TURUNAN FUNGSI. absis titik C dan absis titik C sama dengan h, maka x 3 = x 1 + h, sehingga gradien garis AC sama dengan

Transkripsi

1 TURUNAN FUNGSI. Gardie Garis siggug Kurva Peratika graik ugsi pada gambar berikut. 8 B 6 C A Gambar Titik A, B, da C terletak pada graik, bila absisa berturut-turut,, da, maka koordiat titik A,, B,, da C,. Garis AB B A memotog graik memiliki gradie. Garis AC B A C A memotog graik memiliki gradie. Misalka selisi C A absis titik C da absis titik C sama dega, maka +, seigga gradie garis AC sama dega Jika titik C pada graik terus digeser medekati titik A, maka medekati atau seigga selisia aitu medekati, ditulis dilambagka dega ag memiliki maka gradie garis siggug kurva di titik A,. Coto : Tetuka gradie garis siggug kurva - di titik Gradie garis siggug di adala. - 5

2 6 Tugas. Tetuka gradie garis siggug, di titik,.. Tetuka gradie garis siggug + di titik -,.. Jika g +, carila g. Jika +, carila. Fugsi Turua a a Misalka adala sebua ugsi, otasi a memiliki arti gradie garis siggug kurva di a, serigkali dibaca turua ugsi di a. Turua ugsi disembarag titik dilambagka dega dega deiisi. Proses mecari dari disebut peurua; dikataka bawa dituruka utuk medapatka.. Coto : Carila turua ugsi ag diataka dega + 5 pada Turua pada iala Coto : Carila turua ugsi ag ditetuka ole lagsug dari deiisi

3 7 Coto. Diketaui /. Carila lagsug dari deiisi. Tugas Guaka deiisi ugsi turua ilai utuk tiap-tiap soal di bawa ii. utuk memeriksa. ;. ;. ;. 5 ; 5. + ; 6 6. ; 7. 5 ; 8. ; 6 9. / ; - /. / ; - /. Turua Beberapa Fugsi Kusus i. Turua ugsi-ugsi kosta Jika c, dega c kosta, maka: c c. Turua ugsi kosta adala ol.

4 8 ii. Turua bilaga bulat positi Utuk, maka, da. Utuk, maka, da. Utuk, maka da. Dari uraia di atas diperole Bila diperatika dega seksama, tampak pola turua utuk, 5, da seterusa, seigga dapat disimpulka turua dari adala Kesimpula tersebut dapat dibuktika dega megguaka deiisi turua sebagai berikut.. Misalka, maka... k adala kombiasi k usur dari usur, dega!!! k k k Selajuta...

5 Jika, maka -, dega bilaga bulat positi. iii. Turua a bilaga bulat positi Misalka a, a suatu kostata, maka a a a ] [. Berdasarka siat it diperole a ] [ a ] [ a... a... a... a... a - Jika a, maka a -, dega bilaga bulat positi. iv. Turua pagkat egative da rasioal dari Utuk -, maka -, da - Utuk -, maka -, da

6 Dari uraia di atas diperole : / atau - / atau - / atau - - / atau Bila dicermati diperole pola bawa turua dari -, maka - -. Juga bila -, maka - -5, da seterusa. Dega demikia bila -, maka - -, berlaku bagi bilaga bulat utuk. Jika, maka, dega bilaga bulat,. Coto : Diketaui. Carila :. Bagaimaa bila dega bilaga rasioal? Misalka, maka Terata turua ugsi dega bilaga rasioal, adala -.

7 Coto 5 Diketaui. Carila : Bila, maka : Tugas. Carila turua dari :. ½. /. 5/. ½ 5. / ½. Siat-siat Turua Fugsi Bila g da ugsi-ugsi ag memiliki turua da k kostata, berlaku: i Jika k g maka k g ii Jika u + v maka u + v iii Jika u - v maka u - v iv Jika u.v maka u v + uv u u' v u v' v Jika maka v [ v ] Bukti i. Jika k g maka g g g g k k k g kg kg Bukti ii Jika u+v maka u u + v. u v Bukti iii serupa dega bukti ii. u v u v u v u v v

8 Bukti iv u. v u. v Jika u+v maka u. v u. v u v u v u.[ v. v ] [ u u ] v u.[ v. v ] [ u u ] v u.[ v. v ].[ u. u ] v [ v. v ].[ u. u ] u v [ v. v ].[ u. u ] u v uv + u v u v + uv. Bukti v serupa dega bukti iv Coto. Carila turua dari Misalka u, v 5 da w, maka u 6, v 5 da w Selajuta u + v w da u + v w Coto Carila turua - + Dega megguaka siat iv Misalka u - da v +, maka u 6 da v + Jika u.v maka u v + uv seigga turura dari - + adala ⁵+8²- ³- Hasila sama dega cara megalika daulu u.v aitu - + ⁶+6³-⁴-, da 8⁵+8²-³-. Coto Carila turua Dega megguaka siat iv Misalka u da v + maka u 8 - da v.

9 u u' v u v' Jika maka. v [ v ] Selajuta turua dari 8 [ ] adala 5 8 Tugas Carila turua dari ugsi-ugsi berikut Jika, -, g - da g 5 Carila -g ;.g ; da /g 8. Jika 7,, g 6 da g - Carila +g ;.g ; da /g 5. Turua Fugsi Trigoometri i. Turua si si si Misalka si, maka A B A B Tela kita ketaui bawa si A si B cos si, cos si si si maka cos si si si [ ] [cos ] cos si si cos. cos. cos. cos.. Jika si, maka cos.

10 ii. Turua cos Misalka cos, maka cos cos A B A B Tela kita ketaui bawa cos A cos B - si si, si si cos cos maka si si si [ ] [ si ] si si si si. -si.. si -si. -si. Jika cos, maka - si. iii. Turua ta si ta. Misalka u si da v cos maka u cos cos da u' v u v' v -si. Meurut siat v [ v ] cos.cos si [cos ] si cos cos si cos sec Teorema Atura Ratai Jika uov uv, maka u v.v Coto : Carila bila + Cara pertama

11 5 + 8³+²+6+, maka Cara kedua Megguaka siat vi jika uov uv, maka u v.v. Utuk +, misalka dega u da v +, seigga uov uv. Bila u maka u da bila v + maka v Coto : Carila bila uov dega u da v + 5 -, maka u da v Tugas 5. Carila turua dari ugsi-ugsi berikut.. si + cos.. cot. cos si 7. cos si 6. Notasi lai utuk Turua Fugsi : + biasa ditulis +, tetapi serig juga ditulis sebagai +. Jika + maka, da bila + serig ditulis. Dari deiisi ugsi turua dari adala, melambagka perubaa ilai. Dalam berbagai peerapa kalkulus perlu sekali

12 6 lambag serig ditulis sebagai, sedag perubaa ilai atau ag sesuai disebut dilambagka dega atau. Jika, maka + da d. Ole Leibiz ditulis sebagai. d 8 B 6 C A - 5 Gambar Dega megguaka otasi Leibiz, Teorema Atura Rataisiat dapat d d du diataka sebagai berikut: Jika u da u g, maka. d du d Coto : Carila bila + Misalka v + maka + v d dv v dv da d seigga d d d dv dv d v. 6v 6 Coto Carila gradie, kemudia persamaa dari gariss siggug pada parabola + 5 dititik, d + 5 maka 6 +. Gradie garis siggug pada titik, d adala Persamaa garis siggug adala atau -8 Coto Carila titik-titik pada kurva di maa garis siggug pada kurva itu tegaklurus pada garis dega persamaa +

13 , gradie garis ii adala - m. Garis siggug ag tegaklurus garis - + adala m karea m m -, maka d d 8 Titik-titik ag dicari adala 8, da - 8, - Tugas 6 Tetukala gradie da kemudia garissiggug setiap kurva berikut ii, pada titik ag diberika.. pada,9. pada,. 5 pada -, -5. / pada, Tetukala persamaa garissiggug kurva berikut ii: 5. pada 6. + pada 7. pada 5 8. pada pada. / pada 7. Kurva Naik da Kurva Turu Bila suatu kurva dari graik ugsi digambarka pada koordiat kartesius, kurva dikataka aik, bila maki ke kaa kurva maki tiggi, seperti terliat pada Gambar. Suatu kurva dikataka turu bila maki ke kaa kurva maki reda, seperti pada Gambar Gambar

14 Gambar Peratika Gambar 5., pada iterval - < < - kurva aik, pada iterval - < < kurva turu, da pada iterval < < kurva aik. Sedagka pada - da kurva tidak aik maupu turu, dikataka kurva mecapai stasioer. Titik A da B disebut titik stasioer kurva. A B - Gambar 5. Hubuga Turua Fugsi dega Graik Fugsi Peratika Gambar 6., pada iterval - < < graik aik da garis-garis sigguga membetuk sudut lacip dega sumbu positi, artia gradiegradie garis siggug graik pada saat kurva itu aik adala positi. Dega kata lai, graik ugsi aik bila >. Peratika Gambar 7., pada iterval < < graik turu da garis-garis sigguga membetuk sudut tumpul dega sumbu positi, artia gradiegradie garis siggug graik pada saat kurva turu adala egati. Dega kata lai, graik ugsi turu bila <.

15 Gambar Gambar 7 Coto: Bila - +7, tetuka dimaa graik aik da graik turu maka Graik aik bila > > - > -+> Batas-batas iterval adala -+ da - Utuk daera pada garis bilaga sebela kiri - itu daera positi + atau egati - subsitusika sembarag bilaga sebela kiri -, misala - diperole positi +. Utuk daera pada garis bilaga atara - da itu daera positi + atau egati - subsitusika sembarag bilaga sebela kiri di atara kedua bilaga, misala diperole egati -. Begitu juga utuk memeriksa daera garis bilaga sebela kaa, ambil bilaga, kemudia subsitusika ke positi Graik aik pada iterval garis bilaga ag bertada positi + aitu, - < <- da < <. Dega megguaka garis bilaga ag sama, sekaligus diperole iterval dimaa graik turu, aitu pada iterval garis bilaga ag bertada egati -. Graik turu pada iterval - < <.

16 Ii sesuai dega graik - +7 pada Gambar Tugas 7 Gambar 8. Utuk setiap ugsi ag ditetuka dalam persamaa o. 7 tetukala iterval-iterval dimaa ugsi itu aik da dimaa ugsi itu turu / Tujukkala graik ugsi + tidak pera turu. 8. Titik Stasioer Pada Gambar 9., sebela kiri titik A kurva aik, da sebela kaa titik A kurva turu, sedagka di titik A kurva tidak aik maupu turu, ole karea itu A disebut titik stasioer. Titik stasioer A pada Gambar 9. ii disebut titik balik maksimum. Sedagka pada da Gambar., sebela kiri titik A kurva turu da sebela kaa titik A kurva aik. Titik stasioer A pada Gambar. disebut titik balik miimum. Baik pada Gambar 9., maupu Gambar., garis siggug di titik stasioer A sejajar dega sumbu, artia gradie garis siggug graik ugsi di A adala. Dega kata lai, graik mecapai stasioer bila.

17 6 A A Gambar 9 Gambar Coto : Tetuka titik stasioer da jeisa dari graik -+ Graik mecapai stasioer bila +, maka -, artia atau Nilai stasioera Jadi titik stasioera,- Guaka garis bilaga berikut utuk memeriksa jeis stasioer adala absis titik stasioer, batas kurva aik atau turu. Daera pada garis bilaga sebela kiri adala egati - sebab. - egati -, sedagka sebela kaa adala positi +, sebab. positi +. Sebela kiri kurva turu da sebela kaa kurva aik, disimpulka jeis titik stasioer,- adala titik miimum. Jawaba di atas sesuai dega graik + pada Gambar.

18 A,- - Gambar. Coto : Tetuka titik-titik stasioer da jeisa dari graik 5 5 Fugsi turua dari 5 5 adala 5 5. Graik mecapai stasioer bila , 5 atau atau +, seigga diperole absis titiktitik stasioer,, da -. Masig - masig ordiat titik stasioera adala, 5.. 5, 5.. 5, da , seigga diperole titik-titik stasioer,,, da -,-. Utuk memeriksa jeis titik stasioer itu, diguaka garis bilaga sebagai berikut Daera pada garis bilaga sebela kiri - adala egati - sebab bila disubsitusi ole sebarag bilaga kurag dari - misala -, adala bilaga egati.. - egati -. Daera atara - da adala positi +, sebab - ½ 5- ½ 5 - ½ + - ½ adala 6 bilaga positi. Daera atara da adala positi +, sebab ½ 5 ½ 5 ½ + ½ adala bilaga positi. Daera sebela kaa egati 6 -, sebab adala bilaga egati. Titik -,- adala titik balik miimum, karea graik sebela kiri titik ii turu da sebela kaa titik itu aik. Nilai - - disebut ilai balik miimum. Titik, adala titik balik maksimum, karea graik sebela kiri titik ii aik da sebela kaa titik itu turu. Nilai disebut ilai balik maksimim.. Titik, buka titik balik miimum maupu miimum, karea graik sebela kiri titik ii aik da sebela kaa titik itu aik pula. Titik, pada kurva ii disebut titik belok.

19 8 6, - -, -, Gambar. Dari coto di atas, secara umum, misala a memeui a, maka titik a, a adala titik balik maksimum atau titik balik maksimum atau titik belok. Jika ada utuk setiap titik disekitar a aitu iterval kecil pada sumbu ag memuat a maka di sekitar a terdapat kemugkia utuk graik. Titik a,a merupaka titik balik maksimum dari, bila Sedikit sebela kiri a a a Sedikit sebela kaa a a + Positi + Negati - Titik a,a merupaka titik balik miimum dari, bila Sedikit sebela kiri a a a Sedikit sebela kaa a a + Negati - Positi + Titik a,a merupaka titik belok dari, bila Sedikit sebela kiri a a a Sedikit sebela kaa a a + Positi + Positi + atau Sedikit sebela kiri a a a Sedikit sebela kaa a a + Negati - Negati -

20 Tugas 8. Tetukala ilai-ilai stasioer ugsi ag dideiisika berikut ii da tetukala jeis masig-masig ilai stasioer itu / si, 9. Meggambar Kurva Sebeluma tela kita belajar meggambar berbagai graik ugsi tertetu seperti, ugsi liear, kuadrat, da lai sebagaia. Sekarag aka belajar meggambar berbagai graik ugsi dega memperatika titik-titik stasioer, titik-titik balik maksimum, miimum, kecekuga, da lai-lai. Kemampua meggambar kurva merupaka al ag sagat petig dalam pegertia da pegguaa Kalkulus. Dalam meggambar graik ugsi ag dapat dideiisika, beberapa atau semua al berikut ii sagat membatu:. Meetuka titik potog graik dega sumbu, diperole dari. Meetuka titik potog graik dega sumbu, diperole dari. Meetuka titik-titik statioer, diperole dari. Meetuka jeis titik statsioer 5. Meetuka ilai utuk da - Coto Coto Gambarla graik kurva. Titik-titik potog dega sumbu Titik potog dega sumbu diperole jika, maka - diperole Titik potog dega sumbu adala, da,. Titik potog dega sumbu Titik potog dega sumbu diperole jika maka - Titik potog dega sumbu adala,.. Titik-titik stasioer Titik -titik stasioer pada kurva diperole dari atau - atau Utuk, maka -, utuk maka -

21 5 Jadi titik-titik stasioer adala,, da, Meetuka jeis stasioer Absis titik stasioer adala da, dega megguaka diperole Sedikit sebela kiri Sedikit sebela kaa Negati - Positi +, titik statsioer maksimum Sedikit sebela kiri Sedikit sebela kaa Positi + Negati -, titik statsioer mmiimum Semua keteraga di atas memugkika kita meggambar kurva, seperti tampak pada Gambar. 6, - -, Gambar. Tugas 9. Gambarla kurva-kurva berikut ii: / ½

22 6. Nilai-ilai Maksimum da Miimum suatu Fugsi dalam Iterval Tertutup Graik ugsi ag ditetuka dega 5 5 ag tela dipelajari sebeluma tampak pada Gambar. 8 6, - -, -, Gambar. Nilai maksimum dalam iterval tertutup dega muda dapat diliat aitu. Tetapi utuk iterval ½ ilai maksimum adala ½ 7 da utuk iterval ilai maksimum adala Gambar. Dari Gambar., terliat utuk iterval ilai miimum adala - 56 da ilai maksimum adala - 56, dapat ditulis utuk iterval. Dega demikia perlu diperatika bawa ilai balik maksimum atau miimum dari ugsi dalam suatu iterval tertutup belum tetu ilai maksimu atau miimum dari. Nilai maksimum da miimum ugsi dalam iterval tertutup didapat dari ilai stasioer dalam iterval itu atau dari ilai pada ujug-ujug iterval.

23 7 Coto : Tetuka ilai miimum da maksimum dari - + pada iterval 5 i Meetuka ilai balik kurva - + da Absis titik stasioer diperole dari da >, seigga,- merupaka titik balik miimum. Jadi ilai balik miimuma -. ii Meetuka ilai pada batas-batas iterval. - + da Dari i da ii diperole ilai miimum dari adala - da ilai maksimum adala 8. Jadi pada iterval 5, seperti terliat pada Gambar Gambar. Coto : Tetuka ilai miimum da maksimum dari 6 pada - i Meetuka ilai balik kurva 6 da 6 - Absis titik stasioer diperole dari 6 - atau - atau 6 da <, seigga, merupaka titik balik maksimum da ilai balik maksimuma adala.

24 >, seigga,- merupaka titik balik miimum da ilai balik miimuma adala -. Nilai ii tidak diperitugka karea di luar iterval ag diberika. ii Meetuka ilai pada batas-batas iterval da Dari i da ii diperole ilai miimum dari adala -7da ilai maksimum adala. Jadi -7 6 pada iterval 5, seperti terliat pada Gambar Gambar 5. Tugas Tetukala ilai-ilai maksimum atau miimum ugsi-ugsi berikut dalam iterval tertutup ag diberika. Natakala asila dalam betuk a b da tujukkala dega sketsa.. pada iterval. 9 pada iterval. pada iterval ½. 6 pada iterval 5. dalam { I. Soal-soal tetag Maksimum da Miimum Coto Sebidag taa terletak sepajag suatu tembok. Taa itu ka dipagari utuk peteraka aam. Pagar kawat ag tersedia pajaga m. Peteraka itu dibuat berbetuk persegi pajag. Tetukala ukuraa agar terdapat dera peteraka ag seluas-luasa.

25 9 Pertama-tama dibuat model matematika dari soal itu, kemudia diaalisa. Jika lebar kadag meter maka pajaga meter. Jelasla bawa da. Jadi. Luas kadag dalam m adala L L da L - L, karea L - <, maka L ilai balik maksimum. Jadi utuk terdapat ilai balik maksimum L.. Pada ujugujug iterval terdapat L da L Jadi luas maksimum ag ditaaka adala. m ag terjadi jika lebara m da pajaga m. Tugas. Tiggi meter suatu roket setela t detik adala t 6t 5t. Tetukala tiggi maksimum roket itu.. Jumla dua bilaga da adala, da asil kalia p. Tulisla persamaa ag meataka ubuga atara da. Kemudia ataka p dalam. Tetukala asil kali ag terbesar.. Kelilig suatu persegipajag m a. Jika pajaga meter da lebara meter tulisla persamaa palig sederaa ag meataka ubuga atara da b. Tulisla rumus luas L m utuk persegipajag itu. Nataka L dalam. Tetukala ukura persegipajag tersebut agar luasa maksimum. c. P W Q A E B Z X F S Y R D Gambar 6. Gambar 7 C. Pada Gambar 7., tampak bujursagkar ABCD dega sisi cm, BE cm da CF cm. Natakala pajag AE da BF dalam. Tujukkala bawa luas DEF adala L cm dega L 5 +. Kemudia tetuka seigga L miimum.

26 5. Seelai karto berbetuk persegi pajag dega lebar 5 cm da pajag 8 cm. Pada tempat sudut karto itu dipotog bujursagkar ag sisia cm. Dari bagu ag didapat dibuat kotak tapa tutup ag tiggia cm. Tetukala ukura kotak agar isia sebaak-baaka. 6. Segitiga siku-siku OAB terbetuk dari sumbu, sumbu da garis g ag persamaaa 8. Titik P, terletak pada garis g. Dari P dibuat garis-garis tegaklurus sumbu-sumbu seigga terjadi persegipajag dega diagoal OP. Natakala luas persegipajag itu dalam. Tetukala koordiat P seigga luas persegipajag maksimum. 7. Suatu kotak alasa berbetuk bujursagkar dega sisi cm da tiggi kotak cm, atasa terbuka. Isi kotak cm a. Tulisla persamaa ag meataka ubuga dega.tulisla juga rumus utuk luas permukaa kotak L cm diataka dega da b. Tujukka bawa L + 8/ da kemudia tetukala ukura kotak agar baa utuk membuat kotak itu sesedikit mugki.. Kecepata Rata-rata da Kecepata Sesaat Kita biasa medegar perataa-perataa seperti Waktu berpapasa dega mobil polisi, mobil tadi sedag bergerak dega kecepata meter per detik. Apaka arti m/det pada saat ag dimaksud? Apabila mobil itu bergerak dega kecepata tetapkosta, maka mobil itu aka meempu jarak m dalam waktu dua detik, da seterusa. Secara umum, jarak s meter, ag ditempu dalam waktu t detik, dapat diitug dega rumus s t atau s/t, artia Jarak ag ditempu Kecepata Waktu ag diperluka Apabila kecepataa tidak tetap, maka situasia mejadi lebi sulit. Misalka suatu mobil bertolak dari titik O da mecapai jarak s meter dari O setela bergerak t detik, da jarak s meter dalam t detik itu memeui rumus s t. Berdasarka rumus kecepata di atas, maka kecepata s/t t tidak t tetap tergatug ilai t. Jadi mobil tadi bergerak dega kecepata ag tidak tetap. Tetapi dari pegalama kita merasa bawa tiap-tiap saat mobil itu memiliki suatu kecepata, ag misala dapat dibaca pada pegukur kecepata. Mucul pertaaa Berapaka kecepataa dalam m/det pada t? Jelas jawabaa tergatug pada s t da pada t. t

27 Persamaa s t ii memasagka suatu bilaga o-egati s dega tiap-tiap bilaga real t. Maka rumus s t meetuka suatu ugsi ag berdomai R. Sedagka daera asila adala impua semua bilaga real o-egati. Mecari arti kecepata pada t jika s t Dega megguaka s : t t adala ugsi ag berkaita dega rumus s t diperole st t, ag memberika jarak ag ditempu dalam waktu t mulai dari t. Jarak ag ditempu dari t sampai t adala s m. Jarak ag ditempu dari t sampai t adala s m. Kecepata rata-rata dalam selag waktu dari t sampai t adala perubaa jarak s s m/dtk. perubaa waktu Dega cara ag sama diperole kecepata rata-rata dari t sampai t,5 adala s,5 s,5,5 m/dtk.,5,5 Utuk memperole jawaba atas pertaaa Berapaka kecepata pada t?, biasa disebut kecepata sesaat utuk t kita membuat datar kecepata rata-rata dalam selag-selag waktu ag sigkat dari t sampai t +, utuk ilai-ilai positi ag maki kecil. Dega megitug s s utuk tiap-tiap, kita perole H,5,,., s s,5,,,, s s Baris kedua meujukka kecepata rata-rata pada selag waktu dari t sampai t + adala sagat dekat pada m/det utuk positi kecil. s s Hal ii megigatka kita pada kosep it aitu,.

28 Jika jarak ag ditempu sebua beda adala s meter dalam t detik dega s st jarak sebagai ugsi dari waktu, maka kecepata rata-rata dalam s t s t s t s t selag waktu atara t da t t + adala t t da kecepata sesaat utuk t t adala s t s t Coto: Jarak s meter ag ditempu dalam t detik ole beda ag jatu diataka ole rumus s 5t. Carila kecepata mobil diatas sesuda detik dari saat beragkata. Persoala ii adala mecari kecepata sesaat mobil utuk t, dapat diperole dega megitug 5 5 m/dtk. s 5 s Tugas. Jarak s cm ag ditempu ole sebutir kelereg ag meggulig pada waktu t detik diataka dega st 5t t. Hitugla kecepata kelereg saat t.. Sebua bola dilemparka tegak lurus ke atas dega kecepata permulaa m/det. Bola itu bergerak sesuai dega persamaa t 5t. Dalam rumus itu meujukka tiggi bola di atas titik keberagkata diukur dega meter, setela t detik. Carila kecepata bola pada saat t,5 detik