SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT RO FAH NUR RACHMAWATI

Transkripsi

1 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT RO FAH NUR RACHMAWATI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat adalah karya saya dengan arahan dari pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal dari atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, April 2010 Ro fah Nur Rachmawati NIM G

3 ABSTRACT RO FAH NUR RACHMAWATI. Asymptotic Distribution of an Estimator for Periodic Component of the Intensity Function of a Periodic Poisson Process with Power Function Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI. In this thesis, estimation for periodic component of the intensity function of a periodic Poisson process in the presence of power function trend by using general kernel function is discussed. It is considered the worst case where there is only available a single realization of the Poisson process having intensity which consist of a periodic component and a power function trend, observed in interval [0,n]. It is assumed that the period of the periodic component is known. There are two cases to be considered. Firstly, it is assumed that the slope of the power function trend to be known. Secondly, it is not assumed that the slope of the power function trend to be known. It has been formulated estimators for both cases and also has been formulated statistical properties of those estimators. Finally, it is also given asymptotic normality of those estimators. Keywords: periodic Poisson process, power function trend, kernel function

4 RINGKASAN RO FAH NUR RACHMAWATI. Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI. Proses stokastik mempunyai peranan yang cukup penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, dalam fenomena pelayanan pelanggan (customer service) yaitu banyaknya pelanggan yang datang pada suatu pusat servis akan berbeda untuk setiap waktu tertentu. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik yaitu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Jika laju proses tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi pangkat terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat. Pada pemodelan stokastik dari suatu fenomena yang dimodelkan dengan proses Poisson periodik, fungsi intensitas dari proses tersebut umumnya tidak diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Pada tulisan ini dipelajari perumusan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat, beserta sebaran asimtotik dari penduga yang diperoleh. Misalkan N adalah proses Poisson nonhomogen pada interval 0, dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas dua komponen, yaitu suatu komponen periodik (siklik) dengan periode 0 dan suatu komponen tren yang berbentuk fungsi pangkat. Dengan kata lain untuk sembarang titik 0, dapat ditulis fungsi intensitas sebagai berikut (1) 0 dan 01, dengan adalah fungsi periodik dengan periode dan a adalah kemiringan dari tren, serta diasumsikan bahwa nilai b dan adalah diketahui. Dalam bahasan ini tidak diasumsikan suatu bentuk parametrik dari, kecuali bahwa adalah periodik dengan persamaan: (2) berlaku untuk setiap 0, dan dengan adalah himpunan bilangan bulat. Misalkan untuk suatu Ω, hanya terdapat sebuah realisasi dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang Ω,, P dengan fungsi intensitas seperti pada (1) yang diamati pada interval terbatas 0, 0,. Karena adalah fungsi periodik dengan periode, maka masalah menduga pada titik s dengan dapat direduksi menjadi masalah menduga pada titik s dengan 0,. Pada pendugaan komponen periodik dari fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat dibedakan menjadi dua kasus, yaitu kasus a diketahui dan a tidak diketahui. Selain itu, diasumsikan periode dan b diketahui sedangkan tidak diketahui. Fungsi intensitas global diasumsikan diketahui hanya pada kasus kedua.

5 Penduga tipe kernel bagi untuk kasus a diketahui pada 0,adalah:,, 1 1,, dengan n adalah panjang interval pengamatan,,,, K adalah suatu kernel, adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu 0untuk. Diperoleh bahwa penduga,, menyebar normal asimtotik. Jika / 0 maka,, Normal0, untuk, dengan 1. Jika / 1 maka,, Normal, untuk, dengan " 1 2 dan 1 1. Penduga tipe kernel bagi untuk kasus a tidak diketahui pada 0, adalah:,, 1 1,,, dengan n adalah panjang interval pengamatan,,,, K adalah suatu kernel, dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu 0 untuk, serta, 0, adalah penduga yang konsisten bagi a. Diperoleh bahwa penduga,, menyebar normal asimtotik. Jika / 0 maka,, Normal0, untuk, dengan 1. Jika / 1 maka,, Normal, untuk, dengan " 1 2 dan 1 1. Dari hasil pengkajian yang dilakukan diperoleh bahwa,, dan,, adalah penduga tak bias asimtotik bagi dan ragam dari penduga konvergen menuju nol, dengan syarat fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, K adalah suatu kernel, 0, untuk, serta s adalah titik Lebesgue dari. Dari dua kasus diperoleh sebaran asimtotik dari,, dan,, adalah sama. Kata kunci: proses Poisson periodik, tren fungsi pangkat, fungsi kernel

6 Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2010 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

7 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT RO FAH NUR RACHMAWATI Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010

8 Judul Tesis : Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat Nama : Ro fah Nur Rachmawati NIM : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. I Wayan Mangku, M. Sc. Ir. Retno Budiarti, M.S. Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana IPB Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian : 1 April 2010 Tanggal Lulus :

9 PRAKATA Puji syukur kehadirat Allah SWT, atas segala rahmat dan inayah dari-nya sehingga tesis yang berjudul Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat dapat diselesaikan untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam penyelesaian studi pada Program Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Wayan Mangku dan Ibu Ir. Retno Budiarti M.S. selaku pembimbing, serta Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. yang telah banyak memberikan saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya tulis ini bermanfaat. Bogor, April 2010 Ro fah Nur Rachmawati

10 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Depok pada tanggal 15 Desember 1986 dari ayah H. Buchori Muslim dan ibu Hj. Nur Rofiah. Penulis merupakan putri kedua dari tiga bersaudara. Tahun 2004 penulis lulus dari SMA Negeri 5 Bogor dan pada tahun yang sama pendidikan sarjana ditempuh di Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB, lulus pada tahun Pada tahun 2008, penulis diterima di Program Studi Matematika Terapan pada Program Pascasarjana IPB dan menamatkannya pada tahun Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Proses Stokastik pada tahun ajaran 2008/2009 dan 2009/2010.