Oleh : Winda Aprianti

Transkripsi

1 Oleh : Winda Aprianti

2 Relasi

3 Definisi Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu (relasi biner). Relasi biner R antara himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari cartesian product A B atau R (A B). Notasi dari suatu relasi biner adalah a R b atau (a, b) R. Untuk menyataan bahwa suatu unsur dalam cartesian product bukan merupakan unsur relasi adalah a R b atau (a, b) R. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

4 Definisi Relasi Misalkan A = {2, 3, 4} dan B = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan : (a, b) R jika a faktor prima dari b Jawaban: Cartesian product A B adalah : A B = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 9), (2, 15), (3, 2), (3, 4), (3, 8), (3, 9), (3, 15), (4, 2), (4, 4), (4, 8), (4, 9), (4, 15)} Dengan menggunakan definisi relasi diatas, relasi R dari A ke B yang mengikuti aturan tersebut adalah : R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15) }

5 Cara Penyajian Relasi Penyajian Relasi dengan Diagram Panah Penyajian Relasi berupa Pasangan Terurut R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15)} Penyajian Relasi dengan Tabel Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

6 Cara Penyajian Relasi Penyajian relasi dengan matriks

7 Sifat-sifat Relasi Refleksi Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) R untuk setiap a A Simetri Relasi R pada himpunan A disebut simetri jika untuk semua a, b A, (a, b) R, maka (b, a) R. Anti Simetri R disebut tak simetri (anti sysmmetric) untuk a,b A, jika (a, b) R dan a b, maka (b,a) R Transitif R disebut transitif jika (a, b) R dan (b, c) R, maka (a, c) R, untuk a, b, c A.

8 Operasi pada Relasi Jika R 1 dan R 2 masing-masing merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka R 1 R 2 irisan R 1 R 2 gabungan R 1 R 2 selisih R 1 R 2 beda setangkup juga adalah relasi merupakan dari A ke B.

9 Komposisi Relasi Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan R o S, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan sebagai berikut : R o S = {(a,c) a A, c C,dan untuk beberapa b B, (a, b) R dan (b, c) S }

10 Relasi Ekivalen dan Relasi terurut parsial Sebuah relasi pada himpunan A dinamakan relasi ekivalen jika relasi tersebut refleksif, simetri dan transitif. Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi terurut parsial jika relasi tersebut bersifat refleksif, antisimetri dan transitif. Sebuah himpunan S yang dilengkapi dengan sebuah relasi R yang terurut parsial, himpunan tersebut dinamakan himpunan terurut parsial (partially ordering set poset), Notasi : (S, R).

11 Aplikasi Relasi pada Komputer?

12 Fungsi

13 Definisi fungsi Diberikan dua himpunan A dan B, relasi biner f dari himpunan A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam himpunan A mempunyai pasangan tepat satu elemen himpunan B. Apabila f adalah fungsi dari himpunan A ke B maka notasi fungsinya f : A B Himpunan A disebut daerah definisi (domain) dan himpunan B disebut daerah hasil (kodomain).

14 Definisi Fungsi Misalkan f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (preimage) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f dinamakan jelajah (range) dari f.

15 Cara Penyajian Fungsi Himpunan pasangan terurut. Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} maka fungsi itu dapat dituliskan dalam bentuk : f = {(2, 4), (3, 9)} Formula pengisian nilai (assignment). f(x) = x , f(x) = 5x, Kata-kata f adalah fungsi yang memetakan jumlah bilangan bulat menjadi kuadratnya.

16 Cara Penyajian Fungsi Kode program (source code) Fungsi menghitung x (harga mutlak dari). int abs(int x) { if (x > 0) abs = x; else abs = x; }

17 Fungsi injektif Jenis Fungsi Fungsi f dikatakan one-to-one atau injektif (injective) apabila a dan b anggota himpunan A maka f(a) f(b) bilamana a b untuk f(a) dan f(b) anggota himpunan B.

18 Fungsi surjektif Jenis Fungsi Fungsi f dikatakan pada (onto) atau surjektif(surjective) apabila setiap elemen dari himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.

19 Fungsi Bijektif Jenis Fungsi Fungsi f dikatakan berkorespodensi satu-satu atau bijeksi (bijection) apabila ia fungsi one-to-one dan surjective.

20 Fungsi Invers Fungsi Invers Apabila f merupakan fungsi berkorespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B maka fungsi tersebut mempunyai invers yaitu f -1 (y) = x untuk x A dan y B, f -1 merupakan invers dari fungsi f.

21 Komposisi Fungsi Komposisi dari dua fungsi f dan g dinyatakan f g, f merupakan fungsi yang memetakan anggota himpunan A ke himpunan B dan fungsi g memetakan anggota himpunan B ke himpunan C. Fungsi dari himpunan A ke himpunan C didefinisikan f g(x) = f( g(x)), x A

22 Beberapa Fungsi Khusus Fungsi khusus yang sering digunakan dalam bahasa pemograman: fungsi floor membulatkan nilai pecahan ke bawah, x fungsi ceiling membulatkan nilai pecahan keatas, x. fungsi modulo fungsi hash? fungsi faktorial fungsi perpangkatan fungsi logaritmik