PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL

Transkripsi

1 PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Peran Transformasi Tustin pada Ruang Kontinu dan Ruang Diskret adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2009 Samsurizal NIM G

3 ABSTRACT SAMSURIZAL. The Role of Tustin Transformation in Continuous and Discrete- Time Systems. Under supervision of TONI BAKHTIAR and NUR ALIATININGTYAS. This thesis studies the role of the so-called Tustin transformation. The continuous-time system can be discretized into that discrete-time system, and viceversa. Tustin transformation is one of the methods that can be used to change continuous into a discrete-time system. It is well-known that the stability region of continuous-time system is located in the left-hand-side of the complex space, while that of the discrete-time system is laid in the unit circle. In this thesis, we demonstrate that Tustin transformation can be exploited in analyzing both of the stability regions. We also derive several corresponding properties of the continuous and discrete-time domain by exploiting Tustin transformation. Keywords: continuous-time systems, discrete-time systems, Tustin transformation, stability region.

4 RINGKASAN SAMSURIZAL. Peran Transformasi Tustin pada Ruang Kontinu dan Ruang Diskret. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan NUR ALIATININGTYAS. Sistem ruang waktu terdiri dari dua bagian, yaitu: sistem ruang kontinu dan sistem ruang diskret. Sistem ruang kontinu dinyatakan dalam persamaan diferensial, sedangkan sistem ruang diskret dinyatakan dalam persamaan beda. Secara umum, solusi dari persamaan diferensial dan persamaan beda lebih sulit ditemukan daripada solusi persamaan aljabar. Oleh karena itu, biasanya persamaan diferensial dan persamaan beda ditransformasikan menjadi fungsi rasional yang merupakan bentuk khusus dari fungsi aljabar. Transformasi Laplace adalah suatu metode yang bermanfaat untuk menemukan penyelesaian dari suatu persamaan diferensial secara lebih mudah, yaitu dengan cara mengubah bentuk suatu persamaan diferensial dalam peubah waktu kontinu menjadi suatu persamaan aljabar dalam peubah kompleks. Persamaan aljabar ini selanjutnya dinyatakan dalam ekspresi fungsi rasional. Sehingga ekspresi fungsi hasil transformasi Laplace disebut juga fungsi transfer atau fungsi alih. Fungsi alih sistem persamaan linear parameter konstan didefinisikan sebagai perbandingan dari transformasi Laplace keluaran (fungsi respon) dan transformasi Laplace masukan (fungsi penggerak) dengan menganggap semua nilai awal adalah nol. Dari fungsi alih tersebut didefinisikan zeros sebagai akar-akar dari persamaan transformasi Laplace keluaran dan poles sebagai akar-akar dari persamaan transformasi Laplace masukan. Poles dikatakan stabil, jika terletak di sebelah kiri sumbu khayal pada bidang s dan selainnya poles dikatakan takstabil. Demikian juga dengan zeros, jika terletak di sebelah kiri sumbu khayal pada bidang s, maka mempunyai fase minimum, selainnya zeros mempunyai fase tidak minimum. Metode lainnya yang bermanfaat untuk mengubah suatu persamaan adalah transformasi Z. Transformasi Z dapat mengubah suatu persamaan beda dalam peubah waktu diskret menjadi suatu persamaan aljabar dalam peubah kompleks. Ekspresi hasil fungsi transformasi Z juga sering dinyatakan dalam bentuk fungsi rasional. Pada fungsi tersebut akar-akar dari pembilang dinamakan zeros dan akarakar dari penyebut disebut poles. Sistem diskret dikatakan stabil, jika poles terletak di dalam lingkaran satuan terbuka dengan pusat titik asal pada bidang z dan selainnya poles dikatakan takstabil. Suatu sistem kontinu dapat didiskretkan sehingga menjadi suatu sistem diskret, demikian juga sebaliknya. Transformasi Tustin adalah salah satu metode yang digunakan untuk mengubah sistem kontinu menjadi sistem diskret. Penelitian ini mengkaji peran transformasi Tustin dalam proses transformasi dari sistem kontinu ke sistem diskret. Dua topik yang menjadi pusat perhatian adalah masalah transformasi daerah kestabilan sistem dan transformasi beberapa sifat yang berlaku di ruang kontinu dan diskret. Hasil penelitian menunjukkan bahwa daerah kestabilan sistem ruang kontinu terletak di sebelah kiri sumbu khayal pada bidang s, sedangkan daerah kestabilan sistem ruang diskret terletak di dalam lingkaran satuan terbuka pada bidang z. Dari penelitian ini pun diperoleh hasil bahwa transformasi Tustin dapat mentransformasikan daerah kestabilan sistem ruang kontinu yang terletak di

5 sebelah kiri sumbu khayal pada bidang s kepada daerah kestabilan sistem ruang diskret yang terletak di dalam lingkaran satuan terbuka dengan pusat titik asal pada bidang z. Peran transformasi Tustin yang lain adalah diperoleh hasil padanan Teorema Redaman Integral Bode, Akibat Redaman Integral Bode, dan Teorema Integral Bode di ruang diskret. Sedangkan di ruang kontinu diperoleh padanan Teorema Poisson Jensen. Kata-kata kunci: sistem waktu kontinu, sistem waktu diskret, transformasi Tustin, daerah kestabilan.

6 Hak Cipta milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB.

7 PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

8 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Jaharuddin, M.Si.

9 Judul Tesis Nama NIM : Peran Transformasi Tustin pada Ruang Kontinu dan Ruang Diskret : Samsurizal : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. Ketua Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian: 18 Agustus 2009 Tanggal Lulus: 24 Agustus 2009

10 Kupersembahkan untuk yang tercinta Rima Susiana dan yang tersayang Athiyyah Riri Syahfitri serta Adithiya Darma Dzakwan.