MATRIKS. Slide : Tri Harsono PENS - ITS. 1 Politeknik Elektronika Negeri Surabaya (PENS) - ITS

Transkripsi

1 MATRIKS Slide : Tri Harsono PENS - ITS 1

2 Sifat Matriks Perkalian dua matriks tidak komutatif Perkalian dua matriks bersifat assosiatif dan distributif tidak komutatif AB BA (AB)C = A(BC) A(B+C) = AB + AC assosiatif distributif 2

3 1) Matriks bujur sangkar : jml brs = jml kol. (m = n) A a a a1n Elemen n a21 a22 a2n a = ij, i = j am1 am2 amn diagonal utama 3

4 2) Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah a a a = A a a 0 0 a a = B a a a a a Matriks segitiga atas a ij = 0, i > j dan aij 0, i j Matriks segitiga bawah a ij = 0, i < j dan aij 0, i j 4

5 3) Matriks Diagonal (=D) D = Bentuk bujur sangkar, semua elemen NOL, kecuali elemen diagonal, a ij 0, i = j dan aij = 0, i j 5

6 4) Matriks Satuan (=I) I = I 1, = aij = 0, i i = j j 6

7 5) Matriks Skalar S k k 0 0 = 0 0 k k k, i= j S =a = ij 0, i j Matriks satuan adalah bentuk khusus dari matriks skalar, dg nilai k = 1 7

8 6) Matriks transpose B adalah tanspose dari matriks A, bila b ij = a ji atau matriks baru hasil dari pertukaran baris dg kolom Sifat matriks transpose : 1.(A + B) T = A T + B T 2.(A T ) T = A 3.k(A) T = (ka) T 4.(AB) T = B T A T 8

9 7. Matriks Simetri : matriks bujur sangkar dimana transposenya adl dirinya sendiri A T = A 8. Matriks Skew Simetri : matriks bujur sangkar dimana transposenya adl negatif dari dirinya sendiri A T = -A 9

10 9. Adjoint Matrix : transpose dari matriks kofaktornya a11 a a1n a21 a a2n A= am1 a m2... amn 10 Adj A = K T K K... K K K... K K = K K... K n n m1 m2 mn

11 Kofaktor = determinan baru dimana elemen2 nya dihasilkan dari : K ij = (-1) i+j.m ij Minnor = determinan baru hasil dari penghapusan baris ke-i dan kolom ke-j Contoh : Tentukan Adjoint matriks A A=

12 10. Matriks Karakteristik. A = matriks bujur sangkar I = matriks identitas Persamaan sistem linier: Y = AX Dimana A = matriks karakteristik, X = matriks variabel (output), Y = input 12

13 Besaran untuk mengukur karakteristik dari A: Y = x Dinyatakan λ λ = akar karakteristik (Eigen Value) dari matrik karakteristik A A= λx A- λi A- λi =0 Matriks karakteristik Persamaan karakteristik 13

14 Contoh : Tentukan eigen value dari : A=

15 11. Matriks Invers -1 AdjA A = A A 0 Contoh : Tentukan matriks invers dari : A=

16 Sistem Persamaan Linier Bentuk Umum sistem persamaan linier: a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 +a n2 x a nn x n = b n AX = B Bentuk matriks 16

17 Penyelesaian sistem pesamaan linier menggunakan matriks Ada 2 cara : Adjoint matriks Augmented matriks Contoh : Carilah variabel x, y, dan z pada sistem persamaan linier simultan berikut. 2x + y + z = 1 x + y + z = 2 x + 2y z =-1 Menggunakan : 1. Adjoint matriks/invers matriks 2. Augmented matriks 17

18 Penyelesaian sistem pesamaan linier menggunakan matriks Augmented matriks: ada istilah Operasi Baris Elementer (OBE) OBE digunakan utk menyederhanakan elemenelemen yang dikehendaki Augmented adalah tambahan Augmented matrix = matriks yang mengandung kolom tambahan Pivoting element = elemen yg digunakan untuk referensi/acuan membuat NOL elemen-elemen di bawah atau diatasnya 18

19 Penyelesaian sistem pesamaan linier menggunakan matriks Soal: Selesaikan sistem persamaan linier di bwh ini: (a). 2x + y - z = 1 -x + 3y - z = 2-2x + y + z = 3 (b). x 1 x 2 + x 3 = 0 2 x x 2 = -6 4 x 2 + 3x 3 = -4 (c). 60u 40v = 6-40u + 90v 10w = v + 60w = 12 (d). x + 2y - z = -1 2x + y + z = 1 x + y + z = 2 19

20 Implementasi Matriks dan Determinan Pada Rangkaian Listrik Di dalam rangkaian listrik ada dua komponen : Komponen aktif : arus, tegangan, daya, dll Komponen pasif : resistor, induktor, kapasitor, dll Komp aktif adalah komponen yang menghasilkan/mengalirkan tenaga (sumber) Komp pasif adalah komponen yang menerima tenaga. 20

21 Hukum Ohm dan Khircoff Hk. Ohm: tegangan yang masuk pada suatu komponen pasif besarnya sama dengan aus yg mengalir pd komp tsb dikalikan dengan resistansinya. V = IR Hk. Khircoff 1 (KVL): Jumlah tegangan yang ada pada suatu loop tertutup sama dengan NOL. V=0 Hk.Khircoff 2 (KCL): jumlah arus yang masuk pada suatu node/titik sama dengan jumlah arus yang keluar dari node tsb. I=0 21

22 Metode utk Menghitung Besaran Pd Suatu Rangkaian Listrik Ada 2 metode untuk menghitung besaran (misal arus) dalam suatu rangkaian: Metode Arus Cabang Metode Arus Loop 22

23 23

24 24