NEUTROSOFIK LIMIT DAN PENGHITUNGANNYA

Transkripsi

1 NEUTROSOFIK LIMIT DAN PENGHITUNGANNYA Suryoto Departemen Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 575 Abstract. Neutrosophic it means the it of a neutrosophic function. This article discusses the neutrosophic it and the algebraic aspects related, including neutrosophic function, neutrosophic mereo-it, neutrosophic it and it s calculation. The rules and the calculation method of neutrosophic it similar to the rules and the method for calculating the classical it, only the role of independent variables in the classical it is taken over by a closed interval which is a subset of the set of real numbers. Keywords : neutrosophic function, neutrosophic mereo-it, neutrosophic it.. PENDAHULUAN Neutrosofik it adalah perluasan dari it klasik, it ini merupakan it dari neutrosofik fungsi. Neutrosifik it ini telah diperkenalkan oleh Smarandache [] pada tahun 5. Jadi konsep it ini relatif masih baru dalam khasanah ilmu matematika, khususnya di bidang kalkulus. Untuk membahas neutrosofik it, perlu diperkenalkan suatu unsur neutrosofik yang dinamakan indeterminasi yang dapat diartikan sebagai suatu ketidak-pastian. Pada [], [3], dan [4] telah diperkenalkan unsur neutrosofik sebagai suatu unsur yang bersifat idempoten terhadap operasi perkalian dan dikenal dengan istilah indeterminate atau indeterminasi. Unsur ini memegang peranan penting dalam pembahasan yang berkaitan dengan konsep ke-neutrosofik-an secara umum. Pada makalah ini unsur neutrosofik sebagai suatu indeterminasi dinotasikan dengan. Pada makalah ini dibahas tentang neutrosofik it dan aspek aljabar yang terkait, terutama yang berkaitan dengan definisi dasar neutrosofik it, analasis it dengan definisi dan penghitungan neutrosofik itnya.. HASIL DAN PEMBAHASAN..Neutrosofik Fungsi Sebagai awal pembahasan berikut ini diberikan pengertian neutrosofik fungsi. Namun sebelumnya diberikan lebih dahulu beberapa definisi dasar sebagai berikut Definisi.[] Suatu neutrosofik relasi himpunan bagian antara dua himpunan dan adalah himpunan semua pasangan terurut,, dengan himpunan bagian dari dan himpunan bagian dari, dengan suatu indeterminate Di dalam suatu neutrosofik relasi selain memuat pasangan terurut, dengan derajat keanggotaan, ada kemungkinan juga memuat pasangan terurut,, dengan himpunan bagian dari dan himpunan bagian dari, yang mungkin menjadi anggota tetapi tidak diketahui berapa derajat keanggotaannya atau menjadi anggota tidak sepenuhnya dengan nilai neutrosofik,,, dimana < adalah derajat keanggotaan di dalam, menyatakan derajat keanggotaan dari indeterminate, dan menyatakan bukan anggota dari. Contoh. Diberikan relasi,3,5,,4,6 dengan,,,3,5,4,6,3,4.,.,.,5,,4? maka dari relasi ini dapat dilihat bahwa,, dan,, adalah anggota tegas dari, sedangkan,3,4 menjadi anggota sebagian di dalam, yaitu 7% menjadi anggota, % 3

2 Suryoto (Neutrosofik Limit dan Penghitungannya) keanggotaan indeterminate, dan % bukan anggota, dan 5,,4 ada kemungkinan menjadi anggota, tetapi tidak diketahui berapa derajat keanggotaannya di dalam. Definisi.3 [] Suatu neutrosofik fungsi himpunan bagian adalah suatu neutrosofik relasi himpunan bagian sedemikian hingga jika terdapat himpunan bagian dari dengan dan, maka. Sebagai bentuk/kejadian khusus dari suatu neutrosofik relasi, suatu neutrosofik relasi tegas antara dua himpunan dan adalah relasi klasik (relasi tegas) yang mempunyai beberapa indeterminate. Suatu neutrosofik relasi tegas dapat memuat pasangan terurut klasik yang pasti,, dengan dan dan pasangan terurut potensial,, dengan dan, yang tidak ada kepastian apakah ada atau tidaknya relasi antara dan, akan tetapi jika ada relasi antara dan, maka prosentasenya senantiasa lebih kecil dari %. Contoh.4 Diberikan neutrosofik relasi :,,3 4,5,6,7 yang didefinisikan sebagai dengan,4,,5,3,6.,.,., 3,7?,,7? maka dapat dilihat bahwa pasangan terurut,4,,5 adalah anggota tegas atau anggota pasti dari (% anggota ), sedangkan pasangan terurut 3,6 hanya 6% menjadi anggota, % keanggotaan indeterminate, dan % bukan anggota, dan pasangan,7 serta 3,7 tidak diketahui berapak derajat keanggotaannya di dalam. Definisi.5 [] Suatu neutrosofik fungsi tegas : adalah neutrosofik relasi tegas sedemikian hingga jika terdapat anggota dengan dan, dengan, maka. Dalam hal ini, neutrosofik fungsi secara umum tidak lain adalah neutrosofik relasi. Berikut ini akan diberikan beberapa contoh neutrosofik fungsi. Contoh.6 Ditinjau fungsi :,,3 4,5,6,7 yang didefinisikan dengan 4, 5 atau 6, dan 37, atau secara diagram dipunyai 3 Gambar. Diagram Penyajian Garis putus-putus menyatakan bahwa tidak adanya kepastian apakah berelasi dengan 5 ataukah berelasi dengan 6. Dalam bentuk himpunan pasangan terurut, fungsi tersebut dituliskan sebagai,4,,5?,,6?,3,7 Contoh.7 Ditinjau fungsi :,,3 4,5,6,7 yang didefinisikan dengan 4, tetapi 5 dan 6 serta 37, atau secara diagram dipunyai Gambar. Diagram Penyajian Dalam bentuk himpunan diperoleh,4,,5,,6,,7. Contoh.8 Ditinjau suatu neutrosofik fungsi sepotong-sepotong h R (R) dengan h h,h,untuk < h,h,untuk dalam bentuk neutrosofik grafiknya sebagai berikut : 4

3 Jurnal Matematika Vol. 9, No. 3, Desember 6 : 3 - h h Gambar.3 Grafik neutrosofik fungsi h Dari neutrosofik fungsi tersebut diperoleh hh,h yang merupakan sebuah segmen garis vertikal...neutrosofik Limit Fungsi Neutrosofik it fungsi yang diud pada pembahasan ini adalah it dari suatu neutrosofik fungsi. Sebagai awal pembahasan ditinjau grafik dari neutrosofik fungsi R (R) berikut. Gambar.4 Grafik neutrosofik fungsi dengan neutrosofik fungsi -nya adalah,,untuk,,untuk > yang merupakan fungsi sepotongsepotong. Dengan menggunakan metode neutrosofik grafik diperoleh neutrosofik it kiri, dan neutrosofik it kanannya, h h Terkait dengan dua neutrosofik it sepihak tersebut, berikut ini diberikan definisi tentang neutrosofik mereo-it suatu fungsi yang dikarakterisasi oleh irisan kedua neutrosofik it tersebut yang bukan merupakan himpunan kosong. Definisi.9 [] Diberikan neutrosofik fungsi. Neutrosofik mereo-it dari didefinisikan sebagai irisan dari neutrosofik it kiri dan neutrosofik it kanan, bilamana irisan tersebut bukan merupakan himpunan kosong, sedangkan jika irisan kedua neutrosofik it tersebut merupakan himpunan kosong, maka dikatakan neutrosofik mereo-it dari tidak ada. Selanjutnya neutrosofik it dari ada jika neutrosofik it kiri dan neutrosofik it kanannya ada dan sama, jika tidak demikian, maka dikatakan neutrosofik it dari tidak ada. Berikut ini diberikan contoh neutrosofik mereo-it dari suatu neutrosofik fungsi. Contoh. Dari fungsi pada Bagian., diperoleh,,, jadi neutrosofik mereo-it dari ada, akan tetapi karena,, maka tidak mempunyai neutrosofik it, atau dengan kata lain, neutrosofik it dari tidak ada..3.definisi untuk Neutrosofik Limit Sebelum membahas definisi untuk neutrosofik it dari suatu fungsi, diberikan terlebih dulu pengertian norm di dalam pembahasan teori it. Ditinjau fungsi (R) R + dengan R menyatakan himpunan semua bilangan real dan (R) menyatakan himpunan kuasa dari himpunan R. Untuk sebarang himpunan (R), didefinisikan : 5

4 Suryoto (Neutrosofik Limit dan Penghitungannya) dengan menyatakan nilai mutlak dari dan merupakan himpunan batasbatas dari, dengan demikian inf, sup. Definisi untuk Neutrosofik Limit Kiri dan Limit Kanan Misalkan (R) (R) suatu neutrosofik fungsi. Definisi dari neutrosofik it kiri merupakan perluasan dari definisi it kiri klasik, dimana peran nilai mutlak digantikan dengan notasi η, demikian pula peran skalar digantikan dengan himpunan atau dengan kata lain himpunan dapat dipandang sebagai pendekatan dari skalar. Dengan demikian dipunyai definisi berikut ini. Definisi. Suatu neutrosofik fungsi dikatakan mempunyai it kiri di, dituliskan jika untuk sebarang > terdapat > sedemikian hingga jika η, < maka η, <. Sementara itu untuk neutrosofik it kanannya dapat didefinisikan dengan cara serupa, seperti diberikan oleh definisi berikut. Definisi. Suatu neutrosofik fungsi dikatakan mempunyai it kanan di, dituliskan jika untuk sebarang > terdapat > sedemikian hingga jika η, < maka η, <. Selanjutnya, untuk definisi umum neutosofik it diberikan oleh definisi berikut. Definisi.3 Suatu neutrosofik fungsi dikatakan mempunyai it di, dituliskan jika untuk sebarang > terdapat > sedemikian hingga jika η,< maka η,<. Berikut diberikan contoh terkait dengan definisi untuk neutrosofik it fungsi. Contoh.4 Dari fungsi pada bagian., jika diambil 3, serta diberikan sebarang >, maka η,,, η,3< inf, <3 inf,, sup, sup, η,3<, <3 <. Sementara itu η,3< dapat diartikan sebagai 3 <, sebagaimana dalam kalkulus klasik. Selanjutnya η,3<, < <3 diartikan sebagai < dan <, jika 3 < dan 3. Selanjutnya diberikan contoh analisis untuk neutrosofik it kiri dan it kanan dari suatu neutrosofik fungsi. Contoh.5 Pandang neutrosofik fungsi R (R) yang didefinisikan dengan,,untuk,,untuk > dimana +, untuk,; +4, untuk,;, untuk,; dan 3, untuk,. Grafik dari fungsi neutrosofik adalah : 6

5 Jurnal Matematika Vol. 9, No. 3, Desember 6 : Gambar.5 Grafik neutrosofik fungsi Diambil sebarang >, dari fungsi sepotong-sepotong dan diperoleh + <, bilamana < Dengan demikian dapat dipilih. Selanjutnya <, jika <, sehingga dapat dipilih. Jadi untuk sebarang >, terdapat min, (karena <<), yang memperlihatkan bahwa neutrosofik it kirinya ada. Dengan cara serupa, jika diambil sebarang >, untuk neutrosofik it kanannya diperoleh : η,,,3 η,< inf, > inf,3, sup, sup,3 η,<, 3 > < yang berarti bahwa < dan 3 <, bilamana < dan >. Dengan demikian < sehingga dapat dipilih dan < yang senantiasa benar untuk setiap >. Jadi dalam hal ini dapat diambil dan benar bahwa neutrosofik it kanannya juga ada. Selanjutnya akan diiriskan neutrosofik it kiri dan neutrosofik it kanan tersebut untuk mendapatkan neutrosofik mereo-itnya. Terlihat bahwa neutrosofik mereo-it dari fungsi tidak ada, karena jika diambil.> tidak ada > sedemikian hingga jika < diperoleh η,,,3<. dan η,,,3<., karena pada persekitaran titik nilai mutlak dari lebih besar dari..4.penghitungan Neutrosofik Limit Pada bagian ini akan dihitung (ditentukan) neutrosofik it suatu fungsi dengan memanfaatkan perhitungan it klasik. Contoh.9 Ditinjau neutrosofik it berikut : +, 3, 6 + Dengan mensubstitusikan ke it tersebut diperoleh +, 3, 6 + +, 3, , 3, 6 6,, 6, 6, 6 6, 6 4, 4 yang menghasilkan bentuk tak tentu, karena 4, 4. Selanjutnya dengan cara memfaktorkan suku pada pembilang diperoleh +, 3, 6 +, 3 + +, 3 7

6 Suryoto (Neutrosofik Limit dan Penghitungannya), 3,, 3, +, 3 5, 3. Hasil penghitungan it ini dapat dibuktikan kebenarannya (dibandingkan) dengan penghitungan it secara klasik, yaitu dengan cara menggantikan peranan koefisien bernilai interval dengan koefisien biasa berupa bilangan. Selanjutnya akan diberikan contoh penghitungan neutrosofik it yang memuat bentuk tak rasional. Contoh. Ditinjau it neutrosofik, 5+ Dengan mensubsitusikan nilai ke it tersebut diperoleh, 5+, 5 +, 5 +, + + suatu bentuk tak tentu. Dengan mengalikan faktor sekawan dari pembilangnya, it tersebut menjadi, 5+, 5+, 5+ +, 5+ +, 5+, 5++, 5+, 5+ +, 5, 5+ +, 5, 5++, 5, , 5 5, +, 5,. Dengan cara serupa hasil penghitungan it ini dapat dibuktikan kebenarannya melalui penghitungan it klasiknya, dengan cara mengambil parameter, 5 dan menghitung itnya dengan mengalikan faktor sekawan dari pembilang diperoleh + 5,,. Berikut ini diberikan contoh penghitungan neutrosofik it dengan jenis yang lain. Contoh. Diberikan neutrosofik fungsi , maka diperoleh , dengan indeterminasi dan bersifat dan..5.sifat-sifat Neutrosofik Limit Serupa dengan konsep it klasik seperti pada [5], sifat-sifat utama yang berlaku pada it juga dipenuhi oleh neutrosofik it, seperti diberikan teorema berikut. Teorema. Misalkan suatu bilangan asli, suatu konstanta dan serta neutrosofik fungsi yang mempunyai it di, maka berlaku.,.. ± ±.

7 Jurnal Matematika Vol. 9, No. 3, Desember 6 : 3 -.,asalkan..., asalkan >. Bukti : Untuk pembuktian sifat-sifat pada teorema ini serupa dengan pembuktian sifat-sifat utama dari it klasik. Berikut ini akan diberikan beberapa bukti dari teorema tersebut. a. Diberikan sebarang ε>, maka terdapat δδ(ε)> sedemikian hingga jika η(x, c)<δ maka η(f(x), k)<ε atau η(k, k)<ε. Karena η(k, k) dan <ε, maka definisi terpenuhi. b. Misalkan dan diberikan sebarang > maka terdapat > sedemikian hingga jika η(x, c)<δ maka η,<ε. Karena maka untuk sebarang > terdapat > sedemikian hingga jika η,< maka η,<. Dengan demikian η, η,<. c. Bagian (c) hanya dibuktikan untuk + + Misalkan dan. Diberikan sebarang > maka terdapat > sedemikian hingga jika η,< maka η+, + <. Dengan menggunakan ketidaksamaan segitiga diperoleh η+, + η, +η, Karena, maka untuk sebarang > terdapat > sedemikian hingga jika η,< maka η, <. Selanjutnya karena, maka terdapat > sedemikian hingga jika η,< maka η, <. Terakhir dengan mengambil min,, maka diperoleh η+, + η, + η, < + Sedangkan untuk dapat dibuktikan dengan cara serupa. d. Misalkan dan. Dari ketidaksamaan segitiga diperoleh η, η +, ηη, + η, ηη, ++ η, Selanjutnya untuk sebarang > terdapat > sedemikian hingga jika η,< maka η, <. Sekali lagi dengan ketidaksamaan segitiga diperoleh η, > η, akibatnya η < atau η< +. Dengan mengambil, maka η< +. Sementara itu untuk sebarang > terdapat > sedemikian hingga jika η,< maka η, <. Dengan mengambil η, < maka diperoleh. Untuk sebarang 3 > terdapat 3 > sedemikian hingga jika η,< 3 maka η, < 3. Dengan mengambil 3 η, < maka diperoleh η, diperoleh. Dengan demikian 9

8 Suryoto (Neutrosofik Limit dan Penghitungannya) < Dengan memilih min,, 3, maka diperoleh jika η,< maka η, <. e. Dibuktikan sejalan dengan pembuktian pada bagian (d). f. Mengingat, sebanyak faktor maka diperoleh Selanjutnya dengan memanfaatkan hasil pada bagian (d) diperoleh. g. Dapat dibuktikan sejalan dengan bukti bagian (f). 3. PENUTUP Dari uraian pada bagian sebelumnya diperoleh hubungan antara it fungsi klasik dan neutrosofik it fungsi sebagai perumuman dari it klasik, diantaranya adalah bahwa keduanya mempunyai kemiripan definisi, tetapi dari sifat-sifat yang berlaku pada umumnya tidak selamanya bersesuaian antara kedua it tersebut. Terutama yang berkaitan dengan pendefinisian neutrosofik fungsi yang dipakai sebagai dasar pembahasan itnya. Dari hasil pembahasan sejauh ini diperoleh bahwa sifat-sifat utama yang berlaku pada it klasik masih berlaku pada neutrosofik it. Berkaitan dengan penghitungan neutrosofik it, dengan memanfaatkan metode baku seperti metode analitik dan metode perasionalan, neutrosofik it fungsi yang mempunyai bentuk tak tentu dapat ditentukan, asalkan it ini ada. 4. DAFTAR PUSTAKA [] Smarandache, Florentin., (5), Neutrosophic Precalculus and Neutrosophic Calculus, Hexis, Phoenix Arizona [] Proceedings of The First International Conference on Neutrosophy, Neutroshopic Logic, Neutroshophic Set, Neutroshopic Probability and Statistics, University of New Mexico, Gallup, 3 Desember, ISBN : [3] Smarandache, Florentin, (3), A Unifying Field in Logics : Neutroshopic Logic. Neutroshopy, Neutroshophic Set, Neutroshopic Probability, American Research Press, Rehoboth, New Mexico. [4] Smarandache, Florentin, (4), Neutroshopic Theory and Its Applications, Collected Papers, Vol.. [5] Varberg, Dale, Purcell & Rigdon, (6), Calculus 9th edition, University Edwardsville Illinois