MATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)

Transkripsi

1 MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT)

2 MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks Representasi image (citra) Chanel/Frequency assignment Operation Research dan lain-lain

3 . PENGERTIAN MATRIKS Definisi Sebuah matriks adalah sebuah susunan bilangan berbentuk persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut entri dari matriks. Entri di baris i dan kolom j dinotasikan dengan a ij Ukuran dari matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang terkandung didalamnya. Secara umum, matriks m x n ditulis a a a m a a a m a a a n n mn

4 Notasi Matriks a a A a m a a am an a n amn Baris pertama Unsur / entri /elemen ke-mn (baris m kolom n) Kolom kedua Matriks A berukuran (Ordo) m x n

5 Misalkan A dan B adalah matriks berukuran sama. A dan B dikatakan sama (notasi A = B) jika a ij = b ij untuk setiap i dan j Jenis-jenis Matriks Matriks persegi panjang Sebuah matriks dengan ukuran horizontal dan vertikal tidak sama( yakni matriks mxn dengan m n). Example : 8 B

6 Matriks bujur sangkar (persegi) Matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya adalah sama (n x n) Contoh : 4 A 4 5 B Ordo Ordo Unsur diagonal

7 Matriks segitiga Ada dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan bawah. Matriks segitiga atas Matriks yang semua unsur dibawah unsur diagonal pada kolom yang bersesuaian adalah nol. Contoh: Matriks segitiga bawah Matriks yang semua unsur diatas unsur diagonal pada kolom yang bersesuaian adalah nol. Contoh: E 5 F

8 Matriks Diagonal Matriks bujur sangkar dimana setiap unsur yang bukan merupakan unsur diagonal adalah nol. Matriks satuan (Identitas) Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalnya adalah satu. D I

9 Matriks Nol Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.

10 OPERASI MATRIKS Penjumlahan/pengurangan matrix Perkalian skalar Perkalian matriks Transpos Matriks Trace Matriks Operasi Baris Elementer

11 Transpos Matriks Matriks transpos diperoleh dengan menukar baris matriks menjadi kolom seletak, atau sebaliknya. Notasi A t (hasil transpos matriks A) Contoh : A - - maka t A - - Jika matriks A = A t maka matriks A dinamakan matriks Simetri. Contoh : A

12 . Operasi Matriks Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :. Penjumlahan Matriks. Perkalian Matriks Perkalian skalar dengan matriks Perkalian matriks dengan matriks. Operasi Baris Elementer (OBE)

13 Penjumlahan Matriks Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan Contoh a. + b. + d c b a h g f e h d g c f b e a

14 Perkalian Matriks Perkalian Skalar dengan Matriks Contoh : = Perkalian Matriks dengan Matriks Misalkan A berordo p x q dan B berordo m x n Syarat : Contoh : Diketahui A p k r q s k p kr kq ks A X B haruslah q = m hasil perkalian AB berordo p x n B X A haruslah n = p hasil perkalian BA berordo m x q a d b e c f x dan B p q r t s u x

15 Maka hasil kali A dan B adalah : a AB d b e c f x p q r s t u x ap+bq+cr dp+eq+fr Misalkan A, B, C adalah matriks berukuran sama dan, merupakan unsur bilangan Riil, Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut :. A + B = B + A. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C. ( A + B ) = A + B 4. ( + ) ( A ) = A + A as+bt+cu ds+et+fu x

16 Contoh : Diketahui matriks : Tentukan a. A A t A - b. A t A -

17 Jawab : - - t A maka - - t AA - - sedangkan A A t

18 Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi baris elementer meliputi :. Pertukaran Baris. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir ) dengan baris yang lain. Contoh : OBE - A - - b b ~ Baris pertama (b ) ditukar dengan baris ke- (b )

19 OBE ke- 4-4 A ¼ b ~ Perkalian Baris pertama (b ) dengan bilangan ¼ OBE ke- A b b ~ 7 5 Perkalian ( ) dengan b lalu tambahkan pada baris ke- (b )

20 Beberapa definisi yang perlu diketahui : B Baris pertama dan ke- dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. Bilangan pada baris pertama dan bilangan pada baris ke- dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing. Bilangan (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama. Baris ke- dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke- adalah nol.

21 Sifat matriks hasil OBE :. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah (dinamakan satu utama).. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat utama yang lebih ke kanan.. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah. 4. Pada kolom yang memuat unsur utama, maka unsur yang lainnya adalah nol. Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat,, dan Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses Eliminasi Gauss) (Proses Eliminasi Gauss-Jordan)

22 Contoh : Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari A Jawab : A - - b b 7 5 ~ ~ b b

23 5 - - ~ b b A ~ b - - ~ b b b b - -

24 Perhatikan hasil OBE tadi : Setiap baris mempunyai satu utama. Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom (kolom 4 tidak mempunyai satu utama)

25 Invers Matriks Misalkan A adalah matriks bujur sangkar. B dinamakan invers dari A jika dipenuhi A B = I dan B A = I Sebaliknya, A juga dinamakan invers dari B. Notasi A = B - Cara menentukan invers suatu matriks A adalah I A A I OBE ~ Jika OBE dari A tidak dapat menghasilkan matriks identitas, maka A dikatakan tidak memiliki invers.

26 Contoh : Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari : Jawab : b b ~ A -b +b b +b - - -

27 -b -b + b -b + b Jadi Invers Matriks A adalah A - - -

28 Perhatikan bahwa : dan maka A A AA

29 Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers : i. (A - ) - = A ii. Jika A, B dapat dibalik atau memiliki invers maka (A. B) - = B -. A - A iii. Misal k Riil maka (ka) - = k iv. Akibat dari (ii) maka (A n ) - = (A - ) n

30 Latihan Diketahui Tentukan (untuk no 5) matriks hasil operasi berikut ini :. AB. CA. (AB)C 4. (4B)C + C A 4 B 5 4 C

31 Untuk Soal no. 5 7, Diketahui : dan 5. Tentukan : D + E (dimana E = EE) 6. Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi dari A, B, C, D, dan E 7. Tentukan matriks invers dari D dan E (jika ada) D 4 4 E