MATERI 15 LIMIT FUNGSI (HARGA BATAS)

Transkripsi

1 RANGKUMAN MATERI KELAS XII SMK Tahun Ajaran 2012 / 2013

2 MATERI 15 LIMIT FUNGSI (HARGA BATAS) Limit merupakan bagian dari Kalkulus (hitung diferensial dan hitung integral), karena dasar-dasar kalkulus menggunakan konsep limit yang dirumuskan oleh Augustin Louis Canchy ( ) ahli matematika berkebangsaan Perancis. Contoh kalimat limit dalam kehidupan sehari-hari adalah Nilai UN matematika Adi mendekati sempurna. Kata kunci limit : mendekati, hampir saja, dan sedikit lagi pada kalimat di atas dianalogikan sebagai pengertian dari limit. Misal : yf()2+1 dengan R, jika mendekati 2, notasi matematika : lim 2 f() lim Peta Penyelesaian Limit limit substitusikan jika hasilnya bilangan tak tentu, yaitu : 0 0 ~ ~ ~ ~ diferensial (turunan) limit fungsi aljabar 0 0 < < ~ ~ uraian diferensial 3P (Pembilang, Penyebut, Pangkat Tinggi) perkalian sekawan Limit Fungsi Aljabar 1. Jika variabel mendekati bilangan real Cara penyelesaian : Disubtitusi terlebih dahulu, asal hasilnya bukan bilangan tak tentu. Jika hasilnya bilangan tak tentu, limit belum selesai. Maka cara penyelesaiannya adalah : difaktorkan, disederhanakan, disubtitusi, dan limit selesai. Contoh : 1. Lim y 2 y 3 2y 2 + 3y 4 (-2) 3-2(-2) 2 +3(-2) Lim 3 Rangkuman Kelas XII 148

3 Lim 3 Dikalikan sekawanlimit tetap nempel tak tentu Lim 3 Subtitusi limit dilepas Lim 3 ( ) ( ) Lim 3 Lim 3 ( ) ( ) ( ) ( ) Lim 3 ( ) ( ) Lim 3 ( ) ( ) - ( ) ( ) Perkalian sekawan 3. Lim 0 tak tentu Lim 0 Lim 0 Lim 0-4. Lim 2 tak tentu Lim 2 Lim 2 Lim 2 Ingat sifat : 1. a 2 -b 2 (a-b)(a+b) 2. a 3 -b 3 (a-b)(a 2 +ab+b 2 ) Lim Lim 2. /. /. / ~ - ~ tak tentu Lim 2. / Lim 2. / Lim 2. / Lim 2. / Rangkuman Kelas XII 149

4 Lim 2. ) / Lim 2. / Lim 2. / Lim 2. / - 6. Lim 3 tak tentu Menggunakan teorema faktor : 1) (-3)(-2)(-3) faktor 18 1,2,3,6,9, faktor 6 1,2,3, sisa sisa Pilih salah satu faktor yang sebisa mungkin menyisakan 0 2) (-3)(-1)(-3) Lim 3 Lim 3 Lim 3 7. Lim 2 Menggunakan teorema faktor (-2)( ) faktor 2 1, Lim Lim 2 Lim 2 0 Rangkuman Kelas XII 150

5 8. Lim 0 Lim 0 Lim 0 Memakai pascal Angka pertama pangkat semakin turun dan angka kedua pangkat semakiin naik. Lim 0 Lim 0 Lim 0 h 3 +8h 2 +24h Jika variabel mendekati tak terhingga (~) Cara menyelesaikannya adalah menggunakan 3P (Pembilang, Penyebut, Pangkat tinggi) dan tidak perlu subtitusi terlebih dahulu. Lim ~ 0 Dengan bentuk umum : Lim ~, Jika nr Lim f() ~ Contoh : n>r Lim f() ~ ~ n<r Lim f() ~ 0 1. Lim ~ Lim ~ Lim ~ ~ ~ ~ 2. Lim ~ Lim ~ ~ Lim ~ Lim ~ Lim ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3. Lim ~ (+2)- 0 Lim ~ (+2)- 0 Lim ~ Rangkuman Kelas XII 151

6 Lim ~ Lim ~ Lim ~ Lim ~ Limit Fungsi Trigonometri 5 ~ ~ ~ ~ 1. Jika mendekati tertentu Cara penyelesaian menggunakan subtitusi, jika hasilnya bilangan tak tentu maka ubah menjadi unsur identitas trigonometri atau rumus trigonometri lainnya yang memenuhi untuk dilakukan pencoretan. 1. Lim. / tak tentu Lim. / Lim Lim Lim sin cos -1 Lim -cos - cos - 2. Lim 0 o Lim 0 o Lim 0 o 3. Lim 30 o. / Lim 0 o Lim 0 o 2sin 2 sin 0 o Rangkuman Kelas XII 152

7 4. Lim. / Lim. / Lim Lim Lim 5. Lim 45 o. / Lim 45 o. / Lim 45 o Lim 45 o Lim 45 o ~ 6. Lim. / Lim. / Lim Lim Lim 2 2. Jika mendekati 0 Rumus istimewa limit mendekati 0 : Rangkuman Kelas XII 153

8 1. Lim Lim Lim Lim Lim Lim Lim Lim Lim 0 Lim 0 9. Lim a 10. Lim a 11. Lim a 12. Lim a Lim 0 Lim 0 2 Lim Lim a Lim a Lim a 2 Lim a 2 Lim a 2 cos a 3. Lim 0 Lim 0 Lim Lim 0 Lim 0 Lim 0 ) Cos sin Lim 0 2 Lim Lim 5 Lim 5 Lim 5 Lim 5 Lim 5 Lim 5

9 1 1 Teorema Limit Teorema limit biasanya hanya digunakan jika diperintahkan dalam soal 1. Jika f() k, maka Lim a f()k (k konstan & a bilangan real) 2. Jika f(), maka Lim a a (a bilangan real) 3. a. Lim a [f()+g()] Lim a f() + Lim a g() b. Lim a [f()-g()] Lim a f() - Lim a g() 4. Jika k konstan maka, Lim a kf() k Lim a f() 5. a. Lim a [f() g()] Lim a f() Lim a g() b. Lim a, Lim a g() 0 6. a. Lim a [f()] n [Lim a f()] n b. Lim a, Lim a f() 0 & n bilangan genap contoh soal : 1. Lim 2 ( ) 1 2. Lim 0 Lim 0 Lim 0-2 Lim 0-2 (Lim 0 ) 2-2 (1) Lim 2 [( 2-1)(2-4)] Lim 2 ( 2-1) Lim 2 (2-4) {Lim 2 2 Lim 2 1} {Lim 2 2 Lim 2 4} {(Lim 2 ) 2 Lim 2 1} {Lim Lim 2 } {(2) 2 1}{2-4 2} Lim 2 ( ) ( ) 5. Diketahui Lim 2 f()3 dan Lim 2 g()243 Rangkuman Kelas XII 155

10 Hitunglah Lim 2 [f 2 () ] Lim 2 [f 2 () ] Lim 2 [f()] 2 Lim 2 [Lim 2 f()] 2 (3) Mengenal Bilangan e Bilangan e merupakan limit dari suatu barisan yang suku-sukunya mendekati tak terhingga. Dengan peubah, 1. Lim ~ (1+ ) e 2. Lim ~ (1- ) - e 3. Lim 0 e 4. Lim 0 ( ) e 1. Lim ~ (1+ ) Lim ~ { } 2 e 2 2. Lim ~ Lim ~ * + Lim ~ * + Lim ~ * ( ) ~ e -1 + Sifat Lim ~ Jika pangkat pembilang dan penyebut sama, jadi a -1 p 3. Lim 0 Lim e 2 4. Lim 0 ( ) Lim 0 {( ) } Rangkuman Kelas XII 156

11 MATERI 16 TURUNAN (DIFERENSIAL) Laju Perubahan Laju Perubahan Terhadap Waktu Kecepatan atau v Jika kecepatan benda v40m/s, maka S f(t) 40t m v 40 m/s v tidak tergantung dari t dan kecepatan tetap jika s f(t) 50t 2 m, maka v 50t m/s v tergantung dari t (fungsi dari t) dan kecepatan tidak tetap a. Kecepatan Rata-rata Kecepatan Rata-rata atau Suatu benda bergerak dengan persamaan sf(t)50t 2 (s dalam m, t dalam detik). Hitunglah kecepatan rata-rata pada t 1 1 detik sampai t 2 3 detik! Jawab : S f(t) 50t 2 m s s 2 -s 1 f(3)-f(1) 50(3) 2 50(1) m/s b. Kecepatan Sesaat Jika h 0 maka kecepatan rata-rata berubah menjadi kecepatan sesaat / laju perubahan. lim h 0 Suatu benda bergerak dengan persamaan s(t 2 +5t)m, tentukan kecepatan sesaat pada t2 detik! Jawab : S f(t) t 2 + 5t lim h 0 2 lim h 0 lim h 0, - masukan ke fungsi di atas lim h 0 lim h 0 9+h m/s Laju Perubahan Nilai Fungsi f: f() f () lim h 0 contoh : f() f () lim h 0 Rangkuman Kelas XII 157

12 lim h 0 lim h 0 lim h h+h 2 +2+h Laju Perubahan Nilai Fungsi f: f() pada a y Laju perubahan nilai fungsi f(a+h) f: f() untuk a f(a) f (a) lim h 0 f(a h) f() h a a+h turunan (derifative) f pada a Contoh soal: 1. f() g() h() f() -2g() h() ( ) h () lim h 0 lim h 0 ( ) lim h 0 lim h 0 2+h Suatu persegi panjang memiliki lebar dan panjang y cm, dengan y2+1. Luasnya adalah L cm 2. Tentukanlah laju perubahan luas terhadap untuk lebar 5 cm! Jawab : L p l lim h 0 (2+1) f() lim h 0 lim h h f () lim h f (5) lim 21cm 2 h 0 lim h 0, - 3. f() f () lim t 0 lim t 0 lim t 0 lim t 0 lim t 0 lim t 0 lim t 0 lim t 0 Rangkuman Kelas XII 158

13 Fungsi Turunan Notasi lain dari turunan : f() f + f(+ ) Jika yf () f () notasi leibnizt ditemukan oleh Gootfried Wilhelm (Jerman) Turunan Beberapa Fungsi Khusus a. f() c f () 0, c konstan b. f() a f () a c. f() a n f () an n-1 d. f() cu f () cu () contoh soal: f() 2 9 f () Rumus Turunan Jumlah, Kali, dan Bagi a. f() u() ± v() f () u () ± v () b. f() u() v() f () u() v () + v() u () c. f() contoh soal : 1. f() + f () u ()+v () f() -4-2 f () f (-2) - + f (), - f () u() v () + v() u () (4-3)(4)+( )(4) f() Tidak perlu dijabarkan u() u () 8+7 v() 8+6 v () 8 f (), - 3. f() (4-3)(2 2 +1) u() 4-3 u () 4 v() v () 4 Rumus Turunan Fungsi Eksponen a. y a y a lna y a u y a u lna u b. y e y e e log ln y e u y e u u ln log 1 contoh soal : 1. I(t) 2 3t-3 a 2 dan u 3t-3 u 3 I (t) a u lna u 2 3t-3 ln2 3 Rangkuman Kelas XII 159

14 2 3t-3 ln2 3 ingat sifat ln p q ln p q 2 3t-3 ln8 2. V(t) 2e 3-2t e 2e dan u3-2t u -2 V (t) e u u 2e 3-2t (-2) -4e 3-2t Rumus Turunan Fungsi Logaritma a. y a log y y a log u y u contoh soal : 1. y 3 log 2 3 log a 3 dan u u y u b. y ln y 2. y ln 5 2 y ln u y u ln u u y u f() log e f () Fungsi Majemuk (Fungsi Komposisi / Dalil Rantai) a. y f(g()) f o g() y b. y f(g(h())) f o g o h() y contoh soal : 1. f() ( ) 3 cara dalil rantai : misal g g f g 3 f 3g 2 3g 2 (12 3-4) 3(12 3-4) 2 (12 3-4) ( )(12 3-4) 2 Rumus Turunan Fungsi Trigonometri a. y sin y cos b. y sin (a+b) y a cos(a+b) c. y cos y -sin cara cepat : f() ( ) 3 turunan f () 3( ) 2 (12 3-4) ( )(12 3-4) 2 Rangkuman Kelas XII 160

15 d. y cos (a+b) y -a sin(a+b) e. y tan y sec 2 f. y cotg y -cosec 2 contoh soal : 1. y sin2 + cos 3 sin5 y 2cos sin 5cos 2. y 2 sin u 2 u 2 v sin v cos y 2 cos + sin 2 2 cos + 2sin 4. y 2 sin(5-4)+4 cos(5-π) y 2 5 cos(5-4) sin(5-π) 11cos(5-4) - 20sin(5-π) 3. y u cos u -sin v tan v sec 2 y 5. y 3 cos 4 (2-5) 3 (cos(2-5)) 4 y 3 4 cos 3 (2-5) -2sin(2-5) -24cos 3 (2-5)sin(2-5) 6. f() 5 cos (cos2) 3 f () 5 3 cos 2 2-2sin 2-30cos 2 2sin 2 Tafsiran Geometri Dari Turunan l y f( ) f Lim 0 adalah gradien l garis singgung yf() dititik P. f(+ ) P Gradien garis singgung yf() dititik A(a,f(a)) adalah f (a) f() f( ) f m Lim 0 f () 0 Tentukan gradien garis singgung pada kurva berikut: 1. y dititik (1,4) m y 2-6 l y tumpul -4 m<0 2. y dititik (0,7) l m y 6 2 y Lancip 6 m>0 3. f() a dititik (2,1) dengan gradien garis singgung 6, tentukan nilai a! f() a f () 2a+2 6 2a 2+2 f ()6 dan 2 4a 4 a 1 Rangkuman Kelas XII 161

16 - Persamaan Garis Singgung gradien garis singgung kurva yf() dititik P(a,b) yf() adalah m V mf (a) gradien dari a+by+c0 adalah persamaan garis singgung dgn gradienm melalui P(a,b) adalah y-bm(-a) garis singgung yang sejajar (//) l m l m s garis singgung yang tegak lurus ( ) l m s contoh soal : Tentukan persamaan garis singgung (PGS) pada kurva dengan : 1. y dititik (1,-2) 2. y yang berordinat 3 3. y 3-3 memiliki garis singgung kurva garis +3y y mencari gradien : y 6 5 y m 1 PGS dititik (1,-2) dan m1 adalah y b m(-a) y (-2)1(-1) y y 3 -y y mencari gradien : y 4-3 m 4-3 mencari absis : y (2+1)(-2) V menentukan gradien : m m Menentukan ordinat : y ( ) 2-3( )+1 3 titik singgung (,3) y (2) 2-3(2)+1 3 titik singgung (2,3) PGS I dititik singgung (,3) & m 1-5 y-b m(-a) y-3-5(-( )) y y y y-1 0 PGS II dititik singgung (2,3) & m 2 5 y-b m(-a) y-3 5(-2) y y y-7 0 Rangkuman Kelas XII 162

17 3. +3y+20 menentukan gradien : m l m s menentukan absis : y 3-3 y m ± ± 2 Menentukan ordinat : y 3-3 y titik singgung (2,2) y 2 (-2) titik singgung (-2,-2) PGS I titik singgung (2,2) & m9 y-b m(-a) y-2 9(-2) y y y-160 PGS I titik singgung (-2,-2) & m9 y-b m(-a) y-(-2) 9(-(-2)) y y y Fungsi Naik dan Fungsi Turun y Gambar I monoton turun, fungsi yf() dgn a b maka dy < 0 atau y <0 d y a b Gambar I monoton naik, fungsi yf() dgn a b maka dy > 0 atau y >0 d a b Tentukan interval dari fungsi berikut : y monoton turun y y < < 0 Harga 0 ruas kiri (-3+3)(-1) V Rangkuman Kelas XII 163

18 garis bilangan uji daerah hasil : sebelah kiri 1 y (-3+3)(-1) (+)(-) - sebelah kanan 1 2 (-)(+) - Y f() monoton turun pada <1 V >1 y monoton naik u 3 2 u 6 v 5- v -1 y > 0 Harga 0 ruas kiri V 10-0 V y >0 garis bilangan uji daerah hasil : y Y f() monoton naik pada 0<<5 V 5<<10 Jika <a maka Jika >a maka jika a maka <0 monoton turun >0 monoton naik 0 titik stationer (puncak) Metode menguji titik ekstrim : 1. Menggunakan tabel : a- a a a- a a a- a kurang sedikit a+ a lebih sedikit Titik balik maimum 2. menggunakan turunan kedua y a < 0 ekstrim maimum y a > 0 ekstrim minimum contoh soal : Titik balik minimum tentukan titik stationer dan jenis dari fungsi dibawah ini! Rangkuman Kelas XII 164

19 y y 6-5 y 6 syarat stationer y untuk y 6 y > 0 ekstrim minimum y y y syarat stationer y X(2-- 2 ) 0 X(--2)(-1) 0 X 1 0 V -20 V -10 X Untuk 1 0 y y >2 ekstrim minimum y min. untuk 1 0 y (0) 2 - (0) 3 - (0) 4 0 P(0,0) Untuk y ekstrim maimum y min. untuk y Jadi, titik balik minimum P(, ) Uji daerah tabel y y ma. Untuk 2-2 y (-2) 2 - (-2) 3 - (-2) Q(-2, ) Untuk 3 1 y y <0 ekstrim maimum y ma. Untuk 3 1 y R(1, ) Jadi, titik stationernya adalah - titik balik minimum P(0,0) - titik balik maimum Q(-2, ) - titik balik maimum R(1, ) Aplikasi Turunan Fungsi 1. Suatu plat bebrbentuk persegi atau bujur sangkar dengan panjang sisi 120 cm dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong tiap sudutnya berbentuk persegi yang kongruen. Kemudian melipatnya sedemikian rupa agar kotak. Tentukan berapa ukuran kotak yang mungkin terjadi agar volumenya maksimum? Rangkuman Kelas XII 165

20 120 p l t s 120 cm v v syarat stationer v : (-20)(-60) V 2 60 v p l t (120-2)(120-2)() ( )() ( )() untuk 1 20 v v v < 0 ekstrim maksimum t 20 p l Tentukan luas daerah yg diarsir pada gambar agar maksimum jika koordinat titik M(a,b) dan nilai a+2b! L yg diarsir L I - L II - L III 5 0 L II I ab b M(a,b) III 4 4b - b 2 L 4 - b ab ab ab ab ( 4 5) ( a (5-b)) ( (4-a) 5) 10 ( a - ab) (2b - ab) 10 - a + ab 2b + ab 10 - a + ab 2b a 2b a a 10 2b syarat stationer L b 0 b 4 b menentukan nilai a a 2 Rangkuman Kelas XII 166

21 L ab 2 5 cm 2 nilai a+2b Menggambar Grafik Turunan langkah-langkah : 1. Tentukan titik stationer fungsi dan monoton fungsi 2. Jika memungkinkan, tentukan titik potong dengan sumbu dan sumbu y 3. tentukan titik-titik bantu yg diwujudkan dalam bentuk tabel nilai fungsi dengan melengkapi tabel dengan titik-titik disebelah kira dan kanan stationer Gambarlah grafik fungsi dari f() ! f() f () f () 2 2 syarat stationer f () (-3)(+1) V 2-1 Untuk 1 3 f (3) f > 0 titik balik minimum Y min. untuk 1 3 f() (3) titik balik min. (3,-5) Untuk 1-1 f (-1) f < 0 titik balik maksimum Y ma. untuk 2-1 f() (-1) 3 (-1) 2 (-1) titik balik maks. (-1, 5 ) Rangkuman Kelas XII 167

22 Tabel titik bantu X gambar grafik f() Rangkuman Kelas XII 168

23 MATERI 17 INTEGRAL Integral adalah kebalikan dari derivatif fungsi (turunan fungsi) sebagai hitung integral adalah proses menentukan fungsi asal jika diketahui fungsi turunannya. ket. f() F() C d F() + C fungsi awal (fungsi primitif) fungsi integrand (fungsi ug dicari integralnya) konstanta Integral Tak Tentu 1. Fungsi Aljabar d +C sifat-sifat :, - d d + d, - d d - d d C d d ln + c d e a + C - d d 5 + C 5 + C 1 + C - d d d 5 + C 10 + C - ( ) d 0 d C C - d e C 2. Fungsi Trigonometri f() Integralnya d -cos + c d Sin + C d Tan + C d -cotg + C sec d Sec + C Rangkuman Kelas XII 169

24 cosec d -cosec + C d sin (a+b) + C d - cos (a+b) + C d tan (a+b) + C d - cotg (a+b) + C ingat sifat : - d 6 sin + C 2 cosa cosb cos(a+b) + cos(a-b) - 2 cos(6+5) + C 2 sina sinb cos(a+b) cos(a-b) - cos(6+5) + C 2 sina cosb sin(a+b) + sin(a-b) 2 cosa sinb sin(a+b) sin(a-b) - d ( ) d d {(- cos 4)-(- cos 2)} + C (- cos 4+ cos 2) + C - cos 4 + cos 2 + C - d d d, ( )- + sin d, - + sin d [ (- cos 3 + cos) cos ] +C - cos 3 + cos - cos + C - cos 3 - cos + C Integral Tentu / Tertentu ket. b batas atas a batas bawah Sifat-sifat : d 0 d - d d [f(b) f(a)] d C d, C konstanta * + d d ± d d ± d d, jika a<b<c - d ] 0 ( 1 3 (1) ) ( ) d d Rangkuman Kelas XII 170

25 d ] 4 ] ( 3 4 ) ( (-2) 4 ) (81-16 ) - d sin 2 ] 0 {sin 2 sin 2 0)} sin Integral Substitusi 1. Fungsi Aljabar cara I d d[f()], misal u f() du U n+1 + C misal u <> d du d du du + C u + C u + C substitusi (6-4) ( ) + C cara II d misal u 2+3 f () 2 d ( d (2+3) 6 + C ) f() n+1 + C (2+3) 6 + C 2. Fungsi Trigonometri untuk menyelesaikan integral berbentuk,, atau Fungsi Integran Substitusi dengan Hasil Substusi X a sin θ a a cos θ X a tan θ a a sec θ X a sec θ a a tan θ Rangkuman Kelas XII 171

26 bentuk d 2 sec 2 θ 2 4 tan 2 θ 2 sec 2 θ disubstitusikan 2 tan θ dθ θ dθ - sin -1 θ + C - + C - + C - + C Integral Parsial (Sebagian) Cara I d ( ) d u du 1 d dv( ) v ( ) + C ( ) + C u v - d ( ) + C u v - ( ) + C - ( ) d Cara II Diturunkan dan Diintegralkan d ( ) d Diturunkan ( ) - ( ) + C ( ) - ( ) + C (-3) ( ) - ( ) ( ) + C Diintegralkan ( ) ( ) 0 ( ) Rangkuman Kelas XII 172

27 ( ) ( ) menjadi d (-3) ( ) 1 ( ) ( ) + C (-3) ( ) - ( ) ( ) + C Menentukan Luas Antara Kurva Di Atas atau Bawah Kurva Pada gambar, daerah yg diarsir terletak antara yf() dan sumbu dengan a b dan yf() di atas sumbu, maka luas daerah yang diarsir adalah y yf() y f() di atas sumbu L atau L a b y a b y f() di bawah sumbu L atau L yf() - Tentukan luas daerah yg diarsir pada grafik berikut! y Batas-batas integral y (-+3)(+2) -2 V 3 Batas-batas L ] ] 0 ( ) Rangkuman Kelas XII 173

28 - Tentukan luas daerah yg dibatasi oleh y2 6, -1, 4, dan sumbu! y y2-6 2 X 0 3 y 6 0 II 3 cara I -1 4 L L I + L II I ( ) ( ) ( 2 6) ] + ( 2 6) ] - {( ) - ((-1) 2 6-1)} + {( ) - ( )} - {(9-18)-(1+6)} + { (16-24)-(9-18)} - (-9-7) satuan luas cara II L I L I satuan luas jarak -1 hingga 3 4 satuan y 2 6 2(-1) satuan L II L II satuan luas jarak 3 hingga 4 1 satuan y 2 6 2(4) 6 2 satuan 8 L L I + L II satuan luas Diantara Dua Kurva y y 2 f() yg jauh dari sumbu pada gambar yg diarsir terletak antara y 2 f() dan y 1 g() dengan a b, maka luas daerahnya L a b Lf Lg ( ) y 1 g() yg dekat dengan sumbu Rangkuman Kelas XII 174

29 Tentukan luas daerah yg diarsir! y Cara I Batas-batas integral y (-+3)(+2) -2 V 3 y 6 2 a+by ab l 6+3y 18 l 2+y 6 y 6-2 titik potong y 2 dengan sumbu y syarat 0 y L ( ) * ( )+ ( ) 2-3 ] 0 ( ) 0-4 Cara II L D Diskriminan b 2 4ac dari persamaan diketahui a-1, b3, c0, dan D b 2 4ac 3 2 4(-1)09 L 4 Menentukan Volume Benda Putar y f() Daerah yg diarsir adalah daerah antara kurva yf() dan sumbu dengan a b, a jika diputar 360 terhadap sumbu b v π atau v π jika diputar 360 terhadap sumbu v π atau v π Tentutukan luas daerah yg diarsir jika diputar 360 terhadap sumbu! Rangkuman Kelas XII 175

30 y 6 l R6 0 t2 r2 2 3 cara I l 6+3y 18 l 2+y 6 y 6 2 Batas-batas 0 s.d 2 v ( ) ( ) π( ) ] 0 π ( ) 0 π ( ) 34 π cara II bangun membentuk kerucut terpancung dgn rumus t (R 2 +r 2 +R r) ket. Rjari-jari O besar dan rjari-jari O kecil mencari R dari 0 v t (R 2 +r 2 +R r) y ( ) 6 π ( ) mencari r dari 2 π y π 2 34 π t jarak dari 0 hingga 2 2 satuan Penyelesaian Persamaan Diferensial bentuk umum : persamaan diferensial orde (turunan tertinggi) 1 derajat (pangkat dari turunan tertinggi) 1 { } persamaan diferensial orde 1 derajat 2 { } 4 +{ } persamaan diferensial orde 2 derajat 4 Langkah-langkah : 1. ubah menjadi hitung integral tak tentu / dy hasilnya...+c, C konstanta 3. hitung nilai C Rangkuman Kelas XII 176

31 - Selesaikanlah persamaan diferensial dengan y20 jika 2! dy ( ) d y d y C jika 2, maka y C C 20 4+C C 16 - Gradien kurva m4. Tentukanlah persamaan kurva yg melalui titik P(2,3)! m 4 dy 4 d y d y C kurva melalui titik P(2,3) C C C -5 jadi, persamaan kurva adalah y C y Integral Rangkap Cara : 1. integral didalam kurung dihitung terlebih dahulu dgn menganggap variable y { ( ) } dy 2. hasilnya diintegralknan kembali terhadap y { ( Selesaikanlah d dy! ) } d d dy 0 1 dy 0. / 1 dy 0 1dy ] Rangkuman Kelas XII 177

32 MATERI 18 STATISTIKA Statistika adalah adalah ilmu tentang cara cara mengumpulkan, menabulasi, menggolong-golongkan, menganalisa dan menarik kesimpulan dari data yang ada atau data yg berupa angka disajikan dalam bentuk tabel atau diagram. Istilah-istilah Dalam Statistika Data ket. / informasi dapat berupa angka / ket. Macam-macam Data : Menurut bentuknya : 1. Data Kuantitatif data yg berbentuk bilangan a. Data Diskrit data dari menghitung b. Data Kontinyu data dari mengukur 2. Data Kualitatif data berbentuk keterangan, seperti alamat, agama, status, jenis kelamin, dll. Menurut asalnya : 1. Data Internal data dari dalam institusi 2. Data Eksternal data dari luar institusi Menurut cara memperolehnya : 1. Data Primer data yg didapat langsung dari obyeknya, kemudian diolah sendiri 2. Data sekunder data yg didapat dari data yg sudah diolah pihak lain, bahkan sudah dipublikasikan Menurut waktunya : 1. Data Cross Section Data yg dikumpulkan pada waktu tertentu dan hanya menggambarkan hanya pada waktu itu. 2. Data Berkala Data yg dikumpulkan dari waktu ke waktu dan dapat memberikan gambaran tentang perkembangan suatu. Metode mengumpulkan data : Menurut obyek yg diteliti : 1. Metode sensus meneliti seluruh obyek penelitian 2. Metode sampling meneliti sebagian obyek penelitian Menurut cara pengumpulan data : 1. wawancara 2. kuesioner 3. pengamatan / observasi 4. korelasi mengambil data dari koran, brosur, dll Penyusunan dan Penyajian Data Penyusunan Data 1. Metode Array data bilangan yg diurutkan dari kecil ke besar, atau sebaliknya contoh soal : Rangkuman Kelas XII 178

33 susun data berikut dengan metode menaik Metode Tabel a. Tabel Distribusi Frekuensi Tunggal contoh : Tahun Bus Pesawat b. Tabel Distribusi Frekuensi Kelompok contoh : Nilai Frekuensi Penyajian Data dalam bentuk : 1. Diagram Gambar contoh : Hasil penjualan susu kotak di toko Mbahmu selama 4 bulan berturut-turut : Bulan Hasil penjualan dalam kotak Agustus 120 September 180 Oktober 150 November 210 Diagram Gambarnya Bulan Agustus Hasil penjualan dalam kotak Keterangn September Oktober 30 kotak November Rangkuman Kelas XII 179

34 Ini Nama Toko Ciyus Hlo Enelan 2. Diagram Garis Pemilik motor dan mobil dari tahun 1999 hingga 2004 Tahun Motor Mobil Diagram Garisnya Diagram Batang a. Bentuk Tunggal Hasil penjualan komputer dari 6 toko komputer Toko Jumlah Komputer Ini 234 Nama 78 Toko 928 Ciyus 356 Hlo 415 Enelan 90 Diagram Batangnya motor mobil Komputer b. Bentuk ganda Jumlah kucing betina dan jantan di penangkaran Kucing Kita tahun Tahun Betina Jantan Jumlah Rangkuman Kelas XII 180

35 Diagram Batangnya Betina Jantan Diagram Lingkaran Hasil perundingan menu makanan hari ini Nama Makanan Jumlah pemilih Besar sudut pusat Sayur Asem Sayur Bayem Sayur Sawi 3 0 Sayur Lodeh 1 0 Sayur kangkung 10 Diagram Lingkaran Menu Hari Ini Sayur Asem Sayur Bayem Sayur Sawi Sayur Lodeh Sayur Kangkung 5. Histogram dan Poligon Frekuensi histogram menggambar data dalam bentuk distribusi frekuensi contoh : Daftar nilai matematika harapan XII TKJ 2 Nilai Tb Frekuensi , , , ,5 14 Jumlah 36 Rangkuman Kelas XII 181

36 Histogramnya Nilai Matematika Harapan Nilai Matematika Harapan 0 60,5 70,5 80,5 90,5 Poligon garis yg menghubungkan titik tengah puncak dari diagram histogram Poligon Frekuensinya Nilai Matematika Harapan 10 5 Nilai Matematika Harapan 0 60,5 70,5 80,5 90,5 Distribusi Frekuensi Kelompok digunakan saat data besar dan rentan datanya cukup lebar. Cara : 1. Disusun dgn metode array 2. Dikelompok-kelompokan dgn aturan Sturges, yaitu K 1+3,3 log n R Db Dk I ket. K : kelas (biasanya dibulatkan ke atas) n : banyak data R : Range / Jangkauan Db : Data terbesar Dk : Data terkecil I : panjang interval kelas (biasanya diambil bilangan ganjil, agar titik tengahnya bulat) Buatlah distribusi frekuensi kelompok data berikut : Rangkuman Kelas XII 182

37 n 50 Dk 31 Db 92 R K 1 + 3,3 log n 1 + 3,3 log ,3 1, ,6067 6, I 8, Tabel distribusi frekuansi kelompok Nilai Tally Frekuensi Titik Tengah III IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII III IIII 4 89 Jumlah 50 ket disebut kelas 2, memiliki: Batas bawah (batas bawah semu) 40 Batas atas (batas atas semu) 48 Titik tengah (Bb+Ba) 44 Tepi bawah (batas bawah nyata) Tb 39,5 Tepi atas (batas atas nyata) Ta 48,5 Frekuensi F 5 tabel diatas dapat diubah menjadi Nilai Batas Nyata Titik tengah Frekuensi ,5 39, ,5 48, ,5 57, ,5 66, ,5 75, ,5 84, ,5 93, Jumlah 50 Frekuensi Relatif, Frekuensi Kumulatif, dan Frekuensi Kumulatif Relatif 1. Frekuensi Relatif f rel dalam % 100% 2. Frekuensi Kumulatif ada 2 macam : a. Frekuensi kumulatif kurang dari atau sama dengan (FK ) Contoh grafik ogive : Ogive lengkungan halus yang merupakan pendekatan dari polygon frekuensi Rangkuman Kelas XII 183

38 nilai nilai ,5 30,5 39,5 48,5 57,5 66,5 75,5 84,5 b. Frekuensi kumulatif kurang dari atau sama dengan (FK ) Contoh grafik ogive : nilai ,5 39,5 48,5 57,5 66,5 75,5 84,5 95,5 nilai 3. Frekuensi Kumulatif Relatif contoh frekuensi relatif, frekuensi kumulatif, dan frekuensi kumulatif relatif : Nilai f f rel (%) FK Fk rel (%) FK Fk rel (%) Jumlah Ukuran Pemusatan (Tendensi Netral) suatu nilai yg menjadi pusat dalam rangkaian data yg dapat mewakili rangkaian data tsb. Mean (Rata-Rata Hitung) jumlah seluruh nilai data dibagi dgn banyaknya data 1. Mean data tunggal Bila dinyatakan dgn 1, 2, 3,..., n maka atau Rangkuman Kelas XII 184

39 Bila menggunakan mean sementara A+ ket. mean A rata rata sementara (diambil sembarang nilai) n banyak data i data Tentukan mean dari data : 7, 8, 3, 9, 4, 5 n 6 dan A 3 I) menggunakan 1, 2, 3,..., n 6 II) menggunakan mean sementara A Mean data berbobot atau A+ Tentukan mean dari : Jawab : A2 6,4 Nilai f f() Mean data kelompok jika dengan bobot i, maka atau A+ atau A + dan u ket. A rata-rata sementara d deviasi (-A) Rangkuman Kelas XII 185

40 Nilai f TT f d fd u fu I) 63,98 II) jika A62 dan d X A A ,98 63,98 III) A + u ,98 63,98 Median nilai yg membagi serangkaian data yg diurutkan menurut besarnya menjadi 2 bagian yg sama 1. Median Data Tunggal jika n adalah ganjil jika n adalah genap me X me X Tentukan median dari data berikut : - 7, 5, 8, 6, 9, 7, 10, 6, 7, 3 (ganjil) diurutkan 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10 Me 6 Me X X X 5 6-7, 8, 6, 9, 7, 10, 2, 5, 4, 6 (genap) diurutkan 2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10 Me 6,5 Me X 6,5 + X + X Rangkuman Kelas XII 186

41 2. Median Data kelompok me Tb + ket. Tb tepi bawah kelas median n banyak data Fk frekuensi kumulatif sebelum kelas median F med frekuensi kelas median I panjang interval kelas Tentukan median dari data berikut yg terletak di median n : Me Tb + 57,5 + 57,5 + 57,5 + 63,85 Nilai Tb f fk , Modus nilai data yg sering muncul atau frekuensinya paling banyak kelas median 1. Modus Data Tunggal Tentukan modus dari data: - 7, 5, 8, 6, 9, 7, 10 Mo 7-7, 5, 6, 8, 3, 5, 7, 9, 10 Mo 5, 7-5, 7, 6, 9, 8, 1 Mo tidak ada, sebab semua data frekuensinya sama mencari modus pada tabel Nilai Frekuensi Mo7, karena frekuensinya 4 2. Modus Data Kelompok Mo Tb+ Rangkuman Kelas XII 187

42 Ket. Tb tepi bawah kelas modus S 1 selisih frekuensi kelas modus dgn kelas sebelumnya S 2 selisih frekuensi kelas modus dgn kelas sesudahnya I panjang interval kelas Mo Tb+ 57,5 + 57, ,5 +5,5 63 Ukuran Penyebaran Data Nilai Tb Frekuensi , kelas modus Kuartil Ukuran yg membagi serangkaian data yg telah tersusun menjadi 4 bagian sama 1. Kuartil Data Tunggal Letak kuartil : K o K 1 K 2 K 3 K 4 Ki dengan i 1, 2, 3 Jangkauan antar kuartil hamparan : H k 3 k 1 Simpangan kuartil jangkauan semi inter kuartil : kd (k 3 k 1 ) ket. k 1 kuartil bawah k 2 kuartil tengah (median) k 3 kuartil atas n banyaknya data cara : - Data disusun dgn urutan naik - tentukan letak dan kemudian nilai kuartil tsb Tentukan K 1, K 2, dan K 3 dari data 75, 65, 60, 43, 56, 67, 80, 79, 65, 89! Urutan naik 45, 56, 60, 65, 65,67, 75, 79, 80, 89 Rangkuman Kelas XII 188

43 n 10 letak K 1 K 1 2,75 gunakan interpolasi K 1 data 2 + 0,75(data 3 data 2 ) ,75(60-56) atau K 1 data 3-0,25(data 3 data 2 ) 60-0,25(60-56) letak K 2 K 2 5,5 gunakan interpolasi K 2 data 5 + 0,5(data 6 data 5 ) ,5(67-65) atau K 2 me 66 letak K 2 K 3 8,25 gunakan interpolasi K 3 data 8 + 0,25(data 9 data 8 ) ,25(80-79) ,25 79,25 Jadi, K 1 59, K 2 66, dan K 3 79,25 2. Kuartil Data Berbobot Tentukan K 1, K 2, K 3, H, dan Kd dari data Nilai Frekuensi n letak K 2 K 2 me 23 Data 23 6 stengah bag. I terdiri 22 data K Kuartil Data Kelompok Letak K u n dengan u1, 2, 3 ket. Ku Tbu fk fku I Ku Tbu + Kuartil ke u tepi bawah Ku frekuensi kumulatif sebelum Ku frekuensi kelas Ku interval K 3 Rangkuman Kelas XII H K 3 K Kd

44 Tentukan K 1, K 2, K 3, H, dan Kd dari data Nilai Tb f fk , , , jumlah 50 kelas K 1 kelas K 2 kelas K 3 letak K 1 n 12,5 (pada fk 13) letak K 2 n 25 (pada fk 30) letak K 3 n 37,5 (pada fk 40) K 1 Tbu + 48,5 + 48,5 + 8,25 56,75 K 2 57,5 + 57,5 + 6,4 67,9 K 3 66,5 + 66,5 + 6,75 73,25 H K 3 K 1 73,25 56,75 16,50 Kd H.16,5 8,25 Desil Ukuran yg membagi serangkaian data yg telah tersusun menjadi 10 bagian sama 1. Desil Data Tunggal Letak Du (n+1) dengan u1, 2, 3,..., 9 Tentukan D 3 dan D 6 dari data 75, 65, 60, 43, 56, 67, 89, 90, 90, 91, 92, 80, 79, 65, 89! Urutan naik 45, 56, 60, 65, 65, 67, 75, 79, 80, 89, 89, 90, 90, 91, 92 n15 letak D 3 (n+1) (15+1)4,8 nilai D ,8( 5 4 ) ,8(65-65) 65 letak D 6 (n+1) (15+1)9,6 nilai D ,6( 10 9 ) ,6(89-80) ,4 85,4 2. Desil Data Kelompok Letak Du n dengan u1, 2, 3,..., 9 Du Tbu + Rangkuman Kelas XII 190

45 ket. Du Tbu fk fdu i desil ke u Tepi bawah desil ke u f kumulatif sebelum kelas Du f kelas u interval Tentuksn D 3 dan D 7 dari data n 50 Nilai Tb f fk , , , jumlah 50 letak D 3 n 15 (pada fk 13) letak D 7 n 35 (pada fk 30) kelas D 3 kelas D 7 D 3 Tbu + 57,5 + 57, ,5 + 1,06 58,557 D 7 66,5 + 66,5 + 66,5 + 4,5 71 Persentil Ukuran yg membagi serangkaian data yg telah tersusun menjadi 100 bagian sama 1. Persentil Data Tunggal letak Pu (n+1) dengan u1, 2, 3,..., 99 cara : sama dgn kuartil dan desil 2. Persentil Data Kelompok letak Pu n dengan u1, 2, 3,..., 99 Pu Tbu + ket. Pu persentil ke u Tbu Tepi bawah Pu fk f kumulatif sebelum kelas Pu fpu f kelas Pu i Interval Tentukan P 10 dan P 90 dari data Rangkuman Kelas XII 191

46 n 50 Nilai Tb f fk , , jumlah 50 letak P 10 n 5 (pada fk 5) letak P 90 n 45 (pada fk 30) kelas P 10 kelas P 90 P 10 Tbu + 39,5 + 39, ,5 + 5,4 44,9 P 90 75,5 + 75, ,5 + 6,43 81,93 Simpangan atau Dispersi 1. Jangkauan / Range Selisih nilai terbesar dan terkecil a. Jangkauan Data Tunggal R Db Dk ket. R jangkauan / range Db Data terbesar Dk Data terkecil Tentukan jangkauan dari data 7, 5, 8, 6, 9, 7 Db 9 dan Dk 5, jadi R Db Dk b. Jangkauan Data Kelompok ket. Ba ma Bb min R Ba ma Bb min bataas atas kelas tertinggi batas bawah kelas terendah Tentukan jangkauan dari data Rangkuman Kelas XII 192

47 Nilai Frekuensi Jumlah 50 Bb 41 dan Ba 100, jadi R Ba Bb Simpangan Rata-Rata ukuran dispersi yg menyatakan penyebaran nilai terhadap rata-ratanya a. Simpangan Rata-Rata Data Tunggal SR ket. SR Simpangan rata-rata i nilai data nilai rata-rata n banyaknya data Tentukan simpangan rata-rata dari data 7, 5, 8, 6, 9, 7 n6 dan 7 SR 1 b. Simpangan Rata-Rata Data Berbobot atau Berkelompok SR tentukan simpangan rata-rata dari data 6,7 SR Nilai Frekuensi Nilai f f - f ,7 2, ,7 2, ,3 6, ,3 9, ,0 1,9 Rangkuman Kelas XII 193

48 3. Simpangan Baku / Simpangan Standar akar pangkat dua dari jumlah simpangan kuadrat dibagi banyaknya data a. Simpangan Baku Data Tunggal S ( ) Tentukan simpangan baku dari data 7, 5, 8, 6, 9, 7 7 S ( ) 1,2922 b. Simpangan Baku Data Berbobot atau Kelompok S ( ) Tentukan simpangan baku dari data Nilai Frekuensi Nilai f f (- ) (- ) 2 f(- ) ,7 13,69 27, ,7 0,49 1, ,3 0,09 0, ,3 5,29 21, ,7 S ( ) 2, Angka Baku / Nilai Standar (Z-Score) nilai yg menyatakan perbandingan antara suatu nilai data dengan nilai rataratanya dibagi dgn simpangan bakunya Z ket. Z angka baku / nilai standar nilai data s simpangan baku mean Rangkuman Kelas XII 194

49 - Dari hasil nilai ulangan math XII TKJ 2 diperoleh mean 74 dan simpangan baku 1,5. Tentukan angka baku dari siswa yg mendapat nilai 80! 74, 80, dan s1,5 Z 4 - Nilai baku Fira adalah 1,8. Jika mean XII TKJ 2 80 dan standar deviasinya 2, tentukanlah nilai Fira! 80, z1,8 dan s2 Z 1,8 3, ,6 5. Koefisien Variasi nilai yg menyatakan perbandingan antara simpangan baku dgn nilai mean-nya yg dinyatakan dalam prosen KV 100% ket. KV Koefisien variasi s simpangan baku mean - Diketahui rata-rata suatu kumpulan data adalah 60 dan simpangan baku 12, tentukan koefisien variasinya? 60 dan s 12 KV 100% 100% 20% - Diketahui siswa diteliti berat dan tinggi badannya masing masing 60 kg dan 160 cm, sedangkan simpangan baku masing masing 15 kg dan 8 cm, ukuran manakah yang lebih beragam? B 60, t 160, sb 15, dan st 8 KV B 100% 100% 25% KV t 100% 100% 5% jadi, KV t KV b data untuk tinggi lebih beragam daripada untuk berat badan Rangkuman Kelas XII 195