Sardes Malau 1), Tulus 1) 1) Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara

Transkripsi

1 Semiar Nasioal da ExpoTekik Elektro 01 ISSN : Perecaaa Routig dega Permitaa Acak Megguaka Chace Costraied Programmig Sardes Malau 1), Tulus 1) 1) Matematika FMIPA Uiversitas Sumatera Utara Jl. Biotekologi 1, Meda 0155 Idoesia sardes_malau@yahoo.com, tulus@usu.ac.id ABSTRAK Chace costraied progammig dikembagka oleh Chares da Cooper merupaka salah satu bagia dari stochastic programmig. Chace costraied programmig adalah salah satu tekik yag dapat dipakai utuk meyelesaika permasalaha yag megadug kedala peluag. Dalam peelitia ii peulis mecoba memakai chace costraied programmig sebagai model dalam perecaaa routig suatu jariga yag maa permitaa (pemakaia badwidth) seperti dowload da upload dalam jariga ii bersifat tidak pasti atau dapat dikataka acak, dalam hal iilah chace costraied programmig peulis guaka yaki dalam meetuka suatu model routig terbaik serta pegalokasia badwidth secara optimal dalam suatu jariga, sehigga aka dicapai suatu jariga yag baik serta biaya miimal dalam pegalokasia badwidth dalam jariga tersebut. chace costraied programmig cocok diguaka dalam hal ii karea model ii dapat meggabugka atara ketidakpastia permitaa pada jariga dega tigkat jamia (level of guaratee) yag mau maajeme jariga berika kepada peggua jariga tersebut. Kata kuci: Perecaaa Routig, Permitaa Acak, Chace Costraied Programmig 1. Pedahulua Pertumbuha iteret yag sagat cepat meimbulka berbagai masalah seperti loadig yag lambat bahka tidak dapat terhubug (lost coected). Semua ii berhubuga dega Routig dalam suatu jariga telekomuikasi yaitu proses dari peetua sebuah litasa yag dipakai utuk megirim data ke tujua tertetu, dega pegalokasia badwidth atau dalam bahasa sehari-hari suatu perhituga kosumsi data yag tersedia pada suatu jariga telekomuikasi. Dihitug dalam satua bits per secods (bps), karea itu diperluka suatu perecaaa routig da pegalokasia badwidth pada arsitektur jariga di masa yag aka datag diracag sesuai dega permitaa yag bergerak secara diamis, hal ii berarti atura routig dapat dibuat dalam jagka pedek. Maka dari itu, jumlah badwidth yag dibutuhka utuk melayai permitaa dapat berubah secara diamis. D-8 Distribusi dari kumpula trafik permitaa (aggregatio traffic demad) dapat diaggap berdistrisbusi ormal [1]. Pedekata Chace Costraied Programmig yag dikembagka oleh Rao [4] da Liu [4] dapat mejadi alteratif terhadap pedekata syarat pemesaa badwidth berdasarka rata-rata. Dalam peelitia ii, variasi permitaa diatas rata-rata dapat ditagai secara statistik didasarka pada tigkat jamia (level of guaratee) tertetu. Dalam peelitia ii peulis mecoba meerapka Chace Costraied Programmig (CCP) dalam perecaaa routig da alokasi badwidth pada jariga telekomuikasi dega kedala permitaa acak, keterbatasa badwidth serta meggabugkaya dega tigkat jamia pelayaa.. Ladasa Teori Chace Costraied Programmig Merupaka tekik kedua dari program stokastik yag dikembagka oleh Chares da Cooper, seperti yag diyataka dari amaya program chace costraied adalah satu tekik yag bisa dipakai utuk meyelesaika persoala yag megadug kedala peluag, kedala tersebut mempuyai peluag terbatas tertetu utuk dilaggar. Program chace costraied ii memperbolehka kedala utuk dilaggar oleh sebuah peluag tertetu (peluag kecil) dimaa tekik lai tidak ada. Rao memberika betuk umum program chace costraied programmig dari persoala program liier stokastik sebagai berikut: Miimize Dega kedala P a ij x j b i (1) p i, i = 1,,, m () x j 0, j = 1,,, (3) Dimaa c j, a ij, da b i adalah variabel acak da p i adalah tigkat peluag tertetu. Perhatika bahwa persamaa meujukka bahwa kedala ke-i

2 Semiar Nasioal da ExpoTekik Elektro 01 ISSN : a ij x j b i Harus dipeuhi dega sebuah peluag dari setidakya p i dimaa 0 p i 1. Utuk peyederhaaa asumsika bahwa variabel keputusa x j adalah determiistik. Aka dimisalka kasus dimaa haya c j atau a ij atau b i adalah variabel acak. Diasumsika bahwa semua variabel acak adalah berdistribusi ormal dega mea da stadar deviasi diketahui..1 Utuk Haya a ij yag Variabel Acak Misalka a j da Var a ij = σ ij merupaka ratarata da varias distribusi ormal variabel acak a ij, i = 1,, m ; j = 1,,.., juga diketahui dega covaria, Cov(a ij, a kl ) atara variabel acak a ij da a kl. Defiisika d i sebagai d i = a ij x j, i = 1,,.. m (5) Karea a i1, a i,, a i berdistribusi ormal da x 1, x,, x merupaka kosta, d i juga aka berdistribusi ormal dega ilai rata-rata d i = a ij x j, i = 1,,.., 6 Da sebuah varia dari x j 0, j = 1,,, (1). Utuk Haya b i yag Variabel Acak Dega megguaka prisip yag sama seperti kasus a, maka program stokastik liier pada persamaa 1 sampai 3 adalah sama dega persoala program liier determiistik di bawah ii: Miimize Dega kedala (13) a ij x j b i e i Var(b i ) 0 (14) x i 0, j = 1,,, (15).3 Utuk haya c j yag Variabel Acak Semetara persoala program liier stokastik yag diyataka pada persamaa 1 sampai 3 dapat diperoleh dega meyelesaika persamaa program oliier determiistik berikut: Miimize k 1 Dega kedala + k X T VX (16) Var d i = σ di = X T V i X (7) Dimaa V i adalah matriks covaria ke-i, maka kedala dapat diperlihatka sebagai P d i d i Var(d i ) P d i b i p i (8) b i d i Var(d i ) p i (9) Dimaa d i d i/ Var(d i ) dapat dipadag sebagai sebuah variabel ormal stadar dega rata-rata ol da varia satu. Maka dega megguaka prisip distribusi ormal stadar persoala program stokastik yag ditujukka pada persamaa da 3 dapat diubah mejadi persoala program determiistik berikut: Miimize Dega kedala (10) a ij x j + e i X T V i X b i 0 (11) D-9 a ij x j b i 0 (17) x j 0, j = 1,,, (18) Jika semua variabel acak c j adalah salig bebas, maka fugsi objektif persamaa 16 direduksi mejadi k 1 cj x j 3. Metode Peelitia + k Var(c j )x j (19) Karea peelitia ii bersifat studi literatur jadi peulis mecoba mecari sebayak mugki bahabaha dari buku ataupu peelitia-peelitia sebelumya yag berhubuga dega permasalaha dalam peelitia ii. Pada peulisa peelitia ii, peulis memakai metode dega lagkah-lagkah sebagai berikut:

3 Semiar Nasioal da ExpoTekik Elektro 01 ISSN : Meetuka variabel-variabel yag berhubuga dega pokok permasalaha.. Mecari suatu model optimisasi dega chace costraied programmig. 3. Meyelesaika model yag diperoleh sehigga pada akhirya diperoleh litasa optimal da alokasi badwidth pada setiap lik. 4. Hasil da Pembahasa Pada bagia ii peulis aka membahas model matematika chace costraied programmig utuk perecaaa jariga dega permitaa acak. Utuk meguji model yag ada peulis aka mecoba memakai model tersebut dalam meyelesaika cotoh permasalaha. Karea kesulita dalam megambil cotoh kasus yata, maka dalam tulisa ii peulis megguaka cotoh pemisala saja. 4.1 Model Umum CCP Utuk Jariga Telekomuikasi Misalka N himpua variabel acak, diotasika dega ξ i. Misalka x i merupaka variabel keputusa yag dihubugka dega biaya c i. Dalam koteks sebuah jariga, x i dapat meujukka kapasitas atau badwidth yag dialokasika pada lik i dalam batas b i. Adaika bahwa badwidth tersebut dapat diguaka utuk membawa beberapa permitaa acak dega beberapa ilai peluag tertetu, sebuah formulasi sederhaa dari CCP yag diberika oleh Koolachat Meesublak [3]. Adalah sebagai berikut: Miimize i=1 c i x i (0) Dega kedala: P x i ξ i α i, i = 1,, N 1 x i b i, i = 1,,, N x i 0, i = 1,,, N (3) Dimaa 0 α i 1. Kedala 1 merupaka kedala peluag diguaka utuk memastika bahwa kapasitas atau badwidth yag dialokasika pada lik i adalah lebih besar atau sama dega sebuah parameter tak pasti ξ i utuk peluag setidakya α i. Dega kata lai, model tersebut memperbolehka kedala tersebut dapat dilaggar sampai dega sebuah batas peluag kurag dari (1 α i ), hal ii dapat dimasukka dalam model utuk memastika permitaa acak dapat dibawa dega sebuah tigkat jamia sebesar α. Kedala dari persamaa 1, yaki: P x ξ α (4) Dapat diubah ke dalam sebuah persamaa determiistik. Misalka bahwa sebuah variabel acak ξ D-10 berdistribusi ormal, dega distribusi kumulatif φ(. ) da trasformasi ivers ya φ 1 (. ). misalka φ 1 α = K. Oleh karea itu, P K ξ = α. Adalah bear bahwa P(x ξ) α jika da haya jika x K. Dalam tulisa ii, dimisalka bahwa trafik permitaa ξ adalah berdistribusi ormal dega rata-rata (μ) da varia (σ ). Dega z, diperoleh P x μ z α jika da σ haya jika x μ φ 1 α, atau dapat dituliska sebagai σ berikut: x μ + φ 1 α σ (5) Ii merupaka persamaa determiistik dari kedala peluag 4, persamaa ii dapat diartika sebagai berikut. Utuk mejami bahwa lik dapat membawa/medukug permitaa acak setidakya 100(α)%, perlu,megalokasika badwidth setidakya φ 1 α σ diatas rata-rata (μ) dari permitaa. Jadi miimal badwidth yag harus dialokasika pada sebuah lik dega tigkat jamia α adalah x = μ + φ 1 α σ (6) 4. Model Matematika Perecaaa Jariga Dega CCP Aka dicoba megembagka sebuah model matematika programmig didasarka pada CCP. Misalka peulis igi meetuka jumlah badwidth yag harus dialokasika pada lik j, asumsika bahwa lik tersebut membawa trafik permitaa ξ 1,, ξ K, dega masig-masig berdistribusi ormal dega ratarata μ K da varia σ K, k = 1,, K, masig-masig permitaa mempuyai tigkat jamia tertetu (α K ). Dega kata lai, tiap trafik permitaa aka dijami sebesar α K sepajag litasa dari sumber ke tujua. Didasarka pada persamaa 6 yag telah diperoleh, maka total badwdith yag dialokasika utuk mejami semua trafik permitaa pada lik tersebut dapat ditetuka sebagai berikut: K x j = μ k + φ 1 α k σ k (7) k=1 Berikut cotoh jumlah badwidth yag harus dialokasika utuk sebuah lik sepasag ode, dicari berdasarka jamia statistika yag dibahas dalam tulisa ii. Misalka dari beberapa permitaa diperoleh rata-rata permitaa adalah 5 Mbps, da ilai maksimum adalah 34 Mbps, sedagka stadar deviasiya adalah 5 Mbps. Misalka α = 0.95, maka φ = Misal bayak trafik permitaa: ξ 1,, ξ 10 dega distribusi da parameter yag sama

4 Semiar Nasioal da ExpoTekik Elektro 01 ISSN : x j = K μ k + φ 1 α k σ k k=1 = 10 X 5 + φ X 10 = X 5 X 10 = = Jadi dapat disimpulka bahwa utuk mejami kemampua lik tersebut utuk meaggug semua trafik permitaa tersebut, maka perlu dialokasika badwidth sebesar Mbps Koolachat Meesublak [3] Memberika suatu formulasi CCP utuk perecaaa jariga dega permitaa acak. Misalka sebuah jariga didefiisika sebagai sebuah graph (N, A) dimaa N merupaka himpua dari ode, da A merupaka himpua dari lik. Notasi yag diguaka adalah sebagai berikut: D meujukka kumpula trafik permitaa dari titikke-titik. Dega masig-masig rata-rata μ da varia σ k p k meujukka himpua calo litasa dari permitaa kεd c j meujukka biaya per uit badwidth pada lik jεa α k meujukka tigkat jamia utuk permitaa kεd. w j meujukka batas badwidth yag diperbolehka pada lik jεa. f k,p meujukka variabel keputusa, dimaa sama dega 1 jika alira dari permitaa k memilih litasa p dari himpua calo litasa p k, da 0 utuk laiya. δ j k,p merupaka sebuah parameter bier. Sama dega 1 jika litasa pεp k utuk permitaa k megguaka lik j, da 0 utuk laiya. Perhatika bahwa δ j k,p ditetuka ketika himpua calo litasa p k dicari. Tujua dari model ii adalah utuk meetuka litasa optimal atau dalam model ii himpua terbaik dari f k,p sehigga total biaya jariga berupa total pegalokasia badwidth miimal. Masuka ke dalam model ii megadug parameter-parameter : Topologi jariga, sebuah himpua dari trafik permitaa acak dega iformasi probabilistik (rata-rata da varia), parameter biaya, da tigkat jamia dari masig-masig permitaa. Sedagka hasil keluara dari model ii adalah pemiliha litasa optimal dega batas yag tidak pasti,badwidth} yag dibutuhka dalam setiap lik, da biaya optimal. Dega otasi di atas, biaya miimum dari perecaaa jariga dega permitaa acak dapat diformulasika sebagai berikut. Miimize D-11 jεa kεd pε p k Dega kedala: kεd pε p k c j μ k + φ 1 α k σ k δ j k,p f k,p (8) c j μ k + φ 1 α k σ k δ j k,p f k,p W j, j εa 9 f k,p = 1, j εd (30) pε p k f k,p ε 0, 1 (31) Kedala 9 memastika bahwa jumlah dari kapasitas badwidth yag dialokasika pada lik j tidak melebihi dari batas W j, yag merupaka batas atas dari badwidth pada lik tersebut yag ditetuka oleh maajeme jariga atau kapasitas fisik lik. Kedala 30 memaksa permitaa k aka diruteka pada litasa tuggal utuk mempertahaka itegritas alira. Cotoh 1. Gambar 1. Jariga dega topologi mesh mempuyai 6 ode da 9 lik terhubug Diketahui sebuah jariga dega topologi seperti di atas mempuyai 6 ode serta 9 lik terhubug lagsug. Dari jariga di atas aka dicoba mecari litasalitasa terbaik utuk setiap permitaa yag diketahui di bawah ii sehigga diperoleh pegalokasia badwidth optimal pada tiap lik. Himpua trafik permitaa dari titik-ke-titik (D): k 1 : 1 6 dega μ 1 = 45 da σ 1 = 36 k : 1 5 dega μ = 40 da σ = 5 k 3 : 1 4 dega μ 3 = 35 da σ 3 = 16 k 4 : 6 dega μ 4 = 30 da σ 4 = 16 k 5 : 5 dega μ 5 = 4 da σ 5 = 36 k 6 : 3 6 dega μ 6 = 50 da σ 6 = 49 Setiap permitaa di atas meujukka trafik permitaa acak timbal-balik dari sepasag ode dalam hal ii peulis memisalka bahwa sepasag ode aka

5 Semiar Nasioal da ExpoTekik Elektro 01 ISSN : megguaka litasa tuggal. Misalka utuk setiap trafik permitaa titik-ke-titik berlaku: Tigkat jamia α k setiap trafik permitaa acak tersebut adalah 0.99 Satua biaya badwidth Rp. 1 /Mbps pada semua lik Besar batas badwidth W j yag diperbolehka utuk setiap lik adalah 130 Mbps p k : Himpua calo litasa utuk trafik permitaa kεd, syarat pemiliha calo litasa: 1. Maksimum Hop/ode = 4.. Tidak terjadi loop. Ii berarti bahwa dalam litasa tidak aka terjadi satu paket data melewati sebuah ode lebih dari satu kali. Utuk k = 1 P 1 : j j 6 j 9 P : j j 5 j 8 P 3 : j j 6 j 7 j 8 P 4 : j j 5 j 7 j 9 P 5 : j j 4 j 3 j 8 P 6 : j 1 j 3 j 8 P 7 : j 1 j 3 j 7 j 9 P 8 : j 1 j 4 j 6 j 9 P 9 : j 1 j 4 j 5 j 8 Utuk k = P 10 : j j 6 P 11 : j j 5 j 7 P 1 : j j 4 j 3 j 7 P 13 : j 1 j 3 j 7 P 14 : j 1 j 4 j 6 P 15 : j 1 j 4 j 5 j 7 P 16 : j 1 j 3 j 5 j 6 Da seterusya sampai k = 6 Model matematik di atas peulis selesaika dega megguaka program LINDO da diperoleh hasil sebagai berikut: Kumpula litasa terbaik/optimal yaitu: litasa pada model ii adalah kapasitas badwidth. Aka tetapi juga dapat dilihat bahwa model ii juga selalu berusaha mecari litasa terbaik dega kapasitas badwidth yag memadai serta litasa dega jarak terpedek karea pada model yag mejadi tujua adalah memiimalka pegalokasia badwidth, karea litasa dega jarak terpedek secara otomatis meujukka alokasi badwidth terkecil(lebih sedikit lik yag meaggug trafik permitaa tersebut). 5. Kesimpula Dari hasil peelitia ii dapat dilihat bahwa Chace Costraied Programmig dapat mejadi salah satu model pedekata utuk peghemata pegalokasia badwidth dalam jariga dega kodisi ketidakpastia trafik permitaa. Chace Costraied Programmig yag dipakai dalam model ii dapat lagsug memasukka ketidakpastia permitaa kedalam masalah perecaaa jariga. REFERENSI [1] Kilpi, J da I. Norros. 00. Testig the Gaussia approximatio of aggregate traffic. I Proc. Iteret Measuremet Workshop, pages [] Liu, B Theory ad Practise of Ucertai Programmig. Third Editio. Tsighua Uiversity Beijig , Chia. UTLAB. [3] Meesublak, Koolachat Jauari 01. Network Desig uder Demad Ucertaity. etatios/\\ rw/koolachat.pdf. [4] Rao, S.S Optimizatio : theory ad applicatio, Edisi kedua, Deptt. Of mechaical Egg. Sa Diego State Uiversity. Sa Diego. USA. Litasa P : j j 5 j 8 utuk trafik permitaa k 1 Litasa P 10 : j j 6 utuk trafik permitaa k Litasa P 17 : j 1 j 3 utuk trafik permitaa k 3 Litasa P 5 : j 4 j 5 j 8 utuk trafik permitaa k 4 Litasa P 30 : j 3 j 7 utuk trafik permitaa k 5 Litasa P 37 : j 6 j 9 utuk trafik permitaa k 6 Dari kumpula litasa optimal di atas dapat dilihat bahwa litasa dega jarak terpedek (jumlah ode palig sedikit) tidak secara lagsug mejadi litasa terbaik utuk suatu trafik permitaa. Seperti pada $k = 4 yag diruteka dega megguaka litasa P 5 semetara terdapat P 3 yag lebih pedek. Hal ii karea parameter utama yag mejadi ukura dalam pemiliha D-1