METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n

Transkripsi

1 METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV Norma Puspita, ST MT Matriks Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang Matriks dinotasikan dengan huruf capital Banyaknya baris dankolom suatu matriks menentukan ukuran matriks tersebut, yang disebut ordo matriks Secara umum ordo matriks dituliskan dengan symbol m x n, m menerangkan banyaknya baris, sedangkan n menerangkan banyaknya kolom a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n Matriks A mxn = [A mxn] = a 31 a 32 a 33 a 3n a m1 a m2 a m3 a mn 1

2 Jenis Matriks Berdasarkan Ordo: Matriks bujur sangkar/persegi, berordo n x n [Anxn] = a c b d Matriks baris, yaitu berordo 1 x n [A 1xn ] = [ a b c ] Matriks Kolom [A1xn] = a b c Matriks Tegak berordo m x n, tetapi m > n [Amxn] = a c e b d f Matriks datar berordo m x n, tetapi m < n [Anxn] = a b c d e f Jenis matriks Berdasarkan elemen penyusunnya: Matriks nol, elemen semua penyusunnya bernilai 0 Matriks Diagonal, D, matriks persegi yang semua nilai diatas diagonal dan dibawah diagonal bernilai 0 Matriks Skalar, matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya bernilai sama 2

3 Matriks Simetri, matriks persegi yang setiap elemennya, selain elemen diagonal dalah simetri terhadap diagonal utama Matriks simetri miring yaitu matriks simetri yang elemen-elemennya, selain elemen diagonal, saling berlawanan Matriks Identitas, I, matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah 1 dan dinotasikan sebagai I Matriks segitiga atas yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol Matriks segitiga bawah yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya adalah nol Matriks transpose yaitu matriks yang diperoleh dari memindahkan elemen-elemen baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya Transpose matriks A dilambangkan dengan A T 3

4 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Sifat penjumlahan matriks: A + B = B + A A + (B + C) = (A + B ) + C A + O = O + A = A (A + B) T = A T + B T Jika A B = C, maka elemen-elemen C diperoleh dari pengurangan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu c ij = a ij b ij atau pengurangan dua matriks ini dapat dipandang sebagai penjumlahan, yaitu A + (-B) Perkalian Matriks Yang perlu diperhatikan dari perkalian matriks, yaitu: Pada umumnya AB BA ( tidak komutatif ) Apabila A suatu matriks persegi maka : A 2 = AA ; A 3 = A 2 A : A 4 = A 3 A dan seterusnya Apabila AB = Bc maka tidak dapat disimpulkan bahwa B = C ( tidak berlaku sifat penghapusan ) Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B =0 Sifat perkalian Matriks: A(BC) = (AB)C A(B+C) = AB + AC (B+C)A = BA + CA A(B C) = AB AC (B C)A = BA CA a(bc) = (ab)c = B(aC) AI = IA = A 4

5 Determinan Matriks Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(a) Determinan matriks berordo 2 X 2 Determinan matriks berordo 3 X 3 Metode Saruss Perlu diperhatikan bahwa cara demikian tidak berlaku bila matriks berordo 4x4 dan yang lebih tinggi lagi Metode Kofaktor Terlebih dahulu dijelaskan tentang sub matriks atau minor dari suatu matriks Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-j Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan dengan Kij = (-1) i+j Mij = (-1) i+j det (Mij ) Untuk mencari det(a) dengan metode kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1 5

6 Adjoin Matriks Adjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A = (k ij ) t dari hitungan sebelumnya bahwa k 11 =13, k 12 = 26 dan k 13 =13 Invers matriks Matrks-matriks persegi A dan B sedemikian hingga AB = BA = I maka A disebut insvers B ditulis B-1 dan sebaliknya B adalah invers A ditulis A -1 sehingga berlaku AA 1 = A 1 A = I, dimana I matriks identitas Invers matriks A dirumuskan A 1 = 1 Adj (A) detr (A) 6