Kompetensi Dasar Tujuan Pembelajaran

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Kompetensi Dasar Tujuan Pembelajaran"

Transkripsi

1 BAB 7 LIMIT FUNGSI Kompetensi Dasar Siswa dapat menjelaskan it fungsi di satu titik dan di tak hingga beserta teknis perhitungannya. Menggunakan sifat it fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari it fungsi siswa diharapkan dapat : Menjelaskan arti it fungsi di satu titik dan di tak hingga. Menghitung it fungsi aljabar di satu titik dan di tak hingga. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan it. Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari it fungsi. Menghitung bentuk tak tentu dari it fungsi aljabar. Menghitung it fungsi yang mengarah ke konsep turunan. Menghitung it fungsi trigonometri di satu titik. Menghitung bentuk tak tentu dari it fungsi trigonometri. Menyelesaikan permasalahan terapan dengan menggunakan kaidah it fungsi.

2 A. PENDAHULUAN Jarak yang ditempuh sebuah mobil yang bergerak selama t sekon memenuhi persamaan s ( t) ( t t) meter. Berapakah kecepatan mobil tersebut tepat pada saat t sekon? Permasalahan di atas merupakan permasalahan pada bidang Fisika yang pemecahannya menggunakan bantuan konsep it fungsi. Konsep it fungsi ini pertama kali didefinisikan dengan sangat jelas oleh Augustin-Louis Cauchy ( ) yang merupakan seorang matematikawan asal Perancis (Purcell, 99). Limit fungsi merupakan salah satu pokok bahasan yang baru ada di tingkat pendidikan SMA. Pokok bahasan ini merupakan bagian dari pengantar kalkulus. Kalkulus sendiri merupakan salah satu cabang matematika yang sangat penting, karena di dalamnya dipelajari tentang hitung differensial dan hitung integral. Hitung differensial dan hitung integral sangat diperlukan pada cabang lain dari matematika seperti statistika maupun bidang-bidang lain di luar matematika seperti fisika, kimia dan teknik Mengingat begitu pentingnya it fungsi ini, maka diharapkan anda mempelajarinya dengan sungguh-sungguh. Jika anda dapat memahami bahasan it fungsi ini, maka besar kemungkinan kalian tidak akan mengalami kesulitan pada bahasan selanjutnya, yaitu hitung differensial. Sebelum anda mempelajari pengertian tentang it fungsi, sebaiknya anda mengingat kembali materi-materi pelajaran yang telah lalu. Materi-materi tersebut akan kita pergunakan selama mempelajari it fungsi. Materi-materi yang dimaksud adalah materi tentang nilai suatu fungsi, cara mensketsa grafik fungsi, pemfaktoran, bilangan sekawan dan rumus-rumus trigonometri. Latihan pada uji kompetensi berikut akan membantu anda mengingat kembali materi-materi tersebut.

3 UJI KOMPETENSI. Diketahui fungsi f : R R dengan f ( ) 5 6 a. Hitunglah f (). b. Hitunglah f (). c. Sketsalah grafik fungsi f.. Diketahui fungsi f : R R dengan f ( ), a. Hitunglah f (0) b. Hitunglah f () c. Sketsalah grafik fungsi f.. Faktorkanlah bentuk-bentuk di bawah ini. a. 0 d. b. 8 e. c. 6 f. 8. a. Tentukan faktor sekawan dari bentuk-bentuk di bawah ini (i) a b (iii) 6 (ii) (iv) b. Sederhanakanlah. (i) ( c d) ( c d) (iii) ( 6) ( 6) ) ( (iv) ( ) ( ) (ii) ( ) 5. Lengkapi kesamaan trigonometri di bawah ini. a. sin sin... d. cos b. cos... e. sin sin... c.... tan f. sec... cos

4 B. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar kaat-kaat seperti : a. Mobil itu nyaris masuk ke jurang. b. Kita hampir memasuki kota Jakarta. c. Kecantikannya mendekati sempurna. Kata-kata yang dicetak miring pada kaat-kaat di atas mempunyai pengertian yang sama dengan kata it fungsi pada matematika. Pengertian it fungsi pada matematika dapat dibagi ke dalam dua bagian, yaitu it fungsi di satu titik dan it fungsi di tak hingga.. Pengertian it fungsi di satu titik. Pengertian it fungsi di satu titik secara informal (intuisi) diberikan pada definisi di bawah ini. Definisi Jika nilai suatu fungsi f mendekati L untuk mendekati c maka kita katakan bahwa f mempunyai it L untuk mendekati c dan ditulis f ( ) L c (Finney, 99) (dibaca it f untuk mendekati c sama dengan L). Pengertian mendekati c mencakup dua hal, yaitu : a. Nilai-nilai yang dekat dengan c tetapi lebih kecil dari c, disebut mendekati c dari kiri. Apabila mendekati c dari kiri maka it fungsi f- nya disebut it kiri dan ditulis - f ( ) c (dibaca it f untuk mendekati c dari kiri). b. Nilai-nilai yang dekat dengan c tetapi lebih besar dari c, disebut mendekati c dari kanan. Apabila mendekati c dari kanan maka it

5 fungsi f-nya disebut it kanan dan ditulis f ( ) c (dibaca it f untuk mendekati c dari kanan). c. Suatu fungsi f mempunyai it untuk mendekati c jika dan hanya jika it kiri dan it kanannya ada dan sama. ( Finney, 99) Jadi dapat disimpulkan bahwa : f ( ) L c - c f ( ) L dan c f ( ) L Untuk memahami definisi di atas, perhatikan contoh-contoh di bawah ini. Contoh. - Misalkan fungsi f : R R dengan f(),. - Carilah f ( ) jika ada. 0 Fungsi f tidak terdefinisi di karena di titik ini f() berbentuk 0 yang tak mempunyai arti. Tetapi kita masih bisa menanyakan apa yang terjadi pada f() apabila mendekati. Secara lebih tepat, apakah f() mendekati bilangan tertentu apabila f() mendekati? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita dapat melakukan dua hal. Yang pertama, kita dapat mencari nilai-nilai f() untuk yang dekat dengan dan yang kedua adalah dengan mensketsakan grafik fungsi f. Nilai- nilai f() untuk yang dekat dengan dapat di lihat pada tabel berikut. Anda diminta melengkapi tabel ini dengan bantuan kalkulator yang anda miliki.,75,9.99,999,9999,000,00,0,,5 5

6 f(),9.,999...,00., Sedangkan sketsa grafik fungsi f adalah Y - X Dengan memperhatikan nilai-nilai f () pada tabel ataupun sketsa grafik fungsi f, dapat kita simpulkan beberapa hal, yaitu : a. Limit f untuk mendekati dari kiri (it kiri f ) adalah dan ditulis f ( ). b. Limit f untuk mendekati dari kanan (it kanan f ) adalah dan ditulis f ( ). c. Karena f ( ) f ( ) maka f ( ). Contoh. Diberikan fungsi g : R R dengan g ( ) untuk 0. Carilah g( ) jika ada. 0 Nilai- nilai g() untuk yang dekat dengan 0 dapat di lihat pada tabel di bawah ini. Cobalah cek dan lengkapi nilai-nilai g() pada tabel tersebut. 6

7 X -0,0-0,00-0,000-0, ,0000 0,000 0,00 0,0 g() Sketsa grafik fungsi g adalah sebagai berikut : Y 0 X Dari tabel maupun sketsa grafik fungsi g dapat kita simpulkan bahwa : a. Nilai g() akan terus membesar menuju ke untuk mendekati 0 dari kiri. Jadi g ( ). 0 b. Nilai g() juga akan terus membesar menuju ke untuk mendekati 0 dari kanan. Jadi g ( ). 0 c. Karena g ( ) g( ) maka g ( ) Contoh. Misalkan fungsi h : R R dengan Carilah h( ) jika ada. 0 h ( ),untuk,untuk > 7

8 Sekarang kita hanya akan mensketsa grafik fungsi h. Sedangkan untuk tabel nilainilai h() untuk mendekati silahkan anda hitung sendiri. Y X Dari grafik di atas dapat di simpulkan bahwa h ( ) dan h ( ). 0 0 Ternyata h ( ) 0 h( ). Dengan demikian h( ) 0 0 tidak ada.. Pengertian it fungsi di tak hingga. Pengertian it fungsi di tak hingga adalah sebagai berikut : a. Jika nilai suatu fungsi f mendekati L untuk yang terus membesar menuju maka kita katakan bahwa f mempunyai it L untuk mendekati dan ditulis f ( ) L (dibaca it f untuk mendekati sama dengan L). b. Jika nilai suatu fungsi f terus membesar untuk menuju maka kita katakan bahwa f mempunyai it untuk mendekati dan ditulis f ( ) (dibaca it f untuk mendekati sama dengan ). c. Jika nilai suatu fungsi f terus mengecil untuk menuju maka kita katakan bahwa f mempunyai it untuk mendekati dan ditulis f ( ) - (dibaca it f untuk mendekati sama dengan ). (Finney, 99) Untuk memahami pengertian di atas, perhatikanlah dua buah contoh berikut : 8

9 Contoh. Carilah Dengan melakukan langkah-langkah seperti pada it di satu titik diperoleh tabel dan grafik sebagai berikut : X , 0,0 0,00 0,000 0, , Y 0 X Dari tabel dan grafik terlihat bahwa jika nilai membesar menuju ke tak hingga, maka nilai akan mendekati 0. Dengan demikian 0. Contoh 5. Carilah ( ) dan ( ). Sekarang kita hanya akan menggunakan metode sketsa grafik fungsi. 9

10 Y 0 X Dari grafik di atas terlihat bahwa jika menuju maka nilai juga semakin besar menuju ke tak hingga. Jadi ( ). Dari grafik di atas juga terlihat bahwa jika menuju maka nilai ( ) juga semakin besar menuju ke tak hingga. Jadi ( ). UJI KOMPETENSI -. Misalkan diberikan fungsi f : R R dengan f(),. - a. Buatlah tabel nilai-nilai f() untuk nilai-nilai yang dekat dengan. b. Sketsalah grafik fungsi f(). c. Tentukan f ( ) jika ada. d. Tentukan f ( ) jika ada. e. Apakah f ( ) ada? Jika ada, berapakah nilai f ( ).. Pertanyaan seperti nomor untuk f ( ). 0

11 . Misalkan diberikan fungsi f : R R dengan f(),. - a. Buatlah tabel nilai-nilai f() untuk nilai-nilai yang dekat dengan. b. Sketsalah grafik fungsi f(). c. Tentukan f ( ) jika ada. d. Tentukan f ( ) jika ada. e. Apakah f ( ) ada? Jika ada, berapakah nilai f ( ). 5,untuk. Diberikan fungsi f : R R dengan f ( ), untuk > Apakah f ( ) ada? Jika ada, berapakah nilai f ( ).,untuk 5. Diberikan fungsi f : R R dengan f ( ), untuk > Apakah f ( ) ada? Jika ada, berapakah nilai f ( ). 6. Hitunglah nilai it-it berikut jika ada. (a). ( 5) (c). (b). (d) Hitunglah nilai it-it berikut jika ada. a. d. ( ) b. c. ( ) e. f. 6

12 KEGIATAN KELOMPOK MENYELIDIKI SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI Petunjuk : (i) Bentuk kelompok yang masing-masing beranggotakan orang. (ii) Diskusikan dalam kelompok tentang permasalahan di bawah. (iii) Presentasikan hasil kerja kelompok di depan kelas. Permasalahan :. Diketahui f dan g adalah fungsi dari R ke R dengan f fungsi identitas dan g fungsi konstanta. Misalkan f ( ) dan g ( ) 9. a. Carilah f ( ) b. Carilah f ( ) dan g( ). dan g( ). c. Carilah 5 f ( ) dan bandingkan hasilnya dengan 5 f ( ). d. Carilah [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ). e. Carilah [ f ( ) g( ) ] f ( ) f ( ). dan bandingkan hasilnya dengan dan bandingkan hasilnya dengan f. Carilah f ( ) g( ) dan bandingkan hasilnya dengan f ( ) f ( ). f ( ) f ( ) g. Carilah dan bandingkan hasilnya dengan. g( ) f ( ) h. Carilah [ f ( ) ] dan bandingkan hasilnya dengan [ f ( ) ] i. Carilah f ( ) dan bandingkan hasilnya dengan f ( ).. Ambil sebarang fungsi f dan g sebagai fungsi dari R ke R dan jawab pertanyaan-pertanyaan nomor untuk mendekati suatu bilangan tertentu.

13 Fungsi f dan g yang diambil tiap kelompok harus berbeda dari kelompok lainnya.. Apa yang dapat anda simpulkan dari hasil nomor dan nomor? C. TEOREMA LIMIT Teorema it fungsi adalah sebagai berikut : Jika n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai it di c, maka sifat-sifat dibawah ini berlaku :. k k c. c c. kf ( ) k f ( ) c c. [ f ( ) g( )] c 5. [ f ( ) g( )] c f ( ) g( ) c c f ( ) - g( ) c c 6. [ f ( ). g( )] c f ( ). g( ) c c 7. f ( ) c g( ) f ( ) c, asalkan g( ) 0 g( ) c c n 8. [ f ( )] [ f ( ) c c ] n n 9. f ( ) n f ( ), asalkan f ( ) > 0 bilamana n genap. c c c (Purcell, 99) Teorema it ini akan mudah diingat jika kita nyatakan dalam bentuk kata-kata. Misalnya sifat dapat dinyatakan sebagai it suatu jumlahan adalah

14 jumlah dari it-it. Cobalah nyatakan sifat-sifat lainnya pada teorema di atas dalam bentuk kata-kata. Penerapan teorema it di atas dapat dilihat pada contoh-contoh berikut. Contoh. Carilah (sifat ) ( ) (sifat 8) () (sifat ) 6. Contoh. Carilah ( ) ( ) (sifat 5) (sifat ) ( ) (sifat 8) (sifat ) ( ) ( ) 0. Contoh. Carilah 9

15 9 9 (sifat 7) ( 9) (sifat 9) 9 (sifat ) ( ) 9 (sifat 8) () 9 (sifat dan ) 5. Contoh. Jika f ( ) dan g( ) 8 ( f ( ). g( ) ), maka carilah ( f ( ). g( ) ) f ( ). g( ) (sifat 5) ( ) f ( ) ( ).. 8. g( ) (sifat 8 dan 9) 5

16 UJI KOMPETENSI. Gunakan teorema it untuk mencari tiap it berikut. Berikan alasan tiap langkah dengan mengacu pada teorema tersebut. a. (7 ) e. 5 b. ( 5) c. [( )( )] f. g. (t t y 5) y y 8y d. 8 h. (w 9w 9) w 5. Jika f ( ) a dan g( ), maka carilah it-it berikut : a a. f ( ) g ( ) a f ( ) g( ) b. a f ( ) g( ) c. g( ) [ f ( ) ] a d. [ f ( ) ] a e. [ f ( t) ( t a) g( t) ] t a f. [ ] u a f ( u) g( u) D. LIMIT FUNGSI ALJABAR Limit-it yang sampai sejauh ini telah kita bahas merupakan it-it fungsi aljabar. Sekarang kita akan mempelajari lebih lanjut bagaimana cara mencari nilai it fungsi aljabar terutama yang mengandung bentuk tak tentu. 0 Bentuk tak tentu dari suatu it adalah it yang menghasilkan,, 0, 0., 0 0, 0 atau apabila dilakukan substitusi langsung (Purcell, 6

17 99). Tetapi bentuk tak tentu yang akan kita pelajari hanyalah tiga bentuk yang pertama. Sedangkan bentuk-bentuk tak tentu lainnya dapat anda pelajari pada buku-buku kalkulus perguruan tinggi.. Limit fungsi aljabar yang tidak mengandung bentuk tak tentu. Untuk mencari nilai it fungsi aljabar berbentuk f ( ) yang tidak mengandung bentuk tak tentu digunakan metode substitusi langsung. Metode ini merupakan akibat dari sifat-sifat yang ada pada teorema it. a Contoh. Carilah ( 5) ( 5) ( ) () 5 7. Contoh. Carilah () 5 5. Contoh Carilah () 0() () 6 () 6() 8 7

18 Limit fungsi aljabar yang mengandung bentuk tak tentu 0 0. Secara umum, untuk mencari nilai it fungsi aljabar berbentuk f ( ) a g ( ) yang mengandung bentuk tak tentu 0 0 digunakan metode pemfaktoran. Jadi jika f ( a) 0 dilakukan substitusi langsung diperoleh bentuk, maka kita harus g( a) 0 mengupayakan agar f ( ) dan g( ) memiliki faktor yang sama. Jika dimisalkan faktor yang sama itu adalah ( a), maka : f ( ) ( a) P( ) P( ) P( a) a g ( ) a ( a) Q( ) a Q ( ) Q( a) Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh di bawah ini : Contoh. Carilah ( )( ) 8 ( ) ( ). 8

19 Contoh 5. 5 Carilah ( )( 5) ( )( 5) ( 5) ( 5) ( ) Contoh 6. Carilah ( )( ( ) ) (). Adakalanya sebuah it fungsi aljabar berbentuk f ( ) a g ( ) yang mengandung bentuk tak tentu 0 0 harus dikalikan dulu dengan bentuk sekawan dari f () atau g() sebelum dilakukan pemfaktoran. Bentuk yang memerlukan perlakuan demikian apabila f () atau g () mengandung bentuk akar. 9

20 Contoh 7. Carilah ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) Contoh 5. Carilah ( 6) ( )( 6 ) ( 6) 9 ( )( 6 ) ( ) ( )( 6 ) 0

21 ( 6 ) ( 6 ) 8. Contoh 6. Carilah ( )( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ) ( )( ) ( )( ( ) ).. f ( ) Ada satu lagi yang berhubungan dengan bentuk, yaitu yang a g ( ) nantinya berhubungan dengan topik turunan pada bab yang akan datang. Perhatikan dua buah contoh di bawah ini.

22 Contoh 7. f ( h) f ( ) Tentukan nilai it dari apabila h 0 h a. f ( ) 5 b. f ( ), untuk f ( h) a. h 0 h f ( ) 5( h) 5 h 0 h 5 5h 5 h 0 h 5h h 0 h 5 h 0 5. b. h 0 f ( h) h f ( ) h 0 f ( h) h f () ( h) h 0 h 9 6h h h 0 h 6h h h 0 h h(6 h) h 0 h (6 h) h

23 f ( ). Limit fungsi aljabar berbentuk g ( ) f ( ) Limit fungsi aljabar berbentuk g ( ) apabila dilakukan substitusi langsung akan menghasilkan bentuk. Oleh karena itu untuk mencari nilai itnya harus dilakukan manipulasi aljabar. Manipulasi aljabar yang dimaksud adalah dengan membagi setiap suku-suku pada f ( ) dan g( ) dengan pangkat tertinggi dari. Selanjutnya digunakan fakta yang diperoleh pada contoh sub bab A, yaitu 0 dengan k dan n suatu konstanta. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh-contoh berikut. Contoh 8. 5 Carilah

24 Contoh 9. Carilah Contoh 0. Carilah

25 Cara cepat Misalkan kita akan menyelesaikan m m a b... c. n n p q... r a. Jika m < n maka m m a b... c n n p q... r 0. b. Jika m n maka m m a b... c n n p q... r a. p c. Jika m > n maka m m a b... c n n p q... r.. Limit fungsi aljabar berbentuk ( f ( ) g( ) ) Limit fungsi berbentuk ( f ( ) g( ) ). apabila dilakukan substitusi langsung akan menghasilkan bentuk. Oleh karena itu untuk mencari nilai itnya harus dilakukan manipulasi aljabar. Manipulasi aljabar yang dimaksud adalah dengan mengalikannya terlebih dahulu dengan faktor sekawannya. Setelah itu barulah dilakukan langkah seperti pada bagian di atas atau dengan memakai cara cepat yang sudah diperoleh. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contohcontoh berikut : Contoh. Hitunglah ( ) 5

26 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 0. Contoh Hitunglah ( ) 8 ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) ( ) Contoh. Hitunglah ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 5 5

27 7 ( ) ( ) 5 5 ( ) ( ) Cara cepat Misalkan kita akan menghitung ( ) q p b a. a. Jika p a maka ( ) q p b a 0 b. Jika p a > maka ( ) q p b a c. Jika p a < maka ( ) q p b a Contoh Carilah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

28 Contoh 5. Carilah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Contoh 6 Carilah ( ) 5 ( ) 5

29 ( 5 ) ( 5 ) ( ) 5 ( 5 ) ( ) Cara cepat Misalkan kita akan menghitung ( a b c p q r ). a. Jika p b. Jika p c. Jika p b q a a maka ( a b c p q r ) a > maka ( a b c p q r ) a < maka ( a b c p q r ) UJI KOMPETENSI. Carilah nilai it-it berikut : a. ( 8) c. 9 b. 5 7 t d. t t 9

30 . Carilah nilai it-it berikut : a. b. c. d e. 9 t 5t 6 f. t t t u 6u 7 g. u u 9 h. 9. Carilah nilai it-it berikut : a. e b. 9 f. 0 c. 7 9 g. d. 5 h. 0. Carilah nilai it-it berikut : 0( h) 0 a. h 0 h ( h) 5 ( 5) b. h 0 h c. d. h 0 ( h) h 0 ( h) h 5( h) 5 ( h 5 5) 0

31 5. Carilah nilai it-it berikut : a. d b e. 6 7 c. f Carilah nilai it-it berikut : a. ( 5 7 ) b. ( 5 ) c. ( d. ( 5 ) e. ( 5 ) f. ( 5 ) E. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Perhatikan it it fungsi sebagai berikut : i. sin π ii. cos 0 iii. sin 0 iv. 0 tan 7 Limit di atas dapat di tulis sebagai f ( ) dengan f () adalah fungsi fungsi a yang memuat perbandingan trigonometri. Bentuk it semacam ini disebut it fungsi trigonometri. Dalam beberapa kasus, penyelesaian it fungsi trigonometri hampir sama dengan penyelesaian it fungsi aljabar, misalnya dengan metode substitusi langsung atau metode pemfaktoran. Rumus rumus trigonometri yang telah

32 dipelajari pada bab sebelumnya atau pada materi trigonometri kelas X, sering digunakan dalam menyelesaikan it fungsi trigonometri, demikian pula teorema teorema tentang it. Contoh. Hitunglah nilai it fungsi trigonometri berikut : a) sin π b) cos π 6 c) ( cos sin ) π d) ( sin cos ) 0 a) sin π sin π. b) cos π cos 6 π 6 sin c) ( cos ) π d) ( sin cos ) 0. cos sin π π cosπ - sin π 0. sin cos 0 sin 0 cos

33 Contoh. Hitunglah nilai it fungsi trigonometri berikut : a) sin 0 sin cos b) 0 sin Dengan substitusi langsung, penyelesaian it di atas adalah : sin sin sin sin 0 0 cos cos0 0 0 sin sin Dengan substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu 0 0. Oleh karena itu cara menyelesaikannnya sebagai berikut : a) Karena sin sin cos, maka : sin sin cos 0 sin 0 sin cos 0 cos 0 cos 0.. b) Karena cos sin, maka cos 0 sin sin 0 sin sin 0 sin sin 0 sin 0

34 sin Rumus Rumus Limit Fungsi Trigonometri Pada pembahasan sebelumnya, dalam menyelesaikan it fungsi trigonometri dengan substitusi langsung atau dengan memfaktorkan. Selain itu it fungsi trigonometri dapat pula diselesaikan dengan menggunakan rumus. Rumus yang digunakan adalah :.. sin 0 0 sin tan 0 0 tan Bukti Rumus : Perhatikan gambar berikut : T P(cos, sin ) sin tan cos O Q A(,0) Gambar di atas adalah lingkaran yang berpusat di O dan berjari jari r satuan dengan besar AOP radian. Berdasarkan gambar di atas, jelas bahwa :

35 Luas segitiga OAP Luas juring OAP Luas segitiga OAT θ.oa.pq. π. r.oa.at π..sin.. π π..tan sin tan sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin.(*) cos Untuk mendekati 0, maka hubungan di atas menjadi : 0 sin 0 cos 0 θ Akibatnya :. θ 0 sin. Selanjutnya, bentuk (*) dapat diubah menjadi, sehingga diperoleh. θ 0 sin cos sin. Untuk mendekati 0, maka hubungan di atas menjadi : sin sin cos, sehingga diperoleh sin Akibatnya :. 0 Bukti Rumus : i. tan 0 0 sin cos 5

36 ii. sin 0 cos sin 0 cos tan 0 sin cos cos. 0 sin 0 0 cos.. sin Berdasarkan ( i ) dan ( ii ) di atas, terbukti bahwa tan 0. 0 tan Contoh. Hitunglah nilai it fungsi trigonometri berikut : sin a) 0 6 b) 0 tan 6 a) Dimisalkan u. Jika 0, maka u 0, sehingga : sin 0 sin u. u 0 u b) Dimisalkan 6 u. Jika 0, maka u 0, sehingga : 6 0 tan 6 u u. 0 tan u 6

37 Dengan menggunakan rumus it fungsi trigonometri di atas, dapat ditunjukkan bahwa : sin a 0 a 0 a sin a tan a 0 a 0 a tan a Contoh. Hitunglah nilai it fungsi trigonometri berikut : a) π sin π π π b) π π tan π π a) Dimisalkan u. Jika, maka u 0, sehingga : π sin sin u. π π u 0 u π b) Dimisalkan u. Jika π u. π u 0 tan u tan π π, maka u 0, sehingga : 7

38 Contoh 5. Hitunglah nilai it fungsi trigonometri berikut : a) 0 sin 5 tan b) 0 6 a) 0 sin sin sin sin b) tan 0 6 tan. 0 6 tan. 0 6 tan Contoh 6. Hitunglah it it fungsi trigonometri berikut : tan a) 0 sin 8

39 cos b) 0 a) tan 0 sin tan.. 0 sin tan.. 0 sin tan 0 0 sin.. b) Karena cos sin, maka : cos 0 ( sin ) 0 sin 0 sin sin Contoh 7. ( ) ( ) 6 tan Hitunglah. 7 ( 6) tan( ) 7 ( 6) tan( ) ( )( ) ( 6) ( ) tan ( ) ( ) 9

40 (. 6 ) (. ) UJI KOMPETENSI 5. Hitunglah nilai it it fungsi trigonometri berikut ini : a) sin π b) cos π π f. sin π 6 g. ( sin cos ) π π c) sin π h. cos π sin d) cos ( π ) i. π sin π π e) tan π 6 j. π tan. Hitunglah nilai it it berikut dengan menggunakan rumus rumus it fungsi trigonometri. sin ( ) a) e. 0 sin b) t k f. t 0 tan t 0 tan l ( ) c) sin θ 0 θ θ g. sin p 0 q d) ( π ) ( π ) sin h. π π π t π tan t 0

41 . Hitunglah nilai it it fungsi trigonometri berikut ini : sin a) 0 sin 8 cos f. 0 b) c) d) tan 5 g. 0 sin 6 tan tan sin ( ) ( ) ( π ) ( π ) tan π tan ( ) ( ) sin( ) h. ( 8) tan( ) cos cos a i. a a sin sin sin a e) j. 0 a a. Hitunglah nilai it it berikut : sin π h sin π a) h 0 h sin sin cos b) Hitunglah nilai it it berikut : a) b) a ( a) ( a) tan( a) ( a) ( a) ( a) a sin ( ) ( ) f h f 6. Untuk fungsi fungsi f() berikut ini, tentukanlah nilai dari. h 0 h a) f() sin d. f() sin b) f() cos e. f() cos c) f() sin f. f() sin cos

42 7. Untuk fungsi fungsi f() berikut ini, tentukanlah nilai dari a) f() sin c. f() sin b) f() cos d. f() cos c) π f ( ) π f. π F. TERAPAN LIMIT Misalnya suatu benda bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan gerak s f(t). Fungsi f menggambarkan gerakan benda dan dinamakan fungsi posisi. Perhatikan gambar berikut : posisi t a posisi t a h Q f(a) f(ah) P f(a) f(ah) - f(a) f(ah) f(ah) - f(a) O a ah Pada selang waktu t a sampai t a h, perubahan posisi benda adalah f(ah) - f(a). Perubahan posisi benda disebut perpindahan. Kecepatan merupakan jarak yang ditempuh benda per satuan waktu. Kecepatan rata rata pada selang waktu t a sampai t a h adalah : perpindahan kecepa tan rata rata waktu Akan dicari kecepatan rata rata selama selang waktu [a,ah] yang sangat pendek, yang berarti h mendekati nol. Untuk h mendekati nol, kecepatan rata ratanya disebut

43 kecepatan sesaat, yaitu kecepatan v(a) pada saat t a, sebagai it dari kecepatan rata rata. v ( a) h 0 f ( a h) f ( a) h Contoh. Sebuah benda bergerak dengan persamaan s t, s dalam meter dan t dalam detik. Tentukan kecepatan benda pada t detik? v v ( a) ( ) h 0 h 0 h 0 f f ( a h) f ( a) h ( h) f ( ) h ( ( h) ) ( ) ( ( h h ) ) h 0 h h ( ) 0 0 8h h h 0 h 0 8h h h 0 h h(8 h) h 0 h 8 h 0 h Jadi, kecepatan pada saat t detik adalah 8 m/detik.

44 Contoh. Sebuah partikel bergerak dengan persamaan s 5 t, s dalam cm dan t dalam detik. Hitunglah kecepatan partikel pada t detik? v v ( a) () h 0 h 0 h 0 f f ( a h) f ( a) h ( h) f ( ) 5 h ( h) 5( ) h h 0 6 5h h 6 h 0 6 5h h 6 5h 6 5h. h 0 h 6 5h ( ) 6 5h 6 h 0 h 6 5h ( ) 5h h 0 h 6 5h 8 5 ( ) 5 ( 6 5 ) h 0 h 5 Jadi, kecepatan partikel pada saat t detik adalah 8 5 cm/detik.

45 Kecepatan merupakan salah satu dari laju perubahan. Kecepatan merupakan laju perubahan jarak terhadap waktu. Laju perubahan yang lain misalnya kepadatan suatu kawat ( laju perubahan massa terhadap jarak), pendapatan marginal (laju perubahan pendapatan terhadap beberapa jenis produksi) dan arus listrik ( laju perubahan muatan listrik terhadap waktu). UJI KOMPETENSI 6. Sebuah roket ditembakkan vertical ke atas dengan persamaan gerak h 560-6t, h dalam meter dan t dalam detik. Arah positif dari gerakan adalah arah ke atas. Tentukan kecepatan sesaat roket seyelah detik ditembakkan?. Suatu kultur bakteri berkembang sehingga mempunyai massa sebesar t gram setelah t jam. Berapa laju perkembangan bakteri pada waktu t jam?. Sebuah partikel sepanjang suatu garis pada bidang koordinat. Jarak partikel itu dari titik asal pada akhir t detik adalah s meter yang memenuhi persamaan s t. Setelah berapa detik partikel itu mencapai kecepatan 0 m/detik?. Berat dalam gram suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah W(t) 0,t -0,09t, dengan t diukur dalam minggu. Carilah laju pertumbuhan tumor pada t 0 minggu? 5. Sebuah kota dijangkiti epidemic influenza. Petugas menaksir bahwa hari setelah mulainya epidemic, banyaknya orang yang sakit flu diberikan dengan persamaan p(t) 0t -t, untuk 0 t 0. Dengan laju berapa flu menular pada saat t 0, t 0, t 0? 5

46 G. NILAI LIMIT FUNGSI YANG MENDEKATI BILANGAN ALAM (e) ( MATERI PENGAYAAN ) Diberikan fungsi f : R R, dengan f ( ) ( ). Fungsi f tidak terdefinisi di 0, dan terdefinisi untuk semus nilai > 0. Akan dicari nilai f () untuk mendekati 0 dari kanan. Perhatikan tabel berikut : Dari tabel di atas, tampak bahwa jika mendekati 0 dari kanan, maka nilai f() akan mendekati nilai,788 e. Jadi, ( ) e. 0 ( ) 6

47 Selanjutnya dilihat fungsi g : R R, dengan g( ). Fungsi g tidak terdefinisi di 0. Akan dilihat nilai fungsinya untuk mendekati tak hingga. Perhatikan tabel berikut : X Dari tabel di atas, tampak bahwa jika mendekati tak hingga, maka nilai g() akan mendekati nilai,788 e. Jadi, e. Contoh. Hitunglah ( ) 0 0 ( ) ( ) 0.. ( ) e. 0 7

48 Contoh. 6 Hitunglah e UJI KOMPETENSI 7 Hitunglah nilai it it berikut ini :. ( ) 0. ( ) 0. ( ) 0 5. ( )

49 UJI KOMPETENSI AKHIR I. Pilihlah satu jawaban yang benar!. Nilai adalah. a. b. c. 0 d. e.. Nilai 9 9 adalah. a. 6 b. c. 0 d. e. 6. Nilai 9 adalah 7 a. 0 b. 5 c. 6,5 d. 8 e.. Nilai adalah a. 7 b. 7 c. 0 d. 7 e Nilai 5 adalah.. a. 0 b. c. d. e. 6. Nilai dari adalah 5 a. 9 b. c. 0 d. 7. Nilai 5 adalah.. e. a. b. 0 c. d. e. - cos 8. Nilai sin cos adalah.. π a. b. c. 0 d. e. cos 9. Nilai adalah. 0 tan a. 8 b. 6 c. d. 8 e. 6 9

50 tan sin 0. Nilai adalah.. 0 a. - b. 0 c. d. e. ( ) sin h sin. Nilai adalah h 0 h a. cos b. sin c. tan d. cot e. sec cos. Nilai 0 a. 6 adalah. b. c. - d. e. 5 sin( ). Nilai adalah... a. b. ( ) sin( ). Nilai c. - d. - adalah.. a. 0 b. 5 c. d. 0 e. cos cos5 5. Nilai adalah.. 0 tan a. b. c. d. 6 e. cos( ) 6. Nilai adalah a. 0 b. c. d. e. sin tan 7. Nilai adalah. 0 a. b. c. 0 d. e. 8. Nilai a. ( y) tan( y) y 9 9 y 9 b. 9 adalah c. d. 9 e. 0 e. 50

51 9. Nilai a a a tan ( a) adalah. a. 0 b. c. d. e. 0. Suatu kubus mempunyai panjang rusuk r. Volume kubus merupakan fungsi dalam variable r, yaitu f(r) r. Laju perubahan volume kubus terhadap r, pada saat r adalah.. a. 5 b. 7 c.8 d. 9 e. II. Jawablah pertanyaan berikut dengan benar!. Tentukan nilai it berikut : a. 5 0 b Tentukan nilai it berikut : a. b ( 7)( )( 5 7) 8 c. ( 5 ) d. ( ) ( ) ( ) f h f. Tentukan jika diketahui h 0 h a. f() 7 b. f() -6 c. f ( ) 5

52 . Tentukan nilai it berikut : tan 5 cos5 a. 0 sin cos ( 6 9) b. ( ) ( 5 6) sin( ) c. ( ) d. π 6 ( ) π cos π 5. Lebar suatu persegi panjang adalah cm, sedangkan panjangnya sama dengan empat kali lebarnya. a. Jika L menyatakan luas persegi panjang itu, nyatakan L sebagai fungsi dari. b. Tentukan laju perubahan luas L terhadap pada saat cm. 5

53 KUNCI JAWABAN UJI KOMPETENSI AKHIR I.. A. D 5. B 7. E 9. D. A. B 5. D 7. D 9. B II.. a. 5 b. 7. a. b. 6 c. 5. a. L b. cm 5

54 DAFTAR PUSTAKA Departemen Pendidikan Nasional. 00. Kurikulum 00: Standar Kompetensi Mata Pelajaran Matermatika untuk Sekolah Menengah Atas dan Madrasah Aliyah. Jakarta. Finney, Ross L. & Thomas, George B. 99. Calculus, nd edition. New York: Addison Wesley Publishing Company. Johannes dkk Kompetensi Matematika. Jakarta : Yudhistira. Noormandiri, Endar Sucipto Matematika untuk SMU, Jilid. Jakarta : Erlangga. Purcell, E.J. dan Varbeg D.Terjemahan Bana Kartasasmita dkk Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid I, Edisi Kea. Jakarta: Erlangga. Sartono Wirodikromo. 00. Matematika untuk SMA. Jakarta : Erlangga. Siswanto Matematika Inovatif. Solo : Tiga Serangkai. Stewart, James. 00. Calculus, nd edition. USA : Thomson Learning Wodswort Group. Sumadi dkk Matematika SMU b. Solo : Tiga Serangkai. Sumartono Prawirosusanto. Catatan Kuliah Fisika Dasar I, MKDK Universitas Gadjah Mada. Yogyakarta. 5

55

karena limit dari kiri = limit dari kanan

karena limit dari kiri = limit dari kanan A. DEFINISI LIMIT Istilah it dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai it sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.. Pengertian Limit secara Intusi Untuk memahami

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Turunan Fungsi dan Aplikasinya Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

SMA Santa Angela Jl. Merdeka 24, Bandung

SMA Santa Angela Jl. Merdeka 24, Bandung SMA Santa Angela Jl. Merdeka 24, Bandung MODUL TURUNAN SUATU FUNGSI (Kelas XII IPA Oleh Drs. Victor Hery Purwanta I. Standar Kompetensi : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan

Lebih terperinci

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN

Lebih terperinci

matematika LIMIT TRIGONOMETRI K e l a s Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran

matematika LIMIT TRIGONOMETRI K e l a s Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran Kurikulum 6/ matematika K e l a s XI LIMIT TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menghitung it fungsi trigonometri di suatu

Lebih terperinci

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika PENGANTAR KALKULUS Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. SETIAWAN, M. Pd. Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini: LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat

Lebih terperinci

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2.

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2. integral 13.1 PENGERTIAN INTEGRAL Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 6 2. Jadi, turunan fungsi = 2 =2 3. Setiap fungsi ini memiliki turunan

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi 8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan

Lebih terperinci

Pembahasan a. Kecepatan partikel saat t = 2 sekon (kecepatan sesaat) b. Kecepatan rata-rata partikel saat t = 0 sekon hingga t = 2 sekon

Pembahasan a. Kecepatan partikel saat t = 2 sekon (kecepatan sesaat) b. Kecepatan rata-rata partikel saat t = 0 sekon hingga t = 2 sekon Soal Kinematika Gerak dan Analisis Vektor Soal No. 1 Sebuah partikel bergerak dengan persamaan posisi terhadap waktu : r(t) = 3t 2 2t + 1 dengan t dalam sekon dan rdalam meter. Tentukan: a. Kecepatan partikel

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Turunan Fungsi dan Aplikasinya Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan dalam perhitungan turunan ungsi; menggunakan turunan untuk

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP)

SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) Mata Kuliah Kode Mata Kuliah SKS Durasi Pertemuan Pertemuan ke : Kalkulus : TSP-102 : 3 (tiga) : 150 menit : 1 (Satu) A. Kompetensi: a. Umum : Mahasiswa dapat menggunakan

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan

Lebih terperinci

Disarikan dari Malatuni Topik Bahasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi

Disarikan dari Malatuni Topik Bahasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi Disarikan dari Malatuni 7 Topik Baasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi y f Ditulis: f L L X Amati ara terbang dua ekor burung menuju sangkar dari ara yang berbeda. Jika kita aplikasikan dalam bentuk matematis

Lebih terperinci

RENCANA PROGRAM KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER (RPKPS) MATEMATIKA TEKNIK

RENCANA PROGRAM KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER (RPKPS) MATEMATIKA TEKNIK RENCANA PROGRAM KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER (RPKPS) MATEMATIKA TEKNIK Program Studi: Teknik Elektro dan Teknologi Informasi Semester: Genap 2013/2014 OLEH : Ir. Mulyana Husni Rois Ali, S.T., M.Eng.

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN (GBPP) UNIVERSITAS DIPONEGORO

GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN (GBPP) UNIVERSITAS DIPONEGORO GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN (GBPP) UNIVERSITAS DIPONEGORO SPMI- UNDIP GBPP xx.xx.xx xx Revisi ke Tanggal Dikaji Ulang Oleh Dikendalikan Oleh Disetujui Oleh Ketua Program Studi GPM DekanFakultas. UNIVERSITAS

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

Teknik Pengintegralan

Teknik Pengintegralan Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah

Lebih terperinci

Limit Fungsi. Bab. Limit fungsi Pendekatan (kiri dan kanan) Bentuk tentu dan tak tentu Perkalian sekawan A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR

Limit Fungsi. Bab. Limit fungsi Pendekatan (kiri dan kanan) Bentuk tentu dan tak tentu Perkalian sekawan A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Bab Limit Fungsi A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran it fungsi, siswa mampu: 1. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab, konsisten

Lebih terperinci

Kinematika Gerak KINEMATIKA GERAK. Sumber:

Kinematika Gerak KINEMATIKA GERAK. Sumber: Kinematika Gerak B a b B a b 1 KINEMATIKA GERAK Sumber: www.jatim.go.id Jika kalian belajar fisika maka kalian akan sering mempelajari tentang gerak. Fenomena tentang gerak memang sangat menarik. Coba

Lebih terperinci

A.3 RPP Kelas PK RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Kelas PK

A.3 RPP Kelas PK RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Kelas PK 143 A.3 RPP Kelas PK RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Kelas PK Sekolah : SMA Negeri 1 dayeuhkolot Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Semester : X(Sepuluh)/Genap Alokasi Waktu : 6 JP A. STANDAR KOMPETENSI

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

Pengertian limit secara intuisi

Pengertian limit secara intuisi Pengertian it secara intuisi Perhatikan fungsi f ( ) = Fungsi diatas tidak terdefinisi di =, karena di titik tersebut f() berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f() jika mendekati Dengan

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

XIII. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5 0

XIII. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5 0 XIII Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. CERMAT Cerdas Matematika MODUL DAN LEMBAR KERJA SISWA (LKS) MATEMATIKA KELOMPOK TEKNOLOGI DAN INDUSTRI TINGKAT XII SEMESTER GASAL Disusun oleh : Dirwanto Nama

Lebih terperinci

GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN (GBPP) Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Metode Media/ Alat

GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN (GBPP) Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Metode Media/ Alat Mata Kuliah Kode/Bobot Deskripsi Singkat : Tujuan Instruksional Umum : : Kalkulus : TSP-102/3 SKS GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN (GBPP) Mata kuliah ini membahas tentang konsep dasar matematika. Pembahasan

Lebih terperinci

BAB 3 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

BAB 3 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Diktat Kuliah TK Matematika BAB LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Limit Fungsi Pengantar Limit Tinjau fungsi yang didefinisikan oleh f ( ) Perhatikan bahwa fungsi ini tidak terdefinisi pada = karena memiliki

Lebih terperinci

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63 FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN

SATUAN ACARA PERKULIAHAN SATUAN ACARA PERKULIAHAN 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/KODE/SEMESTER : Kalkulus I 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS : S1/3 SKS 5. LOMPOK MATA KULIAH : MPK / MPB / MKK/ MKB/ MBB

Lebih terperinci

matematika LIMIT ALJABAR K e l a s A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran

matematika LIMIT ALJABAR K e l a s A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran Kurikulum 6/1 matematika K e l a s XI LIMIT ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Dapat mendeskripsikan konsep it fungsi aljabar dengan

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. Standar kompetensi : Mengunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

LIMIT FUNGSI. Standar kompetensi : Mengunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah LIMIT FUNGSI Standar kompetensi : Mengunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga.

Lebih terperinci

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2006/2007

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2006/2007 UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 006/007 PANDUAN MATERI SMA DAN MA M A T E M A T I K A PROGRAM STUDI IPA PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA ITP

SATUAN ACARA PERKULIAHAN JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA ITP SATUAN ACARA PERKULIAHAN JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA ITP Mata kuliah : Kalkulus 1 Kode Mata Kuliah : TIS1213 SKS : 3 Waktu Pertemuan : 16 kali Pertemuan Deskripsi : Tujuan utama dari mata kuliah ini adalah

Lebih terperinci

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi Materi UTS Kalkulus 1 Semester Gasal 2016-2017 Pengajar: Hazrul Iswadi Daftar Isi Pengantar...hal 1 Pertemuan 1...hal 2-5 Pertemuan 2...hal 6-10 Pertemuan 3...hal 11-13 Pertemuan 4...hal 14-21 Pertemuan

Lebih terperinci

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2007/2008

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2007/2008 UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 007/008 PANDUAN MATERI SMA DAN MA M A T E M A T I K A PROGRAM STUDI IPA PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

BAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA. A. Deskripsi Buku Ajar Matematika SMA/MA Kelas X yang digunakan di

BAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA. A. Deskripsi Buku Ajar Matematika SMA/MA Kelas X yang digunakan di BAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA A. Deskripsi Buku Ajar Matematika SMA/MA Kelas X yang digunakan di SMA/MA Kecamatan Anjir Muara Berdasarkan BAB III telah diuraikan bahwa penelitian ini bertujuan

Lebih terperinci

KARTU SOAL UJIAN NASIONAL MADRASAH ALIYAH NEGERI PANGKALPINANG

KARTU SOAL UJIAN NASIONAL MADRASAH ALIYAH NEGERI PANGKALPINANG Jumlah 50 Bentuk Pilihan Ganda Standar Kompetensi : Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor Kompetensi Dasar : Menggunakan

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tujuan Pembelajaran Umum: 1 Mahasiswa mampu memahami konsep dasar persamaan diferensial 2 Mahasiswa mampu menggunakan konsep dasar persamaan diferensial untuk menyelesaikan

Lebih terperinci

BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Pembahasan pada bab ini dibagi dalam dua bagian. Pada bagian pertama dibahas it fungsi yang meliputi pengertian, sifat, dan penghitungan nilai it suatu fungsi. Pada

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

RENCANA PROGRAM KEGIATAN PERKULIAHAN SEMESTER (RPKPS)

RENCANA PROGRAM KEGIATAN PERKULIAHAN SEMESTER (RPKPS) RENCANA PROGRAM KEGIATAN PERKULIAHAN SEMESTER (RPKPS) Kode/ Nama Mata Kuliah : E124204 / KALKULUS 2 Revisi : 4 Satuan Kredit Semester : 2 SKS Tanggal Release : 16 Juli 2015 Jml Jam Kuliah Dalam Seminggu

Lebih terperinci

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

2. Untuk interval 0 < x < 360, nilai x yang nantinya akan memenuhi persamaan trigonometri cos x 2 sin x = 2 3 cos adalah

2. Untuk interval 0 < x < 360, nilai x yang nantinya akan memenuhi persamaan trigonometri cos x 2 sin x = 2 3 cos adalah Soal Babak Semifinal OMITS 007. Hubungan antara a dan b agar fungsi f x = a sin x + b cos x mempunyai nilai stasioner di x = π adalah a. a = b b. a = b d. a = b e. a = b a = b. Untuk interval 0 < x < 60,

Lebih terperinci

Bahan Ajar. Limit Fungsi Aljabar. (Edisi 1,00) Disusun Oleh : Fendi Alfi Fauzi

Bahan Ajar. Limit Fungsi Aljabar. (Edisi 1,00) Disusun Oleh : Fendi Alfi Fauzi Bahan Ajar Limit Fungsi Aljabar (Edisi 1,00) Disusun Oleh : Fendi Alfi Fauzi Fendi Alfi Fauzi Bahan Ajar Limit Fungsi Aljabar (Edisi 1,00) Tulisan ini bebas dibaca dan disebarluaskan kepada siapapun dengan

Lebih terperinci

Limit Fungsi. semua x bilangan real, kecuali x = 2

Limit Fungsi. semua x bilangan real, kecuali x = 2 LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) LIMIT FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Created By Ita Yuliana 27 Limit Fungsi Kompetensi Dasar

Lebih terperinci

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79 Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric

Lebih terperinci

Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika

Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika 14.1 APLIKASI INTEGRAL A. Usaha Dan Energi Hampir semua ilmu mekanika ditemukan oleh Issac newton kecuali konsep energi. Energi dapat muncul dalam berbagai

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Bagian 4 Terapan Differensial

Bagian 4 Terapan Differensial Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S1 KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S1 KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM GANDA DEPAG S1 DUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/SEMESTER : Kalkulus/2 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS

Lebih terperinci

Penyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya

Penyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya . Tentukan nilai maksimum dan minimum pada interval tertutup [, 5] untuk fungsi f(x) x + 9 x. 4. Suatu kolam ikan dipagari kawat berduri, pagar kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kolam berbentuk

Lebih terperinci

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

: Pramitha Surya Noerdyah NIM : A. Integral. ʃ f(x) dx =F(x) + c

: Pramitha Surya Noerdyah NIM : A. Integral. ʃ f(x) dx =F(x) + c Nama : Pramitha Surya Noerdyah NIM : 125100300111022 Kelas/Jur : L/TIP A. Integral Integral dilambangkan oleh ʃ yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali F(X )dari F -1 (X). Hitung integral adalah

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

Karena hanya mempelajari gerak saja dan pergerakannya hanya dalam satu koordinat (sumbu x saja atau sumbu y saja), maka disebut sebagai gerak

Karena hanya mempelajari gerak saja dan pergerakannya hanya dalam satu koordinat (sumbu x saja atau sumbu y saja), maka disebut sebagai gerak BAB I. GERAK Benda dikatakan melakukan gerak lurus jika lintasan yang ditempuhnya membentuk garis lurus. Ilmu Fisika yang mempelajari tentang gerak tanpa mempelajari penyebab gerak tersebut adalah KINEMATIKA.

Lebih terperinci

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan

Lebih terperinci

TUGAS MATEMATIKA INDUSTRI APLIKASI INTEGRAL DI BIDANG EKONOMI DAN KETEKNIKAN

TUGAS MATEMATIKA INDUSTRI APLIKASI INTEGRAL DI BIDANG EKONOMI DAN KETEKNIKAN NAMA : SISKA NUKE ENI PRADITA NIM : 125100301111044 KELAS : P TUGAS MATEMATIKA INDUSTRI APLIKASI INTEGRAL DI BIDANG EKONOMI DAN KETEKNIKAN A. APLIKASI INTEGRAL DI BIDANG EKONOMI Diartikan geometris dari

Lebih terperinci

SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran

SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54101 / Kalkulus I 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks

Lebih terperinci

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Matematika SMA (Program Studi IPA) Smart Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 0/0 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 0 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusun oleh : Hario Pamungkas 4.. Menyelesaikan persamaan trigonometri. Nilai

Lebih terperinci

Diferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Diferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan

Lebih terperinci

KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA

KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA Prosiding Seminar Nasional Volume 02, Nomor 1 ISSN 2443-1109 KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA Rio Fabrika Pasandaran 1, Patmaniar 2 Universitas Cokroaminoto

Lebih terperinci

LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM

LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM Bilangan Tidak Tertentu Nol = Bilangan yang menyatakan banyaknya elemen himpunan kosong Misal : A={Orang yang Istrinya } Terdapat bilangan mendekati dari kiri/bawah/negati

Lebih terperinci

GLB - GLBB Gerak Lurus

GLB - GLBB Gerak Lurus Dexter Harto Kusuma contoh soal glbb GLB - GLBB Gerak Lurus Fisikastudycenter.com- Contoh Soal dan tentang Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) dan Gerak Lurus Beraturan (GLB), termasuk gerak vertikal

Lebih terperinci

Trigonometri. Trigonometri

Trigonometri. Trigonometri Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut, Selisih ; Dua Sudut, dan Sudut Ganda Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus ; Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus ; Pernahkah

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

I. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK. 3. Selesaikan pertidaksamaan berikut dan gambarkan solusinya pada garis bilangan.

I. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK. 3. Selesaikan pertidaksamaan berikut dan gambarkan solusinya pada garis bilangan. I. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK. Buatlah diagram sistem bilangan riil.. Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak di antara kedua bilangan itu. a b a b a b. Selesaikan

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

LIMIT DAN KONTINUITAS. Arum Handini Primandari

LIMIT DAN KONTINUITAS. Arum Handini Primandari LIMIT DAN KONTINUITAS Arum Handini Primandari Jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka yang memuat a, kecuali di a sendiri, maka kita katakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

15. TURUNAN (DERIVATIF)

15. TURUNAN (DERIVATIF) 5. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:. y = u + v, y = u + v. y = c u, y = c u. y = u v, y = v u

Lebih terperinci

BAB II MACAM-MACAM FUNGSI

BAB II MACAM-MACAM FUNGSI BAB II MACAM-MACAM FUNGSI (Pertemuan ke 3) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang macam-macam fungsi, yaitu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial,

Lebih terperinci

PETA KONSEP MATERI GLB DAN GLBB

PETA KONSEP MATERI GLB DAN GLBB PETA KONSEP MATERI GLB DAN GLBB memerlukan Titik acuan contoh Orang naik bus contoh Gerak matahari Pohon berjalan Gerak Semu Terdiri atas Terdiri atas GERAK Terdiri atas Gerak Lurus Terdiri atas Gerak

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMA Negeri 2 Lahat Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Program : XII / IPA Semester : Ganjil

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMA Negeri 2 Lahat Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Program : XII / IPA Semester : Ganjil RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMA Negeri Lahat Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Program : XII / IPA Semester : Ganjil Standar Kompetensi : 1. Menggunakan konsep integral dalam

Lebih terperinci

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. HASIL PENELITIAN 1. Hasil Pengembangan Produk Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan yang bertujuan untuk mengembangkan produk berupa Skema Pencapaian

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1 Mata Kuliah Kode SKS : Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Kemampuan Akhir ang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menelesaikan pertaksamaan

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 2013

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 2013 Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 013 LOGIKA MATEMATIKA p siswa rajin belajar ; q mendapat nilai yang baik r siswa tidak mengikuti kegiatan remedial ~ r siswa mengikut kegiatan remedial Premis

Lebih terperinci

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si   Blog: PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Diferensial/ Diferensial/ dan Aplikasinya D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Diferensial/ Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk menghitung laju perubahan. Definisi Diferensial/

Lebih terperinci

A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan

A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan. Turunan Fungsi Aljabar a. Mengitung Limit Fungsi yang Mengara ke Konsep Turunan Dari grafik di bawa ini, diketaui fungsi y f() pada interval k < < k +, seingga

Lebih terperinci

INTEGRAL. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Integral tak tentu Fungsi aljabar Derivatif Antiderivatif A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR

INTEGRAL. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Integral tak tentu Fungsi aljabar Derivatif Antiderivatif A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Bab INTEGRAL A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran integral siswa mampu:. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah,

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

Limit Fungsi. Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Limit Fungsi. Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri 7 Limit Fungsi Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Mengitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri Cobala kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam

Lebih terperinci

BAB VIII BENTUK-BENTUK TAKTENTU

BAB VIII BENTUK-BENTUK TAKTENTU BAB VIII BENTUK-BENTUK TAKTENTU (Pertemuan ke 14) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini yang dibahas adalah tentang bentuk-bentuk tak tentu, yaitu:, 0., -,.. Limit-limit tersebut tak dapat diselesaikan

Lebih terperinci