PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
|
|
- Hendra Makmur
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan ring atau bukan b. membuktikan suatu struktur aljabar merupakan ring B. Lembar Kerja Mahasiswa Pengertian ring dapat dibangun dengan memperhatikan Himpunan bilangan bulat Z terhadap dua operasi yang disebut dengan penjumlahan dan pergandaan serta mengingat kembali aksioma dalam grup ditambahkan satu pengertian tertentu :. 1. Coba ingat kembali himpunan bilangan bulat Z! Z = {.., -2, -1, 0, 1, 2,..} = { 0, -1, 1, -2, 2,. } 2. jika pada Z dikenakan dua operasi sederhana, yaitu penjumlahan dan perkalan biasa :, periksalah pertanyaan-pertanyaan berikut dipenuhi atau tidak : I. Apakah (Z,+) merupakan grup komutatif? II. Apakah (Z,x) tertutup dan assosiatif? III. Apakah setiap 3 elemen sebarang a, b, dan c dalam Z berlaku : 1. a x (b + c) = (a x b ) + (a x c) 2. (a + b) x c = (a x c ) + (b x c) Tuliskan secara matematis pertanyaan III. di atas, kemudian negasikan!!! Kalian masih ingat, sifat apa namanya. 3. Diberikan himpunan bilangan bulat Z dengan operasi biner penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan: x,y Z Pengantar struktur Aljabar 56
2 Pertemuan 13 No. Operasi A x y = x + y -1 x + y + 1 x + y - 2 x + y B x y = x + y - xy x + y + xy 3xy 2xy Coba dianalisa dengan menjawab 3 pertanyaan (I, II dan III) di atas dengan cara memasangkan operasi penjumlahan dan pergandaan, A1B1, A2B1, A3B1, A4B1, A1B2, A2B2, dan seterusnya sesuai dengan definisinya,!. C. Pengertian Ring Struktur aljabar adalah suatu himpunan tidak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S,*) dan jika S dilengkapi dengan dua operasi biner * dan maka struktur aljabar tersebut dinyatakan (S,*, ) atau (S,,*). Definisi 1.: Suatu struktur aljabar R terhadap dua operasi yang biasanya dikatakan dengan penjumlahan (+) dan pergandaan (*) disebut ring, jika I. (R,+) merupakan group komutatif II. (R,*) tertutup dan asosiatif III. (R,+,*) bersifat distributive (distributive kiri dan kanan) : a, b, c R, 1. a * (b + c) = (a * b) + (a * c) 2. (a + b) * c = (a * c) + (b * c) Catatan : - ring (R,+,.) seringkali hanya dituliskan suatu ring R dengan tidak menuliskan operasi-operasinya. (Jika kita mengatakan suatu himpunan R adalah ring maka secara implicit di dalam R dikenakan dua operasi Pengantar struktur Aljabar 57
3 Pertemuan 13 penjumlahan dan pergandaaan yang memenuhi 3 aksioma I, II, dan III) - dibedakan antara elemen identitas dengan elemen netral, yaitu : Elemen identitas terhadap penjumlahan disebut elemen netral atau elemen nol dinotasikan dengan 0, sedangkan Elemen identitas terhadap pergandaan (jika ada) disebut elemen satuan biasanya dinotasikan e atau 1. - Invers elemen a R terhadap penjumlahan ditulis a dan elemen invers dari a terhadap pergandaan (jika ada) ditulis a -1. Contoh : 1. Himpunan bilangan bulat Z terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan sebagai berikut juga merupakan ring, a. b Z a b = a + b + 1 dan a b = a + b + ab - (Z, ) merupakan grup komutatif, sebab: Tertutup : a, b Z, a b = a + b +1 Z Assosiatif : a, b, c Z, (a b) c = (a + b +1) c = (a + b + 1) + c + 1 = a + (b + c + 1) + 1 = a + (b c) + 1 = a (b c) Mempunyai elemen netral Misal u elemen netral maka a Z maka a u = u a = a u a = a dan a u = a u + a + 1 = a a + u + 1 = a u = 1 u = 1 Setiap elemen mempunyai invers Pengantar struktur Aljabar 58
4 Pertemuan 13 Ambil sebarang a Z dan misalkan b = a maka a b = b a = - 1 a b = 1 dan b a = 1 a + b + 1 = 1 b + a + 1 = 1 b = a 2 b = a 2 Kommutatif a, b Z, a b = a + b + 1 = b + a + 1 = b a - (Z, ) tertutup dan assosiatif : a, b, c Z, i. a b = a + b + ab Z ii. (a b) c = (a + b + ab) c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c = a + b + c + ab + ac + bc + abc = a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) = a + b c + a(b c) = a (b c) - (Z,, ) distributif: a, b, c Z, i. a (b c) = a (b + c + 1) = a + (b + c + 1) + a(b + c + 1) = a + b + c ab + ac + a = (a + b + ab) + (a + c + ac) + 1 = a b + a c + 1 = (a b) ( a c) ii. (a b) c = (a + b + 1) c = (a + b + 1) + c + (a + b + 1)c = a + b c + ac + bc + c = (a + c + ac) + (b + c + bc) + 1 = (a c) + (b c) + 1 = a c b c Pengantar struktur Aljabar 59
5 Pertemuan Himpunan bilangan bulat Z terhadap penjumlahan ± dan pergandaan yang didefinisikan sebagai berikut : a. b Z a ± b = a + b + 2 dan a b = a + b + ab bukan merupakan ring sebab tidak berlaku sifat distributif : 1, 2, 3 Z (1 ± 2) 3 = ( ) 3 = 5 3 = = 23 (1 3) ± (2 3) = ( ) ± ( ) = = Z, Q, dan R adalah merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa. 4. misalkan M = a b c d a, b, c, d Q maka merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. COBA BUKTIKAN! Tugas kelompok : membuat 1 contoh ring dan 1 contoh bukan ring (karena tidak dipenuhinya sifat distributif) yang ditulis dalam plastic transparan Tugas mandiri : belajar sifat sederhana ring dengan membuat resume Pengantar struktur Aljabar 60
6 Pertemuan 14 SIFAT-SIFAT SEDERHANA RING A. Pendahuluan Mahasiswa diharapkan sudah memahami pengertian ring beserta bukti formalnya, sehingga target pertemuan ke_14 ini dengan mudah dapat dicerna. Target yang dimaksuk adalah : a. dapat menyebutkan sifat-sifat sederhana ring b. mampu membuktikan sifat-sifat tersebut c. menggunakan sifat-sifat sederhana ring dalam menyelesaikan soal B. Sifat-sifat Sederhana Ring Teorema 1.: Jika R suatu ring maka : a. a.0 = 0.a = 0, a R b. a(-b) = (-a)b = -ab, a, b R c. (-a)(-b) = ab, a, b R d. a(b c) = ab ac, a, b, c R Bukti : Diketahui R adalah ring, maka : a. 0 R dan = 0 sehingga a.(0 + 0) = a.0 a.0 + a.0 = a.0 distributif a.0 + a.0 = a elemen netral a.0 = 0 kanselasi kiri dengan cara analog, mudah ditunjukkan 0.a = 0. Mahasiswa dipersilakan mencoba b. a, b R, -a, -b R sehingga a + a = 0 dan b + b = 0 a(-b) + ab = a(-b + b) dan (-a)b + ab = (-a + a)b distributif = a0 = 0b 0 elemen netral = 0. = 0 teorema 1.a. Pengantar struktur Aljabar 61
7 Pertemuan 14 maka a(-b) dan (-a)b masing-masing merupakan invers dari ab, dan elemen invers tunggal sehingga ( a)b = a(-b) = -ab c. a, b R, (-a)(-b) = -(a(-b)) teorema 1.b = -(-(ab)) teorema 1.b = ab sifat sederhana grup d. a, b, c R, a(b c) = a(b + (-c)) definisi b c = b + (-c) = ab + a(-c) distributif = ab + (-(ac)) teorema 1.b = ab ac definisi pengurangan Definisi 2.: Misalkan R suatu ring dan m suatu bilangan bulat positif, didefinisikan a R : i. 0.a = 0 R, dengan 0 Z dan 0 R elemen netral dari ring R. ii. ma = a + a + a +.+ a sebanyak m-suku, dan iii. (-m) a = m(-a) = (-a) + (-a) +. + (-a) sebanyak m-suku Teorema 2.: Misalkan R suatu ring dan m, n bilangan bulat dan a, b R maka : a. (m + n)a = ma + na b. m(a + b) = ma + mb c. m(na) = (mn)a Bukti : sebagai latihan mahasiswa Definisi 3.: Misalkan R suatu ring, didefinisikan a R : a m = a.a.a.a sebanyak m faktor Teorema 3.: Misalkan R suatu ring, m dan n masing-masing bilangan bulat maka a R berlaku: i. a m.a n = a m+n ; ii. (a m ) n = a mn. Pengantar struktur Aljabar 62
8 Pertemuan 14 Bukti : i. a m. a n = a a. a... a. a a. a... a = a142. a. a a m faktor n faktor m+ n faktor = a m+ n ii. ( a m ) n m m m = a a... a n faktor = a 142 m+ m m n suku = a mn Contoh : Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4} adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 5, maka : 3 2 = 3x3 = 4, 3 4 = 3x3x3x3 = 4x4 = = 3+3 = 1, 4.3 = = 1+1 = 2 Definisi 4.: Misalkan R suatu ring dan a R, maka : i. a disebut elemen idempoten jika a 2 = a ii. a disebut elemen nilpoten jika n bilangan bulat sehingga a n = 0. (0 = elemen netral dari R) Catatan : Setiap ring R, pasti elemen 0 merupakan elemen idempoten sekaligus elemen nilpoten, dan elemen satuan dari R (jika ada) pasti merupakan elemen idempoten Contoh : 1. Z 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 6 maka 3 dan 4 adalah elemen idempoten, sebab 3 2 = 3 dan 4 2 = 4 2. Z 8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 8, maka : 2 3 = 0, 4 2 = 0, 6 3 = 0 maka 2, 4, dan 6 masing-masing adalah elemen nilpoten Pengantar struktur Aljabar 63
9 Pertemuan 14 Tugas Mandiri : Soal : 1. Buktikan teorema 2. di atas 2. Tunjukkan bahwa suatu ring yang tidak memiliki elemen nilpoten yang bukan 0 jika dan hanya jika 0 merupakan satu-satunya penyelesaian dari x 2 = 0 3. diberikan ring R dengan setiap a dan b dalam R berlaku ab = ba. Tunjukkan bahwa jika a dan b elemen nilpoten maka (a + b) juga elemen nilpoten Pengantar struktur Aljabar 64
10 Pertemuan 15 TIPE-TIPE RING DAN KARAKTERISTIK RING A. Pendahuluan Dalam pertemuan sebelumnya, telah dipelajari ring beserta contoh-contohnya dan sifat-sifat sederhana ring. Beberapa sifat yang dimiliki suatu ring akan memberi kualifikasi (tipe-tipe) ring, misalnya ring yang memenuhi sifat komutatif terhadap pergandaannya disebut ring komutatif, dan lain sebagainya. Setiap tipe ring akan mempunyai ciri-ciri khusus, dan terkadang ada keterkaitan antara tipe ring yang satu dengan tipe ring lainnya. Di dalam grup, dikenal periode suatu elemen dalam grup. Hal ini erat hubungannya dengan pengertian karakteristik suatu ring, sehingga perlu diingat kembali sifat-sifat periode suatu elemen grup dan teorema Lagrange. Setelah mempelajari materi ini, diharapkan mahasiswa dapat menjelaskan tipe-tipe ring dan memahami karakteristik ring, yaitu : 1. dapat mengklasifikasi suatu ring, apakah dengan elemen satuan, setiap elemen tak nol punya invers, komutatif atau tidak 2. dapat membuktikan klasifikasi di atas 3. dapat menentukan karakteristik suatu ring B. Tipe-tipe Ring Misalkan R adalah suatu ring maka (R,+) adalah grup komutatif, (R,.) tertutup dan assosiatif, serta (R,+,.) distributif. Jika aksioma-aksioma pada (R,.) didefinisikan : II. 3. Mempunyai elemen satuan (elemen identitas) II. 4. Setiap elemen tak nol (bukan elemen netral) mempunyai invers disebut elemen unit. Pengantar struktur Aljabar 65
11 Pertemuan 15 II.5. memiliki sifat komutatif ( a, b R berlaku ab = ba) Maka dapat didefinisikan beberapa tipe ring sebagai berikut : Definisi 5.: Misalkan R suatu ring maka : 1. R disebut ring dengan elemen satuan jika ring R + II.3 2. R disebut ring dengan setiap elemen tak nol mempunyai invers jika ring R + II.3. + II R disebut ring komutatif jika ring R + II R disebut ring pembagian (division ring) atau lapangan miring (skew-field) jika ring R + II.3. + II R disebut Lapangan (field) jika ring R + II.3. + II.4. + II.5. Contoh : 1. Z, Q, R masing-masing merupakan ring komutatif, ring dengan elemen satuan. 2. Q dan R merupakan lapangan (pasti juga ring pembagian) sedangkan Z bukan lapangan sebab 2 Z dan 2-1 = ½ Z. 3. Z 3, Z 4, Z 5, Z 9 masing-masing merupakan ring komutatif, ring dengan elemen satuan. Z 3, Z 5 merupakan field (lapangan), sedangkan Z 4, Z 9 bukan merupaka lapangan 4. M = a c b d a, b, c, d Q, ad bc 0 adalah merupakan ring pembagian akan tetapi M bukan merupakan ring komutatif sehingga M juga bukan lapangan. C. Karakteristik Ring Telah dibicarakan di materi sebelumnya (pertemuan 2) tentang kelipatan dari suatu elemen ring R, misalkan a R dan n suatu bilangan Pengantar struktur Aljabar 66
12 Pertemuan 15 bulat positif, maka na = a + a +. + a sebanyak n suku maka na R sebab mempunyai sifat tertutup. Perhatikan ilustrasi berikut : Z 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5 } maka 6 Z, 6.0 = 6.1 = 6.2 = 6.3 = 6.4 = 6.5 = 0. Tampak bahwa a Z 6 berlaku 6.a = 0 dengan 6 bilangan bulat positif terkecil. Maka dikatakan karakteristik dari Z 6 adalah 6. Definisi 6.: Karaktristik suatu ring R adalah bilangan bulat positif terkecil n (jika ada) sedemikian sehingga na = 0 untuk a R. jika bilangan bulat positif n tersebut tidak ada, dikatakan bahwa karakteristik dari ring R adalah 0 atau tak berhingga. Teorema 4.: Jika R adalah ring dengan elemen satuan 1 maka : R mempunyai karakteristik n > 0 jhj n merupakan bilangan bulat positf terkecil sehingga n.1 = 0. Bukti : Diketahui : R ring dengan elemen satuan 1 ( ) R mempunyai karakteristik n > 0 akan dibuktikan n bilangan bulat positif terkecil sehingga n.1 = 0. R mempunyai karakteristik n berarti n adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga n.a =0 untuk a R, dan 1 R maka n.1 = 0 ( ) n merupakan bilangan bulat positf terkecil sehingga n.1 = 0. Akan dibuktikan n karakteristik dari R dan n > 0. n > 0 (diketahui) Ambil sebarang a R maka : n.a = a + a + + a (definisi n.a) = a.( ) (distributif &1 R) = a.( n.1) (definisi n.1) = a.0 (diketahui n.1 = 0) = 0 (sifat sederhana) Pengantar struktur Aljabar 67
13 Pertemuan 15 Karena n bilangan bulat positif terkecil sehingga a R berlaku n.a = 0 maka n merupakan karakteristik dari R. Tugas Mandiri : Soal : 1. Selidiki apakah struktur aljabar di bawah ini membentuk ring atau tidak (beri alasan), selanjutnya jika merupakan ring, nyatakan apakah ring tersebut komutatif, memuat elemen identitas, merupakan lapangan atau tidak : a. Zn dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo n b. Z+ dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa c. {a + b 2 a, b Z} dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa d. {a + b 2 a, b Q} dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa e. {ai a R dan i = -1} dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa 2. Tunjukkan bahwa a 2 b 2 = (a + b)(a b) untuk setiap a dan b dalam ring R jika dan hanya jika R ring komutatif. a 3. Diberikan N = a Q adalah ring terhadap penjumlahan 0 0 dan perkalian matriks. Selidikilah apakah N merupakan lapangan ataukah tidak? a + bi 0 4. Diberikan K = a, b Z dan i = 1 adalah ring 0 a bi dengan penjumlahan dan perkalian matriks. Selidikilah apakah setiap elemen dalam K yang tidak nol mempunyai invers? Pengantar struktur Aljabar 68
14 Pertemuan 16 DAERAH INTEGRAL A. Pendahuluan Pertemuan sebelumnya telah dibahas kualifikasi (tipe-tipe) ring, misalnya ring yang memenuhi sifat komutatif terhadap pergandaannya disebut ring komutatif, dan lain sebagainya. Setiap tipe ring akan mempunyai ciri-ciri khusus, dan terkadang ada keterkaitan antara tipe ring yang satu dengan tipe ring lainnya. Pertemuan ke_16 ini masih akan membahas tipe ring yang lain yang terkait dengan elemen pembagi nol. Setelah mempelajari materi ini, diharapkan mahasiswa dapat : 1. menjelaskan elemen pembagi nol dan elemen bukan pembagi nol 2. mengidentifikasi elemen-elemen dalam ring apakah merupakan elemen pembagi nol atau tidak 3. menganalisis suatu ring memuat elemen pembagi nol ataukah tidak 4. membuktikan hubungan elemen bukan pembagi nol dengan elemen invers B. Elemen Pembagi nol dan sifatnya Definisi 7.: Misalkan R suatu ring dan a R, a 0 maka : 1. a disebut elemen pembagi nol kiri jika b R, b 0 sehingga a.b = 0 2. Jika b R, b 0, b.a = 0 maka a disebut elemen pembagi nol kanan, 3. Jika b R, b 0, sehingga a.b = b.a = 0 maka a disebut elemen pembagi nol. 4. a disebut elemen bukan pembagi nol jika ( b R, b 0, ab 0) atau ( ab = 0 b = 0 ) 5. Elemen 0 sering kali disebut elemen pembagi nol tak sejati. Pengantar struktur Aljabar 69
15 Pertemuan 16 Contoh : 1. Elemen 2, 3 dan 4 dalam Z 6 merupakan elemen pembagi nol sebab : 2.3 = 3.2 = 0, 3.4 = 4.3 = M = a b c d a b, c, d Z penjumlahan dan perkalian matriks maka pembagi nol karena terdapat dan , adalah ring terhadap = = Perhatikan dari contoh 2. ini, jika diambil A = c 0 ; dan C = d 0 u v a b adalah elemen 0 ; B = M dengan a c atau b d maka AC = BC dan CA = CB tetapi A B. Hal ini menunjukkan bahwa dalam suatu ring tidak berlaku kanselasi kiri ataupun kanan. Akan tetapi suatu gelanggang ring yang tidak memuat elemen pembagi nol mempunyai sifat kanselasi, seperti yang dinyatakan teorema berikut Teorema 5.: Suatu ring tidak memuat elemen pembagi nol jika dan hanya jika ring tersebut berlaku sifat kanselasi Bukti: ( ) Misalkan R ring yang tidak memuat pembagi nol Pengantar struktur Aljabar 70
16 Pertemuan 16 Akan ditunjukkan bahwa dalam R berlaku sifat kanselasi, sebagai berikut : Ambil a, b, c R dengan a 0 sedemikian sehingga ab = ac dan ba = ca, maka ab ac = 0 dan ba ca = 0 a(b c) = 0 (b c)a = 0 sifat sederhana ring (teorema 1.d.) b c = 0 b c = 0 a 0 dan R tidak memuat p n. b = c b = c ( ) Misalkan R ring yang berlaku sifat pelenyapan Akan ditunjukkan R tidak memuat elemen pembagi nol, sebagai berikut: Ambil a R dengan a 0 sedemikaian sehingga ab = 0 dan ba = 0 untuk suatu b R, maka : ab = 0 = a0 dan ba = 0 = 0a Teorema 1.a.: a0 = 0a = 0 b = 0 b = 0 kanselasi Terlihat a bukan pembagi nol. DKL, ring R tidak memuat elemen pembagi nol. C. Daerah Integral Misalkan R adalah suatu ring maka (R,+) adalah grup komutatif, (R,.) tertutup dan assosiatif, serta (R,+,.) distributif. Jika diberikan aksioma pada (R,.): II.4. Setiap elemen tak nol (bukan elemen netral) bukan merupakan elemen pembagi nol Maka dapat didefinisikan beberapa tipe ring yang lain yang disebut Daerah Integral, sebagai berikut : Definisi 8.: Misalkan R suatu ring maka : R disebut Daerah integral jika R merupakan ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak memuat pembagi nol (ring R + II.3. + II.4. + II.5). Pengantar struktur Aljabar 71
17 Pertemuan 16 Contoh : 1. Z, Q, R masing-masing merupakan ring komutatif dengan elemen satuan, dan tidak memuat pembagi nol sehingga merupakan daerah integral. Q dan R merupakan lapangan sedangkan Z bukan lapangan sebab 2 Z dan 2-1 = ½ Z. 2. Z 3, Z 4, Z 5, Z 9 masing-masing merupakan ring komutatif, ring dengan elemen satuan. Z 3, Z 5 merupakan daerah integral dan merupakan field sedangkan Z 4, Z 9 bukan merupakan daerah integral dan bukan lapangan 3. M = a c b d a, b, c, d Q, ad bc 0 adalah merupakan ring pembagian akan tetapi M bukan merupakan ring komutatif sehingga M juga bukan lapangan. M memuat pembagi nol maka M bukan daerah integral Teorema 6.: Misalkan R adalah ring dengan elemen satuan dan a elemen dalam R yang tak nol. Jika a mempunyai invers maka a bukan pembagi nol Bukti : Diketahui a mempunyai invers maka terdapat b elemen dalam R sehingga ab = ba = 1. Akan ditunjukkan bahwa a bukan pembagi nol Andaikan a elemen pembagi nol maka terdapat c 0 sehingga ac = ca = 0 ac = 0 dan ca = 0 b(ac) = b0 (ca)b = 0b sifat sederhana ring (ba)c = 0 c(ab) = 0 assosiatif 1c = c = 0 c1 = c = 0 sifat sederhana ring kontradiksi dengan c 0, sehingga pengandaian salah dan yang benar bahwa a bukan pembagi nol Pengantar struktur Aljabar 72
18 Pertemuan 16 Tugas Mandiri : KERJAKAN SOAL DI BAWAH INI, DITAMBAHKAN 1 SOAL TERBUKA Soal : 1. Selidiki apakah struktur aljabar di bawah ini membentuk ring atau tidak (beri alasan), selanjutnya jika merupakan ring, nyatakan apakah ring tersebut lapangan, daerah integral ataukah tidak a. Zn dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo n. b. Z+ dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa c. {a + b 2 a, b Z} dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa d. {a + b 2 a, b Q} dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa e. {ai a R dan i = -1} dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa 2. Jika R adalah ring dengan paling sedikit mempunyai dua elemen dan a R, a 0 terdapat dengan tunggal b R sedemikian hingga aba = a maka tunjukkan R tidak memuat pembagi nol dan berlaku bab = b. a 3. Diberikan N = a Q adalah ring terhadap penjumlahan dan 0 0 perkalian matriks. Selidikilah apakah N merupakan daerah integral, ataukah tidak? a + bi 0 4. Diberikan K = a, b Z dan i = 1 adalah ring 0 a bi dengan penjumlahan dan perkalian matriks. Selidikilah K komutatif, dengan elemen satuan dan memuat pembagi nol ataukah tidak? Apa yang dapat kalian simpulkan? Pengantar struktur Aljabar 73
19 Pertemuan 17 SIFAT-SIFAT DAERAH INTEGRAL A. Pendahuluan Dua pertemuan sebelumnya telah dibahas kualifikasi (tipe-tipe) ring, Setiap tipe ring akan mempunyai ciri-ciri khusus, dan terkadang ada keterkaitan antara tipe ring yang satu dengan tipe ring lainnya. Misalnya lapangan pasti merupakan ring pembagi tetapi tidak sebaliknya. Bagaimana dengan hubungan antara lapangan dengan daerah integral, akan di bahas pada pertemuan ke_17 ini. Setelah mempelajari materi ini, diharapkan mahasiswa dapat : 1. menjelaskan sifat-sifat daerah integral. 2. menjelaskan hubungan antara derah integral dengan lapangan 3. membuktikan sifat-sifat daerah integral dan hubungannya dengan lapangan. B. Sifat-sifat Daerah Integral Teorema 6. mengatakan bahwa elemen tak nol yang punya invers pasti bukan pembagi nol. Jika diingat kembali aksioma II.4. dan aksioma II.4, maka akibat dari teorema 6. adalah teorema berikut ini : Teorema 7.: - setiap ring pembagian pasti tidak memuat pembagi nol - setiap lapangan merupakan daerah integral Bukti : dengan teorema 6. (sebagai latihan mahasiswa) Catatan : Teorema 6. Dan 7. Tidak berlaku sebaliknya, artinya tidak setiap elemen bukan pembagi nol merupakan elemen unit, contoh 2 Z adalah bukan pembagi nol dan 2 tidak mempunyai invers, sehingga 2 bukan elemen unit. Z adalah ring yang tidak memuat elemen pembagi Pengantar struktur Aljabar 74
20 Pertemuan 17 nol dan Z bukan ring pembagian. Demikian juga Z daerah integral tetapi Z bukan lapangan. Teorema 8.: Setiap daerah integral berhingga adalah suatu lapangan Bukti : Daerah integral adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak memuat elemen pembagi nol, sehingga untuk menunjukkan bahwa daerah integral berhingga merupakan lapangan, cukup ditunjukkan setiap elemen tak nol adalah elemen unit, sebagai berikut : Misalkan D daerah integral dengan n buah elemen. Ambil sebarang elemen a D dengan a 0, kemudian dibentuk himpunan K = {ax x D, x 0 }. Mengingat sifat tertutup terhadap perkalian pada D maka K D, sehingga dalam K berlaku sifat pelenyapan, yaitu jika ax = ay K maka x = y. hal ini menunjukkan bahwa K terdiri dari (n 1) elemen dari D yang bukan elemen nol. Karena D memuat elemen satuan, misalnya 1 maka 1 K dan a D dengan a 0, terdapatlah x D dengan x 0 sehingga ax = 1. Ini berarti bahwa a -1 = x. Jadi, a D, a 0); a -1 D, dengan kata lain setiap elemen tak nol dalam D merupakan elemen unit. Sehingga D merupakan lapangan. TUGAS KELOMPOK : (DARI RING YANG KALIAN MILIKI) 1. Buatlah review beserta bukti formalnya., apakah merupakan lapangan, daerah integral atau bukan 2. Bentuklah himpunan bagiannya yang juga merupakan ring, Tulis di plastic transparan. (jika tidak diperoleh, cari dari ring yang lain) Pengantar struktur Aljabar 75
21 Pertemuan 18 SUBRING DAN SIFAT-SIFATNYA A. Pendahuluan Mahasiswa diharapkan mengingat kembali pengertian himpunan bagian yang pernah dipelajari di matakuliah Logika Matematika dan Himpunan serta subgroup di Pengantar Struktur Aljabar I. Subring adalah himpunan bagian dari suatu ring yang merupakan ring juga, sehingga harus diingat pula tentang pengertian ring beserta sifat-sifatnya. Dua hal tersebut akan sangat menentukan pencapaian target pertemuan ke_18 ini. Target yang dimaksud adalah : a. Membedakan himpunan bagian suatu ring merupakan subring atau bukan b. Membentuk suatu subring c. menjelaskan teorema dalam subring d. membuktikan secara formal suatu subring dengan teoremanya B. Pengertian Subring Analog dengan subgrup yang telah dipelajari dalam teori grup, akan dibahas tentang subring dari suatu ring. Definisi 9. : Misalkan (R, +,.) suatu ring dan S R dengan S φ, S disebut subring dari R jika (S, +,.) suatu ring Catatan : Operasi pada S baik penjumlahan maupun perkaliannya harus sama dengan opersi-operasi pada R. Mahasiswa dalam kelompok telah memiliki contoh-contoh subring, namun belum diminta melengkapi bukti formalnya. Berikut ini suatu Pengantar struktur Aljabar 76
22 Pertemuan 18 teorema yang menyatakan syarat perlu dan cukup agar suatu himpunan tak kosong dari suatu ring merupakan subring, dan teorema inilah yang diperlukan mahasiswa untuk menunjukkan bukti formalnya suatu subring : Teorema 9.: Misalkan R suatu ring dan S R dengan S φ, maka S disebut subring dari R jika dan hanya jika a, b S berlaku (i) a b S, (ii) ab S Bukti ; ( ) Misalkan S subring dari R maka S adalah suatu ring berarti a, b S maka a, b S sehingga berlaku (i) a b S, (ii) ab S ( ) Misalkan S R dengan S φ dan a, b S berlaku (i) a b C S, (ii) ab S harus ditunjukkan S subring dari R, artinya S merupakan ring. Ambil a S menurut (i) a a = 0 dan 0 a S, sehingga jika a, b S maka a, b S dan a ( b) = a + b S dan menurut (ii) ab S. Selanjutnya karena S R dan R suatu ring maka elemen-elemen dalam S memenuhi sifat asosiatif terhadap penjumlahan, komutatif terhadap penjumlahan, asosiatif terhadap pergandaan serta distributif kiri dan kanan. Jadi S suatu ring, dan karena S R dengan S φ sedangkan R siatu ring maka S adalah subring dari R. Contoh : 1. Z = himpunan dari bilangan-bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring. Jika m suatu bilangan bulat dengan m 0 maka M = {ma a bilangan bulat} merupakan subring dari Z, sebab M Z, jelas M himpunan tidak kosong dan x, y M berarti x = ma, Pengantar struktur Aljabar 77
23 Pertemuan 18 y = mb untuk suatu a, b Z dan a b Z, sehingga x y = ma mb = m(a b) M dan juga xy = (ma)(mb) = m(mab) M. 2. Z 12 = {0, 1, 2,, 11} adalah ring dari bilangan-bilangan bulat modulo 12 maka dengan mudah ditunjukkan bahwa himpunan-himpunan bagian dari Z 12 berikut merupakan subring darinya: P = { 0, 6 } Q = { 0, 4, 8 } R = { 0, 3, 6, 9 } S = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 } a b 3. M 2 (Q) = c d perkalian matrik a, b, c, d Q adalah ring terhadap penjumlahan dan M* 2 (Q) = a 0 b a, b Q adalah subring dari M 2 (Q), karena : Jelas M* 2 (Q) φ dan M* 2 (Q) M 2 (Q) (mudah dibuktikan) Ambil sebarang A dan B M* 2 (Q) akan ditunjukkan A B dan AB M* 2 (Q) A dan B M* 2 (Q) maka A = d bilangan rasional. a 0 c 0 dan B = dengan a, b, c, dan b 0 d A B = a 0 b c 0-0 d a c 0 = M* 2 (Q) karena a c dan b 0 b d d Q Pengantar struktur Aljabar 78
24 Pertemuan 18 AB = a 0 b c 0 0 d ac 0 = 0 bd M* 2 (Q) karena ac dan bd Q. Untuk lebih memantapkan materi tentang subring, diharap mahasiswa membuktikan secara formal subring yang dimilikinya dan membuat atau mencari contoh-contoh yang lain tentang subring disertai buktinya. TUGAS MANDIRI : I. BUATLAH 3 CONTOH SUBRING DENGAN MENULISKAN RING DAN SUBRING YANG DIBENTUKNYA BESERTA BUKTI FORMAL. II. KERJAKAN SOAL-SOAL DI BAWAH INI : 1. Jika A dan B masing-masing adalah subring dari ring R maka tunjukkanlah : a. A B juga subring dari R b. Apakah A B juga subring dari R? c. A + B = {a + b a A dan b B } subring dari R d. Jika R adalah ring dengan elemen satuan apakah A juga ring dengan elemen satuan? 2. Misalkan R adalah ring dari semua matriks ordo 2x2 dengan semua komponennya bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. a 0 a Didefinisikan U = a, b Z dan V = a, b Z b 0 0 b maka selidikilah U dan V masing-masing merupakan subring dari R 3. Jika R adalah ring dan a, b suatu elemen dalam R. Jika didefinisikan S = {ax + by x,y R }maka tunjukkan bahwa S subring dari R. Pengantar struktur Aljabar 79
SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan
II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinci1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan
1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.
STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciSOAL DAN PENYELESAIAN RING
SOAL DAN PENYELESAIAN RING 1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. Jawaban:
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.
STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan
Lebih terperinciKeberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar
PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA
Lebih terperinciAntonius C. Prihandoko
Antonius C. Prihandoko Didanai oleh Proyek DIA-BERMUTU 2009 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember Prakata Puji syukur ke hadirat
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciPENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017
PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciSEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II
ISBN : 978-602-97522-0-5 PROSEDING SEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II Konstribusi Sains Untuk Pengembangan Pendidikan, Biodiversitas dan Metigasi Bencana Pada Daerah Kepulauan SCIENTIFIC COMMITTEE: Prof.
Lebih terperinciKLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring
Jurnal Barekeng Vol 8 No Hal 33 39 (14) KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring ELVINUS RICHARD PERSULESSY Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti,
Lebih terperinciDASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING
DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciPENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING
Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinci2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com
2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya
Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciIDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA
IDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Stuktur Aljabar II Oleh: Kelompok VI/kelas A 1 Diah Ajeng Titisari (08144100009) Frendy Try Andyasmoko (08144100041) Herna Purwanti (08144100083)
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian
Lebih terperinciBAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut
BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciBAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi tersebut adalah modul. Untuk membahas pengertian tentang suatu modul harus dimengerti lebih
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP)
Diktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : HENDRIJANTO, M.Pd FAKULTAS PENDIDIKAN MIPA IKIP PGRI MADIUN M A D I U N 2011 BAB I Pendahuluan Dasar-dasar teori berikut ini sangat penting dalam pembahasan
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciDiktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : FEBRUL DEFILA, S.Pd
Diktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : FEBRUL DEFILA, S.Pd PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) PGRI SUMATERA BARAT 2012 BAB I Pendahuluan Dasar-dasar
Lebih terperinciIDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring
Jurnal Barekeng Vol. 7 No. 2 Hal. 41 46 (2013) IDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring YOHANA YUNET BAKARBESSY 1, HENRY W. M. PATTY
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya
STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks
Lebih terperinciBAB VI BILANGAN REAL
BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =
BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciMatematika Logika Aljabar Boolean
Pertemuan ke-3 Matematika Logika Aljabar Boolean Oleh : Mellia Liyanthy TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS PASUNDAN TAHUN AJARAN 2011/2012 Definisi Aljabar Boolean merupakan aljabar yang terdiri atas : suatu
Lebih terperinciII. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)
II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan
Lebih terperinciGELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal.
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 108 114 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND GELANGGANG ARTIN IMELDA FAUZIAH, NOVA NOLIZA BAKAR, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
5 BAB 2 LANDASAN TEORI Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu sistem aljabar dengan satu atau lebih operasi biner yang diberlakukan pada sistem aljabar tersebut. Struktur
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Bilangan Kompleks Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: GRUP
STRUKTUR ALJABAR: GRUP BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI Bandung 2016 1 A. Pendahuluan Ilustrasi 1.1: Perhatikan
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga
Lebih terperinciR maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit
BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas)
I PENDAHULUAN Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) di sehingga., maka disebut grup periodik dan disebut periode dari. Serta fakta bahwa
Lebih terperinciUraian Singkat Himpunan
Uraian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 3, 2014 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
Lebih terperinciVolume 9 Nomor 1 Maret 2015
Volume 9 Nomor 1 Maret 015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 1 10 KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy 1, Novita Dahoklory 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu Ring merupakan Sub Ring dan Ideal
BAB 7 SUBRING DAN IDEAL Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu Ring merupakan Sub Ring dan Ideal Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciTUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP
TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP KELOMPOK 8 1. I WAYAN AGUS PUTRAWAN (2008.V.1.0093) 2. I KADEK DWIJAYAPUTRA (2008.V.1.0094) 3. I KETUT DIARTA (2008.V.1.0123) 4. AGUS EKA SURYA KENCANA (2008.V.1.0043)
Lebih terperinciKonsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Konsep Dasar M PENDAHULUAN Drs. Suryo Guritno, M.Stats., Ph.D. ateri yang akan dibahas dalam modul ini adalah konsep-konsep dasar aljabar matriks yang meliputi pengertian matriks, vektor dan skalar;
Lebih terperinciB I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)
1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar
4 II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar yang menunjang dan disajikan
Lebih terperinciPELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU 28 JULI s.d. 12 AGUSTUS 2003 MATRIKS. Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd.
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU JULI s.d. AGUSTUS MATRIKS Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN PENATARAN
Lebih terperinciGrup Permutasi dan Grup Siklis. Winita Sulandari
Grup Permutasi dan Grup Siklis Winita Sulandari Grup Permutasi Suatu Permutasi dari suatu himpunan berhingga S yang tidak kosong, dinyatakan sebagai suatu pemetaan bijektif dari himpunan S pada dirinya
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciBAB V BILANGAN BULAT
BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciBILANGAN CACAH. b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 + 1 = 5). tulis 5. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 + 5 = 8), tulis 8.
BILANGAN CACAH a. Pengertian Bilangan Cacah Bilangan cacah terdiri dari semua bilangan asli (bilangan bulat positif) dan unsur (elemen) nol yang diberi lambang 0, yaitu 0, 1, 2, 3, Bilangan cacah disajikan
Lebih terperinciTeorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik ( )
Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik (20110060311101) Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik Program
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: DAERAH IDEAL UTAMA DAN DAERAH EUCLID
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aljabar abstrak merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika. Aljabar abstrak merupakan sistem matematika yang terdiri dari suatu himpunan yang dilengkapi oleh
Lebih terperinciSOAL. Pada himpunan bilangan real, selidiki apakah merupakan grup terhadap operasi yang didefinisikan sebagai berikut: PEMBAHASAN
Halo! Kali ini aku mau membahas soal ujian tengah semester (UTS) mata kuliah Pengantar Struktur Aljabar I di Prodi Matematika FMIPA UGM pada tahun akademik 2014/2015. Dosen pengampunya adalah Bu Sri Wahyuni.
Lebih terperinci