MA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun

Transkripsi

1 MA3051 Pengantar Teori Graf Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun

2 Bab 1: Graf dan subgraf Graf G : tripel terurut VG, E G, ψ G ) V G himpunan titik (vertex) E G himpunan sisi (edge) ψ G fungsi keterkaitan antara himpunan sisi dan pasangan tak terurut titik (boleh sama) Jika e sisi dan u dan v titik sehingga ψ G e = uv, maka dikatakan e menghubungkan u dan v. Titik u dan v disebut ujung dari e.

3 Contoh 1: G = V(G, E G, ψ G ) dimana V G = v 1, v 2, v 3, v 4 E G = *e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 + ψ G didefinisikan sbb ψ G e 1 = v 1 v 3, ψ G e 2 = v 1 v 3, ψ G e 3 = v 2 v 3, ψ G e 4 = v 3 v 3, ψ G e 5 = v 4 v 3, ψ G e 6 = v 2 v 4, ψ G e 7 = v 1 v 4 Penamaan GRAF karena G dapat digambarkan secara grafis dengan diagram (lihat gambar di papan). Penggambaran diagram ini tidak tunggal. TUGAS BACA: cari dan pahami definisi: terkait (incident), bertetangga (adjacent), loop, link, graf berhingga, graf trivial, graf sederhana (simple).

4 Banyaknya titik di G disebut order dari G. Banyaknya sisi di G disebut ukuran dari G. Notasi: V G = ν(g) dan E G = ε(g). Graf G dan H identik (ditulis G = H) jika V G = V H, E G = E H, dan ψ G = ψ H. Jelas bahwa dua graf yang identik dapat mempunyai diagram yang sama. Tetapi dua graf yang tidak identik mungkin saja dapat mempunyai diagram yang pada dasarnya sama. Dalam hal ini kita katakan bahwa kedua graf isomorfik (ditulis G H). G H jika terdapat bijeksi θ: V G V H dan φ: E G E H sehingga ψ G (e) = uv ψ H (φ(e)) = θ(u)θ(v). Pasangan θ, φ disebut isomorfisme antara G dan H.

5 Contoh 2: Misalkan G = V(G, E G, ψ G ) dimana V G = v 1, v 2, v 3, v 4 E G = *e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 + ψ G didefinisikan sbb ψ G e 1 = v 1 v 3, ψ G e 2 = v 1 v 3, ψ G e 3 = v 2 v 3, ψ G e 4 = v 3 v 3, ψ G e 5 = v 4 v 3. Misalkan H = V(H, E H, ψ H ) dimana V H = u, v, x, y E H = *a, b, c, d, e+ ψ H didefinisikan sbb ψ H a = ux, ψ H b = ux, ψ H c = vx, ψ H d = xx, ψ H e = yx. Maka pemetaan θ, φ dimana θ v 1 = u, θ v 2 = v, θ v 3 = x, θ v 4 = y, dan φ e 1 = a, φ e 2 = b, φ e 3 = c, φ e 4 = d, φ e 5 = e, adalah isomorfime antara G dan H.

6 Beberapa kelas graf istimewa: Graf lengkap, K n, adalah graf sederhana dengan n titik dimana setiap dua titik berbeda bertetangga. Graf bipartit adalah graf dimana himpunan titiknya dapat dipartisi menjadi dua subset X dan Y sehingga setiap sisi mempunyai satu ujung di X dan satu ujung di Y. TUGAS BACA: cari dan pahami definisi: graf kosong, graf bipartit lengkap K m,n.

7 Graf juga dapat direpresentasikan melalui matriks. Misalkan graf G dengan barisan titik v 1, v 2,, v ν, dan barisan sisi e 1, e 2,, e ε. Matriks keterkaitan dari G adalah matriks M G = m ij berukuran ν ε dimana m ij (nilainya 0, 1, atau 2) menyatakan frekuensi titik v i terkait dengan sisi e j. Matriks ketetanggaan dari G adalah matriks A G = a ij berukuran ν ν dimana a ij menyatakan banyaknya sisi yang menghubungkan titik v i dan titik v j. DISKUSI: 1. Mana diantara kedua matriks yang bersifat simetris? 2. Selidiki jumlah baris dan jumlah kolom dari kedua matriks. Informasi apa yang termuat disana?

8 Graf H subgraf dari G, ditulis H G, jika V H V G, E(H) E(G), dan ψ H adalah pembatasan ψ G pada E H. Jika H G dan H G, ditulis H G, maka dikatakan H subgraf sejati dari G. Jika H subgraf dari G maka G adalah supergraf dari H. Subgraf pembangun (supergraf pembangun) dari G adalah subgraf (supergraf) H dimana V H = V G. Misalkan V adalah subset tak hampa dari V(G). Subgraf dari G yang diinduksi oleh V, ditulis G V, adalah subgraf dengan himpunan titik V dan himpunan sisi terdiri dari semua sisi yang mempunyai kedua ujung di V.

9 TUGAS BACA: cari dan pahami definisi: 1. G V, 2. G,E -, E E(G) 3. G 1 G 2, G 1 + G 2, G 1 G 2

10 Derajat titik v di G, ditulis d G terkait dengan v. v, adalah banyaknya sisi yang Derajat minimum dan derajat maksimum dari titik-tik di G dinotasikan dengan δ(g) dan G. Teorema 1.1. d v = 2ε. v V Bukti: Gunakan matriks M G. Hasil tambah semua jumlah baris harus sama dengan hasil tambah semua jumlah kolom.

11 Akibat 1.1. Dalam sebarang graf, banyaknya titik berderajat ganjil haruslah genap. Bukti: Misalkan V 1 dan V 2 adalah himpunan titik berderajat ganjil dan berderajat genap. Perhatikan bahwa persamaan v V 1 d v + d v = d(v) v V 2 v V bernilai genap, sedangkan jumlah kedua di ruas kiri juga genap. Graf G disebut k-regular jika d v DISKUSI: cari contoh graf regular. = k, v V.

12 Jalan (walk) adalah barisan tak kosong W = v 0 e 1 v 1 e 2 v 2 e k v k dimana untuk 1 i k, e i = v i 1 v i. Titik v 0 dan v k disebut pangkal dan ekor dari W, titik lainnya disebut titik internal. Panjang W adalah k. Biasa dituliskan W adalah jalan v 0, v k. Jika semua sisi berbeda, maka W disebut trail, dan jika semua titik juga berbeda maka W disebut lintasan (path). Dua titik u dan v disebut terhubung jika terdapat lintasan v 0, v k Jarak antara titik u dan v, ditulis d u, v, adalah panjang lintasan u, v terpendek.

13 Keterhubungan ini adalah sebuah relasi ekivalen pada himpunan titik V (buktikan!). Akibatnya terdapat partisi dari V menjadi kelas-kelas V 1, V 2,, V ω dimana u dan v terhubung jika dan hanya jika u dan v masuk ke dalam kelas yang sama. G,V 1 -, G,V 2 -,, G,V ω - disebut komponen-komponen dari G. Jika G hanya memiliki tepat satu komponen maka G disebut terhubung. Jika tidak demikian, G disebut tak terhubung. ω(g) menyatakan banyaknya komponen dari G.

14 Jalan disebut tertutup jika mempunyai panjang positif,dan pangkal dan ekornya sama. Trail tertutup yang semua titik internalnya berbeda disebut siklus. Teorema 1.2. G bipartit G tidak memuat siklus ganjil. Bukti: Ambil sebarang siklus C = v 0 v 1 v k v 0, tunjukkan k ganjil. Buktikan untuk G terhubung saja. Misalkan G tidak memuat siklus ganjil, dan u sebarang titik di G. Perhatikan X = x V d u, x genap+ Y = y V d u, y ganjil+. Tunjukkan bahwa (X, Y) adalah bipartisi di G.

15 LATIHAN 1. Misalkan G sederhana. Tunjukkan bahwa ε = ν 2 hanya jika G lengkap. jika dan 2. Tunjukkan terdapat 11 graf sederhana non-isomorfik berorder Komplemen dari graf sederhana G, ditulis G c, adalah graf sederhana dengan V G = V G c dan e E G c jika dan hanya jika e E G. Deskripsikan graf K n c dan K m.n c. 4. Misalkan graf bipartit k-regular mempunyai partisi (X, Y). Tunjukkan bahwa X = Y. 5. Misalkan G sederhana dan δ k. Tunjukkan bahwa G mempunyai lintasan dengan panjang k.