Matematika Diskret. Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara RELASI. Pemodelan dan Simulasi

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Matematika Diskret. Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara RELASI. Pemodelan dan Simulasi"

Transkripsi

1 Matematika Diskret Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara Pemodelan dan Simulasi RELASI 1 9/26/2017

2 Hasil Kali Kartesian Hasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan terurut (a, b) untuk setiap a A dan setiap b B. 2 9/26/2017 Kode dan nama MK

3 Contoh 1 Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, tentukan AxB. Jawab: AxB = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)} 3 9/26/2017

4 Relasi Relasi dilambangkan dengan huruf besar R, adalah Subset dari hasil kali Cartesian (Cartesian product). Jika (x, y) R, maka x berelasi dengan y dibawah relasi R. {x A (x, y) R untuk suatu y B} disebut domain dari R. Sedangkan Range dari R= {y B (x, y) R untuk suatu x A} 4 9/26/2017

5 Contoh 2 Misalkan A = {Rian, Irma, Dede}, B = {MA2333, DU1203, MA2113, MA2513} A B = {(Rian, MA2333), (Rian, DU1203), (Rian, MA2113), (Rian,MA2513), (Irma, MA2333), (Irma, DU1203), (Irma, MA2113), (Irma, MA2513), (Dede, MA2333), (Dede, DU1203), (Dede, MA2113), (Dede, MA2513)} Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu R = {(Rian, MA2333), (Rian, MA2113), (Irma, MA2113), (Irma, MA2513), (Dede, MA2513) } Dapat dilihat bahwa R (A B), A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R. (Rian, MA2333) R atau Rian R MA2333 (Rian, MA2513) R atau Rian R MA /26/2017

6 Contoh 3 Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) R jika p habis membagi q maka kita peroleh R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) } 6 9/26/2017

7 Contoh 4 Dari himpunan pada Contoh 1, apakah: R 1 = {(1, a), (1, b)} R 2 = {(1, a), (2, a), (3, a)} R 3 = {(1, b), (2, b), (1, a} R 4 = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)} R 5 = R 6 ={(a, 1), (2, a)} merupakan relasi? 7 9/26/2017

8 Jawab: Himpunan pasangan terurut R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, merupakan subset dari AxB, dan membentuk suatu relasi, tetapi R 6 bukan relasi dari AxB, karena (a, 1) AxB Sebuah pasangan terurut menjadi anggota relasi R 1, ditulis: (1, a) R 1 atau 1 R 1 a. Dan jika (2, a) bukan anggota relasi R 1, ditulis: (2,a) R 1 atau 2 a. 8 9/26/2017

9 Relasi biner atas satu himpunan A Relasi biner atas himpunan A adalah relasi dari A ke A. Relasi yang demikian ini, seringkali muncul dalam kehidupan sehari-hari, di dalam kalkulus I, kita kenal relasi dari R ke R, dari bilangan riil ke bilangan riil. 9 9/26/2017

10 Contoh 5 Apakah setiap relasi berikut merupakan relasi biner atas bilangan bulat ( ): R 1 = {(a, b) a b, dan a, b } R 2 = {(a, b) a < b, dan a, b } R 3 = {(a, b) a=b atau a=-b, dan a, b } R 4 = {(a, b) a=b, dan a, b } R 5 = {(a, b) a = b+1, dan a, b } 10 9/26/2017

11 Jawab Benar, karena setiap relasi tersebut mempunyai domain dan kodomain pada. 11 9/26/2017

12 Contoh 6 Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y) R jika x adalah kelipatan dari y. Maka R = {(2, 2), (4, 4), (8, 8), (3, 3), (9, 9), (4,2) (8, 2), (8, 4), (9, 3)} 12 9/26/2017

13 Representasi Relasi 1. Diagram Panah Himpunan di sebelah kiri adalah daerah asal, himpunan di sebelah kanan adalah daerah hasil 13 9/26/2017

14 2. Pasangan terurut Untuk relasi R atas satu himpunan A, dapat disajikan: R = {(a, b) a, b A}, dalam hal ini a menjadi komponen (entry) pertama dari relasi R dan b menjadi komponen (entry) kedua dari relasi R. Letak entry sangat menentukan di sini, karena itu antara (a, b) dan (b, a) berbeda arti. Sedangkan relasi dari A ke B disajikan dalam pasangan terurut berikut: R = {(a, b) a A, b B} 14 9/26/2017

15 Contoh 7 Misalkan A = {a, b, c} dan B = {-1, 0, 1, 2}. Tentukan pasangan terurut dari relasi di bawah ini: R 1 relasi dari A ke B yang menyatakan relasi konsonan ke -1 dan vokal ke 1. R 2 relasi dari B ke A yang menyatakan relasi setiap bilangan genap ke vokal, sedangkan setiap bilangan ganjil ke konsonan. Jawab: Pasangan terurut relasi R 1 = {(a, 1), (b, -1), (c, -1)}. Pasangan terurut relasi R 2 = {(-1, b), (-1, c), (0, a), (1, b), (1, c), (2, a)} 15 9/26/2017

16 Contoh 8 Misalkan A = {1, 2, 3, 4}. R relasi atas himpunan A, diberikan dengan rumus berikut: R = {(a, b) a b, dan a, b A} Tentukan himpunan pasangan terurut relasi R ini. Jawab: Pasangan terurut: R={(4, 4), (4, 3), (4, 2), (4, 1), (3, 3), (3, 2), (3, 1), (2, 2), (2, 1), (1, 1)} 16 9/26/2017

17 3. Matriks Zero-one Matrik zero-one berlaku untuk relasi atas satu himpunan akan membentuk matrik bujur sangkar dengan aturan entry pada matriks ditentukan, sebagai berikut: jika (a, b) R, maka baris a dan kolom b diberi tanda 1, sedangkan jika (a, b) R, maka baris a dan kolom b diberi tanda /26/2017

18 Contoh 9 Buatlah matriks zero-one pada Contoh 8 Jawab: Relasi tersebut dapat ditulis dalam bentuk tabel, sebagai berikut: Sehingga matrik zero-one nya adalah: M R = /26/2017

19 4. Tabel Kolom pertama adalah daerah asal Kolom kedua adalah daerah hasil A B /26/2017

20 5. Graf Berarah Relasi pada sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan graf berarah (directed graph atau digraph) Graf berarah tidak digunakan untuk menyatakan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain. 20 9/26/2017

21 Anggota himpunan dinyatakan sebagai node dari graph dan relasi dinyatakan oleh kurva berpanah. Jika (2, 1) R, dinyatakan oleh garis beranak panah dari 2 ke 1. Gambar anak panah dari 1 ke 1, 2 ke 2, 3 ke 3, dan 4 ke 4 disebut loop /26/2017

22 Contoh 10 Diketahui R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} merupakan relasi pada himpunan A = {a, b, c, d}. Relasi R dapat dinyatakan dengan graf berarah sbb: a b c d 22 9/26/2017

23 Sifat-sifat Relasi Relasi atas satu himpunan memiliki sifat-sifat relasi, berikut: Reflexive: a A, maka (a, a) R Symmetry: a, b A, jika (a, b) R (b, a) R Antisymmetry: a, b A, jika (a, b) R a b (b, a) R {ini setara dengan (a,b) R (b,a) R a=b} Transitivity: a, b, c A, jika (a, b) R (b, c) R (a, c) R 23 9/26/2017

24 Perbedaan antara symmetry dan variasinya Symmetry : a, b A berlaku arb bra Nonsymmetry : a, b A berlaku (a,b) R (b,a) R Non antisymmetry : a, b A berlaku (a,b) R (b,a) R (a b) Antisymmetry : a, b A berlaku (a,b) R (b,a) R a=b 24 9/26/2017

25 Contoh 11 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berikut diberikan relasi atas A: R 1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} R 2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} R 3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)} R 4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} R 5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3,4), (4, 4)} R 6 = {(3, 4)} R 7 = {(1, 1)} R 8 = {(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)} Manakah dari kedelapan relasi di atas yang bersifat: refleksif, simetri, anti simetri, transitif, dan yang bukan simetri sekaligus bukan antisimetri. 25 9/26/2017

26 Jawab: Pada relasi-relasi di atas yang bersifat refleksif adalah: R 3, dan R 5. R 1 tidak refleksif karena (3, 3) R 1. Relasi yang bersifat simetri: R 2, R 3, dan R 7. Relasi yang bersifat antisimetri: R 4, R 5, R 6, dan R 7. Relasi yang bersifat transitif: R 5, R 6, dan R 7 Relasi yang bukan simetri dan bukan pula antisimetri: R 1, dan R /26/2017

27 Relasi Invers (Relasi Balikan) Misalkan R adalah relasi dari himpunan P ke himpunan Q. Invers (balikan) dari relasi R, dilambangkan dengan R 1, adalah relasi dari Q ke P yang didefinisikan oleh R 1 = {(q, p) (p, q) R }

28 Contoh 12. Misalkan A = {2, 3, 5} dan B = {2, 4, 5, 6, 10}. Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan (a, b) R jika a habis membagi b. maka kita peroleh R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 10), (3, 6), (5, 5), (5, 10) } R 1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari B ke A dengan (b, a) R 1 jika b adalah kelipatan dari a maka kita peroleh R 1 = {(2, 2), (4, 2), (6, 2), (10, 2), (6, 3), (5, 5), (10, 5) }

29 Operasi Relasi 1.Operasi Himpunan Karena relasi merupakan himpunan, maka operasi pada himpunan juga berlaku dalam relasi, dengan pengertian yang sama dengan di konsep himpunan: Operasi (intersection) Operasi (union) Operasi (symmetric difference) Operasi - (difference) Operasi komplemen (komplemen relative terhadap Cartesian product) 29 9/26/2017

30 Contoh 13 Jika A = {1, 2, 5, 6}, R 1 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5)} dan R 2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5, 6)}, tentukan R 1 R 2, R 1 R 2, R 1 R 2, R 1 - R 2, dan (R 1 R 2 ) C. Jawab: R 1 R 2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5)} R 1 R 2 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5,6)} R 1 R 2 = {(5, 5), (6, 6), (1, 2), (1, 6), (5, 6)} R 1 - R 2 = {(5, 5), (6, 6)} (R 1 R 2 ) C = AxA (R 1 R 2 ) = {(1, 5), (2, 1), (2, 6), (5, 1), (5, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 5)} 30 9/26/2017

31 2. Operasi Komposisi Operasi komposisi merupakan gabungan dari dua buah relasi yang harus memenuhi syarat tertentu, yaitu jika R 1 relasi dari A ke A dan R 2 relasi dari A ke A, maka relasi komposisi R 1 dan R 2, dinyatakan oleh R 2 R 1 berarti relasi R 1 diteruskan oleh relasi R 2. Syarat tersebut adalah jika (a, b) R 1 dan (b, c) R 2, maka (a, c) R 2 R /26/2017

32 Contoh 14: Dengan menggunakan Contoh 13, tentukan R 2 R 1. Jawab: R 2 R 1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 6), (2, 2), (2, 5), (5, 6), (2, 6)} Yang diperoleh dengan cara: Jika A = {1, 2, 5, 6}, R 1 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5)} dan R 2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5, 6)}, maka: 32 9/26/2017

33 33 9/26/2017

34 R 1 R 2 R 2 R 1 (2, 5) (1, 1) - (2, 5) (2, 2) - (2, 5) (2, 5) - (2, 5) (1, 2) - (2, 5) (1, 6) - (2, 5) (5, 6) (2, 6) 34 9/26/2017

35 Sedangkan R 1 R 2 = {(1,1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1, 5), (1,6), (5,6} Yang didapat dari rincian berikut: 35 9/26/2017

36 36 9/26/2017

37 Operasi Komposisi dari Domain dan Kodomain yang Berbeda Tentunya operasi komposisi ini tidak hanya berlaku pada relasi atas satu himpunan saja, melainkan dapat pula digunakan untuk relasi yang melibatkan dua himpunan. Jika S relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan R relasi dari himpunan B ke himpunan C, maka R S, komposisi S diteruskan ke R adalah jika (a,b) S, dan (b,c) R, maka (a, c) R S. 37 9/26/2017

38 Contoh 15 Diberikan: A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, C = {z, x, y}, S={(1, a), (2,a), (2, b), (3, b)}, R = {(a, x), (a, y), (b, z)}. Tentukan R S. Jawab: Untuk menjawab persoalan ini, perhatikan: R S = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (2, z), (3, z)}, yang didapat dari tabel berikut: 38 9/26/2017

39 Generalisasi Operasi Komposisi Lebih lanjut lagi dengan konsep komposisi relasi atas satu himpunan, dapat dibangun operasi pangkat terhadap bilangan asli, yaitu: 39 9/26/2017

40 Contoh 16 Jika A={1, 2, 5, 7} dan R 1 ={(1,1), (1,2),(1,5),(2,5),(2,2),(5,7)} Tentukan R 14! Jawab: R 12 =R 1 R 1 ={(1,5),(1,2),(1,7),(2,7),(2,5),(1,1),(2,2)} R 13 =R 2 1 R 1 ={(1,5),(1,2),(1,7),(2,7),(2,5),(1,1),(2,2)} R 14 =R 3 1 R 1 ={(1,5),(1,2),(1,7),(2,7),(2,5),(1,1),(2,2)} Kebetulan dalam soal ini R 14, R 13, dan R 12 bernilai sama 40 9/26/2017

41 Relasi Ekivalen Relasi ekivalen adalah relasi yang memenuhi ketiga sifat sekaligus: refleksif, simetri, dan transitif Contoh /26/2017

42 42 9/26/2017

43 43 9/26/2017

44 Kelas Ekivalen dan Partisi Kelas Ekivalen Jika R relasi ekivalen atas A, dapat didefinisikan kelas ekivalen dari a A, yaitu: [a] R ={x A (a,x) R} dibaca: semua anggota A yang berelasi dengan a A. 44 9/26/2017

45 Dua elemen yang direlasikan oleh relasi ekivalen disebut ekivalen. Artinya jika a R b, maka a ekivalen dengan b. Hal ini disebabkan oleh relasi ekivalen bersifat simetri, yang berarti bolak-balik, berarti suatu elemen akan ekivalen dengan dirinya sendiri. Sedangkan dari sifat transitif, jika (a, b) R dan (b,c) R, maka didapat a dan c ekivalen juga. Jika dituliskan b [a] R, b disebut representative dari class ekivalen ini. 45 9/26/2017

46 Contoh 18: A={-2, -1, 0, 1} R={(a,b) a=b atau a=-b, dan a, b A } Tentukan semua kelas ekivalen yang terbentuk. Jawab: R={(-2,-2), (-1,-1), (-1,1), (0,0), (1,1), (1,-1)} [-1] R = {-1, 1} [1] R ={-1, 1} Akibatnya [1]=[-1], berarti 1 dan -1 ekivalen. [0] R ={0} [-2] R ={-2} 46 9/26/2017

47 Contoh 19: A={0, 1, 2, 6, 9} R={(a, b) 2 habis membagi a b, dan a, b A} Tentukan semua kelas ekivalen yang terbentuk. Jawab: R={(0,0), (0,2), (0,6), (1,1), (1, 9), (2, 0), (2, 2), (2, 6), (6,0), (6,2), (6,6), (9,1), (9,9)} [0]=[2]=[6]={0, 2, 6} [1]=[9]={1, 9} 47 9/26/2017

48 Partisi Class ekivalen membentuk partisi dari himpunan A. Definisi Partisi dari himpunan A adalah sub-sub himpunan A yang mempunyai sifat: jika A 1, A 2,..., A n A, maka dipenuhi dua hal sekaligus: A 1 A 2... A n = A {keseluruhan menjadi satu} A i A j = Ø, jika i j, dan i, j= 1, 2,..., n{tak ada irisan} 48 9/26/2017

49 Contoh 20: Apakah kelas-kelas ekivalen pada Contoh 18 memenuhi sifat partisi? Jawab: 1) [1] [-2] [0]= A 2) [1] [-2]=Ø, [1] [0]=Ø, dan [0] [-2]=Ø Jadi, partisi A terhadap relasi R adalah: [1], [-2], dan [0] 49 9/26/2017

50 Contoh 21: Jika A = {-2, -1, 3, 4, 5, 8} dan relasi R = {(a, b) 2 habis membagi (a-b), a, b A}. Tentukan Partisi dari A terhadap relasi R. Jawab: Partisi dari A terhadap relasi R adalah: [-2]={-2, 4, 8} [-1]= {-1, 3, 5} 50 9/26/2017

51 Relasi Terurut Parsial Relasi atas S yang memenuhi sifat refleksif, antisimetri, dan transitif disebut Relasi Terurut Parsial. Himpunan S bersama-sama dengan Relasi Terurut Parsial R disebut Poset (Partially Ordered Set), ditulis (S,R). 51 9/26/2017

52 Contoh 22: Apakah A = {1, 2, 3, 4} dengan relasi R = {(a, b) a b, a, b A } termasuk Relasi Terurut Parsial? 52 9/26/2017

53 Jawab: Kita dapatkan matrik zero-one sebagai berikut: Karena pada diagonal utama semua entry bernilai 1, maka R bersifat refleksif Karena untuk semua entry untuk i j berlaku jika a ij = 1, dan a ji = 0, berarti relasi R bersifat antisimetri. 53 9/26/2017

54 Untuk memperlihatkan sifat transitif digunakan diagram digraph: a b dan b c, maka didapat a c jadi bersifat transitif. Terlihat bahwa setiap (a, b) R dan (b, c) R, maka selalu ada (a,c) R, berarti transistif. Jadi R Relasi Terurut Parsial. 54 9/26/2017

55 Contoh 23: Apakah relasi berikut: A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 18} dengan R = {(a, b) a habis membagi b, dan a, b A} termasuk Relasi Terurut Parsial? 55 9/26/2017

56 56 9/26/2017

57 57 9/26/2017

58 Comparable 58 9/26/2017

59 Contoh /26/2017

60 Totally Ordered 60 9/26/2017

61 Contoh 25: Apakah poset (Z, ) termasuk totally ordered? Jawab: Benar, karena a b atau b a, untuk setiap a,b Z. 61 9/26/2017

62 Contoh 26: Apakah poset (Z +, ) termasuk totally ordered? Jawab: bukan totally ordered karena ada anggota yang incomparable, contohnya 5 dan7 (5 tidak habis dibagi 7 dan juga 7 tidak habis dibagi 5). 62 9/26/2017

63 Diagram Hasse Pada Relasi Terurut Parsial, digraph dapat disederhanakan sehingga memberikan kemudahan dalam menggambarkannya. Dalam hal ini Hasse telah membuat prosedurnya dan dikenal dengan nama Diagram Hasse. 63 9/26/2017

64 Untuk membentuk Diagram Hasse, lakukan langkah-langkah berikut: Buat digraph-nya Buang semua loop Buang semua panah yang dibentuk dari sifat transitif Gambarkan garis tanpa anak panah Pahamilah bahwa pada semua titik arah panahnya ke atas 64 9/26/2017

65 Contoh 27: Gambarkan diagram Hasse untuk Poset (A, R) dengan : A = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 18} dan R = {(a, b) a habis membagi b, dan a, b A}. 65 9/26/2017

66 Jawab: 66 9/26/2017

67 Contoh 28: Gambarkan diagram Hasse untuk Poset ( (S), R) dengan : S={a, b, c} (S)={, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} R = {(A, B) A B, A, B (S)} 67 9/26/2017

68 Jawab: 68 9/26/2017

69 Elemen Maksimal dan Minimal 69 9/26/2017

70 Contoh 29: Diberikan: S={2, -4, 5, 7, -10} dan R = {(a, b) a b, a, b S} a. Gambarkan diagram Hassenya. b. Tentukan elemen maksimal dan minimalnya? 70 9/26/2017

71 71 9/26/2017

72 Contoh 30 Diberikan: A = {1, 2, 3}, S=AxA dan R = {(B, C): B=(x, y), C=(w, z), x w, y z, dan B, C S} a. Gambarkan Diagram Hasse dari poset (A, R) di atas. b. Tentukan elemen minimal dan eleman maksimalnya. 72 9/26/2017

73 Jawab: S={(1,1), (1,2), (1,3),(2,1), (2,2), (2,3),(3,1), (3,2), (3,3)} R (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) /26/2017

74 Refleksif karena entry pada diagonal utama semuanya adalah 1 Antisimetri karena setiap ada 1 pada entry baris ke-i dan kolom ke-j maka entry pada baris ke-j dan kolom ke-i bernilai 0 Transitif, karena jika a b dan b c maka a c, akibatnya jika (A, B) R dan (B, C) R, misalkan A=(a, b), B=(c, d) dan C=(e,f), didapat: a c, c e, maka a e dan b d, d f, maka b f, sehingga (A, C) R 74 9/26/2017

75 58Proses Pembentukan Diagram Hasse (A, R): (a) Digraph, (b) buang loop, (c) buang busur transitif, (d) buang panah, diagram Hasse 75 9/26/2017

76 Dari diagram Hasse diperoleh: Elemen maksimal: {(3,3), (3, 2), (2,2), (2,3)} Elemen minimal: {(1,1)} 76 9/26/2017

77 77 9/26/2017 THANK YOU

Hasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan terurut (a, b) untuk a A dan b B.

Hasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan terurut (a, b) untuk a A dan b B. III Relasi Banyak hal yang dibicarakan berkaitan dengan relasi. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal istilah relasi bisnis, relasi pertemanan, relasi antara dosen-mahasiswa yang disebut perwalian

Lebih terperinci

Matriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1:

Matriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1: MATRIKS & RELASI Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemenelemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: A = a a M a 2 m a a a 2 22 M m 2

Lebih terperinci

Relasi. Oleh Cipta Wahyudi

Relasi. Oleh Cipta Wahyudi Relasi Oleh Cipta Wahyudi Definisi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh

Lebih terperinci

Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit

Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit 8/29/24 Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 8/29/24 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/24 8/29/24 Relasi dan Fungsi Tujuan Mahasiswa memahami

Lebih terperinci

KALKULUS (Relasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

KALKULUS (Relasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. KALKULUS (Relasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang

Lebih terperinci

BAB II RELASI DAN FUNGSI

BAB II RELASI DAN FUNGSI 9 BAB II RELASI DAN FUNGSI Dalam kehidupan nyata, senantiasa ada hubungan (relasi) antara dua hal atau unsur-unsur dalam suatu kelompok. Misalkan, hubungan antara suatu urusan dengan nomor telepon, antara

Lebih terperinci

MATEMATIKA DISKRIT RELASI

MATEMATIKA DISKRIT RELASI MATEMATIKA DISKRIT RELASI Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh

Lebih terperinci

R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323) }

R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323) } Pertemuan 9 Relasi Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b

Lebih terperinci

Matriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1:

Matriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1: MATRIKS & RELASI Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemenelemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: A a a a 2 m a a a 2 22 m2 a a a

Lebih terperinci

Relasi. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).

Relasi. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk

Lebih terperinci

DEFINISI. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).

DEFINISI. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). BAB 3 RELASI DEFINISI Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah

Lebih terperinci

Matematika Komputasi RELASI. Gembong Edhi Setyawan

Matematika Komputasi RELASI. Gembong Edhi Setyawan Matematika Komputasi RELASI Gembong Edhi Setyawan DEFINISI Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B Relasi Biner : Hubungan antara

Lebih terperinci

RELASI DAN FUNGSI. /Nurain Suryadinata, M.Pd

RELASI DAN FUNGSI. /Nurain Suryadinata, M.Pd RELASI DAN FUNGSI Nama Mata Kuliah Kode Mata Kuliah/SKS Program Studi Semester Dosen Pengampu : Matematika Diskrit : MAT-365/ 3 sks : Pendidikan Matematika : VI (Enam) : Nego Linuhung, M.Pd /Nurain Suryadinata,

Lebih terperinci

Relasi dan Fungsi. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP

Relasi dan Fungsi. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP Relasi dan Fungsi Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP 2 Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m

Lebih terperinci

Oleh : Winda Aprianti

Oleh : Winda Aprianti Oleh : Winda Aprianti Relasi Definisi Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu (relasi biner). Relasi biner R antara

Lebih terperinci

Relasi Adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan

Relasi Adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan Relasi dan Fungsi Relasi Adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut.

Lebih terperinci

22 Matematika Diskrit

22 Matematika Diskrit .. Relasi Ekivalen Definisi : Sebuah relasi pada sebuah himpunan A disebut relasi ekivalen jika dan hanya jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Dua elemen yang dihubungkan dengan

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 2

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 2 Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B didefinisikan sebagai cara pengawanan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. ilustrasi grafis dapat dilihat sebagai berikut: - Relasi Biner Relasi

Lebih terperinci

Matriks, Relasi, dan Fungsi

Matriks, Relasi, dan Fungsi Matriks, Relasi, dan Fungsi 2 Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: mn m m n n a a a a

Lebih terperinci

RELASI DAN FUNGSI. Nur Hasanah, M.Cs

RELASI DAN FUNGSI. Nur Hasanah, M.Cs RELASI DAN FUNGSI Nur Hasanah, M.Cs Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan

Lebih terperinci

Relasi & Fungsi. Kuliah Matematika Diskrit 20 April Pusat Pengembangan Pendidikan - Universitas Gadjah Mada

Relasi & Fungsi. Kuliah Matematika Diskrit 20 April Pusat Pengembangan Pendidikan - Universitas Gadjah Mada Relasi & Fungsi Kuliah Matematika Diskrit 20 April 2006 Hasil Kali Kartesian Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Hasil kali Kartesian A dengan B (simbol: A x B) adalah himpunan semua pasangan berurutan

Lebih terperinci

Definisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}.

Definisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}. RELASI A. Pendahuluan Definisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}. Apabila (a, b) R, maka a dihubungkan dengan b oleh relasi R, ditulis a R

Lebih terperinci

2. Matrix, Relation and Function. Discrete Mathematics 1

2. Matrix, Relation and Function. Discrete Mathematics 1 2. Matrix, Relation and Function Discrete Mathematics Discrete Mathematics. Set and Logic 2. Relation 3. Function 4. Induction 5. Boolean Algebra and Number Theory MID 6. Graf dan Tree/Pohon 7. Combinatorial

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI

MATEMATIKA DASAR PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI RELASI MATEMATIKA DASAR PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI Apa itu Relasi? Relasi ( hubungan ) himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. RELASI R : A B, artinya R relasi dari

Lebih terperinci

KALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

KALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. KALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Ekivalen Relasi ekivalen digunakan untuk merelasikan obyek-obyek yang memiliki kemiripan dalam suatu hal tertentu. Definisi.

Lebih terperinci

MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1

MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 RELASI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI Apa itu Relasi? Relasi ( hubungan ) himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. RELASI R : A B, artinya R relasi dari himpunan A ke

Lebih terperinci

Diketahui : A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {1,2,3,5,6,12} C = {2,4,8,12,20} (A B) C = {1,3,5,6} {x x ϵ A dan x ϵ B} (B C) = {2,12}

Diketahui : A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {1,2,3,5,6,12} C = {2,4,8,12,20} (A B) C = {1,3,5,6} {x x ϵ A dan x ϵ B} (B C) = {2,12} KELAS A =========================================================================== 1. Diketahui A = {1,2,3,4,5,6,7}, B = {1,2,3,5,6,12}, dan C = {2,4,8,12,20}. Tentukan hasil dari operasi himpunan berikut

Lebih terperinci

Definisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}.

Definisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}. Modul 2 RELASI A. Pendahuluan Definisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}. Apabila (a, b) R, maka a dihubungkan dengan b oleh relasi R, ditulis

Lebih terperinci

Pengantar Matematika Diskrit

Pengantar Matematika Diskrit Pengantar Matematika Diskrit Referensi : Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, Informatika Bandung 2005 1 Matematika Diskrit? Bagian matematika yang mengkaji objek-objek diskrit Benda disebut diskrit jika

Lebih terperinci

Matriks. Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom.

Matriks. Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: Matriks bujursangkar adalah matriks yang berukuran

Lebih terperinci

Relasi dan Fungsi Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Relasi dan Fungsi Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Relasi dan Fungsi Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2013/2014 Himpunan. Mempunyai elemen atau anggota. Terdapat hubungan.

Lebih terperinci

KALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

KALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. KALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Ekivalen Relasi ekivalen digunakan untuk merelasikan obyek-obyek yang memiliki kemiripan dalam suatu hal tertentu. Definisi.

Lebih terperinci

Materi 3: Relasi dan Fungsi

Materi 3: Relasi dan Fungsi Materi 3: Relasi dan Fungsi I Nyoman Kusuma Wardana STMIK STIKOM Bali Definisi Relasi & Fungsi Representasi Relasi Relasi biner Sifat-sifat relasi biner Relasi inversi Mengkombinasikan relasi Komposisi

Lebih terperinci

Matematika Diskret (Relasi dan Fungsi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Matematika Diskret (Relasi dan Fungsi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Matematika Diskret (Relasi dan Fungsi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi

Lebih terperinci

RELASI. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

RELASI. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI RELASI 1. Pasangan Berurutan 2. Fungsi Proposisi dan Kalimat Terbuka 3. Himpunan Jawaban dan Grafik Relasi 4. Jenis-jenis Relasi 5. Domain dan Range suatu Relasi Pasangan Berurutan (cartesian Product)

Lebih terperinci

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan

Lebih terperinci

Adri Priadana ilkomadri.com. Relasi

Adri Priadana ilkomadri.com. Relasi Adri Priadana ilkomadri.com Relasi Relasi Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur yang disebut relasi. Relasi antara himpunan A dan B disebut relasi biner,

Lebih terperinci

POLITEKNIK TELKOM BANDUNG

POLITEKNIK TELKOM BANDUNG POLITEKNIK TELKOM BANDUNG 29 Penyusun dan Editor Adi Wijaya M.Si Dilarang menerbitkan kembali, menyebarluaskan atau menyimpan baik sebagian maupun seluruh isi buku dalam bentuk dan dengan cara apapun tanpa

Lebih terperinci

MATEMATIKA DISKRIT BAB 2 RELASI

MATEMATIKA DISKRIT BAB 2 RELASI BAB 2 RELASI Kalau kita mempunyai himpunan A ={Edi, Tini, Ali, Diah} dan himpunan B = {Jakarta, Bandung, Surabaya}, kemudian misalnya Edi bertempat tinggal di Bandung, Tini di Surabaya, Ali di Jakarta,

Lebih terperinci

PENDAHULUAN. 1. Himpunan

PENDAHULUAN. 1. Himpunan PENDAHULUAN 1. Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya

Lebih terperinci

Aljabar Linier Lanjut. Kuliah 1

Aljabar Linier Lanjut. Kuliah 1 Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan

Lebih terperinci

BAB II RELASI & FUNGSI

BAB II RELASI & FUNGSI BAB II RELASI & FUNGSI. Pengantar Pada bab telah dipelajari logika proposisi, Himpunan, beserta sifat-sifat yang berlaku yang mana teori tersebut mendasari pembahasan paba bab 2. Pada bab 2 ini dibahas

Lebih terperinci

RELASI SMTS 1101 / 3SKS

RELASI SMTS 1101 / 3SKS RELASI SMTS 0 / 3SKS LOGIKA MATEMATIKA Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 6 DAFTAR ISI Cover pokok bahasan... 6 Daftar isi... 7 Judul Pokok Bahasan... 8 5.. Pengantar... 8 5.2. Kompetensi... 8 5.3. Uraian

Lebih terperinci

9.1 RELATIONS AND THEIR PROPERTIES

9.1 RELATIONS AND THEIR PROPERTIES CHAPTER 9 RELATION 9. RELATIONS AND THEIR PROPERTIES 2 Relasi Hubungan antar anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antar anggota

Lebih terperinci

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HIMPUNAN Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan Enumerasi Simbol-simbol Baku Notasi

Lebih terperinci

Diberikan sebarang relasi R dari himpunan A ke B. Invers dari R yang dinotasikan dengan R adalah relasi dari B ke A sedemikian sehingga

Diberikan sebarang relasi R dari himpunan A ke B. Invers dari R yang dinotasikan dengan R adalah relasi dari B ke A sedemikian sehingga Departent of Matheatics FMIPA UNS Lecture 3: Relation C A. Universal, Epty, and Equality Relations Diberikan sebarang hipunan A. Maka A A dan erupakan subset dari A A dan berturut-turut disebut relasi

Lebih terperinci

BAB 5 POSET dan LATTICE

BAB 5 POSET dan LATTICE BAB 5 POSET dan LATTICE 1. Himpunan Urut Parsial Suatu relasi R pada himpunan S dikatakan urut parsial pada S, jika R bersifat : 1. Refleksif, yaitu a R a, untuk setiap a Є s 2. Anti simetris, yaitu a

Lebih terperinci

1 P E N D A H U L U A N

1 P E N D A H U L U A N 1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2 Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut

Lebih terperinci

Makalah Himpunan dan Logika Matematika Poset dan Lattice

Makalah Himpunan dan Logika Matematika Poset dan Lattice Makalah Himpunan dan Logika Matematika Poset dan Lattice Dosen : Dra. Linda Rosmery Tambunan, M.Si Disusun oleh : Zoelia Gurning (160384202050) Yoga (160384202054) Muhammad Wiriantara (160384202063) Eci

Lebih terperinci

BAB 5 POSET dan LATTICE

BAB 5 POSET dan LATTICE BAB 5 POSET dan LATTICE 1. Himpunan Urut Parsial Suatu relasi R pada himpunan S dikatakan urut parsial pada S, jika R bersifat : 1. Refleksif, yaitu a R a, untuk setiap a Є s 2. Anti simetris, yaitu a

Lebih terperinci

Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan. Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit

Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan. Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 1 8/29/2014 Cakupan Himpunan Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/2014 1 Himpunan Tujuan Mahasiswa memahami konsep dasar

Lebih terperinci

BAHAN KULIAH LOGIKA MATEMATIKA

BAHAN KULIAH LOGIKA MATEMATIKA BAHAN KULIAH LOGIKA MATEMATIKA O L E H A. Rahman H., S.Si, MT & Muhammad Khaidir STTIKOM Insan unggul Jl. S.A. tirtayasa no. 146 Komp. Istana Cilegon blok B 25-28 Cilegon Banten 42414 http://didir.co.cc

Lebih terperinci

Logika Matematika Himpunan

Logika Matematika Himpunan Modul ke: Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi dasar himpunan. Fakultas ILMU KOMPUTER Tedjo Nugroho, ST. MT Program Studi Sistem Informasi www.mercubuana.ac.id

Lebih terperinci

PERKALIAN CARTESIAN DAN RELASI

PERKALIAN CARTESIAN DAN RELASI RELASI Anggota sebuah himpunan dapat dihubungkan dengan anggota himpunan lain atau dengan anggota himpunan yang sama. Hubungan tersebut dinamakan relasi. Contoh Misalkan M = {Ami, Budi, Candra, Dita} dan

Lebih terperinci

Relasi. Learning is not child's play, we cannot learn without pain. - Aristotle. Matema(ka Komputasi - Relasi dan Fungsi. Agi Putra Kharisma, ST., MT.

Relasi. Learning is not child's play, we cannot learn without pain. - Aristotle. Matema(ka Komputasi - Relasi dan Fungsi. Agi Putra Kharisma, ST., MT. Relasi Learning is not child's play, we cannot learn without pain. - Aristotle 1 Misal: M = {Susan, Sinta, Ami, Mila} G = {Dangdut, Blues, Jazz, Pop} S adalah relasi yang mendeskripsikan mahasiswa yang

Lebih terperinci

Matematika Diskrit 1

Matematika Diskrit 1 Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR (Himpunan Terurut Parsial (Poset))

MATEMATIKA DASAR (Himpunan Terurut Parsial (Poset)) MATEMATIKA DASAR (Himpunan Terurut Parsial (Poset)) Antonius Cahya Prihandoko University of Jember Indonesia Jember, 2015 Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 1 / 26 Outline 1 Himpunan

Lebih terperinci

Himpunan dapat dikomposisikan satu sama lain. Komposisi yang menyangkut dua himpunan disebut operasi biner, seperti Gabungan (union),

Himpunan dapat dikomposisikan satu sama lain. Komposisi yang menyangkut dua himpunan disebut operasi biner, seperti Gabungan (union), Lecture 1: ALGEBRA OF SETS Himpunan dapat dikomposisikan satu sama lain. Komposisi yang menyangkut dua himpunan disebut operasi biner, seperti Gabungan (union), A B = {x x A x B} Irisan (intersection),

Lebih terperinci

MATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )

MATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 ) MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.

Lebih terperinci

Matriks, Relasi, dan Fungsi Teknik Neurofuzzy

Matriks, Relasi, dan Fungsi Teknik Neurofuzzy Matriks, Relasi, dan Fungsi Teknik Neurofuzzy Dosen Andi Hasad, S.T., M.Kom. Center for Information & Communication Technology Electrical Department, Engineering Faculty, UNISMA, Bekasi Email : andihasad@yahoo.com

Lebih terperinci

Diktat Kuliah. Oleh:

Diktat Kuliah. Oleh: Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional

Lebih terperinci

BAB 2 RELASI. 1. Produk Cartesian

BAB 2 RELASI. 1. Produk Cartesian BAB 2 RELASI 1. Produk Cartesian Notasi-notasi yang digunakan dari produk cartesian : (a, b) pasangan terurut dari elemen a dan b; (a 1, a 2,, a n ) n-tuple dari elemen-elemen a 1,, a n ; A x B = {(a,

Lebih terperinci

C. y = 2x - 10 D. y = 2x + 10

C. y = 2x - 10 D. y = 2x + 10 1. Diantara himpunan berikut yang merupakan himpunan kosong adalah... A. { bilangan cacah antara 19 dan 20 } B. { bilangan genap yang habis dibagi bilangan ganjil } C. { bilangan kelipatan 3 yang bukan

Lebih terperinci

Materi Ke_2 (dua) Himpunan

Materi Ke_2 (dua) Himpunan Materi Ke_2 (dua) Himpunan 12-10-2013 OPERASI HIMPUNAN Gabungan (union), notasi U : Gabungan dari himpunan A dan himpunan B merupakan suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota himpunan A atau

Lebih terperinci

Modul ke: Penyajian Himpunan. operasi-operasi dasar himpunan. Sediyanto, ST. MM. 01Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika

Modul ke: Penyajian Himpunan. operasi-operasi dasar himpunan. Sediyanto, ST. MM. 01Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika Modul ke: 01Fakultas FASILKOM Penyajian Himpunan operasi-operasi dasar himpunan Sediyanto, ST. MM Program Studi Teknik Informatika Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

Lebih terperinci

HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com

HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com Definisi Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class

Lebih terperinci

Matematika Teknik INVERS MATRIKS

Matematika Teknik INVERS MATRIKS INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien

Lebih terperinci

Pertemuan 2 Matriks, part 2

Pertemuan 2 Matriks, part 2 Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan permasalahan, seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. 2.1 Graf Graf

Lebih terperinci

Ulang Kaji Konsep Matematika

Ulang Kaji Konsep Matematika Ulang Kaji Konsep Matematika Teori Bahasa dan Automata Viska Mutiawani - Informatika FMIPA Unsyiah 1 Ulang Kaji Konsep Matematika Set / himpunan Fungsi Relasi Graf Teknik pembuktian Viska Mutiawani - Informatika

Lebih terperinci

MATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS

MATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.

Lebih terperinci

H i m p u n a n. Himpunan. Oleh : Panca Mudji Rahardjo, ST. MT.

H i m p u n a n. Himpunan. Oleh : Panca Mudji Rahardjo, ST. MT. H i m p u n a n Oleh : Panca Mudji Rahardjo, ST. MT. Himpunan Definisi himpunan Penyajian himpunan Definisi-definisi Operasi himpunan Prinsip inklusi dan eksklusi Himpunan ganda 1 Definisi Himpunan (set)

Lebih terperinci

OPERASI BINER. Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang

OPERASI BINER. Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang OPERASI BINER Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 4, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Relasi 3 3 Fungsi 4 4 Operasi Biner

Lebih terperinci

Induksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.

Induksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Induksi Matematika Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan: Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah

Lebih terperinci

PERTEMUAN Relasi dan Fungsi

PERTEMUAN Relasi dan Fungsi 4-1 PERTEMUAN 4 Nama Mata Kuliah : Matematika Diskrit (3 SKS) Nama Dosen Pengampu : Dr. Suparman E-mail : matdis@netcourrier.com HP : 081328201198 Judul Pokok Bahasan Tujuan Pembelajaran : 4. Relasi dan

Lebih terperinci

PENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015

PENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,

Lebih terperinci

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) MUG2A3 Matematika Diskrit Disusun oleh: Dede Tarwidi, M.Si., M.Sc. PROGRAM STUDI S1 ILMU KOMPUTASI FAKULTAS INFORMATIKA TELKOM UNIVERSITY LEMBAR PENGESAHAN Rencana Pembelajaran

Lebih terperinci

HIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si

HIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si HIMPUNAN Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si 1. Himpunan kosong & semesta 2. Himpunan berhingga & tak berhingga Jenis-jenis himpunan 3. Himpunan bagian (subset) 4. Himpunan saling lepas

Lebih terperinci

TEORI HIMPUNAN. A. Penyajian Himpunan

TEORI HIMPUNAN. A. Penyajian Himpunan TEORI HIMPUNAN A. Penyajian Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Dalam

Lebih terperinci

Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN

Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Himpunan Dra. Kusrini, M.Pd. PENDAHULUAN D alam Modul 1 ini ada 3 kegiatan belajar, yaitu Kegiatan Belajar 1, Kegiatan Belajar 2, dan Kegiatan Belajar 3. Dalam Kegiatan Belajar 1, Anda akan mempelajari

Lebih terperinci

BAB V BILANGAN BULAT

BAB V BILANGAN BULAT BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan

Lebih terperinci

BAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan

BAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com

HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com Definisi Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class

Lebih terperinci

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2 Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat

Lebih terperinci

RINGKASAN CATATAN KULIAH PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN

RINGKASAN CATATAN KULIAH PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN RINGKASAN CATATAN KULIAH PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN Apakah himpunan itu? Tidak ada definisi himpunan, yang ada hanya sinonim-sinonim atau kesamaan kata. 1. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia: himpunan

Lebih terperinci

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) 1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 HIMPUNAN CRIPS Himpunan adalah suatu kumpulan objek-objek yang mempunyai kesamaan sifat tertentu. Suatu himpunan harus terdefinisi secara tegas, artinya untuk setiap objek selalu

Lebih terperinci

BAB I HIMPUNAN. Contoh: Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10}

BAB I HIMPUNAN. Contoh: Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10} BAB I HIMPUNAN 1 1. Definisi Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek yang berbeda. Masing masing objek dalam suatu himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan. Tidak ada spesifikasi

Lebih terperinci

: SRI ESTI TRISNO SAMI

: SRI ESTI TRISNO SAMI MATEMATIKA DISKRIT By : SRI ESTI TRISNO SAMI 082334051324 Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Seymour Lipschutz dan Marc Lars Lipson, Matematika Diskkrit Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company,

Lebih terperinci

1.2 PENULISAN HIMPUNAN

1.2 PENULISAN HIMPUNAN BAB I HIMPUNAN 1.1 PENGERTIAN Definisi : Himpunan adalah kumpulan benda atau hal hal lain yang telah terdefinisi secara jelas. Benda atau hal hal lain tersebut disebut elemen atau unsure atau anggota himpunan.

Lebih terperinci

Matematika Diskrit 1

Matematika Diskrit 1 dan Lattice Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Himpunan terurut Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan S dan memenuhi ketiga sifat berikut ini: Refleksif (untuk sebarang a S, berlaku (a, a) R);

Lebih terperinci

Himpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan

Lebih terperinci

RELASI BINER. 1. Hasil Kali Cartes

RELASI BINER. 1. Hasil Kali Cartes RELASI BINER 1. Hasil Kali Cartes Definisi: Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan tak kosong. Hasil kali Cartes dari A dan B yang dilambangkan A x B adalah himpunan A x B = {(x, y) x є A, y є B} Contoh

Lebih terperinci

BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.

BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi. BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan

Lebih terperinci

MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN

MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN Mata Kuliah Jurusan SKS Kode M. Kuliah : Kalkulus IA : Teknik Elektro : 2 SKS : KD-0420 Minggu ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan dan Sasaran Belajar Cara Pengajaran

Lebih terperinci

Bundel Soal. Elektroteknik. Semester 3 Tahun 2013/2014. tambahan Matematika Diskrit (ET 2012)

Bundel Soal. Elektroteknik. Semester 3 Tahun 2013/2014. tambahan Matematika Diskrit (ET 2012) Tim Penyusun Bundel Soal Elektroteknik Semester 3 Kementerian Kesejahteraan Anggota Kementerian Kewirausahaan Bundel Soal Elektroteknik Semester 3 Tahun 2013/2014 tambahan Matematika Diskrit (ET 2012)

Lebih terperinci

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HIMPUNAN Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan Enumerasi Simbol-simbol Baku Notasi

Lebih terperinci

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa

Lebih terperinci