DIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL KORONA C m K n. Oleh : Yogi Sindy Prakoso ( ) JURUSAN MATEMATIKA. Company

Transkripsi

1 DIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL KORONA C m K n Oleh : Yogi Sindy Prakoso ( ) JURUSAN MATEMATIKA Company FAKULTAS MATEMATIKA Click to DAN add ILMU subtitle PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2011

2 DAFTAR ISI 1. PENDAHULUAN LATAR BELAKANG RUMUSAN MASALAH BATASAN MASALAH TUJUAN & MANFAAT 2. TINJAUAN PUSTAKA PENGERTIAN GRAPH JENIS-JENIS GRAPH DIMENSI PARTISI OPERASI KORONA 3. METODOLOGI PENELITIAN BAGAN ALIR 4. ANALISIS & PEMBAHASAN C m K n, n = 1, m Umum C m K n, n = 2, m Umum C m K n, n = 3, m Umum C m K n, n = Umum, m Umum 5. KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA

3 PENDAHULUAN

4 LATAR BELAKANG GRAPH G = (V, E) Permasalahan dari berbagai disiplin ilmu Dimensi partisi Graph hasil korona C m K n

5 RUMUSAN MASALAH Bagaimana menentukan dimensi partisi pada graph hasil korona C m K n.

6 BATASAN MASALAH Graph yang digunakan adalah graph yang terbatas (finite) dan sederhana (simple). Graph yang digunakan adalah graph hasil korona C m K n.

7 TUJUAN DAN MANFAAT Tujuan : Mendapatkan dimensi partisi graph G / pd(g) dari graph hasil korona C m K n. Manfaat : Memberikan kontribusi penelitian dalam bidang teori graph, khususnya dimensi partisi pada graph hasil korona C m K n.

8 TINJAUAN PUSTAKA

9 PENGERTIAN GRAPH Graph tak berarah, selanjutnya disebut sebagai graph G, didefinisikan sebagai pasangan terurut G(V,E), dimana V adalah himp. tidak kosong dari titik-titik (vertex), V = {v 1, v 2,..., v k } dan E adalah himp. sisi-sisi (edge) yang menghubungkan sepasang vertex, E = {e 1, e 2,..., e k }. Graph sederhana adalah graph yang tidak memuat loop dan sisi rangkap (multiple edge). Loop adalah sisi yang menghubungkan suatu titik dengan dirinya sendiri. Jika terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik, maka sisi-sisi tersebut dinamakan sisi rangkap (multiple edge). Graph tak-berarah (undirected graph) adalah graph yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah.

10 JENIS-JENIS GRAPH GRAPH CYCLE Graph cycle adalah suatu walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga buah vertex dan semua vertexnya berbeda. Graph cycle dengan n buah edge, dinotasikan dengan C n. Contoh : C 3 C 6

11 JENIS-JENIS GRAPH GRAPH LENGKAP Graph lengkap adalah graph sederhana yang setiap vertex-nya mempunyai sisi ke semua vertex lainnya. Graph lengkap dengan n buah vertex dilambangkan dengan K n. Pada umumnya graph lengkap mempunyai jumlah vertex dan edge masing masing adalah V(K n ) = n dan K n = Contoh : K 5 K 6

12 DIMENSI PARTISI Misalkan terdapat sebuah graph terhubung G dengan V(G) adalah himpunan vertex-vertexnya, S V(G) dan titik v V(G), jarak antara v dengan S yang dinotasikan d(v,s) didefinisikan sebagai berikut : d(v,s) = min{d(v,x) x S} Misalkan terdapat sebuah graph terhubung G dan k buah partisi dan untuk himpunan terurut Π = {S 1, S 2,..., S k } dari vertex-vertex dalam graph terhubung G dan vertex v pada V(G), representasi dari v terhadap Π adalah k-vektor. r(v Π) = (d(v,s 1 ), d(v,s 2 ),..., d(v,s k )) Jika k-vektor r(v Π), untuk setiap vertex v pada V(G) berbeda, maka Π disebut himpunan partisi pembeda dari V(G). Himpunan partisi pembeda dengan kardinalitas minimum disebut dimensi partisi dari G dinotasikan dengan pd(g).

13 DIMENSI PARTISI Lemma 2.1 Jika d(u,w) = d(v,w), untuk semua w V(G)-{u,v} maka u dan v harus berada di kelas partisi yang berbeda. (Chartrand, 2000) Proposisi 2.1 Misal G adalah graph terhubung orde n 2. Jadi, pd(g) = 2 jika dan hanya jika G = P n. (Syah, 2008) Proposisi 2.2 Misal G adalah graph terhubung orde n 2. Jadi, pd(g) = n jika dan hanya jika G = K n. (Syah, 2008)

14 OPERASI KORONA Misalkan G dan H adalah dua buah graph. Hasil korona pada graph G terhadap H dinotasikan dengan G H, merupakan graph dengan himpunan vertex sebagai berikut : Dan mempunyai himpunan edge sebagai berikut :

15 Contoh : OPERASI KORONA G H G H

16 METODOLOGI PENELITIAN

17 BAGAN ALIR TAHAP PENELITIAN Konstruksi Analisis Evaluasi Penyimpulan Hasil Penelitian

18 ANALISIS & PEMBAHASAN

19 ANALISIS & PEMBAHASAN Lemma 4.1 : Misalkan terdapat graph hasil korona C m K n dengan m 3, Π = {S 1, S 2,..., S p } merupakan partisi pembeda dari V(C m K n ), dan x i V(C m ) dengan 1 i m maka S 1 = {x i x i V(C m ), 1 i m}. Bukti : Misalkan x i V(C m ), y ij V(K n ) dengan 1 i m, 1 j n karena jarak antara x i dan y ij sama dengan 1, sehingga representasi himpunan partisi pembeda berbeda, yaitu : r(x i Π) = (0,...) yang berada pada himpunan partisi pembeda S 1 dan r(y ij Π) = (1,...) yang berada pada himpunan partisi pembeda {S 2, S 3,..., S p }.

20 ANALISIS & PEMBAHASAN Dimensi Partisi Graph Hasil Korona C m K n Dengan n = 1, m Secara Umum y x 1 x 2 y 21 y m1 x m x 3 y 31 x 6 x 5 x 4 y 61 y 41 y 51

21 ANALISIS & PEMBAHASAN Dimensi Partisi Graph Hasil Korona C m K n Dengan n = 1, m Secara Umum Lemma 4.2 : Untuk graph hasil korona C m K n dengan m 3, n = 1, m bilangan bulat positif maka berlaku pd(c m K 1 ) = 3.

22 ANALISIS & PEMBAHASAN Bukti : Misalkan terdapat himpunan partisi pembeda dari V(C m K 1 ), Π = {S 1, S 2, S 3 }, menggunakan Lemma 4.1, dimana S 1 = {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, y 11, y 21, y 31 }, S 2 = {y 41, y 51,..., y (m-1)1 }, S 3 = {y m1 }, maka diperoleh vektor koordinat titik-titik graph relatif terhadap Π adalah sebagai berikut : r(y 11 Π) = (0,..., 3), r(y 21 Π) = (0,..., 4),..., r(y (m-1)1 Π) = (1, 0, 3), r(y m1 Π) = (1, 3, 0), r(x 1 Π) = (0,..., 2), r(x 2 Π) = (0, 3, 3),..., r(x m-1 Π) = (0, 1, 2), r(x m Π) = (0, 2, 1),

23 ANALISIS & PEMBAHASAN yang memberikan representasi yang berbeda, jadi Π = {{x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, y 11, y 21, y 31 }, {y 41, y 51,..., y (m-1)1 }, {y m1 }} merupakan himpunan partisi pembeda C m K 1 dengan kardinalitas Π 3. Jadi, pd(c m K 1 ) 3. Sedangkan, untuk menemukan batas bawahnya, maka akan dibuktikan bahwa jika kardinalitas Π = 3-1 = 2, yaitu Π = {S 1, S 2 }, maka bukan himpunan partisi pembeda, karena menurut Proposisi 2.1 hanya jika graph P n sehingga Π = {S 1, S 2 } bukan merupakan himpunan partisi pembeda. Jadi, 3 Π atau 3 pd(c m K 1 ). Karena pd(c m K 1 ) adalah 3 pd(c m K 1 ) 3, maka pd(c m K 1 ) = 3. Jadi, terbukti bahwa pd(c m K 1 ) = 3.

24 ANALISIS & PEMBAHASAN Dimensi Partisi Graph Hasil Korona C m K n Dengan n = 2, m Secara Umum y 11 y 12 y 21 y m2... x 1 x 2 y 22 y 31 x m x 3 y m1 x 6 x 4 y 32 y 62 x 5 y 41 y 61 y 42 y 52 y 51

25 ANALISIS & PEMBAHASAN Dimensi Partisi Graph Hasil Korona C m K n Dengan n = 2, m Secara Umum Lemma 4.3 : Untuk graph hasil korona C m K n dengan m 3, n = 2, m bilangan bulat positif maka berlaku pd(c m K 2 ) = p dengan p merupakan bilangan bulat positip terkecil yang memenuhi m.

26 ANALISIS & PEMBAHASAN Bukti : Misalkan himpunan partisi pembeda dari V(C m K 2 ), Π = {S 1, S 2,..., S p }, dengan menggunakan Lemma 4.1, sehingga x i S 1, Untuk setiap edge x i dengan y ij khususnya (p-1) dimana p = i. Dengan y (p-1)j buah vertex dimana j = 1 merupakan anggota S 1, sedangkan y (p-1)j buah vertex lainnya dimana j 1 adalah anggota (p-1) partisi selain S 1. Untuk y (p-2)j buah vertex dimana j = 1 adalah anggota S 2, sedangkan y (p-2)j dimana j 1 adalah anggota (p-2) partisi selain S 1 dan S 2. Langkah ini dilakukan terus sampai bersisa 1 batang dimana kedua vertex-nya belum tergabung dalam partisi manapun. Pada batang terakhir, vertex yang berlabel ganjil adalah anggota S p-1 dan vertex yang berlabel genap adalah anggota S p. Maka diperoleh vektor koordinat titik-titik graph relatif terhadap Π adalah sebagai berikut :

27 ANALISIS & PEMBAHASAN r(y 11 Π) = (0, 1, 3,..., 3, 3), r(y 12 Π) = (1, 0, 3,..., 3, 3), r(y 21 Π) = (0, 3, 1,..., 3, 4), r(y 22 Π) = (1, 3, 0,..., 3, 4),..., r(y m1 Π) = (1,..., 0, 1), r(y m2 Π) = (1,..., 1, 0), r(x 1 Π) = (0, 1, 2,...), r(x 2 Π) = (0, 2, 1,...),..., r(x m Π) = (0,..., 1, 1). sehingga, pd(c m K 2 ) p. Jika Π = {S 1, S 2,..., S p-1 } maka pasti ditemukan representasi koordinat vertex yang sama yaitu pasti terdapat d(u,s j ) = d(v,s j ), 1 j p-1. Maka sesuai dengan Lemma 2.1, u dan v harus berada pada partisi yang berbeda sehingga Π bukan merupakan himpunan partisi pembeda, maka pd(c m K 2 ) p. Terdapat ( (p-1)) buah pasang vertex x i dengan y ij atau m m m Jadi, pd(c m K 2 ) = p, p adalah bilangan bulat terkecil yang memenuhi m.

28 ANALISIS & PEMBAHASAN Dimensi Partisi Graph Hasil Korona C m K n Dengan n = 3, m Secara Umum y 11 y 12 y 13 y 22 y m3 y m2 y m1... x m x 6 x 1 x 5 x 2 x 3 x 4 y 21 y 31 y 23 y 32 y 33 y 63 y 61 y 62 y 51 y 41 y 43 y 42 y 53 y 52

29 ANALISIS & PEMBAHASAN Dimensi Partisi Graph Hasil Korona C m K n Dengan n = 3, m Secara Umum Lemma 4.4 : Untuk graph hasil korona C m K n dengan m 3, n = 3, m bilangan bulat positif maka berlaku pd(c m K 3 ) = p dengan p merupakan bilangan bulat positip terkecil yang memenuhi m.

30 ANALISIS & PEMBAHASAN Bukti : Misalkan himpunan partisi pembeda dari V(C m K 3 ), Π = {S 1, S 2,..., S p }, dengan menggunakan Lemma 4.1, sehingga x i S 1, Untuk setiap edge x i dengan y ij khususnya dimana p = i. Dengan buah vertex dimana j = 1 merupakan anggota S 1, sedangkan buah vertex lainnya dimana j 1 adalah anggota (p-1) partisi selain S 1. Untuk buah vertex dimana j = 1 adalah anggota S 2, sedangkan dimana j 1 adalah anggota (p-2) partisi selain S 1 dan S 2. Langkah ini dilakukan terus sampai bersisa 1 batang dimana kedua vertex-nya belum tergabung dalam partisi manapun. Pada batang terakhir, vertex yang berlabel ganjil adalah anggota S p-1 dan vertex yang berlabel genap adalah anggota S p. maka diperoleh vektor koordinat titik-titik graph relatif terhadap Π adalah sebagai berikut :

31 ANALISIS & PEMBAHASAN r(y 11 Π) = (0, 1, 1, 3,..., 3, 3), r(y 12 Π) = (1, 0, 1, 3,..., 3, 3), r(y 13 Π) = (1, 1, 0, 3,..., 3, 3), r(y 21 Π) = (0, 1, 3, 1,..., 3, 4), r(y 22 Π) = (1, 0, 3, 1,..., 3, 4), r(y 23 Π) = (1, 1, 3, 0,..., 3, 4),..., r(y m1 Π) = (1,..., 0, 1, 1), r(y m2 Π) = (1,..., 1, 0, 1), r(y m3 Π) = (1,..., 1, 1, 0), r(x 1 Π) = (0, 1, 1, 2,...), r(x 2 Π) = (0, 1, 2, 1,...),..., r(x m Π) = (0,..., 1, 1, 1). sehingga, pd(c m K 3 ) p Jika Π = {S 1, S 2,..., S p-1 } maka pasti ditemukan representasi koordinat vertex yang sama yaitu pasti terdapat d(u,s j ) = d(v,s j ), 1 j p-1. Maka sesuai dengan Lemma 2.1, u dan v harus berada pada partisi yang berbeda sehingga Π bukan merupakan himpunan partisi pembeda, maka pd(c m K 3 ) p. Terdapat ( ) buah pasang vertex x i dengan y ij atau m m m Jadi, pd(c m K 2 ) = p, p adalah bilangan bulat terkecil yang memenuhi m.

32 ANALISIS & PEMBAHASAN Dimensi Partisi Graph Hasil Korona C m K n Dengan n Secara Umum, m Secara Umum Teorema 4.1 : Untuk graph hasil korona C m K n dengan m 3, n 1, m, n bilangan bulat positif maka berlaku pd(c m K n ) = dengan p merupakan bilangan bulat positip terkecil yang memenuhi m.

33 ANALISIS & PEMBAHASAN Bukti : pd(c m K n ) = 3, untuk n = 1 : Untuk pd(c m K n ) = 3, untuk n = 1 telah dibuktikan pada Lemma 4.2. pd(c m K n ) = p, untuk n > 1 : Misalkan himpunan partisi pembeda dari V(C m K n ), dengan n 1, Π = {S 1, S 2,..., S p }, dengan menggunakan Lemma 4.1, sehingga x i S 1, Perhatikan pada setiap edge x i dengan y ij khususnya dimana p = i. Dengan buah vertex dimana j = 1 merupakan anggota S 1, sedangkan buah vertex lainnya dimana j 1 adalah anggota (p-1) partisi selain S 1. Lalu perhatikan buah vertex dimana j = 1 adalah anggota S 2, sedangkan dimana j 1 adalah anggota (p-2) partisi selain S 1 dan S 2. Langkah ini dilakukan terus sampai bersisa 1 batang dimana kedua vertex-nya belum tergabung dalam partisi manapun. Pada batang terakhir, vertex yang berlabel ganjil adalah anggota S p-1 dan vertex yang berlabel genap adalah anggota S p.

34 ANALISIS & PEMBAHASAN Maka diperoleh vektor koordinat titik-titik graph relatif terhadap Π adalah sebagai berikut : r(y 11 Π) = (0, 1,..., 3, 3), r(y 12 Π) = (1, 0,..., 3, 3),..., r(y 1n Π) = (1, 1,..., 3, 3), r(y 21 Π) = (0, 1,..., 3, 1,..., 3, 4), r(y 22 Π) = (1, 0,..., 3,..., 3, 4),..., r(y 2n Π) = (1, 1,..., 3, 0,..., 3, 4),..., r(y m1 Π) = (1,..., 0, 1,...), r(y m2 Π) = (1,..., 1, 0,...),..., r(y mn Π) = (1,..., 1, 0), r(x 1 Π) = (0,..., 1, 2,...), r(x 2 Π) = (0,..., 2, 1,...),..., r(x m Π) = (0,..., 1, 1). sehingga, pd(c m K n ) p

35 ANALISIS & PEMBAHASAN Jika Π = {S 1, S 2,..., S p-1 } maka pasti ditemukan representasi koordinat vertex yang sama yaitu pasti terdapat d(u,s j ) = d(v,s j ), 1 j p-1, maka sesuai dengan Lemma 2.1, u dan v harus berada pada partisi yang berbeda sehingga Π bukan merupakan himpunan partisi pembeda, maka pd(c m K n ) p. Terdapat (1 + n ) buah pasang vertex x i dengan y ij atau 1 + n m m m m Jadi, pd(c m K n ) = p, dengan p adalah bilangan bulat terkecil yang memenuhi m.

36 KESIMPULAN

37 KESIMPULAN Sesuai dengan Teorema 4.1, dapat disimpulkan bahwa dimensi partisi pada graph hasil korona C m K n, dengan m 3, n 1, diperoleh : pd(c m K n ) = dengan p merupakan bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi m.

38 DAFTAR PUSTAKA Chartrand, G., Salehi, E., Zhang, P The Partition Dimension Of Graph. Aequationes Mathematicae, Harary, F Graph Teory. Wesley Publishing Company, Inc. Harary, F., Frucht, R On The Corona Of Two Graphs. Aequationes Mathematicae, Iqbal, M Dimensi Partisi Pada Pengembangan Graph Kincir Dengan Pola K 1 +mk n. Tugas Akhir, Jurusan Matematika FMIPA ITS. Syah, N Dimensi Partisi Graf Kipas dan Graf Kincir. Tugas Akhir, Jurusan Matematika FMIPA ITB

39