BAB II DASAR TEORI (2.1) Keterangan: i = jumlah derajat kebebasan q i. = koordinat bebas yang digeneralisasi Fq i = gaya yang digeneralisasi

Transkripsi

1 BAB II DASAR TEORI. Metode Elemen Hngga Sstem Rotor Dnamk [7] Pemodelan elemen hngga sstem rotor dnamk dkembangkan berdasarkan konsep energ. Persamaan energ knetk, energ regangan, dan kerja maya yang terdapat pada metode energ dapat dgunakan untuk menurunkan persamaan gerak rotor, poros, bantalan, dan massa tak sembang. Persamaan-persamaan umum dar sstem poros-rotor dapat dturunkan dengan menerapkan langkah-langkah sebaga berkut: Menghtung energ knetk (T), energ regangan (U), dan kerja maya dar gaya eksternal untuk masng-masng komponen sstem. Menentukan metode numerk yang akan dgunakan. Untuk perhtungan yang melbatkan sstem dengan sedkt derajat kebebasan, metode Raylegh-Rtz dapat dgunakan, sedangkan untuk perhtungan yang berkatan dengan aplkas d bdang teknk yang umumnya melbatkan banyak derajat kebebasan, dgunakan metode elemen hngga. Menerapkan persamaan Lagrange sebaga berkut: d T T U + = Fq. dt q q q Keterangan: = jumlah derajat kebebasan q = koordnat bebas yang dgeneralsas Fq = gaya yang dgeneralsas. = keterangan turunan terhadap waktu (.).. Rotor Pemodelan untuk komponen rotor dlakukan dengan menggunakan persamaan energ knetk saja. Persamaan energ knetk rotor (T D ) dperoleh dengan memanfaatkan dua

2 sstem koordnat, yatu sstem koordnat global R o (X,Y,Z) dan koordnat lokal rotor R(x,y,z) sepert yang terlhat pada Gambar.. Gambar. Sstem koordnat poros-rotor [7] Jka persamaan energ knetk rotor devaluas dengan persamaan Lagrange, maka akan ddapat persamaan dalam bentuk matrks sebaga berkut: MD u u... d T 0 M R TR D 0 0 w w = + Ω.... dt δ δ, (.) 0 0 I I Dx 0 θ Dy θ I 0 0 I Dx ψ Dy 0 ψ d mana, M D = massa rotor (kg) I D = momen nersa rotor pada pusat massa (kg.m ) [ ] t Vektor perpndahan nodal pusat geometr rotor dnyatakan dengan δ = u, w,θ, ψ. Varabel u dan w menyatakan vektor perpndahan lnear sedangkan varabel θ dan ψ menyatakan vektor perpndahan angular... Poros Poros dmodelkan sebaga batang dengan penampang melntang berbentuk lngkaran. Karakterstk dar sebuah poros dperoleh dar penjabaran energ knetk dan energ regangan. Pada analss elemen hngga, poros dbag menjad beberapa elemen kecl. Setap 6

3 elemen memlk dua nodal dan setap nodalnya memlk empat derajat kebebasan, yang terdr atas dua perpndahan lner dan dua perpndahan sudut. Oleh karena tu, setap elemen dar komponen poros-rotor akan membentuk matrks orde delapan. Jka persamaan energ knetk (T S ) dan energ regangan (U S ) dar poros devaluas dengan persamaan Lagrange, maka akan dhaslkan persamaan berkut n: d T T dt δ δ ( M M ) δ.. Cδ. R S = +. S +, (.3) d mana: dan M = matrks massa klask M S = matrks massa akbat efek nersa rotas C = matrks efek groskop, U S δ = ( K + K ) δ C F (.4) d mana: K C = matrks kekakuan klask K F = matrks kekakuan akbat efek gaya aksal..3 Bantalan Kerja maya (δw) dar gaya eksternal yang bekerja pada poros dapat dtuls dalam bentuk matrks sebaga berkut:. F u kxx kxz 0 0 u cxx cxz 0 0 u. Fw kzx kzz 0 0w czx czz 0 0w =., (.5) Fθ θ θ. F ψ ψ ψ d mana : k xx,k zz = kekakuan bantalan arah horsontal dan vertkal (N/m) c xx,c zz = redaman bantalan arah horsontal dan vertkal (N/m) xx = arah horsontal zz = arah vertkal 7

4 ..4 Massa Tak Sembang Massa tak sembang ddefnskan sebaga sebuah massa (m u ) yang terletak sejauh d dar pusat geometr poros. Persamaan energ knetk dar massa tak sembang adalah:.. Tu = muωducos Ωt wsn Ωt (.6) Varabel Ω menyatakan kecepatan sudut dar rotor. Jka persamaan (.6) devaluas dengan persamaan Lagrange, maka akan dperoleh persamaan: T dt δ Tu δ d u = m udω o sn Ωt cosωt (.7) Persamaan d atas berkatan dengan massa tak sembang yang terletak pada sumbu z pada saat t = 0. Pada saat mempelajar rotor yang dpaka d ndustr, pengaruh dar beberapa massa tak sembang yang bekerja secara smultan harus dperhtungkan. Ketka t 0, massa tak sembang terletak pada poss yang membentuk sudut α terhadap sumbu z sehngga gaya yang bekerja menjad: Fu F w = m udω ( Ωt + α) Ωt + α) sn ( cos (.8) atau dapat dtuls dalam bentuk F F u w = F sn Ωt + F3cosΩt (.9) d mana, cosα F = m udω snα (.0) snα F3 = m udω cosα (.) 8

5 . Metode Pseudomodal [7] Penerapan metode pseudomodal bertujuan untuk menyederhanakan persamaan dan proses perhtungan. Penyederhanaan tu dlakukan pada beberapa varabel yang terdapat pada persamaan, yakn kekakuan dan redaman. Pada metode n dperkenalkan varabel redaman modal, sehngga dmungknkan pemodelan suatu sstem dengan redaman yang kecl, mekansme redaman tdak dketahu dengan bak, serta modus getar yang tdak terkopel. Persamaan berbass modal yang dpaka pada metode n adalah:.. * M δ K δ 0 + = (.) d mana M adalah matrks massa, K * adalah matrks kekakuan yang dperoleh dar matrks K dengan mereduks komponen k xz dan k zx. Persamaan d atas tdak dserta dengan varabel redaman. Hal n dkarenakan untuk menerapkan metode pseudomodal, maka terlebh dahulu harus dketahu modus getar sstem. Dalam hal n n modus terendah dapat dperoleh dengan teknk teras smultan. Beberapa bentuk modus getar (mode shapes) tersebut akan membentuk matrks: Φ = [Φ, Φ,..., Φ n ]. (.3) Matrks tersebut dgunakan untuk mengubah persamaan perpndahan menjad: δ = Φp, (.4) setelah mengalkan persamaan umum sstem dengan Φ t, dperoleh:... t t t t () Φ MΦ p + Φ CΩΦ p + Φ KΦp = Φ F t (.5) Redaman modal dmasukkan ke dalam persamaan (.5) dengan menganalogkannya sebaga sebuah sstem satu derajat kebebasan. Konsep n dterapkan dengan memasukkan varabel baru c d poss dagonal dar matrks Φ t CΦ. Varabel c ddefnskan sebaga berkut: c=α Φ KΦ.Φ MΦ, (.6) t t 9

6 d mana α merupakan faktor redaman modal yang besarnya dtentukan berdasarkan pengalaman dar perancang mesn... Frekuens Prbad Frekuens prbad dar suatu sstem dapat dperoleh dengan cara mennjau persamaan getaran sstem tersebut sebaga sstem getaran bebas. Konds n memenuh persamaan sebaga berkut:... t t t Φ MΦ p + Φ CΩΦ p + Φ KΦp = 0 (.7) Jka dmsalkan p = Pe rt, (.8) maka akan dperoleh persamaan: [r m + rc + k]p = 0, (.9) d mana m = Φ t MΦ = dag{φ t MΦ} k = Φ t KΦ = dag{φ t K * Φ} + Φ t K ** Φ c = Φ t CΦ + dag{c }. Persamaan (.9) dapat dnyatakan dalam bentuk matrks sebaga berkut: 0 I rp rp = (.0) k m k c P r P Penyelesaan matrks d atas akan menghaslkan nla egen dan vektor egen. Berdasarkan nla egen dan vektor egen tersebut akan dperoleh frekuens prbad dan modus getar... Respon Akbat Massa Tak Sembang Respon akbat massa tak sembang dapat dperoleh dengan menyelesakan persamaan berkut n:... m p + c p + kp = f snωt + f cosωt (.) 3 0

7 dmana: f = Φ t F (.) f 3 = Φ t F 3 (.3) Solus persamaan (.) adalah: p = p snωt + p 3 cosωt. (.4) Dengan memasukkan persamaan (.4) ke dalam persamaan (.), dperoleh persamaan dalam bentuk matrks sebaga berkut: k mω Ωc Ωc k mω p p 3 f = f 3 (.5) Dengan memasukkan harga kecepatan putar rotor Ω tertentu, akan dperoleh nla p dan p 3 yang kemudan dgunakan untuk menghtung harga vektor perpndahan. Persamaan tersebut adalah sebaga berkut: δ = Φ[p ΩsnΩt + p 3 Ωcos(Ωt)] (.6).3 Metoda Drect [7] Pada metoda n, jumlah persamaan yang ada pada sstem tdak dreduks. Jumlah N derajat kebebasan tetap dpertahankan. Metoda n dgunakan untuk menghtung frekuens prbad dan untuk mendapatkan dagram Campbell. Solus persamaan umum getaran tanpa ada gaya luar yang bekerja adalah rt δ = Δe, (.7) yang bla dsubttuskan ke dalam persamaan umum getaran Mδ oo o + Cδ + Kδ = 0, (.8) d mana C = C Ω, sehngga menghaslkan ( M+ rc + K ) Δ = 0 r. (.9)

8 Dengan menggunakan denttas MΔ = ΔM dan dkombnaskan dengan persamaan (.9) akan ddapatkan 0 M M rδ M = C r r 0 0 rδ. (.30) K r Persamaan tersebut d atas dapat dtuls dalam bentuk AX = λbx, (.3) d mana, 0 A = M M B = 0 M C 0 K (.3) (.33) λ = r (.34) rδ X = r (.35) Solus nla egen/vektor egen yang ddefnskan pada persamaan (.30) dperoleh dengan teknk terarf smultan [7], yang sangat efsen untuk memperoleh nla egen terendah. Nla egen/vektor egen yang dhaslkan adalah kombnas blangan komplek. Karena matrks A dan B adalah matrks dengan blangan rl, nla egen haruslah pasangan konjugas komplek. Sebaga contoh msalkan dua nla egen terendah α ω = jω, (.36) r ± α dan vektor egen yang bersesuaan adalah Δ. (.37) = R ± ji Pengertan bentuk modus getar komplek tdak jelas untuk sstem tak teredam, sehngga perlu dgunakan solus untuk gerak bebas, yatu

9 ( ) αω + ( ) αω δ = R + ji + j t R ji j t exp ω exp ω, (.38) α α yang dapat dtuls dalam bentuk δ α ω [( R + ji )( cosω t + j snω t) + ( R ji )( cosω t j snω t ] = exp t ). (.39) α Kemudan persamaan (.39) dsederhanakan menjad αω δ = exp t[ R cosωt I snω]. (.40) α Persamaan (.40) tdak memlk komponen blangan komplek. Untuk sstem yang stabl, persamaan eksponensal meluruh menuju ttk nol dalam fungs waktu, dan modus dekspreskan dalam bentuk exp δ α ω α t = [ R cosωt I snω ]. (.4) Kemudan, perpndahan untuk sebuah nodal dekspreskan dalam bentuk u = u cos ω t + u snω t (.4) r w = w cos ω t + w snω t. (.43) r Jka persamaan (.4) dan persamaan (.43) dplot dalam bentuk pola jejak, maka akan ddapatkan grafk berbentuk elps. Bla dputar pada kecepatan krts, maka sstem poros rotor akan bergetar serupa dengan bentuk modus getar yang muncul pada getaran bebas..4 Dagram Campbell Dagram Campbell merupakan bentuk metode penyajan data frekuens prbad sstem poros-rotor sebaga fungs dar kecepatan putar. Bentuk dagram Campbell dsajkan pada Gambar.. Nla frekuens prbad sstem poros-rotor pada beberapa kecepatan putar 3

10 dplot pada sebuah dagram. Frekuens prbad pada modus getar yang sama dhubungkan untuk membentuk gars yang menyajkan perubahan frekuens prbad pada beberapa kecepatan putar tertentu, sehngga pada dagram n dapat dtentukan nla frekuens prbad pada kecepatan putar tertentu. Kecepatan krts dtunjukkan oleh nla frekuens prbad yang bersesuaan dengan kecepatan putar poros-rotor. Nla kecepatan krts pada dagram Campbell ddapatkan pada ttk perpotongan antara gars N/60 dan gars frekuens prbad. 0 Frekuens (Hz) ,4 modus, 5000 Kecepatan Putar (rpm) Gambar. Dagram Campbell [7] Dar Gambar. dapat dlhat juga, bahwa ada sepuluh buah modus getar yang damat. Untuk mengetahu frekuens prbad pada putaran tertentu dapat dlakukan dengan cara menark gars lurus ke atas pada sumbu kecepatan putar, kemudan menentukan ttk perpotongan antara gars yang dtark dan gars frekuens prbad pada modus tertentu. Frekuens prbad adalah nla koordnat ttk tersebut pada sumbu vertkal, yang pada Gambar. dnotaskan dengan F sampa dengan F 0. 4