SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN N PERTAMA DAN KEDUA DARI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR

Transkripsi

1 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNANN PERTAMA DAN KEDUA DARI KOMPONE EN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR SALIWATI SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Kedua dari Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear adalah karya saya sendiri dengan arahan pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2009 Saliwati NIM. G550709

3 ABSTRACT SALIWATI. Asymtotic Distribution of Estimators for the First and Second Derivatives for Periodic Component of Intensity Function of a Periodic Poisson Process in the Presence of Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI A periodic Poisson process is a Poisson process with periodic intensity function. In this process, the local intensity function at s expresses the rate of the process at time s. If the intensity function is increasing linearly with respect to time then the suitable model is periodic Poisson process with linear trend. This thesis is concerned with asymptotic distribution of estimators for the first and second derivatives for periodic component of intensity function of a periodic Poisson process in the presence of linear trend using general kernel function. Formulation of estimators for the first and second derivatives of the intensity function are the following. First, an estimator for the intensity function it self has to be formulated. Then, statistical properties of the estimators for the first and second derivatives of the intensity function are studied. Finally, asymptotic normality of those estimators are established. Keywords: periodic Poisson process, intensity function, linear trend, kernel function, asymptotic normality..

4 Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh hasil karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilimiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

5 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA DARI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR SALIWATI Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2009

6 RINGKASAN SALIWATI. Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Kedua dari Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I Wayan Mangku dan Siswandi. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Dalam banyak penerapan, di samping diperlukan penduga bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson priodik, diperlukan pula penduga bagi turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi intensitas tersebut. Pada tulisan ini direview perumusan penduga bagi turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren linear. Selain itu dikaji sifat-sifat statistikanya, selanjutnya ditentukan sebaran asimtotik dari penduga-penduga yang dikaji. Pada awalnya ditentukan penduga bagi komponen periodik dari fungsi intensitas dengan λ λ s, pada 0, dari suatu proses Poisson periodik (dengan periode diketahui) dengan tren linear yang diamati pada interval 0,. Penduga tipe kernel bagi, dirumuskan sebagai berikut: λ,,. Dari penduga di atas, diturunkan penduga bagi yang dirumuskan sebagai:,,,,,,. 2 Selanjutnya dari penduga di atas, diturunkan penduga bagi yang dirumuskan sebagai berikut:,,,, 2,, 2 2,,. 4 Pada ketiga penduga di atas, disebut bandwidth. Pengkajian yang dilakukan mencakup sifat sifat statistika serta sebaran asimtotik dari penduga,, dan,,. (i). Dari hasil kajian yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa: Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan,,

7 .,, (ii). (iii). (iv). Aproksimasi asimtotik bagi ragam,, ,, 4. Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan,,,, 3. Aproksimasi asimtotik bagi ragam,,,, (v) Normalitas Asimtotik untuk λ c, n, K ' ln,, 4 2 d (vi) Normalitas Asimtotik untuk λ c, n, K. " ln ",, " d. 0, 2 0, 3 8 K 2 ( x) dx. K 2 ( x) dx.

8 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir.Hadi Sumarno, MS.

9 Judul Tesis Nama NIM : Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Kedua dari Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. : Saliwati : G Disetujui, Komisi Pembimbing Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc Ketua Drs. Siswandi, M.Si Anggota Diketahui, Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pasca Sarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian : 7 Agustus Tanggal Lulus :

10 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2009 ini adalah Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Kedua dari Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren linear. Karya ilmiah ini tidak akan mungkin terselesaikan tanpa adanya dorongan, bantuan dan kritikan membangun berbagai pihak. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. dan Bapak Drs. Siswandi, M.si selaku pembimbing serta Bapak Dr.Ir.Hadi Sumarno, MS selaku penguji yang telah banyak memberikan saran. Di samping itu, ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan bea siswa, kepada rekan-rekan mahasiswa atas diskusinya, serta pihak lain yang tidak bisa disebutkan satu persatu. Semoga atas semua kebaikan dapat bernilai ibadah dan dibalas oleh Allah SWT dengan kebaikan yang berlipat. Terakhir kepada Yang tercinta suami dan keempat putri, kedua orang tua dan seluruh keluarga yang memberikan motivasi dan do a. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Agustus 2009 Saliwati

11 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Tarempa pada 8 September 969 dari Ayah H. Saleh dan Ibu Hj. Nurjannah Penulis merupakan putri ke-enam dari sebelas bersaudara. Tahun 989 penulis lulus dari MAN Pekanbaru dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk UNRI (Universitas Riau) Pekanbaru pada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Kesempatan untuk melanjutkan program magister pada Program Studi Matematika Fakultas MIPA IPB diperoleh pada tahun Penulis adalah staf pengajar Bidang studi Matematika sejak Juli 997 di Madrasah Aliah Negeri 2 Model Pekanbaru.

12 DAFTAR ISI Halaman I PENDAHULUAN. Latar Belakang....2 Tujuan Penelitian... 2 II TINJAUAN PUSTAKA 2. Proses Poisson Periodik Review Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik... 6 III REVIEW PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA DARI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR 3. Perumusan Penduga bagi dan " Review Sifat-sifat Statistika Review Sifat- sifat Statistika Review Sifat-sifat Statistika ",, 26 IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA DARI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR 4. Sebaran asimtotik dari,, Sebaran asimtotik dari λ",,k V KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 59

13 BAB I PENDAHULUAN.. Latar Belakang Banyak fenomena yang kita jumpai di kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan salah satu bentuk model yang berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang dan mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang dalam kehidupan sehari-hari seperti proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada tulisan ini pembahasan hanya dibatasi untuk proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Sebagai contoh, proses kedatangan pelanggan ke pusat servis dapat di modelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas lokal λ(s) menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu s. Jika laju kedatangan pelanggan tersebut cenderung meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang sesuai adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Untuk kasus ini fungsi intensitas pada titik s menjadi λ(s) = λ с (s) + as dengan a menyatakan kemiringan tren linear dan λ с (s) adalah fungsi periodik. Dalam banyak penerapan, di samping diperlukan penduga bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson priodik, diperlukan pula penduga bagi turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi intensitas tersebut. Pada tulisan ini direview perumusan penduga bagi turunan pertama dan turunan kedua dari komponen periodik fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren linear. Selain itu dikaji sifat-sifat statistikanya, selanjutnya ditentukan sebaran asimtotik dari penduga-penduga yang dikaji.

14 2.2. Tujuan Penelitian Permasalahan pada penelitian ini adalah merumuskan sebaran asimtotik penduga turunan pertama dan penduga turunan kedua dari komponen periodik fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren linear. Tujuan penelitian ini adalah: (i). Mereview perumusan penduga turunan pertama dan turunan kedua dari komponen periodik fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren linear. (ii) Mereview pendekatan asimtotik dari nilai harapan dan ragam penduga. (iii) Menentukan sebaran asimtotik dari penduga turunan pertama. (iv) Menentukan sebaran asimtotik dari penduga turunan kedua.

15 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.. Proses Poisson Periodik Definisi 2. (Proses stokastik) Proses stokastik X={X(t), t T } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S. (Ross 2007) Dengan demikian, X(t) merupakan suatu peubah acak untuk setiap t pada himpunan indeks T, dengan t menyatakan waktu dan X(t) kita sebut keadaan (state) dari proses pada waktu t. Ruang state S dapat berupa himpunan bilangan bulat (atau himpunan bagiannya) atau dapat berupa himpunan bilangan real (atau himpunan bagiannya). Definisi 2.2 (Proses stokastik dengan waktu kontinu) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. (Ross 2007) Definisi 2.3 (Inkremen bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t T } disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua, peubah acak,,, adalah bebas. (Ross 2007) Dengan kata lain, suatu proses stokastik X dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas. Definisi 2.4 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t T } disebut memiliki inkremen stasioner jika X(t+s) - X(t) memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.

16 4 (Ross 2007) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak bergantung pada lokasi titik titik tersebut. Proses Poisson merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Untuk proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, kita anggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan nyata tak negatif, yaitu [0, ). Definisi 2.5 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik {N(t), t 0} disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Proses pencacahan N(t) harus memenuhi syarat- syarat sebagai berikut: (i) N(t) 0 untuk semua t [0, ). (ii) Nilai N(t) adalah integer. (iii)jika s < t maka N(s ) N(t), dengan s,t [0, ). (iv) Untuk s < t maka N(t ) - N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang (s,t]. (Ross 2007) Definisi 2.6 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan {N(t), t 0} disebut proses Poisson dengan laju λ, λ>0, jika dipenuhi tiga syarat berikut: (i) N(0) = 0. (ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. (iii)banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan λt. Jadi untuk semua t, s>0,, 0,,2,! (Ross 2007)

17 5 Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga kita peroleh bahwa λt, yang juga menjelaskan kenapa λ disebut laju proses tersebut. Definisi 2.7 (Proses Poisson homogen) Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju λ yang merupakan konstanta untuk semua waktu t. (Ross 2007) Definisi 2.8 (Proses Poisson tak homogen) Proses Poisson tak homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju pada sembarang waktu t yang merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu λ(t). (Ross 2007) Definisi 2.9 (Fungsi intensitas) Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {N(t), t 0}, yaitu λ(t) disebut fungsi intensitas proses Poisson tersebut pada t. (Mangku 200) Definisi 2.0 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas λ pada titik s R adalah λ(s), yaitu nilai fungsi λ di s. (Cressie 993) Definisi 2. (Fungsi intensitas global) Misalkan N([0,n]) adalah proses Poisson pada interval [0, n]. Fungsi intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai 0, lim, jika limit di atas ada. (Cressie 993) Definisi 2.2 (Fungsi periodik) Suatu fungsi λ disebut periodik jika λ (s+k)= λ(s) untuk semua s R dan k, dengan Z adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi λ tersebut. (Browder 996)

18 6 Definisi 2.3 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Mangku 200) Lema 2. (Teorema Limit Pusat) Misalkan adalah barisan peubah acak yang bebas dengan masing-masing memiliki nilai harapan dan ragamnya bernilai terhingga. Jika dan untuk suatu v>2,, untuk, maka memiliki sebaran normal asimtotik dengan nilai harapan dan ragam, dinotasikan, Bukti: lihat Serfling Review Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Fungsi intensitas dari proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Dalam hal ini fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi intensitas lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal menyatakan laju proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global menyatakan rata-rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu selang dengan panjang menuju tak hingga. Pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s adalah menaksir rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut dalam selang waktu di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan h n 0 dan N([ 0,t]) menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada suatu interval [0,t], maka, intensitas di titik s dapat dihampiri oleh N ([ s h s + h ]) 2h Sedangkan pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson adalah menaksir rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut pada selang n n n.

19 7 waktu [0,n]. Secara matematis, intensitas global dapat dihampiri dengan N n ([ 0, n] ). Beberapa penelitian telah dilakukan dalam pendugaan fungsi intensitas proses Poisson periodik. Fungsi intensitas proses Poisson digunakan dalam pemodelan laju polusi minyak di Laut Utara Belanda (Helmers, 995). Secara komputasi, telah dirumuskan mengenai algoritma untuk menduga fungsi intensitas suatu proses Poisson dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik oleh (Helmers dan Zikitis 999). Dengan pendugaan tipe kernel, kekonsistenan penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik telah dibuktikan pada Helmers et al. (2003), lihat juga Mangku (2006) untuk kasus yang relatif sederhana dimana periode dari fungsi intensitasnya diasumsikan diketahui. Selain itu, pembuktian kekonsistenan penduga fungsi intensitas lokal menggunakan metode titik terdekat (nearest neighbor estimation) telah dikaji pada Mangku (999). Pendugaan fungsi intensitas pada proses Poisson sering dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu: periode yang diketahui dan periode yang tidak diketahui. Untuk periode tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan situasi dimana periodenya diketahui. Meskipun demikian, sifat-sifat statistika untuk penduga tersebut dengan pendekatan tipe kernel telah dirumuskan pada Helmers et al. (2005). Pemodelan suatu penomena dengan proses Poisson periodik berkembang dengan menyertakan tren linear dikaji pada Helmers dan Mangku (2009) maupun menggunakan periodik ganda dalam fungsi intensitasnya telah dibahas pada Helmers et al. (2007). Untuk kasus periode diketahui, kekonsistenan pendugaan turunan pertama dan turunan kedua dengan menggunakan fungsi kernel seragam dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik telah dikaji pada Herniwati (2007). Pendugaan turunan pertama dan kedua dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan menggunakan fungsi kernel umum telah dibahas pada Syamsuri (2007). Pendugaan fungsi intensitas global dari proses Poisson periodik dengan tren linear telah di bahas pada Mangku (2005). Sifat-sifat statistika orde 2 pendugaan tipe kernel bagi komponen perodik fungsi intensitas proses Poisson

20 8 periodik dengan tren linear dan modifikasinya telah dibahas pada Marliana (2008). Kekonsistenan dan sifat-sifat statistika penduga turunan pertama dan turunan kedua dari komponen periodik fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren linear telah dibahas pada Eviliyanida (2009).

21 9 BAB III REVIEW PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR 3. Perumusan Penduga bagi dan " Untuk merumuskan penduga bagi λ ( s) dan ( s) c ' λ c" terlebih dahulu perlu dirumuskan penduga bagi sebagai berikut. Misalkan N adalah proses Poisson yang diamati pada interval [0,n] dengan fungsi intensitas λ () s (tidak diketahui) yang diasumsikan memiliki dua komponen, yaitu komponen periodik dengan periode τ > 0 dan komponen tren linear. Dengan kata lain, untuk setiap titik s [ 0, ) fungsi intensitas ( s) dengan ( s) c λ dapat ditulis sebagai berikut : λ λ s (3.) λ adalah fungsi periodik dengan periode (diketahui) τ > 0 dan a menyatakan kemiringan tren linear. Karena c ( s) untuk setiap s [ 0, ) dan k λ adalah fungsi periodik maka Z, dengan Z adalah himpunan bilangan bulat, berlaku λ λ s. 3.2 Kita juga asumsikan bahwa s adalah titik Lebesque dari λ, sehingga berlaku : lim λ λ (Wheeden dan Zygmund 977). Syarat cukup agar s merupakan titik Lebesgue dari λ adalah fungsi λ kontinu di s. Karena λ c ( s) adalah fungsi periodik dengan periode τ maka untuk menduga λ c ( s) pada s [ 0, ) cukup diduga nilai λ c ( s) pada s [ 0,τ ). Misalkan K : R [ 0, ) merupakan fungsi bernilai real, yang disebut kernel, yang memenuhi sifat-sifat berikut : (K.) K merupakan fungsi kepekatan peluang, (K.2) K terbatas, dan (K.3) K memiliki daerah definisi pada [-,] (Hermers et al. 2003). Misalkan juga h n merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0 atau

22 0 untuk. 0 Penduga bagi a dan pada titik [ 0,τ ) dirumuskan sebagai berikut: dan s secara berturut-turut , 3.5 λ,, 3.6 Ide di balik pembentukan a n dan c, n, K () s λ dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009) dan Marliana (2008). Jika ˆλ () s adalah penduga bagi, maka penduga bagi λ () s dapat c, n, K dirumuskan sebagai berikut,,,,,, Penduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, untuk nilai 0 yang cukup kecil, maka 2 Jika ˆλ () s adalah penduga bagi maka penduga bagi dapat c, n, K dirumuskan sebagai berikut:,,,, 2,, 2 2,, Penduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, untuk nilai h>0 yang cukup kecil, maka ' c 3.2 Review Sifat-sifat Statistika ˆλ ( s) c, n, K Lema 3. Misalkan fungsi intensitas memenuhi (3.) dan terintegralkan lokal. Maka

23 2 3.9 dan untuk n, dengan λ ; yang menyatakan fungsi intensitas global dari komponen periodik. Hasil tersebut menyatakan bahwa merupakan penduga konsisten bagi. MSE diberikan oleh persamaan untuk. Bukti dari lema ini dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009). Teorema 3. (Aproksimasi asimtotik untuk nilai harapan,, ) Misalkan fungsi intensitas memenuhi (3.) dan terintegralkan lokal. Misalkan pula h 0 untuk n, dan kernel K simetris dan memenuhi asumsi (K.), n (K.2), dan (K.3). i) Jika ln, dan memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka,, ii) Jika ln, dan memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka,, untuk n. Bukti : (lihat juga Eviliyanida 2009). Berdasarkan Teorema Fubini, kita dapat menukarkan urutan penentuan nilai harapan dan penjumlahan, sehingga nilai harapan di ruas kiri (3.2) dan (3.3) dapat dinyatakan sebagai berikut

24 2,,. 3.4 Suku pertama pada ruas kanan persamaan (3.4) dapat ditulis menjadi 0,. 3.5 Dengan menggantikan variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.2) maka persamaan (3.5) dapat ditulis menjadi 0, 0, 0, 0, 0,. Dengan menggunakan fakta bahwa 0,,

25 3 untuk dan selanjutnya menggantikan variabel maka suku pertama pada ruas kanan persamaan (3.6) dapat ditulis menjadi. 3.8 Untuk membuktikan persamaan (3.2), karena mempunyai turunan ketiga pada s, dengan menggunakan deret Taylor (Lema A.3 dalam Lampiran ), maka diperoleh! 2! 3! jika n. Dengan menggunakan hasil ini maka persamaan (3.8) menjadi! 2! 3!! 2! 3! 3.9 untuk n. Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-,], maka simetris, maka. Karena kernel K adalah 0 dan 0. Dari asumsi maka suku terakhir pada ruas kanan dari persamaan (3.9) menjadi, jika. Sehingga persamaan (3.9) menjadi sama dengan untuk n. Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (3.6) dapat ditulis menjadi sama dengan

26 4 0, 0, 0, 0, 0, 0,. Dengan menggunakan (3.7), dan fakta bahwa 0, 3.2 untuk n, dan penggantian variabel maka ruas kanan persamaan (3.2) dapat ditulis menjadi untuk 3.22 n. Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-,], maka simetrik, maka. Karena kernel K adalah 0. Sehingga suku pertama pada persamaan (3.22) sama dengan nol. Suku kedua persamaan (3.22) sama dengan

27 5 untuk. Sedangkan suku ketiga dari persamaan (3.22) menjadi untuk n. Sehingga suku kedua pada ruas kanan persamaan (3.6) adalah 3.23 jika n. Dari asumsi maka suku terakhir ruas kanan dari persamaan (3.23) menjadi, jika. Jika kita gabung hasil dari suku pertama (persamaan 3.20) dan suku kedua (persamaan 3.23) pada persamaan (3.6), maka ruas kanan persamaan (3.5) sama dengan untuk n. Kemuadian untuk menyelesaikan suku kedua ruas kanan dari persamaan (3.4) kita gunakan persamaan (3.9) dari Lema 3. sehingga diperoleh jika n. Dari asumsi maka suku terakhir ruas kanan dari persamaan (3.25) adalah, jika. Dengan menggabungkan persamaan (3.24) dan (3.25) akan diperoleh persamaan (3.2). Untuk membuktikan persamaan (3.3) kita gunakan argumen berikut. Karena mempunyai turunan keempat pada s, dengan menggunakan deret Taylor (Lema A.3 dalam Lampiran ), kita peroleh

28 6! 2! 3! 4! iika n. Dengan menggunakan hasil ini untuk n maka persamaan (3.8) menjadi 4! 3!! 2!! 4! 3! 2! 3.26 jika n. Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-,], maka maka 0 dan. Karena kernel K adalah simetris, 0. Dari asumsi maka suku terakhir pada ruas kanan dari persamaan (3.26) menjadi, jika. Sehingga persamaan (3.26) menjadi sama dengan 2 24, 3.27 untuk. Jika kita gabung persamaan (3.27) dan persamaan (3.23) maka diperoleh untuk n. Dengan mensubtitusikan persamaan (3.28) dan (3.25) diperoleh persamaan (3.3). Berarti Teorema 3. terbukti.

29 7 Teorema 3.2 (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam,, ) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (3.) dan terintegralkan lokal. Jika 0 untuk n, fungsi kernel K memenuhi asumsi (K), (K2), (K3). Jika ln, maka,, 6 ln 3.29 untuk n, asalkan s adalah titik Lebesgue dari, dimana =0,577 adalah konstanta Euler. Bukti: Kita ingat bahwa λ,,. Misalkan.. Untuk memperoleh ragam dari λ,, kita gunakan persamaan berikut λ,, 2, Dari asumsi (4), untuk n yang cukup besar, interval, dan, tidak overlap untuk semua. Hal ini berimplikasi bahwa untuk semua, dan

30 8 saling bebas. Ragam pada ruas kanan persamaan (3.30) dapat dinyatakan sebagai berikut,, 2, Suku pertama pada ruas kanan persamaan (3.3) dapat ditulis menjadi: Dengan mengganti variabel dan menggunakan (3.) dan (3.2), persamaan (3.32) dapat ditulis menjadi 0, 0, 0,

31 9 0, Suku pertama pada ruas kanan persamaan (3.33) adalah sama dengan 0, 0, 0, Kita perhatikan bahwa 0, untuk n. Karena Kernel K terbatas dan memiliki daerah definisi pada [-,], dengan menggunakan persamaan (3.3) dan (3.35) maka suku pertama pada ruas kanan persamaan (3.34) sama dengan, untuk n. Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (3.34) sama dengan ln 3.36 untuk n. Suku kedua pada persamaan (3.33) dapat ditulis sebagai berikut

32 20 0, 0, 3.37 Dengan menggunakan persamaan (3.35) maka suku pertama pada persamaan (3.37) menjadi untuk n. Dengan menggunakan fakta bahwa 0,, suku kedua pada ruas kanan persamaan (3.37) menjadi l untuk n. Dengan menggabungkan persamaan persamaan (3.36), (3.38) dan (3.40), maka suku pertama pada persamaan (3.3) menjadi

33 2 6 6 ln ln untuk. Dengan menggunakan persamaan (3.0) pada Lema 3., suku kedua pada persamaan (3.3) dapat ditulis sebagai berikut untuk n. Perhatikan bahwa suku pertama dan kedua pada ruas kanan persamaan (3.42) sama dengan o(, untuk n. Dengan menggunakan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz suku ketiga dari persamaan (3.3) adalah 2,

34 22 l 3.43 untuk n. Dengan menggabungkan persaman (3.4), (3.42) dan (3.43) kita peroleh persamaan (3.29). Jadi Teorema 3.2 terbukti. 3.3 Review Sifat- sifat Statistika ˆλ ' ( s) c, n, K Teorema 3.3 (Aproksimasi asimtotik untuk nilai harapan ˆλ ' ) c, n, K Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (3.) dan terintegralkan lokal. Jika 0 dan ln untuk n, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi (K), (K2), (K3), serta memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka,, jika n. 6 2 Bukti : (Lihat juga Eviliyanida (2009)).,,,,,, 2 2,,,,. Berdasarkan (3.2) diperoleh,, 2,, 2 Sehingga persamaan (3.45) menjadi,, Dengan deret Taylor diperoleh! 2! 3!, 3.46

35 23! 2!, 3!,. Dengan mensubstitusikan (3.46) (3.49), maka dihasilkan ,, Jadi Teorema 3.3 terbukti. Teorema 3.4 (Aproksimasi asimtotik untuk ragam ˆλ ' ) c, n, K Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (3.) dan terintegralkan lokal. Jika 0, ln, untuk n, fungsi kernel K memenuhi asumsi (K), (K2), (K3) serta memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka ,, 4 untuk n. Bukti : (Lihat juga Eviliyanida (2009)). 3.50,, dapat ditentukan sebagai berikut,,,,,, 2 4,,,, 2,,,,, 3.5 Ingat kembali pernyataan (3.6) yang mengakibatkan :

36 24,, dan,,. Dari 0, untuk nilai n yang besar, maka selang, 2 dan 2, tidak tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga,2 dan 2, adalah bebas. Dengan demikian,,,,, 0, sehingga persamaan (3.5) menjadi,, 4,,,, Kemudian ingat kembali pernyataan (3.29) yang mengakibatkan:,, 6 ln,,,

37 25 ln, untuk. Dengan mensubstitusikan persamaan (3.54) dan (3.53) ke (3.52), maka 5.54,, ln 3.55 untuk. Substitusi persamaan (3.46) dan (3.47) ke (3.55) sehingga (3,52) menjadi,, , untuk. Jadi Teorema 3.4 terbukti Review Sifat-sifat Statistika ",, Teorema 3.5 (Aproksimasi asimtotik untuk nilai harapan ",, ) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (3.) dan terintegralkan lokal. Jika 0 dan ln, untuk n, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi

38 26 asumsi (K), (K2), (K3) serta memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka,, untuk n. 3 Bukti: (Lihat juga Eviliyanida (2009)).,,,, 2,, 2 2,, 4 4,, 2,, 2 2,,. Dengan menggunakan persamaan (3.3) diperoleh,, dan,, untuk n. Sehingga,,, (3.6) Dengan deret Taylor diperoleh 2! 2! 2 2! 2 2! 4 3! 4 3! 8 4! 8 4!

39 untuk. Dengan mensubstitusikan (3.62) (3.67), ke (3.6) maka dihasilkan ,, ,, 3. Jadi Teorema 3.5 terbukti. Teorema 3.6 (Aproksimasi Asimtotik Untuk Ragam ˆλ" ( s) c, n, K Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (3.) dan terintegralkan lokal. Jika 0, ln, untuk n, fungsi kernel K memenuhi asumsi (K), (K2), (K3) serta memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka,, n 3.68 untuk n. Bukti: (Lihat juga Eviliyanida (2009)).,, dapat ditentukan sebagai berikut,,,,, 2,, 2 2,, ,, 2,, 2 2,, 6,, 2,, 2 4,, 2,, 2,,, 2

40 28 4,, 2,,, 4,, 2,,, Ingat kembali pernyataan (3.6) yang mengakibatkan :,, 2 2 dan 2,, Dari 0, untuk nilai n yang besar, maka selang, dan,3 dan 3, tidak tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga,,,3, dan 3, adalah bebas. Dengan demikian,, 2,,, 2 0,,, 2,,, 0, dan,, 2,,, 0, sehingga,, 6,, 2,, 2 4,,. 3.7 Kemudian ingat kembali pernyataan (3.29) yang mengakibatkan,,

41 29 untuk n, dan ln,, ln untuk n. Dengan mensubtitusikan kepersamaan (3.7) diperleh,, ln 3.72 untuk. Dari persamaan (3.72) dan dengan mensubstitusikan (3.62), (3.63) diperoleh,,, o 4 2 6

42 30 untuk. Jadi Teorema 3.6 terbukti. 3 8 n

43 3 BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA DARI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR 4.. Sebaran asimtotik dari,, Teorema 4. ( Normalitas Asimtotik untuk,, ) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K simetris dan memenuhi asumsi (K), (K2), dan (K3), serta 0 dan ln dan ln 0, untuk, serta λ memiliki turunan ketiga berhingga pada s maka ln,, untuk. Bukti : Misalkan,, dan d 0, 2 K 2 ( x) dx ln ln ,,,,,, Ruas kiri pernyataan (4.) dapat di tulis menjadi ln,,,, ln,,. 4.4 Maka, untuk membuktikan pernyataan (4.) cukup dibuktikan ln,,,, P dan ln,, d 0, 2 K 2 ( x) dx 4.6

44 32 untuk. Pernyataan (4.5) akan dibuktikan pada Lema 4. dan pernyataan (4.6) dibuktikan pada Lema 4.2. Lema 4. Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K simetris dan memenuhi asumsi (K), (K2), dan (K3), serta 0 dan ln untuk, serta λ memiliki turunan pertama berhingga pada s maka maka ln,,,, untuk n. Bukti: Berdasarkan persamaan (3.6) dan (3.7) diperoleh,, P ln 0 2 ln 2 ln 0 2 ln. 4.8 Berdasarkan persamaan (4.2) dan (4.3) diperoleh,, 2 ln 0 2 ln 2 ln 2 ln. 4.9 Persamaan (4.8) dan (4.9) disubtitusi ke ruas kiri (4.7) sehingga ruas kiri (4.7) dapat ditulis menjadi

45 33 ln a. 4.0 Maka, untuk membuktikan persamaan (4.7) cukup dibuktikan ln a P 0 4. jika. Ruas kiri pernyataan (4.) dapat ditulis sebagai ln ln Maka untuk membuktikan pernyataan (4.) cukup dibuktikan ln P 0 42 dan ln jika. 0 (4.3) Untuk membuktikan persamaan (4.2) harus dibuktikan untuk setiap 0 berlaku ln jika. Pembuktian pernyataan (4.4) menggunakan ketaksamaan Chebyshev dan sifat-sifat statistika. Peluang pada ruas kiri pernyataan (4.4) dapat ditulis sebagai berikut 3 ln 2 3 ln ln ln

46 untuk. Dengan didapat persamaan (4.5) maka pernyataan (4.2) terbukti. Untuk membuktikan pernyataan (4.3) perlu diingat sifat-sifat statistika penduga komponen tren linear pada persamaan (3.9), yaitu E 2, jika. Maka ruas kiri pernyataan 4.3 dapat ditulis menjadi ln 2 ln ln n untuk. Dengan demikian maka pernyataan (4.3) terbukti. Jadi Lema 4. terbukti. Lema 4.2 Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K simetris dan memenuhi asumsi (K), (K2), dan (K3), serta 0 dan ln ln 0, untuk, serta λ memiliki turunan ketiga berhingga di s maka ln,, d 0, 2 untuk n. Bukti Ruas kiri pernyataan (4.6) dapat ditulis menjadi ln,,,, K 2 ( x) dx. 4.6 ln,,. 4.7 Maka, untuk membuktikan pernyataan (4.6) cukup dibuktikan

47 35 ln,,,, dan d 0, 2 K 2 ( x) dx (4.8) ln,, jika. Kita perhatikan ruas kiri pernyataan (4.8) yang dapat di tulis menjadi n ln h τ 3 n Var( λ' c, n, K λ' c, n, K ( s) E λ' c, n, K ( s)) Var λ' c, n, K ( s) Maka untuk membuktikan (4.8), cukup diperiksa λ' c dan, n, ( s). (4.20), K ( s) E λ' c, n, K, ( s) d Normal(0,), (4.2) Var λ' c, n, K ( s) n 3 ln hn Var( λ' c, n, τ K ( s)) aτ 2 K 2 ( x) dx) (4.22) untuk. Pernyataan (4.2) dapat dibuktikan dengan menerapkan Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem) yang langkahnya diawali dari penggunaan persamaan (4.2) untuk menentukan peubah acak. Karena, maka persamaan 4.2 dapat dituliskan menjadi,, ln 0 ln ln

48 36 ln ln 4.23,, ln ln dan 0,, ln ln. Dari persamaan (4.3) maka diperoleh λ' c, n, K ( s) 2 ln Misalkan ln. 2 ln 0 Sehingga nilai harapan dari peubah acak adalah 2 ln 0

49 37 2 ln 2 ln Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.2), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi 2 ln 2 ln. Karena dan maka persamaan di atas dapat diubah menjadi 2 ln

50 38. Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.2), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi 2 ln a untuk. Jadi terhingga. Nilai ragam dari peubah acak adalah ln Karena suku ketiga ruas kanan (4.25) adalah deterministik serta suku pertamanya dan suku keduanya adalah bebas, maka Var Var. Dengan mengganti variable dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.2), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi

51 39. Karena dan sifat bahwa maka persamaan di atas dapat diubah menjadi Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.2), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi 2 x 2 x, 4.27 untuk. Hal ini karena asumsi (K2) dan (K3), 0, serta memiliki turunan pertama berhingga di s yang berimplikasi kontinu dan memiliki nilai berhingga di sekitar s. Misalkan B 4 n n τ = Var( X k= k 2 ) maka diperoleh

52 x untuk. Karena x dan k ln untuk, maka persamaan (3.28) dapat ditulis menjadi 2 untuk. Selanjutnya dibuktikan 4 l x O x E E untuk. Ruas kiri persamaan (4.28) dapat ditulis sebagai Perhatikan bahwa suku pertama dan suku kedua pada persamaan (4.29) memiliki pola yang sama. Maka untuk membuktikan persamaan (4.28), cukup dibuktikan untuk. Ruas kiri persamaan (4.30) 4.30

53 4 4.3 Karena 3, bukti lihat lema A.2 pada lampiran sehingga persamaan (4.3) dapat ditulis sebagai 3 3 0, 3 0, Dengan menggantikan variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.2) maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi 0, 3 4 0, Karena dan maka persamaan (4.32) dapat diubah menjadi 0, ,

54 , , 0 2 0, =O(). untuk. Hal ini karena asumsi (K2) dan (K3), 0,serta memiliki turunan pertama berhingga di s yang berimplikasi kontinu dan memiliki nilai berhingga di sekitar,. dan 4 ln x sehingga untuk. Dari hasil persamaan-persamaan di atas maka teorema limit pusat telah terpenuhi dan kemudian diperoleh kesimpulan bahwa merupakan barisan peubah acak bebas yang nilai harapan dan nilai ragamnya terhingga serta tidak nol untuk sembarang nilai k. Kemudian penduga,. dapat dinyatakan sebagai jumlah dari peubah acak bebas yang dikalikan dengan suatu konstanta yaitu λ' c, n, K ( s) 2 ln yang menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan,. dan ragam Var,. sehingga demikian terbukti persamaan (4.2). Perhatikan bahwa Var,.,.. (Bukti: lihat Lampiran pada Lema A.6. Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 3.4 tinggal dibuktikan persamaan (4.22) yang ruas kiri persamaannya dapat dinyatakan sebagai

55 43 n 3 ln hn Var( λ' c, n, τ n ln τ aτ 2 hn 3 K ( s)) Karena K merupakan kernel umum maka persamaan di atas dapat dituliskan menjadi aτ 2 aτ 2. (4.33) Dengan menggabungkan hasil akhir dari penerapan limit pusat dan persamaan (4.33) maka terbukti persamaan (4.22). Selanjutnya adalah membuktikan persamaan (4.9) yaitu ruas kiri akan konvergen ke ruas kanan. Dimulai dari ruas kiri, yaitu. ln,, Dengan menggunakan Teorema 3.3, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi + ln () () () () ( ) λ ' "' + "' + ' ( ) c s hn λc s hn λc s x K x dx o hn λ c s 6 2 ln λ"' 6 c ( s) + λc"'( s) 2 x 2 K( x) dx + o( h Karena ln 0 maka persamaan di atas menjadi 2 n ) ln,, o

56 44 untuk, sehingga dapat disimpulkan bahwa (4.9) terbukti. Dengan telah dibuktikannya persamaan (4.8) dan (4.9) maka Lema 4.2 terbukti. " 4.2. Sebaran asimtotik dari λ c, n, K Teorema 4.2 ( Normalitas Asimtotik untuk λ ) " c, n, K Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.) dan terintegralkan lokal. Misalkan kernel K simetris dan memenuhi asumsi (K), (K2), dan (K3), serta ln dan 0 untuk, serta λ memiliki turunan keempat berhingga di s maka ln ",, " d 0, 3 8 Bukti : Ruas kiri persamaan (4.34) yang dapat ditulis menjadi 4.34 ln ",, ",, ln ",, ". Maka, untuk membuktikan persamaan (4.34) cukup dibuktikan ln ",, ",, d 0, 3 8 dan (4.35) (4.36) ln ",, " 0, 4.37 jika. Untuk membuktikan pernyataan (4.36), ruas kiri persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi ln ",, ",, ",, ",, Maka untuk membuktikan (4.36) cukup dibuktikan

57 45 ",, ",, dan ",, d 0, 4.39 ln ",, jika. Pernyataan (4.39) dapat dibuktikan dengan menerapkan Teorema Limit Pusat (Central Limit Teorem) untuk menentukan peubah acak. Berdasarkan persamaan (3.6) dan (3.8) diperoleh ",, 4 ln 2 4 ln 2 2 ln 4 2 ln 4 2 ln 2 4 ln ",, 4 ln 2 2 2

58 46 Misalkan Sehingga nilai harapan dari peubah acak adalah E E Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.2), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi Karena dan sifat bahwa maka persamaan di atas dapat diubah menjadi

59 Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.2), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi O x untuk. Jadi terhingga. Nilai ragam dari peubah acak adalah 2 0 x (4.4) Karena suku pertama, kedua, dan ketiga persamaan (4.4) adalah bebas maka

60 48 Karena N adalah proses Poisson, maka dapat disimpulkan bahwa nilai ragamnya akan sama dengan nilai harapannya, sehingga persamaan di atas dapat dituliskan menjadi Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.2), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi

61 Karena dan sifat bahwa maka persamaan di atas dapat diubah menjadi Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.2), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi x x x x. untuk. Hal ini karena asumsi (K2) dan (K3), 0,serta memiliki turunan pertama berhingga di s yang berimlikasi kontinu dan memiliki nilai berhingga di sekitar s. Misalkan maka diperoleh 6 x

62 50 6 x 4.43 untuk. Karena dan Maka persamaan (4.43) dapat ditulis menjadi 6 ln x 36 ln x untuk. Selanjutnya dibuktikan l E E Ruas kiri persamaan (4.44) dapat ditulis sebagai

63 Perhatikan bahwa suku pertama dan suku kedua pada persamaan (4.45) memiliki pola yang sama. Maka untuk membuktikan persamaan (4.44), cukup dibuktikan 2 untuk. Ruas kiri persamaan (4.46) Karena 3, bukti lihat lema A.2 pada lampiran sehingga persamaan (4.47) dapat ditulis sebagai , 3 2 0, Dengan menggantikan variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.2) maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi 2 2 0,

64 , Karena dan maka persamaan (4.48) dapat diubah menjadi 2 2 0, , , , , =O() untuk. Hal ini karena asumsi (K2) dan (K3), 0,serta memiliki turunan pertama berhingga di s yang berimlikasi kontinu dan memiliki nilai berhingga di sekitar,. dan 36 ln x l sehingga untuk. Dari hasil persamaan-persamaan di atas maka teorema limit pusat telah terpenuhi dan kemudian diperoleh kesimpulan bahwa merupakan barisan peubah acak bebas yang nilai harapan dan nilai ragamnya terhingga serta tidak nol untuk sembarang nilai k. Kemudian penduga ",, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari peubah acak bebas yang dikalikan dengan suatu konstanta yaitu

65 53 ",, 4 ln yang menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan ",, dan ragam Var",, sehingga demikian terbukti persamaan (4.39). Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 3.4 tinggal dibuktikan persamaan (4.40) yang ruas kiri persamaannya dapat dinyatakan sebagai ln ",, ln aτ 8 untuk. Karena K merupakan kernel umum maka persamaan di atas dapat dituliskan menjadi 3aτ 8 3aτ 8. (4.49) Dengan menggabungkan hasil akhir dari penerapan limit pusat dan persamaan (4.49) maka persamaan (4.36) terbukti. Selanjutnya adalah membuktikan persamaan (4.37) yaitu ruas kiri akan konvergen ke ruas kanan. Dimulai dari ruas kiri, yaitu ln ",, " Dengan menggunakan Teorema 3.5, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi

66 54 () ( ) () ( ) () () ( ) = ) ( " 3 " ln , 2 4, 5 s h o dx x K x h s h s s n h c n n n c n n c c n λ λ λ λ τ ln 3. untuk. Karena ln 0 maka persamaan di atas akan menjadi ln ",, " untuk, sehingga dapat disimpulkan bahwa ln ",, " 0 untuk, dengan demikian makateorema 4.2 terbukti.

67 55 BAB V KESIMPULAN Untuk menduga turunan pertama dan turunan kedua dari komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear, pada awalnya ditentukan penduga komponen periodik λ. Penduga tipe kernel bagi λ s untuk diketahui dan menggunakan data yang diamati pada interval 0,,dirumuskan sebagai berikut: λ,,. Dari penduga di atas, diturunkan penduga bagi λ yang dirumuskan sebagai:,,,,,,. 2 Selanjutnya dari penduga di atas, diturunkan lagi penduga bagi λ yang dirumuskan sebagai berikut:,,,, 2,, 2 2,,. 4 Pada ketiga penduga di atas, disebut bandwidth. Pengkajian yang dilakukan mencakup sifat sifat statistika serta sebaran asimtotik dari,, dan,,. (i). (ii). Dari hasil kajian yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa: Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan,,.,, Aproksimasi asimtotik bagi ragam,, ,, 4. (iii). Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan,,

68 56 (iv).,, 3. Aproksimasi asimtotik bagi ragam,,,, (v) Normalitas Asimtotik untuk λ c, n, K ' ln,, " (vi) Normalitas Asimtotik untuk λ c, n, K 4 2 d. 0, 2 K 2 ( x) dx. ln ",, " d 0, 3 8.

69 57 DAFTAR PUSTAKA Browder A Mathematical Analysis: An Introduction. New York: Springer. Casella G, Berger RL Statistical Inference. Ed ke-. California: Wardswort & Brooks/Cole, Pasific Grove. Cressie NAC Statistics for Spatial Data. Revised edition. New York: Wiley. Eviliyanida Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Komponen Periodik Fungsi Intensitas suatu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear (Tesis). Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Dudley RM Real Analysis and Probability. California: Wardswort & Brooks. Grimmett GR, Stirzaker DR Probability and Random Processes. Ed ke-3. Oxford: University Press. Helmers R On estimating the intensity of oil-pollution in the North-Sea. CWI Note BS-N950. Helmers R, Mangku IW Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. To appear in Annals Institute of Statistical Mathematics, 6. Helmers R, Zikitis R On estimation of Poisson process intensity function. Annal Institute of Statistical Mathematics 5: Helmers R, Mangku IW, Zikitis R Consistent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate Analysis 84: Helmers R, Mangku IW, Zikitis R Statistical properties of kernel type estimator of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate Analysis 92: -23. Helmers R, Mangku IW, Zikitis R A non-parametric estimator for the doubly-periodic Poisson intensity function. Statistical Methodology 4: Helms LL Introduction to Probability Theory: with Contemporary Applications. New York: W. H. Freeman and Company.

70 58 Herniwati Kekosistenan Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik. Depertemen Matematika IPB. Skripsi. Bogor. Hogg RV, Mc Kean JW, Craig AT Introduction to Mathematical Statistics. Ed Ke-6. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River. Mangku IW Nearest neighbor estimation of the intensity of a cyclic Poisson process. CWI Report PNA-R994. Mangku IW Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process [Ph.D tesis]. Amsterdam: University of Amsterdam. Mangku IW A note on estimation of the global intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Journal of Mathematics and Its Aplications 4(2): -2. Mangku, IW Weak and strong convergence of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its Applications 4(2): -2. Marliana NM Sifat sifat Statistika Orde-2 Penduga Tipe Kernel bagi Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear dan Modifikasinya [tesis]. Bogor: Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Purcell E.J, Varberg D Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid 2. Ed Ke-5. Jakarta: Erlangga. Ross SM Introduction to Probability Models, Ed Ke-9. Burlington: Elsevier, Inc. Serfling RJ Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons. Syamsuri Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas suatu Proses Poisson Periodik [tesis]. Bogor: Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Taylor HM, Karlin S An Introduction to Stochastic Modeling. Florida: Academic Press, Inc. Orlando. Wheeden RL, Zygmund A Measure and Integral : An Introduction to Real Analysis. New York: Marcel Dekker, Inc

71 59 Lampiran : Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang contoh, kejadian dan peluang Berbagai macam pengamatan diperoleh melalui penggulangan percobaan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Dalam banyak kasus, hasil percobaan tersebut bergantung pada faktor kebetulan dan tidak dapat diprediksi dengan tepat. Tetapi, kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil untuk setiap percobaan. Definisi A. ( Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω. (Grimmett dan Stirzaker 200) Defenisi A.2 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmett dan Stirzaker 200) Definisi A.3 (Kejadian lepas) Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong (Ø). (Grimmett dan Stirzaker 200) Definisi A.4 (Medan-) Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut :. Ø. 2. Jika, maka. 3. Jika,, maka. (Grimmett dan Stirzaker 200) Misalkan Ω=R (himpunan bilangan nyata) dan adalah himpunan dari semua selang terbuka di R. Jika sehingga adalah Medan-, maka disebut Medan Borel yang anggotanya disebut himpunan Borel.

72 60 Definisi A.5 (Ukuran peluang) Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu percobaan dan adalah Medan- pada Ω. Suatu fungsi P yang memetakan unsur unsur ke himpunan bilangan nyata R, atau P: R disebut ukuran peluang jika :. P tak negatif, yaitu untuk setiap, Bersifat aditif tak hingga, yaitu jika,, dengan, maka. 3. P bernorma satu, yaitu PΩ. Pasangan Ω,, disebut ruang peluang atau ruang probabilitas. (Grimmett dan Stirzaker 200) Definisi A.6 (Kejadian saling bebas) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika:. Secara umum himpunan kejadian ; dikatakan saling bebas jika : untuk setiap himpunan bagian J dari I. (Grimmett dan Stirzaker 200) Peubah acak dan fungsi sebaran Definisi A.7 (Peubah acak) Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur Ω kesatu dan hanya satu bilangan real disebut peubah acak. (Hogg et al. 2005) Ruang dari X adalah himpunan bagian bilangan real A :, Ω. Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran.

73 6 Definisi A.8 ( Fungsi sebaran) Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang A dan kejadian, A, maka peluang dari kejadian A adalah. Fungsi disebut fungsi sebaran dari peubah acak X. (Hogg et al. 2005) Definisi A.9 (Peubah acak diskret) Suatu peubah acak disebut peubah acak diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. (Hogg et al. 2005) Definisi A.0 (Fungsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi : 0, yang diberikan oleh:. (Grimmett dan Stirzaker 200) Definisi A. (Peubah acak Poisson) Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter λ, λ 0, jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh λ! untuk k=0,,2, (Ross 2007) Lema A. (Jumlah peubah acak Poisson) Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut turut λ dan λ. Maka X+Y memiliki sebaran Poisson dengan parameter λ λ. Bukti: lihat Taylor dan Karlin (984). (Taylor dan Karlin 984)

74 62 Lema A.2 Jika X adalah peubah acak Poisson dengan parameter, maka (i). A. (ii). A. 2 (iii) 3. (A.3) (iv) 7 6. A. 4 (v) 3 3. A. 5 Bukti Untuk membuktikan digunakanan fungsi pembangkit peluang untuk peubah acak Poisson dan Teorema A. sebagai berikut!. Teorema A. Jika X memiliki fungsi pembangkit peluang maka (i) (ii) Secara umum dapat ditulis X. Bukti (Grimmet dan Stirzaker 200). Berdasarkan Teorema A. dan persamaan (A.6) diperoleh. X. X 2. X 2 3. A. 6 A. 7 A. 8 (A.9) A. 0 Dari persamaan (A.7) lansung membuktikan persamaan (A.). Selanjutnya akan dbuktikan persamaan (A.2), (A.3), (A.4) dan (A.5). Untuk membuktikan persamaan (A.2) digunakan persamaan (A.7) dan (A.8) sehingga X X X X X. Untuk membuktikan persamaan (A.3) digunakan persamaan (A.7), (A.8) dan (A.9) sehingga