PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK EKSPONENSIAL DARI FUNGSI PERIODIK DITAMBAH TREN LINEAR PADA PROSES POISSON NON-HOMOGEN SALMUN K.

Transkripsi

1 PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK EKSPONENSIAL DARI FUNGSI PERIODIK DITAMBAH TREN LINEAR PADA PROSES POISSON NON-HOMOGEN SALMUN K. NASIB SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

2

3 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear Pada Proses Poisson Non-Homogen adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, September 2014 Salmun K. Nasib NIM G

4 RINGKASAN SALMUN K. NASIB. Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear pada Proses Poisson Non-Homogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO. Proses stokastik merupakan model yang berkaitan dengan suatu aturanaturan peluang. Proses ini banyak digunakan untuk memodelkan suatu kejadian yang mengandung ketidakpastian atau sistem yang dijalankan pada suatu lingkungan yang dapat diduga. Proses Poisson periodik merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Sebagai contoh dapat dibuat sebuah model yang digunakan untuk memprediksi kedatangan pelanggan pada suatu pusat layanan seperti supermarket, kedatangan atau antrian nasabah di bank, dan sebagainya. Pada suatu proses Poisson periodik, laju kejadian atau fenomena yang terjadi pada waktu tertentu dikenal dengan fungsi intensitas. Misalkan, pada proses kedatangan pelanggan ke pusat layanan customer service) dengan periode satu hari, fungsi intensitas menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu Namun, jika laju kedatangan pelanggan tersebut meningkat mengikuti suatu fungsi tren terhadap waktu, maka model yang sesuai untuk kasus ini adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren. Oleh karenanya dalam banyak penerapan diperlukan penduga untuk fungsi intensitas dari proses Poisson periodik tersebut. Pada penelitian ini dikaji pendugaan bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear. Metode yang digunakan untuk menduga fungsi intensitas tersebut adalah metode non-parametrik tipe kernel umum. Penelitian ini memiliki empat tujuan, yaitu: 1) Merumuskan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari penjumlahan antara fungsi periodik dan tren linear suatu proses Poisson non-homogen menggunakan kernel umum, 2) Membuktikan kekonsistenan bagi penduga yang dikaji, 3) Menentukan aproksimasi asimtotik berturut-turut bagi bias, ragam dan Mean Square Error MSE) penduga, 4) Melakukan simulasi komputer untuk mengamati perilaku penduga dengan kasus panjang interval waktu yang terbatas. Misalkan N merupakan proses Poisson non-homogen pada interval dengan fungsi intensitas tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan merupakan eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear. Sehingga untuk sembarang titik kita dapat menuliskan fungsi intensitas sebagai berikut di mana merupakan fungsi periodik yang tidak diketahui dengan periode diketahui. Persamaannya dapat juga dituliskan menjadi ) ) Karena ) juga merupakan fungsi periodik dengan periode, misalkan ), maka secara umum fungsi intensitas dapat ditulis sebagai berikut ) Karena diketahui maka masalah pendugaan dapat disederhanakan menjadi masalah pendugaan komponen periodik dari fungsi intensitas tersebut yaitu. Berdasarkan sifat keperiodikan, untuk setiap titik dan

5 , di mana merupakan himpunan bilangan bulat, dapat dituliskan menjadi Penyusunan penduga tipe kernel tersebut hanya menggunakan realisasi tunggal dari proses Poisson yang diamati pada interval. Realisasi terdefinisi dalam suatu ruang probabilitas dengan. Rumusan penduga tipe kernel bagi komponen dari fungsi intensitas proses Poisson periodik yang dikaji adalah ) Dari hasil kajian yang dilakukan dengan suatu syarat tertentu, diperoleh hasil sebagai berikut: i) Penduga merupakan penduga yang tak bias asimtotik bagi dan memiliki ragam yang konvergen menuju nol, sehingga adalah penduga yang konsisten bagi dengan ) untuk. ii) Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga adalah ) ) untuk iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga adalah ) ) untuk iv) Aproksimasi asimtotik bagi Mean Square Error MSE) penduga adalah ) ) ) ) untuk v) Berdasarkan simulasi yang dilakukan dengan menggunakan fungsi kernel seragam dan data bangkitan diperoleh bahwa perilaku penduga dipengaruhi oleh pilihan bandwidth yang meminimumkan MSE serta semakin besar interval pengamatan yang digunakan, maka semakin kecil nilai MSE penduga. Kata kunci: bandwidth, eksponensial, kekonsistenan, penduga tipe kernel, proses Poisson non-homogen.

6 SUMMARY SALMUN K. NASIB. Estimating the Intensity Obtained as Exponential of a Periodic Function Plus Linear Trend of a Non-homogeneous Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO. A stochastic process is related to a probability rule. This process is widely used to model an event that contains uncertainties or systems that run on an unpredictable environment. Periodic Poisson process is a special case of continuous time stochastic processes. As an example, it can be made a model for predicting the arrival of customers at a service center such as supermarket, or the arrival of customers queuing at the bank. In a periodic Poisson process, the rate of events or phenomena that occur at a given time is known as the intensity function. Suppose that, on the arrival process of customers to a service center customer service) with a one-day period, the intensity function expressed the customer s arrival rate at time s. However, if the customer s arrival rate increases follow a trend, then the more appropriate model for this case is a periodic Poisson process with a trend. Therefore, in many applications it is required to estimate the intensity function of the periodic Poisson process. In this manuscript, estimation of intensity function obtained as exponential of a periodic function plus a linear trend is studied. The method used to estimate this intensity function is a non-parametric method using general function. This study has four objectives, namely: 1) To formulate estimators for the intensity function obtained as exponential of the sum of a periodic function and a linear trend of non-homogeneous Poisson process using general kernel, 2) To prove consistency of the proposed estimators, 3) To obtain asymptotic approximations to the bias, variance and the Mean Square Error MSE) of the estimators, 4) To conduct computer simulations to observe the behavior of estimators in the case of finite length time interval. Suppose is a non-homogeneous Poisson process on the interval with unknown intensity function. It is assumed that this intensity function is locally integrable and exponential of a periodic function plus linear trend. Hence, for any point, we can write the intensity function λ as follows where is unknown periodic function with known period This equation can also be written as ) ) Because ) is also a periodic function with period, let ), then the intensity function can be written as follows ) Since known, the problem to estimate can be simplified by only estimating the periodic component of the intensity function Based on the properties of periodic function, for every point and where is the set of integers, can be written as

7 Formulation of the kernel-type estimators only using a single realization of of the Poisson process which is observed in the interval. Realization of is defined in a probability space with. Kernel-type estimators for can be formulated as follows ) From the results of studies conducted with a certain conditions, it is obtained the following results: i) The estimators are asymptotically unbiased estimators for and their variances converge to zero as so that are consistent estimators for and ) as. ii) The asymptotic approximation to the bias is given by ) ) as. iii) The asymptotic approximation to the variance is given by ) ) as iv) The asymptotic approximation to the Mean Square Error MSE) is given by ) ) ) ) as. v) Based on the performed simulations using a uniform kernel function and generated data, it is obtained that the behavior of the estimator is influenced by the choice of the bandwidth that minimizes the MSE of the estimator and the larger is the observation interval, the smaller is the value of the MSE of the estimator. Keywords: bandwidth, consistency, exponential, kernel-type estimator, nonhomogeneous Poisson process.

8 Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

9 PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK EKSPONENSIAL DARI FUNGSI PERIODIK DITAMBAH TREN LINEAR PADA PROSES POISSON NON-HOMOGEN SALMUN K. NASIB Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

10 Penguji luar komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS

11 Judul Tesis : Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear pada Proses Poisson Non- Homogen Nama : Salmun K. Nasib NIM : G Disetujui oleh Komisi Pembimbing Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc Ketua Dr Ir Hadi Sumarno, MS Anggota Diketahui oleh Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr Jaharuddin, MS Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr Tanggal Ujian: 27 Agustus 2014 Tanggal Lulus: 3 September 2014

12 PRAKATA Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Puji syukur senantiasa tetap kita haturkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas rahmat dan kuasanya sehingga penelitian ini dapat diselesaikan. Penelitian ini dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 sampai Agustus 2014 dengan mengambil judul Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear pada Proses Poisson Non-homogen. Penulis menyadari bahwa penelitian ini masih terdapat kekurangan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang sifatnya membangun sangat dibutuhkan untuk kesempurnaan penelitian ini, sehingga dapat menjadi masukan dalam penyusunan penelitian lainnya. Ucapan terima kasih kepada Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc dan Dr Hadi Sumarno, MS selaku pembimbing atas semua ilmu, saran, kesabaran, dan motivasinya. Terimakasih juga penulis ucapkan kepada Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS selaku penguji yang telah memberikan saran. Penghargaan penulis sampaikan kepada keluarga besar Departemen Matematika FMIPA IPB yang telah membantu selesainya penelitian ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa Unggulan Ungkapan terima kasih disampaikan kepada ayah, ibu, suami serta seluruh keluarga, atas doa, dukungan dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat Bogor, September 2014 Salmun K. Nasib

13 DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN DAFTAR ISI PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Proses Stokastik 2 Proses Poisson Periodik 2 Pendugaan Fungsi Intensitas pada Proses Poisson Periodik 3 Pendugaan Fungsi Intensitas pada Proses Poisson Periodik dengan Tren 4 Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial pada Proses Poisson Periodik 4 METODE PENELITIAN 5 PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT-SIFAT STATISTIKNYA 6 Perumusan Penduga 6 Kekonsistenan Penduga 8 Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan Mean Square Error MSE) Penduga 14 PEMBAHASAN 19 Penjelasan dari Beberapa Lema dan Teorema yang Dikaji 19 Simulasi Sifat-Sifat Statistik Penduga 20 SIMPULAN 25 DAFTAR PUSTAKA 26 LAMPIRAN 28 RIWAYAT HIDUP 36 vi vi

14 DAFTAR GAMBAR 1 Grafik fungsi 21 2 Grafik fungsi ) beserta penduganya -oo-) pada interval pengamatan. a) [0,9]; b) [0,13] 21 3 Grafik bandwith ) yang meminimumkan MSE penduga fungsi intensitas 22 4 Grafik MSE penduga fungsi intensitas ) 22 5 Histogram normalitas asimtotik nilai dugaan fungsi intensitas. a) titik s = 0.412; b) titik s =0.425; c) titik s = Grafik normalitas asimtotik nilai dugaan fungsi intensitas oo). a) titik s = 0.412; b) titik s = 0.425; c) titik s = DAFTAR LAMPIRAN 1 Beberapa Definisi, Teorema, dan Lema teknis 28 2 Bukti beberapa persamaan 30 3 Program R untuk simulasi 31 4 Hasil simulasi menggunakan kernel seragam 34

15 PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak fenomena atau kejadian yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson. Proses Poisson merupakan bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Proses ini banyak digunakan untuk memodelkan suatu kejadian yang mengandung ketidakpastian atau sistem yang dijalankan pada suatu lingkungan yang dapat diduga. Misalkan, proses kedatangan pelanggan dalam suatu pusat layanan atau servis bank, kantor pos, supermarket, dan sebagainya), tingkat intensitas curah hujan di suatu daerah dalam selang waktu tertentu, dan banyaknya kertas fotokopi yang dibutuhkan suatu perusahaan percetakan dalam selang waktu tertentu. Pada suatu proses Poisson, laju kejadian atau fenomena yang terjadi pada waktu tertentu dikenal dengan fungsi intensitas. Misalkan, pada proses kedatangan pelanggan ke pusat layanan customer service) dengan periode satu hari, fungsi intensitas menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu Proses Poisson menurut fungsi intensitasnya dibagi menjadi dua, yaitu proses Poisson homogen dan non-homogen. Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan fungsi intensitas konstan homogen). Sedangkan proses Poisson non-homogen merupakan proses Poisson dengan fungsi intensitas yang tidak konstan. Proses Poisson non-homogen yang fungsi intensitasnya berupa fungsi periodik disebut proses Poisson periodik. Beberapa fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik diantaranya adalah fenomena dalam bidang hidrologi, asuransi, dan seismologi Helmers et al. 2003). Pada penelitian ini difokuskan pada proses Poisson non-homogen. Pada pemodelan stokastik dari suatu fenomena yang dimodelkan dengan proses Poisson periodik, fungsi intensitas dari proses tersebut umumnya belum diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Metode penduga yang digunakan dimaksudkan sebagai nilai pendekataan dari fungsi aslinya. Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas dari proses Poisson di titik s yaitu dengan menaksir rata-rata terjadinya kejadian proses Poisson tersebut dalam selang waktu di sekitar titik s. Ada beberapa metode nonparametrik untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang dapat digunakan, diantaranya adalah metode penduga non-parametrik tipe kernel. Jika laju kejadian meningkat berdasarkan suatu fungsi terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan menyertakan komponen tren. Model fungsi intensitas pada proses Poisson periodik untuk jangka panjang pada banyak kasus tidak relevan sehingga perlu mengakomodasi kehadiran suatu tren baru. Misalkan saja, ada kejadian atau fenomena dalam selang waktu tertentu meningkat mengikuti suatu fungsi eksponensial maka harus ada model penduga yang tepat dari fungsi intensitas untuk dapat mengakomodasi adanya tren ini. Pada penelitian ini dikaji kasus khusus pendugaan bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear pada proses Poisson non-homogen.

16 2 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1 Merumuskan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari penjumlahan antara fungsi periodik dan tren linear suatu proses Poisson nonhomogen menggunakan kernel umum. 2 Membuktikan kekonsistenan bagi penduga yang dikaji. 3 Menentukan aproksimasi asimtotik berturut-turut bagi bias, ragam dan Mean Square Error MSE) penduga. 4 Melakukan simulasi komputer untuk mengamati perilaku penduga dengan kasus panjang interval waktu yang terbatas. TINJAUAN PUSTAKA Proses Stokastik Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu state. adalah suatu peubah acak, dengan adalah elemen dari. Kita sering menginterpretasikan sebagai waktu dan t sebagai state keadaan) dari proses pada waktu. Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika merupakan suatu interval Ross 2010). Proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua, peubah acak adalah saling bebas Ross 2010). Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu t t disebut memiliki inkremen stasioner jika t t memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t Ross 2010). Suatu proses stokastik t t disebut proses pencacahan jika t menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu. Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan t harus memenuhi syarat-syarat berikut Ross 2010): 1 t untuk setiap t. 2 Nilai t adalah integer. 3 Jika t maka t di mana t. 4 Untuk t maka t sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang t. Proses Poisson Periodik Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson homogen dengan laju,, jika dipenuhi tiga syarat berikut Ross 2010): 1. 2 Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

17 3 Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan. Jadi untuk semua,,. Dari syarat 3 bisa kita ketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner serta diperoleh bahwa ). Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson nonhomogen dengan fungsi intensitas, jika Ross 2010): 1. 2 memiliki inkremen bebas. 3. 4, dengan. Laju dari suatu proses Poisson non-homogen, yaitu disebut fungsi intensitas proses Poisson pada Ross 2010). Intensitas lokal dari suatu proses Poisson non-homogen dengan fungsi intensitas pada titik adalah, yaitu nilai fungsi di Cressie 1993). Suatu fungsi disebut periodik jika, untuk semua dan, dengan adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi intensitas tersebut Browder 1996). Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. Berdasarkan sifat keperiodikan dari fungsi intensitas, dapat disusun penduga konsisten bagi pada sembarang titik yang diberikan dengan hanya menggunakan realisasi tunggal. Hal ini dikarenakan dalam pendugaan pada sembarang titik, tidak hanya dapat menggunakan informasi di sekitar saja, tetapi juga dapat menggunakan informasi di sekitar, untuk sembarang, asalkan Mangku 2001). 3 Pendugaan Fungsi Intensitas pada Proses Poisson Periodik Pada proses Poisson periodik, ada beberapa metode non-parametrik untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, di antaranya adalah metode penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat nearest neighbor estimation). Dua metode tersebut telah digunakan untuk menduga secara konsisten fungsi intensitas lokal suatu proses Poisson periodik dengan periode diketahui Helmers dan Mangku 2000). Fungsi intensitas suatu proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dibedakan menjadi 2, yaitu fungsi intensitas lokal dan fungsi intensitas global. Pendugaan fungsi intensitas lokal pada suatu proses Poisson periodik di suatu titik dapat dihampiri dengan rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut di sekitar titik. Secara matematis dapat dituliskan sebagai h n dengan, dan adalah banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu. h n h n

18 4 Dalam pendugaan fungsi intensitas pada suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan menjadi dua, yaitu jika periodenya diketahui dan tidak diketahui. Untuk menduga fungsi intensitas yang periodenya tidak diketahui lebih rumit jika dibandingkan dengan situasi dimana periodenya diketahui. Meskipun demikian, Helmers et al. 2003) telah mengkaji kekonsistenan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas untuk suatu proses Poisson periodik yang tidak diketahui periodenya. Kasus pendugaan fungsi intensitas yang periodenya diketahui telah dilakukan kajian perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga tersebut Mangku 2006a) dan pembuktian kenormalan asimtotik dari penduga yang diperoleh Mangku 2006b). Pendugaan Fungsi Intensitas pada Proses Poisson Periodik dengan Tren Dalam proses Poisson periodik, umumnya bentuk fungsi intensitas pada periode sebelumnya dengan sesudahnya memiliki pola yang serupa sehingga memungkinkan kita untuk dapat memprediksi atau menduga suatu kejadian pada periode berikutnya. Jika laju kejadian antara periode sebelumnya dan berikutnya meningkat berdasarkan suatu fungsi terhadap waktu, maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan menyertakan komponen tren. Sehingga dalam jangka waktu yang panjang model bagi proses Poisson periodik ini memerlukan fungsi intensitas yang mengakomodasi adanya suatu tren. Penelitian mengenai pendugaan fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan menyertakan komponen tren terus berkembang. Pada beberapa penelitian sebelumnya telah dirumuskan suatu penduga bagi fungsi intensitas dari proses Poisson berupa fungsi periodik ditambah dengan tren linear Helmers dan Mangku 2009). Kemudian Farida 2008) mengkaji penduga fungsi intensitas yang berupa fungsi periodik ditambah dengan tren fungsi pangkat. Selanjutnya berkembang lagi perumusan penduga bagi fungsi intensitas yang berupa perkalian fungsi periodik dengan tren linear Mangku 2011). Taslim 2011) juga merumuskan penduga bagi fungsi intensitas yang berupa perkalian fungsi periodik dengan tren kuadratik. Penelitian terbaru, telah dikaji penduga bagi fungsi intensitas berupa perkalian fungsi periodik dengan tren fungsi pangkat Erliana et al. 2014). Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial pada Proses Poisson Periodik Kajian tentang perumusan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial, telah dikerjakan oleh Lewis 1972). Lewis mengkaji perumusan penduga bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson menggunakan asumsi bahwa model tersebut berbentuk eksponensial kuadratik dan periodik dengan melibatkan beberapa komponen parametrik. Untuk merumuskan penduga tersebut, digunakan metode penduga maximum likelihood. selanjutnya Helmers dan Zikitis 1999) juga mengkaji hal yang serupa yang telah dikerjakan oleh Lewis dengan menggunakan rumusan fungsi intensitas yang sama. Namun, untuk merumuskan penduga tersebut, digunakan metode penduga tipe kernel umum. Vere-Jones

19 1982) juga telah menggunakan rumusan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dengan melibatkan komponen parametrik pada proses Poisson. Rumusan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial ini diterapkan dalam ilmu seismologi seperti gempa bumi. Pada penerapannya, aplikasi model fungsi intensitas yang menyertakan komponen parametrik sangatlah terbatas. Komponen periodiknya bersifat implisit sehingga sulit untuk diterapkan dan kemungkinan model ini keliru dalam penerapan secara langsung. Karena tidak semua kasus atau fenomena sesuai dengan model fungsi intensitas tersebut. Oleh karena itu, diperlukan model fungsi intensitas tanpa mengasumsikan bentuk parametrik. Model fungsi intensitas yang dimaksudkan adalah model tanpa komponen parametrik dimana komponen periodiknya berupa fungsi yang belum diketahui, jadi bisa menggunakan fungsi apapun. Pada penelitian ini diperkenalkan model bagi fungsi intensitas tanpa mengasumsikan komponen parametrik, yaitu mengkaji penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear pada proses Poisson non-homogen. 5 METODE PENELITIAN Penelitian ini merupakan penelitian yang berbentuk kajian teoritis tentang pendugaan fungsi intensitas yang berbentuk eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear pada proses Poisson non-homogen. Metode yang digunakan dalam menduga fungsi periodik tersebut adalah metode non-parametrik tipe kernel umum. Adapun tahapan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1 Merumuskan penduga komponen periodik bagi fungsi intensitas proses Poisson yang dikaji. 2 Membuktikan kekonsistenan bagi penduga yang dikaji yaitu dengan menunjukkan ketakbiasan asimtotik penduga dan kekonvergenan ragam penduga. 3 Menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam dan Mean Square Error MSE) penduga. 4 Melakukan simulasi komputer untuk mengamati perilaku penduga dengan kasus panjang interval waktu yang terbatas menggunakan fungsi kernel seragam dengan tujuan sebagai berikut: a) Menentukan bandwidth yang dapat meminimumkan MSE penduga. b) Menentukan panjang interval pengamatan yang dapat menggambarkan sifat-sifat asimtotik penduga berdasarkan kajian teoritis yang telah dilakukan dengan menggunakan bandwidth yang telah diperoleh dari poin a. c) Memverifikasi kenormalan asimtotik penduga.

20 6 PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT-SIFAT STATISTIKNYA Perumusan Penduga Misalkan N merupakan proses Poisson non-homogen pada interval dengan fungsi intensitas tidak diketahui dan diasumsikan terintegralkan lokal. Dikaji kasus khusus, di mana fungsi intensitas ini merupakan eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear, sehingga untuk sembarang titik, fungsi intensitas dapat dinyatakan sebagai berikut, 1) di mana merupakan fungsi periodik yang tidak diketahui dengan periode diketahui. Persamaan 1) dapat juga dituliskan menjadi ) ). 2) Karena ) juga merupakan fungsi periodik dengan periode, misalkan ), maka persamaan 2) menjadi ). 3) Dari persamaan 3), karena diketahui maka untuk menduga cukup diduga komponen periodik dari fungsi intensitas tersebut, yaitu. Karena merupakan fungsi periodik dengan periode, maka untuk menduga pada cukup diduga pada. Berdasarkan sifat keperiodikan, untuk setiap titik dan, di mana merupakan himpunan bilangan bulat, dapat dituliskan menjadi. 4) Pada penelitian ini, untuk menduga fungsi tersebut, digunakan metode penduga tipe kernel umum. Pada penelitian ini dikaji penyusunan penduga konsisten bagi pada dengan hanya menggunakan realisasi tunggal dari proses Poisson dengan fungsi intensitas seperti pada persamaan 3) yang diamati pada interval. Realisasi tersebut terdefinisi dalam suatu ruang probabilitas dengan. Misalkan merupakan fungsi bernilai real. Fungsi disebut kernel jika memenuhi kondisi berikut Helmers et al. 2003): K1) merupakan fungsi kepekatan peluang, K2) terbatas dan K3) memiliki daerah definisi berupa himpunan tertutup pada. Misalkan pula adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol, yaitu 5) untuk, maka rumusan penduga tipe kernel bagi pada suatu titik dengan menggunakan fungsi kernel K dapat disusun sebagai berikut ) 6) Selanjutnya dijelaskan ide di balik penyusunan penduga bagi yaitu pada dengan menggunakan data yang diamati pada interval. Penyusunan penduga pada persamaan 6) mengikuti alur penyusunan penduga tipe kernel yang telah dikerjakan Mangku 2011). Karena hanya tersedia

21 sebuah realisasi dari suatu proses Poisson, maka untuk menduga pada sembarang titik harus mengumpulkan seluruh informasi yang diperlukan tentang nilai dari yang belum diketahui pada interval. Oleh karena itu, asumsi sifat keperiodikan pada persamaan 4) sangat diperlukan untuk menduga fungsi intensitas ini. Misalkan dengan # menyatakan banyaknya elemen, sehingga 7) 7 Menurut persamaan 3) dan 4) diperoleh sehingga persamaan 7) dapat dituliskan menjadi 8) 9) Nilai fungsi di titik dapat didekati dengan rata-rata nilai fungsi pada interval, sehingga persamaan 9) menjadi 10) Dengan mengganti dengan padanan stokastiknya yaitu, maka persamaan 10) dapat ditulis Dengan demikian, salah satu penduga bagi adalah sebagai berikut 11) Dalam penyusunan penduga pada persamaan 11), setiap data diberikan bobot yang sama dalam menentukan rata-rata banyak kejadian pada interval, sehingga persamaan 11) dapat ditulis menjadi Dengan mengganti fungsi dengan kernel umum yang memenuhi K1), K2) dan K3), maka diperoleh penduga seperti pada persamaan 6) yaitu

22 8 ) Kekonsistenan Penduga Teorema 1 Kekonsistenan) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan 3) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi sifat K1), K2), K3), dan maka 12) untuk, asalkan adalah titik Lebesque dari λ. Dengan kata lain, adalah penduga konsisten bagi. Selain itu, Mean Squared Error MSE) dari konvergen ke 0, untuk n yaitu ) 13) Bukti: Untuk membuktikan Teorema di atas diperlukan ketakbiasan asimtotik dan kekonvergenan ragam dari penduga, yang disajikan pada Lema 1 Ketakbiasan asimtotik) dan Lema 2 Kekonvergenan ragam). Lema 1 Ketakbiasan asimtotik) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan 3) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi sifat K1), K2), K3) dan, maka 14) untuk n dengan syarat s adalah titik Lebesque dari. Dengan kata lain, adalah penduga tak bias asimtotik bagi λ c. Bukti: Membuktikan 14) sama dengan memperlihatkan bahwa 15) Untuk memperlihatkan persamaan 15) dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut. Berdasarkan 6) maka nilai harapan dari adalah ) ) ) ) 16) Dengan mengganti peubah, misalkan,, maka ruas kanan persamaan 16) dapat ditulis

23 9 Karena fungsi intensitas ) memenuhi persamaan 3) maka 17) ) λ c Berdasarkan sifat keperiodikan pada persamaan 4) dapat ditulis ) λ c ) λ c ) λ c 18) Perhatikan bahwa untuk. Maka persamaan 18) dapat ditulis ) ) λ c ) ) λ c λ c ) )) ) λ c ) )) λ c ) 19) Karena fungsi kernel K memenuhi K2), misalkan ) adalah konstanta dan karena, maka untuk sehingga suku pertama pada ruas kanan persamaan 19) menjadi

24 10 )) ) λ c ) )) ) )) ) 20) Karena adalah titik Lebesque dari, maka untuk ruas kanan 20) adalah. Selanjutnya perhatikan suku kedua dari ruas kanan persamaan 19). Dengan mengganti peubah, misalkan,, dapat ditulis )) λ c )) λ c 21) Dengan deret Taylor Lampiran 2), kita peroleh 22) untuk. Dengan menyubstitusikan persamaan 22) ke ruas kanan persamaan 21) dan K memenuhi K1), maka ruas kanan persamaan 21) menjadi )) )λ c )λ c )λ c 23) untuk n. Dari 20) dan 23) maka ruas kanan persamaan 19) menjadi, 24) untuk. Dengan demikian Lema 1 Ketakbiasan asimtotik) terbukti. Lema 2 Kekonvergenan ragam) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan 3) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi sifat K1), K2), K3),, terbatas di sekitar s, dan untuk maka untuk. ) 25)

25 11 Bukti: Ragam dari ) ) dapat dihitung sebagai berikut ) ) ) ) 26) Untuk n yang cukup besar, maka interval dan untuk tidak saling tumpang tindih overlap). Sehingga ) dan ) adalah bebas untuk. Oleh karenanya ruas kanan dari persamaan 26) dapat dihitung sebagai berikut ) ) 27) Karena N adalah peubah acak Poisson, maka sehingga ) dapat ditulis ) ) ) Dengan mengganti peubah, misalkan maka persamaan 28) menjadi ) 28) ) 29) Dengan menggunakan persamaan 3) dan 4) maka persamaan 29) dapat ditulis ) ) )

26 12 ) ) Perhatikan bahwa, dengan menggunakan uji kekonvergenan deret geometri tak hingga Lampiran 2) diperoleh 30) 31) untuk. Dari persamaan 31), maka persamaan 30) dapat dituliskan sebagai berikut ) ) ) ) ) 32) Karena terbatas di sekitar s maka adalah konstanta dan karena maka untuk Sehingga persamaan 32) dapat ditulis ) ) ) 33) Karena K memenuhi kondisi K2), ) adalah konstanta, sehingga diperoleh ) ) 34) Berdasarkan asumsi pada Lema 2 Kekonvergenan ragam) bahwa, untuk, maka ruas kanan persamaan 34) kovergen ke nol. Sehingga diperoleh ) untuk. Dengan demikian Lema 2 Kekonvergenan ragam) terbukti.

27 Bukti Teorema 1 kekonsistenan ) Untuk membuktikan, berdasarkan definisi kekonvergenan dalam peluang, cukup ditunjukkan bahwa, ) 35) untuk Terlebih dahulu diuraikan ) yaitu ) ) ) ) 36) Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh Sehingga ruas kanan persamaan 36) menjadi ) ) 37) Berdasarkan Lema 1 Ketakbiasan asimtotik), diperoleh bahwa untuk, sehingga menurut definisi kekonvergenan barisan bilangan nyata untuk setiap terdapat sebuah bilangan N sedemikian rupa sehingga jika, maka Sehingga diperoleh ) ) Jadi, untuk membuktikan 35), cukup ditunjukkan untuk 13 ) 38) ). Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, diperoleh Jadi tinggal dibuktikan bahwa ) ) ) untuk Berdasarkan Lema 2 Kekonvergenan ragam), maka 39) terbukti. Dengan demikian 35) terbukti. Dengan kata lain, merupakan penduga yang konsisten bagi Berdasarkan definisi Mean Square Error ) )) ) 39) dengan ). Berarti, untuk membuktikan 13) cukup dibuktikan bahwa )) )

28 14 untuk Berdasarkan Lema 1 Ketakbiasan asimtotik), ) sehingga )) untuk Kemudian berdasarkan Lema 2 Kekonvergenan ragam), ). Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa ). Sehingga Teorema 1 terbukti. Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan Mean Square Error MSE) Penduga Pada bagian ini disajikan aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam, dan Mean Square Error MSE) penduga, yang hasilnya dapat juga dilihat pada Nasib et al. 2014b) Teorema 2 Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan 3), terintegralkan lokal dan memiliki turunan kedua berhingga pada. Jika kernel adalah simetrik dan memenuhi sifat K1), K2), K3),, dan untuk maka untuk. ) ) Bukti: Berdasarkan 18) pada bukti Lema 1 Ketakbiasan asimtotik), maka nilai harapan dari dapat ditulis sebagai berikut ) λ c Misalkan maka λ c 40) Perhatikan bahwa 41) jika. Sehingga persamaan 40) menjadi ) λ c )) λ c

29 15 λ c ) 42) untuk. Perhatikan bahwa karena λ c memiliki turunan kedua berhingga di sekitar, dengan menggunakan deret Taylor diperoleh untuk. Sehingga diperoleh λ c λ c λ c λ c λ c λ c λ c λ c ) λ c ) Dengan menyubstitusikan 43) ke ruas kanan persamaan 42) diperoleh 43) λ c λ c ) λ c ) ) ) λ c λ c ) λ c ) 44) ) Karena kernel memenuhi K1) yakni merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada, maka. Karena simetrik, maka Perhatikan bahwa dan ) untuk. Sehingga diperoleh λ c λ c ) untuk. Maka diperoleh aproksimasi asimtotik bagi bias adalah λ c λ c )

30 16 ) λ c ) untuk. Teorema 2 terbukti. Teorema 3 Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan 3) dan terintegralkan lokal. Jika kernel memenuhi sifat K1), K2), K3),, adalah titik Lebesque bagi, maka untuk ) ) 45) Bukti: Berdasarkan bukti pada Lema 2 Kekonvergenan ragam), maka ragam dari dapat ditulis sebagai berikut ) ) Perhatikan bahwa, dengan menggunakan uji kekonvergenan deret geometri tak hingga Lampiran 2) diperoleh 47) untuk. Dengan menyubstitusi persamaan 47) ke ruas kanan persamaan 46), diperoleh ) 46) ) ) 48) Karena ) maka persamaan 48) dapat ditulis ) ) ) ) 49) ) )

31 17 Karena kernel K memenuhi kondisi K2) dan untuk jika, sehingga maka ) ) ) 50) Karena adalah titik Lebesque dari maka ruas kanan dari pertidaksamaan 50) adalah untuk. Akibatnya, suku pertama pada ruas kanan persamaan 49) menjadi ) ) ) ) ) ) 51) untuk Selanjutnya perhatikan suku kedua dari ruas kanan persamaan 49) yaitu ) ) 52) Dengan mengganti peubah, misalkan, dan karena fungsi kernel K memenuhi kondisi K3) maka suku kedua pada ruas kanan persamaan 49) dapat ditulis ) 53) Dengan menggunakan deret Taylor diperoleh untuk Sehingga kuantitas pada 53) menjadi ) )

32 18 ) ) 54) untuk Dengan menggabungkan persamaan 51) dan 54), maka persamaan 49) menjadi untuk ). Dengan demikian, Teorema 3 terbukti. ) Teorema 4 Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan 3), terintegralkan lokal, dan memiliki turunan kedua berhingga pada Jika kernel adalah simetrik dan memenuhi sifat K1), K2), K3), dan, maka ) λ c ) ) ) 55) untuk. Bukti: Menurut Casela dan Berger 1990), Mean Squared Error MSE) dari dapat dihitung sebagai berikut ) )) ) Berdasarkan Teorema 2 Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga) yaitu ) λ c ) )) λ c ) ) 56) λ c ) ) untuk Karena memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka. Akibatnya, persamaan 52) menjadi

33 19 )) λ c ) ) Berdasarkan Teorema 3 Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga) yaitu ) Sehingga MSE ) diperoleh ) ) λ c ) ) untuk Dengan demikian, Teorema 4 terbukti. ) PEMBAHASAN Penjelasan dari Beberapa Lema dan Teorema yang Dikaji Pada penelitian ini dilakukan pendugaan terhadap suatu parameter. Pendugaan terhadap suatu parameter tertentu dilakukan untuk memperoleh nilai taksiran atau hampiran berdasarkan sampel statistik, karena pada umumnya nilai parameter suatu distribusi tidak diketahui. Pada penelitian ini dilakukan pendugaan terhadap fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear suatu proses Poisson non-homogen. Parameter yang tidak diketahui adalah komponen periodik yang didefinisikan pada persamaan 3), yaitu, sehingga untuk menduga fungsi intensitas ) cukup dengan hanya menduga komponen periodiknya. Dalam menduga fungsi periodik ini digunakan metode non-parametrik, yaitu metode penduga tipe kernel. Metode ini merupakan metode penduga yang tidak mengasumsikan bentuk apapun dari fungsi kecuali fungsi tersebut merupakan fungsi periodik. Metode penduga tipe kernel yang dipilih adalah kernel umum, dimana untuk sembarang kernel dapat digunakan. Pada perumusan penduga telah dirumuskan penduga bagi yaitu yang dapat dilihat pada persamaan 6). Penduga yang baik apabila memenuhi sifat-sifat yaitu i) tak bias, jika nilai harapan penduga sama dengan nilai yg diduga, ii) efisien, jika penduga memiliki ragam yang konvergen ke nol, iii) konsisten, jika ukuran sampel semakin bertambah maka penduga akan mendekati parameternya. Oleh karenanya telah dilakukan pengkajian dan pembuktian bagi kekonsistenan penduga sehingga penduga tersebut dikatakan baik. memiliki sifat penduga yang termasuk ke dalam

34 20 kategori sifat penduga asimtotik, yaitu sifat tersebut hanya dapat didekati ketika ukuran sampel semakin membesar. Dalam mengkaji kekonsistenan dibuktikan terlebih dahulu bahwa penduga tersebut memenuhi sifat ketakbiasan asimtotik dan kekonvergenan ragam menuju nol. Pada saat membuktikan penduga tersebut tak bias asimtotik yakni dengan menunjukkan bahwa limit dari nilai harapan penduga sama dengan parameter yang diduga, hal ini telah dikaji dan ditunjukkan dalam Lema 1 Ketakbiasan asimtotik). Sedangkan untuk menunjukkan penduga tersebut memiliki ragam yang konvergen ke nol, telah dikaji pada Lema 2 kekonvergenan ragam). Selain kekonsistenan penduga yang diperlukan dalam menunjukkan bahwa penduga tersebut adalah penduga yang baik yakni penduga tersebut tak bias dan memiliki ragam terkecil secara bersamaan maka diperlukan Mean Squared Error MSE) yang konvergen ke nol. Hal ini telah dibuktikan dalam Teorema 1 kekonsistenan penduga). Semakin kecil nilai MSE yang dihasilkan, maka semakin baik penduga tersebut. Oleh karenanya diperlukan asumsi dengan pada persamaan 20) dan 21) untuk bisa menunjukkan penduga tersebut tak bias asimtotik dan dengan pada persamaan 34) sehingga ragam penduga konvergen ke nol. Kemudian pada Teorema 2, Teorema 3 dan Teorema 4 dikaji aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam dan MSE penduga. Aproksimasi asimtotik tersebut merupakan nilai pendekatan bagi bias, ragam dan MSE penduga yang digunakan ketika interval pengamatan [0,n] tidak menuju tak hingga. Pada Teorema 4 Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga), nilai suku pertama persamaan 55) akan meningkat jika nilai bandwith) semakin diperbesar. Hal ini mengakibatkan nilai MSE penduga semakin besar. Sedangkan nilai suku kedua persamaan 55) semakin menurun jika. Agar penduga merupakan penduga yang baik yakni nilai MSE penduga konvergen ke nol, maka suku pertama dan suku kedua dari persamaan 55) harus bernilai kecil. Oleh karena itu, diperlukan asumsi dan untuk. Berdasarkan asumsi tersebut pemilihan bandwith menjadi hal yang penting. Simulasi Sifat-Sifat Statistik Penduga Pada bagian ini dilakukan simulasi kajian sifat-sifat statistik penduga bagi komponen periodik dari fungsi intensitas proses Poisson yang dikaji, yang hasilnya dapat juga dilihat pada Nasib et al. 2014a). Simulasi dilakukan secara komputasi dengan bantuan perangkat lunak R. Program R untuk simulasi ini terdapat pada Lampiran 3. Data yang digunakan pada simulasi ini merupakan data bangkitan pada interval waktu pengamatan dengan yang terbatas. Metode yang digunakan untuk membangkitkan realisasi dari proses Poisson tersebut adalah metode Monte Carlo sebanyak 500 kali ulangan. Tujuan dari simulasi ini adalah menentukan bandwidth yang dapat meminimumkan MSE, menentukan nilai n yang cukup dapat menggambarkan sifat-sifat asimtotik dari dalam hal ini nilai n yang dapat menghasilkan MSE yang kurang dari 0.05), dan memverifikasi kenormalan asimtotik penduga. Berdasarkan tujuan tersebut, simulasi dilakukan dalam tiga tahap yaitu:

35 21 Gambar 1 Grafik fungsi λs a) Menentukan bandwidth yang dapat meminimumkan MSE b) Menentukan nilai n yang dapat menghasilkan MSE kurang dari 0.05 dengan menggunakan bandwidth yang telah diperoleh sebelumnya c) Memverifikasi kenormalan asimtotik penduga. Sebagai ilustrasi, maka fungsi intensitas yang digunakan dalam simulasi ini adalah [ ))] 57) Gambar 2 Grafik fungsi λs ) beserta penduganya -oo-) pada interval pengamatan. a) [0,9]; b) [0,13]

36 22 dengan )) merupakan komponen periodik dari. Pada simulasi ini dipilih nilai ya ng merupakan periode, sehingga grafik fungsi pada persamaan 57) ditunjukkan dalam Gambar 1. Penduga bagi komponen periodik dari fungsi intensitas proses Poisson non-homogen yang digunakan adalah penduga yang telah didefinisikan pada persamaan 6). Karena fungsi kernel pada persamaan 6) merupakan kernel umum, maka pada simulasi ini dipilih fungsi kernel seragam, yaitu dengan mengganti dengan. Selanjutnya dapat dilihat ilustrasi grafik fungsi intensitas beserta nilai dugaannya dengan menggunakan bandwidth dan realisasi pada interval waktu pengamatan [0,9] dan [0,13] yang ditampilkan pada Gambar 2a dan 2b. Gambar 3 Grafik bandwith ) yang meminimumkan MSE penduga fungsi intensitas λs Gambar 4 Grafik MSE penduga fungsi intensitas λs )

37 Berdasarkan ilustrasi grafik fungsi intensitas beserta nilai dugaannya yang disajikan pada Gambar 2a dan 2b, terlihat bahwa penduga bagi fungsi intensitas dengan menggunakan interval waktu pengamatan [0,13] jauh lebih baik dibandingkan dengan menggunakan interval waktu pengamatan [0,9]. Hal ini dikarenakan penduga pada ilustrasi Gambar 2a masih jauh dengan fungsi intensitas sebenarnya dibandingkan dengan ilustrasi penduga pada Gambar 2b. Oleh sebab itu, untuk nilai n yang lebih besar, penduga yang dihasilkan akan lebih mendekati fungsi intensitas sebenarnya. Selanjutnya untuk menunjukkan hasil yang maksimal dilakukan simulasi tahap pertama yaitu menentukan bandwidth yang dapat meminimumkan MSE. Pada tahapan ini, simulasi dilakukan dengan menganti-ganti nilai bandwidth. Penentuan bandwidth diambil secara sembarang sebanyak 15 yang berkisar antara dengan panjang interval waktu [0,10] hasil simulasi pada Lampiran 4). Hasil simulasi menunjukkan bahwa pada kisaran diperoleh nilai MSE minimum yaitu pada bandwidth Hasil simulasi tahap pertama ini ditampilk an dalam Gambar 3. Tahapan selanjutnya, dilakukan simulasi untuk menentukan nilai n yang cukup dapat menggambarkan sifat-sifat asimtotik penduga, yaitu nilai n yang menghasilkan MSE penduga kurang dari 0.05 dengan menggunakan nilai bandwidth yang diperoleh dari simulasi tahap pertama yaitu Simulasi yang dilakukan sebanyak 26 kali dengan mengganti nilai n diperoleh MSE penduga yang kurang dari 0.05 yaitu 0, pada interval waktu pengamatan 23 Gambar 5 Histogram normalitas asimtotik nilai dugaan fungsi intensitas λs. a) titik s = 0.412; b) titik s =0.425; c) titik s = 0.439

38 24 [0,13]. Hasil simulasi ini dapat dilihat dalam Lampiran 4. Dengan demikian, jika nilai n semakin diperbesar maka nilai MSE penduga semakin kecil. Pengaruh nilai n terhadap MSE penduga ditunjukkan pada Gambar 4. Simulasi pada tahap ketiga ini bertujuan untuk memverifikasi kenormalan asimtotik penduga. Maksud dari simulasi pada tahap ini, ingin mengetahui apakah distribusi dari penduga mengikuti atau mendekati distribusi normal, yakni distribusi dengan bentuk lonceng bell shaped). Penduga yang baik adalah penduga yang mempunyai pola seperti distribusi normal, yaitu distribusi penduga tersebut tidak menceng ke kiri atau ke kanan. Untuk memverifikasi kenormalan asimtotik penduga dilakukan pendugaan fungsi intensitas di suatu titik dengan menggunakan 3 titik yang mewakili nilai kecil, sedang, dan besar. Titik yang digunakan yaitu dengan mewakili yang kecil, dengan mewakili yang sedang, dan dengan mewakili yang besar. Simulasi dilakukan sebanyak 500 kali ulangan pada interval waktu pengamatan [0,10] dan bandwidth Selanjutnya 500 nilai dugaan yang diperoleh untuk masingmasing tiga titik tersebut, dianalisis menggunakan histogram untuk diperlihatkan bahwa nilai dugaan tersebut berdistribusi normal Gambar 5). Terlihat bahwa penduga bagi dapat dikatakan mendekati distribusi Gambar 6 Grafik normalitas asimtotik nilai dugaan fungsi intensitas λs oo). a) titik s = 0.412; b) titik s = 0.425; c) titik s = 0.439

39 normal. Hal ini dikarenakan bahwa pada Gambar 5, distribusi nilai dugaan di setiap titik membentuk lonceng bell shaped) dan nilai dugaan tersebut tidak menceng ke kiri atau ke kanan. Selanjutnya untuk lebih memperlihatkan kenormalan penduga, dilakukan simulasi dengan mengecek kenormalan di tiap titik menggunakan built in function qq-norm dan qq-line pada R. Hasil dari simulasi ini ditunjukkan pada Gambar 6. Pada grafik normalitas yang disajikan dalam Gambar 6, nilai dugaan bagi fungsi intensitas menyebar di sekitar garis diagonal dan mengikuti arah garis diagonal. Dari grafik pula dapat dilihat bahwa ketika nilai dugaan semakin mendekati titik 0 maka semakin mendekati pula garis normal. Hal ini menunjukkan bahwa nilai dugaan tersebut mendekati distribusi normal. 25 SIMPULAN Berdasarkan hasil kajian terhadap penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari penjumlahan antara fungsi periodik dan tren linear suatu proses Poisson non-homogen dengan menggunakan kernel umum, diperoleh rumusan penduga bagi yaitu ) Penduga merupakan penduga yang tak bias asimtotik dan ragamnya konvergen ke nol untuk, sehingga penduga tersebut merupakan penduga yang konsisten. Aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam, dan MSE penduga diberikan berturut-turut yaitu Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga ) λ c ) untuk Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga ) ) untuk Aproksimasi asimtotik bagi Mean Square Error MSE) penduga ) λ c ) ) untuk )

40 26 Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan menggunakan fungsi kernel seragam dan data bangkitan dengan fungsi intensitas * ))+ serta periode yang dipilih diperoleh bahwa: Pada kisaran bandwidth diperoleh bandwidth yang meminimumkan nilai MSE adalah Dengan kata lain, pemilihan bandwidth dapat mempengaruhi nilai MSE penduga. Dengan menggunakan bandwidth yang telah diperoleh sebelumnya, diperoleh nilai yang menghasilkan MSE penduga kurang dari Hasil tersebut dapat dimaknai bahwa jika merupakan periode terjadinya proses Poisson dalam kurun waktu satu hari dan n merupakan panjang interval suatu waktu, dimisalkan n dalam ukuran hari, maka untuk menduga fungsi intensitas dengan tren ini diperlukan data selama yaitu hari atau sekitar 3 bulan. Oleh karenanya, untuk menghasilkan MSE penduga yang semakin kecil maka interval waktu pengamatan diperbesar. DAFTAR PUSTAKA Browder A Mathematical Analysis : An Introduction. New York: Springer. Casella G, Breger RL Statistical Inference. Second Edition. Wadsworth & Brooks/Cole, Pasific Grove, California. Cressie, NAC Statistics for Spatial Data. Revised Edition. Wiley, New York. Dudley RM Real Analysis and Probability. California: Wardswort & Brooks. Erliana W, Mangku IW, Sumarno H Estimating the intensity obtained as the product of a periodic function with the power function trend of a nonhomogeneous Poisson process. Far East Journal of Mathematical Science FJMS), Siap terbit. Farida T Pendugaan Komponen Periodik dari Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat [tesis]. Bogor ID): Institut Pertanian Bogor. Grimmett GR, Stirzaker DR Probability and Random Processes. Third Edition. New York: Oxford University Press, Inc. Helmers R, Mangku IW, Zitikis R Consistent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson proses. Journal of Multivariate Analysis. 84: Helmers R, Mangku IW Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Annals Institute of Statistical Mathematics. 613): Helmers R, Mangku IW Statistical Estimation of Poisson Intensity Function. Proceedings of the SEAM GMU International Conference on Helmers R, Zitikis R On estimation of Poisson intensity function. Annals Institute of Statistical Mathematics. 512):

41 Hogg RV, Craig AT, Mc Kean JW Introduction to Mathematical Statistics. Sixth Edition. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River. Lewis PAW Recent results in the statistical analysis of univariate point processes, Stochastic Point Processes ed. P. A. W. Lewis), 1-54, Wiley, New York Mangku, IW Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process Ph.D.Thesis). University of Amsterdam Mangku IW. 2006a. Weak and strong convergence of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its Applications. 5:1-12. Mangku IW. 2006b. Asymptotic normality of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its Applications. 5: Mangku IW Estimating the intensity obtained as the product of a periodic function with the linear trend of a non-homogeneous Poisson process. Far East Journal of Mathematical Science FJMS). 51: Nasib SK, Mangku IW, Sumarno H. 2014a. Kajian numerik penduga fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear suatu proses poisson non-homogen. Journal of Mathematical Applications JMA), siap terbit. Nasib SK, Mangku IW, Sumarno H. 2014b. Estimating the intensity obtained as exponential of a periodic function plus linear trend of a non-homogeneous Poisson process. Far East Journal of Mathematical Science FJMS), submitted for publication. Ross SM Introduction to Probability Models. Tenth Edition. John Wiley & Sons. New York. Serflling RJ Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons. Stewart J Kalkulus. Jilid 2. Ed. Ke-4. Penerbit Erlangga. Jakarta Taslim Kekonsistenan penduga komponen periodik fungsi intensitas berbentuk perkalian fungsi periodik dengan tren kuadratik pada proses Poisson non-homogen [tesis]. Bogor ID): Institut Pertanian Bogor. Vere-Jones D On the Estimation of Frequency in Point-Process Data. Journal of Applied Probability. 19A : Wheeden RL, Zygmund Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis. New York US): Marcel Dekker, Inc. 27