7.1 ISTILAH-ISTILAH DALAM STATISTIKA A.

Transkripsi

1 STATISTIKA Dalam statistika, angka dikumpulkan dan diatur sedemikian rupa sehingga orang dapat memahaminya, menarik kesimpulan, dan membuat perkiraan berdasarkan angka angka itu. 7.1 ISTILAH-ISTILAH DALAM STATISTIKA A. Pengertian Statistika, Statistik, Populasi, dan Sampel Agar suatu permasalahan dapat diuraikan, maka diperlukan keteranganketerangan penunjang yang terkait. Keterangan-keterangan tersebut dapat berupa angka atau yang lainnya. Keterangan-keterangan berupa angka disebut data kuantitatif, sedangkan keterangan-keterangan bukan angka disebut data kualitatif. Data kuantitatif itu sendiri dibedakan menjadi 2 macam yaitu, data diskrit dan data kontinu. Data diskrit diperoleh dari hasil penghitungan, sedangkan data kontinu diperoleh dari hasil pengukuran. Permasalahan Data Data Kuantitatif Data Diskrit Data kualitatif Data Kontinu Statistika berkaitan dengan pengumpulan informasi/keterangan, penyajian dalam bentuk daftar, diagram, atau grafik sehingga memudahkan untuk dianalisa selanjutnya disimpulkan dan diambil kesimpulan. Matematika Dasar Page 65

2 Setiap informasi atau keterangan yang diperoleh disebut datum, dalam bentuk jamak adalah data. Tahap statistika yang melukiskan dan menganalisa kelompok data tanpa menarik kesimpulan disebut statistika deskriptif, sedangkan tahap statistika yang berkaitan dengan kondisi suatu kesimpulan diambil disebut statistika inferensi atau statistika induktif. Definisi : Statistika adalah ilmu pengetahuan tentang metode pengumpulan, pengolahan, penafsiran, dan penarikan kesimpulan dari data penelitian. Perhatikan kalimat kalimat berikut ini : a. Lima puluh juta pemirsa TV di Indonesia menyaksikan sinetron Si Doel Anak Sekolahan. b. Delapan dari sepuluh aktris menggunakan pasta gigi X. c. Baterai XYZ tahan lebih lama. Kalimat di atas menyangkut himpunan yang universal, yaitu semua pemirsa TV di Indonesia, semua aktris, dan semua baterai. Dalam statistika, himpunan universal (semesta) dengan karakteristik tertentu disebut populasi. Pada praktiknya, pengamatan terhadap populasi tidak dapat dilakukan sebab membutuhkan waktu yang lama, memerlukan biaya yang besar, ataupun merusak populasi itu sendiri, misalnya mungkinkah kita menanyai semua pemirsa TV di Indonesia? Mungkinkah kita menanyai semua aktris tentang merek pasta gigi yang mereka gunakan? Bagaimanakah jika semua baterai kita tes daya tahannya? Untuk keperluan itu, kita dapat menggunakan atau mengambil contoh yang dipilih dari populasi, yang disebut sampel. Jadi, sampel adalah himpunan bagian dari populasi. Metode statistika tentang cara mengambil sampel yang tepat disebut teknik sampling. Nilai nilai yang diperoleh dari sampel disebut statistik. Statistik inilah yang digunakan untuk menduga populasi. Nilai nilai populasi disebut parameter. Matematika Dasar Page 66

3 B. Pengumpulan, Pembulatan, dan Pemeriksaan terhadap Data Usaha untuk memperoleh informasi yang objektif merupakan langkah yang penting dalam suatu penyelidikan (observasi). Hal ini berkaitan dengan tujuan penyelidikan itu sendiri. Sesuai dengan tujuan penyelidikan, maka pengumpulan data dapat dilakukan dengan metode : 1. Pengamatan (observasi), yaitu cara pengumpulan data dengan mengamati secara langsung subjek yang diteliti. 2. Penelusuran literatur, yaitu cara pengumpulan data dengan menggunakan sebagian atau seluruh data yang telah ada dari peneliti sebelumnya. Penelusuran literatur disebut juga pengamatan tidak langsung. 3. Penggunaan kuesioner (angket), yaitu cara pengumpulan data dengan menggunakan daftar pertanyaan (angket) atau daftar isian terhadap subjek yang teliti.. Wawancara (interview), yaitu cara pengumpulan data dengan langsung mengadakan Tanya jawab kepada subjek yang diteliti. Data yang diperoleh disebut data mentah. Berdasarkan banyaknya data yang diambil, cara pengumpulan data dibagi atas dua cara, yaitu sebagai berikut: 1. Sensus, yaitu cara pengumpulan data, di mana data diperoleh dari setiap anggota populasi. 2. Sampling, yaitu cara pengumpulan data, di mana hanya sebagian anggota populasi (sampel) saja yang diteliti. Akan tetapi, dari sebagian anggota populasi ini diharapkan dapat menggambarkan keadaan populasi yang sebenarnya. Selanjutnya, setelah data diperoleh, untuk mendapatkan gambaran tentang apa yang diteliti, peneliti harus melakukan penganalisisan data.untuk pengamatan lebih lanjut, data dibedakan : a. Data Kuantitatif, yaitu data berupa kumpulan angka, misalnya tinggi siswa, banyaknya siswa yang tidak masuk hari ini di suatu sekolah. Matematika Dasar Page 67

4 Ditinjau dari cara memperolehnya, data kuantitatif dapat dibedakan menjadi 2 macam, yaitu. 1. Data Cacahan Data cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah, membilang, atau menghitung banyak objek. Sebagai contoh adalah data tentang banyak petak sawah untuk masing-masing desa di lima desa. 2. Data Ukuran Data ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur besaran objek. Sebagai contoh data tentang luas petak sawah dan data tentang berat padi gabah kering. b. Data Kualitatif, yaitu data yang diamati berdasarkan atribut, misalnya pendapat siswa terhadap pelajaran Matematika, seperti amat senang- senang-kurang senang-tidak senang. Untuk keperluan perhitungan maupun analisis, sering dikehendaki data kuantitatif dalam bentuk yang lebih sederhana. Untuk menyederhanakan bilangan-bilangan, diadakan aturan pembulatan sebagai berikut : a. Aturan umum, yaitu jika kurang dari 0,5 dihilangkan dan jika sama atau lebih dari 0,5 menjadi 1, Misal : 3,8 dibulatkan menjadi 3 2,5 dibulatkan menjadi 3 8,5678 dibulatkan menjadi 8,6 (sampai dua tempat desimal). b. Aturan genap terdekat, yaitu kurang dari 0,5 dihilangkan, lebih dari 0,5 menjadi 1, dan sama dengan 0,5 dihilangkan jika angka yang mendahului genap atau menjadi 1 jika angka yang mendahului ganjil, Misal : 6,98 dibulatkan menjadi 6,9 (sampai satu tempat desimal) 17,52 dibulatkan menjadi 18,00 Matematika Dasar Page 68

5 12,50 dibulatkan menjadi 12,00 13,50 dibulatkan menjadi 1,00 Sebelum data diolah lebih lanjut, perlu diadakan pemeriksaan data kembali. Hal ini untuk menghindari kekeliruan dalam analisa maupun kesimpulan yang diambil. Beberapa data yang dipandang meragukan hendaknya diyakini kebenarannya. Kemungkinan kesalahan terjadi pada alat ukur, kesalahan mengukur, kekeliruan mencatat, instruksi yang tidak jelas, atau kecerobohan dalam mengumpilkan data. Semua kesalahan itu perlu diperhatikan agar diperoleh data yang akurat. 7.2 PEYAJIAN DATA STASTITIKA Data statistik dapat disajikan dalam beberapa bentuk, sesuai dengan jenis data. Data statistik dapat berupa daftar bilangan yang mempunyai satuan yang sama atau disebut data tunggal. Data dapat dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan. A. Daftar Bilangan Data tunggal dapat dituliskan sebagai daftar bilangan sebagaimana contoh berikut. Data nilai matematika 10 anak kelas 2 SD adalah : 60, 75, 65, 80, 95, 7, 88, 87, 76 dan 90. B. Tabel Distribusi Frekuensi Tabel distribusi frekuensi dapat dibedakan menjadi 2, yaitu tabel distribusi frekuensi data tunggal dan tabel distribusi frekuensi data berkelompok. a) Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal Penyajian data tunggal frekuensi dilakukan dengan membuat tabel yang terdiri atas frekuensi dilakukan dengan membuat tabel yang terdiri atas kolom, yaitu kolom nilai (x), kolom turus dan kolom frekuensi (f) Matematika Dasar Page 69

6 Contoh 7.1 Skor tes matematika dari 50 siswa di suatu kelas adalah Sajikan data di atas dalam daftar distribusi frekuensi tunggal! Jawab: Skor Turus Banyak Siswa (Frekuensi) II III IIII I IIII III IIII IIII I IIII IIII IIII I III I I n = f = 50 b) Tabel DistribusiFrekuensi Data Berkelompok Jika sekumpulan data memiliki jumlah dan variasi data yang cukup banyak, maka data tersebut dapat disederhanakan dengan cara mengelompokkannya dalam kelas kelas. Dengan demikian diperoleh tabel distribusi frekuensi data berkelompok. Beberapa istilah yang penting dalam membuat tabel distribusi frekuensi berkelompok antara lain sebagai berikut : 1) Kelas Interval Kelas interval adalah kelas kelas yang memuat beberapa data tertentu. Matematika Dasar Page 70

7 = I = interval Kelas R = jangkauan (data tertinggidata terendah K = banyak kelas 2) Batas Kelas Batas kelas adalah nilai nilai ujung yang terdapat pada suatu kelas interval. 3) Tepi kelas Tepi kelas adalah setengah dari jumlah batas atas dan batas bawah dua kelas interval yang berurutan. Tepi atas kelas (t a ) adalah batas kelas ditambah setengah. Sedangkan tepi bawah kelas (t b ) adalah batas kelas dikurang setengah. ) Panjang Kelas Panjang kelas disebut juga lebar kelas atau interval kelas, yaitu selisih antara tepi atas dan tepi bawah dari tiap kelas dalam kelas interval yang sama 5) Titik Tengah Kelas Nilai titik tengah kelas adalah setengah dari jumlah tepi bawah kelas dan tepi atas kelas. c) Cara Menyusun Tabel Distribusi Kelompok Beberapa langkah yang perlu diperhatiakn dalam menyusun tabel distribusi frekuensi berkelompok adalah sebagai berikut. Menentukan nilai data terbesar (x maks ) dan nilai data terkecil (x min ) kemudian ditentukan jangkauannya (J) dengan rumus : J = x maks x min Menentukan banyaknya kelas interval (k) dari n buah data adalah berdasarkan aturan Sturgess, yaitu : Matematika Dasar Page 71

8 k = 1 + 3,3 log n Menentukan panjang kelas (c) dengan rumus : = Menentukan daftar distribusi frekuensi dengan menetapkan kelas kelas sehingga nilai statistik minimum termuat dalam kelas interval terendah, tetapi tidak harus sebagai batas bawah kelas. Selanjutnya, menetapkan frekuensi tiap kelas yang dapat dilakukan dengan menggunakan turus atau bisa saja langsung dituliskan. Contoh 7.2 Dari 8 kali pengukuran lembaran kain (ketelitian sampai cm terdekat), diperoleh data sebagai berikut Buatlah daftar distribusi frekuensi berkelompok dari data tersebut! Jawab: Data pengukuran tersebut terdiri dari 8 data, sehingga n = 8 Nilai statistik minimum, x min = 5, dan nilai statistik maksimum, x maks =7 Jangkauan = = 7 5 = 29 Banyaknya kelas (k) = 1 + 3,3 log n = 1 +3,3 log 8 = 6,58, dibulatkan ke atas menjadi k=7 Panjang Kelas p = = =,1,, dibulatkan ke atas menjadi tercakup dalam kelas interval. Matematika Dasar Page 72

9 Tabel distribusi frekuensi : Hasil Pengukuran (dalam cm) Titik Tengah (x i ) Frekuensi (f) f = 8 d) Tabel Distribusi Frekuensi Komulatif dan Frekuensi Relatif Tabel distribusi frekuensi kumulatif dapat disusun dari tabel distribusi frekuensi berkelompok. Terdapat dua jenis frekuensi kumulatif, yaitu frekuensi kumulatif kurang dari tepi atas f t dan frekuensi kumulatif lebih dari tapi bawah f t Setiap frekuensi (f i ) dalam tabel distribusi frekuensi yang dinyatakan dalam persentase disebut frekuensi relatif. Frekuensi relatif (f r ) dapat ditentukan dengan rumus : = % Selanjutnya, daftar distribusi frekuensi kumulatif relatif dapat disusun dari daftar distribusi frekuensi kumulatif. Contoh 7.3 Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif relative berdasarkan tabel Contoh 1.2 Jawab: Berdasarkan tabel pada contoh 1.2 perhatikan perhitungan perhitungan berikut. Dengan cara perhitungan yang sama, akan kita dapatkan tabel distribusi frekuensi kumulatif relatif berikut. Matematika Dasar Page 73

10 Hasil Pengukuran (dalam cm) Frekuensi (f) Frekuensi Relatif (f r ) 0,021 0,125 0,271 0,333 0,125 0,083 0,02 Frekuensi Kumulatif Frekuensi Kumulatif Relatif f t f t f t f t 1 8 0, ,16 0, ,17 0, ,750 0, ,875 0, ,958 0, , PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM A. Diagram Batang Dalam penyajian dengan diagram batang, data disajikan dalam bentuk batang persegi panjang yang di gambarkan vertical atau horizontal dengan lebar sama. Disamping diagram batang tunggal, dikenal dua diagram batang yang lain, yaitu: 1. Diagram batang majemuk 2. Diagram batang bertingkat Contoh 7. Sekelompok siswa mengadakan penelitian tentang tayangan swasta. Mereka menanyakan, manakah yang lebih digemari tayangan ABTV atau CDTV kepada teman temannya di sekolah. Daftar di bawah ini menunjukkan hasil penelitian tersebut : Yang Kelas Kelas Kelas Kelas Kelas Kelas Menggemari A B C D E F AATV BBTV Matematika Dasar Page 7

11 Diagram batang informasi di atas dapat di gambarkan sebagai berikut : Column1 15 AATV2 10 BBTV2 5 0 A B C D E F B. Diagram Garis Diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang menunjukkan perkembangan suatu data dari waktu ke waktu. Selain dibaca dan ditafsirkan, diagram garis juga dipakai untuk memperkirakan suatu nilai yang belum diketahui. Dalam memperkirakan nilai yang belum belu diketahui ini ada dua macam pendekatan, yaitu pendekatan interpolasi linear dan pendekatan ekstrapolasi linear. Diagram garis digambar pada bidang Cartecius. Sumbu X ditempati oleh waktu pengamatan sedangkan sumbu Y ditempati oleh nilai data yang diamati. a. Interpolasi Linear Pendekatan interpolasi linear adalah menafsirkan atau memperkirakan suatu nilai data yang berada di antara dua titik yang berdekatan. b. Ekstrapolasi Linear Pendekatan ekstrapolasi linear adalah menaksir atau memperkirakan suatu nilai data ata yang terletak sesudah titik data terakhir yang diketahui. Ekstrapolasi semacam ini dapat dilakukan dengan cara memperpanjang Matematika Dasar Page 75

12 garis dalam arah ke kanann atas atau ke kanan bawah tergantung pada kecenderungan nilai nilai data sebelumnya. Contoh 7.5 Data jumlah siswa yang lulus ke Perguruan Tinggi Negeri sepuluh tahun terakhir tahun di Kabupaten Semarang Tahun Berikut diagram garis dari data di atas : Jumlah siswa yang lulus Jumlah Siswa C. Diagram Lingkaran Diagram lingkaran digunakan untuk menunjukkan perbandingan antaritem data dengan cara membagi lingkaran dalam juring juring lingkaran yang sudut pusatnya sesuai dengan perbandingan tersebut. Contoh 7.6 Daftar jumlah siswa yang mengikuti ekstrakurikuler menari di setiap kelas VII SMP N 7 Semarang Buatlah diagram lingkaran yang sesuai dengan data di atas Matematika Dasar Page 76

13 Ekstrakurukuler menari VII A VII B VII C VII D VII E Banyaknya siswa Jawab : Jumlah seluruh siswa= =0. Perbandingan dan persentase untuk masing-masing kelas adalah : VII A = = 25 %, VII B= = 10 %, VII C= yang = 15 ikut %, VII D= = 20%, VII E= = 30 % Jika diubah dalam ukuran derajat, maka diperoleh sudut pusat sebagai berikut. VII A : 360 = 81 VII B : 360 = 5 VII C : 360 = 5 VII D : 360 = 72 VII E : 360 = 108 VII E 30% VII D 20% Presentase Siswa Ekatrakurikuler Menari VII A 25% VII C 15% VII B 10% D. Histogram Data ukuran (data kontinu) yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi dapat disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram.gambar histogram berbentukdiagram batang di mana antara dua batang yang berdampingan saling berimpit. Langkah langkah untuk membuat histogram suatu data berkelompok adalah sebagai berikut : Menggambar sumbu horizontal (untuk nilai) dan sumbu vertikal (untuk frekuensi) Menggambar persegi panjang untuk setiap interval. Alas persegi panjang menunjukkan panjang kelas (p), yaitu dari tepi bawah kelas sampai tepi atas kelas, sedangkan tinggi persegi panjang menunjukkan frekunsinya. Matematika Dasar Page 77

14 Di atas tiap persegi panjang dapat ditulis frekuensi masing masing agar histogram mudah dibaca. Contoh 7.7 Gambarlah histogram dari data yang disajikan di bawah ini seperti contoh Buatlah daftar distribusi frekuensi berkelompok dari data tersebut dan buatlah histogramnya TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI Hasil Pengukuran (dalam cm) Titik Tengah Frekuensi (f) f = 8 Jawab : Dengan mengikuti langkah langkah membuat histogram suatu data berkelompok, histogram dari data tersebut diperlihatkan pada gambar di bawah ini: Matematika Dasar Page 78

15 ,5 7,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 Nilai E. Poligon Jika titik titik tengah dari sisi atas tiap persegi panjang yang berdekatan pada histogram dihubungkan, maka akan diperoleh grafik garis yang disebut polyangon distribusi frekuensi. Selain dengan cara tersebut, polyangon distribusi frekuensi dapat dibuat dengan langkah langkah sebagai berikut : Menambahkan satu kelas interval sebelum kelas pertama dan satu kelas interval sesudah kelas terakhir. Menentukan titik tengah setiap kelas Menggambar sumbu horizontal dan sumbu vertical Menggambar titik titik dengan titik tengah kelas interval sebagai absis dan frekuensi kelas interval sebagai ordinat Menghubungkan titik titik yang berdekatan dengan suatu aris lurus Contoh 7.8 Gambar polyangon distribusi frekuensi dari data pada contoh 1.2 Dari 8 kali pengukuran lembaran kain (ketelitian sampai cm terdekat), diperoleh data sebagai berikut Matematika Dasar Page 79

16 Buatlah daftar distribusi frekuensi berkelompok dari data tersebut dan buatlah poligonnya! Hasil Pengukuran (dalam cm) Jawab : Titik Tengah Frekuensi (f) f = 8 Poligon distribusi dari data tersebut diperlihatkan oleh gambar di bawah F. Ogive Tabel distribusi frekuensi kumulatif yang disajikan dalam bentuk kurva, disebut polyangon distribusi frekuensi kumulatif atau ogive. Ogive terdiri dari 2 macam yaitu ogive positif (ogive kurang dari) dan ogive negatif (ogive lebih dari). Ogive positif dibentuk dengan menghubungkan titik titik, Matematika Dasar Page 80

17 dengan tepi atas sebagai absis dan frekuensi kumulatif sebagai ordinat. Sementara itu, ogive negatif dapat dibentuk dengan cara menghubungkan titik titik, dengan tepi bawah sebagai absis dan frekuensi kumulatif sebagai ordinat. Contoh 7.9 Gambarlah ogive dari data yang terdapat pada contoh 1.2 Dari 8 kali pengukuran lembaran kain (ketelitian sampai cm terdekat), diperoleh data sebagai berikut Buatlah daftar distribusi frekuensi berkelompok dari data tersebut dan buatlah ogive nya! Jawab : Hasil Pengukuran (dalam cm) Perhatikan kembali tabel distribusi kumulatif yang terdapat pada Contoh 1.3 Frekuensi (f) Frekuensi Relatif (f r ) 0,021 0,125 0,271 0,333 0,125 0,083 0,02 Frekuensi Kumulatif Frekuensi Kumulatif Relatif f t f t f t f t 1 8 0, ,16 0, ,17 0, ,750 0, ,875 0, ,958 0, ,02 Matematika Dasar Page 81

18 Ogive ogive positif ogive negatif 7. UKURAN STATISTIK DATA A. Ukuran Pemusatan Data a. Mean (Rataan Hitung) Mean (rataan hitung) didefinisikan sebagai jumlah data kuantitatif dibagi banyaknya data. Atau dapat dinyatakan sebagai jumlah seluruh data dibagi banyaknya data. Notasi atau lambing / symbol untuk sampel dan populasi dibedakan : Data Banyaknya data Rataan Sampel X n x Populasi X N μ Mean x, dari data x, x, x,, x dirumuskan : x = x + x + x + + x n data tunggal : = Data Kelompok : = Matematika Dasar Page 82

19 Dengan : x i = titik tengah kelas interval f i = frekuensi dari x i k = banyaknya kelas interval Selain menggunkan rumus dan cara di atas, kita dapat menentukan rataan dari sekumpulan data dengan terlebih dahulu menentukan rataan sementaranya. Rataan sementara biasanya diambil dari nilai tengah yang mempunyai frekuensi terbesar. Untuk menghitung rata rata bisa menggunakan rata rata sementara. Kesulitan dalam menghitung rata rata adalah apabila dijumpai bilangan besar atau tidak bulat.untuk mengatasi hal ini, kita menyederhanakan data, yaitu dengan cara memperkirakan nilai rata rata yang disebut rata rata sementara. Caranya adalah sebagai berikut: a) Tetapkan rata rata sementara, x dipilih pada kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi dan letaknya di tengah. b) Tentukan simpangan (deviasi) terhadap rata rata sementara, dengan rumus: = c) Tentukan rata rata sesungguhnya, dengan rumus: d) Atau jika dengan memfaktorkan interval kelasnya maka rumusnya menjadi: = + = + Matematika Dasar Page 83

20 Contoh 7.10 Dua belas orang mengikuti pertandingan menembak pada jarak tertentu, setiap peserta menembak 10 kali. Hasil tembakan yang mengenai sasaran dari tiap tiap peserta adalah, 8, 5, 8, 6,, 7, 7, 2, 3, 5, 7. Tentukan rataan tembakan yang menenai sasaran! Jawab : Data Tunggal Data di atas dipandang sebagai sampel, maka : x = = 66 dan n = 12 x = x n = = 5,5 Data Kelompok Tentukan Rata rata dari data berikut : Nilai Frekuensi (f i ) Titik Tengah (x i ) (f i x i ) 0 9, , , , , ,5 189 = = Jadi, rata ratanya adalah 65,83 b. Modus (Nilai terbanyak) x = f x f = = 65,83 Modus adalah nilai yang paling banyak muncul. Untuk data tunggal, modus sangat mudah ditentukan, yaitu data yang yang mempunyai frekuensi terbanyak. Modus mempunyai kelemahan, yaitu apabila kelompok data yang dimaksud memiliki dua nilai modus (bimodal) atau Matematika Dasar Page 8

21 lebih, atau tidak memiliki modus, misal : Data 5, 7, 8, 10, 10,12,12 memiliki dua modus yaitu 10 dan 12. Untuk data distribusi frekuensi dalam bentuk kelas kelas interval, nilai modus tidak dapat ditentukan dengan tepat tetapi dengan pendekatan. Ada yang berpendapat nilai modus sama dengan nilai tengah kelas yang mempunyai frekuensi terbanyak. Cara lain yang dianggap lebih tepat, yaitu dengan memperhatikan frekuensi kelas sebelum dan sesudah kelas modus. Rumus Modus : = + + Dengan : b = batas bawah kelas modal, ialah kelas interval dengan frekuensi terbanyak p = panjanng kelas modal b 1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih kecil sebelum tanda kelas modal b 2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah tanda kelas modal. Contoh 7.11 Suatu mesin yang memproduksi kaleng roti diperkirakan terdapat kesalahan. Dari penelitian terhadap 200 kaleng roti, dicatat berat kaleng roti, disajikan pada daftar di bawah ini: Berat Kaleng (gram) Frekuensi (f) Frekuensi Kumulatif (fk) Matematika Dasar Page 85

22 Langkah langkah mengerjakan modus : a) Kelas modal = kelas keempat b) b = 289,5 c) b 1 = = 6 d) b 2 = = 32 e) p = = 3 b Mo = b + p b + b Mo = 289,5 + 3 Mo = 291,26 c. Median Median adalah nilai yang membagi data menjadi dua bagian yang sama banyaknya setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Untuk mendapatkan nilai median dari daftar distribusi frekuensi dapat digunakan rumus median, selain itu didapatkan nilai median menggunakan histogram, yang berarti median membagi histogram menjadi dua bagian yang sama luasnya. Rumus Median : 1 = + 2 Dengan : b = batas bawah kelas median, ialah kelas dimana median akan terletak p = panjang kelas median n = ukuran sampel atau banayak data F = jumlah semua fekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas median f = frekuensi kelas median Matematika Dasar Page 86

23 Contoh 7.12 Suatu mesin yang memproduksi kaleng roti diperkirakan terdapat kesalahn. Dari penelitian terhadap 200 kaleng roti, dicatat berat kaleng roti, disajikan pada daftar di bawah ini: Berat Kaleng (gram) Frekuensi (f) Frekuensi Kumulatif (fk) Langkah langkah untuk mengerjakan median : i. n = ii. p = 3 iii. b = 289,5 iv. f = 82 v. F = 58 Me = b + p 200 = 100 Me = 289,5 + 3 = 291,03 B. Ukuran Letak Data a. Kuartil (Q i ) Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi bagian yang sama banyak, setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Terdapat 3 buah kuartil, yaitu kuartil bawah atau kuartil pertama dilambangkan Q 1, kuartil tengah atau kuartil kedua atau median dilambangkan q 2, dan kuartil atas atau kuartil ketiga dilambangkan Q 3. Sama halnya dengan median, maka nilai kuartil dapat dihitung dengan cara : Matematika Dasar Page 87

24 1. Menentukan kelas dimana kuatrtil itu terletak yaitu n + 1, 2. Gunakan atruran : Q = b + p k f Dengan : n = jumlah data dan i =1,2,3 b = batas bawah kelas Q, ialah kelas interval di mana Q i akan terletak p = panjang kelas Q i F = fk = Jumlah frekuensi dengan tanda f kelas lebih kecil dari tanda kelas Q i = frekuensi Contoh 7.13 Data Tunggal Tentukan Q 1, Q 2, dan Q 3 untuk data berikut! 1. 6, 8,, 2,, 7, 5, 2. 3, 5, 1, 5,, 7, 8,, 2 Jawab: 1. Banyak data, n = 8 Data yang telah diurutkan : 2,,,, 5, 6, 7, 8 Q 1 Q 2 Q 3 Q = = ; Q = =,5 ; Q = = 6,5 2 Jadi, Q 1 = ; Q 2 =,5 ; Q 3 = 6,5. 2. Banyak data, n = 9 Data yang telah diurutkan : 1, 2, 3,,, 5, 5, 7, 8 Q 1 Q 2 Q 3 Matematika Dasar Page 88

25 Q 1 = = 2,5 ; Q = ; Q = = 6 Jadi, Q 1 = 2,5 ; Q 2 = ; Q 3 = 6 Data Berkelompok Suatu mesin yang memproduksi kaleng roti diperkirakan terdapat kesalahn. Dari penelitian terhadap 200 kaleng roti, dicatat berat kaleng roti, disajikan pada daftar di bawah ini: Berat Kaleng (gram) Frekuensi (f) Frekuensi Kumulatif (fk) Carilah nilai Q 3 nya! Jawab: a) Dengan i = 3 dan n = 200 b) p = 3 c) 200 = 150 d) b = 292,5 e) f = 190 f) F = 10 = + = 292,5 + 3 = 292, b. Desil (D i ) Desil adalah nilai yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama banyak, setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Untuk menentukan desil degunakan rumus sebagai berikut. - Data Tunggal = Matematika Dasar Page 89

26 - Data Berkelompok = + Dengan : n = jumlah data dan i =1,2,3 b = batas bawah kelas D i, ialah kelas interval di mana D i akan terletak p = panjang kelas D i F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas D i (frekensi kumulatif) f = frekuensi pada kelas D i Contoh 7.1 Data Tunggal Tentukan nilai desil ke-3 dari data berikut! Jawab: Data yang telah diurutkan : Bnayak data, n = 15. Letak Desil ke-3 diurutkan data ke-3 adalah: D 3 terletak pada urutan ke-,8. Sehingga: D 3 = x + 0,8( x 5 x ) = 6 + 0,8 (6-6) = 6 Jadi, nilai D 3 adalah 6 =,8 Data Kelompok Ambil data dari contoh 7.12 Matematika Dasar Page 90

27 Suatu mesin yang memproduksi kaleng roti diperkirakan terdapat kesalahn. Dari penelitian terhadap 200 kaleng roti, dicatat berat kaleng roti, disajikan pada daftar di bawah ini: Berat Kaleng (gram) Frekuensi (f) Frekuensi Kumulatif (fk) Carilah nilai D 2 dari data disamping! Jawab: Dengan i = 2 dan n = = 0 b = 286,5 p = 3 f = 50 F = 22 = + = 286,5 + 3 = 287, c. Persentil (P i ) Dalam hal ini kita juga dapat membagi sekelompok data menjadi seratus bagian yang sama banyak, sehingga terdapat 99 nilai pembagi yang disebut persentil. Untuk menghitung nilai persentil digunakan rumus : P = b + p F f Dengan : n = jumlah data dan i =1,2,3 b = batas bawah kelas P i, ialah kelas interval dimana P i terletak p = panjang kelas P i F = jumlah frekunsi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas P i Matematika Dasar Page 91

28 f = frekuensi P i Contoh 7.15 Data Berkelompok Gunakan data dari Contoh 7.12 Suatu mesin yang memproduksi kaleng roti diperkirakan terdapat kesalahn. Dari penelitian terhadap 200 kaleng roti, dicatat berat kaleng roti, disajikan pada daftar di bawah ini: Berat Kaleng (gram) Frekuensi (f) Frekuensi Kumulatif (fk) Carilah nilai P 3 dari data diatas! Jawab: = 6 b =283,5 p = 3 f = 18 F = = + = 283,5 + 3 = 283,83 18 C. Ukuran Peyebaran Data Ukuran penyebaran data yang biasa digunakan untuk data tunggal antara lain rentang, hamparan simpangan kuartil, simpangan rata arta, ragam dan simpangan baku. a. Rentang atau jangkauan (J) Definisi : Jangkauan data atau rentang data adalah selisih antara data terbeasar (x maks ) dengan data terkecil (x min ). Matematika Dasar Page 92

29 J = X X b. Hamparan (H) Definisi : Jangkauan antarkuartil atau hamparan adalah selisih antara kuartil ketiga dengan kuartil pertama H = Q Q c. Simpangan Kuartil (Q d ) Definisi: Jangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil adalah setengah kali panjang hamparan. Q = 1 2 Q Q Contoh 7.16 Data Tunggal Diketahui data: 3,,, 5, 7, 8, 9, 9, 10. Tentukan jangkauan, jangkauan antarkuartil, dan simpangan kuartil dari data tersebut Jawab; Data: 3,,, 5 7, 8, 9, 9, 10 Q 1 Q 2 Q 3 Q = = ; Q = 7 ; Q = = 9 2 Jangkauan : x maks x min = 10 3 = 7 Hamparan: = 9 = 5 Simpangan Kuartil: = 9 = 2,5 Matematika Dasar Page 93

30 Data Berkelompok Daftar berikut menyatakan upah tiap jam untuk 65 pegawai di suatu pabrik. Upah (Rupiah) f 50,00 59, ,00 69, ,00 79, ,00 89, ,00 99, ,00 109, ,00 119,99 2 JUMLAH 65 Tentukanlah hamparan dan simpangan kuartil dari data di atas! Jawab: Q 1 = Rp 68,25 dan Q 3 = Rp 90,75 Maka Hamparan(jangkauan atar Kuartil) Q 3 Q 1 = 90,75 68,25 = Rp 22,50 Simpangan Kuartil: Q = Q Q d. Simpangan Rata rata Q = 90,75 68,25 = Rp 11,25 Simpanagan rata rata atau deviasi rata rata merupakan rata rata jarak suatu data terhadap rataan hitungannya. Nilai simpangan rata rata (SR) untuk data tunggal dapat ditentukan dengan rumus: = 1 Dengan : n = banyaknya data x i = nilai data ke-i x = rataan hitung Contoh 7.17 Tentukan simpangan rata rata dari data:1, 3, 5, 8, 10, 12, 13. Matematika Dasar Page 9

31 Jawab: Data Tunggal n = 8 x =! = = 7 SR = = = 30 = 3,75 Jadi, simpangan rata = ratanya adalah 3,75 Data Kelompok Nilai Frekuensi (f i ) Titik Tengah (x i ) 0 9,5 21,17 8, ,5 11,17 67, ,5 1,17 11, ,5 8,83 35, ,5 18,83 75, ,5 28,83 57,66 SR = =, = 11,06 Jadi, simpangan rata ratanya adalah 11,06 e. Ragam dan Simpangan Baku Misalnya data x 1, x 2, x 3, x n mempunyai rataan, maka ragam atau varians (S 2 ) dapat ditentukan dengan rumus: = Sementara itu, simpangan baku atau deviasi baku (S) dapat ditentukan dengan rumus: = = Dengan: n = banyaknya data x i = nilai data ke-i = rataan hitung Matematika Dasar Page 95

32 Contoh 7.18 Hitunglah ragam dan simpangan baku dari data: 1, 3,, 5, 8, 10, 12, 13 Jawab: Data Tunggal Data: 1, 3,, 8, 10, 12, 13 n = 8 dan x=7, maka: x x = = = 136 S = x x = 136 = 17 S = S = 17 =,12 (teliti hingga 2 tempat desimal). Jadi, data tersebut mempunyai ragam, S 2 = 17 dan simpangan baku, S=,12 Data Kelompok Berat Frekuensi (f i ) Titik Tengah (x i ) f i x i x i -x x i -x 2 f i x i -x f i =50 f i x i =2750 f i x i -x 2 =2250 x= f ix i f i = =55 Karena banyaknya data, n = 50 maka dikatakan sampel berukuran besar (n>30) sehingga S 2 = f i(x i -x) 2 = 2250 n 50 =5 S= 5=6,71 Jadi, data tersebut mempunyai ragam (S 2 ) = 5 dan simpangan baku (S) = 6,71 Matematika Dasar Page 96