9.1 RELATIONS AND THEIR PROPERTIES
|
|
- Hendri Makmur
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 CHAPTER 9 RELATION
2 9. RELATIONS AND THEIR PROPERTIES 2
3 Relasi Hubungan antar anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antar anggota dua himpunan A dan B, dapat digunakan pasangan terurut dengan anggota pertamanya diambil dari A dan anggota keduanya diambil dari B. Karena ini merupakan relasi antara dua himpunan, maka disebut relasi biner. Definisi Misalkan A dan B himpunan. Suatu relasi biner dari A ke B adalah subhimpunan dari AB. Untuk relasi biner R berlaku R AB. Digunakan notasi arb untuk menyatakan (a,b)r dan arb untuk menyatakan (a,b)r. Jika (a, b) merupakan anggota R, a dikatakan berelasi dengan b oleh R. 3
4 Contoh Misalkan O himpunan orang, A himpunan angkutan kota, dan N relasi yang mendeskripsikan siapa yang menaiki angkot tertentu. O = {Aang, Bida, Charlie, Dina}, A = {Cicaheum-Ledeng (CL), Kelapa-Dago (KD), Stasiun- Sadang Serang (SS)} N = {(Aang, CL), (Bida, CL), (Bida, KD), (Charlie, SS)} Artinya Aang naik Cicaheum-Ledeng, Bida naik Cicaheum-Ledeng dan Kelapa-Dago, Charlie naik Stasiun-Sadang Serang, dan Dina tidak menaiki salah satu dari angkot tersebut. 4
5 Fungsi sebagai Relasi Fungsi f dari A ke B memasangkan tepat satu anggota B pada setiap anggota A. Grafik dari f adalah himpunan pasangan terurut (a,b) sehingga b = f(a). Karena grafik dari f merupakan subhimpunan dari AB, maka grafik merupakan relasi dari A ke B. Untuk setiap aa, terdapat tepat satu pasangan terurut di dalam grafik dengan a sebagai anggota pertama. Sebaliknya, jika R suatu relasi dari A ke B sehingga setiap anggota A merupakan anggota pertama dari tepat satu pasangan terurut di R, maka dapat didefinisikan suatu fungsi dengan R sebagai grafiknya. Ini dilakukan dengan memasangkan pada setiap anggota aa tepat satu bb sehingga (a, b)r. Relasi adalah perumuman dari fungsi. 5
6 Relasi pada Himpunan Definisi Suatu relasi pada himpunan A adalah relasi dari A ke A. Relasi pada himpunan A adalah subhimpunan dari AA. Contoh 2 Misalkan A = {, 2, 3, 4}. Himpunan terurut manakah yang terdapat dalam relasi R = {(a, b) a < b}? Solusi. R = { (, 2), (, 3), (, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} 6
7 Contoh 2 (2) R X X X X X X
8 Banyaknya Relasi pada Himpunan Ada berapa relasi berbeda yang dapat didefinisikan pada himpunan A dengan n anggota? Suatu relasi pada A adalah subhimpunan dari AA. Ada berapa anggota AA? Terdapat n 2 anggota AA Ada berapa subhimpunan dari AA? Banyaknya subhimpunan yang dapat dibentuk dari suatu himpunan dengan m anggota adalah 2 m. Jadi, ada 2 n2 subhimpunan dapat dibentuk dari AA. Sehingga, dapat didefinisikan 2 n2 relasi berbeda pada A. 8
9 Definisi. Sifat Relasi Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a)r untuk setiap anggota aa. Apakah relasi berikut pada {, 2, 3, 4} refleksif? R = {(, ), (, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)} R = {(, ), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)} R = {(, ), (2, 2), (3, 3)} Definisi. Tidak. Ya. Tidak. Relasi R pada himpunan A disebut simetris jika (b,a)r setiap kali (a,b)r untuk setiap a,ba. Relasi R pada himpunan A disebut antisimetris jika a = b 9 setiap kali (a,b)r dan (b,a)r.
10 Contoh 3 Apakah relasi berikut pada {, 2, 3, 4} simetris atau antisimetris? R = {(, ), (, 2), (2, ), (3, 3), (4, 4)} R = {(, )} R = {(, 3), (3, 2), (2, )} simetris simetris & antisimetris antisimetris R = {(4, 4), (3, 3), (, 4)} antisimetris
11 Sifat Relasi (2) Definisi. Relasi R pada himpunan A disebut transitif jika setiap kali (a,b)r dan (b,c)r, maka (a,c)r untuk a,b,ca. Apakah relasi berikut pada {, 2, 3, 4} transitif? R = {(, ), (, 2), (2, 2), (2, ), (3, 3)} R = {(, 3), (3, 2), (2, )} R = {(2, 4), (4, 3), (2, 3), (4, )} Ya. Tidak. Tidak.
12 Menghitung Relasi Ada berapa banyak relasi refleksif yang berbeda yang dapat didefinisikan pada himpunan A yang memuat n anggota? Solusi. Relasi pada A adalah subhimpunan dari AA, yang memuat n 2 anggota. Jadi, relasi yang berbeda pada A dapat dibangun dengan memilih subhimpunan yang berbeda dari n 2 anggota, sehingga terdapat 2 n2 relasi. Namun, suatu relasi refleksif harus memuat n anggota (a,a) untuk setiap aa. Konsekuensinya, kita hanya dapat memilih di antara n 2 n = n(n ) anggota untuk membangun relasi refleksif, sehingga terdapat 2 n(n ) relasi. 2
13 Kombinasi Relasi Relasi adalah himpunan, sehingga operasi himpunan dapat diaplikasikan. Jika ada dua relasi R dan R 2, dan keduanya dari himpunan A ke himpunan B, maka terdapat kombinasi R R 2, R R 2, atau R R 2 yang merupakan suatu relasi dari A ke B. Definisi. Misalkan R relasi dari A ke B dan S relasi dari B ke C. Komposisi dari R dan S adalah relasi yang memuat himpunan terurut (a,c), dengan aa, cc, di mana terdapat anggota bb sehingga (a,b)r dan (b,c)s. Komposisi dari R dan S dinotasikan oleh SR. Jika relasi R memuat pasangan (a, b) dan relasi S memuat pasangan (b,c), maka SR memuat pasangan (a,c). 3
14 Contoh 4 Contoh. Misalkan D dan S relasi pada A = {, 2, 3, 4}. D = {(a, b) b = 5 - a} b sama dengan (5 a) S = {(a, b) a < b} a lebih kecil dari b D = {(, 4), (2, 3), (3, 2), (4, )} S = {(, 2), (, 3), (, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} SD = { (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} D memetakan suatu anggota a ke anggota (5 a), dan setelah itu S memetakan (5 a) pada semua anggota yang lebih besar dari (5 a), yang menghasilkan SD = {(a,b) b > 5 a} atau SD = {(a,b) a + b > 5}. 4
15 Kuasa dari Relasi Definisi. Misalkan R relasi pada himpunan A. Kuasa R n, n =, 2, 3,, didefinisikan secara induktif R = R R n+ = R n R Dengan kata lain: R n = RR R (sebanyak n kali) Teorema. Relasi R pada A transitif jika dan hanya jika R n R untuk setiap bilangan bulat positif n. 5
16 9.3 REPRESENTING RELATIONS 6
17 Representasi Relasi Tiga cara untuk merepresentasikan relasi: pasangan terurut, matriks nol-satu, dan graf berarah (digraf). Jika R relasi dari A = {a, a 2,, a m } ke B = {b, b 2,, b n }, maka R dapat direpresentasikan oleh matriks nol-satu M R = [m ij ] dengan m ij =, jika (a i,b j )R, dan m ij =, jika (a i,b j )R. M R merupakan matriks mxn. 7
18 Representasi Relasi dengan Matriks Contoh. Bagaimana merepresentasikan relasi R = {(2, ), (3, ), (3, 2)} sebagai matriks nol-satu? Solusi. Matriks M R diberikan oleh M R 8
19 Sifat Matriks Representasi Relasi Matriks yang merepresentasikan relasi refleksif? Setiap elemen diagonal dari matriks M ref haruslah M ref Matriks yang merepresentasikan relasi simetris? Matriksnya juga simetri, yaitu M R = (M R ) t. M R matriks simetri, relasi simetris. M R matriks tak-simetri, relasi tak-simetris.
20 Operasi pada Matriks Representasi Misalkan relasi R dan S direpresentasikan oleh matriks 2 S R S R M M M M S Apakah matriks yang merepresentasikan RS and RS? Solusi. Matriks-matriks tersebut adalah S R S R M M M M R
21 Hasil kali Boolean Misalkan A = [a ij ] matriks nol-satu mk and B = [b ij ] matriks nol-satu kn. Maka hasil kali Boolean dari A dan B, dinotasikan oleh AB, adalah matriks mn dengan entri ke-(i, j) [c ij ], dengan c ij = (a i b j ) (a i2 b 2i ) (a ik b kj ). c ij = jika dan hanya jika paling sedikit satu dari (a in b nj ) = untuk suatu n; selain itu c ij =. 2
22 Matriks komposisi Misalkan diasumsikan bahwa matriks nol-satu M A = [a ij ], M B = [b ij ] dan M C = [c ij ] merepresentasikan relasi A, B, dan C. Untuk M C = M A M B : c ij = jika dan hanya jika paling sedikit satu dari bentuk (a in b nj ) = untuk suatu n; selain itu c ij =. Dalam bahasa relasi, ini berarti C memuat (x i, z j ) jika dan hanya jika terdapat elemen y n sehingga (x i, y n ) anggota relasi A dan (y n, z j ) anggota relasi B. Jadi, C = B A (komposisi dari A dan B). 22
23 Komposisi dan Komposit Ini memberikan aturan berikut: M B A = M A M B Jadi, matriks yang merepresentasikan komposisi dari relasi A dan B adalah hasil kali Boolean dari matriks yang merepresentasikan A dan B. Secara analog, kita dapat menemukan matriks yang merepresentasikan kuasa dari relasi: M R n = M [n] R (kuasa Boolean ke-n). 23
24 Contoh Cari matriks yang merepresentasikan R 2, dengan matriks yang merepresentasikan R sbb 24 M R Solusi. Matriks untuk R 2 diberikan oleh [2] 2 R M R M
25 Digraf Definisi. Graf berarah (atau digraf) memuat himpunan titik (atau vertex) V dan himpunan E yang terdiri dari pasangan terurut dari anggotaanggota V yang disebut sisi (atau arc). Vertex a disebut vertex awal dari sisi (a,b), dan vertex b disebut vertex akhir dari sisi ini. Kita dapat menggunakan panah untuk mengilustrasikan digraf. 25
26 Representasi Relasi dengan Digraf Contoh. Ilustrasikan digraph dengan V = {a, b, c, d}, E = {(a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (d, b)}. a b d c Sisi dalam bentuk (b,b) disebut loop. 26
27 Korespondensi satu-satu antara Relasi dan Digraf Jelas kita dapat merepresentasikan setiap relasi R pada himpunan A dengan menggunakan digraf di mana anggota A adalah vertex dan pasangan (a, b)r sisi. Sebaliknya, setiap digraf dengan vertex V dan sisi E dapat direpresentasikan oleh relasi pada V yang memuat setiap pasangan di E. Korespondesi satu-satu antara relasi dan digraf berarti bahwa setiap pernyataan yang berlaku untuk relasi juga berlaku untuk digraf, dan sebaliknya. 27
28 9.4 CLOSURES OF RELATIONS 28
29 Apakah closure dari suatu relasi? Definisi. Misalkan R relasi pada himpunan A. R dapat atau tidak dapat memiliki suatu sifat P, seperti refleksifitas, kesimetrian, atau transitifitas. Jika terdapat relasi S dengan sifat P yang memuat R sehingga S adalah subhimpunan dari setiap relasi dengan sifat P yang memuat R, maka S disebut sebagai closure dari R terhadap P. Closure dari relasi terhadap suatu sifat mungkin tidak ada. 29
30 Contoh Cari closure refleksif dari relasi R = {(, ), (, 2), (2, ), (3, 2)} pada himpunan A = {, 2, 3}. Solusi. Setiap relasi refleksif pada A harus memuat elemen (, ), (2, 2), dan (3, 3). Dengan menambahkan (2, 2) dan (3, 3) pada R, kita memperoleh relasi refleksif S, yang diberikan oleh S = {(, ), (, 2), (2, ), (2, 2), (3, 2), (3, 3)}. S refleksif, memuat R, dan termuat dalam setiap relasi refleksif yang mengandung R. Jadi, S adalah closure refleksif dari R. 3
31 Closure Refleksif dari Relasi Closure refleksif dari relasi R pada A adalah R, dengan = {(a,a) a A} Soal. Cari closure refleksif dari relasi R = {(a, b) a > b} pada himpunan bilangan bulat positif. 3
32 Closure Simetris dari Relasi Closure simetris dari relasi R pada A adalah R R -, dengan R - = {(b,a) (a,b) R} Contoh 2. Cari closure simetris dari relasi R = {(a, b) a > b} pada himpunan bilangan bulat positif. Solusi. Closure simetris dari R diberikan oleh R R - = {(a, b) a > b} {(b, a) a > b} = {(a, b) a b} 32
33 Contoh 3 Cari closure transitif dari relasi R = {(, 3), (, 4), (2, ), (3, 2)} pada himpunan A = {, 2, 3, 4}. Solusi. R akan menjadi transitif, jika untuk setiap pasangan (a, b) dan (b, c) di R juga terdapat pasangan (a, c) di R. Jika kita tambahkan pasangan yang hilang: (, 2), (2, 3), (2, 4), dan (3, ), apakah R akan menjadi transitif? Tidak, karena relasi R yang diperluas memuat (3, ) dan (, 4), tetapi tidak memuat (3, 4). Dengan menambahkan elemen baru pada R, juga ditambahkan syarat baru untuk transitifitas. Untuk menyelesaikan masalah ini, perlu dilihat lintasan dalam digraf. 33
34 Ilustrasi Bayangkan R adalah relasi yang merepresentasikan koneksi kereta di Pulau Jawa. Sebagai contoh, jika (Jakarta,Bandung) anggota R, maka terdapat suatu koneksi langsung dari Jakarta ke Bandung. Jika R memuat (Jakarta,Bandung) dan (Bandung,Yogyakarta), berarti terdapat koneksi tak langsung dari Jakarta ke Yogyakarta. Karena terdapat koneksi tak langsung, tidak mungkin dengan hanya melihat R kita dapat menentukan kota-kota mana saja yang dihubungkan pleh kereta. Closure transitif dari R memuat tepat pasangan kota yang terkoneksi, baik langsung maupun tidak langsung. 34
35 Lintasan dalam Digraf Definisi. Suatu lintasan dari a ke b dalam digraf G adalah barisan dari satu atau lebih sisi (x,x ), (x,x 2 ), (x 2,x 3 ),, (x n-,x n ) di G, dengan x = a dan x n = b. Dengan kata lain, lintasan adalah suatu barisan sisi dengan verteks akhir dari suatu sisi sama dengan verteks awal dari sisi berikutnya. Lintasan ini dinotasikan oleh x,x,x 2,,x n dan dikatakan memiliki panjang n. Suatu lintasan yang dimulai dan diakhiri pada verteks yang sama disebut cycle. 35
36 Contoh Lintasan dalam Digraf Pandang digraf berikut a b d Apakah c,a,b,d,b lintasan? Apakah d,b,b,b,d,b,d cycle? Apakah ada cycle yang memuat c? c Ya. Ya. Tidak. 36
37 Arti Lintasan dalam Relasi Karena terdapat korespondensi satu-satu antara digraf dan relasi, definisi lintasan dalam di graf dapat ditransfer ke relasi: Definisi. Terdapat lintasan dari a ke b dalam suatu relasi R, jika terdapat suatu barisan dari elemen a,x,x 2,,x n-,b dengan (a,x )R, (x,x 2 )R,, dan (x n-,b)r. Teorema. Misalkan R suatu relasi pada himpunan A. Terdapat lintasan dari a ke b dengan panjang n jika dan hanya jika (a,b)r n. Bukti. Dengan induksi Matematika 37
38 Relasi Konektifitas Dengan menggunakan contoh jaringan kereta api, closure transitif dari suatu relasi memuat pasangan verteks dalam digraf yang terkoneksi oleh suatu lintasan. Definisi. Misalkan R relasi pada himpunan A. Relasi konektifitas R* memuat pasangan (a,b) sehingga terdapat lintasan antara a dan b di R. Sedangkan R n memuat pasangan (a,b) sehingga a dan b terkoneksi oleh suatu lintasan dengan panjang n. Jadi, R* adalah gabungan dari R n untuk semua bilangan asli n: R * n R n R R 2 R
39 Teorema. Closure transitif dari relasi R sama dengan relasi konektifitas R*. Bukti. Closure Transitif dari Relasi Jelas, R R*. Untuk membuktikan R* adalah closure transitif dari R, harus ditunjukkan a. R* transitif dan b. R* S, untuk semua S yang memuat R. 39
40 Bagaimana cara menghitung R*? Lema. Misalkan A himpunan dengan A = n dan R relasi pada A. Jika terdapat lintasan di R dari a ke b, maka terdapat lintasan dengan panjang tidak melebihi n. Lebih jauh lagi, jika a b dan terdapat lintasan di R dari a ke b, maka terdapat lintasan dengan panjang tidak lebih dari (n ). Amati bahwa jika lintasan dari a ke b melalui setiap verteks lebih dari satu maka haruslah graf memuat cycle. Cycle-cycle ini dapat dihapus dari lintasan dan lintasan yang tereduksi akan tetap menghubungkan a dan b. 4
41 Teorema 2 Misalkan R relasi pada himpunan A dengan n anggota, Maka closure transitif R* diberikan oleh: R* = RR 2 R 3 R n Untuk matriks representasi relasi R, M R, berlaku: M R* = M R M R [2] M R [3] M R [n] 4
42 42 Closure transitif dari relasi R = {(, 3), (, 4), (2, ), (3, 2)} pada himpunan A = {, 2, 3, 4}. R dapat direpresentasikan oleh matriks M R : M R Contoh 3 (2) M R [2] M R [3] M R [4] M R [4] [3] [2] * R R R R R M M M M M
43 Solusi. Closure transitif dari relasi Contoh 3 (3) R = {(, 3), (, 4), (2, ), (3, 2)} pada himpunan A = {, 2, 3, 4} diberikan oleh relasi {(, ), (, 2), (, 3), (, 4), (2, ), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, ), (3, 2), (3, 3), (3, 4)} 43
MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1
RELASI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI Apa itu Relasi? Relasi ( hubungan ) himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. RELASI R : A B, artinya R relasi dari himpunan A ke
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI
RELASI MATEMATIKA DASAR PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI Apa itu Relasi? Relasi ( hubungan ) himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. RELASI R : A B, artinya R relasi dari
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 2
Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B didefinisikan sebagai cara pengawanan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. ilustrasi grafis dapat dilihat sebagai berikut: - Relasi Biner Relasi
Lebih terperinciRelasi dan Fungsi. Ira Prasetyaningrum
Relasi dan Fungsi Ira Prasetyaningrum Relasi Terdapat dua himpunan X dan Y, Cartesian product XxY adalah himpunan dari semua pasangan terurut (x,y) dimana x X dan y Y XxY = {(x, y) x X dan y Y} Contoh
Lebih terperinciKALKULUS (Relasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
KALKULUS (Relasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang
Lebih terperinciMatriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1:
MATRIKS & RELASI Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemenelemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: A = a a M a 2 m a a a 2 22 M m 2
Lebih terperinciMatriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1:
MATRIKS & RELASI Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemenelemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: A a a a 2 m a a a 2 22 m2 a a a
Lebih terperinciDEFINISI. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).
BAB 3 RELASI DEFINISI Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah
Lebih terperinciPERKALIAN CARTESIAN DAN RELASI
RELASI Anggota sebuah himpunan dapat dihubungkan dengan anggota himpunan lain atau dengan anggota himpunan yang sama. Hubungan tersebut dinamakan relasi. Contoh Misalkan M = {Ami, Budi, Candra, Dita} dan
Lebih terperinciKALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
KALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Ekivalen Relasi ekivalen digunakan untuk merelasikan obyek-obyek yang memiliki kemiripan dalam suatu hal tertentu. Definisi.
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT RELASI
MATEMATIKA DISKRIT RELASI Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh
Lebih terperinciMatematika Diskret. Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara RELASI. Pemodelan dan Simulasi
Matematika Diskret Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara Pemodelan dan Simulasi RELASI 1 9/26/2017 Hasil Kali Kartesian Hasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan
Lebih terperinciR = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323) }
Pertemuan 9 Relasi Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b
Lebih terperinci2. Himpunan E yang merupakan himpunan pasangan berurut V V yang tak harus berbeda dari semua titik, elemen dari E disebut arc dari digraf D.
BAB 2 DIGRAF DWI-WARNA PRIMITIF Pada Bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. konsep dasar yang dimaksud adalah yang berkaitan
Lebih terperinciBAB I PEMBAHASAN 1. PENGERTIAN RELASI
BAB I PEMBAHASAN 1. PENGERTIAN RELASI Misalkan relasi pada himpunan A dan B adalah dua himpunan sebarang, suatu relasi dari A ke B adalah himpunan bagian dari A x B yaitu pasangan terurut (a,b) dimana
Lebih terperinciKALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
KALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Ekivalen Relasi ekivalen digunakan untuk merelasikan obyek-obyek yang memiliki kemiripan dalam suatu hal tertentu. Definisi.
Lebih terperinciBAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF
BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF Pada bab ini akan dibahas teorema, definisi dan landasan teori pada penelitian ini. Berikut akan dibahas mengenai digraf, digraf dwiwarna dan hubungan keduanya dengan primitifitas,
Lebih terperinciBAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF
BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF Pada bagian ini akan diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan definisi sebagai landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi
Lebih terperinciKode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit
8/29/24 Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 8/29/24 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/24 8/29/24 Relasi dan Fungsi Tujuan Mahasiswa memahami
Lebih terperinci22 Matematika Diskrit
.. Relasi Ekivalen Definisi : Sebuah relasi pada sebuah himpunan A disebut relasi ekivalen jika dan hanya jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Dua elemen yang dihubungkan dengan
Lebih terperinciPERTEMUAN Relasi dan Fungsi
4-1 PERTEMUAN 4 Nama Mata Kuliah : Matematika Diskrit (3 SKS) Nama Dosen Pengampu : Dr. Suparman E-mail : matdis@netcourrier.com HP : 081328201198 Judul Pokok Bahasan Tujuan Pembelajaran : 4. Relasi dan
Lebih terperinciRelasi. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).
Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk
Lebih terperinciRelasi. Oleh Cipta Wahyudi
Relasi Oleh Cipta Wahyudi Definisi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh
Lebih terperinciHasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan terurut (a, b) untuk a A dan b B.
III Relasi Banyak hal yang dibicarakan berkaitan dengan relasi. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal istilah relasi bisnis, relasi pertemanan, relasi antara dosen-mahasiswa yang disebut perwalian
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan permasalahan, seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. 2.1 Graf Graf
Lebih terperinciMatematika Komputasi RELASI. Gembong Edhi Setyawan
Matematika Komputasi RELASI Gembong Edhi Setyawan DEFINISI Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B Relasi Biner : Hubungan antara
Lebih terperinciBAB II RELASI DAN FUNGSI
9 BAB II RELASI DAN FUNGSI Dalam kehidupan nyata, senantiasa ada hubungan (relasi) antara dua hal atau unsur-unsur dalam suatu kelompok. Misalkan, hubungan antara suatu urusan dengan nomor telepon, antara
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciMateri 3: Relasi dan Fungsi
Materi 3: Relasi dan Fungsi I Nyoman Kusuma Wardana STMIK STIKOM Bali Definisi Relasi & Fungsi Representasi Relasi Relasi biner Sifat-sifat relasi biner Relasi inversi Mengkombinasikan relasi Komposisi
Lebih terperinciRelasi dan Fungsi Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Relasi dan Fungsi Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2013/2014 Himpunan. Mempunyai elemen atau anggota. Terdapat hubungan.
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciRELASI DAN FUNGSI. Nur Hasanah, M.Cs
RELASI DAN FUNGSI Nur Hasanah, M.Cs Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciBAB II MODEL KOMPUTASI FINITE STATE MACHINE. Pada Bab II akan dibahas teori dasar matematika yang digunakan
BAB II MODEL KOMPUTASI FINITE STATE MACHINE Pada Bab II akan dibahas teori dasar matematika yang digunakan dalam pemodelan sistem kontrol elevator ini, yaitu mengenai himpunan, relasi, fungsi, teori graf
Lebih terperinciRELASI. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
RELASI 1. Pasangan Berurutan 2. Fungsi Proposisi dan Kalimat Terbuka 3. Himpunan Jawaban dan Grafik Relasi 4. Jenis-jenis Relasi 5. Domain dan Range suatu Relasi Pasangan Berurutan (cartesian Product)
Lebih terperinciMATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Lebih terperinciRELASI SMTS 1101 / 3SKS
RELASI SMTS 0 / 3SKS LOGIKA MATEMATIKA Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 6 DAFTAR ISI Cover pokok bahasan... 6 Daftar isi... 7 Judul Pokok Bahasan... 8 5.. Pengantar... 8 5.2. Kompetensi... 8 5.3. Uraian
Lebih terperinciDiketahui : A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {1,2,3,5,6,12} C = {2,4,8,12,20} (A B) C = {1,3,5,6} {x x ϵ A dan x ϵ B} (B C) = {2,12}
KELAS A =========================================================================== 1. Diketahui A = {1,2,3,4,5,6,7}, B = {1,2,3,5,6,12}, dan C = {2,4,8,12,20}. Tentukan hasil dari operasi himpunan berikut
Lebih terperinciDefinisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}.
Modul 2 RELASI A. Pendahuluan Definisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}. Apabila (a, b) R, maka a dihubungkan dengan b oleh relasi R, ditulis
Lebih terperinciDefinisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}.
RELASI A. Pendahuluan Definisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}. Apabila (a, b) R, maka a dihubungkan dengan b oleh relasi R, ditulis a R
Lebih terperinciAljabar Linier Lanjut. Kuliah 1
Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan
Lebih terperinciRELASI DAN FUNGSI. /Nurain Suryadinata, M.Pd
RELASI DAN FUNGSI Nama Mata Kuliah Kode Mata Kuliah/SKS Program Studi Semester Dosen Pengampu : Matematika Diskrit : MAT-365/ 3 sks : Pendidikan Matematika : VI (Enam) : Nego Linuhung, M.Pd /Nurain Suryadinata,
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT BAB 2 RELASI
BAB 2 RELASI Kalau kita mempunyai himpunan A ={Edi, Tini, Ali, Diah} dan himpunan B = {Jakarta, Bandung, Surabaya}, kemudian misalnya Edi bertempat tinggal di Bandung, Tini di Surabaya, Ali di Jakarta,
Lebih terperinciHimpunan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan Dra. Kusrini, M.Pd. PENDAHULUAN D alam Modul 1 ini ada 3 kegiatan belajar, yaitu Kegiatan Belajar 1, Kegiatan Belajar 2, dan Kegiatan Belajar 3. Dalam Kegiatan Belajar 1, Anda akan mempelajari
Lebih terperinciRelasi & Fungsi. Kuliah Matematika Diskrit 20 April Pusat Pengembangan Pendidikan - Universitas Gadjah Mada
Relasi & Fungsi Kuliah Matematika Diskrit 20 April 2006 Hasil Kali Kartesian Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Hasil kali Kartesian A dengan B (simbol: A x B) adalah himpunan semua pasangan berurutan
Lebih terperinciRelasi dan Fungsi. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP
Relasi dan Fungsi Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP 2 Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m
Lebih terperinciPENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciPertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciRelasi Adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan
Relasi dan Fungsi Relasi Adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut.
Lebih terperinci2. Matrix, Relation and Function. Discrete Mathematics 1
2. Matrix, Relation and Function Discrete Mathematics Discrete Mathematics. Set and Logic 2. Relation 3. Function 4. Induction 5. Boolean Algebra and Number Theory MID 6. Graf dan Tree/Pohon 7. Combinatorial
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinciMatriks, Relasi, dan Fungsi
Matriks, Relasi, dan Fungsi 2 Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: mn m m n n a a a a
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.
BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciOleh : Winda Aprianti
Oleh : Winda Aprianti Relasi Definisi Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu (relasi biner). Relasi biner R antara
Lebih terperinciMatriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Lebih terperinciMATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Lebih terperinciPart III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan
Lebih terperinci1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q.
Diskusi Kelompok (I) Waktu: 100 menit Selasa, 23 September 2008 Pengajar: Hilda Assiyatun, Djoko Suprijanto 1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q. (a) Mahasiswa perlu membawakan
Lebih terperinciVERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH WITH 2 LOOPS ABSTRACT
vi VERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH WITH 2 LOOPS ABSTRACT A digraph D in which each of its arcs is coloured by either red or blue is called two-coloured digraph. A strongly connected of two-coloured
Lebih terperinciBAB 2 RELASI. 1. Produk Cartesian
BAB 2 RELASI 1. Produk Cartesian Notasi-notasi yang digunakan dari produk cartesian : (a, b) pasangan terurut dari elemen a dan b; (a 1, a 2,, a n ) n-tuple dari elemen-elemen a 1,, a n ; A x B = {(a,
Lebih terperinciDAFTAR ISI PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR GAMBAR BAB 1. PENDAHULUAN 1
DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR i ii iii iv v vi viii BAB 1. PENDAHULUAN 1 1.1. Latar Belakang Penelitian 1 1.2. Perumusan Masalah 3 1.3.
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. Gambar 2.1. Contoh Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai definisi graf, istilah-istilah dalam graf, matriks ketetanggaan, graf terhubung, primitivitas graf, dan scrambling index. 2.1 Definisi Graf
Lebih terperinci5. Representasi Matrix
5. Representasi Matrix Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Matrix Ketetanggaan 2. Walk Pada Graph dan Digraph 3. Matrix Insidensi Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.
Lebih terperinciBAB II RELASI & FUNGSI
BAB II RELASI & FUNGSI. Pengantar Pada bab telah dipelajari logika proposisi, Himpunan, beserta sifat-sifat yang berlaku yang mana teori tersebut mendasari pembahasan paba bab 2. Pada bab 2 ini dibahas
Lebih terperinciDiberikan sebarang relasi R dari himpunan A ke B. Invers dari R yang dinotasikan dengan R adalah relasi dari B ke A sedemikian sehingga
Departent of Matheatics FMIPA UNS Lecture 3: Relation C A. Universal, Epty, and Equality Relations Diberikan sebarang hipunan A. Maka A A dan erupakan subset dari A A dan berturut-turut disebut relasi
Lebih terperinciRelasi. Learning is not child's play, we cannot learn without pain. - Aristotle. Matema(ka Komputasi - Relasi dan Fungsi. Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Relasi Learning is not child's play, we cannot learn without pain. - Aristotle 1 Misal: M = {Susan, Sinta, Ami, Mila} G = {Dangdut, Blues, Jazz, Pop} S adalah relasi yang mendeskripsikan mahasiswa yang
Lebih terperinciBAB 2 DIGRAPH. Representasi dari sebuah digraph D dapat dilihat pada contoh berikut. Contoh 2.1. Representasi dari digraph dengan 5 buah verteks.
BAB 2 DIGRAPH Pada bab ini akan dijelaskan teori-teori dasar tentang digraph yang meliputi definisi dua cycle, primitifitas dari digraph, eksponen, dan lokal eksponen. Dengan demikian, akan mempermudah
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu
BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers
Lebih terperinciRepresentasi Graph dan Beberapa Graph Khusus
Modul 2 Representasi Graph dan Beberapa Graph Khusus Prof. Dr. Didi Suryadi, M.Ed. Dr. Nanang Priatna, M.Pd. W PENDAHULUAN alaupun representasi graph secara piktorial merupakan hal yang sangat menarik
Lebih terperinciPengantar Matematika Diskrit
Pengantar Matematika Diskrit Referensi : Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, Informatika Bandung 2005 1 Matematika Diskrit? Bagian matematika yang mengkaji objek-objek diskrit Benda disebut diskrit jika
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciMatematika Diskret (Relasi dan Fungsi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Matematika Diskret (Relasi dan Fungsi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciPengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono
Pengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono bagusco@gmail.com Departemen Statistika FMIPA IPB Notasi Dasar Matriks A mxn, m A n, [a ij ] mxn : matriks berukuran m x n (m baris, n kolom) a ij adalah elemen matriks
Lebih terperinciRELASI FUNGSI. (Kajian tentang karakteristik, operasi, representasi fungsi)
Outline RELASI DAN FUNGSI (Kajian tentang karakteristik, operasi, representasi fungsi) Drs., M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika FKIP PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
Lebih terperinciBAB 2 KONSEP DASAR 2.1 HIMPUNAN DAN FUNGSI
BAB 2 KONSEP DASAR Pada bab 2 ini, penulis akan memperkenalkan himpunan, fungsi dan sejumlah konsep awal yang terkait dengan semigrup, dimana sebagian besar akan sangat diperlukan hingga bagian akhir dari
Lebih terperinciMatematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
Lebih terperinciMETODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n
METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV Norma Puspita, ST MT Matriks Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang Matriks dinotasikan
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciPEWARNAAN GRAF: POLINOMIAL KROMATIK DAN TEOREMA INVERSI MOBIUS
PEWARNAAN GRAF: POLINOMIAL KROMATIK DAN TEOREMA INVERSI MOBIUS Nurul Miftahul Jannah, Dr. Agung Lukito, M.S. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya
Lebih terperinciKETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS. 1. Pendahuluan
KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS Tri Anggoro Putro, Siswanto, Supriyadi Wibowo Program Studi Matematika FMIPA UNS Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas
Lebih terperinciBAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut
BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciMakalah Himpunan dan Logika Matematika Poset dan Lattice
Makalah Himpunan dan Logika Matematika Poset dan Lattice Dosen : Dra. Linda Rosmery Tambunan, M.Si Disusun oleh : Zoelia Gurning (160384202050) Yoga (160384202054) Muhammad Wiriantara (160384202063) Eci
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF BINTANG
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 85 89 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF BINTANG DINA IRAWATI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciAdri Priadana ilkomadri.com. Relasi
Adri Priadana ilkomadri.com Relasi Relasi Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur yang disebut relasi. Relasi antara himpunan A dan B disebut relasi biner,
Lebih terperinci