SIFAT-SIFAT STATISTIKA TIKA ORDE-2 FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR DAN MODIFIKASINYA NENENG MILA MARLIANA
|
|
- Sri Pranata
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 SIFAT-SIFAT STATISTIKA TIKA ORDE-2 PENDUGA TIPE KERNEL L BAGI K KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR DAN MODIFIKASINYA NENENG MILA MARLIANA SEKOLAH PASCASARJANASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Sifat-sifat Statistika Orde-2 Penduga Tipe Kernel bagi Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear dan Modifikasinya adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis. Bogor, Juli 2008 Neneng Mila Marliana NIM G
3 ABSTRACT NENENG MILA MARLIANA. Second Order Properties of a Kernel Type Estimator for Periodic Component of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process in the Presence of Linear Trend and Its Modification. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI This thesis studied second order statistical properties for periodic component of intensity function of a periodic Poisson process in the presence of linear trend and its modification by using general kernel function. First, an estimator for the periodic component of intensity function of a periodic Poisson process in the presence of linear trend is discussed. The worst case where only available single realization of the Poisson process having intensity which consist of a periodic component and a linear trend observed in [0,n] is considered. Next, the asymptotic bias, variance, and the mean-squared error of the estimator are computed. A modification of the original estimator to reduce its bias is constucted. Finally, asymptotic approximations to the bias, variance and MSE of the modified estimator are computed. Keyword: cyclic Poisson process, intensity function, linear trend, consistency, bias, variance, mean-squared error.
4 RINGKASAN NENENG MILA MARLIANA. Sifat-sifat Statistika Orde-2 Penduga Tipe Kernel bagi Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear dan Modifikasinya. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI Proses stokastik merupakan model yang berkaitan dengan suatu aturanaturan peluang. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Pada karya ilmiah ini ditentukan penentuan sifat-sifat statistika orde-2 penduga tipe kernel bagi komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear dan modifikasinya untuk mereduksi bias dari penduga sebelumnya serta menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias dan ragam penduga yang baru. Perumusan penduga bagi dan pada titik secara berturutturut sebagai berikut: dan Dari penduga di atas, diperoleh sifat-sifat statistika orde- 1dan orde-2. Selanjutnya dengan melihat hasil simulasi, diperlukan reduksi bias. Untuk mereduksi bias, di rumuskan penduga dari dan secara berurutan sebagai berikut: dimana untuk adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu, dan untuk Sehingga diperoleh perumusan penduga bagi dengan koreksi bias, yaitu: Kesimpulan yang diperoleh dari hasil pengkajian yang dilakukan adalah sebagai berikut :
5 Aproksimasi asimtotik orde-2 bagi ragam penduga: Aproksimasi asimtotik orde-2 bagi nilai harapan penduga: Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga dengan koreksi bias: Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga dengan koreksi bias: Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga dengan koreksi bias:
6 Hak cipta milik IPB, tahun 2008 Hak cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebut sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
7 SIFAT-SIFAT STATISTIKA ORDE-2 PENDUGA TIPE KERNEL BAGI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR DAN MODIFIKASINYA NENENG MILA MARLIANA Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
8 Judul Tesis : Sifat-sifat Statistika Orde-2 Penduga Tipe Kernel bagi Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear dan Modifikasinya. Nama : Neneng Mila Marliana NIM : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. Ketua Ir. Retno Budiarti, MS. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS. Tanggal Ujian : 21 Juli 2008 Tanggal Lulus :
9 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS.
10 PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2007 ini ialah Sifat-sifat Statistika Orde-2 Penduga Tipe Kernel bagi Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear dan Modifikasinya. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc dan Ibu Ir. Retno Budiarti, MS selaku pembimbing serta Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku penguji yang banyak memberikan saran, Departemen Agama RI yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan program magister di Institut Pertanian Bogor. Permohonan maaf yang tak terhingga untuk ananda tercinta Aulia Syifa Andrian karena kurangnya perhatian dan kasih sayang. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Ayah, Ibu dan keluarga atas segala doa dan kasih sayangnya, serta semua pihak yang telah membantu penulis, yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Juli 2008 Neneng Mila Marliana
11 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Purwakarta pada tanggal 25 Maret 1979 sebagai anak kedua dari lima bersaudara, dari Ayah Syamsudin dan Ibu Iis Horidah. Tahun 1996 penulis lulus dari SMA Negeri Plered Purwakarta. Pada tahun yang sama, penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada jurusan pendidikan matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia dan lulus tahun Kesempatan untuk melanjutkan ke program Magister pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor diperoleh pada tahun Beasiswa pendidikan pascasarjana diperoleh dari Departemen Agama Republik Indonesia. Penulis bekerja sebagai staf pengajar di Madrasah Tsanawiyah Negeri Bojong Kabupaten Purwakarta sejak tahun 2004.
12 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Terdapat banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan model yang berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang. Proses stokastik mempunyai peranan cukup penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari seperti untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat servis. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik, di antaranya pada bidang komunikasi, hidrologi, meteorologi, dan seismologi. Sebagai contoh, proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat servis dapat dimodelkan dengan suatu Proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Tetapi jika laju kedatangan pelanggan tersebut mempunyai kecenderungan meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang lebih sesuai adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Pada karya ilmiah ini dipelajari penentuan sifat-sifat statistika penduga kernel bagi komponen periodik fungsi intensitas (lokal) suatu proses Poisson periodik dengan tren linear dan modifikasinya untuk mereduksi bias dari penduga sebelumnya serta menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias dan ragam penduga yang baru.
13 Tujuan Penelitian Dalam karya ilmiah ini dibahas pendugaan komponen periodik fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren linear. Adapun tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut : (i) Menentukan aproksimasi asimtotik orde-2 bagi bias penduga. (ii) Menentukan aproksimasi asimtotik orde-2 bagi ragam penduga. (iii) Menentukan modifikasi penduga untuk mereduksi bias dari penduga sebelumnya serta menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias dan ragam penduga yang baru.
14 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Proses Poisson Periodik Definisi 1 (Proses Stokastik) Proses stokastik X ={X(t), t T} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state S. (Ross, 2003) Dengan demikian, X(t) merupakan suatu peubah acak untuk setiap t pada himpunan indeks T, dengan t menyatakan waktu dan X(t) kita sebut sebagai keadaan (state) dari proses pada waktu t. Dalam hal ini ruang state S dapat berupa himpunan bilangan bulat (atau himpunan bagiannya) atau dapat juga berupa himpunan bilangan real (atau himpunan bagiannya). Definisi 2 (Proses Stokastik dengan Waktu Kontinu) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. (Ross, 2003) Definisi 3 (Inkremen Bebas) Suatu proses stokastik {X(t), t T } dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua, peubah acak adalah bebas. (Ross, 2003) Dengan kata lain, suatu proses stokastik X dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.
15 4 Definisi 4 ( Inkremen Stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t T } disebut memiliki inkremen stasioner jika X (t + s) X (t) memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. (Ross, 2003) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak bergantung pada lokasi titik-titik tersebut. Proses Poisson merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Untuk proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, kita anggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan nyata tak negatif, yaitu [0, ). Definisi 5 (Proses Pencacahan) Suatu proses stokastik {N (t), t T } disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Proses pencacahan N(t) harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. a. N(t) 0 untuk semua t [0, ). b. Nilai N(t) adalah integer. c. Jika s < t maka N(s) N(t) d. Untuk s < t maka N(t) N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang (s, t]. (Ross, 2003) Definisi 6 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan { N(t), t 0} disebut proses Poisson dengan laju, > 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut. a. N(0) = 0. b. Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
16 5 c. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan t. Jadi untuk semua t, s > 0, P (N (t + s) N (s) = n) = Dari syarat (c) bisa kita ketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat ini juga kita peroleh bahwa E (N(t)) = t, yang juga menjelaskan kenapa disebut laju dari proses tersebut. (Ross, 2003) Definisi 7 (Proses Poisson Homogen) Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju konstanta untuk semua waktu t. yang merupakan (Ross, 2003) Definisi 8 (Proses Poisson Tak Homogen) Proses Poisson tak homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju pada sembarang waktu t yang merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu (t). (Ross, 2003) Definisi 9 ( Fungsi Intensitas) Laju dari suatu proses Poisson tak homogen { N(t), t fungsi intensitas proses Poisson pada t. 0}, yaitu (t) disebut Definisi 10 (Intensitas Lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen pada titik s adalah (s), yaitu nilai fungsi di s. dengan fungsi intensitas Definisi 11 ( Fungsi Intensitas Global) Misalkan adalah proses Poisson pada interval Fungsi intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai
17 6 jika limit di atas ada. ( Mangku, 2001 ) Definisi 12 (Fungsi Periodik) Suatu fungsi disebut periodik jika (s + k ) = (s) untuk semua s dan k Z, dengan Z adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi tersebut. (Browder, 1996) Definisi 13 (Proses Poisson Periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. ( Mangku, 2001 )
18 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Fungsi intensitas dari proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi intensitas lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal menyatakan laju proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global menyatakan rata-rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu selang dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s ialah menaksir rata-rata terjadinya kejadian proses Poisson tersebut dalam selang waktu di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada [0,t], maka intensitas lokal di titik s dapat dihampiri oleh Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson ialah menaksir rata-rata terjadinya kejadian proses Poisson tersebut dalam selang waktu [0,n]. Secara matematis, intensitas global pada [0,n] dapat dinyatakan dengan Beberapa penelitian telah dilakukan dalam pendugaan fungsi intensitas proses Poisson periodik. Fungsi intensitas proses Poisson digunakan dalam pemodelan laju polusi minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Secara komputasi, telah dirumuskan mengenai algoritma dalam menduga fungsi intensitas dari suatu proses Poisson dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik (Helmers dan Zitikis 1999). Dengan pendugaan tipe-kernel, kekonsistenan penduga fungsi intensitas telah dibuktikan pada Helmers et al. (2003), sedangkan kekonsistenan penduga fungsi intensitas dengan tren linear telah dibuktikan pada Mangku et al (2007). Selain itu, pembuktian kekonsistenan penduga fungsi intensitas lokal menggunakan metode titik terdekat (nearest neighbour estimation) telah dikaji pada Mangku (1999). Pada proses Poisson periodik, pendugaan fungsi intensitas dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu : periode yang diketahui dan periode yang tidak diketahui. Untuk periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih sulit dibandingkan jika periodenya diketahui. Meskipun demikian, sifat-sifat
19 8 statistika untuk penduga tersebut dengan pendekatan tipe kernel telah dirumuskan pada Helmers et al (2005). Pendugaan fungsi intensitas global dari proses Poisson periodik dengan tren linear telah dibahas pada Mangku (2005). Sifat- sifat statistika penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear untuk kernel seragam telah dibahas pada Nurrahmi (2005). Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang dengan menyertakan tren linear telah dikaji pada Helmers dan Mangku (2007). Sedangkan penduga non parametric pada fungsi intensitas Poisson periodik ganda telah dikaji pada Helmers et al (2007).
20 BAB III SIFAT-SIFAT STATISTIKA PENDUGA TIPE KERNEL BAGI FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR Pada bab ini direview sifat-sifat statistika orde-1 penduga tipe kernel bagi komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear yang dikaji pada Mangku et al (2008) Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson yang diamati pada interval [0,n] dengan fungsi intensitas ( tidak diketahui) yang diasumsikan memiliki dua komponen, yaitu komponen periodik dengan periode dan komponen tren linear. Dengan kata lain, untuk setiap titik fungsi intensitas dapat ditulis sebagai berikut: (1) dengan adalah fungsi periodik dengan periode (diketahui) dan menyatakan kemiringan tren linear. Karena adalah fungsi periodik maka untuk setiap dan, dengan adalah himpunan bilangan bulat, maka (2) Kita juga asumsikan bahwa adalah titik Lebesque dari, sehingga berlaku: (3) Syarat cukup agar merupakan titik Lebesgue dari adalah fungsi kontinu di Karena adalah fungsi periodik dengan periode maka untuk menduga pada cukup diduga nilai pada. Misalkan R merupakan fungsi bernilai real, yang disebut kernel, yang memenuhi sifat-sifat berikut: ( 1) merupakan fungsi kepekatan peluang, (2) terbatas, dan ( 3) memiliki daerah definisi pada [-1,1] (Helmers et al. 2003). Misalkan juga merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu:, (4) jika.
21 10 Penduga bagi dan pada titik secara berturut-turut dirumuskan sebagai berikut: dan Untuk mendapatkan penduga cukup diperhatikan bahwa jika. Pada persamaan di atas, menyatakan fungsi intensitas global bagi. Dengan mengganti dengan padanan stokastiknya, diperoleh atau Dengan demikian kita peroleh Ide di balik pembentukan penduga tipe kernel dapat digambarkan sebagai berikut. Dengan menggunakan (1) dan (2), kita peroleh: (8)
22 11 Misalkan dengan adalah fungsi indikator. Sehingga persamaan (8) dapat ditulis menjadi Perlu diingat bahwa, maka persamaan (9) dapat dituliskan sebagai berikut: Dengan mengganti stokastiknya ditulis menjadi dengan padanan persamaan (10) dapat
23 12 Dari Pendekatan ( pada (11) dan jika ( setara asimtotik dengan diperoleh dapat dipandang sebagai penduga bagi, dengan periode (diketahui) dan kemiringan tren linear diasumsikan diketahui. Jika tidak diketahui, kita ganti dengan sehingga diperoleh dimana Supaya penduga lebih umum, digunakan fungsi kernel umum sehingga diperoleh persamaan (6).
24 Sifat-Sifat Statistika Penduga Lema1 Misalkan fungsi intensitas Maka memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. dan, dengan ; yang menyatakan fungsi intensitas global dari komponen periodik dari. Hasil tersebut menyatakan bahwa merupakan penduga konsisten bagi. MSE nya diberikan oleh persamaan Bukti dari lema ini dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2007). Teorema 1 (Aproksimasi Asimtotik bagi Nilai Harapan) Misalkan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel adalah simetrik dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3),, memiliki turunan kedua berhingga pada s, dan maka untuk
25 14 Bukti : Suku pertama pada ruas kanan persamaan (18) dapat ditulis menjadi engan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (1) dan (2), persamaan (19) dapat ditulis menjadi Dengan mengganti variabel, suku pertama pada ruas kanan persamaan (20) dapat ditulis menjadi
26 15 Karena mempunyai turunan kedua pada, mengakibatkan terbatas disekitar. Dengan menggunakan deret Taylor, yaitu dan fakta bahwa untuk, maka persamaan (21) menjadi Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-1,1], maka. Karena kernel adalah simetrik, maka Sehingga persamaan (23) menjadi sama dengan untuk ditulis menjadi sama dengan Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (20) dapat
27 16 Dengan menggunakan (22) dan fakta bahwa untuk, ruas kanan persamaan (24) dapat ditulis menjadi jika. Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-1,1], maka. Karena kernel adalah simetrik, maka Sehingga suku pertama pada persamaan (25) sama dengan nol. Suku kedua persamaan (25) menjadi sama dengan Sedangkan suku ketiga persamaan (25) menjadi sama dengan.
28 17 untuk. Sehingga suku kedua pada ruas kanan persamaan (20) adalah Jika kita gabungkan hasil dari suku pertama dan suku kedua pada persamaan (20), persamaan (19) akan sama dengan untuk. Kemudian untuk menyelesaikan suku kedua ruas kanan dari persamaan (18) kita gunakan persamaan (13) dari Lema 1 sehingga diperoleh Jika. Dengan mensubstitusi persamaan (26) dan (27) akan diperoleh persamaan (17). Berarti Teorema 1 terbukti. Teorema 2 ( Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam) Misalkan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3),, untuk maka untuk asalkan terbatas di sekitar.
29 18 Bukti: Kita ingat bahwa Misalkan Untuk memperoleh ragam dari kita gunakan persamaan berikut Dari asumsi (4), untuk yang cukup besar, interval [ dan tidak overlap untuk semua. Hal ini berimplikasi bahwa untuk semua saling bebas. Karenanya ragam suku pertama pada ruas kanan persamaan (29) dapat dinyatakan sebagai berikut Karena adalah suatu proses Poisson maka ragamnya akan sama dengan nilai harapannya, sehingga persamaan di atas sama dengan Dengan mengganti variabel dan menggunakan (1) dan (2), persamaan (30) dapat ditulis menjadi
30 19 Perhatikan bahwa Karena terbatas di sekitar dan dengan menggunakan persamaan (32), maka suku pertama pada ruas kanan persamaan (31) menjadi sama dengan untuk. Nilai dari untuk sehingga suku pertama persamaan (31) sama dengan Suku kedua pada persamaan (31) dapat ditulis sebagai berikut
31 20 Dengan menggunakan persamaan (32), suku pertama pada ruas kanan persamaan (33) menjadi untuk (33) menjadi. Dengan menggunakan (22), suku kedua pada ruas kanan persamaan untuk. Dengan menggabungkan persamaan (34) dan (35), suku pertama pada persamaan (29) menjadi Dengan menggunakan persamaan (14) pada Lema 1, suku kedua pada persamaan (29) dapat ditulis sebagai berikut
32 21 untuk. Perhatikan bahwa suku pertama dan kedua pada ruas kanan persamaan (37) sama dengan Dengan menggunakan pertidaksamaan Cauchy- Schwarz suku ketiga dari persamaan (29) adalah untuk peroleh. Dengan menggabungkan persamaan (36), (37), dan (38) kita Dengan demikian Teorema 2 terbukti.
33 22 Akibat 3 (Aproksimasi Asimtotik MSE) Misalkan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel adalah simetrik dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), dan ( 3),, dan memiliki turunan kedua berhingga pada, maka untuk Bukti: Dengan menggunakan Teorema 1 dan Teorema 2 kita peroleh dan Sehingga persamaan (41) dapat ditulis menjadi untuk Karena memiliki turunan kedua berhingga pada, maka akibatnya suku kedua pada persamaan (42) menjadi Sehingga diperoleh persamaan (41)., jika
34 BAB IV REDUKSI BIAS PADA PENDUGAAN 4.1. Asimtotik Orde-2 Berdasarkan hasil simulasi pada Helmers dan Mangku (2007) untuk kasus kernel seragam, aproksimasi asimtotik orde pertama pada ragam dan bias, gagal untuk memprediksikan ragam dan bias dalam sampel berhingga secara akurat. Untuk menambah ketepatan aproksimasi pada ragam dan bias, kita tambahkan bentuk orde kedua dalam pengembangan yang diberikan pada persamaan sebelumnya. Pengembangan pada ragam dilakukan dengan menambahkan bentuk orde pada aproksimasi semula dari orde, sedangkan pengembangan pada bias dilakukan dengan menambahkan bentuk dari orde dan juga bentuk orde. Kita batasi perhatian kita pada kasus diketahui. Teorema 4 (Aproksimasi Asimtotik Orde-2 bagi Ragam) Andaikan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3), dan, maka ntuk asalkan s adalah titik Lebesgue dari, dimana adalah konstanta Euler. Bukti:
35 24 berdasarkan persamaan (31) pada bukti Teorema 2, suku pertama pada ruas kanan persamaan (44) dapat ditulis menjadi Suku pertama pada ruas kanan persamaan (45) adalah sama dengan (45)
36 25 Kita perhatikan bahwa untuk. Karena kernel K terbatas dan memiliki daerah definisi pada [-1, 1], dengan menggunakan persamaan (3) dan (47) suku pertama pada ruas kanan persamaan (46) sama dengan, untuk. Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (46) menjadi sama dengan untuk. Suku kedua pada persamaan (45) dapat ditulis sebagai berikut
37 26 Dengan menggunakan persamaan (47) suku pertama pada persamaan (49) menjadi untuk. Dengan menggunakan fakta bahwa suku kedua pada ruas kanan persamaan (49) menjadi
38 27 (52) untuk. Dengan menggabungkan persamaan (48), (50) dan (52), suku pertama pada persamaan (44) menjadi Dengan asumsi (K.3), maka Berdasarkan persamaan (37) pada bukti Teorema 2, suku kedua pada persamaan (44) adalah sama dengan untuk. Suku pertama dan kedua pada ruas kanan persamaan diatas adalah sama dengan Dengan menggunakan pertidaksamaan Cauchy- Schwarz suku ketiga dari persamaan (44) adalah
39 28 untuk. Dengan menggabungkan persamaan (53), (54), dan (55) kita peroleh persamaan (43). Jadi terbukti Teorema 4. Teorema 5 (Aproksimasi Asimtotik Orde-2 bagi Nilai Harapan) Andaikan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel adalah simetrik dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3), dan, mempunyai turunan ke empat pada s, maka ntuk dimana adalah konstanta Euler, dan dan untuk semua n. Bukti: Karena mempunyai turunan ke empat pada dan Teorema Taylor, kita peroleh
40 29 untuk Berdasarkan persamaan (20) pada bukti Teorema 1, suku pertama pada ruas kanan persamaan (58) sama dengan Dengan mengganti variabel, suku pertama pada ruas kanan peersamaan (59) dapat ditulis menjadi Dengan menggunakan persamaan (51) dan (57), maka suku pertama pada persamaan di atas sama dengan Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-1,1], maka. Karena kernel simetrik, maka Sehingga persamaan di atas menjadi Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (59) menjadi sama dengan
41 30 Karena kernel simetrik, maka Sehingga suku pertama pada persamaan (61) sama dengan nol. Suku kedua pada persamaan (61) menjadi sama dengan untuk. Sedangkan suku ketiga pada persamaan (61) dapat ditulis menjadi dengan mengganti variabel, persamaan di atas menjadi
42 31 dengan Suku kedua pada ruas kanan persamaan (58) adalah sama dengan Dengan menggabungkan persamaan (60), (62), (63),dan (64) maka diperoleh persamaan (56). Jadi terbukti Teorema 5.
43 Perumusan Penduga dengan Reduksi Bias dan Sifat-sifat Statistikanya Dari hasil simulasi pada Helmers dan mangku (2007) untuk kasus kernel seragam, terlihat bahwa aproksimasi orde kedua pada ragam dan bias dari Teorema 4 dan Teorema 5 cukup bagus mendekati ragam dan bias, tetapi biasnya masih cukup besar sehingga perlu direduksi. Dari hasil simulasi pada paper yang sama, dengan menggunakan penduga yang biasnya telah dikoreksi ternyata berhasil mereduksi bias penduga sebelumnya secara substansial. Hal serupa diharapkan terjadi untuk kasus kernel umum. Reduksi Bias : Bias dari pada Helmers dan mangku (2007) betul-betul besar. Meskipun demikian kita dapat reduksi bias ini dengan mengurangi dan menambahkan secara berurutan penduga dari bentuk kedua dan ketiga pada ruas kanan persamaan (56) pada Untuk mereduksi bias, kita rumuskan penduga dari dan secara berurutan sebagai berikut: dimana untuk adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu, dan Penduga bagi telah didefinisikan pada persamaan (5). Selanjutnya ide dibalik konstruksi penduga dan nilai harapan dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2005). untuk Maka kita peroleh bias dikoreksi dari penduga sebagai berikut: Berdasarkan Teorema 5, kita dapat rumuskan bias dikoreksi dari penduga sebagai berikut:
44 33 Teorema 6 (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam) Andaikan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3),, maka untuk asalkan, dimana adalah konstanta Euler. Bukti : Terlebih dahulu kita buktikan persamaan (69). Penduga bias dikoreksi yang diberikan pada (68) dapat ditulis sebagai berikut Dengan menggunakan persamaan (67) diperoleh untuk Helmers dan Mangku (2005) dengan menggunakan persamaan (13), (43), dan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz, ragam dari suku ketiga pada (70) dapat ditentukan sebagai berikut Misalkan dan,
45 34 untuk Sehingga ragam dari suku ketiga pada persamaan (67) menjadi sama dengan dan kovarian dari suku tersebut dengan dua suku lainnya adalah untuk Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ragam jumlah dua suku pertama pada persamaan (70) adalah sama dengan ruas kanan persamaan (69). Misalkan merupakan suku pertama pada persamaan (6) dan merupakan suku kedua persamaan (6), dengan kata lain, Dengan aljabar sederhana dapat ditunjukkan bahwa jumlah suku pertama dan suku kedua pada (70) dapat ditulis sebagai berikut
46 35 Dari bukti Teorema 4, diperoleh bahwa Dengan cara yang sama, dan fakta bahwa kontinu pada, dapat dilihat bahwa, dan adalah sama dengan untuk Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa ragam dari suku terakhir persamaan (71) dan kovarian suku tersebut dengan suku lainnya adalah untuk Dari bukti Teorema 4 diperoleh adalah untuk Dengan argumen yang sama, dan sama dengan untuk Karenanya, ragam pada suku terakhir (71) dan kovarian dari suku tersebut dengan suku lainnya pada (71) adalah untuk Dapat disimpulkan bahwa ragam jumlah empat suku pertama pada (71) adalah sama dengan ruas kanan persamaan (69). Untuk yang cukup besar, mudah diperiksa bahwa dan dan dan juga adalah saling bebas. Karenanya, ragam dari jumlah empat suku pertama pada (71) adalah sama dengan
47 36 jumlah ragam empat suku pertama pada (71) ditambah dua kali kovarian dari suku pertama dan ke empat. Dari persamaan (43), terlihat bahwa ragam dari suku pertama pada (71) adalah sama dengan Dengan mensubstitusikan persamaan (73) pada persamaan diatas, maka diperoleh Sedangkan dua kali kovarian dari suku pertama dan suku keempat pada persamaan (71) adalah sama dengan Dari persamaan (71), jumlah ragam suku kedua, ketiga, dan keempat adalah sama dengan Dengan menggabungkan persamaan (74), (75), dan (76), diperoleh ruas kanan persamaan (69). Jadi terbukti Teorema 6.
48 37 Teorema 7 (Aproksimasi Asimtotik bagi Nilai Harapan) Andaikan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel adalah simetrik dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), dan ( 3), maka mempunyai turunan ke empat di sekitar s, untuk Bukti : Karena dan mempunyai turunan keempat berhingga disekitar, dan Teorema Taylor, kita peroleh Sehingga nilai harapan dari dapat ditentukan sebagai berikut
49 38 dengan mensubstitusi persamaan (78) (83) ke persamaan (84), maka diperoleh untuk Dengan menggunakan persamaan (66), diperoleh untuk Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (68), nilai harapan dapat ditentukan sebagai berikut
50 39 Jadi Teorema 7 terbukti. Akibat 8 (Aproksimasi Asimtotik bagi MSE) Misalkan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel adalah simetrik dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), dan ( 3), mempunyai turunan ke empat di sekitar s, maka ntuk dimana adalah konstanta Euler. Bukti : Dari persamaan (77) pada Teorema 7, diperoleh Dengan mensubstitusikan persamaan (69) dan (87) ke persamaan (41), maka diperoleh persamaan (86).
51 BAB V KESIMPULAN Untuk menduga komponen periodik dari suatu fungsi intensitas pada titik dari suatu proses Poisson periodik (dengan periode yang diketahui) dengan tren linear yang diamati pada interval dapat digunakan penduga tipe kernel, yang dirumuskan sebagai berikut: dimana merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol, yang disebut bandwidth. Pengkajian yang dilakukan mencakup sifat-sifat statistika dari penduga dan modifikasinya untuk mereduksi bias. Selain itu, ditentukan aproksimasi asimtotik bagi bias dan ragam penduga yang baru. Kesimpulan yang diperoleh dari hasil pengkajian yang dilakukan adalah sebagai berikut: Andaikan memenuhi persamaan dan terintegralkan lokal. Jika kernel memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3),, untuk ntuk asalkan s adalah titik Lebesgue dari, dimana adalah konstanta Euler. Andaikan memenuhi persamaan dan terintegralkan lokal. Jika kernel adalah simetrik adalah dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3),, untuk mempunyai turunan ke empat pada s, maka
52 41 untuk dimana adalah konstanta Euler, dan dan untuk semua n. Andaikan fungsi intensitas memenuhi memenuhi persamaan dan terintegralkan lokal. Jika kernel memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3),, maka untuk asalkan, dimana adalah konstanta Euler. Andaikan fungsi intensitas memenuhi memenuhi persamaan dan terintegralkan lokal. Jika kernel adalah simetrik dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3),, mempunyai turunan ke empat di sekitar s, maka untuk
53 42 Jika syarat pada (iii) dan (iv) dipenuhi, maka adalah sama dengan
54 DAFTAR PUSTAKA Browder, A Mathematical Analysis: An Introduction. Springer. New York. Casella, G. dan R. L. Berger Statistical Inference. Ed. ke-1. Wadsworth & Brooks/Cole, Pasific Grove, California. Dudley, R. M Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California. Grimmett, G. R. and D. R. Stirzaker Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford. Helmers, R On estimating the intensity of oil-pollution in the North-Sea. CWI Note BS-N9501. Helmers, R, and Mangku, I. W Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Accepted by Annals of the Institute of Statistical Mathematics, Tokyo. Helmers, R, and Zitikis, R On estimation of process Poisson intensity function. Annal Institute of Statistical Mathematics, 51,2, Helmers, R, Mangku, I. W. and Zitikis, R Consistent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate analysis Helmers, R, Mangku, I. W and Zitikis, R.2005 Statistical properties of a kerneltype estimator of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate analysis Helmers, R, Mangku, I. W and Zitikis, R A non-parametric estimator for the doubly-periodic Poisson intensity function. Statistical Methodology, 4, Helms, L.L Introduction to Probability Theory: With Contemporary aplications. New York: W.H. Freeman and Company. Hogg, R. V. and A. T. Craig Introduction to Mathematical Statistics. Ed.ke-5. Prentice Hall, Englewood Cliffs. New Jersey. Mangku, I. W Nearest neighbor estimation of the the intensity function of a cyclic Poisson process. CWI Report PNA-R9914. Mangku, I. W Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process. University of Amsterdam, Amsterdam.
55 44 Mangku, I. W A note on estimaton of the global intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Journal of Mathematics and Its Aplications, 4. Mangku, I. W, Siswadi, and R.Budiarti Consistency of a kernel type estimator of the intensity of a cyclic Poisson process with linear trend. Submited for publication. Mangku, I. W, Siswadi, and R.Budiarti Statistical properties of a kernel type estimator of the intensity of a cyclic Poisson process with linear trend. Submited for publication. Nurrahmi Sifat-Sifat Statistika Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Departemen Matematika IPB. Skripsi. Bogor. Purcell, E.J dan D. Varberg Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 2. Ed. ke-5. Jakarta: Erlangga Ross, S. M Introduction to Probability Models. Ed. ke-8. Academic Press Inc. Orlando, Florida. Serfling, R. J Approximation Theorems of Mathematical Statistics. John Wiley & Sons. New York. Wheeden, R. L. and A. Zygmund Measure and Integral : An Introduction to real Analysis. Marcel Dekker, Inc. New York.
56 LAMPIRAN 45
57 46 Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Berbagai macam pengamatan diperoleh melalui pengulangan percobaan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Dalam banyak kasus, hasil percobaan tersebut bergantung pada faktor kebetulan dan tidak dapat diprediksikan dengan tepat. Tetapi, kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil untuk setiap percobaan. Definisi 14 (Ruang Contoh) Himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh dan dilambangkan dengan. (Grimmett and Stirzaker, 1992) Definisi 15 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh. (Grimmett and Stirzaker, 1992) Definisi 16 (Medan- ) Medan- adalah himpunan F yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari yang memenuhi syarat-syarat berikut : a. F b. F maka F c. F maka F Medan- terkecil yang mengandung semua selang berbentuk (, disebut medan Borel, dan anggotanya disebut himpunan Borel. (Grimmett and Stirzaker, 1992) Definisi 17 (Ukuran Peluang) Ukuran peluang P pada (, F ) adalah suatu fungsi P : F [0, 1] yang memenuhi
58 47 a. P ( ) = 0, P ( ) = 1 b. Jika.. adalah himpunan anggota-anggota F yang saling lepas, yaitu untuk semua pasangan i, j dengan i j maka : Pasangan (, F, P) yang terdiri atas himpunan, medan- F yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari, dan suatu ukuran peluang P pada (, F ) disebut ruang peluang. (Grimmett and Stirzaker, 1992) Definisi 18 (Kejadian Saling Bebas) Kejadian-kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika : P (A B) = P (A) P(B). Secara umum, himpunan kejadian { } dikatakan saling bebas jika : untuk semua himpunan bagian berhingga J dari I. (Grimmett and Stirzaker, 1992) Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 19 (Peubah Acak) Peubah acak adalah suatu fungsi X : R dengan sifat bahwa { : X( ) x} F untuk setiap x R. (Grimmett and Stirzaker, 1992) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital seperti X, Y, dan Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, dan z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran, sebagaimana didefinisikan berikut ini.
59 48 Definisi 20 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran dari pebah acak X adalah fungsi oleh yang diberikan (Grimmett and Stirzaker, 1992) Definisi 21 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X disebut diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian tercacah { } dari R. (Grimmett and Stirzaker, 1992) Definisi 22 (Fungsi Kerapatan Peluang) Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p : R [0, 1] yang diberikan oleh : (Grimmett and Stirzaker, 1992) Definisi 23 (Peubah Acak Poisson) Jika suatu peubah acak X nilai-nilainya dalam himpunan {0, 1, 2,.} dengan fungsi kerapatan peluang dengan > 0, maka X dikatakan memiliki sebaran Poisson dengan parameter. (Grimmett and Stirzaker, 1992) Nilai Harapan, Ragam, Momen Definisi 24 (Nilai Harapan, Momen, Ragam) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p(x). Nilai harapan dari peubah acak X adalah
60 49 Momen ke-k, dengan k merupakan bilangan bulat positif, dari suatu peubah acak X adalah Misalkan momen ke-1, E(X) = Maka momen pusat ke-k atau dari peubah acak X adalah Nilai harapan dari peubah acak X merupakan momen pertama dari X, sedangkan ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X. Ragam (Variance) dari X, dan dilambangkan dengan Var(X) atau adalah nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya yaitu : (Hogg and Craig, 1995) Penduga dan Sifat-sifatnya Definisi 25 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak bergantung pada satu atau beberapa parameter. (Hogg and Craig, 1995) Definisi 26 (Penduga) Misalkan adalah contoh acak. Suatu statistik U = U( ) = U(X) yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g( ) dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi g( ), yang dilambangkan oleh ( ). Nilai U( ) dari U dengan nilai amatan disebut sebagai dugaan (estimate) bagi g( ). (Hogg and Craig, 1995)
61 50 Definisi 27 (Penduga Tak Bias) a. Suatu statistik U(X) yang nilai harapannya sama dengan parameter g( ), dituliskan E[U(X)] = g( ), disebut penduga tak bias bagi g( ). Selainnya statistik dikatakan berbias. b. Jika [U(X)] = g( ), maka penduga U(X) disebut penduga tak bias asimtotik. (Hogg and Craig, 1995) Definisi 28 (Penduga Konsisten) Suatu statistik U(X) yang konvergen dalam peluang ke suatu parameter g( ), disebut penduga konsisten bagi g( ). (Hogg and Craig, 1995) Definisi 29 (MSE suatu Penduga) Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga untuk parameter adalah fungsi dari yang didefinisikan oleh Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga dan parameter. Dari sini diperoleh = Var (W) + (Cassela dan Berger, 1990) Definisi 30 (Fungsi Terintegralkan Lokal) Fungsi intensitas dikatakan terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B kita peroleh
62 51 (Dudley, 1989) Definisi 31 [( (.))] Simbol big-oh ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L. Notasi u (x) = (v(x)), x L, menyatakan bahwa terbatas, untuk x L. Definisi 32 [o(h)] (Serfling, 1980) Suatu fungsi f disebut o(h), h 0, jika Hal ini berarti f(h) 0 lebih cepat dari h 0. Dengan menggunakan definisi 31 dan 32 kita peroleh hal berikut. (Ross, 2003) a. Suatu barisan bilangan nyata disebut terbatas dan ditulis untuk, jika ada bilangan terhingga A dan B sehingga B < < A untuk semua bilangan asli n. b. Suatu barisan yang konvergen ke nol, untuk n, dapat ditulis untuk (Purcell and Varberg, 1998) Definisi 33 (Fungsi Indikator) Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi I : [0, 1], yang diberikan oleh :
63 52 (Grimmett and Stirzaker, 1992) Definisi 35 (Titik Lebesgue) Suatu titik s dikatakan titik Lebesgue dari fungsi jika (Wheeden and Zygmund, 1977) Lema 2 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika X dan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas maka dan akan bernilai sama dengan jika dan hanya jika P(X = 0)=1 atau P(Y =ax)=1 untuk suatu konstanta a. (Helms, 1996) Bukti : Lihat Lampiran 2 Lema 3 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan g memiliki turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x. Maka g (y) = g (x) + + o untuk y x. Bukti : Lihat Serfling (1980) Lema 4 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan dari ragam, maka untuk setiap k > 0, Bukti : Lihat Lampiran 3 (Helms, 1996)
64 53 Lampiran 2. Lema 2 ( Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika X dan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas maka Dan akan bernilai sama dengan jika dan hanya jika P(X = 0)=1 atau untuk suatu konstanta a. Bukti: Pilihlah salah satu dari P(X =0) =1 atau P(X =0) 1. Pada kasus pertama, persamaan akan terpenuhi karena kedua ruas mempunyai nilai nol, sehingga kita bisa mengasumsikan P(X =0) <1, yang berarti bahwa X mempunyai suatu nilai dengan peluang positif, sehingga. Definisikan fungsi kuadrat Fungsi kuadrat di atas akan bernilai minimum pada saat Sehingga Untuk yang real ganti dengan. Sehingga Di satu sisi, hal ini berimplikasi bahwa
65 54 dan di sisi lain jika sama akan Jika menempati nilai yang tidak nol dengan peluang yang positif, akan didapatkan. Hal ini mengakibatkan kontradiksi, maka haruslah P Jadi terbukti
66 55 Lampiran 3 Lema 5 (Pertidaksamaan Markov) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan terbatas dan maka (Ross, 2003) Bukti: Misalkan { adalah nilai dari peubah acak konvergen mutlak, maka Sehingga diperoleh Jadi Lema 5 terbukti. Lema 4 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam, maka untuk setiap k > 0, Bukti :
67 56 Karena adalah peubah acak tak negatif, kita dapat menggunakan pertidaksamaan Markov di atas, dengan, sehingga kita peroleh Sehingga diperoleh Jadi Lema 3 terbukti.
SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT RO FAH NUR RACHMAWATI
SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT RO FAH NUR RACHMAWATI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010 PERNYATAAN
Lebih terperinciABSTRACT JOKO DWI SURAWU. Keywords:
ABSTRACT JOKO DWI SURAWU. Asymptotic Distribution of an Estimator for Periodic Component of Intensity Function of a Periodic Poisson Process in the Presence of Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU
Lebih terperinciBAB IV REDUKSI BIAS PADA PENDUGAAN
BAB IV REDUKSI BIAS PADA PENDUGAAN 4.1. Asimtotik Orde-2 Berdasarkan hasil simulasi pada Helmers dan Mangku (2007) kasus kernel seragam, aproksimasi asimtotik orde pertama pada ragam dan bias, gagal memprediksikan
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
II. LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan
Lebih terperinciSEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK PERKALIAN FUNGSI PERIODIK DENGAN TREN LINEAR DARI SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN LIA YULIAWATI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN
Lebih terperinciPENDAHULUAN LANDASAN TEORI
1 PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dapat dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu
Lebih terperinciKEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR TITA ROBIAH AL ADAWIYAH
KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR TITA ROBIAH AL ADAWIYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik) Proses stokastik, adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang states. Jadi,
Lebih terperinciKAJIAN BANDWIDTH OPTIMAL PADA PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK SURASNO
KAJIAN BANDWIDTH OPTIMAL PADA PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK SURASNO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciKEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
KEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Ro fah Nur Rachmawati Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang. 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
II LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan diketahui
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MENGGUNAKAN METODE TIPE KERNEL
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MENGGUNAKAN METODE TIPE KERNEL Ro fah Nur Rachmawati Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Binus University Jl.
Lebih terperinciSEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN N PERTAMA DAN KEDUA DARI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR
SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNANN PERTAMA DAN KEDUA DARI KOMPONE EN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR SALIWATI SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
3 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik) Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state. Jika
Lebih terperinciLampiran A. Beberapa Definisi dan Lema Teknis
LAMPIRAN 33 Lampiran A. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi A.1 (Ruang contoh dan kejadian) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya
Lebih terperinciIII. HASIL DAN PEMBAHASAN
III. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Masalah Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan terintegralkan lokal
Lebih terperinciLampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis
DAFTAR PUSTAKA Browder, A. 1996. Mathematical Analysis : An Introduction. Springer. New York. Dudley, R.M. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California. Durret, R. 1996. Probability
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik) Proses stokastik X = {X(t), t T} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu
Lebih terperinciBAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK
BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 3. Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval 0, dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas
Lebih terperinciLampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis
Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan tepat tetapi kita
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik) Proses stokastik X = {X(t), t T } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu
Lebih terperinciPENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK SYAMSURI
PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK SYAMSURI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciPENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN FUNGSI PANGKAT PROSES POISSON NON-HOMOGEN WINDIANI ERLIANA
PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN FUNGSI PANGKAT PROSES POISSON NON-HOMOGEN WINDIANI ERLIANA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciBAB 3 REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
9 BAB 3 REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK EKSPONENSIAL DARI FUNGSI PERIODIK DITAMBAH TREN LINEAR PADA PROSES POISSON NON-HOMOGEN SALMUN K.
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK EKSPONENSIAL DARI FUNGSI PERIODIK DITAMBAH TREN LINEAR PADA PROSES POISSON NON-HOMOGEN SALMUN K. NASIB SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN
Lebih terperinciLAMPIRAN. Kajadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi A.3 (Medan-σ)
LAMPIRAN 55 56 LAMPIRAN Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Berbagai macam kejadian diperoleh melalui pengamatan dari serangkaian percobaan yang dilakukan
Lebih terperinci(T.8) SEBARAN ATIMTOTIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
(T.8) SEBARAN ATIMTOTIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Ro fah Nur Rachmawati Universitas Bina Nusantara Jl. K.H. Syahdan No. 9 Palmerah Jakarta Barat 11480 rrachmawati@binus.edu
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR BONNO ANDRI WIBOWO
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR BONNO ANDRI WIBOWO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2014
Lebih terperinciDefenisi 15 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari Nang contoh a. (Grimmett dan Stirzaker 2001)
Lampiran: Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang contoh, kejadian dan peluang Berbagai macam pengamatan diperoleh melalui penggulangan percobaan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Dalarn banyak kasus,
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK NADIROH
PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK NADIROH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT INTAN FITRIA SARI
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT INTAN FITRIA SARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinci( s) PENDAHULUAN tersebut, fungsi intensitas (lokal) LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Latar Belaang Terdapat banya permasalahan atau ejadian dalam ehidupan sehari hari yang dapat dimodelan dengan suatu proses stoasti Proses stoasti merupaan permasalahan yang beraitan dengan suatu aturan-aturan
Lebih terperinciBAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
29 BAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT 4.1 Perumusan Penduga Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen
Lebih terperinciKEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR. Oleh: LIA NURLIANA
KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR Oleh: LIA NURLIANA PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciPENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN WENTI ISMAYULIA
PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN WENTI ISMAYULIA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinci( x) LANDASAN TEORI. ω Ω ke satu dan hanya satu bilangan real X( ω ) disebut peubah acak. Ρ = Ρ. Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
LANDASAN TEORI Ruang Contoh Kejadian dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam ondisi yang sama yang hasilnya tida dapat dipredisi secara tepat tetapi ita dapat mengetahui semua emunginan hasil
Lebih terperinciPENDUGAAN PARAMETER BEBERAPA SEBARAN POISSON CAMPURAN DAN BEBERAPA SEBARAN DISKRET DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITME EM ADE HARIS HIMAWAN
PENDUGAAN PARAMETER BEBERAPA SEBARAN POISSON CAMPURAN DAN BEBERAPA SEBARAN DISKRET DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITME EM ADE HARIS HIMAWAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI RAGAM PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK FITRIANI IDA MAKHMUDAH
PENDUGAAN FUNGSI RAGAM PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK FITRIANI IDA MAKHMUDAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN
Lebih terperinciANALISIS REGRESI TERPOTONG BEBERAPA NILAI AMATAN NURHAFNI
ANALISIS REGRESI TERPOTONG DENGAN BEBERAPA NILAI AMATAN NOL NURHAFNI SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciBAB 4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK
BAB 4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 4. Sebaran Asimtotik,, Teorema 4. (Sebaran Normal Asimtotik,, ) Misalkan fungsi intensitas seperti (3.2) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah
Lebih terperinciRISIKO GEMUK (FAT-TAILED ADRINA LONY SEKOLAH
PENENTUAN BESARNYA PREMI UNTUK SEBARAN RISIKO YANG BEREKOR GEMUK (FAT-TAILED RISK DISTRIBUTION) ADRINA LONY SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan berikutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL NONPARAMETRIK RONI WIJAYA
PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL NONPARAMETRIK RONI WIJAYA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER
Lebih terperinciBAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA DARI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR
3 BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA DARI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR 4.. Sebaran asimtotik dari,, Teorema 4. ( Normalitas Asimtotik
Lebih terperinciANALISIS KETAHANAN DAN APLIKASINYA UNTUK PEMODELAN INTERVAL KELAHIRAN ANAK PERTAMA HARNANTO
ANALISIS KETAHANAN DAN APLIKASINYA UNTUK PEMODELAN INTERVAL KELAHIRAN ANAK PERTAMA HARNANTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT INTAN FITRIA SARI
SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT INTAN FITRIA SARI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016 PERNYATAAN
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE RELE UNTUK MODEL PENDUDUK QUASI-STABIL CECEP A.H.F. SANTOSA
MODIFIKASI METODE RELE UNTUK MODEL PENDUDUK QUASI-STABIL CECEP A.H.F. SANTOSA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak Cipta dilindungi
Lebih terperinciPERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO
PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam mengkaji penelitian Karakteristik Penduga Parameter Distribusi Log
II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam mengkaji penelitian Karakteristik Penduga Parameter Distribusi Log Normal Menggunakan Metode Generalized Moment digunakan beberapa definisi, dan teorema yang berkaitan dengan
Lebih terperinciANALISIS BIPLOT UNTUK MEMETAKAN MUTU SEKOLAH YANG SESUAI DENGAN NILAI UJIAN NASIONAL SUJITA
ANALISIS BIPLOT UNTUK MEMETAKAN MUTU SEKOLAH YANG SESUAI DENGAN NILAI UJIAN NASIONAL SUJITA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciPERBANDINGAN ANTARA UNWEIGHTED LEAST SQUARES (ULS) DAN PARTIAL LEAST SQUARES (PLS) DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL MUHAMMAD AMIN PARIS
PERBANDINGAN ANTARA UNWEIGHTED LEAST SQUARES (ULS) DAN PARTIAL LEAST SQUARES (PLS) DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL MUHAMMAD AMIN PARIS SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN
Lebih terperinciKAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY DAN APLIKASINYA PADA HARGA GABAH KERING PANEN T A M U R I H
KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY DAN APLIKASINYA PADA HARGA GABAH KERING PANEN T A M U R I H SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI
Lebih terperinciPENDUGAAN PARAMETER WAKTU PERUBAHAN PROSES PADA 2 CONTROL CHART MENGGUNAKAN PENDUGA KEMUNGKINAN MAKSIMUM SITI MASLIHAH
PENDUGAAN PARAMETER WAKTU PERUBAHAN PROSES PADA CONTROL CHART MENGGUNAKAN PENDUGA KEMUNGKINAN MAKSIMUM SITI MASLIHAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
Lebih terperinciKETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN
KETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Keterkontrolan
Lebih terperinciPENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN
PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciPERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO
PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE
PERBANDINGANN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE DAN APLIKASINYA PADA DATAA KEMATIAN INDONESIA VANI RIALITA SUPONO SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS
Lebih terperinciHUKUM ITERASI LOGARITMA. TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM.
HUKUM ITERASI LOGARITMA TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM. 00290 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciPREDIKSI KECEPATAN PHASE GELOMBANG SOLITER TERGANGGU AHMAD HAKIM
PREDIKSI KECEPATAN PHASE GELOMBANG SOLITER TERGANGGU AHMAD HAKIM SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa
Lebih terperinciANALISIS POLA KELAHIRAN MENURUT UMUR STUDI KASUS DI INDONESIA TAHUN 1987 DAN TAHUN 1997 SUMIHAR MEINARTI
ANALISIS POLA KELAHIRAN MENURUT UMUR STUDI KASUS DI INDONESIA TAHUN 1987 DAN TAHUN 1997 SUMIHAR MEINARTI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciSTATISTIKA UNIPA SURABAYA
MATEMATIKA STATISTIKA (MATHEMATICAL STATISTICS) GANGGA ANURAGA Materi : Distribusi variabel random Teori Himpunan Fungsi Himpunan Fungsi Himpunan Peluang Variabel Random Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi
Lebih terperinciPERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL
PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA SUNARTI FAJARIYAH
ANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA SUNARTI FAJARIYAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciPREDIKSI KECEPATAN PHASE GELOMBANG SOLITER TERGANGGU AHMAD HAKIM
PREDIKSI KECEPATAN PHASE GELOMBANG SOLITER TERGANGGU AHMAD HAKIM SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa
Lebih terperinciPERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL
PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciFORMULASI HAMILTONIAN UNTUK MENGGAMBARKAN GERAK GELOMBANG INTERNAL PADA LAUT DALAM RINA PRASTIWI
FORMULASI HAMILTONIAN UNTUK MENGGAMBARKAN GERAK GELOMBANG INTERNAL PADA LAUT DALAM RINA PRASTIWI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE PENDUGAAN PARAMETER DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL LA MBAU
v PERBANDINGAN METODE PENDUGAAN PARAMETER DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL LA MBAU Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA
Lebih terperinciANALISIS POLA KELAHIRAN MENURUT UMUR STUDI KASUS DI INDONESIA TAHUN 1987 DAN TAHUN 1997 SUMIHAR MEINARTI
ANALISIS POLA KELAHIRAN MENURUT UMUR STUDI KASUS DI INDONESIA TAHUN 1987 DAN TAHUN 1997 SUMIHAR MEINARTI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciMETODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR. Rino Martino 1 ABSTRACT
METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR Rino Martino 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 21 Beberapa Pengertian Definisi 1 [Ruang Contoh] Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan (Grimmet dan Stirzaker,1992)
Lebih terperinciPENGKAJIAN KEAKURATAN TWOSTEP CLUSTER DALAM MENENTUKAN BANYAKNYA GEROMBOL POPULASI KUDSIATI
PENGKAJIAN KEAKURATAN TWOSTEP CLUSTER DALAM MENENTUKAN BANYAKNYA GEROMBOL POPULASI KUDSIATI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2006 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciPENGKAJIAN KEAKURATAN TWOSTEP CLUSTER DALAM MENENTUKAN BANYAKNYA GEROMBOL POPULASI KUDSIATI
PENGKAJIAN KEAKURATAN TWOSTEP CLUSTER DALAM MENENTUKAN BANYAKNYA GEROMBOL POPULASI KUDSIATI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2006 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciPENDEKATAN LOGIKA FUZZY UNTUK MEMPREDIKSI IPK AKHIR MAHASISWA MATEMATIKA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
1 PENDEKATAN LOGIKA FUZZY UNTUK MEMPREDIKSI IPK AKHIR MAHASISWA MATEMATIKA INSTITUT PERTANIAN BOGOR ANA MARNIDA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
Lebih terperinciRANCANGAN KURIKULUM PROGRAM DOKTOR STATISTIKA (STK) DALAM KERANGKA KUALIFIKASI NASIONAL INDONESIA (KKNI)
RANCANGAN KURIKULUM PROGRAM DOKTOR STATISTIKA (STK) DALAM KERANGKA KUALIFIKASI NASIONAL INDONESIA (KKNI) PROGRAM DOKTOR STATISTIKA DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN IPA 2 0 1 2 I. Deskripsi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
4 BAB II LANDASAN TEORI Teori yang ditulis dalam bab ini merupakan beberapa landasan yang digunakan untuk menganalisis sebaran besarnya klaim yang berekor kurus (thin tailed) dan yang berekor gemuk (fat
Lebih terperinciPEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO
PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN
Lebih terperinciPEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK GANDA DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH REGULASI OPTIMAL HASBY ASSIDIQI
PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK GANDA DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH REGULASI OPTIMAL HASBY ASSIDIQI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
Lebih terperinciMETODE PEMOTONGAN DERET FOURIER UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN GERAK GELOMBANG INTERNAL YANG PERIODIK PADA FLUIDA DUA LAPISAN MUHBAHIR
METODE PEMOTONGAN DERET FOURIER UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN GERAK GELOMBANG INTERNAL YANG PERIODIK PADA FLUIDA DUA LAPISAN MUHBAHIR SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN
Lebih terperinciPERBANDINGAN HASIL PENGGEROMBOLAN METODE K-MEANS, FUZZY K-MEANS, DAN TWO STEP CLUSTER
PERBANDINGAN HASIL PENGGEROMBOLAN METODE K-MEANS, FUZZY K-MEANS, DAN TWO STEP CLUSTER LATHIFATURRAHMAH SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010 PERNYATAAN MENGENAI TUGAS AKHIR DAN SUMBER
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 Percobaan Acak (Ross 2000) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui tetapi
Lebih terperinciDISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstrak
DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Dalam proses stokhastik yang mana kejadian dapat muncul kembali membentuk proses pembahauruan. Proses pembaharuan
Lebih terperinciEKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD ( ) Y A N A
EKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD ( ) Y A N A SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TUGAS AKHIR DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Generalized Eksponensial Menggunakan Metode Generalized Momen digunakan. merupakan penjabaran definisi dan teorema yang digunakan:
II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam tinjauan pustaka penelitian Karakteristik Penduga Parameter Distribusi Generalized Eksponensial Menggunakan Metode Generalized Momen digunakan beberapa definisi dan teorema yang
Lebih terperinciHukum Iterasi Logaritma
Hukum Iterasi Logaritma Sorta Purnawanti 1, Helma 2, Dodi Vionanda 3 1 Mathematics Department State University of Pag, Indonesia 2,3 Lecturers of Mathematics Department State University of Pag, Indonesia
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Distribusi Logistik Distribusi logistik merupakan distribusi yang memiliki fungsi kepekatan peluang kontinu. Bentuk kurva distribusi logistik adalah simetris dan uni modal. Bentuk
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul
Lebih terperinciKEKUATAN KONVERGENSI DALAM PROBABILITAS DAN KONVERGENSI ALMOST SURELY
KEKUATAN KONVERGENSI DALAM PROBABILITAS DAN KONVERGENSI ALMOST SURELY Joko Sungkono* Abstrak : Tujuan yang ingin dicapai pada tulisan ini adalah mengetahui kekuatan konvergensi dalam probabilitas dan konvergensi
Lebih terperinciMODEL SKEDUL MIGRASI DAN APLIKASINYA DALAM PROYEKSI PENDUDUK MULTIREGIONAL MUSLIMAH
MODEL SKEDUL MIGRASI DAN APLIKASINYA DALAM PROYEKSI PENDUDUK MULTIREGIONAL MUSLIMAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS REAL
Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,
Lebih terperinciKETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN
KETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Keterkontrolan
Lebih terperinciMODEL DISTRIBUSI PERTUMBUHAN EKONOMI ANTARKELOMPOK PADA DUA DAERAH ADE LINA HERLIANI
MODEL DISTRIBUSI PERTUMBUHAN EKONOMI ANTARKELOMPOK PADA DUA DAERAH ADE LINA HERLIANI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. sementara grafik distribusi F tidak simetrik dan umumnya sedikit positif seperti
4 II. LANDASAN TEORI 2.1 Distribusi F Distribusi F merupakan salah satu distribusi kontinu. Dengan variabel acak X memenuhi batas X > 0, sehingga luas daerah dibawah kurva sama dengan satu, sementara grafik
Lebih terperinciMemahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan
4 BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA JUMLAH PERTEMUAN : 5 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan kekonvergenan
Lebih terperinciPEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO
PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN
Lebih terperinciBAB IV SIMULASI PEMBANDINGAN PERILAKU PENDUGA FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK DENGAN BANDWIDTH OPTIMAL DAN BANDWIDTH OPTIMAL ASIMTOTIK
BAB IV SIMULASI PEMBANDINGAN PERILAKU PENDUGA FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK DENGAN BANDWIDTH OPTIMAL DAN BANDWIDTH OPTIMAL ASIMTOTIK Pada bagian ini dilakukan simulasi untuk membandingkan
Lebih terperinciMODEL DISTRIBUSI PERTUMBUHAN EKONOMI ANTARKELOMPOK PADA DUA DAERAH ADE LINA HERLIANI
MODEL DISTRIBUSI PERTUMBUHAN EKONOMI ANTARKELOMPOK PADA DUA DAERAH ADE LINA HERLIANI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya
Lebih terperinciPenerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi 1 Penerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass Islamiyah Abbas 1, Naimah Aris 2, Jusmawati M 3. Abstrak Dalam skripsi ini dibahas pembuktian
Lebih terperinciPREDIKSI JANGKA PANJANG DARI PROSES POISSON SIKLIK DENGAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DIKETAHUI AGUSTINA MARGARETHA
PREDIKSI JANGKA PANJANG DARI PROSES POISSON SIKLIK DENGAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DIKETAHUI AGUSTINA MARGARETHA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciMODEL PEMBERIAN KOMPENSASI BAGI PENGANGGUR UNTUK MENCAPAI KESEJAHTERAAN EKONOMI HADI KUSWANTO
MODEL PEMBERIAN KOMPENSASI BAGI PENGANGGUR UNTUK MENCAPAI KESEJAHTERAAN EKONOMI HADI KUSWANTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinci