ABSTRACT JOKO DWI SURAWU. Keywords:

Transkripsi

1 ABSTRACT JOKO DWI SURAWU. Asymptotic Distribution of an Estimator for Periodic Component of Intensity Function of a Periodic Poisson Process in the Presence of Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI. This thesis is concerned with asymptotic distribution of a kernel-type estimator for the periodic component of the intensity function of a periodic Poisson process in the presence of linear trend. First, construction of the estimator for the periodic component at a given point is reviewed. Next, statistical properties of this estimator are discussed. Finally, asymptotic normality of this estimator is proved. A computer simulation is also carried out to check the behavior of the estimator in a finite sample size. The results of the simulation are the following. The estimator for the periodic component of the intensity function of a periodic Poisson process in the presence of linear trend has an asymptotic normal distribution. Furthermore the behavior of this estimator using observations on intervals [0,500] and [0,000] show indication that the estimator has a normal distribution. Keywords: estimation of intensity function, periodic Poisson process, estimation of periodic component, estimation of linear trend coefficient, asymptotic normality.

2 RINGKASAN JOKO DWI SURAWU. Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas suatu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI. Proses stokastik merupakan salah satu bidang matematika yang dapat diaplikasikan untuk menjelaskan fenomena-fenomena dalam kehidupan kita sehari-hari. Bidang ini mempelajari model-model yang berkaitan dengan aturanaturan peluang seperti memprediksikan kedatangan para pelanggan, antrian nasabah di suatu bank, dan lain sebagainya. Salah satu bentuk khusus dari bidang ini adalah proses Poisson periodik yang dalam aplikasinya diperlukan penduga fungsi intensitas. Pada karya ilmiah ini direview sifat-sifat penduga komponen periodik fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan komponen tren linear. Selanjutnya ditentukan sebaran asimtotik dari penduga yang dikaji jika panjang interval pengamatannya menuju tak hingga. Untuk mengecek perilaku dari teori yang dikaji dalam interval pengamatan yang terhingga, maka dilakukan simulasi komputer dengan menggunakan bahasa pemrograman R. Penduga tipe kernel komponen periodik untuk fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear yang dikaji adalah,, ln ln dengan penduga koefisien tren linearnya adalah didefinisikan sebagai 20,. Sifat-sifat statistika dari penduga di atas adalah sebagai berikut. Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga di atas adalah E,, 2, untuk. Aproksimasi asimtotik bagi nilai varian penduga di atas adalah,, ln ln, untuk. Dari review yang telah dilakukan, didapatkan beberapa teorema tentang kenormalan asimtotik bagi,, untuk n, yaitu ln,, 0, dengan asumsi ln 0.

3 Selanjutnya jika diasumsikan bahwa ln, maka kenormalan asimtotiknya adalah ln,,, dengan 2. Dari hasil simulasi kenormalan asimtotik menunjukkan bahwa untuk panjang interval pengamatan 500 dan 000, sebaran penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik sudah relatif dekat ke normal. Kata kunci: fungsi intensitas penduga, proses Poisson periodik, penduga koponen periodik, penduga koefisien tren linear, normalitas asimtotik.

4 BAB I PENDAHULUAN.. Latar Belakang Matematika adalah ratunya ilmu pengetahuan. Dengan menguasai matematika, maka ilmu-ilmu yang lain dapat dikembangkan sehingga peradaban manusia menjadi lebih maju. Sebagai contoh, kita memang tidak dapat mengetahui segala sesuatu yang akan terjadi di masa-masa yang akan datang, namun dengan ilmu pengetahuan yang telah dikembangkan, kita dapat memprediksi apa yang akan terjadi di masa-masa yang akan datang walaupun tidak secara pasti. Proses stokastik merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dapat digunakan untuk memprediksi ataupun menjelaskan fenomena-fenomena dalam kehidupan kita sehari-hari. Proses stokastik merupakan suatu model yang berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang. Sebagai contoh kita dapat membuat suatu model yang dapat digunakan untuk memprediksi kedatangan para pelanggan pada suatu pusat layanan seperti supermarket, kedatangan dan antrian nasabah di suatu bank, dan lain sebagainya. Proses stokastik dapat diklasifikasikan ke dalam dua klasifikasi, yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Sebagai salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Kita dapat mengartikan bahwa proses Poisson periodik merupakan suatu proses Poisson yang mempunyai fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Beberapa fenomena yang dapat dijelaskan atau dimodelkan dengan proses Poisson periodik di antaranya adalah bidang komunikasi, hidrologi, metereologi, dan seismologi. Dalam banyak penerapan diperlukan penduga untuk fungsi intensitas dari proses Poisson periodik tersebut. Selanjutnya dalam karya tulis ini direview karakteristiknya jika fungsi intensitas proses Poissonnya berupa fungsi intensitas yang mempunyai komponen periodik dan komponen tren linear, dan kemudian

5 2 ditentukan sebaran normal asimtotiknya jika panjang interval pengamatannya menuju tak hingga..2 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah: i. Mereview pendekatan asimtotik dari nilai harapan dan nilai varian penduga komponen periodik fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren linear. ii. Menentukan sebaran asimtotik dari penduga yang dikaji. iii. Melakukan simulasi komputer untuk mengecek perilaku dari teori-teori yang dikaji untuk panjang interval pengamatan yang terhingga.

6 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.. Proses Poisson Periodik Definisi 2. (Proses stokastik) Proses stokastik X = {X(t), t T} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu state S. (Ross, 2007) X(t) adalah suatu peubah acak, dengan t adalah elemen dari T yang sering kita interpretasikan sebagai satuan waktu (walaupun tidak harus merupakan waktu). X(t) dapat dibaca sebagai state (keadaan) dari suatu proses pada waktu t. Dalam hal ini, suatu ruang state S dapat berupa himpunan bilangan real atau himpunan bagiannya. Definisi 2.2 (Proses stokastik dengan waktu kontinu) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T merupakan suatu interval. (Ross, 2007) Definisi 2.3 (Inkremen bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t T} disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t 0 < t < t 2 <... < t n, peubah acak X(t ) X(t 0 ), X(t 2 ) X(t ), X(t 3 ) X(t 2 ),..., X(t n ) X(t n ), adalah saling bebas. (Ross, 2007) Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak saling tumpang tindih (tidak overlap) adalah saling bebas.

7 4 Definisi 2.4 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t T} disebut memiliki inkremen stasioner jika X(t+s) X(t) memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. (Ross, 2007) Dapat kita katakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X akan mempunyai inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang suatu interval itu hanya tergantung pada panjang interval tersebut dan tidak tergantung pada lokasi dimana interval tersebut terletak. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan real tak negatif, yaitu interval [0, ). Definisi 2.5 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik {N(t), t > 0} disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Dari definisi tersebut, maka proses pencacahan N(t) harus memenuhi syaratsyarat sebagai berikut (). N(t) 0 untuk setiap t [0, ). (2). Nilai N(t) adalah integer. (3). Jika s < t maka N(s) N(t), s, t [0, ). (4). Untuk s < t maka N(t) - N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval (s,t]. (Ross, 2007) Definisi 2.6 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan {N(t), t 0} disebut proses Poisson dengan laju λ, λ > 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut: (). N(0) = 0 (2). Proses tersebut mempunyai inkremen bebas. (3). Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan λt. Jadi

8 5! ; 0,, 2, (Ross, 2007) Dari syarat (3) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diketahui bahwa E(N(t)) = λt yang juga menjelaskan mengapa λ disebut laju dari proses Poisson tersebut. Definisi 2.7 (Proses Poisson homogen) Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju λ yang merupakan konstanta untuk setiap waktu t. Definisi 2.8 (Proses Poisson tak homogen) (Ross, 2007) Proses Poisson tak homogen adalah proses Poisson dengan laju λ pada sembarang waktu t yang merupakan suatu fungsi tak konstan dari waktu t yaitu λ(t). Definisi 2.9 (Fungsi intensitas) (Ross, 2007) Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {N(t), t 0} yaitu λ(t) disebut sebagai fungsi intensitas proses Poisson pada t. (Ross, 2007) Definisi 2.0 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas λ pada titik adalah λ(s), yaitu nilai λ di s. Definisi 2. (Fungsi intensitas global) Misalkan N([0,n]) adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global θ dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai: 0, lim jika limit di atas ada. (Mangku, 200)

9 6 Definisi 2.2 (Fungsi periodik) Suatu fungsi λ disebut periodik jika λ(s + kτ) = λ(s) untuk semua dan, dengan adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi intensitas λ tersebut. (Browder, 996) Definisi 2.3 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Mangku, 200) Definisi 2.4 (Fungsi terintegralkan lokal) Fungsi intensitas λ adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B diperoleh. Dudley, 989 Lema 2. (Teorema Deret Taylor) Deret Taylor dari fungsi f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a ) memiliki persamaan!! 2! Lema 2.2 (Teorema Limit Pusat) Misalkan adalah barisan peubah acak yang bebas dengan masing-masing memiliki nilai harapan dan ragam bernilai terhingga. Jika dan untuk suatu v>2,, untuk, maka adalah menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan dan ragam, dinotasikan

10 7 d =,. Bukti: dapat dilihat pada (Serfling, 980) 2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Kita mengenal dua jenis laju proses Poisson atau yang lebih kita kenal dengan fungsi intensitas suatu proses Poisson, yaitu fungsi intensitas global dan fungsi intensitas lokal. Fungsi intensitas global menyatakan rata-rata laju dari suatu proses poisson pada suatu selang yang panjangnya menuju tak hingga. Sedangkan yang dimaksud dengan fungsi intensitas lokal adalah laju proses Poisson di suatu titik tertentu misalkan titik s. Pendugaan fungsi intensitas dari suatu proses Poisson dilakukan dengan pendekatan fungsi intensitas lokal di sekitar titik s yaitu dengan menaksir ratarata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s. Secara matematis dapat kita tuliskan dengan suatu pengandaian sekitar titik s adalah h n 0 dan N([0,t]) menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu [0,t], sehingga intensitas lokal di sekitar s dapat dihampiri dengan 2,. Pendekatan untuk fungsi intensitas global dari proses Poisson digunakan hampiran dengan menaksir rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson dalam interval waktu [0,n]. Bentuk penulisan yang lebih matematis yang menyatakan hampiran intensitas global adalah 0,. Penduga fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu proses Poisson dengan periode yang diketahui dan periode yang tidak diketahui. Pada periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan dengan pendugaan fungsi intensitas dengan periode yang diketahui. Namun demikian, Helmers et al (2003) telah merumuskan pendekatan dengan tipe kernel yang dapat digunakan untuk menjelaskan sifat-sifat statistik dari penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik tersebut. Selanjutnya Helmers dan Mangku (2009) mengembangkan

11 8 pemodelan untuk fenomena proses Poisson periodik dengan menambahkan tren linear, dan kemudian proses Poisson dengan periode ganda pada fungsi intensitasnya telah dikaji pada Helmers et al (2007). Pada Mangku (2006) telah dikaji sifat normalitas asimtotik penduga tipe kernel untuk fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik yang periodenya diketahui. Kemudian sebaran asimtotik dari penduga turunan pertama dan kedua fungsi intensitas proses Poisson periodik dibahas oleh Arifin (2008). Sifat-sifat statistika orde kedua penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear telah dibahas oleh Marliana (2008). Selanjutnya dalam penelitian ini direview karakteristik dari penduga fungsi intensitas proses Poisson yang terdiri atas komponen periodik dan tren linear. Kemudian ditentukan sebaran normal asimtotik dari penduga tersebut, jika panjang interval pengamatannya menuju tak hingga. Untuk mengecek perilaku dari teori-teori yang dikaji untuk interval pengamatan yang terhingga, maka dilakukan simulasi komputer dengan menggunakan bahasa pemrograman R.

12 9 BAB III REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIKA PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR Pada bab ini direview perumusan dan sifat-sifat statistika penduga tipe kernel bagi komponen periodik fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren linear yang telah dikaji pada Mangku et al (2008). 3.. Review Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson periodik pada interval [0, ) dengan fungsi intensitas λ yang terintegralkan lokal. Sehingga untuk setiap himpunan Borel terbatas B maka berlaku E. Fungsi intensitas λ(s) diasumsikan mempunyai dua komponen, yaitu komponen periodik dengan periode τ > 0 dan komponen tren linear. Dengan demikian maka secara matematis, untuk setiap titik s [0, ), fungsi intensitas λ(s) dapat dituliskan sebagai, (3.) dengan λ c (s) adalah fungsi periodik dengan periode τ yang diketahui dan a menyatakan kemiringan dari tren linear tersebut. Karena λ c (s) adalah fungsi periodik maka untuk setiap s [0, ) dan, dengan adalah himpunan bilangan bulat, maka. 3.2 berlaku lim 2 Selanjutnya diasumsikan bahwa s adalah titik Lebesque dari λ, sehingga

13 0 Syarat cukup agar s merupakan titik Lebesque dari λ adalah fungsi λ kontinu di titik s. Karena λ c (s) adalah fungsi periodik dengan periode τ, maka untuk menduga λ c (s) pada titik s [0, ) cukup diduga λ c (s) di s [0,τ ). Misalkan fungsi : 0, merupakan suatu fungsi bernilai real yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: (K ) K merupakan fungsi kepekatan peluang, (K 2 ) K terbatas, (K 3 ) K memiliki daerah definisi [-,] (Hermers et al, 2003), yang selanjutnya disebut kernel. Misalkan juga bahwa h n adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu h n 0 (3.4) untuk n. Pada pembahasan ini, diasumsikan bahwa periode τ adalah diketahui (sebagai contoh periode dapat berupa periode per satu hari, periode per minggu, periode per bulan, periode per tahun, dan sebagainya) dan konstanta a serta fungsi λ c (s) pada interval [0,τ ) tidak diketahui. Dengan demikian pada tahap berikutnya dapat dirumuskan penduga bagi a dan λ c (s) berturut-turut sebagai berikut 20, 3.5 dan,, ln ln 3.6 Penduga a yaitu diperoleh dari E0, λ λ λ

14 λ 2. Jika kedua ruas dibagi dengan n 2, maka persamaan di atas menjadi 0, λ Bila kita perhatikan persamaan pada bagian kanan suku pertamanya dapat dituliskan kedalam bentuk yang selanjutnya dapat disimpulkan bahwa adalah rata-rata λ c (s) pada interval [0,n] yang berupa suatu konstanta. Dilain pihak, bentuk akan konvergen menuju nilai 0 jika n. Dengan demikian, maka bentuk akan konvergen ke 0 jika n, sehingga (dengan mengabaikan suku yang konvergen ke nol) berakibat bahwa persamaan (3.7) menjadi 0, 2 atau 20,. Dengan mengganti nilai harapan dengan padanan stokastiknya, maka diperoleh pada persamaan (3.5). Selanjutnya untuk mendapatkan penduga bagi λ c (s) seperti pada persamaan (3.6) dapat diawali dari persamaan (3.) dan (3.2) yaitu. 3.8 Misalkan 0, dengan adalah fungsi indikator, sehingga persamaan (3.8) dapat diubah menjadi 0, 0,

15 2 0, 0,,, 0,. Karena 0,, maka persamaan 3.9 dapat ditulis menjadi ,,,,,,,, Selanjutnya dengan mengganti EN([s+kτ h n, s+kτ+h n ] [0,n]) dengan padanan stokastiknya, yaitu: N([s+kτ h n, s+kτ+h n ] [0,n]), maka persamaan (3.0) dapat ditulis menjadi,, 0, Kemudian dengan nilai pendekatan ( ) bahwa ln jika n setara asimtotik dengan, maka dari persamaan (3.) diperoleh

16 3, ln, 0, 2 ln 3.2 yang selanjutnya dapat dipandang sebagai penduga bagi λ c (s) dengan periode τ > 0 yang diketahui serta dengan kemiringan dari tren linear a diketahui. Tetapi jika nilai a tidak diketahui, maka dapat diganti dengan, sehingga diperoleh, ln ln ln, 0, 2 2,, ln ln 2 ln dengan,. Selanjutnya agar penduga tersebut berlaku secara umum, maka digunakan fungsi kernel umum K sehingga didapat persamaan (3.6). 3.2 Review Sifat-sifat Statistika Penduga Lema 3. Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.) dan terintegralkan lokal, maka E dan

17 untuk, dengan menyatakan fungsi intensitas global dari komponen periodik λ. merupakan penduga konsisten bagi a. Hasil tersebut menyatakan bahwa Kemudian MSE-nya ditunjukkan oleh persamaan berikut ini untuk n. Bukti dari lema ini dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009). Teorema 3. (Aproksimasi Asimtotik bagi Nilai Harapan) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetris dan memenuhi sifat (K ), (K 2 ), (K 3 ), dan h n 0, λ c memiliki turunan kedua yang berhingga pada s, dan ln, 3.6 maka E,, untuk n. Bukti: E,, E ln ln ln E ln 3.8 Suku pertama pada ruas kanan persamaan (3.8) dapat ditulis menjadi

18 5 ln ln 0,. 3.9 Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.2), maka persamaan (3.9) dapat ditulis menjadi ln 0, ln 0, ln 0,. (3.20) Dengan mengganti variabel, maka suku pertama pada ruas kanan persamaan (3.20) dapat ditulis menjadi ln 0,. 3.2 Karena λ c mempunyai turunan kedua pada s, mengakibatkan λ c terbatas di sekitar s. Dengan menggunakan deret Taylor, yaitu! dan fakta bahwa 2! 0, ln 3.22 untuk n, maka persamaan (3.2) menjadi ln! 2! ln

19 6 ln.! 2! 3.23 Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada, maka. Karena kernel adalah simetris maka 0 serta ln ln. dengan asumsi (3.6)), sehingga persamaan (3.23) akan sama dengan 2, untuk n. Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (3.20) dapat ditulis menjadi sama dengan ln 0, ln 0, ln 0, ln 0, ln 0, ln 0, 3.24

20 7 Dengan menggunakan persamaan (3.22) dan fakta bahwa 0, untuk n, serta dengan merubah variabel, ruas kanan (3.24) dapat ditulis menjadi ln ln ln ln ln 3.25 jika n. Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada,, maka. Karena kernel adalah simetris, maka 0, dengan demikian berarti suku pertama pada persamaan (3.25) sama dengan nol. Suku kedua persamaan (3.25) menjadi sama dengan: ln ln, jika n, karena ln. Sedangkan suku ketiga persamaan (3.25) menjadi sama dengan

21 8 ln ln ln ln ln, untuk n, karena asumsi ln. Sehingga suku kedua pada ruas kanan persamaan 3.20 adalah ln dan jika digabungkan hasil dari suku pertama dan suku kedua dari persamaan (3.20), persamaan (3.9) akan sama dengan 2 ln, 3.26 untuk n. Kemudian untuk menyelesaikan suku kedua pada ruas kanan dari persamaan (3.8) dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan (3.3) pada Lema 3. sehingga diperoleh: ln E ln 2 ln 2 2 ln ln. untuk n, nilai konvergen ke nol dan asumsi (3.6), maka ln E ln Dengan mensubstitusi persamaan (3.26) dan (3.27) ke persamaan (3.8) maka akan diperoleh persamaan (3.7) sehingga terbuktilah Teorema 3..

22 9 Teorema 3.2 (Aproksimasi Asimtotik bagi Varian) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi sifat (K ), (K 2 ), dan (K 3 ), h n 0, h n lnn, untuk n, maka,, ln ln untuk n, asalkan λ c terbatas di sekitar s. Bukti: Ingat kembali bahwa,, ln ln serta dimisalkan ln dan ln Untuk menentukan varian,, kita gunakan persamaan,, 2, Dari asumsi persamaan (3.4), untuk n yang cukup besar, interval, dan, tidak overlap untuk semua k j. Hal ini berimplikasi bahwa untuk semua k j, berlaku dan saling bebas. Oleh karena itu, varian suku pertama pada ruas kanan persamaan (3.29) dapat dinyatakan sebagai berikut

23 20 ln. Karena N adalah peubah acak Poisson, maka variannya sama dengan nilai harapannya, sehingga persamaan di atas sama dengan ln ln E Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.2), maka persamaan (3.30) dapat ditulis menjadi ln 0, ln 0, ln ln 0, 0,. (3. 3) Perhatikan bahwa 0, Karena λ c terbatas di sekitar s dan dengan menggunakan persamaan (3.32), maka suku pertama pada ruas kanan persamaan (3.3) sama dengan

24 2 ln ln untuk. Nilai dari ln untuk sehingga suku pertama persamaan 3.3 sama dengan untuk. ln Suku kedua dari ruas kanan persamaan (3.3) dapat ditulis sebagai berikut ln ln 0, 0, ln 0, Dengan menggunakan persamaan (3.32), suku pertama pada ruas kanan persamaan (3.33) menjadi ln ln ln, 3.34 untuk n. Dengan menggunakan persamaan (3.22), suku kedua pada ruas kanan persamaan (3.33) menjadi ln ln ln ln

25 22 ln ln ln ln 3.35 untuk n. Dengan menggabungkan persamaan (3.34) dan (3.35), suku pertama pada persamaan (3.29) menjadi ln ln untuk Dengan menggunakan persamaan (3.4) pada Lema 3.3, suku kedua pada persamaan (3.29) dapat ditulis menjadi ln ln ln 2 ln ln 4 ln ln ln 2 ln ln 3.37 untuk n.

26 23 Kita perhatikan bahwa suku pertama dan kedua pada ruas kanan persamaan 3.37 sama dengan untuk. ln Dengan menggunakan persamaan Cauchy-Schwarz, suku ketiga dari persamaan (3.29) adalah 2, ln ln ln ln ln ln ln ln ln 3.38 untuk n. Dengan menggabungkan persamaan (3.36), (3.37), dan (3.38) diperoleh,, ln ln untuk. Dengan demikian maka Teorema 3.2 terbukti. Teorema 3.3 (Aproksimasi Asimtotik bagi MSE) 3.39 Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.) dan terintegralkan lokal. Jika K adalah kernel simetrik dan memenuhi sifat (K ), (K 2 ), dan (K 3 ), h n 0, 2 h n ln(n), untuk n, λ c memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka,, 2 ln ln 3.40

27 24 untuk n. Bukti:,,,,,,. 3.4 Dengan menggunakan Teorema 3.2 diperoleh,, 2 dan,, ln ln sehingga persamaan (3.4) dapat ditulis menjadi,, 2 2 ln ln. ln ln 3.42 untuk n. Karena λ c memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka, akibatnya suku kedua pada persamaan (3.42) menjadi o(h n 4 ), jika n. Sehingga diperoleh persamaan (3.40), dengan demikian maka Teorema 3.3 terbukti.

28 25 BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES PIOSSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR Pada bab terdahulu telah direview sifat-sifat statistika dari penduga komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear. Selanjutnya dengan melakukan kajian lebih mendalam tentang sebaran normalitas asimtotik dari penduga komponen periodik, menghasilkan beberapa teorema baru dengan beberapa lema. Adapun teorema-teorema tersebut selengkapnya dapat dinyatakan dan dibuktikan dalam sub-bab berikut. 4. Teorema 4. (Normalitas asimtotik untuk,, dengan ln 0 ) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K simetris dan memenuhi sifat (K ), (K 2 ) dan (K 3 ) serta 0, ln, dan ln 0, maka ln,, 0, untuk. Bukti: Misalkan,, ln 2 4. ln 4.2 yaitu persamaan (3.6) untuk kasus a diketahui. Maka ruas kiri pernyataan (4.) dapat ditulis menjadi

29 26 ln,,,, ln,,. 4.3 Sehingga, untuk membuktikan Teorema 4. cukup dibuktikan bahwa ln,,,, dan ln,, 0,, 4.5 jika. Pernyataan (4.4) dibuktikan pada Lema 4. dan pernyataan (4.5) dibuktikan pada Lema 4.2. Lema 4. Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K simetris dan memenuhi sifat (K ), (K 2 ), dan (K 3 ), serta 0 dan ln, maka ln,,,, jika. Bukti: Dengan menggunakan persamaan (3.6) dan (4.2) yang disubstitusikan ke pernyataan (4.6), maka ruas kiri pernyataan (4.6) dapat dituliskan menjadi ln ln ln ln ln ln ln. 4.7 Ruas kanan persamaan (4.7) dapat ditulis sebagai

30 27 ln ln E ln ln. Maka untuk membuktikan pernyataan (4.6) cukup dibuktikan ln ln E dan ln ln E jika. Untuk membuktikan pernyataan (4.8) digunakan konsep pertidaksamaan Chebyshev dan sifat-sifat statistika penduga komponen tren linear pada persamaan (3.4). Untuk membuktikan pernyataan (4.8) harus dibuktikan, untuk setiap 0, berlaku ln ln E untuk. Peluang pada ruas kiri (4.0) dapat ditulis sebagai berikut E ln ln ln ln ln ln ln ln

31 28 ln ln 4. untuk. Dengan didapatkannya (4.) maka pernyataan (4.8) telah terbukti. Selanjutnya untuk membuktikan pernyataan (4.9) digunakan sifat-sifat statistika penduga komponen tren linear, yaitu E, jika. Maka ruas kiri pernyataan (4.9) dapat ditulis sebagai ln ln 2 ln ln ln ln ln untuk. Dengan demikian maka pernyataan (4.9) terbukti. Karena pernyataan (4.8) dan (4.9) telah terbukti, dengan demikian maka Lema 4. juga terbukti. Lema 4.2 Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K simetris dan memenuhi sifat (K ), (K 2 ) dan (K 3 ) serta 0, ln, dan ln 0, maka ln,, 0, 4.2 jika.

32 29 Bukti: Ruas kiri pernyataan (4.2) dapat ditulis menjadi ln,,,, ln,,. Untuk membuktikan (4.2) cukup dibuktikan ln,,,, 0, dan 4.3 ln,, 0, 4.4 jika. Untuk membuktikan pernyataan (4.3), ruas kiri pernyataan tersebut ditulis menjadi ln,,,,,,,, Maka untuk membuktikan (4.3) cukup dibuktikan. 4.5,,,,,, 0, 4.6 dan ln,, untuk. 4.7 Pernyataan (4.6) dapat dibuktikan dengan menerapkan Teorema Limit Pusat (Central Limit Teorem) untuk rata-rata peubah acak bebas yang tidak identik (lihat Lema 2.2) yang langkahnya diawali dari penggunaan persamaan (4.2) untuk menentukan peubah acak X k. Perhatikan bahwa, maka persamaan 4.2 dapat ditulis menjadi

33 30,, ln 2 ln ln 2 ln 2 ln. 4.8 Dari persamaan (4.8) didefinisikan peubah acak sebagai 2 ln. 4.9 Nilai harapan dari peubah acak, yaitu E adalah E E 2 ln E 2 ln 2 ln. Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.2), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi 2 ln

34 3 2 ln Karena λ c mempunyai turunan kedua pada s, berarti λ c terbatas di sekitar s. Selanjutnya dengan mengganti variabel dan menerapkan deret Taylor, maka suku pertama pada ruas kanan persamaan (4.20) dapat ditulis menjadi untuk, sebab K(x) adalah fungsi kepekatan peluang. Selanjutnya dengan mengingat 4.2 dan merubah variable, maka suku kedua dan ketiga persamaan (4.20) dapat dituliskan menjadi 2 ln 4.22 untuk. Kemudian dengan menjumlahkan persamaan (4.2) dengan (4.22) maka didapatkan E 4.23 untuk. Selanjutnya ditentukan nilai varian dari peubah acak, yaitu 2 ln. Karena N adalah proses Poisson, maka nilai variannya sama dengan nilai harapannya, sehingga persamaan di atas dapat dituliskan menjadi

35 32. Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.2), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi Karena λ c mempunyai turunan kedua pada s, berarti λ c terbatas di sekitar s. Selanjutnya dengan mengganti variabel dan menerapkan deret Taylor, maka suku pertama pada ruas kanan persamaan (4.24) dapat ditulis menjadi! 2! 2 untuk., Dengan menggunakan sifat-sifat kernel umum, maka persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi 2, 4.25 untuk.

36 33 Selanjutnya dengan merubah variabel, maka suku kedua persamaan (4.24) dapat ditulis menjadi. Dengan menggunakan sifat-sifat kernel umum, maka suku pertama ruas kanan persamaan di atas sama dengan nol dan suku keduanya dapat ditulis menjadi Kemudian dengan menjumlahkan persamaan (4.25) dengan (4.26) maka didapatkan 2 untuk Kemudian dimisalkan, maka

37 Diketahui bahwa untuk, maka nilai dari ln serta. Maka ruas kanan persamaan (4.28) dapat dituliskan menjadi ln ln ln, untuk Selanjutnya ditentukan nilai E E,yaitu E E E

38 Karena N menyebar Poisson dengan sifat 3 Bukti dapat di lihat pada Lampiran 4, maka persamaan (4.32) dapat ditulis 3 0, 3 0,. Dengan mengganti variabel menggunakan persamaan (3.2) maka persamaan di atas dapat ditulis 0, 3 0,. Karena dan persamaan (4.33) dapat diubah menjadi 4.33 maka 0, 0,

39 36 3 0, 3 0, 6 0,. Dengan menggunakan sifat sifat kernel umum serta fakta, maka persamaan di atas akan sama dengan E E untuk. Persamaan (4.34) dapat dinyatakan sebagai 4.34 ln 2 ln 4.35 untuk. Dari hasil uraian di atas terlihat bahwa syarat berlakunya teorema limit pusat telah terpenuhi, dengan demikian maka dapat disimpulkan bahwa merupakan barisan peubah acak yang menyebar normal baku dengan nilai harapan dan nilai variannya terhingga serta tidak nol untuk sembarang nilai k. Selanjutnya dapat diperlihatkan bahwa penduga,, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari peubah acak bebas yang dikalikan dengan suatu konstanta, yaitu 2 ln

40 37 2 ln 2 ln 2 ln ln 2 ln. Dengan melihat kembali persamaan (4.2) maka persamaan diatas dapat diubah menjadi,, 2 ln Dari persamaan (4.36) terlihat bahwa penduga komponen periodik,, merupakan hasil jumlah dari peubah acak yang dikalikan dengan suatu konstanta, berarti penduga tersebut juga menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan E,, dan nilai variannya,,, dengan demikian maka pernyataan (4.6) terbukti. Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 3.2 dan persamaan (3.7), tinggal dibuktikan pernyataan (4.7 konvergen ke ruas kanan yang ruas kiri pernyataannya dapat ditulis sebagai ln,, ln ln ln.

41 Dengan menggabungkan kesimpulan dari pembuktian pernyataan (4.6) dengan pernyataan (4.7 maka pernyataan (4.3) terbukti. Selanjutnya untuk membuktikan ruas kiri pernyataan (4.4) konvergen ke ruas kanan, dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan (3.7) sehingga ruas kiri pernyataan (4.4) dapat ditulis sebagai ln,, ln 2 ln 2. Karena ln 0, maka persamaan di atas menjadi ln,, untuk. Sehingga dapat disimpulkan bahwa pernyataan (4.4) telah terbukti. Dengan telah dibuktikannya pernyataan (4.3) dan (4.4), maka Lema 4.2 terbukti. 4.2 Teorema 4.2 (Normalitas asimtotik untuk,, dengan ln ) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K simetris dan memenuhi sifat (K ), (K 2 ) dan (K 3 ) serta 0, mempunyai turunan kedua, ln, dan ln, maka ln,,, untuk, dengan

42 39 Bukti: Untuk membuktikan Teorema 4.2 dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti pembuktian Teorema 4. tetapi beberapa pernyataan seperti pernyataan (4.2) dan (4.4) dapat diubah menjadi ln,,, dan 4.39 ln,,, 4.40 untuk dengan 2. Dengan menggunakan asumsi ln, sehingga ruas kiri pernyataan (4.40) dapat ditulis sebagai ln,, ln 2 ln 2 ln 2. Karena ln, maka untuk ruas kanan persamaan di atas menjadi 2. Dengan demikian pernyataan (4.40) terbukti sehingga Teorema 4.2 juga terbukti.

43 40 BAB V SIMULASI KENORMALAN ASIMTOTIK Pada bab ini dilakukan simulasi dengan beberapa kasus yang berbeda untuk memeriksa perilaku penduga yang dikaji dalam selang terbatas [0,n]. Simulasi secara komputasi dilakukan dengan menggunakan bahasa pemrograman R untuk membangkitkan realisasai proses Poisson periodik (program terlampir), dengan ukuran sampel yang terbatas. Pada simulasi ini digunakan fungsi intensitas berikut exp dengan exp merupakan komponen periodik dan komponen tren linearnya adalah. Parameter-parameter pada fungsi intensitas di atas dipilih untuk 2,, 5 dan 0, 0, serta a adalah kemiringan tren linear yang didefinisikan pada persamaan (3.5). Dengan demikian maka fungsi intensitas pada persamaan (5.) untuk 5 dan 0, menjadi 2exp dan 2exp Sebagai ilustrasi berikut ini ditampilkan grafik fungsi intensitas pada persamaan (5.2) dengan kemiringan tren linear 0,2. Gambar. Contoh grafik fungsi intensitas periodik dengan periode τ = 5 dan kemiringan tren linear 0.2

44 4 Grafik fungsi intensitas pada Gambar mencapai nilai maksimum lokal pada titik s =,25 + 5k dan mencapai nilai minimum lokal pada titik s = 3,75 + 5k, dengan k = 0,, 2,. Simulasi ini bertujuan untuk memverifikasi kenormalan asimtotik dari penduga komponen periodik fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik dengan tren linear menggunakan metode Monte Carlo untuk membangkitkan realisasi dari proses Poisson. Pembangkitan realisasi dari proses Poisson dipilih untuk interval pengamatan [0,500] dan [0,000]. Penduga komponen periodik fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik dengan tren linear yang digunakan adalah penduga seperti yang telah didefinisikan pada persamaan (3.6) tetapi menggunakan kernel seragam, sehingga menjadi seperti pada persamaan (3.2) dan untuk kemiringan tren linear a-nya digunakan penduga yang didefinisikan pada persamaan (3.5). Berikut dapat dilihat grafik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear dan nilai dugaannya dengan menggunakan realisasi pada interval pengamatan [0,500] dan [0,000]. Gambar 2. Grafik fungsi intensitas proses Poison periodik dengan kemiringan tren linear a = 0,02 dan nilai dugaannya menggunakan data yang diamati pada interval [0,500].

45 42 Gambar 3. Grafik fungsi intensitas proses Poison periodik dengan kemiringan tren linear a = 0,0 dan nilai dugaannya menggunakan data yang diamati pada interval [0,000]. 5.. Simulasi Kenormalan Asimtotik bagi,, Pendugaan fungsi intensitas pada simulasi ini menggunakan 3 titik sampel yaitu, 4 mewakili yang kecil, 5 mewakili yang sedang, dan 6 mewakili yang besar dengan periode 5. Begitu pula untuk periode 0 digunakan 3 titik sampel, yaitu 8 mewakili yang kecil, 0 mewakili yang sedang, dan 2 mewakili yang besar. Misalkan kernel K mempunyai fungsi kepekatan peluang yang didefinisikan sebagai berikut:, dengan, sehingga didapatkan ; 2 ; serta 3. Dengan demikian maka aproksimasi asimtotik untuk nilai harapan dan nilai varian pada Teorema dan Teorema 2 dapat dituliskan berturut-turut menjadi E,, dan

46 43,, 2 ln ln 5.6 untuk. Selanjutnya menurut definisi pada persamaan (5.2) dan (5.3) didapatkan turunan kedua fungsi intensitasnya berturut-turut adalah 0,32 cos 2 5 sin 2 5 exp sin dan 0,08 cos 5 sin 5 expsin Bandwidth optimum ditentukan dengan rumus 9 2 ln 5.9 (Helmers dan Mangku, 2009) dan simulasi sebanyak 500 kali untuk tiap kasusnya. Hasil simulasinya adalah sebagai berikut a. Untuk 5 dengan i. 4 mewakili yang kecil 0, 0, Bandwith = 0.57 Kenormalan asimtotik dari penduga dapat dilihat pada Gambar 4 berikut ini. Gambar 4. Grafik normalitas asimtotik 500 penduga dengan realisasi pada interval [0,500], titik s =4, bandwith = 0.57, dan 5

47 44 ii. 4 mewakili yang kecil 0, 0, Bandwith = 0.48 Kenormalan asimtotik dari penduga dapat dilihat pada Gambar 5 berikut ini. Gambar 5. Grafik normalitas asimtotik 500 penduga dengan realisasi pada interval [0,000], titik s = 4, bandwith = 0.48, dan 5 iii. 5 mewakili yang sedang 0, 0, Bandwith = 0.40 Kenormalan asimtotik dari penduga dapat dilihat pada Gambar 6 berikut ini. Gambar 6. Grafik normalitas asimtotik 500 penduga dengan realisasi pada interval [0,500], titik s =5, bandwith = 0.40, dan 5

48 45 iv. 5 mewakili yang sedang 0, 0, Bandwith = 0.34 Kenormalan asimtotik dari penduga dapat dilihat pada Gambar 7 berikut ini. Gambar 7. Grafik normalitas asimtotik 500 penduga dengan realisasi pada interval [0,000], titik s = 5, bandwith = 0.34, dan 5 v. 6 mewakili yang besar 0, 0, Bandwith = 0.29 Kenormalan asimtotik dari penduga dapat dilihat pada Gambar 8 berikut ini. Gambar 8. Grafik normalitas asimtotik 500 penduga dengan realisasi pada interval [0,500], titik s = 6, bandwith = 0.29, dan 5

49 46 vi. 6 mewakili yang besar 0, 0, Bandwith = 0.24 Kenormalan asimtotik dari penduga dapat dilihat pada Gambar 9 berikut ini. Gambar 9. Grafik normalitas asimtotik 500 penduga dengan realisasi pada interval [0,000], titik s = 6, bandwith = 0.24, dan 5 b. Untuk 0 dengan i. 8 mewakili yang kecil 0, 0, Bandwith =.8 Kenormalan asimtotik dari penduga dapat dilihat pada Gambar 0 berikut ini. Gambar 0. Grafik normalitas asimtotik 500 penduga dengan realisasi pada interval [0,500], titik s = 8, bandwith =.8, dan 0

50 47 ii. 8 mewakili yang kecil 0, 0, Bandwith = 0.99 Kenormalan asimtotik dari penduga dapat dilihat pada Gambar berikut ini. Gambar. Grafik normalitas asimtotik 500 penduga dengan realisasi pada interval [0,000], titik s = 8, bandwith = 0.99, dan 0 iii. 0 mewakili yang sedang 0, 0, Bandwith = 0.82 Kenormalan asimtotik dari penduga dapat dilihat pada Gambar 2 berikut ini. Gambar 2. Grafik normalitas asimtotik 500 penduga dengan realisasi pada interval [0,500], titik s =0, bandwith = 0.82, dan 0

51 48 iv. 0 mewakili yang sedang 0, 0, Bandwith = 0.69 Kenormalan asimtotik dari penduga dapat dilihat pada Gambar 3 berikut ini. Gambar 3. Grafik normalitas asimtotik 500 penduga dengan realisasi pada interval [0,000], titik s = 0, bandwith = 0.69, dan 0 v. 2 mewakili yang besar 0, 0, Bandwith = 0.60 Kenormalan asimtotik dari penduga dapat dilihat pada Gambar 4 berikut ini. Gambar 4. Grafik normalitas asimtotik 500 penduga dengan realisasi pada interval [0,500], titik s = 2, bandwith = 0.60, dan 0

52 49 vi. 2 mewakili yang besar 0, 0, Bandwith = 0.50 Kenormalan asimtotik dari penduga dapat dilihat pada Gambar 5 berikut ini. Gambar 5. Grafik normalitas asimtotik 500 penduga dengan realisasi pada interval [0,000], titik s = 2, bandwith = 0.50, dan Pembahasan Hasil Simulasi Dari keseluruhan hasil simulasi dapat disimpulkan bahwa penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik layak digunakan jika interval pengamatan [0,n] cukup panjang atau nilai n cukup besar. Semakin besar nilai n, maka akan semakin baik pula pendugaannya. Hal ini dapat dilihat dari grafik pada Gambar 2 dan 3 yang membandingkan antara panjang interval [0,500] dengan [0,000]. Pada grafik normalitas pada Gambar 4 hingga Gambar 5 dengan interval pengamatan [0,500] dan [0,000] masih sangat sulit untuk diamati polanya, tetapi dapat diamati dengan seksama bahwa pada interval yang semakin mendekati pusat titik 0 baik dari kiri maupun kanan, realisasi proses Poisson sedah relatif dekat dengan garis normal (normality line). Selain kesimpulan di atas, ada beberapa pola pergerakan nilai-nilai komponen dalam simulasi ini, diantaranya adalah nilai bandwith yang mempunyai pola bahwa semakin besar interval pengamatan maka nilai bandwith justru

53 50 menjadi semakin kecil, tetapi jika periode diperbesar maka nilai bandwith akan membesar juga. Kemudian untuk selisih nilai harapan maupun varian pada aproksimasi asimtotik dengan hasil simulasi mempunyai kecenderungan pola pergerakan yang sama, yaitu pada titik-titik yang mewakili rendah, sedang, maupun tinggi mempunyai nilai selisih yang relatif senilai.

54 5 BAB VI KESIMPULAN Misalkan N adalah proses Poisson periodik pada interval [0, ) dengan fungsi intensitas λ(s) yang terintegralkan lokal. Jika fungsi intensitas λ(s) diasumsikan terdiri dari dua komponen, yaitu komponen periodik dengan periode dan komponen tren linear yaitu as, yang secara matematis dapat dituliskan sebagai, maka penduga tipe kernel untuk komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dapat dirumuskan sebagai,, ln ln dengan penduga kemiringan tren linear, dirumuskan sebagai 20,. Berdasarkan hasil kajian sifat-sifat statistika dan kenormalan asimtotik dari penduga komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear dan jika beberapa asumsi dipenuhi, maka dapat disimpulkan beberapa hal berikut.. Aproksimasi nilai harapan bagi penduga komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear dapat dinyatakan sebagai E,, 2 untuk n. 2. Aproksimasi nilai varian bagi penduga komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear dapat dinyatakan sebagai,, ln ln

55 52 untuk n. 3. Untuk n, kenormalan asimtotik bagi,, adalah ln,, 0, jika ln 0, dan ln,,, jika ln dengan Hasil simulasi kenormalan asimtotik menunjukkan bahwa untuk panjang interval pengamatan 500 dan 000, sebaran penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik sudah relatif dekat ke sebaran normal.

56 53 DAFTAR PUSTAKA Arifin Z Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Kedua dari Fungsi Intensitas suatu Proses Poisson Periodik (Tesis). Bogor: Institut Pertanian Bogor. Browder A Mathematical Analysis: An Introduction. New York: Purdue University. Springer. Cassella G. Berger R.L Statistical Inference. Ed. Ke-2. California: Wadsworth & Brooks/Cole, Pacific Grove. DasGupta Asymptotic Theory of Statistics and Probablity. Springer. New York. Dudley RM Real Analisis and Probability. California: Wadsworth & Brooks. Ghahramani, S Fumdamentals of Probability with Stochastic Process. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River. Grimmett, G.R. and Stirzaker, D.R Probability and Random Process. Ed. Ke-2, Oxford: Clarendon Press. Helmers R. Mangku IW Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Annals institute of statistical mathematics. 6(3): Helmers R, Mangku IW, Zitikis R Consitent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of multivariate analysis. 84: Helmers R, Mangku IW, Zitikis R Statistical properties of a kernel-type estimator of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of multivariate analysis. 92: -23. Helmers R, Mangku IW, Zitikis R A non-parametric estimator for the double-periodic Poisson intensity function. Statistical methodology. 4: Hogg RV, Craig AT, Mc Kean JW. 2005, Introduction to Mathematical Statistic. Ed. Ke-5. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River. Mangku IW Estimating The Intensity of A Cyclic Poisson Process (Ph.D. Thesis). University of Amsterdam. Mangku IW Asymptotic normality of kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of mathematics and Its applications. Vol.5, No.2: Mangku IW, Siswadi, Budiarti R Statistical properties of a kernel type estimator of the intensity of a cyclic Poisson Process with linear trend. Submited for publication.

57 54 Marliana, N Sifat-safat Statistik Orde-2 Penduga Tipe Kernel bagi Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear (Tesis). Bogor: Institut Pertanian Bogor. Purcell EJ, Varberg D Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid 2. Ed. Ke-5. Jakarta: Erlangga. Ross SM Intrduction to Probability Models. Ed-9. Florida: Academic Press Inc. Orlando. Serfling, R.J Approximation Theorems of Mathematical Statustucs New York: John Wiley & Sons. Wheeden RL, Zigmund A Measure and Integral : An Introduction to Real Analysis. New York: Marcel Dekker, Inc.

58 LAMPIRAN 55

59 56 LAMPIRAN Lampiran. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Berbagai macam kejadian diperoleh melalui pengamatan dari serangkaian percobaan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Dalam banyak kasus, hasil percobaan tersebut bergantung pada faktor kebetulan dan tidak dapat diprediksi dengan tepat. Tetapi, kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil untuk setiap percobaan. Definisi A. (Ruang contoh) Himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan dengan Ω. (Grimmett dan Stirzaker, 200) Definisi A.2 (Kejadian) Kajadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmett dan Stirzaker, 200) Definisi A.3 (Medan-σ) Medan-σ adalah himpunan yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari Ω yang memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: a) b jika,,, maka c) jika. Medan-σ terkecil mengandung semua selang berbentuk,,, disebut medan Borel, dan anggotanya disebut himpunan Borel. (Grimmett dan Stirzaker, 200)

60 57 Definisi A.4 (Ukuran Peluang) Ukuran peluang P pada Ω, adalah suatu fungsi : 0, yang memenuhi a) 0, dan Ω. b Jika,,, adalah himpunan angota anggota yang saling lepas yaitu untuk semua pasangan, dengan maka:. Definisi A.5 (Kejadian saling bebas) Kejadian-kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika: Secara umum, himpunan kejadian ; dikatakan saling bebas jika: untuk semua himpunan bagian terhingga J dari I. (Grimmett dan Stirzaker, 200) Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi A.6 (Peubah acak) Peubah acak adalah suatu fungsi : Ω dengan sifat bahwa Ω untuk setiap. (Grimmett dan Stirzaker, 200) Peubah acak dinotasikan dengan huruf capital seperti X, Y, dan Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, dan z. Setiap peubah acak mempunyai sebaran, sebagaimana didefinisikan berikut ini. Definisi A.7 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah fungsi 0, diberikan oleh. (Grimmett dan Stirzaker, 200)

61 58 Definisi A.8 (Peubah acak diskrit) Peubah acak X disebut diskrit jika nilainya hanya pada himpunan bagian tercacah,, dari. (Grimmett dan Stirzaker, 200) Definisi A.9 (Fungsi kepekatan peluang) Fungsi kepekatan peluang dari peubah acak diskrit X adalah fungsi : 0, yang diberikan oleh:. (Grimmett dan Stirzaker, 200) Definisi A.0 (Peubah acak Poisson) Jika suatu peubah acak X nilai-nilainya dalam himpunan {0,,2, } dengan fungsi kepekatan peluang!, untuk 0,,2, dengan 0, maka X dikatakan memiliki sebaran Poisson dengan parameter. (Grimmett dan Stirzaker, 200) Nilai Harapan, Ragam, Momen Definisi A. (Nilai harapan, momen, ragam) Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan fungsi kepekatan peluang p(x). Nilai harapan dari peubah acak X adalah. Moment ke-k, dengan k merupakan bilangan bulat positif, dari suatu peubah acak X adalah. Misalkan momen ke-,. Maka momen pusat ke-k atau dari peubah acak X adalah.

62 59 Nilai harapan dari peubah acak X merupakan momen pertama dari X, sedangkan ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X. Ragam (Varian) dari X, dan dilambangkan dengan atau adalah nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya, yaitu. (Hogg et al, 2005) Penduga dan Sifat-sifatnya Definisi A.2 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak bergantung pada satu atau beberapa parameter. (Hogg et al, 2005) Definisi A.3 (Penduga) Misalkan,,, adalah contoh acak. Suatu statistik,,, yang digunakan untuk menduga fungsi parameter dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi, yang dinotasikan sebagai. Nilai,,, dari U dengan nilai pengamatan,, disebut sebagai dugaan (estimate) bagi. Definisi A.4 (Penduga tak bias) (Hogg et al, 2005) a) Suatu statistik yang nilai harapannya sama dengan parameter, dituliskan, disebut penduga tak bias bagi. Selainnya statistik dikatakan berbias. b) Jika lim, maka penduga disebut penduga tak bias asimtotik. (Hogg et al, 2005)

63 60 Definisi A.5 (Penduga konsisten) Suatu statistik yang konvergen dalam peluang ke suatu parameter, disebut penduga konsisten bagi. Definisi A.6 (MSE suatu penduga) (Hogg et al, 2005) Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga W untuk parameter adalah fungsi dari yang didefinisikan oleh. Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga W dan parameter. Dari sini diperoleh:. Definisi A.7 (O(.)) (Cassella dan Berger, 2002) Simbol O(.) dibaca big-o-h, ini merupakan suatu cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi dan dengan x menuju suatu limit L. Notasi, Menyatakan bahwa terbatas, untuk. (Serfling, 980) Definisi A.8 (o(h)) Suatu fungsi f disebut o(h), 0, jika lim 0. Hal ini berarti bahwa 0 lebih cepat daripada 0. (Ross, 2007) Dengan menggunakan definisi 3 dan 32 maka didapatkan hal-hal sebagai berikut: a) Suatu barisan bilangan nyata {a n } disebut terbatas dan ditulis untuk, jika ada bilangan terhingga A dan B sehingga untuk semua bilangan asli n. b) Suatu barisan yang konvergen ke nol untuk, dapat dituliskan, untuk. (Purcell and Varberg, 998)

64 6 62Definisi A.9 (Fungsi indikator) Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi Ω 0,, yang diberikan oleh, jika ω 0, jika ω. (Grimmett and Stirzaker, 200) Definisi A.20 (Konvergen dalam peluang) Misalkan,,, adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang Ω,,. Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan, jika untuk setiap 0 berlaku: 0, untuk. (Grimmett dan Stirzaker, 200) Definisi A.2 (Konvergen dalam sebaran) Misalkan,,, adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang Ω,,. Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam sebaran ke X, dinotasikan, jika untuk setiap x pada fungsi yang kontinu berlaku, untuk. Definisi A.22 (Titik Lebesque) Suatu titik s dikatakan titik Lebesgue dari fungsi jika (Grimmett dan Stirzaker, 200) lim 0. 2 (Wheeden and Zygmund, 977)

65 62 Lema A. (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan g memiliki turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x. Maka,! untuk. Bukti: Lihat Serfling (980) Lema A.2 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan dari ragam, maka untuk setiap k > 0, berlaku:. (Ross, 2007) Bukti: Lihat Lampiran 2. Lema A.3 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika X dan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas maka dan akan bernilai sama dengan jika dan hanya jika 0 atau untuk suatu konstanta a. Bukti: Lihat lampiran 3 Lema A.4 (Momen dan momen pusat peubah acak Poisson) Jika X adalah peubah acak Poisson dengan parameter μ, maka i.. (A.) ii.. (A.2) iii. 3. (A.3) iv (A.4) v. 3. (A.5) (Grimmet dan Stirzaker, 200) Bukti: Lihat lampiran 4.

66 63 Lampiran 2. Lema A.2 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan dari ragam, maka untuk setiap k > 0, berlaku:. Bukti: Karena adalah peubah acak tak negatif, maka dapat digunakan pertidaksamaan Markov di atas, dengan a = k, sehingga diperoleh dan akhirnya dipeoleh. Jadi Lema A.2 terbukti.