ln I 0, / untuk n, dan Λ. (58) (59) Dari (58) dan (59), kita peroleh suku pertama ruas kanan (57) yaitu Λ Λ untuk n. / (60) Suku kedua ruas kanan (57) dapat diuraikan sebagai berikut ln I 0, ln I 0, untuk n. / / (6) Suku ketiga ruas kanan (57) dapat diuraikan sebagai berikut I 0, untuk n, dan ln (62) ln. (63) Dari (62) dan (63), kita peroleh suku ketiga pada ruas kanan persamaan (57) yaitu untuk n. / (64) Berdasarkan (60), (6) dan (64), ruas kanan persamaan (57) menjadi Λ untuk n. (65) Dengan mensubstitusikan (7), maka suku kedua dari (56) menjadi E untuk n. (66) Dari (65) dan (66) diperoleh persamaan (56) yaitu Λ Λ untuk n. Jadi, persamaan (53) terbukti. Untuk membuktikan persamaan (54), kita tahu bahwa Λ, ln, Misalkan 0, 2 ln. ln, 0,,, (67)

24 5 Sehingga Λ, 2,. Suku pertama dari ruas kanan (68) adalah ln, 0, ln, 0,. (68) Karena adalah peubah acak Poisson, maka E, sehingga persamaan diatas menjadi ln E, 0, ln I 0, ln 0 I 0, ln I 0, ln I 0, I 0,. ln (69) Suku pertama dari ruas kanan (69) dapat diuraikan sebagai berikut 0, untuk n, dan Λ ln ln (70) (7) Dari (70) dan (7), diperoleh suku pertama pada ruas kanan (69) yaitu Λ (72) untuk. Suku kedua pada ruas kanan (69) dapat diuraikan sebagai berikut ln I 0, ln I 0, 2 ln (73) untuk. Suku ketiga pada ruas kanan (69) dapat diuraikan sebagai berikut I 0, ln ln 2 (74) untuk. Berdasarkan (72), (73) dan (74), suku pertama pada ruas kanan (68) yaitu (75) untuk. Dengan mensubstitusikan (8), maka suku kedua pada ruas kanan (68) yaitu untuk. (76)

25 6 Dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, diperoleh bahwa suku ketiga pada ruas kanan (68) tidak lebih dari (77) untuk. Dengan menggabungkan persamaan (75), (76) dan (77), kita peroleh 2 Λ, ln (78) untuk, sehingga persamaan (54) terbukti. Akibat Misalkan fungsi intensitas λ diberikan di () dan terintegralkan lokal. Untuk setiap z 0, maka Λ Λ 0 (79) untuk. Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang. Teorema (Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran ) Misalkan fungsi intensitas λ diberikan pada () dan terintegralkan lokal. Untuk setiap z 0 dan 0, maka, 0 (80) untuk n. Bukti: Berdasarkan persamaan (3) dan (6) didapatkan, Λ!! Λ Λ! Λ! Λ!! Λ Λ. (8)! Suku pertama pada ruas kanan (8) dapat diuraikan sebagai berikut Λ Λ! untuk dan.. (82) Dengan menggunakan deret Taylor dan Akibat, maka Λ Λ!! Λ Λ!! (83) untuk. Dari (82) dan (83), diperoleh suku pertama pada ruas kanan persamaan (8) yaitu (84) untuk. Suku kedua pada ruas kanan (8) dapat diuraikan sebagai berikut, (85) dan Λ Λ!!.!! Untuk setiap, maka!!! Λ Λ Λ Λ Λ Λ! Λ Λ max Λ, Λ! Λ Λ Λ Λ

26 7 Λ Λ!! Λ Λ. (86) Menurut Akibat, Λ Λ sehingga persamaan (86) menjadi (87) untuk. Dari (85) dan (87), diperoleh suku kedua pada ruas kanan persamaan (8) yaitu (88) untuk. Berdasarkan persamaan (84) dan (88), maka ruas kanan persamaan (8) adalah, sehingga Teorema terbukti. Teorema 2 (Kekonsistenan Penduga Fungsi Kepekatan Peluang ) Misalkan fungsi intensitas λ diberikan pada () dan terintegralkan lokal. Jika 0, ln, maka untuk setiap 0 dan 0, kita peroleh, 0 (89) untuk n asalkan adalah titik Lebesgue dari. Bukti: Berdasarkan persamaan (5) dan (9) didapatkan,,!!, Suku pertama pada ruas kanan (90) dapat diuraikan sebagai berikut Menurut Lema 3, Lema 5, dan Akibat, maka, untuk setiap 0 dan n. dan! untuk n. (9) (92) Dari (9) dan (92) diperoleh suku pertama pada ruas kanan persamaan (90) yaitu (93) untuk. Suku kedua pada ruas kanan (90) dapat diuraikan sebagai berikut, (94) untuk, dan!!!! (95) Berdasarkan persamaan (86), maka hasil dari persamaan (95) yaitu (96) untuk. Dari (93) dan (96), diperoleh suku kedua pada ruas kanan persamaan (90) yaitu (97) untuk. Berdasarkan persamaan (93) dan (97), maka ruas kanan persamaan (90) adalah, sehingga Teorema 2 terbukti.!!, (90)!

27 8 SIMPULAN Pada tulisan ini dikaji masalah kekonsistenan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear. Fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu adalah sebagai berikut Λ dan! Λ! dengan 0 dan 0. Sedangkan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu dengan menggunakan realisasi yang diamati pada interval 0, dirumuskan sebagai berikut, Λ dan!,, Λ! Dari hasil pengkajian yang dilakukan, dapat disimpulkan bahwa., adalah penduga konsisten bagi,untuk n. 2., adalah penduga konsisten bagi, untuk n..

28 9 DAFTAR PUSTAKA Browder A Mathematical Analysis: An Introduction. Springer. New York. Casella, G. dan RL. Berger Statistical Inference. Ed. ke-. Wadsworth & Brooks/Cole, Pasific Grove. California. Cressie NAC Statistics for Spatial Data. Revised Edition. John Wiley & Sons. New York. Damiri, S.D Metode Untuk Menduga Fungsi Intensitas Global pada Proses Poisson Periodik. [Skripsi]. Bogor: Institut Pertanian Bogor. Dudley RM Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California. Durret R Probability: Theory and Examples. Ed. ke-2. Duxbury Press. New York. Grimmett GR. dan DR. Stirzaker Probability and Random Process. Ed. Ke-2. Clarendon Press. Oxford. Helms LL Introduction to Probability Theory: With Contemporary Application. W. H. Freeman & Company. New York. Hogg RV, AT. Craig, dan JW. McKean Introduction to Mathematical Statistics. Ed. Ke-6. Prentice Hall. Englewood Cliffs, New Jersey. Mangku IW Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process (Ph. D. Thesis). University of Amsterdam. Amsterdam. Mangku IW Consistent Estimation of the Distribution Function and The Density of Waiting Time of a Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Far East Journal of Theoretical Statistics. Purcell EJ dan D. Verberg Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 2. Ed. Ke-5. Penerbit Erlangga. Jakarta. Ross SM Stochastic Process. Ed. Ke-2. John Wiley & Sons. New York. Serfling RJ Approximation Theorems of Mathematical Statistic. John Wiley & Sons. New York. Taylor HM. dan S. Karlin An Introduction to Stochastic Modelling. Academic Press Inc. Orlando, Florida. Wheeden RL. dan A. Zygmund Measure and Integral: An Intoduction to Real Analysis. Marcel Dekker. New York.

29 LAMPIRAN 20

30 2 Lampiran (Pembuktian Lema 2) Lema 2 Misalkan dan adalah peubah acak dan misalkan pula dan adalah dua buah konstanta sebarang, maka 2,. Jika dan adalah peubah acak saling bebas, maka. [Casella dan Berger, 990] Bukti: Nilai harapan dari yaitu. Sehingga 2 2,. Dengan demikian Lema 2 terbukti.

31 22 Lampiran 2 (Pembuktian Lema 3) Lema 3 Jika adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk sebarang konstanta dan, berlaku. [Casella dan Berger, 990] Bukti: Dari definisi ragam, diketahui bahwa. Dengan demikian Lema 3 terbukti.

32 23 Lampiran 3 (Pembuktian Lema 4) Lema 4 (Sebaran jumlah peubah acak Poisson) Misalkan dan adalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut dan, maka memiliki sebaran Poisson dengan parameter. [Taylor dan Karlin, 984] Bukti: Dengan menggunakan aturan peluang total (law of total probability), dapat ninyatakan P P,. Karena peubah acak dan saling bebas, maka P P!!!!!!. Perhatikan, dengan perluasan binomial kita dapat menyatakan, untuk setiap integer positif n, Sehingga diperoleh!!!. P, 0,,2,! yang merupakan bentuk dari fungsi peluang dari sebaran Poisson dengan parameter. Dengan demikian Lema 4 terbukti.

33 24 Lampiran 4 (Pembuktian Lema 5) Lema 5 (Ketaksamaan Markov) Jika adalah peubah acak dengan terbatas maka untuk setiap 0, berlaku Ρ. [Helms, 996] Bukti: Misalkan maka I. Dengan I A adalah fungsi indikator dari, yaitu I, jika 0, jika. Jika ditentukan nilai harapannya, maka akan diperoleh E EI EI P. P E. Dengan demikian Lema 5 terbukti.

34 25 Lampiran 5 (Pembuktian Lema 6) Lema 6 (Ketaksamaan Chebyshev) Jika adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam terbatas, maka untuk setiap 0. Ρ, [Helms, 996] Bukti: Perhatikan bahwa adalah peubah acak positif, maka P P. Berdasarkan ketaksamaan Markov P E. Atau bisa ditulis Ρ untuk setiap 0. Dengan demikian Lema 6 terbukti.

35 26 Lampiran 6 (Pembuktian Lema 7) Lema 7 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika dan adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka E E E, dan akan bernilai sama dengan jika dan hanya jika Ρ 0 atau Ρ untuk suatu konstanta. [Helms, 996] Bukti: Pilihlah salah satu dari Ρ 0 atau Ρ 0. Pada kasus pertama, persamaan akan terpenuhi karena kedua ruas mempunyai nilai nol, sehingga kita bisa mengasumsikan Ρ 0, yang berarti bahwa mempunyai satu nilai 0 dengan peluang positif, sehingga E 0. Definisikan fungsi kuadrat E 2E E. Fungsi kuadrat di atas akan bernilai minimum pada saat E E. Sehingga 0 E E. untuk yang real. Ganti dengan, E 2 E E 2 E E E E. E E Sehingga 0 E E E E. Di satu sisi, hal ini berimplikasi bahwa E. Dan di sisi lain jika sama akan E 0. Jika menempati nilai yang tidak nol dengan peluang yang positif, akan didapatkan E 0. Hal ini mengakibatkan kontradiksi, maka haruslah P 0. Dengan demikian Lema 7 terbukti.

36 27 Lampiran 7 (Pembuktian Lema 8) Lema 8 (Ketaksamaan segitiga) Jika dan adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka. [Helms, 996] Bukti: 2.(98) Kita tahu bahwa. Maka, ruas kanan dari (98) tidak lebih dari Sehingga (95) dapat dituliskan seperti berikut. Karena dan adalah non-negatif, maka diperoleh. Dengan demikian Lema 8 terbukti.