ABSTRAK. Universitas Sumatera Utara

Transkripsi

1 iv ABSTRAK Untuk menemukan matching maksimum pada graph tak berarah dapat diformulasikan sebagai masalah rank matriks. Matriks Tutte dipopulerkan oleh Tutte sebagai gambaran sebuah graph tak berarah, yang memiliki rank sama untuk bilangan maksimum verteks penutup oleh matching. Matriks Tutte sendiri memiliki entri-entri indeterminan.

2 v ABSTRACT ABSTRACT Finding the maximum size of a matching in an undirected graph and in a directed graph can be formulated as matrix rank problems. The Tutte matrix, introduced by Tutte as a representation of an undirected graph, has rank equal to the maximum number of vertices covered by a matching in the associated graph. The Tutte matrix have indeterminate entries.

3 vi DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR i ii iii iv v vi viii BAB 1. PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Perumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Metode Penelitian 3 2. LANDASAN TEORI Matriks Vektor Kombinasi Linier Vektor-Vektor Bebas Linier Dekomposisi Matriks 17

4 vii 2.6. Graph HASIL DAN PEMBAHASAN Formulasi Matriks KESIMPULAN DAN SARAN Saran 29 DAFTAR PUSTAKA 29

5 viii DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Graph dengan 6 verteks dan 10 edge Graph G 1 G 2, Graph G 1 \ G 2, Graph G 1 G 2 24

6 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Dalam perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi saat ini, terkadang sangatlah sulit untuk menyelesaikan suatu permasalahan yang timbul dengan menggunakan konsep-konsep yang sudah ada. Untuk itu graph yang merupakan salah satu bagian ilmu matematika yang dapat digunakan untuk mencari solusi yang diharapkan. Matriks Tutte dikenalkan oleh Tutte sebagai gambaran sebuah graph dengan edge yang tidak berarah. Besarnya verteks yang tertutup oleh matching maksimum pada graph tak berarah adalah sama dengan rank dari matriks Tutte. Gambaran mengenai matriks ada hubungannya terhadap struktur graph dan akan digambarkan dalam bab berikutnya, diperlukan aljabar linier untuk pengembangannya. Entri pada matriks Tutte adalah indeterminan (tak tentu) dan metode umum untuk mengevaluasi bentuk tak tentu tadi digambarkan dalam masalah rank matriks sedemikian sehingga evaluasi matriks memiliki rank sama sebagai korespondensi matriks tak tentu akan ditunjukkan dalam skripsi ini. Misalnya untuk permasalahan graph maupun directed graph untuk menyelesaikan aplikasinya terkadang sulit diselesaikan langsung melalui definisi atau diselesaikan dengan menggunakan matriks dan sifat-sifatnya. Karena graph atau digraph dapat disajikan sebagai matriks dan menurut Kerry Web untuk menentukan ukuran atau besarnya maksimum dari matching pada suatu graph tak berarah dapat diformulasikan sebagai masalah rank matriks. Sedangkan besarnya rank matriks bergantung pada entri-entri dari matriks tersebut, sehingga

7 2 dalam hal ini penulis tertarik untuk membahas sifat-sifat dari rank matriks atau rank dari submatriks, sehingga penulis tertarik membuat judul Masalah Rank Matriks dan Graph.

8 3 1.2 Perumusan Masalah Mencari besarnya rank dari suatu matriks dan menuliskannya ke dalam graph. 1.3 Tujuan Penelitian Mengkaji tentang besarnya rank suatu matriks, khususnya matriks dari suatu graph 1.4 Manfaat Penelitian Selain untuk memperkaya literatur dalam bidang graph dan hasil penelitian ini juga dapat menambah wawasan terutama tentang perluasan matriks. 1.5 Metode Penelitian Tulisan ini dibuat berdasarkan studi literatur dan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut: 1. Memaparkan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengan rank matriks. 2. Memaparkan beberapa definisi dari graph 3. Mencari besarnya rank dari matriks

9 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Matriks adalah adalah suatu kumpulan elemen atau entri yang tersusun dalam suatu susunan persegi panjang atau bujur sangkar yang terdiri dari beberapa baris dan kolom, seperti bentuk a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn (2.1) atau disingkat dengan : (a ij ),i=1, 2,,m j =1, 2,,n (2.2) Matriks (2.1) disebut matriks tingkat m n, atau disingkat matriks m n, karena terdiri dari m baris dan n kolom. Setiap a i j disebut entri(elemen) dari matriks itu, sedang indeks i dan j berturut-turut menyatakan baris dan kolom. Jadi elemen a i j terdapat pada baris ke-i, kolom ke-j. Pasangan bilangan (m,n) disebut dimensi(ukuran atau bentuk) dari matriks itu. Pada umumnya matriks disingkat dan dinyatakan dengan huruf besar, sedang entri-entri matriks dengan huruf kecil. Untuk membedakan matriks ditulis dengan: A 1,A 2,,A n atau A, B,,X,Y,Z. Kejadian khusus dari persamaan (2.1) 1. Jika m = 1, matriks hanya terdiri dari satu baris yang disebut matriks baris atau vektor baris, misalnya: A =(a 11,a12,,a 1 n)

10 5 2. Jika n = 1, matriks hanya terdiri dari satu kolom yang disebut dengan matriks kolom atau vektor kolom, misalnya: a 11 a 21 a m1 3. Jika m = n matriks disebut kuadrat n n atau tingkat n. Dalam hal ini entri-entri a i i, i =1, 2,,n disebut entri-entri pada diagonal pokok. Jumlah entri-entri pada diagonal suatu matriks disebut Trace dari matriks itu yang disingkat dengan T r (A), jadi: n, a ii = a 11 + a a nn i=1 4. Setiap entri dari suatu matriks dapat dipandang sebagai matriks Jika entri-entri suatu matriks semuanya sama dengan nol, maka disebut matriks nol. 2.2 Vektor Vektor dapatlah dipandang sebagai himpunan besaran-besaran dengan index yang jelas (untuk menunjukkan lokasinya dalam himpunan itu). Masing-masing besaran disebut elemen vektor tersebut. Misalnya, diberikan vektor ā. Elemen (pada lokasi) ke-i dari vektor ā dilambangkan oleh a i. Vektor ā dengan cacah elemen n buah ditulis lengkap sebagai deretan nilai a i, dengan i = 1, 2,..n, membentuk satu kolom seperti dibawah ini: a 1 a 2 ā = a n Vektor seperti itu disebut vektor-kolom. Jika elemen-elemen tersebut ditulis berderet membentuk satu baris, maka vektor itu disebut vektor-baris. Kecuali disebut dengan jelas, vektor senantiasa dimengerti sebagai vektor-kolom.

11 6 Vektor tersebut diatas ditulis ā = a 1, i 1, 2,..., n, dengan simbul dapat dibaca sebagai didefinisikan dengan. Jadi jika misalnya ai R, yaitu bahwa a i bernilai real, maka secara ringkas dapat ditulis pula ā R n. Dalam konteks ini R n adalah semesta angka real berdimensi n. Vektor ā dengan n = 1 tentulah sama dengan besaran biasa. Jika n = 2, maka vektor tersebut ada dalam R 2, ruang real berdimensi dua, dan oleh karena itu juga diwakili oleh sebuah titik dalam salib sumbu Kartesian tersebut. Hal yang sama berlaku untuk vektor dengan n =3, 4, 2.3 Kombinasi Linier Jika ā =(a 1,a 2,a 3 ) dinotasikan dengan ā = a 1 ī + a 2 j + a 3 k. Dalam hal ini kita sebut bahwa vektor ā dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari tiga vektor ī, j, dan k. Secara umum, misalkan diketahui vektor ū 1, ū 2,, ū k dan vektor ā disebut dengan kombinasi linier dari vektor - vektor ū 1, ū 2,, ū k jika ada bilangan s 1,s 2,,s k sehingga berlaku ā = s 1 ū 1 + s 2 ū s k ū k. Definisi ini berlaku untuk vektor di bidang maupun di ruang. Contoh : Diketahui vektor ū 1 =(2, 1, 3) dan ū 2 =( 1, 5, 2). Jika mungkin, tuliskan vektor b =(4, 7, 5) sebagai kombinasi linier dari vektor ū 1 dan ū 2. Jawab : Untuk menuliskan vektor b sebagai kombinasi linier dari vektor ū tersebut, kita cari x 1 dan x 2 sehingga [ ] 2 x 1 ū 1 + x 2 ū 2 = b atau x [ ] [ ] x 2 5 = Berdasarkan operasi vektor dan kesamaan vektor kita dapat membentuk sistem

12 7 persamaan linier berikut { 2x1 1x 2 =4 1x 1 + 5x 2 =7 3x 1 2x 2 =5 Matriks lengkap dari sistem persamaan linier ini adalah [ 2 1 ] Dengan eliminasi Gauss, kita peroleh jawab sistem persamaan linier yaitu x 1 =3 dan x 2 = 2. Jadi vektor b dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari vektor ū, yaitu b =3ū 1 +2ū Vektor-Vektor Bebas Linier Diketahui vektor ū 1, ū 2,, ū k. Berhasil atau tidaknya suatu vektor b ditulis sebagi kombinasi linier dari vektor ū berkaitan dengan konsistensi suatu sistem persamaan linier yang kolom dari matriks koefisiennya adalah vektor ū. Sekarang kita akan mencari syarat dari vektor ū 1, ū 2,, ū k sehingga penulisan b sebagai kombinasi linier dari vektor ū tersebut tunggal. Untuk itu kita misalkan b dapat dituliskan sebagai b = s1 ū 1 + s 2 ū s k ū k dan b = t1 ū 1 + t 2 ū t k ū k atau 0=(s 1 t 1 )ū 1 + +(s k t k )ū k Jika penulisan kombinasi linier tersebut tunggal, ini berarti bahwa persamaan terakhir ini hanya dipenuhi oleh s 1 = t 1,s 2 = t 2,,s k = t k. Kumpulan vektor yang bersifat seperti ini disebut kumpulan yang bebas linier yang secara resmi didefinisikan sebagai berikut: Kumpulan vektor {ū 1,,ū 2,, ū k } disebut kumpulan bebas linier jika persamaan s 1 ū 1 + s 2 ū s k ū k =0

13 8 hanya dipenuhi oleh s 1 = s 2 = = s k = 0 Sedangkan kumpulan vektor yang tidak bebas linier disebut kumpulan vektor yang bergantung linier Rank Matriks dan Matriks Nonsingular. Rank dari sebuah matriks dapat didefinisikan dalam beberapa cara. Kita menggunakan definisi ini di mana dapat diuraikan ekuivalensi antara rank dengan baris atau kolom yang bebas linier. Rank matriks A adalah bilangan maksimum kolom-kolom bebas linier di A. Hal sama juga berlaku, yakni rank dari sebuah matriks adalah bilangan maksimum dari baris-baris bebas linier. Matriks A dikatakan mempunyai rank m jika ada suatu submatriks M(m m) dari A sedemikian sehingga determinan dari M tidak berharga nol dan setiap determinan dari submatriks r r (di mana r m + 1) dari A berharga nol, misalnya A = ( ) Dengan menghilangkan kolom ke-4 diperoleh submatriks A = =0 ( 2 3 ) Tetapi jika kolom pertama dari A dihilangkan, maka diperoleh submatriks: ( ) = Karena submatriks yang determinannya tidak nol ini berdimensi 3, maka rank dari A, ditulis r(a) = 3. ( ) C = ; r(c) = ( ) D = ; r(d) = Matriks persegi yang determinannya tidak dengan nol dikatakan mempunyai rank atau matriks nonsingular. r(c) dan r(d) mempunyai rank penuh atau

14 9 nonsingular. Suatu matriks dikatakan singular jika nilai nilai determinannya sama dengan nol. Jika suatu matriks bujur sangkar mempunyai determinan yang tidak nol, matriks tersebut disebut matriks nonsingular. Ketika suatu matriks singular, maka berarti tidak semua baris atau tidak semua kolom matriks bebas antara satu dengan lainnya. Ketika matriks digunakan untuk merepresentasikan sekumpulan persamaan aljabar, kesin-gularan matriks berarti bahwa persamaan ini tidak bebas antara satu dengan lainnya. Andaikan A =(a ij ) adalah sebuah matriks ukuran n m dengan baris R dan kolom C, jika X R lalu A[X; Y ] menunjukkan submatriks A di mana menggunakan baris X dan kolom Y, komplemen dari X, R\X dinotasikan dengan X dan Y = C\Y. Submatriks nonsingular A[X; Y ] dikatakan maksimal jika untuk setiap x R dan y Y submatriks terbesar A[X x; Y y] singular. Pilihlah X R dan Y C sedemikian sehingga A[X; Y ] adalah nonsingular. Sebagai contoh pilih X = Y =. Ketika terdapat x X dan y Y sedemikian sehingga A[X x; Y y] nonsingular, maka gantikan X dengan X {x} dan Y dengan Y {y}. Teorema 2.1. Besar dari submatriks nonsingular maksimal A adalah sama dengan rank A Bukti. Andaikan A[X; Y ] menjadi submatriks nonsingular maksimal A. Jika X = R atau Y = C maka teorema jelas, jadi asumsikan X R dan Y C. Andaikan x Xy Y, karena A[X x; Y y] adalah singular, baris x adalah ruang baris dari A[X; Y y]. Ini benar untuk semua x X dan juga dengan mengambil perkalian yang cocok dari baris X, semua entri yang ada di A[X; Y y] dapat dieliminasi. Jika à = (a ij ) menunjukkan matriks A setelah eliminasi Gauss

15 10 dari A[X; Y y], lalu karena eliminasi Gauss tidak mempengaruhi rank, maka rank à = rank A. Ada eksistensi i X dan j Y sedemikian sehingga 0, lalu (a ij ) det Ã[X i; Y j] =±ã ij det A[X; Y ] 0 sehingga Ã[X i; Y j] adalah nonsingular, di mana ini adalah sebuah kontradiksi, (a ij ) = 0 untuk setiap i X, j Ȳ dan rank A = rank A[X; Y ] Submodular. Submodular adalah himpunan dari semua himpunan bagian pada himpunan berhingga X (disebut dengan 2 X ). Fungsi f :2 X A dikatakan submodular jika memenuhi pertidaksamaan : f(a)+f(b) f(a B)+f(A B) di mana untuk setiap A, B, X Teorema 2.2. Rank pada himpunan kolom-kolom sebuah matriks adalah submodular. Bukti. Andaikan M sebuah matriks dengan baris dan kolom masing-masing X dan Y dan A, B Y. Andaikan Z sebuah himpunan maksimal dari kolomkolom bebas linier di M[X; A B] dan berkisar dari Z ke Z, di mana Z adalah himpunan maksimal dari kolom-kolom bebas linier di M[X; A B]. Maka rank (A B) = Z = Z A + Z B Z (A B) = Z A + Z B Z - Z A + Z B - rank (A B) (2.1) Z A dan Z B adalah bebas linier, oleh karena itu Z A + Z B rank A + rank B (2.2) Submodular mengikuti aturan (2.1) dan (2.2)

16 11 Himpunan semua matriks F ditunjukkan oleh M F. Fungsi f : M F A adalah submodular jika memenuhi pertidaksamaan: f(a[x 1 ; Y 1 ]+f(a[x 2 ; Y 2 ]) f(a[x 1 X 2 ; Y 1 Y 2 ])+f(a[x 1 X 2 ; Y 1 Y 2 ]) berlaku untuk setiap A M F dan semua himpunan bagian baris-baris X 1,X 2 dari A dan semua himpunan bagian kolom-kolom Y 1,Y 2 dari A. Teorema 2.3. Rank adalah submodular. Bukti. Andaikan A =(a ij ) M F, di mana F adalah daerahnya. Andaikan X dan Y baris dan kolom dari A dan asumsikan X 1,X 2 X dan Y 1,Y 2 Y. Anggap B = ( ) I A di mana I adalah matriks identitas, dan X adalah indeks baris dan kolom I. Untuk setiap X X dan Y Y sehingga menjadikan persamaan : rank A[X ; Y ] = rank B[X; Y X ] di dalam partikular rank A[X 1 ; Y 1 ] = rank A[X 2 ; Y 2 ] = rank B[X; Y 1 X 1 ] [ X 1 ] rank B[X; Y 2 X 2 ] [ X 2 ] rank A[X 1 X 2 ; Y 1 Y 2 ] = rank B[X;(Y 1 Y 2 ) (X 1 X 2 )] X 1 X 2 rank A[X 1 X 2 ; Y 1 Y 2 ] = rank B[X;(Y 1 Y 2 ) (X 1 X 2 )] X 1 X 2 (2.3) Dari teorema 2.2, ini berarti bahwa rank B[X; Y 1 X 1 ]+ rank B[X; Y 2 X 2 ] rank B[X;(Y 1 X 1 ) (Y 2 X 2 )] (2.4) X 1 + X 2 = X 1 X 2 + X 1 X 2 dan (Y 1 Y 2 ) (X 1 X 2 ) (Y 1 X 1 ) (Y 2 X 2 ) Dengan teorema 2.3 dapat dibuktikan bahwa submatriks yang terbentuk oleh pertemuan himpunan maksimal baris-baris bebas linier dengan himpunan maksimal kolom-kolom bebas linier adalah nonsingular.

17 12 Corollary 2.4. Jika X adalah himpunan maksimal baris-baris bebas linier pada sebuah matriks A, dan Y adalah himpunan maksimal kolom-kolom bebas linier di A, maka A[X; Y ] adalah nonsingular. Bukti. Andaikan R menjadi himpunan untuk baris-baris di A dan C himpunan kolom-kolomnya. Dengan submodular : rank A[X; Y ] + rank A rank A[X; C] + rank A[R; Y ] Karena X dan Y adalah himpunan bebas linier maksimal, rank A[R; Y ] = rank A[X; C] = rank A Sehingga A[X; Y ] memiliki rank yang penuh Matriks Simetris. Matriks simetris adalah matriks An n di mana matriksnya sama dengan transpose nya: A = A T. Matriks simetris miring(skew-symmetric) adalah negatif dari transposenya: A = A T. Jika A adalah matriks dengan baris dan kolom di V, dan X V, maka A[X; X] adalah submatriks principal dari A. Submatriks principal A[X; X] dinotasikan dengan A[X]. Teorema 2.5. Jika A adalah matriks skew-symmetric dan X adalah himpunan maksimal baris-baris bebas linier A, maka A[X] adalah nonsingular. Bukti. Dengan simetris, X juga adalah sebuah himpunan maksimal kolomkolom bebas A. Teorema kemudian megikuti Corollary 2.4 Dengan catatan bahwa teorema 2.5 tidak dapat dijadikan pegangan pada saat A tidak simetris, hal ini ditunjukkan oleh baris pertama pada ( ).

18 13 Corollary 2.6. Submatriks nonsingular terbesar pada matriks simetris atau matriks skew-symmetric sama dengan rank dari matriks. Bukti. Andaikan A sebuah matriks simetris atau skew-symmetric. Rank A adalah batas atas pada ukuran submatriks nonsingular. Dari teorema 2.5, ada sumatriks yang ukurannya sama untuk rank A. Dua hal yang menjadi determinannya adalah det A[X]= det A[X] T dan det ( A[X])= ( 1) X det A[X]. Corollary 2.7. Matriks skew-symmetric memiliki rank genap. Bukti. Jika A adalah skew-symmetric, maka A[X] = A[X] T. Dari pernyataan di atas determinannya memenuhi bahwa submatriks principal nonsingular A harus memiliki ukuran lengkap. Hasilnya kemudian mengikuti aturan pada corollary Nonsingular dari Jumlah Dua Matriks. Andaikan A dan B matriks n n, setiap kolom di A kecuali untuk satu adalah sama korespondensinya di kolom B. Andaikan C matriks n n dengan kolom sama ke A dan B, dan pada satu kolom terdapat perbedaan A dan B. Kolom korespondensi C adalah sama dengan jumlah kolom di A dan kolom di B. Sebagai contoh, jika A= (v 1 v 2 a 3 v 4 ) dan B =( v 1 v 2 a 3 +b 3 v 4 ). Persamaan untuk fungsi determinannya adalah det A + det B = det C Indeks dari baris dan kolom A dan B adalah V Z dan untuk X = {x 1,..., x k } V dan Y = {y 1,..., y k } V, didefinisikan sign(x, Y ) menjadi ( 1) k i=1 (x i+y i )

19 14 Teorema 2.8. Jika A =(a ij ) dan B =(b ij ), di mana i, j V, maka det (A + B) = sign(x, Y )det A[X; Y ]det B[X; Y ] Y V Y V Y = X Bukti. Untuk X V, definiisi C X =(Cij)keV V matriks, di mana c ij = { aij, jika i X b ij, jika i X C X [X; V ]=A[X; V ] dan C X [ X; V ]=B[ X; V ]. Sedangkan penggunaan determinan pada baris A + B sebagai berikut: det (A + B) = X V det C X (2.5) Untuk X, Y V, definisi D X,Y =(d ij ) menjadi V V matriks, di mana d ij = { aij, jika i X; danj Y ; b ij, jika i X; danj Y ; 0, untuk yang lainnya. Maka D X,Y [X; Y ]=A[X; Y ] dan D X,Y [X; Y ]=B[X; Y ]. semua entri-entri yang lain dari D X,Y adalah nol, sehingga D X,Y adalah singular dan X Y penggunaan ulang dari determinan pada kolom C X diberikan sebagai berikut : det C X = det D X,Y Y V X = Y (2.6) Pada saat X = Y, maka det D X,Y = ±det A[X; Y ]det B[X; Y ] (2.7) Pfaffians.

20 15 Andaikan X himpunan terbatas dan andaikan himpunan bagian X 1,..., X k X adalah disjoint dan tidak kosong. Jika X gabungan himpunan X i, maka Π = X 1,..., X k adalah partisi dari X. Untuk X = {1,..., 2n}, andaikan P(2n) adalah himpunan partisi X yang saling berpasangan. Sebagai contoh, P(4) = {{(1, 2), (3, 4)}, {(1, 3), (2, 4)}, {(1, 4), (2, 3)}} Untuk Π = {(i 1,j 1 ),...(i n,j n )} P(2n), definisi σ Π menurut permutasi : ( ) n 1 2n σ Π = i 1 j 1... i n j n Tanda dari σ Π ditulis sign(π). Permutasi ( i 1 j 1 i 2 j 2 ) dan ( i 2 j 2 i 1 j 1 ) memiliki sign yang sama. Menukar perintah/aturan dalam matriks akan mempengaruhi fungsi sign oleh faktor -1: sign ( 1 2 i 1 j 1 ) = -sign ( 1 2 i 1 j 1 ). definisi dari Andaikan A =(a ij ) matriks skew simetri 2n 2n dan andaikan Π P(2n), a Π = sign(π)a i1 j 1...a inj n Faktor -1 yang terjadi pada saat penukaran Π dalam pasangan (i k,j k ) di cancel dengan -1 yang datang dari a jk i k = a ik j k, sehingga a Π terdefinisi dengan baik. Pfaffian A didefinisikan sebagai : pf A = Π P(2n) Sebagai contoh, 0 a 12 a 13 a 14 a pf 12 0 a 23 a 24 a 13 a 23 0 a = a 12 a 34 a 13 a 24 + a 14 a a 14 a 24 a 34 0 Jika A adalah m m dan m ganjil, maka P(m) adalah kosong dan pf A identitas 0. Menurut dua teorema hubungan Pfaffian A dengan determinan A akan di gambarkan sebagai berikut : a Π Teorema 2.9 (Cayley). Jika A adalah matriks skew-simetri, maka det A = (pf A) 2

21 16 Teorema Jika A =(a ij ) adalah matriks skew-symmetric dengan baris dan kolom X, maka n ( 1) 1+i a 1i pfa[x\ (1 i)] i=2

22 Dekomposisi Matriks Matriks dari M =(m ij ) dikatakan avoidable jika Baris atau kolomnya dapat dihilangkan tanpa merubah rank matriks M tersebut. Artinya baris avoidable merupakan kombinasi linier dengan baris lain di M. Anggap baris dan kolom masing-masing X dan Y, di mana X dan Y adalah disjoint. Jika U X dan V Y, maka M\(U V ) merupakan matriks M dengan baris U dihilangkan dan kolom V dihilangkan adalah M\(U V )= M[X\U; Y \V ]. Jika y U V dan y tidak avoidable, maka y unavoidable dan rank M\y = rank M 1. Ada dua kemungkinan berkenaan dengan himpunan avoidable M\y dibandingkan dengan himpunan di avoidable M: Baris atau kolom yang avoidable sebelum y dihilangkan akan masih avoidable setelah penghapusan y, dan oleh karena itu himpunan avoidable tidak berkurang, tetapi baris ataupun kolom yang unvoidable di M boleh menjadi avoidable di M\y. Menurut dekomposisi matriks M dari Geelen : D(M) ={x X Y : rank M\x = rank M} A(M) ={x X Y : D(M\x) =D(M)} C(M) =(X Y )\(D(M) A(M)) Baris-baris avoidable M dinotasikan dengan D R (M), dan D C (M) merupakan kolom-kolom avoidable. Sama halnya dengan, A R (M) =A(M) X A C (M) =A(M) X C R (M) =C(M) X C C (M) =C(M) Y D, C dan A digunakan masing-masing untuk D(M), C(M) dan A(M). Rank

23 18 matriks M = (3.1) memiliki dekomposisi Teorema Jika W adalah himpunan baris dan kolom dalam matriks M, maka rank M rank M\W + W Lemma Jika x unavoidable di M, maka D(M) D(M\x), lebih khususnya (i) jika x A(M), maka D(M\x) =D(M) (ii) jika x C R (M), maka D R (M) =D R (M\x) dan D C (M) D C (M\x) (iii) x C R (M), terdapapat z C C (M) sedemikian sehingga z D C (M\x) dan x D R (M\z) Bukti.(i) Ini adalah uraian dari definisi A.(ii) Andaikan x C R (M). Karena x unavoidable, penghilangan x tidak mengurangi himpunan avoidable. Lebih lanjut, karena x tidak di A, himpunan avoidable bertambah. Penghilangan baris unavoidable tidak mempengaruhi baris avoidable, sehingga elemen baru avoidable menjadi sebuah kolom. (iii) Andaikan x C R (M) dan z D C (M\x)\D C (M). Jika x A C (M) maka x menjadi unavoidable di M\z, dan rank M\{x, z}= rank M 2. Ini kontradiksi, karena z D(M\x) menyatakan rank M\{x, z}=rank M\x=rank M 1, sehingga z C C (M).

24 19 Teorema 2.13 (Geelen). Jika x A(M) maka D(M) =D(M\x) C(M) =C(M\x), A(M\x = A(M\x) Bukti. Lagi, himpunan avoidable tidaklah menukar definisi. Andaikan x A(M) dan andaikan y C(M). Oleh Lemma(iii) di atas terdapat z C(M) sedemikian sehingga z D(M\y) dan karena itu z D(M\(y x)). Oleh Lemma (i), z D(M\x) dan sehingga himpunan avoidable dari M\x tidak sama dengan himpunan avoidable dari M\{x, z}. Menggunakan (ii), y C(M\x) dan sehingga pada saat x A(M),C(M) M\x). Anggap keberadaan u A(M)\x sedemikian sehingga u A(M\x). Oleh Lemma (i), u adalah unavoidable di M\x dan oleh karena itu u C(M\x) dan rank M\{x, u} = rank M\x 1 = rank M 2 (3.2) Oleh Lemma 3.2(iii), u C(M\x) menunjukkan adanya v C(M\x) sedemikian sehingga v berada dalam himpunan avoidable M\{x, y}. Ini berarti rank M\{x, v} = rank M\x 1 = rank M 2 (3.3) rank M\{x, v, u} = rank M\{x, u} = rank M 2 (3.4) Lebih lanjutnya, v C(M\x) berarti v D(M) dan karena D(M\u) =D(M), mengikuti v D(M\u). Oleh karena itu rank M\{u, v} = rank M\u 1 = rank M 2

25 20 (3.5) Dua dari x, u, v harus di kedua kolom dan baris, tetapi semua pilihan untuk pasangan yang berada pada baris dan kolom yang sama adalah kontradiksi. Sebagai contoh, anggap x dan v kedua-duanya baris. Dari persamaan (3.5), v adalah unavoidable di M\u, dan dari persamaan (3.4), v avoidable di M\{u, x}. Ini kontradiksi Lemma 3.2, dan oleh karena itu A(M)\x A(M\x). Dengan definisi, D(M) = D(M\x) x A(M), sehingga jika C(M)\x C(M\x) dan A(M)\x = A(M\x). Dengan adanya Teorema 3.3, dekomposisi dari matriks dapat dihubungkan kepada ranknya. Teorema 2.14 (Geelen). Jika M adalah matriks dengan dekomposisi D,C,A, maka rank M = A + C R + rank M[D R ; D C C C ] Bukti. Dari lemma 3.3, elemen A yang dihilangkan dari M, dekomposisi yang tertinggal adalah sama. Oleh sebab itu pada saat elemen dari A dihilangkan, rank berkurang. rank M = A + rank M[D R C R ; D C C C ] (3.6) Himpunan C dan D untuk M[D R C R ; D C C C ] adalah sama sebagai C dan D untuk M, dan rank berkurang. Oleh Lemma 3.2(ii), penghilangan baris dari C tidak mempengaruhi baris bergantung linier, sehingga rank M[D R C R ; D C C C ]= C R + rank M[D R ; D C C C ] (3.7) Kombinasi persamaan (3.6) dan (3.7) terangkum dalam teorema 3.4

26 21 Corollary Setiap baris dan kolom M[D R ; D C C C ] adalah avoidable. Bukti. Anggap M[D R ; D C C C ] mempunyai kolom y. Karena semua kolom dari A telah dihilangkan, y C(M[D R ; D C C C ]). Dari Lemma 3.2, ada baris di C(M[D R ; D C C C ]). Akan tetapi, oleh Teorema 3.3, semua baris pada M[D R ; D C C C ] avoidable, sehingga M[D R ; D C C C ] tidak memiliki kolom unavoidable.

27 22 Satu metode untuk menemukan evaluasi yang optimal adalah dengan menggunakan evaluasi acak, di mana indeterminan dipilih dari himpunan terbesar. dimulai dengan evaluasi arbitrasi, dan menggantikan harga indeterminan. Jika evaluasi tidak optimal, maka penukaran yang bertambah atau meningkat adalah sebuah perbaikan. Sebagai contoh biparti graph G memiliki matching sempurna. Dari Corollary 2.14, biparti matriks Tutte untuk G adalah nonsingular, tetapi evaluasi pada (4.12) adalah nonsingular 2.6 Graph T = z ea z eb z ec 0 z fa 0 0 z fd z ga 0 0 z gd 0 z hb z hc z hc, Suatu graph G adalah suatu objek yang terdiri atas dua himpunan, yakni 1. Himpunan berhingga tak kosong V. Unsur dari V disebut verteks dari G. 2. Himpunan E yang merupakan himpunan bagian dari pasangan tak berurut dari unsur-unsur di V. Unsur dari E disebut edge dari G. Graph G dengan himpunan verteks V dan himpunan edge E dinotasikan dengan G(V,E). Andaikan v i dan v j adalah dua verteks pada G. Suatu edge {v i,v j } atau juga dapat dinotasikan dengan v i v j adalah suatu edge di G yang menghubungkan v i dan v j. Untuk selanjutnya akan dipergunakan notasi v i v j. Dua buah verteks v i dan v j dikatakan adjacent jika v i v j adalah sebuah edge e di G dan verteks v i dan v j incedent dengan edge e. Degree dari suatu verteks v i adalah banyaknya edge yang incedent dengan verteks v i tersebut dan dinotasikan dengan d(v i ) Contoh 1 : Himpunan verteks V = {v 1,v 2,v 3,v 4,v 5,v 6 } bersama dengan himpunan edge E = {v 1 v 2,v 1 v 3,v 2 v 3,v 2 v 5,v 2 v 4,v 3 v 5,v 4 v 5,v 4 v 6, v 5 v 6,v 6 v 6 } adalah suatu graph dengan 6 verteks dan 10 edge.

28 23 Sesuai dengan namanya, suatu graph biasanya direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap verteks pada graph tersebut direpresentasikan sebagai suatu titik atau lingkaran kecil dan setiap edge v i v j yang terdapat dalam graph itu direpresentasikan sebagai suatu garis atau kurva dari v i ke v j. Representasi grafis graph pada Contoh 1 diperlihatkan pada gambar berikut ini. v 3 v 5 v 1 v 6 v4 v 2 Gambar 2.1 : Graph dengan 6 verteks dan 10 edge Andaikan G 1 (V 1,E 1 ) dan G 2 (V 2,E 2 ) adalah suatu graph. Gabungan dari dua buah graph G 1 dan G 2 adalah gabungan dari himpunan verteks V 1 dan V 2, dan juga gabungan himpunan edge di E 1 dan E 2, dan dinotasikan dengan G 1 G 2 =(V 1 V 2,E 1 E 2 ). Irisan dari dua buah graph G 1 dan G 2 adalah irisan dari himpunan verteks V 1 dan V 2, dan juga irisan himpunan edge di E 1 dan E 2, dan dinotasikan dengan G 1 G 2 =(V 1 V 2,E 1 E 2 ). Selisih dari graph G 1 dan G 2 dinotasikan dengan G 1 G 2 atau G 1 \G 2 diperoleh dengan membuang semua verteks di V 1 V 2 dan edge yang incedent dengan verteks tersebut. Berikut ini diberikan contoh dari gabungan, irisan, dan selisih dari dua buah graph. Contoh 2 : Andaikan graph G 1 adalah graph dengan himpunan verteks V 1 = {v 1,v 2,v 3,v 4,v 5 } dan himpunan edge E 1 = {v 1 v 2,v 2 v 3,v 2 v 4,v 3 v 5,v 4 v 5 }, dan graph G 2 adalah graph dengan himpunan verteks V 2 = {v 3,v 4,v 5,v 6 } dan himpunan edge E 2 = {v 3 v 4,v 3 v 5,v 4 v 6,v 5 v 6 }. Graph G 1 G 2 adalah graph dengan himpunan verteks V 1 V 2 = {v 1,v 2,v 3,v 4,v 5,v 6 } dan himpunan edge E 1 E 2 = {v 1 v 2,v 2 v 3,v 2 v 4,v 3 v 5,v 4 v 5,v 3 v 4,v 4 v 6,v 5 v 6 }. Graph G 1 G 2 adalah graph dengan himpunan verteks V 1 V 2 = {v 3,v 4,v 5, }

29 24 dan himpunan edge E 1 E 2 = {v 3 v 5 }. Graph G 1 \ G 2 adalah graph dengan himpunan verteks V 1 \ V 2 = {v 1,v 2 } dan himpunan edge E 1 \ E 2 = {v 1 v 2 }. Berikut ini diberikan representasi dari graph pada Contoh 2. v 1 v 2 v v 4 4 v 6 v 3 v 5 v 3 v 5 G 1 G 2 v 1 v 2 v 4 v 6 v 3 v 5 G 1 G 2 v 4 v 1 v 2 G 1 \ G 2 v 3 G 1 G 2 Gambar 2.2 : Graph G 1 G 2, Graph G 1 \ G 2, Graph G 1 G 2 v 5 Andaikan u,v V. Suatu walk dari u ke v dinotasikan dengan uv-walk atau w uv (untuk selanjutnya dipakai notasi w uv ) adalah barisan verteks-verteks, u = v 0,v 1,...,v j 1,v j = v dan edge yang berhubungan, u v 1,v 1 v 2,...,v n 1 v yang disusun secara berselang-seling yang diawali dengan verteks u dan diakhiri dengan verteks v. Secara umum suatu walk dari verteks u ke v dinotasikan sebagai u = v 0 v 1 v 2 v j 1 v j = v Jika verteks u v maka walk dikatakan terbuka dan jika u = v maka walk dikatakan tertutup. Panjang dari suatu walk w uv adalah banyaknya edge yang menyusun walk tersebut dan dinotasikan dengan l(w uv ). Suatu walk dengan edge yang berbeda-beda disebut trail. Suatu path p uv adalah suatu walk w uv tanpa ada perulangan verteks kecuali mungkin verteks awal dan verteks akhir dan panjangnya dinotasikan dengan l(p uv ). Suatu cycle adalah path dengan verteks awal sama dengan verteks akhir atau dengan kata lain cycle adalah path tertutup. Suatu cycle yang panjangnya 1 disebut loop.

30 25 Perhatikan graph pada Gambar 2.1. Berikut ini diperlihatkan contoh dari walk, trail, path, cycle dan juga loop. 1. Barisan v 1 v 2 v 3 v 5 v 2 v 4 v 5 v 2 adalah walk w v1 v 2 dengan panjang 7. Walk ini bukan suatu trail karena ada edge yang sama yaitu edge v 5 v Barisan v 1 v 2 v 5 v 3 v 2 v 4 v 6 adalah suatu v 1 v 6 -trail dengan panjang 6. Trail ini bukan suatu path karena ada verteks yang berulang yaitu verteks v Barisan v 1 v 2 v 5 v 4 adalah suatu path p v1 v 4 dengan panjang Barisan v 1 v 3 v 5 v 2 v 1 adalah suatu cycle dengan panjang Barisan v 6 v 6 adalah suatu loop. Selanjutnya akan diberikan suatu teorema yang menjamin bahwa setiap walk mengandung suatu path. Teorema 2.16 Andaikan G adalah sebuah graph. Setiap walk w uv di G mengandung suatu path p uv. Bukti : Andaikan W adalah suatu walk w uv dalam bentuk u = v 0 v 1 v i v i+1 v j v j+1 v k v k+1 v m = v Jika walk W tidak ada menggunakan suatu verteks lebih dari sekali maka walk ini adalah suatu path.